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蒂圈黎
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1 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 = e 确定, 则 A= d =. (6) 设矩阵 A =., E 为阶单位矩阵, 矩阵 B 满足 BA = B + E, 则 B = 二选择题 (7) 设函数 = f ( ) 具有二阶导数, 且 f ( ) >, f ( ) >, 为自变量在处的增量, 与 d 分别为 f ( ) 在点处对应的增量与微分, 若 >, 则 (A) < d <. (B) < < d. (C) < d <. (D) d < <. (8) 设 f ( ) 是奇函数, 除 = 外处处连续, = 是其第一类间断点, 则 f ( ) d 是 (A) 连续的奇函数. (B) 连续的偶函数 (C) 在 = 间断的奇函数 (D) 在 = 间断的偶函数. + g ( ) (9) 设函数 g( ) 可微, h( ) = e, h () =, g () =, 则 g () 等于 (A) ln. (B) ln. (C) ln. (D) ln. () 函数 = C e + C e + e 满足一个微分方程是 (A) = e. (B) = e. (C) + = e. (D) + = e. 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

2 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com () 设 f (, ) 为连续函数, 则 π 4 dθ f ( r cos θ, r sin θ ) rdr 等于 (A) d f (, ) d. (B) d f (, ) d. d (C) d f (, ) d. (D) f (, ) d. () 设 f (, ) 与 ϕ (, ) 均为可微函数, 且 ϕ (, ). 已知 (, ) 是 f (, ) 在约束条件 ϕ (, ) = 下的一个极值点, 下列选项正确的是 (A) 若 f (, ) =, 则 f (, ) =. (B) 若 f (, ) =, 则 f (, ). (C) 若 f (, ), 则 f (, ) =. (D) 若 f (, ), 则 f (, ). () 设 a, a,, a, 均为 n 维列向量, A 是 m n 矩阵, 下列选项正确的是 (A) 若 a, a,, a, 线性相关, 则 Aa, Aa,, Aa, 线性相关. (B) 若 a, a,, a, 线性相关, 则 Aa, Aa,, Aa, 线性无关. (C) 若 a, a,, a, 线性无关, 则 Aa, Aa,, Aa, 线性相关. (D) 若 a, a,, a, 线性无关, 则 Aa, Aa,, Aa, 线性无关. (4) 设 A 为阶矩阵, 将 A 的第行加到第行得 B, 再将 B 的第列的 - 倍加到第列得 C, 记 P =, 则 (A) C = P AP. (B) C = PAP. T T (C) C = P AP. (D) C = PAP. 三解答题 5. 试确定 A,B,C 的常数值, 使得 e ( + B + C ) = + A + o( ), 其中 o( ) 是当时比的高阶无穷小您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

3 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6. 求 arcsin e d e 7. {(, ), } 设区域 D = + 计算二重积分 I = 8. { } D dd n 满足 π n+ n 设数列 < <, = sin ( n =,,, ) 证明 : () 9. lim n+ 存在, 并求极限 n+ () 计算 lim( ) n n 证明 : 当 < a < b < π时 b sin b + cosb + πb > a sin a + a cos a + π a 设函数 f ( u ) (, + ), 在内具有二阶导数且 z f ( ) = + 满足等式 z z + = (Ⅰ) 验证 f ( u) ( u) f + =. u (Ⅱ) 若 f ( ), f ( ), f ( u) = = 求函数的表达式. = l +, 已知曲线 L 的方程为 = 4l (Ⅰ) 讨论 L 的凹凸性 ; ( ), (Ⅱ) 过点 (-,) 引 L 的切线, 求切点 (, ), 并写出切线的方程 ; (Ⅲ) 求此切线与 L ( 对应于的部分 ) 及轴所围成的平面图形的面积已知非齐次线性方程组 = = 有个线性无关的解 a + + b4 = Ⅰ 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r ( A ) = 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

4 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com Ⅱ 求 a, b 的值及方程组的通解设阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为, 向量 α (,, ) T, α (,,) = = 是线性方程组 A = 的两个解, (Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量 (Ⅱ) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 T A, 使得 Q AQ = A. T 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

5 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 题解高数一填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为 5 cos = 5 4sin + lim = lim = cos 5 5 sin d, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a= a, = sm ( ) lim f ( ) = lim = + d () 广义积分 ( ) + = + + d d( + ) + = = = + = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是 = ce d (5) 设函数 = ( ) 由方程 = e 确定, 则 d = e = 当 = 时,=, 又把方程每一项对求导, = e e e ( + e ) = e = = e = = + e = 二选择题 (7) 设函数 = f ( ) 具有二阶导数, 且 f ( ) >, f ( ) >, 为自变量在点处的增量, 与 d分别为 f ( ) 在点处对应增量与微分, 若 >, 则 [A] (A) < d < (B) < < d 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

6 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com (C) < d < (D) d < < 由 f ( ) > 可知 f ( ) 严格单调增加 f ( ) > 可知 f ( ) 是凹的即知 (8) 设 f ( ) 是奇函数, 除 = 外处处连续, = 是其第一类间断点, 则 f ( ) d 是 [B] (A) 连续的奇函数 (C) 在 = 间断的奇函数 (B) 连续的偶函数 (D) 在 = 间断的偶函数 + g( ) (9) 设函数 g( ) 可微, h( ) = e, h () =, g () =, 则 g() 等于 [C] (A) ln (B) ln (C) ln (D) ln h ( ) g ( ) e +g ( ) =, = () e +g () 函数 = c e + c + e 满足的一个微分方程是 [D] (A) = e (B) = e (C) + = e (D) + = e 特征根为和 -, 故特征方程为 ( λ )( λ + ) = () 设 f (, ) 为连续函数, 则 π 4 dθ f ( r cos θ, r sin θ ) rdγ 等于 [C] (A) d f (, ) d (B) d f (, ) d (C) d f (, ) d (D) d f (, ) d () 设 f (, ) 与 ϕ(, ) 均为可微函数, 且 ϕ (, ), 已知 (, ) 是 f (, ) 在约束条件 ϕ (, ) = 下的一个极值点, 下列选项正确的是 [D] (A) 若 f (, ) =, 则 f (, ) = 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

7 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com (B) 若 f (, ) =, 则 f (, ) (C) 若 f (, ), 则 f (, ) = (D) 若 f (, ), 则 f (, ) 令 F = f (, ) + λϕ(, ) F = f (, ) + λϕ (, ) = () F = f (, ) + λϕ (, ) = () F λ = ϕ(, ) = 今 ϕ (, ), λ = ϕ f (, ) 代入 () 得 (, ) f (, ) = f (, ) ϕ (, ) ϕ (, ) f (, ), f (, ) ϕ (, ) 则 f (, ) 故选 [D] 今您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

8 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 三解答题 (5) 试确定 A,B,C 的常数值, 使 e ( + B + C ) = + A + o( ) 其中 o( ) 是当时比的高阶无穷小. 解 : 泰勒公式 e = o( ) 代入已知等式得 6 6 [ o( )][ + B + C ] = + A + o( ) 整理得 B 6 + ( B + ) + ( C + B + ) + + C + + o( ) = + A + o( ) 比较两边同次幂函数得 B+=A C+B+ = B + C + = 6 式 - 得 B + = 则 B = 代入得 A = 代入得 C = 6 (6) 求 arcsin e d e arcsin e arcsin 解 : 原式 = de 令 e = d ( e ) arcsin d = arcsin d( ) = + arcsin d arcsin ( udu) u u u = + 令 = = + arcsin = + du u ( ) 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

9 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com arcsin u = + ln + C u + arcsin e arcsin e e d ln e e e + = + + C (7) 设区域 D = {(, ) +, } + 计算二重积分 I = dd + + D 解 : 用极坐标系 dd = + + D π π r π π ln( ) ln + r I = dθ dr = + r = (8) 设数列 { n } 满足 < < π, = n sin n( n = +,,, ) 证明 :() lim n+ 存在, 并求极限 n n () 计算 lim n + n n 证 :() = sin, <, 因此 n = + 单调减少有下界 ( n ) sin,{ } n n n n 根据准则, lim n n = A 存在在 = + sin 两边取极限得 A = sin A A = n 因此 lim n + = n n sin n n () 原式 = lim 为 " " 型 n n 离散散不能直接用洛必达法则先考虑 sin lim = e sin lim ln 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

10 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 用洛必达法则 = e ( cos sin ) lim i i sin + ( ) + ( ) cos sin 6 lim lim e = e = + + ( ) 6 lim 6 = e = e (9) 证明 : 当 < a < b < π 时, bsin b + cos b + πb > asin a + cos a + π a 证 : 令 f ( ) = sin + cos + π 只需证明 < a < < π时, f ( ) 单调增加 ( 严格 ) f ( ) = sin + cos sin + π = cos sin + π f ( ) = cos sin cos = sin < f ( ) 单调减少 ( 严格 ) 又 f ( π ) = π cosπ + π = 故 < a < < π 时 f ( ) > 则 f ( ) 单调增加 ( 严格 ) 由 b > a则 f ( b) > f ( a) 得证 () 设函数 f ( u ) (, + ) 在内具有二阶导数, 且 Z f ( ) = + 满足等式 z (I) 验证 z + = f ( u) f ( u) + = u (II) 若 f () =, f () = 求函数 f ( u ) 的表达式证 :(I) = f ( ) ( ) + ; = f + z z + + 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

11 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com ( ) ( ) ( ) ( ) z = f + + f ( ) ( ) ( ) ( ) z = f + + f ( ) z z f ( + ) 代入方程 + = 得 f + + = + f ( u) f ( u) + = 成立 u (II) 令 f ( u) = p, 则 dp = p ; dp du c, p c du u = + = p u u f () =, c =, f ( u) = ln u + c, 由 f () =, c = f ( u) = ln u = + () 已知曲线 L 的方程 = 4 (I) 讨论 L 的凹凸性 ( ) (II) 过点 (,) 引 L 的切线, 求切点 (, ), 并写出切线的方程 (III) 求此切线与 L( 对应部分 ) 及轴所围的平面图形的面积 4 解 :(I) d, d 4, d = = = = d d d d d d = = ( ) d d d = < > 处 d d 曲线 L( 在 > 处 ) 是凸 (II) 切线方程为 = ( + ), 设 = +, = 4, 则 4 = ( + ),4 = ( )( + ) 得 + =,( )( + ) = > = 点为 (,), 切线方程为 = + 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

12 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com (III) 设 L 的方程 = g( ) 则 = ( ( ) ( ) ) S g d ( ) 4 + = 解出 = ± 4 得 = ± 4 + = 得 = 可知 = 4 + = g( ) 由于 (,) 在 L 上, 由 ( ) ( ) S = ( ) d = ( ) d 4 4 d = ( ) d(4 ) = + 4 (4 ) 8 64 = + = 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

13 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 线代 (6) 设 A=, 阶矩阵 B 满足 BA=B +E, 则 B =. - 解 : 由 BA=B +E 化得 B(A-E)=E, 两边取行列式, 得 B A-E = E =4, 计算出 A-E =, 因此 B =. () 设 α,α,,αs 都是 n 维向量,A 是 m n 矩阵, 则 ( ) 成立. (A) 若 α,α,,αs 线性相关, 则 Aα,Aα,,Aαs 线性相关. (B) 若 α,α,,αs 线性相关, 则 Aα,Aα,,Aαs 线性无关. (C) 若 α,α,,αs 线性无关, 则 Aα,Aα,,Aαs 线性相关. (D) 若 α,α,,αs 线性无关, 则 Aα,Aα,,Aαs 线性无关. 解 : (A) 本题考的是线性相关性的判断问题, 可以用定义解. 若 α,α,,αs 线性相关, 则存在不全为的数 c,c,,cs 使得 cα+cα+ +csαs=, 用 A 左乘等式两边, 得 caα+caα+ +csaαs=, 于是 Aα,Aα,,Aαs 线性相关. 如果用秩来解, 则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是 :. α,α,,αs 线性无关 r(α,α,,αs )=s.. r(ab) r(b). 矩阵 (Aα,Aα,,Aαs)=A( α, α,,αs ), 因此 r(aα,aα,,aαs) r(α, α,,αs ). 由此马上可判断答案应该为 (A). (4) 设 A 是阶矩阵, 将 A 的第列加到第列上得 B, 将 B 的第列的 - 倍加到第列上得 C. 记 P=, 则 (A) C=P - AP. (B) C=PAP -. (C) C=P T AP. (D) C=PAP T. 解 : (B) 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B=PA, - C=B =BP - = PAP -. () 已知非齐次线性方程组 +++4=-, =-, a+++b4= 有个线性无关的解. 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

14 考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为. 求 a,b 的值和方程组的通解. 解 : 设 α,α,α 是方程组的个线性无关的解, 则 α-α,α-α 是 AX= 的两个线性无关的解. 于是 AX= 的基础解系中解的个数不少于, 即 4-r(A), 从而 r(a). 又因为 A 的行向量是两两线性无关的, 所以 r(a). 两个不等式说明 r(a)=. 对方程组的增广矩阵作初等行变换 : - - (A β)= , a b 4-a 4a+b-5 4-a 由 r(a)=, 得出 a=,b=-. 代入后继续作初等行变换 : 得同解方程组 =-+44, =-+-54, 求出一个特解 (,-,,) T 和 AX= 的基础解系 (-,,,) T,(4,-5,,) T. 得到方程组的通解 : (,-,,) T +c(-,,,) T +c(4,-5,,) T, c,c 任意. () 设阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为, 向量 α=(-,,-) T, α=(,-,) T 都是齐次线性方程组 AX= 的解. 求 A 的特征值和特征向量. 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ, 使得 Q T AQ=Λ. 解 : 条件说明 A(,,) T =(,,) T, 即 α=(,,) T 是 A 的特征向量, 特征值为. 又 α,α 都是 AX= 的解说明它们也都是 A 的特征向量, 特征值为. 由于 α,α 线性无关, 特征值的重数大于. 于是 A 的特征值为,,. 属于的特征向量 :cα, c. 属于的特征向量 :cα+cα, c,c 不都为. 将 α 单位化, 得 η=(,, ) T. 对 α,α 作施密特正交化, 的 η=(,-, ) T, η=(- 6, 6 6, 6 6 ) T. 作 Q=(η,η,η), 则 Q 是正交矩阵, 并且 Q T AQ=Q - AQ=. 您所下载的资料来源于 kaoan.com 考研资料下载中心

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于