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1 数域定义 第一章多项式一 内容提要. 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域.. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中. 一元多项式,,,, 属于数域 F, 称为数域 F 上的一元多项式.. 多项式的运算 () 加法设 = = f ( ) = =, g( ) = b b b = b, ( 如果二者的次数不相等, 则可以在次数小的前面加一些系数为零的项 ), 定义 f ( ) 与 g ( ) 的加法为 = = ( b ) ( b ) ( b ) ( b), 记作 f ( ) g( ), 称为 f ( ) 与 g ( ) 的和. () 数乘 设 f ( ) =, c F. 定义数 c 与多项式 f ( ) 的乘法为, c c c () 乘法设 定义它们的乘法为 f ( ) =, m g ( ) = b b b, m m m - -

2 b ( b b ) b ( b b) b m m k m m m j j= k 记作 f ( g, ) ( ) 称为 f ( ) 与 g ( ) 的积.. 定理若 f ( ), g( ) F [ ], 则. 整除定义 ( f( ) g( )) = f( ) g( ), ( f ( ) g( )) m( f( ), g( )).. 整除的概念 设 f ( ), g( ) F [ ], 若存在 h ( ) F [ ], 使得 则称 g ( ) 整除, 记作 g ( ) f( ).. 整除性质 设 f( ), g( ), h( ) F[ ], c F, 则 f ( ) f( ); c f( ); f ( ) = g( ) h( ), 若 f ( ) g( ), g( ) h( ), 则 f ( ) h( ); 若 f ( ) g( ), g( ) f( ), 则 f ( ) = cg( ), 其中 c 为非零常数 ; 若 f ( ) g ( ), =,,, r, 则 f ( ) ( u( g ) ( ) u( g ) ( ) u( g ) ( )), r r 其中 u ( ), =,,, r, 是数域 F 上的任意多项式.. 带余除法 对于任意两个多项式 f ( ), g( ) F [ ], 其中 g ( ), 一定存在 F [ ] q ( ), r ( ) 使得 中的多项式 f ( ) = q( ) g( ) r( ) (..) 成立, 其中 r ( ) < g ( ) 或者 r= ( ), 并且这样的 q ( ), r ( ) 是唯一的. q ( ) 称为 - -

3 g ( ) 除 f ( ) 的商式, r ( ) 称为 g ( ) 除 f ( ) 的余式.. 最大公因式定义.4 最大公因式 设 f ( ), g( ) 是 F [ ] 中的任意两个多项式, F [ ] 中的多项式 d( ) 称为 f ( ), g( ) 的 最大公因式, 如果它满足下面两个条件 : ) d( ) 是 f ( ), g( ) 的一个公因式 ; ) f ( ), g( ) 的任一公因式是 d( ) 的因式.. 引理 相同.. 定理 如果等式 f ( ) = q( ) g( ) r( ) 成立, 则 f ( ), g( ) 的公因式与 g ( ), r ( ) 的公因式 对于 F [ ] 中的任意两个不全为 多项式 f ( ), g( ), 在 F [ ] 中, 它们有最大公因式 d( ), 且 d( ) 可以表示成 f ( ), g( ) 的一个组合, 即有 F [ ] 中多项式 u ( ), v ( ) 使 4. 互素定义 5. 定理 使得 6. 推论 d ( ) = u ( ) f( ) vg ( ) ( ). 设 f ( ), g( ) F [ ], 若 ( f( ), g( )) =, 则称 f ( ) 与 g ( ) 互素. 设 f ( ), g( ) F [ ], 则 f ( ) 与 g ( ) 互素的充分必要条件是存在多项式 u ( ) 和 v ( ) = u ( ) f( ) vg ( ) ( ). () 设 f( ) g( ), f( ) g( ), 且 ( f( ), f( )) =, 则 f( ) f( ) g( ). () 若 ( f( ), g( )) =, 且 f ( ) g( ) h( ), 则 f ( ) h( ). () 若 ( f ( ), g( )) = d( ), f( ) = d( ) f( ), g( ) = d( ) g( ), 则 ( f( ), g( )) =. (4) 设 ( f ( ), g( )) = d( ) 且 h ( ) 是首项系数为 的多项式, 则 ( f ( h ) ( ), gh ( ) ( )) = d( h ) ( ). (5) 若 ( f( ), g( )) =,( f( ), g( )) =, 则 ( f( ), g( ) g( )) =. - -

4 .5 因式分解定理.( 不 ) 可约多项式定义 设 f ( ) 是数域 F 上次数大于零的多项式, 如果 f ( ) 可以分解成两个次数比它低的数域 F 上多项式的乘积, 则称 f ( ) 为数域 F 上的可约多项式 ; 否则称为数域 F 上的不可约多项 式.. 定理 者 若 p( ) 是数域 F 上的不可约多项式, f ( ), g( ) F [ ], 且 p( ) f( ), 或者 p( ) g( ). p( ) f( ) g( ), 则或. 推论设 p( ) p( ) f 是不可约多项式, 且 ( ) f( ) fm( ), 则 p( ) 必整除其中之一. 4. 定理 是 设 若 f ( ) 是数域 F 上次数大于零的多项式, 则 f ( ) 的两个不可约分解, 即 且经过适当调换因式的顺序后, 有 s f ( ) 可分解为 F 上不可约多项式的乘积 ; f ( ) = p ( ) p ( ) p ( ) = q ( ) q ( ) q ( ) p( ), qj( ) 都是 F 上次数大于零的不可约多项式, 则 s p( ) = cq ( ), =,,, s, t t =, 其中 c 是 F 中的非零数. 5. 重因式定义 k 不可约多项式 p( ) 称为多项式 f ( ) 的 k 重因式, 如果 p ( ) f( ), 而 k p ( ) / f( ). 当 k = 时, p( ) 可能不是 f ( ) 的因式 ; 当 k = 时, p( ) 称为 f ( ) 的 单因式 ; 当 k 时, p( ) 称为 f ( ) 的重因式. 6. 定理 7. 推论 如果不可约多项式 p( ) 是 f ( ) 的 k 重因式 ( k ), 那么它是 f '( ) 的 k 重因式. () 如果不可约多项式 p( ) 是 f ( ) 的 k 重因式 ( k ), 那么 p( ) 是 f f f ( k ) ( ), '( ),, ( ) 的因式, 但不是 ( k f ) ( ) 的因式

5 () 不可约多项式 p( ) 是 f ( ) 的重因式的充分必要条件为 p( ) 是 f ( ) f '( ) 的公因式. () 多项式 f ( ) 没有重因式的充分必要条件是 ( f( ), f '( )) =.. 多项式函数定义设.6 多项式函数 f ( ) = 是 F [ ] 中的多项式, 其中记号 表示在 F 取值的变量. α 是 F 中的数, 在 (.6.) 中用 α 替代 所得的数 f ( α) = α α 称为 f ( ) 在 = α 的值, 记作 f ( α ). 如果 f ( ) 在 = α 时函数值 f ( α ) =, 那么 = α 称 为 f ( ) 的一个根或零点. 由上述确定的函数称为数域 F 上的多项式函数..( 余数定理 ) 用一次多项式 α 去除多项式 f ( ), 所得的余式是一个常数, 这个常数等于函数值 f ( α ).. 推论 = α 是 f ( ) 的根的充分必要条件是 ( α) f( ). 4. 定理 5. 定理 F [ ] 中的 次多项式 ( ) 在数域 F 中的根不可能多于 个, 重根按重数计算. 如果多项式 f ( ), g( ) 的次数都不超过, 而它们对 个不同的数 α, α,, α 有 相同的值, 即 那么 f ( ) = g( ).. 代数基本定理 f ( α ) = g( α ), =,,,,.7 复系数与实系数多项式的因式分解 - 5 -

6 每个次数大于或等于 的复系数多项式在复数域中有根, 即, 每个次数大于或等于 的复系数多项式在复数域上一定有一次因式.. 复系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此, 复系数多项式标准分解式 f( ) = ( α ) ( α ) ( α ) ls, l l s α, α,, αs 是不同的复数, l, l,, l s 是正整数. 其中. 实系数多项式因式分解定理 每个次数大于或等于 的实系数多项式 f ( ) 在实数域上都可以唯一地分解成一次因式 与二次不可约因式的乘积. 因此, 实系数多项式 f ( ) 的标准分解式 f( ) = ( c ) ( c ) ( p q ) ( p q ), l l k k s r s r r c, c, p, p, q, q 全是实数, l,, ls, k,, kr 是正整数, 并且 其中 s r r p q r ( =,,, ) 在实数域上是不可约的.. 本原多项式的定义如果一个非零整系数多项式.8 有理系数多项式 g ( ) = b b b 的系数 b, b,, b没有异于 ± 的公因子, 也就是说, 它们是互素的, 就称为一个本原多项 式.. 高斯引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式.. 定理如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, 那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. 推论 设 f ( ), g( ) 是整系数多项式, 且 g ( ) 是本原的. 如果 f ( ) = g( ) h( ), 其中 h ( ) 是有理系数多项式, 那么 h ( ) 一定是整系数的. 5. 定理设 f ( ) = - 6 -

7 是一个整系数多项式, 而 r 是它的一个有理根, 其中 rs, 互素, 那么必有 s, r. 特 s 别地, 如果 f ( ) 的首项系数 =, 那么 f ( ) 的有理根都是整数根, 而且是 的因数. 6. 定理 ( 艾森斯坦因判别法 ) 设 f ( ) = 是一个整系数多项式. 如果有一个素数 p 使得. p / ; p,,, ;. p /,. 那么 f ( ) 在有理数域上是不可约的.. 多元多项式的定义.9 多元多项式 k k 设 F 是一个数域,,,, 是 个文字, 符号 k 称为关于文字,,, 的单项式, 其中 F, k, k,, k 是非负整数. 如果两个单项式中每一个文 k k 字的指数对应都相等, 则称它们为同类项. 有限个单项式的和,,, 的多元多项式. 称为. 定理 当 k, k,, k k, k,, k f(,, ), g(,, ) 时, 乘积 f (,, ) g(,, ) 的首项 等于它们首项的乘积., 推论 () 有限个非零多元多项式的首项等于各多项式首项的乘积. () 非零多元多项式的乘积也不等于零.. 对称多项式. 对称多项式的定义在 元多项式 ( f,,, ) 中, 如果对任意两个, j( < j ), 都有 k ( f,,,,,, ) = ( f,,,,,, ), 那么这个多项式称为对称多项式. j j - 7 -

8 . 定理对于任意一个 元对称多项式 ( f,,, ), 都有一个 元多项式 ( φ y, y,, y) 使得 ( f,,, ) = φ( σ, σ,, σ ). 二 训练题 一 填空题. 一个数域所含元素的个数是. 当两个多项式满足条件 时, 才有最大公因式 ; 它们的最大公因式与它们的公因式之间的关系是. 对于任意正整数 存在有理数域上不可约的 次多项式吗, 如果存在请举例 ; 如果不存在请说明 4. 实数域上不可约多项式的次数是 ; 如果多项式有一个非实数的复数根, 则它有另外一个与之相伴的根, 它们的关系是 5. 当, 多项式 f ( ) = t 有重根? 6. 4 如果 ( ) A B, 则 A=, B= 7. r 如果整系数多项式有既约分数根 s, 则有理根的分子和分母与首系数和常数项的关系是 8. 多项式 f ( ) = 的有理根是 9. 设 f ( ) = b, g( ) =, 若用 g ( ) 除 f ( ) 的余式为 6, 则 =, b=. 如果 b c, 则 bc,, 满足条件 二 选择题. 如果多项式 f ( ) g( ), 则 ( ) (A) f ( ) 是非零多项式 ; (B) f ( ) 和 g ( ) 均是非零多项式 ; (C) f ( ) 和 g ( ) 均是非零多项式 ; (D) g ( ) 的因式均是 f ( ) 的因式. 如果两个多项式互素, 则 ( ) (A) 它们的最大公因式是常数 ; (B) 它们的最大公因式是 ; (C) 它们的最大公因式是非零常数 ; (D) 它们的最大公因式只有 ±. 下面陈述正确的是 ( ) (A) 如果 r 是多项式 f ( ) 的微商 f '( ) 的二重根, 则 r 是 f ( ) 的单根 ; - 8 -

9 (B) 如果 r 是多项式 f ( ) 和微商 f '( ) 的根, 则 r 是 f ( ) 的重根 ; (C) r 是 f ( ) 的根的充分必要条件是 r 是 f ( ) 的一次因式 ; (D) 多项式 f ( ) 没有重因式的充分必要条件是 f ( ) 与 f '( ) 的互素 4. 对于一个数域 F 上的 次多项式 f( )( ), 下面结论不成立的是 ( ) (A) 在复数域中一定有根 ; (B) f ( ) 在 F [ ] 中一定有一次因式 ; (C) 它的根的个数不超过 ; (D) f ( ) 在复数域上一定有一次因式 5. 设 f ( ) 是一个多项式, f '( ) 是它的微商, = 是 f ( ) 的根, 则 ( ) (A) (C) = 是 f ( ) 的重根 ; (B) = 不一定是 f ( ) 的根 ; = 不是 f ( ) 的根 ; (D) 是 f ( ) 的重因式 6. 设 f ( ), g( ) 是有理系数多项式, 则下面陈述正确的是 ( ) (A) 如果它们在有理数域上互素, 则它们在实数域上也互素 ; (B) 如果它们在实数域上互素, 则它们在有理数域上也互素 ; (C) 如果在有理数域上 f ( ) g( ), 则在实数域上也有 f ( ) g( ); (D) 如果在实数域上 f ( ) g( ), 则在有理数域上也有 f ( ) g( ) 7. 设 F 是数域, f ( ), g( ) F [ ] 并且 f( ), 则在下面的命题中 ( ) 不是 f ( ) g( ) 的充分必要条件 k k (A) 对任意的正整数 k, f ( ) g ( ); (B) 用 f ( ) 除 g ( ), 余式为零 ; (C) f ( ) 是 f ( ) 与 g ( ) 的一个最大公因式 ; (D) f ( ) 的不可约因式一定是 g ( ) 的因式 8. 本原多项式对下面运算 ( ) 不是封闭的 (A) 多项式的乘法 ; (B) 多项式加法 ; (C) 取整系数因式 ; (D) 取负多项 式 9. 设 f ( ) 是整系数多项式, 则下面命题正确的是 ( ) (A) f ( ) 有有理根的充分必要条件是 f ( ) 在有理数域上可约 ; - 9 -

10 (B) 若既约分数 p q 是 f ( ) 的根, 则 q 整除 f ( ) 的常数项 ; (C) 若 p 是素数且能整除 f ( ) 的除首项外的所有项系数, 则 f ( ) 在有理数上不可约 ; (D) 若 f ( ) 有重因式, 则它在有理数上必有重根. 若 ( f( ), g( )) =,( f( ), h( )) =, 则下列多项式不一定互素的是 ( ) (A) f ( ), f( ) g( ) (B) f ( ), h( ) g( ) (C) f ( ), h( ) g( ) (D) f ( g ) ( ), f( ) g ( ) 三 计算题 f, g ( ) = 求 ( f (), g (). 设多项式 ( ) = 5 6 求 u ( ), v ( ) 使得 ( f ( ), g ( )) = u ( ) f( ) vg ( ) ( ). 求以 为根的最小有理系数多项式 ), 并且 5 4. 求多项式 的有理根, 并写出它在有理数域上的标准分解式 4. 用初等对称多项式表示对称多项式 ( )( )( ) 四 证明题. 证明 : 如果 d ( ) u( ) f ( ) v( ) g( ) =, 则 d () 是 f () 与 g () 式当且仅当 d ( ) f ( ), d( ) g( ) 的最大公因. 证明 : 如果 ( f ( ), g( )) = p( ) 是一个不可约多项式, 那么存在正整数 k 使得 k ( f ( g ) ( ), f( ) g ( )) = p( ). 设 f ( ), g( ) 是实数域上的多项式且 f ( ) 和 g ( ) 在复数域上无公共根 证明 : ( f( ), g( )) = 4. 设 F 是数域, f ( ), g( ) F [ ] 证明: 如果 g ( ) f ( ), 则 g ( ) f( ) 5. 设 F, F 是数域, 且 F F, f ( ), g( ) F [ ] 证明: () 如果在 F [ ] 中有 g ( ) f( ), 则在 F [ ] 中也有 g ( ) f( ) () f ( ) 和 g ( ) 在 F [ ] 中互素当且仅当 f ( ) 和 g ( ) 在 F [ ] 中互素 - -

11 () 设 f ( ) 是数域 F 上的不可约多项式, 则 f ( ) 的根都是单根 6. 设次数大于 的有理系数不可约多项式 p( ) 有一个实根 α 证明: 对于任意的有理数 β, 存在有理系数多项式 u ( ) 使得 ( α) = d 7. 证明 : 当且仅当 d u αβ 8. 证明 : 多项式 5 f ( ) = 5 在有理数域上不可约 9. 设 α, α,, α 是不同的整数 证明多项式 f( ) = ( α )( α ) ( α ) 在有理数域上是不可约的或者是某个多项式的平方. 设 F 是数域, f ( ) F [ ], 其首系数为, 次数为, f '( ) 是其微商 证明 : f '( ) f( ) 当且仅当存在 b F 使得 f ( ) = ( b) - -

12 第二章行列式. 引言 一 内容提要. 二阶行列式 c b d = d bc. 三阶行列式 =. 排列与逆序. 排列的定义由 个自然数,,, 组成的一个有序数组称为一个 级排列, 记作 j j j. 其中 j k 称为该排列的第 k 个元素.. 排列的逆序数定义 在一个 级排列 j j j j j s t 中, 如果 s t j > j ( 即排在前面的数 j s 比排在后面的 数 j t 大 ), 则称 j s 与 j t 构成该排列的一个逆序, 记作 js j t. 排列 j j j 中逆序的总数称 为排列的逆序数, 记作 τ j j j ). ( 逆序数是非负整数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列 ; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.. 定理 对换改变排列的奇偶性 4. 推论 () 任何一个奇 ( 偶 ) 排列可经过奇 ( 偶 ) 数次对换变成自然排列. () 在! 个 > ( ) 级排列中, 奇偶排列各半.. 行列式的定义 由 个元素 j (, j,,, ). 阶行列式的定义 = 排列成的数学符号 - -

13 称为 阶行列式. 它表示一个数, 这个数是! 项的代数和, 每一项是取自行列式不同行不 同列的 个元素的乘积, 每一项的 个元素按行指标构成自然排列时, 由列指标构成的排列的奇偶性来确定该项的符号 : 当列指标构成的排列是偶排列时, 该项取正号 ; 当列指标构成的排列是奇排列时, 该项取负号, 即 τ ( ) ( jj ) j = j j j jj j, 其中 j j j 为 级排列,. 几种特殊的行列式 () 下三角行列式 () 上三角行列式 () 对角行列式 j j j 表示对所有 级排列求和. D= = = (4) 反对角行列式, = = ( ) ( ).4 行列式的性质与计算.,, - -

14 . 行列式的性质 () D = D. () 行列式的任一行 ( 列 ) 中各元素的公因子可提到行列式符号的外面. () 若行列式中有一行 ( 列 ) 的元素全为零, 则行列式的值为零. (4) 如果行列式中有一行 ( 列 ) 元素都是两个数的和, 则该行列式可以拆成两个行列式的和. (5) 如果行列式有两行 ( 列 ) 相同, 那么行列式为零. 所谓两行相同就是说两行对应元素相等. (6) 如果行列式中两行 ( 列 ) 成比例, 那么行列式为零. (7) 把一行的倍数加到另一行, 行列式不变. (8) 对换行列式中的两行 ( 列 ), 行列式变号.. 行列式按某行 ( 列 ) 展开 () 定义在 阶行列式 D j = j j 中, 划去元素 所在的第 行和第 j 列, 剩下的元素按原来的顺序构成一个 阶行列式, 称为元素 的余子式, 记作 j j j M j ; 称 ( ) M j 为元素 j 的代数余子式, 记作 j ( ) j A j = M. A j, 即 () 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 阶行列式 D 的值等于它的任意一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子式的乘积之和, 即 D = A A A, ( =,,, ) 或 D = j Aj j A j j Aj, ( j =,,, ) 阶行列式 D 的任一行 ( 列 ) 元素与另一行 ( 列 ) 对应元素的代数余子式的乘积之和等于零, 即 或 A A A ( s), s s s = A A A ( j t). j t j t j t =.5 克兰姆 (Crmer) 法则 - 4 -

15 . 定理 ( Crmer 法则 ) 如果线性方程的系数组成的行列式 = b = b = b D = 那么线性方程组 (.5.) 有解, 且解是唯一的, 并可以通过系数表示为 D D D =, =,, =, D D D 其中 b, j, j, j b, j Dj =, j =,,,. b, j, j. 关于齐次线性方程组解的定理如果齐次线性方程组 = = = 的系数行列式 D, 那么它只有零解. 换句话说, 如果方程组 (.5.5) 有非零解, 那么必有 D =..6 拉普拉斯 (Lplce) 定理行列式的乘法规则. 余子式定义 在一个 阶行列式 D 中任意选定 k 行 k 列, 位于这些行和列交点上的 k 个元素按原来的顺序组成的一个 k 阶行列式 M 称为行列式 D 的一个 k 阶子式. 在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的顺序组成的 k 阶行列式 M ' 称为 M 的余子式.. 代数余子式定义设 D 的 k 阶子式 M 在 D 中所在的行 列指标分别是,,, k; j, j,, jk. 则 M 的余子式 M ' 前面加上符号 - 5 -

16 ( k ) ( j j jk ) ( ) 后, 称为 M 的代数余子式.. 引理行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项, 而且符号也一致. 4. 定理 ( 拉普拉斯定理 ) 设在行列式中任意取定了 k 行. 由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子式分别与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D. 一 填空题 二 训练题. 当 j =, k = 时,8 元排列 j5k 68 为偶排列. 排列 ( k )( k ) ( k)(k) k( k) 的逆序数是. 行列式的一行元素乘以它们的代数余子式之和等于 ; 行列式一行元素乘以另一行对应元素之和等于 4. 若在 阶行列式中等于零的元素的个数超过 个, 则这个行列式的值等于 ( ) 5. 如果一个 阶行列式中, 有一个 阶子式元素全为零, 则该行列式的值为 ( ) 6. 若行列式 =, 则 = ( ) 7. 排列 4 5的逆序数是, 排列 5 4 的逆序数是 ( ) 8. 阶行列式 D 的值为 c, 若将 D 的第一列移到最后一列, 其余各列依次保持原来的次序向左移动, 则得到的行列式值为 ( ) 9. 设 阶行列式 D 的值为 c, 将 D 的每个元素 j 换成 ( ) j j, 则得到的行列式的值为 ( ). 已知 阶行列式 D = b, b,, b 为常数, 若 D= c, 则, D = b bb bb b b b b b b b b b b 的值为 ( ) - 6 -

17 二 选择题. 阶行列式等于零的充分必要条件是 ( ) (A) 两行 ( 列 ) 元素对应成比例 ; (B) 经初等变换化成上三角行列式后, 最后一行的元素全为零 ; (C) A 中有一行元素全为零 ; (D) 必有一行是另一行的倍数. 若行列式 =, 则 = ( ) (A) -; (B) ; (C) - (D). 阶行列式 的值 ( ) (A) ( ) ; (B) ( ) ( ) ; (C) ( ) ( ) ; (D) 4. 设 A j 是行列式 A 的元素 j (, j =,,, ) 的代数余子式, 当 j 错误的是 ( ) (A) 时, 下式各式中 A = Aj Aj Aj ; (B) A = A A A ; A = j A j A j Aj; (D) = Aj Aj Aj (C) 5. 行列式 b c 的值等于 ( ) d e f (A) bcdef ; (B) bdf ; (C) bdf ; (D) cdf 6. 如果行列式 = d, 则 = ( ) (A) 6d ; (B) 6d ; (C) 4d ; (D) 4d 三 计算题 - 7 -

18 5. 计算行列式 b b b b b b 6. 计算行列式 b b b 7. 计算行列式 k k k 8. 记 sk =,( 例如 s =, s = ) 计算行列式 s s s s s s s s s s s s 4 s s s s 四 证明题. 设行列式 D = 证明: 若 = (, j ), 且 为奇数, 则 D = j j. 设 P ( ) =, 其中,,, 是互异的数 说明 : P ( ) 是 次多项式, 并且,,, 是它的全部根. 已知 f ( ), g( ), h( ) 在 [ b, ] 上连续可导 证明 : 存在一点 c [, b] 使得 - 8 -

19 f( ) g( ) h( ) f( b) g( b) h( b) = f '( c) g'( c) h'( c) 4. 证明 : 设多项式 f ( ) = 有 个互异的零点, f( ) = 5. 设,,, 互不相同 证明 : 下列线性方程组有唯一解 : 并求解 = = b = b = b 6. 若对任意的 阶行列式 D 存在从 阶行列式集合到数集的映射 f, 满足下列条件 : () 若 D 是对角行列式且主对角元素全是, 则 f ( D) =; () 将 D 的任意两列对换得到 D, 则 f ( D) = f( D) ; () 将 D 的任意一列乘以 k 得到 D, 则 f ( D) = kf( D) ; (4) 若 D 的第 列可表示为另外两个行列式 D 和 D 的第 列的和, 而 D 和 D 其他 列与 D 的列完全相同, 则 f ( D) = f( D) f( D) 求证 : f ( D ) 就是行列式的值 - 9 -

20 . 矩阵的定义 第三章矩阵 一 主要内容.-. 矩阵的概念与运算 定义.- 对任意正整数 m,, 由数域 F 中 m 个数, =, m; j =,, 排成 m 行 列所得的数表称为 F 上的 m 矩阵 :. 矩阵的运算 () 矩阵的加减法 m m m 定义.- 设有两个 m 矩阵 A ( j ) 矩阵且其第 (, ) () 矩阵与数的乘法 = B ( bj ) m m j 元素等于 j bj, 即 A B= ( j bj ) m b b b b b b = m bm m bm m bm 定义.- 对任意正整数 m,, λ 相乘得到一个 m 矩阵 A jλ ), 即 () 矩阵的乘法 定义.- 对任意正整数,, 可以相乘, 乘积 AB 是一个 m p矩阵 j =, 定义 A B 是一个 m F m 中任意一个矩阵 A = ( j ) m λ ( 或 Aλ ), 称为左乘 ( 右乘 ). 它的第 (, ) ( j ) ( j ) λa= λ = λ m m m p, 任意的矩阵 A = ( j ) AB = ( cj ) m p m 与 F 中任意一个数 j 元素等于 λ ( 或 m p F 和 ( ) j p j B= b F - -

21 它的第 (, j ) 元素为 (4) 矩阵的转置 c = b = b b b j k kj j j j k = 定义.-4 设 A= ( j ) 是一个 m 矩阵, 定义 A 的转置 A 为一个 第 k 行是 A 的第 k 列 ( k =,,, ) ; 它的第 r 列是 A 的第 r 行 ( r =,, m).. 矩阵的逆. 定义定义.- 对于 阶方阵 A, 若存在一个 阶方阵 B, 使得 AB = BA = E, m矩阵, 它的 则称 A 是可逆的或非奇异的, 并且称 B 是其逆矩阵, 记为 定义.- 设 A j 是矩阵 中元素 j 的代数余子式, 矩阵 A A = A. A A A A A A A A A = 称为矩阵 A 的伴随矩阵.. 定理定理.- 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 为非退化的, 且 A = A. A.4 初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换. 对换变换将矩阵某两行 ( 列 ) 互换位置 ;. 倍乘变换用一个非零数去乘矩阵某一行 ( 列 ) 上所有的元素 ; - -

22 . 倍加变换将矩阵某一行 ( 列 ) 的若干倍加到另一行 ( 列 ) 上. 上述三种变换分别称为第一 二 三类初等变换, 统称为矩阵的初等变换. 若是行的变换, 则称之为初等行变换 ; 关于列的变换, 称为初等列变换.. 定理定理.4- 任意一个 m 矩阵 A 都可通过有限次初等行变换和初等列变换化为下面形式的 m 矩阵 :, 上面矩阵中前 r 行及前 r 列交点处有 r 个, 其余元素皆为零, 它称为 A 的标准形, 即任一 m 矩阵均与一个主对角线上元素等于 或 而其余元素均为 的 m 矩阵等价. 后者称为前者的标准形. 矩阵与其标准形等价. 定理.4- 对一个 m 矩阵 A 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘上相应的 m m初等矩阵 ( 即第一 二 三类初等变换分别相应于第一 二 三类初等矩阵 ); 对 A 施行一次初等列变换相当于在 A 的右边乘上相应的 的初等矩阵. 二 训练题一 选择题. 若 A 和 B 都是 m 矩阵, 则下列命题正确的是 : A. AB 和 AB 都有定义 B. AB 和 AB 都有定义 C. AB 和 AB 都有定义 D. AB 和 BA 都有定义. A 是 m 矩阵, 是 t 矩阵, 若 A 的第 行元素全为零, 则下列结论正确的是 (): A. AB 的第 行元素全为零 C. AB 的第 列元素全为零. A, BC, 都是 阶矩阵, 则下列结论正确的是 (): A. 若 A 是可逆矩阵, 则由 AB = AC 可推出 BA= CA B. 若 A 是可逆矩阵, 则有 AB = BA C. 若 A O, 则从 AB = AC 可推出 B = C D. 若 B C, 则必有 AB AC 4. 下列结论正确的是 (): A. 若 A 和 B 是可逆矩阵, 则 AB 可逆且 ( AB) B. BA 的第 行元素全为零 D. BA 的第 列元素全为零 = A B - -

23 B. 若 A 是可逆矩阵且 AB = BA, 则 BA C. 若 A 可逆且 r,, 则 ( ra) = ra = A B D. 若 AB= I, 则 A 可逆 5. 下列结论错误的是 (): A. 若干个初等矩阵的积必是可逆矩阵 B. 可逆 矩阵之和未必是可逆矩阵 C. 两个初等矩阵的积仍是初等矩阵 D. 可逆阵必是有限个初等矩阵的积 6 下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是 A. 若 A 是可逆矩阵, 则 A 与 A 的乘法可交换 B. 可逆矩阵必与初等矩阵乘法可交换 C. 初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换 D. 任一 阶矩阵与同阶的数量矩阵的乘法可交换 7. A 是可逆矩阵, 则 ( ) 成立 A. A 和任一同阶矩阵之积必是可逆矩阵 B. 若 B 是同阶初等矩阵, 则 AB 的行列式不等于零 C. 若 B 是同阶可逆矩阵, 则 A B 的行列式不等于零 D. A 和任一常数之积仍是可逆矩阵 8. A 是 阶方阵, 伴随矩阵为 A. 若 A 是可逆矩阵, 则 B. 若 A 不是可逆矩阵, 则 * A, 则下列矩阵错误的是 ( ) * A 也是可逆矩阵 * A 也不是可逆矩阵 C. * AA = A D. 若 * A, 则 A 是可逆矩阵 9. 初等矩阵 ( ) A. 都可逆 B. 相加仍是初等矩阵 C. 行列式值都等于 D. 相乘仍是初等矩阵 A O *. 设 A, B 为方阵, 分块对角阵 C =, 则 C = ( ) O B A. * A O O * B B. AA O * O B B * C. BA O * O A B * D. ABA O * O * A B B - -

24 二. 填空题. =( ). 设 A =, 则 A 可逆的充分必要条件是 ( ) *. 设 A 和 B 是 阶矩阵, A =, B =, 则 ka B = ( ) 4. 阶方阵 A 的行列式 A =, 则 A =, A* =, A =. I 5. 设 A =. 则 A =. 6. 设 A =, 则 ( A I) ( A 4I) =. 7. 阶矩阵 A 可逆 8. 设 f ( ) =, A =. 则 f ( A) =. O 9. 若 A 和 B 都是可逆矩阵, 则分块矩阵 B A 的逆矩阵为 - O. 矩阵方程 X = 的解为 5 三 判断说明题. A, B, C 为 阶方阵, 若 AB = AC, 则 B = C.. A 为 m 矩阵, 若 r ( A) = s, 则存在 m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q, 使 I s PAQ =.. 阶矩阵 A 可逆, 则 A * 也可逆 - 4 -

25 设 B A, 为 阶可逆矩阵, 则. * * )* ( A B AB = 5. 将矩阵 B 以对角元素非零的对角矩阵 A 左乘, 等于对 B 的各行进行数量乘法 6 可逆上三角形矩阵的逆仍然是上三角形矩阵 7 可逆对称方阵的逆仍然是对称矩阵 四. 证明题. 设 A= 证明 : 当且仅当 B= b c b d c b 时,AB=BA. 设 A 是一个 阶矩阵, 并且存在一个正整数 m 使得 O A m = () 证明 A I 可逆, 并且 ) ( = m A A I A I () 求矩阵 4 的逆矩阵. 设, =. = bc d d c b A 证明, A 总可以表成 ) ( k 和 ) ( k 型初等矩阵的乘积.

26 4. 令 A 是 阶矩阵 A 的伴随矩阵, 证明 ( 区别 deta 和 deta= 两种情形 ) det A = (det A) 5. 证明, 一个 阶矩阵 A 的秩 必要且只要 A 可以表为一个 矩阵和一个 矩阵 的乘积. 6. 设 A 是一个 矩阵, β b, b,, b ), ξ = (,,, ) 都是 矩阵. 用记 号 ( β ) = ( A 表示以 β 代替 A 的第 列后所得到的 矩阵. () 线形方程组 A ξ = β 可以改写成 A( I ξ ) = ( A β ), =,,,, I 是 阶单 位矩阵. () 当 deta 时, 对 () 中的矩阵等式两端取行列式, 证明克拉默规则. 7. 设 A,B 都是 阶矩阵,I 是 阶单位矩阵, 证明. AB B O I O O A I = I O A O I B O. BA 8. 设 I r O S =, K I s I r = O K I s 都是 =rs 阶矩阵, 而 A A = A A A4 是一个 阶矩阵, 并且与 S, 有相同的分法. 求 SA,AS,A 和 A. 有此能得出什么规律? 9. 证明, 阶矩阵 A O O A 总可以写成几个形如 I O P I, I Q O I 的矩阵的乘积

27 . 设 A,B,C,D 都是 阶矩阵, 其中 deta 并且 AC=CA, 证明 A det C B = det( AD CB). D - 7 -

28 第四章线性方程组一 主要内容 4. 维向量 定义 4.- 设 F 是一个数域,,,, 是 F 中的数, 由,,, 组成的有序数组,,, ) 称为数域 F 上的一个 维行向量, 称为它的分量. 如果把这 个数依次排 ( 成一列, 就称为 F 上的 维列向量 :. 4. 向量组的线性相关性 线性组合定义 4.- 向量 α 称为向量组 β, β, βr 的一个线性组合, 如果有数域 F 上的一组数 k,,, k kr, 使得 α = kα k α k α. r r 也称作向量 α 可由向量组 β, β, βr 线性表出. 定义 4.- 对于两个向量组 ( V) α, α, αs 与 (V ) β, β,, βt, 若向量组 ( V ) 中的 每个向量 α ( =,, s) 都可由向量组 ( V ) 线性表出, 那么向量组 ( V ) 就称为可由向量 组 ( V ) 线性表出 ; 如果两个向量组互相可以线性表出, 这两个向量组就称为等价的. 线性相关与线性无关 定义 4.- 对于数域 F 上的 维向量组 α, α,, αs ( s ), 如果存在 F 中的不全为零 k, k,, ks, 使 的数 k k k s s α α α = 则称向量组 { α, α,, α s } 线性相关. 定义 4.-4 若一向量组 α, α,, αs ( s ) 不线性相关, 即不存在一组不全为零的数 - 8 -

29 k,, ks, 使 k k k s s α α α = 就称向量组为线性无关 向量组与矩阵的秩 定义定义 4.- 对于一个向量组 ( 可能只有有限个向量, 也可能有无限多个向量 ), 如果在这 组向量中存在一部分向量组 α, α,, αs, 满足下列条件 : () α, α,, αs 线性无关 ; () 在这组向量中任意取出一个向量 α 添加到 α, α,, αs, 则 α, α,, αs,α 必线性相 关. 那么称 α, α,, αs 是这个向量组的一个极大线性无关组, 简称极大无关组. 定义 4.- 任一向量组 A 的任一极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩. 记作 rk(a), 或 r(a). 定理定理 4.-4 任一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 我们给出推论 设向量组 A 的秩为 r, 则 A 的任何一个线性无关的部分组中所含向量的个数不超过 r. 推论 如果向量组 A 可由向量组 B 线性表出, 则 ra ( ) rb ( ), 进而等价向量组的秩 相等. 定理 矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变. 推论 任一矩阵的行秩等于列秩. 4.5 线性方程组 解的存在定理定理 4.5- 对于线性方程组有下列结论 : () 若系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩都等于未知量的个数, 则该方程组有且只有唯一的 一组解 ; () 若系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩相等但小于, 即 ra ( ) = ra ( ) <, 则方程组有无穷 多组解 ; () 若 ra ( ) ra ( ), 则该方程组无解. 齐次线性方程组解的结构 - 9 -

30 定理 4.5- 设有齐次线性方程组 A = 其中 A ( j ) =. 若 ra ( ) = r<, 则该方程组有非零解, 并且基础解系 η, η,, η r所 m 含向量的个数等于 r, 从而该方程组的任一组解均可由 η, η,, η r线性表出. 非齐次线性方程组解的结构 定理 4.5- 设有线性方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 A 的秩等于 rr, <. 假定 γ 是 方程组的任一特解, 导出组的基础解系为 η, η,, η r, 则其所有解都可表示成如下形状 ; kη kη k η γ, r r k, k,, r为任何数. 其中 k 二 训练题一 填空题. 线性方程组 AX = b 无解, 且 r ( A) =, 则 r( A b) =.. 若方程组 λ = λ = λ = λ 6λ 有无穷多解, 则 λ =.. 设 A 是方阵, 线性方程组 AX = X 有非零解的充分必要条件是. 4. 当 =, b = 时, A = 8 b 4 的秩为. 5. 设 A, 且 A 经若干次第三种初等变换化为 d, 则 A =. 6. 设 α = (, 4,), α = (,, 5), α = (6,, 6), α4 = (, t,), 则当 t=( ) 时, α 4 可 用 α, α, α 线形表出 - -

31 =, 7. 要齐次线形方程组 有非零解, 只需满足条件 ( ) mm m m =, 8. 设矩阵 A 与 B 等价,A 有一个 k 阶子式不等于零, 则 B 的秩 ( )k. 9. 向量组 α, α,, αr 的秩为 r 的充要条件是 ( ) α = (,,, ), α = (,,, ), α = (,,,), α4 = (, 4, 7,5),. 对于则它的 秩为 ( ) 二 判断说明题 λ λ =. 齐次线性方程组 λ = 的系数矩阵为 A, 若存在三阶矩阵 B. 使 λ = 得 AB =, 则 λ =, 且 B =.. 非齐次线性方程组 AX = b 有解, 若其解不唯一, 则必有无穷多个解.. 设 A 是 阶方阵, A = 是 AX = b 有无穷多解的充分必要条件. 4. 若齐次线性方程组中方程的个数小于未知量的个数, 则方程组必有无穷多解. 5. 若 α, α,, α 线形相关, 问 α α, α α,, α α, α α是否一定线形相关? 6. 若 α, α,, α 线形无关, 问 α α, α α,, α α, α α是否一定线形无关? 7. 举例说明若干两两线形无关的向量, 其全体不一定线形无关 8. 设向量 β 可由向量组 α, α,, α 线形表出, 且 α, α,, α 线形相关, 则 β 的表示 是否唯一? 9. 设 维列向量组 α, α,, αm 线形无关,A 为可逆矩阵, 问 Aα, Aα,, Aαm 是否线形 无关?. 现有齐次线形方程组 A=, 其中 A 的秩为 r, 未知数个数为, 问 : 是否任意 -r 个解向量都是它的一个基础解系? 三. 计算题 k = k. k 取何值时, 方程组 k = 有唯一解? 有无穷多解? 无解? k = - -

32 - -. λ 取何值时, 齐次线性方程组 = = = ) ( 4 8) ( ) ( λ λ λ 有非零解? 并求出一般解.. 给定两个线性方程组 : = = = 4 6 ) ( 4 4 I = = = t m II 5 ) ( ) ( 求 ) (I 的通解 ) ( t m,, 取何值时, ) (II 与 ) (I 同解? 4. 解方程组 = = = = ) ( ( 提示 : 令 S = ) 四 证明题. 设方程组 = = = b b b 证明此方程组对任意实数,, b b b 都有解, 并且求它的一切解.. 设线性方程组 = = = b b b ) ( 的系数矩阵 A 的秩等于矩阵

33 B= b b b b b b 的秩, 证明方程组 (*) 有解. 问 : 逆命题是否成立? 为什么?. 证明 : 如果方程组 j= j j = b, =,,, 的系数矩阵 A 与矩阵 C = b b b b b k 的秩相等, 则此方程组有解. ' ' 4. 设 A = ), B = ( b, b,, b ), X = (,,,, j, b 均为实数, 证明 : ( j ) ' 性线性方程组 A AX ' = A B 必有解. ' ' 5. 证明 : 方程 B s X = b 有解的充分必要条件是从 B Y = 一定能推出 b Y =. 6. 设齐次线性方程组 =, =, 的系数行列式 D =, 而 D 中某一元素 j 的代数余子式 A j. 证明 : 这个方程组的解 都可以写成 ka, ka,, ka l = 的形式, 此处 k 是任意数. 7. 设行列式 - -

34 = 令. 是元素 的代数余子式. 证明 : 矩阵 j 的秩. A A A A A A A A A 8. 已知矩阵 B ( =,,, k) 是 阶幂等阵, 又 A= B Bk, 求证 : ri ( A) k ( ra ( )) 9. 设 A 是一个实对称矩阵,A 有一个 r 阶主子式 M 不等于零, 且 A 的所有包含 M 及 r 阶加边主子式都不等于零, 求证 :A 的秩等于 r.. 已知 A 是 m 矩阵,B 是 k 矩阵, 若 AB 和 B 有相同的秩, 求证 : 对任意的 k l 矩阵 C, 矩阵 ABC 和矩阵 BC 也有相同的秩 - 4 -

35 第五章 矩阵特征值问题 一 内容提要 5. 特征值与特征向量. 定义设 A 为 阶方阵, 如果存在数 λ 以及一个非零 维列向量 ξ, 使得关系式 A ξ = λξ 成立, 则称 λ 为 A 的一个特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 λ 的特征向量. 求特征值和特征向量的步骤 : () 计算特征多项式 λ I A ; () 求 A 的特征方程 λ I A = 的全部根, 它们就是 A 的所有特征值 ; () 对于 A 的每一个特征值 λ, 求解齐次线性方程组 ( λ I A) X = 设它的一个 基础解系为 ξ, ξ,,, ( 其中 r = r( λ I A) ), 则 A 的属于 λ 的全部特征向量为 ξ r 其中 k, k,, k 是不全为零的任意数 r k ξ kξ k rξ r,. 性质 方阵 A 与其转置矩阵 A 有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值 ; λ λ λ = tr( A), λ λ λ = A ; 可逆矩阵 A 与 A 的特征值互为倒数 ; 设 λ 是矩阵 A 的特征值, g () 是一个多项式, 则 g (λ) 是 g (A) 的特征值 ; 如果 阶矩阵 A 有 个不同的特征值, 则 A 有 个线性无关的特征向量 ; 设 λ, λ,, λ 是矩阵 A 的 s s 个互不相同的特征值, 而 应于特征值 λ 的线性无关的特征向量组, 则向量组 α, α,, α 是 A 的分别对 α α α ;,,, α α α ;...;,,, α α, α s, s, s s 线性无关. 5. 矩阵的相似性 - 5 -

36 . 定义设 A, B 都是 阶方阵, 如果阶可逆矩阵 P, 使 P AP = B, 则称矩阵 A 与 B 相似, 记为 A ~ B 如果 P 为正交矩阵, 则称 A 与 B 正交相似. 命题相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值, 相同的行列式和迹. 对角化的条件 () 充要条件 : 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 个线性无关的特征向量 () 充分条件 : 若 阶矩阵 A 有 个不同的特征值, 则 A 可相似对角化 4. 定理在复数范围内, 任意方阵都相似于上三角阵.Hmlto-Cyley 定理 5. Hmlto-Cyley 定理与最小多项式 设 A 是数域 K 上的 阶矩阵, f ( ) = I A 是 A 的特征多项式, 则 f ( A) = O. 最小多项式定义若多项式 m () 是以 A 为根的多项式中次数最小的首一多项式, 则称 m () 为矩阵 A 的最小多项式. 命题 () 设 g () 是以 A 为根的多项式, 而 m () 是 A 的最小多项式, 则 m ( ) g( ) () 矩阵 A 的最小多项式必唯一 () 相似矩阵具有相同的最小多项式 一 选择题 二 训练题. 设 α, β 为矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量, 则 ( ) (A) (C) α, β 线性相关 ; (B) A α, Aβ 线性无关 ; A α, Aβ 线性相关 ;(D) 不存在 k, k, 使 k β 是 A 的特征向量 α k. 设 A 为 阶方阵, 且 A k =, 则 ( ) (A) A=; (B) A 有且只有一个为 的特征值 ; (C) A 的全部特征值为 ; (D) A 存在 个线性无关的特征向量.. 设 A, B 均为 阶矩阵, 且 A 与 B 相似, 则 ( ) - 6 -

37 (A) λ E-A= λ E-B; (B) A 与 B 有相同的特征值和特征向量 ; (C) A 与 B 都相似于同一个对角阵 ; (D) 对任意常数 t, λ E-tA 与 λ E-tB 相似. 4. 阶矩阵 A 相似于对角阵的充要条件是 (A) A 有 个不同的特征值 ; (B) A 有 个不同的特征向量 ; (C) A 的每个 r 重特征值 λ, 有 r( λ E-A)=-r ; (D) A 是实对称矩阵. 5. 已知 A 是三阶矩阵,r(A)=, 则 是 (A) 必是 A 的二重特征值 ; (B) 至少是 A 的二重特征值 ; (C) 至多是 A 的二重特征值 ; (D) 一 二 三重都可能. 6. 已知 ξ,ξ 是 (λe-a)x= 的两个不同的解向量, 则下列必是 A 的特征向量的是 (A) ξ ; (B)ξ ; (C)ξ ξ ; (D)ξ -ξ. 7. 矩阵 A= 相似于矩阵 ( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D). 8. 零为矩阵 A 的特征值是 A 不可逆的 ( ) (A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件 ; (D) 非充分 非充要条件. 9. 与 阶单位阵 E 相似的矩阵是 ( ) (A) 数量矩阵 ke ( k ) ; (B) 对角矩阵 D ( 主对角元素不为零 ); (C) 单位矩阵 E; (D) 任意 阶矩阵 A.. 设 A 是 阶可逆矩阵,λ 是 A 的一个特征值, 则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值之一是 ( ) (A) λ - A ; (B) λ A - ; (C) λ A ; (D) λ A. 二 填空题. 若 阶矩阵 A 有 个属于特征值 λ 的线性无关特征向量, 则 A=.. 已知 A = =, B A = E, 则 B 的一个特征值是 b. 设 A 是三阶奇异矩阵, EA = E-A =, 则 A 相似于 4. 已知四阶矩阵 A 和 B 相似, 矩阵 A 的特征值为,,,4, 则 B - -E =

38 已知 - 是 A= b 的特征值, 其中 b 为非零的任意常数, 则 =. 6. 已知 A 相似于对角阵, 则 r(a-e)r(ea)=. 7. 设 A 是 阶实对称矩阵,λ,λ,..., λ 是 A 的 个互不相同的特征值,ξ 是 A 的对应于 λ 的一个单位特征向量, 则矩阵 B=A-λ ξ ξ 的特征值是 8. 已知 A = 4 y 相似于对角阵, 则 y=. 三 计算题. 设 阶矩阵 A 的特征值为,,...,, 试求 E A. 已知 A=, 求 A 的特征值和特征向量, 为何值时,A 相似于对角阵 4. 设矩阵 = A 4 相似于 B= b. 求, b 的值, 求可逆矩阵 P, P - AP=B. 5. 设 A= 5 4 y 有三个线性无关的特征向量, 是 A 的二重特征值, 求可逆矩阵 P 使 P - AP 为对角阵 6. 设 A 是三阶矩阵,,, 是其特征值, 分别对应特征向量 ξ = (,,), ξ = (,,4),ξ =(,,9), 又 β=(,,), 求 A β. 7. 设 A=Eαβ, 其中 α=(,.., ), β=(b,,b ) 满足 α β=. ()A 的特征值和特征向量 () 求可逆矩阵 P, 使 P - AP 为对角阵 8. 设可逆阵 A 的最小多项式为 k k k f = ) (, 求 A 的最小多项式 四 证明题. 设 A 是 阶实矩阵,I 是 阶单位阵, 证明 : 若 A m =, 则 I-A 可逆

39 . 若 阶矩阵 A 的每行元素之和为, 求证 : () 为 A 的一个特征值 ; () 是 A 对应于 λ= 的特征向量 ; () 对于任意自然数 m, A m 的每行之和为 m.. 设三阶矩阵 A 有三个不同的特征值 λ,λ,λ, 对应特征向量 ξ,ξ,ξ 证明: 当 A 可逆时, 向量组 Aξ,A(ξ ξ ),A(ξ ξ ξ ) 线性无关 4. 设 A, B 均是 阶矩阵 且 r ( A) r( B) <, 证明 :A, B 有公共的特征向量 5. () 设 A 是 阶正交阵, 且 A <, 则 - 是 A 的一个特征值 () 设 A,B 均为正交阵, A / B =-, 证明 - 是 AB - 的特征值 6. 设 A 可逆, 则 A = g( A), 其中 g 是一个 次多项式 7. 设 m () 和 f () 分别是 阶方阵 A 的最小多项式和特征多项式, () 是 阶方阵 B 的最小多项式 若 ( ( ), ( ) ) = f () ( ( ), ( )) = () f (B) 是可逆阵 m, 求证 : - 9 -

40 第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域 在 V 上定义了一种加法运算, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素 δ 与它们对应, 记为 δ= kα 如果上述加法和数乘满足下列运算规则, 则称 V 是数域 K 上的一个线性空间 其中 () 加法交换律 : α β=βα ; () 加法结合律 : ( α β ) γ= α ( βγ ) ; () 在 V 中存在一个元素, 对于 V 中的任一元素 α, 都有 α =α ; (4) 对于 V 中的任一元素 α, 存在元素 β, 使 α β= ; (5) α =α ; (6) k( α β )=kαkβ, k K ; k l =k l k, l K ; (7) ( ) α α β, (8) k( lα ) = ( kl)α, α, β, γ 是 V 中的任意元素, k, l 是数域 K 中任意数 V 中适合 () 的元素 称为零 元素 ; 适合 (4) 的元素 β 称为 α 的负元素, 记为 α. 简单性质 性质 零向量是唯一的 性质 负向量是唯一的 性质 对 V 中任意向量 α β, γ,, 有 () 加法消去律 : 从 α β = α γ 可推出 γ β = ; () α =, 这里左边的 表示数零, 右边的 表示零向量 ; () k = ; (4) ( ) α = α ; - 4 -

41 (5) 如果 k α =, 则有 k = 或 α =. 定义 () 基与维数 则称 6. 基与维数 设 V 是数域 K 上的一个线性空间, 如果 V 中的 个向量 ε, ε,, ε 满足 () ε, ε,, ε 线性无关 ; ()V 中的任意向量都可由 ε, ε,, ε ε, ε,, ε 线性表示, 为线性空间 V 的一组基, 称为 V 的维数, 记为 dm V = 域 K 上的 维线性空间 设 () 坐标 ε, ε,, ε, 并称 V 为数 是 维线性空间 V 的一组基, 则对 V 中的任意向量 α, 存在唯一数组,,,, 使得 我们称,,, α = 为向量 α 在基 () 同构 设 ε ε ε, 下的坐标, 记作 (,,, ) ε, ε,, ε V, U 都是数域 K 上的线性空间, 如果存在一个从 V 到 U 的一一对应 σ : V U, 使得对任意的向量 α, β V 以及数 k K 则称线性空间 V 与 U 同构, 记为 V U σ, 均有 ( α β ) = σ( α) σ( β ) σ( k α) = kσ ( α),,. 推论 () 维线性空间中的任意 个向量必线性相关 () 维线性空间 V 中的任意 个线性无关的向量组成 V 的一组基. 定理 () 数域 K 上任一 维线性空间都与 K 同构 () 数域 K 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数 - 4 -

42 6. 基变换和坐标变换. 过渡矩阵 设 ε, ε,, ε η, η,, η 是数域 K 上 维线性空间 V 的两组基, 它们之间的关系 和 为 η = ε ε ε η = ε ε ε η = η ε ε, 我们称表示矩阵 A = 为由基 ε, ε,, ε η, η,, η 到基 的过渡矩阵. 坐标变换公式 设 α V 在基 ε, ε,, ε 和 η, η,, η 下的坐标分别为 ( ),,, ( y, y,, y ), 则有 y y = P y. 定义 () 子空间 6.4 线性子空间 设 V 是数域 K 上的线性空间,W 是 V 的一个非空子集 如果对于 V 上的加法和数乘 运算,W 也构成数域 K 上的线性空间, 则称 W 为 V 的一个线性子空间 ( 简称子空间 ) () 生成的子空间 设 S 是线性空间 V 的子集, 记 L ( S) 为这组向量所有可能的线性组合构成的子集, 不难 看出这个子集关于向量的加法和数乘运算封闭, 因此它是 V 的一个子空间, 称之为由 S 生 - 4 -

43 成的子空间. 子空间封闭性如果线性空间 V 的非空子集 W 关于 V 的两种运算封闭, 则 W 就成为 V 的一个子空间. 有关生成子空间的性质 性表示. () 设 S 和 () ( S )= L ( ) S 是线性空间 V 的两组向量组, 则 L ( ) ( ) L S 当且仅当向量组 S S 和 S 等价 () 设 S 是线性空间 V 的子集, L ( S) 为由 S 生成的子空间, 则 ) L ( S) L( S) W L S 当且仅当 S 可由 S 线 是 V 中包含 S 的最小子空间, 即若 W 是包含子集 S 的子空间, 则 b) S 的极大无关组是子空间 L ( S) 的一组基, L ( S) = r( S) dm 4. 子空间的交与和 () s 个子空间的交 : 也是 V 的子空间 () s 个子空间的和 : V V V s = V V V Vs = { α α α s α V, =,,, s} 也是 V 的子空间 s = 5. 直和的定义设 V, V,, Vs 是线性空间 V 的子空间, 如果和 V V Vs 中的每个分解式 是唯一的, 这个和就称为直和, 记为 V α = α α α, α ( =,,, s V s V V s ) 6. 直和的判定定理设 V, V,, Vs 是线性空间 V 的子空间, 则下列命题等价 : () V V Vs 是直和 ; - 4 -

44 () 零向量的表示唯一 ; () V ( V V V V ) = { } s ; (4) dm( V V Vs ) = dmv dmv dmvs 7. 维数公式 V V V =, 则 dmv dmv dmv ( V V ) 设 = dm. 线性变换的定义 6.5 线性变换及其基本运算 () 设 V, V ' 为数域 K 上的线性空间,ϕ 为 V 任意向量 α, β 和数域 K 中的任意数 k, 都有 () ϕ ( α β ) = ϕ( α ) ϕ( β ) ; () ϕ( k α ) = kϕ( α ) 则称 ϕ 是 V V ' 的一个映射 如果对于 V 中的 V ' 的线性映射 V 到自身的线性映射称为 V 上的线性变换. 线性变换的简单性质性质 线性变换把零向量变成零向量 性质 线性变换保持线性组合与线性关系式不变 性质 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 必须指出, 性质 的逆命题不成立 即由 ϕ ( α ) ϕ( α ),, ϕ( ) α, α,, α s α α, α 线性相关, 或者说,, s 也线性无关, α s 线性相关推不出 线性无关不能导出 ϕ ( α ), ϕ( α ),, ϕ( α s ). 线性变换的运算 () 和 : ( ψ )( α ) = ϕ( α ) ψ ( α ) α V () 数乘 ϕ ϕ, ; k : ( k )( α ) = kϕ( α ) α V ϕ, ; () 乘积 ϕ ψ : ( )( α ) = ϕ( ψ ( α )) α V ϕψ, (4) 逆变换 : 空间 V 上的变换 ϕ 称为可逆的, 如果存在 V 上的变换 ψ, 使 ϕψ =ψϕ =, I V

45 其中变换 ψ 称为 ϕ 的逆变换, 记为 ϕ 4. 线性变换的运算关于线性映射的加法和数乘, L ( V, V ') 是 K 上的线性空间. 线性变换的表示矩阵 6.6 线性变换的矩阵 设 ϕ 是 维线性空间 V 的一个线性变换, ε, ε,, ε 是 V 的一组基, 将 ( ε ) ϕ( ε ), ( ) ϕ,, ϕ ε ε ε, ε 表示为,, 的线性组合, 设 用矩阵来表示就是 ( ) ( ) ϕ ε = ε ε ε ϕ ε = η ε ε ϕ ( ε ) = ε ε ε ( ε, ε, ε ) = ( ϕ ( ε), ϕ( ε ),, ϕ( ε )) ϕ, ( ε, ε,, )A =, ε, (*) 其中 阶矩阵 A = 称为线性变换 ϕ 在基 ε, ε,, ε. 线性变换及其表示矩阵的关系 在取定一组基 下的矩阵 ε, ε,, ε 下, 每个线性变换 ϕ 按对应于一个 阶矩阵 A ; 反过来, 给定矩阵 A, 可以唯一确定一个线性变换 ϕ, 使 ϕ ( ε ) 适合 (*) 式 由此, 我们得到了 L V, ( ϕ ) = A M 一个一一映射 : ( ) ( K ) 定理 是从线性空间 L (V ) 到 M (K ) 定理设 ε, ε,, ε 的线性同构, 其中 A 由 (*) 式确定 是数域 K 上 维线性空间 V 的一组基, 在这组基下, 每个线性 变换按 (*) 式对应一个 阶矩阵

46 ϕψ = ( ϕ ψ ; () 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积, 即 ( ) ) ( ) () 可逆线性变换与可逆矩阵对应, 且逆变换对应于逆矩阵, 即 ( ϕ ) = ( ϕ ). 表示矩阵的相似关系 设 ε, ε,, ε η, η,, η 是 维线性空间 V 的两组基,V 的线性变换 ϕ 在这两 和 组基下的矩阵分别为 A 和 B 如果从 ε, ε,, ε 到 η, η,, η 的过渡矩阵是 P, 则有 B = P AP, 即 ϕ 在不同基下对应的矩阵成相似关系 反过来, 如果两个矩阵相似, 那么它们可以看成同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵 4. 对角化理论 () 线性变换的特征值与特征向量的概念 : 设 ϕ 是 维线性空间 V 上的线性变换, 如果存在非零向量 α V 及数 λ K, 使得 ϕ ( α ) = λα, 则称 λ 为 ϕ 的一个特征值,α 称为对应于 λ 的特征向量 () 对角化的充分必要条件 : 设 ϕ 是 维线性空间 V 上的线性变换,ϕ 的矩阵在某 组基下为对角阵的充分必要条件是 ϕ 有 个线性无关的特征向量 () 对角化的一个充分条件 : 如果在 维线性空间 V 中, 线性变换 ϕ 的特征多项式在 数域 K 上有 个不同的特征值, 那么 ϕ 在某组基下的矩阵是对角阵. (4) 代数重数 几何重数 : 对于线性变换 ϕ 的一个特征值 λ, 称 dmv λ 为 λ 的度数 或几何重数, λ 作为 ϕ 的特征多项式根的重数称为 λ 的代数重数 因此 λ 的几何重数小 于等于代数重数 如果 ϕ 的任一特征值的代数重数等于几何重数, 则称 ϕ 有完全特征向量 系 (5) 对角化充分必要条件的再描述 : 设 ϕ 是 维线性空间 V 上的线性变换,ϕ 的矩 阵在某组基下为对角阵的充分必要条件是 ϕ 的任一特征值的代数重数等于几何重数, 或 ϕ 有完全特征向量系

47 6.7 线性变换的值域与核. 定义 称值域. 定理 设 Im ϕ = { ϕ( α ) α V}, ker = { α ϕ( α ) = } ϕ Im ϕ 的维数为 ϕ 的秩, 记为 r ( ϕ), 核空间 ker ϕ ε, ε,, ε 的维数为 ϕ 的零度 为 V 的一组基, 线性变换 ϕ 在这组基下的矩阵为 A, 则 ()ϕ 的值域 Im ϕ ()ϕ 的秩等于 A 的秩. 维数公式 是由基像组生成的子空间, 即 ( ) Im ϕ L ϕ ( ε), ϕ( ε ),, ϕ( ε ) = dm Imϕ dm kerϕ = 4. 推论 维线性空间 V 的线性变换 ϕ 可逆的充分必要条件为它是单射或满射. 定义 6.8 不变子空间 设 ϕ 是数域 K 上线性空间 V 的线性变换,U 是 V 的子空间, 如果 U 适合条件 即对任意向量. 定理 α, 有 ( α ) U U ϕ ( U ) U, ϕ, 则称 U 为 ϕ - 不变子空间 ( 或 ϕ - 子空间 ) 设 ϕ 是 维线性空间 V 的线性变换,W 是 V 的 ϕ - 不变子空间. 取 W 的一组基 ε, ε,, ε r, 并将其扩展为 V 的一组基 e, e,, er, er,, e, 那么 ϕ 在这组基下的矩 阵具有下列形状 :. 推论 A A. A

48 若 V 可分解为 ϕ - 不变子空间直和 V = V V V s, 在每个子空间 V 中取基, e, e,,,, s e, =, 并合并成为 V 的一组基 I. 那么在这组基下,ϕ 的矩阵为分块对角阵 : 4. 分解定理 A 设线性变换 ϕ 的特征多项式 f (λ) A 可以分解为 A s. 则 V 可分解成不变子空间的直和 r r r ( λ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ s, f ) λs V = V V V s, 其中 V = { ( ϕ λ ) ξ =, ξ V} V r ξ 二 训练题 一 选择题. 设 σ 为三维向量空间上的变换, 下列 σ 不是线性变换的是 ( ) () σ (,, )=(, 5, ) (b) σ (,, )= (,, ) (c) σ (,, )=(,, ) (d) σ (,, )= (,, ). 设, ε, ε ε 是向量空间 V 的一组基, V 上的一线性变换 σ 在基 ε, ε, ε 下的矩阵是, 则 σ 在基 ε, ε, ε 下的表示矩阵为 ( ) () ; (b)

49 (c) ; (d). 设 α, α, α 是向量空间 V 的一组基, 且 β = α α, β = α α, β = α α, 则 ()V L(, β, β β ); (b)v L(, β, β β ); (c)v=l( β, β, β ); (d)v=l( β, β ). 4. 设 ϕ 是 维线性空间 V 上的线性变换, 适合下列条件的 ϕ 不是同构的是 ()ϕ 是单映射 ; (b) dm Imϕ = ; ϕ. (c) ϕ 是一一映射 ; (d) = 5. 设 ϕ, ψ 是 维线性空间 V 上的线性变换, 这它们的像空间具有相同维数的充要条件是 () ϕ, ψ 均可逆 ; (b) ker ϕ = kerψ ; (c) Im ϕ = Imψ ϕ ; (d) r ϕ) = r( ψ ) (. 6. 设 V 是 维线性空间, 则 L ( V ) 的维数等于 ( ) () ; (b) ; (c) ϕ ; (d) 无穷大 7. 设 ϕ, ψ 是 维线性空间 V 上的线性变换, 以下哪个条件可以推出 ϕ = ψ. () ker ϕ = kerψ, Im ϕ = Imψ ϕ ; (b) 存在一组基 (c) ϕ, ψ 均可逆 ; (d) r ϕ) = r( ψ ) (. α α, α ϕ α = ψ α,,, 使 ( ) ( ), =,,, 8. 设 ϕ 是 维线性空间 V 上的非零线性变换, 已知 ϕ 不可逆 下列哪个条件能保证 ϕ 的核 空间与像空间之交为零的是 : () ϕ = ; (b) ϕ = ϕ ; (c) dm kerϕ = dmimϕ ; (d) dm kerϕ dmimϕ =

50 二 填空题. 设 V 为一维向量空间, 则 V 上所有的线性变换为. 设 α, α, α, α 4 是向量空间 V 中的线性无关向量组, 且 β =α -α α 4, β = α -α 4, β = α α -α 4, β 4 =α α 则 L( β, β, β, β 4 ) 的维数 =.. 设 ϕ 是 维线性空间 V 上的线性变换,ϕ 在某组基下的矩阵为 A, 已知 A = 的解 空间的维数为, 则 dm Imϕ = 4. 设 V 是由次数小于 4 的实系数多项式全体构成的向量空间,D 为上的求导变换, 则在 基,, 下线性变换 D 的表示矩阵为. 5. 是否存在 V 上的线性变换, 它将一组线性相关的向量变成一组线性无关的向量?. 三 计算 证明题. 设 W = { f ( ) f ( ) R[ ] 4, f () = } () 证明 :W 是 R [] 4 的子空间 ; () 求 W 的维数与一组基. 在 R 中定义变换 ϕ :ϕ (,, ) = (, -4, ) () 证明 :ϕ 是 R 上线性变换 ; () 求 ϕ 在基 ε = (,, ), ε = (,, ), ε = (,, ) 下的矩阵. 设 V 是数域 K 上 维线性空间,ϕ 是 V 上可逆线性变换, W 是 ϕ 的不变子空间 证明 :W 也是 ϕ 的不变子空间 4. 设 V 是 维欧氏空间,ϕ 是 V 上变换 若任意 α, β V, 有 ( ϕα, ϕβ ) ( α, β ) 证明 :ϕ 是 V 上线性变换, 从而是 V 上正交变换 = - 5 -

51 5 5. 设 A =, W = { α α R[ ] 4, Aα = } 证明: ) W 是 4 R 的一个子空间 b) 求 W 的维数与一组基 6. 设 B =, C =, 在 4 6 = BXC () 证明 :ϕ 是线性变换 ; () 求 ϕ 在基 E, E, E, E 下的矩阵 R 中定义变换 ϕ : 任意 X R, ϕ (X) 7. 设 V 为数域 P 上线性空间,ϕ 是 V 上线性变换, 若 ( ϕ ) kerϕ V = Im ϕ kerϕ. ker =, 证明 : 8. 设 V 为数域 P 上 维线性空间, V, V 为其子空间, 且 V = V V, 为 V 上 可逆的线性变换. 证明 : V = V V ϕ = I 9. 设 V 为 维欧氏空间, 若 ϕ 既是 V 上对称变换且 V 证明 : 存在 V 的一组 标准正交基, 使得 ϕ 在该基下的矩阵为 E r E s ε,. 设 ϕ 三维向量空间 V 上可逆线性变换,ϕ 在基 ε, ε 下的矩阵是 () 证明 :ϕ 的逆变换 ϕ 也是 V 上线性变换 () 求 ϕ 的在 ε, ε, ε 下的矩阵. 设 V 为数域 P 上 维线性空间,W 为其子空间,ϕ 为 V 上线性变换 证明 :dm (AW) dm(a - () W) =dmw - 5 -

52 . 设 A, B 是数域 P 上 维线性空间 V 的两线性变换, 若 AB = BA, 并且 A 有 个互异 的特征值, 证明 :A, B 有 个线性无关的公共的特征向量.. 设 V 是由零多项式和数域 上次数小于 的一元多项式的全体组成的线性空间 对于任意的 f () V, 定义 (f ()) = f'() - f''() 证明 () 证明 : 是 V 的线性变换 ; () 求 在基,, - 下的矩阵 4. 设, 是 上 维线性空间 V 的线性变换, W 既是 - 不变子空间, 也是 - 不 变子空间. 证明 : () W 是, - 不变子空间 ; () 若是可逆的, 则 W 是 σ - 不变子空间. 5. 设 A 是 维线性空间 V 的线性变换, 证明下述等价. () A 可逆 ; () kera = {}; () A 将 V 的基变成基. 6. 设 V, V, V V 是有限维子空间, 证明 :dmv dmv dmv = dm(v V V ) dm(v (V V )) dm(v V ) 7. 设 K [ ] 是数域 K 上次数小于 的多项式全体构成的线性空间, ( =,, ) 是 数域 K 上 个互不相同的数, 记 f ( ) = ( )( ) ( ), f ) = f ( ) /( ), 证明 : f ( )( =,,, ) 是 K [ ] 的一组基 ( 8. 线性空间 M 的两组基分别为 α =, α =, α =, α 4 = ; β =, β =, β =, β 4 = ; 求由基 α, α, α, α 4 到基 β, β, β, β4 的过渡矩阵, 并求一个非零矩阵 A, 使 A 在这两组基下的坐标相同 9. 在次数小于 的多项式全体构成的线性空间 K [ ] 中, 求从基 α =, α =,, α = 到基 ( ) =, β =,, β = β 的过渡矩阵 - 5 -

53 . 设 α, α,, α 是 维实线性空间 V 的一组基, P 是 s 阶实矩阵, 向量 组 β, β,, β s 由 ( β, β,, β s )= ( α, α,, α )P 所定义 证明 : 子空间 ( β, β,, ) L β s 的维数等于矩阵 P 的秩. 设 V, V,, Vm 是线性空间 V 的 m 个非平凡子空间, 证明 : 在 V 中必存在一个向 量不属于任何一个 V. 在全体 阶方阵组成的线性空间 (K M ) 上, 考虑 V { A M ( K) A } V = { A M ( K) A = }, 证明 : M (K ) = V V A =, = A. 设线性空间 V = V V, 如果 ϕ,ϕ 分别是 V,V 到 U 的线性映射, 则存在从 V 到 U 唯一的线性映射 ϕ, 使 ϕ ϕ, ϕ =. V = V ϕ 4. 设 V 上的线性变换 ϕ, ψ 适合 ϕ = ϕ, ψ = ψ 证明: () 若 ( ϕ ψ ) = ϕ ψ () 若 ψϕ, 则 = ϕψ ; ϕψ =, 则 ( ϕ ψ ϕψ ) = ϕ ψ ϕψ 5. 设 ϕ 是线性空间 V 的线性变换, 已知 ϕ k ( ξ ) =, 而 ϕ k ( ξ), 证明 : 向量组 ξ, ϕ k ( ξ ),, ϕ ( ξ ) 线性无关. 6. 设 ϕ, ψ 是 V 上的线性变换, 且 ϕψ = ψϕ, 证明 : λ 是 ϕ 的一个特征值, 那么 () 如果 V λ 是 ψ 的不变子空间 ; () ϕ, ψ 至少有一个公共的特征向量 - 5 -

54 第七章内积空间 一 内容提要. 定义 (). 内积空间 7. 内积空间与简单性质 设 V 是实数域上的线性空间, α, β V, V 上的内积是这样一个映射 V V R : α β ( α, β), 对 α, β, γ V 和 c R, 其有如下性质 : ) ( α, β) = ( β, α) ; ) ( α β, γ) = ( α, γ) ( β, γ) ; ) ( cα, β) = c( α, β) ; 4) ( α, α), 且 ( α, α ) = 当且仅当 α =. 一个赋予上面内积的线性空间 V 称为实内积空间. 有限维实内积空间称为 Eucld 空间, 简称为欧氏空间. (). 长度设 V 是一个实内积空间,, 定义 α 的长度或范数为 α V α = ( αα, ). (). 夹角 设 V 是欧氏空间, 定义非零向量 α β 的夹角的余弦为 cosθ = ( α, β ). α β (4). 正交 设 V 是欧氏空间, α, β V, 若 ( α, β ) =, 则称 α 与 β 正交或垂直. 记为 α β.. 重要定理 () (Cuchy-Schwrz 不等式 ) 对空间 V 中任意向量 α, β, 有 ( α, β) α β. 且当且仅当 α 与 β 线性相关时等号成立

55 () ( 三角不等式 ) 对欧氏空间 V 中任意向量 α, β, 有 α β α β.. 定义 () 正交基 7. 标准正交基,,, 设 { α α α } 是 维内积空间 V 的一组向量组, 如果集合中任意两个不同的向量 都正交, 即 α α j, j, 则称这组向量组是 V 的一组正交组. () 标准正交基如果内积空间 V 的一组基是正交的, 则称这组基为 V 的正交基. 若正交基中每个向量的长度都等于, 则称这组正交基为标准正交基. () 正交补空间设 W 是内积空间 V 的子空间. 令 { α ( α, ), } W = V w = w W. 容易验证 W 也是 V 的子空间, 称为 W 的正交补空间.. 定理,,, m () 内积空间中任意一组两两正交的非零向量组 { α α α } 成所生成子空间 (,,, ) 的一组基. L α α α m () 维欧氏空间 V 的每一个子空间 W 都有唯一的正交补空间. () 设 V 是 维内积空间, W 是 V 的任意一个子空间, 则有 ) V = W W ; ) W 的任意一组标准正交基均可扩张为 V 的标准正交基.. 标准正交基的求法利用 Grme-Schmdt 正交化方法 必线性无关, 因此构. 欧氏空间同构 7. 正交变换与正交矩阵 设 V 与 W 都是实数域上的欧氏空间, ϕ :V W 是线性映射, 如果对任意的 α, β V, c R, ϕ 满足下列条件 : () ϕ( α β) = ϕ( α) ϕ( β); () ϕ( cα) = cϕ( α);

56 () ( ϕ( α), ϕ( β)) = ( α, β), 则我们称欧氏空间 V 与 W 同构.. 欧氏空间同构定理两个有限维欧氏空间同构当且仅当它们的维数相同. 正交变换 欧氏空间 V 的线性变换 ϕ 称为正交变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的 向量 α β V, 都有 4. 正交矩阵 () 定义 ( ϕ( α), ϕ( β)) = ( α, β). 设 A 是 阶方阵, A 是 A 的转置, 如果 AA A A E = =, 则称 A 为 阶正交矩阵. () 性质 ) 若 A 是正交矩阵, 则 A A = 也是正交矩阵. ) 若 A 是正交矩阵, 则 A =±. ) 正交矩阵的积仍是正交矩阵. 4) 标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵. 5. 定理 设 ϕ 是 维欧氏空间 V 的一个线性变换, 则下列命题等价 () ϕ 是正交变换. () ϕ 把一组标准正交基变为一组标准正交基. () ϕ 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.. 对称变换与对称矩阵 () 定义 7.4 实对称矩阵的标准型 ϕ α β = α ϕ β 的变换 ϕ 称为对称变换. R 上满足 ( ( ), ) (, ( )) () 性质 ) 实对称矩阵的特征值都是实数. ) 设 A 是对称矩阵, 则不同特征值对应的特征向量彼此正交.. 正交对角化矩阵 () 定义设 A 一个矩阵, 如果存在一个正交矩阵 P 和一个对角矩阵 D, 使得 P AP P AP D = =, 则称 A 为可正交对角化矩阵 () 性质

57 若 A 是对称矩阵, 则 A 是可正交对角化矩阵. 7.5 酉空间和酉变换. 定义 () 复内积空间复数域上的线性空间 V 上的内积是一个函数 V V C, 对每一对属于 V 的向量 α 和 β, 存在一个复数 ( α, β ) C 满足下面公理, 对任意 α, β, γ V 和 c C 有 : ) ( α, β) = ( β, α) )( α βγ, ) = ( αγ, ) ( βγ, ) )( cα, β) = c( α, β) 4) ( α, α), 且 ( α, α ) = 的充分必要条件是 α =. 一个赋予上面内积的线性空间 V 称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间. () 正交 设 V 是一个酉空间, 对于任意 α, β V, 如果 ( α, β ) =, 我们称 α 与 β 是正交的. () 标准正交基酉空间 V 的一组两两正交的基向量叫做 V 的一个正交基. 如果一个正交基的每一个向量都是单位向量, 就称这个正交基是一个标准正交基. (4) 酉矩阵一个 阶复矩阵 U 叫做一个酉矩阵, 如果 U 满足 = =. H H UU U U E (5) 酉变换酉空间 V 的线性变换 ϕ 称为酉变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对 任意的向量 α β V, 都有 有 ( ϕ( α), ϕ( β)) = ( α, β). (6) 对称变换酉空间 V 的线性变换 ϕ 叫做一个对称变换, 如果对于任意 α β V ( ϕ( α), β) = ( α, ϕ( β)). (7) Hermte 矩阵 阶复矩阵 H 叫做 Hermte 矩阵, 如果 H 满足. 重要定理 H H = H. () 设 V 是一个酉空间, 对于任意 α, β V, 有 都

58 ( α, β) α β, 当且仅当 α 与 β 线性相关时等号成立. () 设 ϕ 是 维欧氏空间 V 的一个线性变换, 则有下列命题等价 ) ϕ 是酉变换. ) ϕ 把一组标准正交基变为一组标准正交基. ) ϕ 在任一组标准正交基下的矩阵是酉矩阵. () 设 ϕ 是 维酉空间 V 的一个对称变换, ) ϕ 的特征值都是实数. ) ϕ 的属于不同特征值的特征向量彼此正交. (4) 设 H 是一个 阶 Hermte 矩阵, 则存在一个 阶酉矩阵 U, 使得 是一个实对角矩阵. = = H U HU U HU D. 正规矩阵 () 正规矩阵 7.6 正规矩阵 设 A C () 伴随矩阵 H H 是矩阵, 若 A 满足 A A= AA, 则称 A 为正规矩阵. * 设 ϕ 是有限维内积空间 V 上的线性算子, 若存在 V 上的算子 ϕ, 使得对任意 α, β V ϕ α β α ϕ β * 都有 ( ( ), ) = (, ( )), 则称 () 正规算子 设 ϕ 是实有限维内积空间 V 上的线性变换, * V 上的正规算子.. 性质与定理 * ϕ 是 ϕ 的伴随算子. ϕ 是其伴随, 若 * * ϕϕ = ϕ ϕ, 则称 ϕ 是 () 若 A 是实矩阵, 则对任意的正交矩阵 P, P AP 是实正规矩阵. 若 A 是复正规矩 阵, 则对任意的酉矩阵 U, H U AU 仍是复正规矩阵. () 设 V 是 维酉空间, ϕ 是 V 上的线性算子, 又 { ε ε ε },, 是 V 的标准正交基. 设 ϕ 在这组基下的矩阵 A 是一个上三角矩阵, 则 ϕ 是正规算子当且仅当 A 是对角矩阵. () 设 V 是 维酉空间, ϕ 是 V 上的线性算子, 则存在 V 的一组标准正交基, 使 ϕ 在 这组基下的矩阵为上三角矩阵

59 ,,, (4) 设 ϕ 是 维酉空间 V 上的正规算子, 则存在一组标准正交基 { γ γ γ },,, 得 ϕ 在 { γ γ γ } 下的矩阵是对角矩阵, 且 { γ γ γ },,, 征向量. (5) 一个复矩阵相似于对角矩阵当且仅当它是一个正规矩阵. (6) 任一 阶酉矩阵相似于对角矩阵 c c c, 其中 c = ( =,,, ), 使 是 ϕ 的 个线性无关的特 一 选择题 二 训练题. 如果 α = 5, β = 是使内积空间的两个向量, 则它们的内积为 ( ) (); (b)-; (c) ; (d)-. 设 W 是 维欧氏空间 V 的子空间, 则 ( ) () W 的维数不小于 ; (b) W 的补空间不一定存在 ; (c) W 至少存在一个补空间 ; (d) W 存在唯一的补空间 ;. 设 A, B 是正交矩阵, 则 ( ) () A B 是正交矩阵 ; (b) A B 不是正交矩阵 ; (c) AB 是正交矩阵 ; (d) ka 是正交矩阵 4. 下列实矩阵没有特征值的是 ( ) () 实对称矩阵 ; (b) 奇数阶实矩阵 ; (c) 二阶非零反对称矩阵 ; (d) 实上三角矩阵. 5. A 是正交阵, 则 ( ) () A 一定不是正交阵 ; (b) A 一定是正交阵 ; (c) A A ; (d) A 是对称矩阵. 6. 下列命题正确的是 ( ) () 两个正交变换的线性组合仍是正交变换 ; (b) 两个对称变换的线性组合仍是对称变换 ; (c) 对称变换将正交向量组变为正交向量组 ; (d) 对称变换必是可逆变换. 7. 下列关于矩阵相似的结论正确的是 ( ) () 两个相似的实对称矩阵必相似 ;

60 (b) 同阶正定阵必相似 ; (c) 特征值相同的同阶矩阵必相似 ; (d) 两个合同矩阵必相似. 8. 设 α = (,,,), 则 α 的单位化向量是 : (),,, ; (b),,, ; (c),,, 4 ; (d),,,. 二 填空题 =,,,, β = ( y, y,, y ) 是复内积空间中向量, 则它们的标准内积. 设 α ( ) ( α, β ) =.. 二次型 f = 4 对应的对称矩阵为.. 实对称矩阵 A 的特征多项式为 λ 5λ 6, 它的正交相似标准型是. 4. 实对称矩阵是正定阵的充分必要条件是. 5. 已知 A =, 则 A 可以化为对角矩阵. 三 计算 证明题. 设 α = (,,, ), α = (,,, ), α = (,,, ), ) α α α ; ) α 与 α 的夹角以及 α 与 α 的夹角 ; ) 与 α, α, α 都正交的单位向量. 设 α, β R, 证明 : α β α β α ) = ( ) ; ) α, β = ( α β α β ) ; 4. 设 α, α,, α m 是正交向量组, 证明 : β 求 - 6 -

61 4. 若 R 中向量 β 与 α α m = α α α m. α α, α,, α m 中的每个向量都正交 证明 : 对 η sp α, α,, α }, 都有 η { m β. 5. 设 α, α,, α 是 R 的一个基, α R, 证明 : 若 α 与 α, α,, α 中的每个向量 都正交, 则 α = θ. 6. 设 ε, ε,, ε 是 R 的一个标准正交基, α = ε, β = b ε, 求 (, ) d 称为 α 与 β 的距离 证明 : d ( α, γ ) d( α, β ) d( β, γ ) 7. ( α, β ) = α β 8. 设 R 中的向量, α,, α = α 线性无关, 而, β 量都正交, 证明 : β, β 线性相关 = α β 和 α.. α α 中的任一个向 α β 都和,,, 9. 证明 :,,, R, 有 ( ) ( ). =. 设 A = A, B = B 都是正交阵, 且 A = B, 证明 : A B =.. 设 A = A 是正交阵, A j 为 A 中元素 j 的代数余子式, 证明 : A j = ± j.. 设 A R,( ), 且满足 ⅰ) Aj = j (, j =,,, ) ( 其中 A j 为 A 中的元 j 的 代数余子式 );ⅱ) A 中至少有一个元, 证明 : A 为正交阵. j. 设 A 是复正规矩阵, 证明 : A 是 Hermte 矩阵的充分必要条件是 A 的特征值全是实数. 4. 设 AB, 是实对称矩阵, 证明存在正交矩阵 P 使得 P AP= B的充分必要条件是 AB, 的 特征多项式的根全部相同. 5. 正交矩阵的实特征根为 ±. 6. 将下列矩阵化为对角矩阵 : (), () 5 4, ()

62 7. 证明 : 欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的. 8. 证明 : 如果 ϕ 是 维欧氏空间的一个正交变换, 那么 ϕ 的不变子空间的正交补也是 ϕ 的 不变子空间. 9. 证明酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.. 证明酉矩阵的特征根的模为

63 第八章二次型 一 内容提要 8. 二次型及其矩阵表示. 二次型的定义设 F 是数域, 系数在数域 F 中的 元二次齐次多项式 f (,,, ) = = = j= j j 称为数域 F 上的一个 元二次型, 在不致引起混淆的情况下简称二次型.. 矩阵的合同的定义 设 A, B 是 阶矩阵, 若存在 阶可逆矩阵 C, 使得 B = C AC, 则称矩阵 B 与 A 是合同的.. 定理设 A 是数域 F 上的对称矩阵, 则必存在可逆矩阵 C, 使得 C AC 为对角阵. 8. 标准型. 标准型的定义二次型 f (,,, ) 经过线性替换后得到的只含有平方和的二次型称为二次型 f (,,, ) 的标准型.. 化二次型为标准型的方法 () 配方法, () 初等变换法, () 正交替换. 8. 惯性定理. 实规范型 () 定义 f (,,, ) = y y y y 称为实二次型 p p r - 6 -

64 f (,,, ) 的规范型, 其中 r 称为二次型 f (,,, ) 的秩. () 定理任意一个实数域上的二次型, 经过适当的线性替换后, 可以化成规范型, 且规范型是惟一的. () 惯性指数与符号差的定义实二次型 f (,,, ) 的规范型中, 正平方项的个数 p 称为 f (,,, ) 的正惯性指数 ; 负平方项的个数 r p 称为 f (,,, ) 的负惯性指数 ; 正惯性指数与负惯性指数的差 p r 称为 f (,,, ) 的符号差. (4) 秩为 r 的实对称矩阵合同于对角矩阵,. 复二次型的规范型 () 定义 f (,,, ) = y y y 称为复二次型 f (,,, ) 的规 r 范型, 其中 r 称为二次型 f (,,, ) 的秩. () 定理任意一个复系数的二次型, 经过适当的线性替换可以变成规范型, 且规范型是惟一的. () 任意一个复系数矩阵合同于对角矩阵. 8.4 正定二次型与正定矩阵. 正定二次型 () 定义设 f (,,, ) 是实二次型, 若对任意 个不全为零的

65 ,,,, 总有 f(,,, ) >, 则称 f (,,, ) 是正定二次型. 若对任意 个不全为零的实数,,,, 总有 f(,,, ), 则称 f (,,, ) 是半正定二次型. 若对任意 个不全为零的实数,,,, 总有 f(,,, ) <, 则 f (,,, ) 是负定二次型. 若对任意 个不全为零的实数,,,, 总有 称 f(,,, ), 则称 f (,,, ) 是半负定二次型. 若存在,,,, 使 f(,,, ) >, 又存在 b, b,, b 使得 f( b, b,, b ) <, 则称 得 f (,,, ) 是不定二次型. () 定理设 f (,,, ) 是实二次型, 它的相伴矩阵的秩为 r, 则有 f (,,, ) 是正定的当且仅当它的正惯性指数等于. ) f (,,, ) 是负定的当且仅当它的负惯性指数等于. ) f (,,, ) 是半正定的当且仅当它的正惯性指数等于秩 r. ) f (,,, ) 是半负定的当且仅当它的负惯性指数等于秩 r. 4) () 性质实二次型是正定的当且仅当它的秩和符号差都等于.. 正定阵 () 定义若实对称矩阵 A 所对应的实二次型是正 ( 负 ) 定的, 则称对称矩阵 A 称为正 ( 负 ) 定阵 ; 若实对称矩阵 A 对应的实二次型是半正 ( 负 ) 定的, 则称对称矩阵 A 为实半正 ( 负 ) 定阵. () 顺序主子式的定义设 A = ( j ) 是 阶矩阵, A 的 个子式 : 称为 A 的顺序主子式. k k pk = k = k k kk (,,, ). 二次型正定的判别定理实二次型 f (,,, ) 要条件是它的全部顺序主子式都大于零. j j = j= = 是正定的充分必

66 二训练题 一. 选择题. 矩阵 对应的二次型是 ( ) () (c) 4 ; (b) 4 ; ; (d) 4.. A 是 阶实对称矩阵, 则 A 是正定的充分必要条件是 ( ) () A > ; (b) 存在可逆阵 C 使得 A= C C ; (c) 如果是非零向量 α, 则有 α Aα > ; (d) 存在非零列向量 β 使得 β Aβ >.. 二次型 f (,, ) = ( k ) ( k ) ( k ) ( ) () k > ; (b) k > ; (c) k > ; (d) k =. 4. 下列哪个条件使得实对称矩阵必是正定阵 ( ) () 主对角线上元素为正 ; (b) 顺序主子式的秩都为正数 ; (c) 所有元素为正 ; (d) 行列式的值为正. 5. 若实对称矩阵的秩 r 等于它的正惯性指数 m, 则符号差为 ( ) () r ; (b) r m; (c) m r ; (d) r m. 6. 矩阵 A 是实反对称矩阵, 则 AA 是 ( ) () 正定阵 ; (b) 负定阵 ; (c) 半正定阵 ; (d) 半负定阵. 二. 填空题. 若可逆矩阵 A 和 B 合同, 它们的逆是否合同.. 二次型 5 的正惯性指数为.. 二次型的符号差是指. 4. 任意一个复系数的二次型, 都可以经过适当的线性替换化成 型. 5. 实二次型 f (,,, ) 实正定的当且仅当它的正惯性指数等于

67 6. 实对称阵是正定阵当且仅当它与 合同. 7. 实对称阵是正定阵当且仅当它的顺序主子式都 的秩是. 9. t 取 时, 二次型 t( ) 是正定的. 4. 矩阵 4 5 的二次型为, 秩为. 5 三. 计算题和证明题. 设二次型 b 经过正交变换化为标准型 y 求 b, 的值.. A 是 阶实对称矩阵, 且 AB B A 是正定矩阵, 证明 A 是可逆阵.. t 为何值时, 二次型 t( ) 是正定的. 4y, A 4. 设 A, B 分别为 m 阶和 阶正定阵, 证明分块矩阵 是正定的. B 5. 用正交线性替换化下列二次型为标准型 : () 4 4 ; ; () 4 6. 证明满足 A A A= 4E 的实对称矩阵 A 是正定阵. 7. 用非退化线性替换将下列二次型化为标准型. 4 ; () 8 8 ; () () ; (4) 把第 7 题中的二次型分别在实数和复数域上化为规范型. 9. 证明二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等.. 写出下列二次型的矩阵, () f = 4 4 ;

68 () f = ; () f = ; (4) f 4 = 设实对称阵 A =, 求正交矩阵 Q, 使得 Q AQ = Λ 为对角阵.. 用配方法将下列二次型化为标准形, 并求所用变换的矩阵 P. ) f = 5 6 ; ) f = 4 4 ; ) f = 6 ; 4) f = 4.. 实对称矩阵 A 是半正定阵的充分必要条件是存在同阶实对称阵 B, 使得 A= B 4. 设 A 是 阶实矩阵, 已知 A A 正定, 求证 A A A. 5. 化二次型 f (,,, ) = 为标准型. 6. A 是实对称矩阵, 证明 AA 的秩等于 A 的秩. 7. 证明秩等于 r 的对称矩阵可以表示成 r 个秩等于 的对称矩阵之和. 8. 证明 : 实反对称阵的特征值为 或纯虚数. A A 9. 设 = 为实对称阵, 证明 : 对于任意正奇数 m, 必存在实对称阵 B, 使得 ( 即实对称阵可以开正奇数次方幂 ).. 设 A, B 均为 阶实对称阵, 且存在正交矩阵 Q, 使得 Q AQ 和 证明 : AB 也是实对称阵. 若 A 是正定阵, B 是同阶方阵且 AB= BA, 求证 AB= B A. Q m A = B. BQ 都是对角阵. 若二次型 f = t ( t ) >, 经正交变换后化为标准形 y y y. 求 t 的值. 5. 证明 : 当 α = 时, 实二次型 f ( α) = α Aα 的最小值等于 A 的最小特征值

69 A A 4. 设 = 为正定阵, 证明 : k A, A, A ( k 为正整数 ) 也都是正定阵 5. 设实二次型 f α ) = α Aα = b ( ) 的矩阵 A 的 个特 ( > 征值之和为 7, A 的 个特征值之积为 8. () 求, b 的值 ; () 问 f 是否正定二次型? A A C C 6. 设 = 为正定阵, = 是实可逆阵, 证明 : C AC 是实对称阵, 且也为 正定阵. 7. 设 A= A, B= B 均为正定阵, k, l 均为正实数, 证明 : ka lb 也为正定阵. 8. 证明 : A = A 为负定阵的充要条件是, 存在可逆阵 B, 使得 A = B B. A A 9. 设 = 为实对称阵, 证明 : 当实数 t 充分大时, A te 为正定阵.. 设 = A B B, 均为正定阵, 且 AB = BA, 证明 : AB 也为正定阵. A, =

70 第九章多项式矩阵与 Jord 标准型 一内容提要 9. 多项式矩阵. λ - 矩阵 定义设 j ( λ ) 是以 λ 为未定量的数域上的多项式, 由元素 j ( λ ) 组成的矩阵 A( λ) 称为多项式矩阵或 λ - 矩阵.. λ - 矩阵的可逆阵 ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) = () 定义设 A( λ ) 是 阶 λ - 矩阵, 如果有一个 阶 λ - 矩阵 B( λ ) 使得 则 B( λ ) 称为 A( λ ) 的可逆阵, 记为 A( λ) B( λ) = B( λ) A( λ) = E, A ( λ). () 定理设 A( λ ) 是 阶 λ - 矩阵, 则 A( λ ) 是可逆阵当且仅当 A( λ ) = d.. λ - 矩阵的初等变换. () 初等变换定义对 λ - 矩阵施行的下列三种变换叫做 λ - 矩阵的初等变换 : ) 矩阵的两行 ( 列 ) 互换 ; ) 矩阵的某一行 ( 列 ) 乘以非零的常数 k ; ) 矩阵的某一行 ( 列 ) 乘以多项式 f ( λ ) 后加到另一行 ( 列 ). () λ - 矩阵等价定义如果 λ - 矩阵 A( λ ) 可以经过一系列初等变换变为 λ - 矩阵 B( λ ), 则称 A( λ ) 与 B( λ ) 等价. 4. 标准型任意一个非零的 λ - 矩阵 A( λ ) 都可以经过初等变换化为下列形式的矩阵 - 7 -

71 d( λ) d ( λ) d ( λ) r, 其中 r, d ( λ) d ( λ), ( =,,, r) 且 ( ) A( λ ) 的标准型. d λ 是首项系数为 的多项式, 称其为. 行列式因子 9. 不变因子 () 定义设 A( λ ) 是秩为 r 的 λ - 矩阵, k 是正整数且 k r, A( λ ) 的所有 k 阶 子式的首项系数为 的最大公因子 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子. () 性质 ) 设 λ - 矩阵 A( λ ) 的行列式因子为 D ( λ ), 则 D ( λ) D( λ), =,,, r. ) 等价的 λ - 矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子. () 定理 λ - 矩阵的标准型是唯一确定的.. λ - 矩阵的不变因子 () 定义 λ - 矩阵 A( λ ) 的标准型的主对角线上的元素 d( λ), d( λ),, d r ( λ) 称为 A( λ ) 的不变因子. 子. () 定理两个 λ - 矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或行列式因 9. 初等因子. 矩阵的不变因子 () 定义设 A 是数字矩阵, A 的特征矩阵 λe A是 λ - 矩阵, 我们把 λe A的不变因子称为矩阵 A 的不变因子. () 定理设 A B 是数字矩阵, 则 A 与 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 λe A 与 λe B 等价.. 初等因子 () 定义所有次数大于等于 的因式 p ( λ ) 称为 λ - 矩阵 A( λ ) 的初等因子. l j j - 7 -

72 () 定理两个矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的初等因子. 9.4 矩阵的 Jord 标准型. Jord 形矩阵 () 定义形如 J J = J J s, J λ λ = λ 的准对角矩阵称为 Jord 形矩阵, 而主对角线上的小块方阵 J 称为 Jord 块. () 定理每个矩阵都与一个 Jord 形矩阵相似.. Jord 标准型矩阵定义与 A 相似的 Jord 形矩阵称为 A 的 Jord 标准型.. 幂零线性变换 9.5 Jord 标准型的进一步讨论 m () 定义设 ϕ 是 维线性空间 V 上的线性变换, 如果存在正整数 m, 使得 ϕ =, 则称 ϕ 是一个幂零线性变换. () 定理 ) 幂零线性变换的特征值等于. ) 维线性空间 V 上的幂零线性变换 ϕ 在某组基下的矩阵可以成为 Jord 形的充分 必要条件是 V 可以分解为 ϕ 的循环不变子空间的直和. Jord 形. 一. 选择题 ) 数域 F 上的 维线性空间 V 上的幂零线性变换 ϕ 在某组基下的矩阵可以成为 二 训练题. 阶 λ - 矩阵可逆的充分必要条件是 ( ) () A( λ) ; (b) A( λ) ; (c) A( λ ) 是一个非零常数 ; (d) A( λ ) 的法式中主对角线上的元素不等于零.. 矩阵 A 与 B 相似的充要条件是 ( ) () 特征多项式相同 ; (b) 最小多项式相同 ; - 7 -

73 (c) 特征值相同 ; (d) 特征矩阵等价.. 矩阵 A 有一个不变因子为 λ λ, 则下列结论正确的是 ( ) () A 相似于对角矩阵 ; (b) A 是奇异矩阵 ; (c) A 的初等因子都是 λ 的幂或 λ 的幂 ; (d) A 是非奇异矩阵. 4. 设矩阵 A 的特征多项式为 ( λ )( λ ), 最小多项式为 ( λ )( λ ), 则矩阵 A 的初等因子组为 ( ) () (c) ( λ ),( ) λ ; (b) ( λ ),( λ ),( λ ) ; (d) ( λ ),( λ ) ( λ ),( λ ),( λ ). 5. 下列矩阵相似的是 ( ) () 可逆矩阵 A 和它的逆矩阵 A ; (b) A 和它的转置 A ; (c) A 和它的伴随矩阵 ; (d) A 和 A 经过初等变换后的矩阵. 6. 矩阵 A 为可逆阵的充要条件是 ( ) () A 的不变因子全不为零 ; (b) A 的行列式因子全不为零 ; (c) A 的最后一个不变因子有非零常数项 ; (d) A 至少有一个不变因子有非零常数项. 7. 若 A 是 阶非零矩阵且 A =, 则 A 的 Jord 标准型中 Jord 块的最大阶数 二. 填空题 为 ( ) () ; (b) ; (c)4; (d)5. 8. 矩阵 A 有一个不变因子 λ λ, 则下列结论正确的是 ( ) () A 相似于对角矩阵 ; (b) A 是奇异矩阵 ; (c) A 的初等因子都是 λ 的幂或 λ 的幂 ; (d) A 的特征值为,-.. 已知矩阵 A 的初等因子为 λλ,, λ, λ,( λ ),( λ ), 则 A 的不变因子组为.. 阶矩阵 A 是幂零矩阵, 则 A 的最后一个不变因子为.. A 是三阶矩阵, A 的极小多项式是 ( λ ), 则 A 的 Jord 标准型是. 4. 已知矩阵 A 的不变因子组为,,,, ( ),( ) ( ) 内的不变因子组为. λ λ λ λ λ λ 5. A 是 阶矩阵且 A A E =, 则 A 于对角矩阵. 三. 计算题和证明题. 设 A 是 阶矩阵, 若 A 可对角化, 求证 A 的伴随矩阵也可对角化., 则 A 在复数域 - 7 -

74 . 设 A 是 阶矩阵, 且 A = A, 若 A 的秩为 r, 求出 A 的初等因子组. k. 证明 : 阶矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 的形如 λ 的初等因子恰有 r 个. 4. 把下列 λ - 矩阵化成标准型 () () λ λ λ, () λ 5λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ, ( λ ) 5. 已知矩阵的不变因子, 求它在有理数域上的初等因子 () (),,,, λ, λ ( λ),( λ ) ( λ ) λ,,,, λ, λ( λ ), λ ( λ ) ( λ)( λ ) 6. 求第 5 题中复数域和实数域上的初等因子. 7. 已知矩阵的初等因子组, 求它的不变因子 : () () λλ,, λ, λ,( λ ), λ,( λ ) ;, ( ),,, ( ),, ( ). λ λ λ λ λ λ λ 8. 设 A, B 是数域 F 上的 阶矩阵, 求证它们的特征矩阵 λe A和 λe B 相似的充 要条件是存在同阶矩阵 P 和 Q, 使 A = PQ, B = QP, 且 P 及 Q 中至少有一个是可逆阵. 9. 求下列 λ - 矩阵的不变因子 () () λ λ λ, () λ λ λ 5 4 λ λ λ λ λ λ k. 设 A = λ, 求 A. λ (4). 设 A 是数域 F 上一个方阵, 证明 A 与 λ λ λ λ A 相似

75 . 求下列矩阵的 Jord 标准型 : (), (). 求下列复系数矩阵的 Jord 标准型 8 7 (), () 6, () 5, 5 4 (4) 6, (5) 证明 : λ λ λ λ λ 的不变因子是,,,, 5. 判断下列矩阵是否相似 (), ; (). λ λ λ , 矩阵 A 是上三角矩阵且其主对角线上的元素全相同, 除主对角线上的元素外, A 至少有一个元素非零, 求证 A 的 Jord 标准型必不是对角矩阵. 7. 设 A 是 阶矩阵且有特征值, 又 A 只有一个线性无关的特征向量, 求 A 的 Jord 标准型. 型. 型. 8. 设 J 是一个 Jord 块, 其主对角线上的元素等于非零数, 求 J 的 Jord 标准 9. 设 A 是 7 阶矩阵, 其初等因子为. 设 A 是 阶矩阵, 且 A, ( ), ( ),, 求其 Jord 标准 λ λ λ λ = A, 若 A 的秩为 r, 求出 A 的 Jord 标准型

76 第十章双线性函数 一 主要内容. 线性函数与对偶空间 定义.- 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : () f( α β) = f( α) f( β); () f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数 定义. 对偶空间 * 设 V 是数域 F 上的 维线性空间, V 上全体线性函数组成的集合记为 V. 我们可以在 V 上定义加法与数乘. 设 f, g 是 V 上线性函数, 定义函数 f g 为 : ( f g)( α) = f( α) g( α), α V. 还可定义数量乘法. 设 f 是 V 上线性函数, 对数域 F 中的任意数 k, 定义函数 kf 如下 : ( kf )( α) = k( f ( α)), α V. 容易验证, 这样定义的 f g, kf 都是线性函数, 偶空间. 定理 * V 成为 F 上的线性空间, 称为 V 的对 定理.- 设 ε, ε,, ε 及 η, η,, η 是线性空间 V 的两组基, 它们的对偶基分别 * f, f,, f 及 g, g,, g. 再设由 ε, ε,, ε 到 η, η,, η 的过渡矩阵为 A, 那么 是 f, f,, f 到 g, g,, g 的过渡矩阵为 由 A. ( ). 双线性函数 定义 定义.- 设 V 是数域 F 上一个线性空间, f ( α, β ) 是 V 上一个二元函数, 即将 V 中任意两个向量 α, β 对应于 F 中一个数 f ( α, β ), 并且满足如下条件 :

77 () f( α, kβ kβ) = kf( αβ, ) kf( αβ, ); () f( kα k α, β) = k f( α, β ) k f( α, β ) α, α, α, β, β, β V; k, k F. 我们称 f ( α, β ) 是 V 上一个双线性函数. 这里 定理 定理.- 设在数域 F 上的线性空间 V 上定义了双线性函数 f, ε, ε,, ε 是 V 的任意一组基. 则任意 α, β V 在 f 下的值 f ( α, β ) 可以由 α, β 在该基下的坐标 X, Y 按 下列公式计算 : f ( αβ, ) = X AY, 其中 A= ( j ) 由 j = f( ε, ε j ) 组成, 称为双线性函数 f 在 ε, ε,, ε 下的度量矩阵. 二 训练题. 求证 : 线性空间 V 上每个双线性函数 f 都可以写成对称双线性函数与反对称双线性函数之和. 设 V = R 是实数域 R 上 维行向量空间, 向量 X = (, ), Y = ( y, y) V. 在 V 上定义的下列函数是否为双线性函数? 是否为对称或反对称双线性函数? () f( X, Y) = ; y y () f( X, Y) = ( X Y)( X Y) () f( X, Y) = Q( X Y) Q( X) Q( Y), 其中 Q( X ) =XX( X V). 证明 ;: 如果在 V= F 上定义函数 f(x,y) = X Y, () 证明 f(x,y)=det(x,y); () 当 f(x,y)= 时定义 X Y, 证明 X Y Y X X 与 Y 线性相关 ; () 如果 V 上线性变换 ϕ :X AX满足条件 f( ϕ(x), ϕ (Y)) = f(x,y), X,Y V 就成 ϕ 为 V 上的辛变换 (symplectc trsformto). 证明 : ϕ 是辛变换 A A= deta= 4. 证明 : 线性空间 V 上双线性函数 f ( α, β ) 为反对称的充要条件是 : 对任意 α V 都 有 f ( α, α ) =

78 5. 设 f ( α, β ) 是 V 上对称的或反对称的双线性函数 α, β 是 V 中两个向量, 如果 f ( α, β ) =, 则称 α, β 正交 再设 K 是 V 的一个真子空间, 证明 : 对 ξ K, 必 有 η K L( ξ ) 使 对所有 α K 都成立 f ( η, α ) = 6. 设 V 与 f ( α, β ) 同上题,K 是 V 的一个子空间 令 K = { α V f( α, β) =, β K} () 试证 K 是 V 的子空间,( K 称为 K 的正交补 ); () 试证, 如果 K K = {}, 则 V = K K

79 第十一章 最小二乘问题 一 内容提要. 最小二乘问题 4. 定义给定矩阵 A R m, 向量 b R m, 求 R, 使得 b A = m b A, R 称上述问题为线性最小二乘问题, 简称为最小二乘问题 ; 称解 为最小二乘解 最小二乘问题也可以看作是线性方程组 A = b, A R 的最小二乘问题, 相应地最小二乘解 称为线性方程组的最小二乘解. 数学性质 m 定理 最小二乘问题的解恒存在 ; 且解唯一的充分必要条件是 rk ( A) = 定理 最小二乘解满足方程组 A A = A b, 反之, 若 是上述方程组的解, 则其是最小二乘解 称上述方程为最小二乘问题的正规方程组 ( 或法方程组或 Euler 方程 ). QR 分解 m 定理 设矩阵 A R 列满秩, 即 rk ( A) = 则存在列标准正交矩阵 Q R 及非奇上三角矩阵 R R, 使得 A = QR, 且在约定 R 的对角元素 r > 情形下, 上述分解唯一, 称之为矩阵 A 的 QR 分解 所谓列标准正交矩阵 Q ( q ) q 利用 QR 分解, 可计算出最小二乘解 : m =, 指的是列向量组标准正交, 也即 Q Q = E

80 ) 作矩阵 A 的 QR 分解, A = QR ; ) 求解上三角方程组, R= Q b 4. 相关概念 m A= (,, ) R, 定义矩阵 A 的值域为, 设 R( A) = { y y = A, R } = L (,, ); 矩阵 A 的零空间定义为. N( A) = { A =, R }, 定理 4 R ( A) = N( A ), R ( A ) = N( A). 定义与结论 m 设矩阵 A R, 则 A A 的特征值为. 奇异值分解 r > r = = = λ λ λ λ λ, 称 σ = λ, =,, 为矩阵 A 的奇异值 ; 并称 σ, r σ 为 A 的最大奇异值和最小奇异值 定理 设矩阵 A R m, 则存在 m 阶正交阵 U 和 阶正交阵 V, 使得 U AV Σ O =, O O m 其中 Σ = dg( σ,, σ ), σ >, =, r, r, 上式等价于, Σ O A = U V, O O 称其为矩阵 A 的奇异值分解 称 V 的列向量 v 为矩阵 A 的对应 σ 的单位右奇异向量 ; 称 U 的列向量 u 为矩阵 A 的对应 σ 的单位左奇异向量 定理 设矩阵 A m R 有上述奇异值分解 记 U ( u u m ) =, V ( v ) =, v - 8 -

81 则成立 () rk ( A) = r ; () R A) L( u ) ( = ; u r () N A) L( ) ( = v r v ; (4) A = σ u v σ u v r r r ; (5) m = j = j = σ σ r. 奇异值分解在计算最小二乘问题中的作用 设 m A R m, rk( A) = r, b R, 考虑最小二乘问题, m b A, R 当 rk ( A) = r <, 最小二乘解不唯一 称满足 * = m, * 的最小二乘解 为规范最小二乘解, 其中 S 是最小二乘解解集 定理 设矩阵 A R m 则 () 当 rk ( A) = r <, A S 有奇异值分解 Σ O O O = U V, * r ub = v σ 是规范最小二乘解 () 当 rk ( A) = r =, 最小二乘解 唯一, 且有表达式 ; = ub = v = VΣ U b = σ - 8 -

82 . 广义逆矩阵 本教材所述的广义逆指的都是 Perose-Moore 广义逆. 定义与结论 设 A m R, 若存在 m 实矩阵 X, 满足 () AXA = A, () XAX = X, () ( AX ) = ( AX ), (4) ( XA ) = ( XA), 则称 X 是矩阵 A 的 Perose-Moore 广义逆, 简称广义逆, 记作 A 定理 设矩阵 A R Σ O m = U V, 则其广义逆为 O Om A, 则其广义逆存在唯一 ; 且若设 A 的奇异值分解为 A Σ = V O O O m U m 推论设矩阵 A R, rk( A) =, 则 A ( A A) A =. 一些基本性质 定理 设矩阵 A R () 若 A= O, 则 () ( A ) = A; A m O = ;, 则 () ( ), ka = k A k R ; (4) ( A ) = ( A ) ; (5) ( AA) = A( A), ( AA) = ( A) A 但要注意的是, 逆矩阵具有的性质, 广义逆不一定有 如 - 8 -

83 ()( AB) B A () AA A A, 且 AA E, A A E m 定理 设矩阵 A R, A 是其广义逆 则 () AA, A A 均是幂等矩阵, 且 rk ( AA ) = rkk( A A) = rk( A) ; () AA = Em 成立的充分必要条件是 rk ( A) = m, A A = E 成立的充分必要条件是 rk ( A) =,. 广义逆在在线性方程组及其最小二乘问题中的应用 考虑线性方程组 m 其中 A R, b R 其中 其中 m 已知 A = b, 定理 4 方程组相容的充分必要条件是 AA b= b, A 是矩阵 A 的广义逆 且当方程组相容时, 其通解为 y R 是任意向量 = Ab ( E AAy ), * = Ab 作为方程组的特解, 其有着特殊含义 我们记相容方程组解集为 S = { A= b}, 则有 定理 5 设方程组 A= b相容, 则 * = A β 是方程组唯一的规范解 : 且 * R( A ) * = m, S 对于最小二乘问题, - 8 -

84 m b A, R 完全有类似的结论 定理 6 * = Ab 是上述最小二乘问题的唯一规范解, 且 * R( A ) 二 训练题. 求下列方程的最小二乘解 : () y =, y =,, () 5 7y =..9.89y =,.6.8y =,,.9.68y =,.5.5y =.. 已知实验数据 : y : 4 5 : 求一拟合曲线 ( 计算过程保留 位小数 ) 作下列矩阵 A 的 QR 分解,. () 4 A =, () A =, () A = 分别用正规方程与正交化方法求最小二乘问题的解, 其中 () () A= 4, b=, () 5 6 A=, b= 4 4 A=, b=,

85 5 设 A=, b=, 求对应的最小二乘问题的全部解与标准最小二乘解 6. 设 V l V = R > l V ( ) 满足. VV = E 证明 V 的奇异值皆小于等于 7. 设 A =, B ( A A) =, () 分别写出矩阵 A, B 的奇异值分解 ; () 观测它们的关系, 是否可以利用 A 的奇异值分解, 而直接写出 B 的奇异值分解 ; () 考虑一般矩阵 A 情形 : 利用 A 的奇异值分解, 写出 B 的奇异值分解 8. 设,, O σ σ p 是 m 矩阵 A 的非零奇异值, p = m{ m, }, 证明 A A O 具有非零奇异值 σ,, σ p, σ,, σ p. 和 m 个零奇异值 计算矩阵 A = 的奇异值分解 7. 利用矩阵 A 的奇异值分解, 证明矩阵 A 的极分解定理 : 设 () 若 m, 则 A= PY, 其中 () 若 m, 则 A= XQ, 其中 m A R, m m P R 是半正定矩阵, Y R Q R 是半正定矩阵, m m R 满足 () 若 m=, 则 A= PW = WQ, 其中 PQ, R 是半正定矩阵, W R 证明 H = H. 成立的充分必要条件是 H 为对称的幂等矩阵且 证明 : 若 A 是正规矩阵 ( 即 AA= AA ), 则 AA= AA rkh 满足 YY = E m ; X X = E 为正交阵 = rkh 验证 5 4 G = 4 6 是矩阵 A =. 的广义逆 4. 记 B = AAB, A = ABB, 证明 AB= AB; ( AB) = ( AB ) = B A,