1989-2004数学三、四考研试题(线性代数部分3)

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1 989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中 E 是三阶单位矩阵 989 年数学三 ). 讨论向量组 ) -) 5 t) 的线性相关性 5. 已知线性方程组 年数学四 ) ) 为何值时 方程组有解? ) 方程组有解时 求出方程组的导出组的一个基础解系 ; ) 方程组有解时 求出方程组的全部解 99 年数学三 四 ) 6. 已知对于 阶矩阵 存在自然数 k 使得 k 试证明矩阵 E 可逆 并写

2 出其逆矩阵的表达式 E 为 阶单位阵 ) 99 年数学三 ) 7. 设 为 阶矩阵 λ 征向量 试证明 不是 的特征向量 λ 是 的两个不同的特征值 是分别属于 λ 和 λ 的特 8. 设 为 矩阵 99 年数学三 ) 计算行列式 λe. 99 年数学四 ) 9. 设方阵 满足条件 E 其中 是 的转置矩阵 E 为单位阵 试证明 的 实特征向量所对应的特征向量的绝对值等于 99 年数学四 ) k. 设向量组 k k 试问 : 当 k 满 k k 足何值时 ) 可由 线性表示 且表示唯一? ) 不能由 线性表示? ) 可由 线性表示 但表示不唯一?. 考虑二次型 ) 99 年数学三 四 ) f λ - 问 λ 取何值时 f 为正定二次型? 99 年数学三 ). 证明 : 维列向量组 线性无关的充要条件是

3 D 99 年数学三 ). 设 阶矩阵 和 B 满足条件 BB. ) 证明 -E 为可逆矩阵 其中 E 是 阶单位矩阵 ) 已知 求矩阵. B 99 年数学四 ). 已知 k) 是 - 的特征向量 试求常数 k 的值 99 年数学四 ) 5. 设矩阵 与 B 相似 其中 B. y ) 求 y 的值 ) 求可逆矩阵 P 使得 P - PB. 99 年数学三 ) 6. 已知三阶矩阵 且 B O B 的每一列向量都是以下方程组的解 : λ ) 求 λ 的值 ) 证明 B 99 年数学三 四 ) 7. 设 B 分别为 阶正定矩阵 试判断分块矩阵是否正定矩阵 B C 99 年数学三 ) 8. 设矩阵 矩阵满足 X X I X 其中 I 为三阶单位阵 试求出矩阵 X.

4 99 年数学四 ) 9. 已知实矩阵满足条件 : ) j ) 其中是的代数余子式 ; ) j j j j j ) 计算行列式. 99 年数学四 ). k 为何值时 线性方程组 k k k 有唯一解 无解 有无穷多解? 在有解的情况下 求出其全部解 99 年数学三 ). 二次型 ) f 经正交变换 PY X 化成 ) f y y 试求常数 99 年数学三 ). 已知三阶矩阵 的逆矩阵为 试求伴随矩阵的逆矩阵 * 99 年数学四 ). 设 是 矩阵 B 是 矩阵 E 是 阶单位矩阵 >) 已知 BE 试判断 的列向量组是否线性相关? 为什么? 99 年数学四 ). 设线性方程组 ) 证明 : 若两两不相等 则此线性方程组无解

5 中 ) 设 k k k ) 且已知 是该方程组的两个解 其 写出此方程组的通解 99 年数学三 ) 5. 设 有三个线性无关的特征向量 求 和 y 应满足的条件 y 99 年数学三 四 ) 是齐次线性方程组 6. 设 的一个基础解系 证明 也是该方程组的一个基础解系 99 年数学四 ) 7. 已知向量组 I) II) III) 5 如果各 向量组的秩分别为 RI)RII) RIII). 证明 : 向量组 5 的秩为 8. 已知二次型 f ) ) 写出二次型 f 的矩阵表达式 8 ) 用正交变换把二次型 f 化为标准型 并写出相应的正交矩阵 9. 对于线性方程组 λ λ λ λ 995 年数学三 ) 995 年数学三 ) 讨论 λ 取何值时 方程组无解 有唯一解和有无穷多解 在方程组有无穷多组解时 试用 其导出组的基础解系表示全部解 995 年数学四 ). 设三阶矩阵 满足 ) 其中列向量 ) ) ) 试求矩阵. 995 年数学四 ). 设矩阵 y

6 ) 已知 的一个特征值为 求 y. ) 求矩阵 P 使 P) P 为对角矩阵 996 年数学三 ). 设向量组 t 是齐次线性方程组 X 的一个基础解系 向量 不是方 程组 X 的解 即 试证明: 向量组 t 线性无关 6. 已知线性方程组 p 7 6 t 996 年数学三 ) 讨论 pt 取何值时方程组有解 无解 ; 当有解时 试用其导出组的基础解系表示通解 996 年数学四 ). 设有 阶矩阵 满足 E E < 求出伴随矩阵 * 的一个特征值 996 年数学四 ) 5. 设 为 阶非奇异矩阵 为 维列向量 为常数 记分块矩阵 E P * Q ) 计算并化简 PQ ; * 其中 是矩阵 的伴随矩阵 E 为 阶单位矩阵 ) 证明 : 矩阵 Q 可逆的充分必要条件是. 997 年数学三 四 ) 6. 设三阶实对称矩阵 的特征值是 ; 矩阵 的属于特征值 的特征向量分别是 ) ) ) 求 的属于特征值 的特征向量 ; ) 求矩阵. 7. 设矩阵 与 B 相似 且 997 年数学三 ) B ) 求 的值 ; ) 求可逆矩阵 P 使 P P B 997 年数学四 ) 8. 设向量 ) ) 都是非零向量 且满足条件

7 记 阶矩阵 求 : ) ; ) 矩阵 的特征值和特征向量 998 年数学三 四 ) 9. 设矩阵 矩阵 其中 k 为实数 E 为单位矩阵 求对角 ) ke B 阵 使 B 与相似 并求 k 为何值时 B 为正定矩阵 Λ Λ 998 年数学三 ). 已知下列非齐次线性方程组 I)II) 6 II) 5 t ) 求方程组 I) 用其导出组的基础解系表示通解 ) 当方程组 II) 中的参数 t 取何值时 方程组 I) 与 II) 同解 998 年数学四 ). 设矩阵 - * 有特征值 λ c c 5 属于 λ 的特征向量为 [--] 求 c 及 λ 999 年数学三 ). 设 为实矩阵 E 为 阶单位矩阵 >) 已知 试证 : 当 E B λ > λ 时 矩阵 B 为正定矩阵 999 年数学三 ). 已知线性方程组 c c ) 满足何种关系时 方程组仅有零解? c ) 满足何种关系时 方程组有无穷多组解 并用基础解系表示全部解 c 999 年数学四 )

8 . 设矩阵 问当 k 为何值时 存在可逆矩阵 P 使 P k k 为对角阵? 求 P 及相应的对角阵 999 年数学四 ) 5. 设向量组 试问 : 当 c 满足什么条 5 c 件时 ) 可由 线性表示 且表示唯一? ) 不能由 线性表示? ) 可由 线性表示 但表示不唯一? 并求出一般表达式 - P 6. 设有 元实二次型 年数学三 四 ) f ) ) ) ) ) 其中 ) 为实数 试问 : 当 满足何种条件时 二次型 f ) 为正定二次型 年数学三 ) 7. 设 y 有三个线性无关的特征向量 是 的二重特征值 求可逆矩 5 阵 P 使 P - P 为对角阵 年数学四 ) 8. 设 为 阶实对称矩阵 r ) 是 中元素的代数余子 j j ) j 式 二次型 j f ) j j ) 记 X ) 把 f ) 写成矩阵形式 并证明二次型 f X ) 的矩阵为 ) 二次型 g X ) X X 与 f X ) 的规范型是否相同? 并说明理由

9 求 9. 设矩阵 ; 已知线性方程组 X ) 的值 ; ) 正交矩阵 Q 使 Q - Q 为对角阵 年数学三 ) 有解但不唯一 试 年数学三 四 ) [ ] ) 5. 设 r; r 是 维实向量 且 < [ 无关 已知 ] 的非零解向量 试判断 是线性方程组 r r r 的线性相关性 r 线性 r 5. 设齐次线性方程组 年数学四 ) 其中 试讨论 为何值时 方程组仅有零解 有无穷多组解? 在有无穷 多组解时 求出全部解 并用基础解系表示全部解 年数学三 ) 5. 设 为三阶实对称矩阵 且满足 已知 的秩 r) ) 试求 的全部特征值 ; ) 当 k 为何值时 矩阵 ke 为正定矩阵 其中 E 为三阶单位矩阵 年数学四 ) 5. 设四元齐次线性方程组 I) 为 且已知另一四元齐次线 性方程组 II) 的基础解系为.) 8) ) 求线性方程组 I) 的基础解系 ;

10 ) 当 为何值时 方程组 I) 和 II) 有非零公共解? 在有非零公共解时 求出全 部非零公共解 5. 设实对称矩阵 求可逆矩阵 P 使 算行列式 E 的值 年数学四 ) P P 为对角形矩阵 并计 年数学四 ) 55. 设有向量组 I): ) ) ) 和向量组 II): ) 6) ). 试问 : 当 为何值时 向量组 I) 与 II) 等价? 当 为何值时 向量组 I) 与 II) 不等价? 年数学四 ) 56. 设矩阵 可逆 向量是矩阵的一个特征向量 * 应的特征值 其中 * 是矩阵 的伴随矩阵. 试求 和 λ 的值. λ 是 对 57. 已知齐次线性方程组 ) ) ) ) 其中. 试讨论 和 满足何种关系时 年数学四 ) ) 方程组仅有零解 ; ) 方程组有非零解. 在有非零解时 求此方程组的一个基础解系. 58. 设二次型 年数学三 ) f ) X X > ) 中二次型的矩阵 的特征值之和为 特征值之积为 -. ) 求 的值 ; ) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 年数学三 ) 59. 设 ) ) )

11 ) 试讨论当 为何值时 Ⅰ) 不能由 线性表示 ; Ⅱ) 可由 唯一地线性表示 并求出表示式 ; Ⅲ) 可由 线性表示 但表示式不唯一 并求出表示式. 6. 设 阶矩阵 年数学三 ) Ⅰ) 求 的特征值和特征向量 ; Ⅱ) 求可逆矩阵 P 使得 P P 为对角矩阵. 6. 设线性方程组 年数学三 ) λ λ) μ μ) 已知 ) 是该方程组的一个解 试求 Ⅰ) 方程组的全部解 并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 ; Ⅱ) 该方程组满足 的全部解. 6. 设三阶实对称矩阵 的秩为 λ λ 6 是 的二重特征值. 若 年数学四 ) ) ) 都是 的属于特征值 6 的特征向量. Ⅰ) 求 的另一特征值和对应的特征向量 ; Ⅱ) 求矩阵. 年数学四 )

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