2003年

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笑钰童闪
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1 00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一一填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 ( x x0) y0( y y0) ( z z0) 0, 即 x x y y z z x0 y0 由题意两平面平行, 故, 解得 x0, y0, 故 z 4 0 x0 y0 5, 因此所求方程为 x 4y z 5 (4) 从 R 的基 α, 0 α 到基 β, β 的过渡矩阵为解 : 所以设 P 为基 α, α 到基 β, β 的过渡矩阵, 则 ( β, β) ( α, α) P P ( α, α ) ( β, β ) P 二选择题 ( 每小题 4 分 ) (4) 设向量组 I: α, α,, α r 可由向量组 II: β, β,, β 线性表示, 则 (A) 当 r 时, 向量组 II 必线性相关 (B) 当 r 时, 向量组 II 必线性相关 (C) 当 r 时, 向量组 I 必线性相关 (D) 当 r 时, 向量组 I 必线性相关解 :(D) 正确从 r 与的大小关系, 无法确定向量组 II 的线性相关性, 这可从以下例子看出 e 表示阶单位阵 E 的第 j 个列向量, j,,, 设 j 例取向量组 I: e, e, e r ; 取向量组 II: e, e, e, e 4 4 向量组 I 可由向量组 II 线性表示,r, 但向量组 II: e, e, e, e 4 线性无关, 故 (A) 错误例取向量组 I: e, e, e, e r 4; 取向量组 II: e, e, e

2 错误向量组 I 可由向量组 II 线性表示,r, 但向量组 II: e, e, e 线性无关, 故 (B) 不过从 r 与的大小关系可以确定向量组 I 的线性相关性由例知 (C) 错误设向量组 I II 是维向量组因为 α, α,, α r 可由 β, β,, β 线性表示, 所以存在 r 矩阵 P, 使 ( α, α,, αr ) ( β, β,, β) P, 当 r 时, 考虑线性方程组 Px 0, x R r k k 因为 r, 故在非零解 α 0, 使 P 0, 其中 k, k r k r, k r 不全为零, 于是 k k ( α, α,, αr) ( β, β,, β) P 0 k r k r 这说明 α, α,, α r 线性相关, 故 (D) 正确本题的实质问题是 : 线性无关的向量组, 不能由个数不超过它的向量组线性表示, 所以当 r 时, 向量组 I 必线性相关 (5) 设有齐次线性方程组 Ax 0 和 Bx 0, 其中 AB, 均为 m 矩阵, 现有 4 个命题 : 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解, 则 r( A) r( B ) ; 若 r( A) r( B ), 则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 ; 若 Ax 0 与 Bx 0 同解, 则 r( A) r( B ) ; 4 若则 r( A) r( B ), 则 Ax 0 与 Bx 0 同解以上命题中正确的是 (A) (B) (C)4 (D)4 解 :(B) 正确在过去历年的选择题中, 正确的答案只是一个命题, 本题标志着由单选开始转入多选因此增加了选择题的难度为了做出正确选择, 需要逐一检查 4 四个命题的对与错由 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解, 说明 N( A) N( B ), 这里 N( A), N( B ) 分别表示上述两个线性齐方程组的解空间, 故 dim N( A) dim N( B ) r( A) r( B ), r( A) r( B ) 故正确反之从 r( A) r( B ), 得 dim N( A) dim N( B ), 但这仅表示两个系数矩阵秩的大小或两个解空间维数的大小, 与方程组 Ax 0 与 Bx 0 的解无直接关系如取 65

3 A 0 0 0, 0 0 B r( A) r( B ) 0 是 Ax 0 的解, 但它显然不是 Bx 0 的解故 () 错误由 Ax 0 与 Bx 0 同解知 N( A) N( B, ) dim N( A) dim N( B ), r( A) r( B ), 于是 r( A) r( B ) 故 () 正确仅从 r( A) r( B ) 当然不能断定 Ax 0 与 Bx 0 同解, 因为秩相同的同型矩阵与方程组同解相差甚远取显然 4 错误综上所述正确, 故选 (B) A 0 0, B 九 ( 本题满分 0 分 ) 0 0 设矩阵 A, P 0, B P A P, 求 B E 的特征值与特 0 0 征向量, 其中 A 为 A 的伴随矩阵, E 为阶单位矩阵解法 : 经计算可得 5 A 5 ; 5 从而 P 0 0 ; B E B P A P E ( B E ) 7 4 ( 9) ( ) 5 66

4 故 B E 的特征值为 9,9, 当 9 时, 对应的线性无关特征向量可取为 η, η 0 0 所以对应于特征值 9 的全部特征向量为 kη kη k k 0, 其中 k, k 是 0 不全为零的任意常数 0 当时, 对应的一个特征向量为 η, 所以对应于特征值的全部特征向量为 0 kη k, 其中 k 是不为零的任意常数解法 : 设 A 的特征值为, 对应的特征向量为 η, 即 Aη η 由于 A 7 0, 所以 0 又因 A A A E, 故有 A η A η 于是有 BP η P A P P η A P η A ( B E) P η ( ) P η 因此, A 为 B E 的特征值, 对应的特征向量为由于 ( ) ( ) ( ), P η EA ( ) (, 7) 故 A 的特征值为, 7 当时, 对应的线性无关特征向量可取为 η, η 0 0 当 7 时, 对应的一个特征向量为 η 67

5 由 P 0 0 0, 得 P η, P η, P η 0 因此, B E 的三个特征值分别为 9,9, 对应于特征值 9 的全部特征向量为 kp η kp η k k, 其中 k, k 是不全为零的任意常数 ; 0 对应于特征值的全部特征向量为 0 kp η k 其中 k 是不为零的任意常数十 ( 本题满分 8 分 ) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l : 0, ax by c l : 0, bx cy a l : 0 cx ay b 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0 证法 : 必要性 : 设三直线 l, l, l 交于一点, 则线性方程组 ax by c, bx cy a, () cx ay b a b a b c 有惟一解, 故系数矩阵 A b c 与增广矩阵 A b c a 的秩均为, 于是 c a c a b A 0 由于 a b c A b c a 6( a b c)[ a b c ab ac bc] c a b ( a b c)[( a b) ( b c) ( c a) ], 68

6 但 ( a b) ( b c) ( c a) 0, 故 a b c 0 充分性 : 由 a b c 0, 则从必要性的证明可知, A 0, 故秩 ( A ) 由于 a b ( ac b ) b c [ a ( a b) b ] [( a b) b ] 0, 4 故秩 ( A ) 于是, 秩 ( A ) 秩 ( A ) 因此方程组 () 有惟一解, 即三直线 l, l, l 交于一点 x0 证法 : 必要性 : 设三直线交于一点 ( x0, y 0), 则 y0 为 Ax 0 的非零解, 其中而但 a b c A b c a 于是 A 0 c a b a b c A b c a 6( a b c)[ a b c ab bc ac] c a b ( a b c)[( a b) ( b c) ( c a) ], ( a b) ( b c) ( c a) 0 故 a b c 0, 充分性 : 考虑线性方程组 ax by c, bx cy a, cx ay b () 将方程组 () 的三个方程相加, 并由 a b c 0 可知, 方程组 () 等价于方程组 ax by c, bx cy a () 因为 a b ( ac b ) [ a( a b) b ] b c [ a b ( a b) ] 0 故方程组 () 有惟一解, 所以方程组 () 有惟一解, 即三直线 l, l, l 交于一点试卷二一填空题 ( 每小题 4 分 ) ( 5 ) 设 α 为维列向量, α 是 α 的转置, 若 αα, 则 69

7 αα 解 : αα 显然 αα 的第列, 第列分别是由,乘第列所得到, 故 αα ( ) 所以 αα ( ) (6) 设三阶方阵 AB, 满足 A B A B E, 其中 E 为三阶单位矩阵, 若解 : B 0 A 0 0, 则 B 0 由 A B A B E, 有 ( A E) B A E, 故 ( A E)( A E) B A E 0 而 AE 0 0 是可逆阵, 上式左乘 ( A E ) 得 ( AE) B E 取行列式 AE B 因 A E 0 0, 于是 B 0 0 二选择题 ( 每小题 4 分 ) (6) 同试卷一之二 (4) 十一 ( 本题满分 0 分 ) 0 若矩阵 A 8 a 相似于对角矩阵 Λ, 试确定常数 a 的值 ; 并求可逆矩阵 P 使 P AP Λ 70 解 : 矩阵 A 的特征多项式为 0 E A 8 a ( 6)[( ) 6] ( 6) ( ) 0 0 6,

8 故 A 的特征值为 6, 由于 A 相似于对角矩阵 Λ, 故对应于 6 应有两个线性无关的特征向量, 因此矩阵 6E A 的秩应为从而由 E A 8 4 a 0 0 a, 知 a 0 于是对应于 6 的两个线性无关特征向量可取为 0 ξ 0, ξ xx 0, 当时, E A , 解方程组得 x 0, 对应于的特征向量 0 0 令 P 0, 则 P 可逆, 并有 P AP Λ 0 0 十二试卷三同试卷 ( 一 ) 十一填空题 ( 每小题 4 分 ) (4) 设维向量 α( a,0,,0, a), a 0 : E 为阶单位矩阵, 矩阵 A E αα, B E αα a 其中 A 的逆矩阵为 B, 则 a 解 : a 因为 A 的逆矩阵为 B, 故 a AB ( E αα )( E αα ) E 7

9 即 E αα αα ( ) a α α α α a E 由此 ( a) αα 0 因为 αα 不是零阵, 故 a 0 a a 解之 a, a, 因为 a 0, 舍去 a, 所以 a 二选择题 ( 每小题 4 分 ) a b b (4) 设三阶矩阵 A b a b, 若 A 的伴随矩阵的秩等于, 则必有 b b a (A) a b或 ab 0 (B) a b或 ab 0 (C) a b且 ab 0 (D) a b且 ab 0 7 解 :(C) 正确因为 r( A ), 故 A 不可逆, 由 AA A E 知 A 也不可逆, A 0, 因此有 a b b b b A b a b ( a b) a b ( a b)( a b) 0 故可能 ab 0, 或 ab 0 b b a b a a a a 事实上 a b, 这是因为若 a b, 则 A a a a a a a 则 A 的二阶子式全为零, 于是由伴随矩阵 A 0, 与 r( A ) 矛盾可见 a b, 于是必有 ab 0 所以 (C) 正确, (A) ( B) ( D) 皆错误 (5) 设 α, α,, α 均为维向量, 下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 k, k,, k, 都有 kα kα kα 0, 则 α, α,, α 线性无关 (B) 若 α, α,, α 线性相关, 则对于任意一组不全为零的数 k, k,, k, 有 k α k α k α 0 (C) α, α,, α 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 (D) α, α,, α 线性无关的必要条件是任意两个向量线性无关解 :(B) 不正确因为对任意一组不全为零的数 k, k,, k, kα kα kα 都不是零向量, 它的等价说法是只有当 k, k,, k 全为零时才有 k α k α k α 0

10 这就说明 α, α,, α 线性无关, 因此 (A) 正确对于 (C), 当 α, α,, α 线性无关时, 它即为自己的极大无关组, 此向量组的秩为反之, α, α,, α 向量组的的秩为, 说明此向量组中有个向量线性无关, 因此 α, α,, α 线性无关, 故 (C) 正确至于 (D), 当 α, α,, α 线性无关时, 把其中任意个向量去掉后, 剩下的两个向量一定线性无关如若不然, 再把去掉的个向量再加回来, 就推出 α, α,, α 线性相关, 矛盾, 所以 (D) 也是正确的 (B) 中, 若 α, α,, α 线性相关, 只需要一组不全为零的数, 而不是任意一组不全为零的数 k, k,, k, 使 kα kα kα 0 后者条件太强了因此 (B) 不正确, 故选之注意此题选择的是结论不正确, 而非正确九 ( 本题满分分 ) 已知齐次线性方程组 ( a b) x ax ax ax 0, ax ( a b) x ax ax 0, ax ax ax ( a b) x 0, 其中 ai 0 试讨论 a, a,, a 和 b 满足何种关系时, i () 方程组仅有零解 ; () 方程组有非零解, 在有非零解时, 求此方程组的一个基础解系解 : 方程组的系数行列式 a b a a a A () 当 b 0 a a b a a a a a b a a a a a b ( ) b b ai i 且 b ai 0 时, 秩 ( A ), 方程组仅有零解 i () 当 b 0 时, 原方程组的同解方程组为 a x a x a x 0 解系为由 ai 0 可知, a ( i i,,, ) 不全为零不妨设 a 0, 得原方程组的一个基础 i 7

11 a a a α,,0,,0 α,,0,,,0 α,,,0,0,, a a a 当 b a 时, 有 b 0, 原方程组的系数矩阵可化为 i i a ai a a a 0 0 i 由此得原方程组的同解方程组为, x x, x x,, x x 原方程组的一个基础解系为, α (,,,,) 十 ( 本题满分分 ) 设二次型 f( x, x, x) X AX ax x x bx x( b0), 其中二次型的矩阵 A 的特征值之和为, 特征值之积为 () 求 ab, 值 ; () 利用正交变换将二次型 f 化为标准形, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵解法 :() 二次型 f 的矩阵为 a 0 b A 0 0 b 0 设 A 的特征值为 λ ( i,,) 由题设, 有 i a ( ), a 0 b 0 0 4a b b 0 解得 a, b () 由矩阵 A 的特征多项式 ( ) ( ) E A, 0 得 A 的特征值, 对于, 解齐次线性方程组 ( E A) X 0, 得其基础解系 74

12 此得 ξ (,0,), ξ (0,,0) 对于, 解齐次线性方程组 ( E A) X 0, 得基础解系 ξ (,0, ) 由于 ξ, ξ, ξ 已是正交向量组, 为得到规范正交向量组, 只需将 ξ, ξ, ξ 单位化, 由 η,0,, (0,,0),,0, 5 5 η η 令矩阵 Q ( η, η, η ) 0 0, 则 Q 为正交矩阵, 在正交变换 X QY 下, 有且二次型的标准形为 Q AQ 解法 :() 二次型 f 的矩阵为 A 的特征多项式为 a , 0 0 f y y y a 0 b A 0 0, b 0 b E A 0 0 ( )[ ( a ) ( a b )] b 0 设 A 的特征值为,,, 则, a,, ( a b ) 由题设得 ( a ), 解得 a, b ( a b ) () 由 (), 可得 A 的特征值为, 75

13 试卷四一填空题 ( 每小题 4 分 ) (4) AB, 均为三阶矩阵, E 是三阶单位矩阵 0 已知 AB A B, B 则 ( AE ) 0 0 解 : ( AE) 由 AB AB 得 ( ) 0 0 AB A B, A( B E) B B E B E ( 0 0 是自逆的对合阵 ) (5) 同试卷五之一 (4) 二选择题 ( 每小题 4 分 ) (4) 设矩阵 0 0 B 已知矩阵 A 相似于 B, 则秩 ( A E ) 与秩 ( A E ) 之和等于 (A) (B) (C)4 (D)5 解 :(C) 正确因为 A 相似于 B, 所以 A 与 B 有相同的特征值 0 E B 0 0 ( ) ( ) 0 0 即 B 的特征值为,,, 所以 A 的特征值为,,, 因为不是特征值, 故 E A 0, E A 是非奇异矩阵, r( A E) r( E A ) 76

14 由 A 相似于 B, 则存在非奇异矩阵 P, 使 P AP B 于是 P ( A E) P B E 这说明 A E 与 B E 相似, 当然它们的秩相等 0 0 B E 由 B E 的秩为, 得 A E 的秩为, 所以 ( A E ) 与秩 ( A E ) 之和为 4 故选 (C) 九 ( 本题满分分 ) 设有向量组 (I): α (,0,), (,,), α (,, ) α a 和向量组 (II): β (,, ) a, (,, β 6), (,, a 4) β a 试问 : 当 a 为何值时, 向量组 (I) 与 (II) 等价? 当 a 为何值时, 向量组 (I) 与 (II) 不等价? 解 : 作初等行变换, 有 ( α, α α, β β, β, ) 0 a a a 6 a a a a a () 当 a 时, 有行列式 α α α a 0, 秩 ( α, α, α ), 故线性方程组 xα xα xα β i ( i,,) 均有惟一解所以, β, β, β 可由向量组 (I) 线性表示同样, 行列式 β β β 6 0, 秩 ( β, β, β ), 故 α, α, α 可由向量组 (II) 线性表示因此, 向量组 (I) 与 (II) 等价 () 当 a 时, 有 0 ( α, α, α β, β, β ) 由于秩 ( α, α, α ) 秩 ( α, α, α β ), 线性方程组 xα xα xα β 无解, 故向量 β 不能由 α, α, α 线性表示向量组 (I) 与 (II) 不等价 77

15 十 ( 本题满分分 ) 设矩阵 A 可逆, 向量 α b 是矩阵 A 的一个特征向量, 是 α 对应 a 的特征值, 其中 A 是矩阵 A 的伴随矩阵试求 ab, 和的值解 : 矩阵 A 的属于特征值的特征向量为 α, 由于矩阵 A 可逆, 故 A 可逆于是 0, A 0, 且即两边同时左乘矩阵 A, 得由此, 得方程组由 (),() 解得由式 (),( ) 解得由于 A α α AA α Aα, Aα A α, A b b, a A b, () A b b, () A a b () b 或 b ; a A a 4, 根据 () 式知, 特征向量 α 所对应的特征值 A 4 b b 所以, 当 b 时, ; 当 b 时, 4 a 78

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中