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1 线性代数 课教案 学 期 :6 7 学年第一学期 学时 : 45 学时 系 ( 部 ): 基础部 教研室 : 理科教研室 授课教师 : 张焕玮 授课班级所 授课班级 授课班级 授课班级 在系 所在系 管理工程系管理工程系 6 物流管理 班 6 物流管理 4 班
2 第 次课教案 6 年 9 月 7 日星期三 章 节 : 第一章行列式 教学任务 :. 阶行列式的定义 使学生了解 阶行列式的定义, 会计算二阶和三阶行列式 重点 难点 : 二阶和三阶行列式的计算 ; 阶行列式的定义 教学内容提要 : 第一章 行列式. 阶行列式的定义 一 二阶 三阶行列式 定义记号 表示代数和, 称为二阶行列式, 即 ( 对角线规则 ) 其中数,,, 叫做行列式的元素, 横排叫行, 纵排叫 列 元素 ij 中的第一个指标 i 和第二个指标 j, 依次表示行数和列 数 同理我们可以定义三阶行列式 :
3 二 阶行列式 定义 : 有 个元素 (, i j,,, ) 组成的记号 称为 阶行列式 当 > 时,D ij D 在 D 中, 去掉元素 ij ij j j A j ( 按第一行展开 ) 所在的第 i 行和第 j 列后, 余下的 - 阶行列 式, 称为 D 中元素 的余子式, 记做 M ; 的余子式 M 前添加 符号 ( ) i j, 称为 ij 的代数余子式, 记做 A ij 即 A ij ( ) i ij ij ij j M ij 复习思考题 作业 : P 7 ;;;4;5;6 课后小结 :
4 第 次课教案 6 年 9 月 9 日星期五章节 : 第一章行列式. 阶行列式的性质与计算教学任务 : 使学生理解 阶行列式的性质, 会利用性质计算行列式 重点 难点 : 阶行列式的性质 ; 计算行列式 教学内容提要 :. 阶行列式的性质与计算 一 阶行列式的性质 性质 行列互换, 行列式不变 即 D D 注 : 行列式 D 的行列互换后得到的行列式, 称为 D 的转置行列式, T 记做 D 性质 交换行列式的两行 ( 列 ), 行列式反号 性质 两行 ( 列 ) 相同, 行列式为零 性质 4 两行 ( 列 ) 成比例, 行列式为零 性质 5 一行 ( 列 ) 的公因子可以提出去 或者说 : 以一数乘以行列式的一行 ( 列 ) 就相当于用这个数 T
5 乘此行列式 注 : 如果行列式中一行 ( 列 ) 为零, 那么, 行列式为零 性质 6 b c b c b c b 即 : 如果某一行 ( 列 ) 是两组数的和, 那么, 这个行列式就等于两个行列式的和, 而这两个行列式除了这一行 ( 列 ) 以外全与原来行列式的对应行 ( 列 ) 一样 性质 7 以一行 ( 列 ) 的倍数加到另一行 ( 列 ), 行列式不变 4 例 计算行列式 D 解 : 第一列与第二列成比例, 所以 D 二 阶行列式的计算 降阶法 三角形法计算行列式 6 6 D 6 6 b b c c c 复习思考题 作业 : p ;(); 课后小结 :
6 章 教学任务 : 第 次课教案 节 : 第一章行列式. 克拉默法则 6 年 月 日星期三 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 复习计算行列式 D. 克拉默法则一 克拉默法则 线性方程组 b b b 系数行列式 DdetA, 则该线性方程组有唯一解 :
7 D D, D D,, D D 例 已知齐次线性方程组有非零解, 问 λ 应取何值? ( ) ( ) ( ) z y z y λ λ λ 二 运用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解定理齐次线性方程组有非零解 系数行列式 DdetA 推论齐次线性方程组只有零解 系数行列式 DdetA 复习思考题 作业 : (),();(); p 5 课后小结 :
8 章 教学任务 : 第 4 次课教案 节 : 第二章矩阵. 矩阵的概念. 矩阵的运算及其性质 6 年 月 日星期五 使学生理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运算及其性质 重点 难点 : 矩阵的乘法 ; 阶方阵的行列式 教学内容提要 :. 矩阵的概念 定义 由 m 个数 ij ( i,,,m;j,,,) 排 成的一个 m 行 列的矩形表, 成为一个 m 矩阵, 记做 其中 ij m m m 称为矩阵第 i 行第 j 列的元素 一般地, 我们用大写字母 A B C, 表示矩阵. 矩阵的运算及其性质 我们对矩阵定义了如下运算, 以方便理论研究和实际问题的解决
9 一 矩阵的加法 : 设 A ( ij ) m b ij,b ( ) m 则 AB ( ij b ij 二 数量乘法 : 设数 k 及矩阵 A ( ) m ij ) m k ( k ) ij m 的乘积为 ka ( ) ij m 三 矩阵的乘法 : 设矩阵 A ( ) ij, 则数 k 与矩阵 A ( ) m,b ik m l ( bkj ) l, 则矩阵 A 与 B 的乘积定义做 CAB l b ik kj k m k 个 四 方阵的幂 k A A A A 称为方阵 A 的 k 次幂 五 矩阵的转置将 m 矩阵 A 的行列互换, 得到的 m 矩阵, T 称为矩阵 A 的转置矩阵 记做 A 五 阶方阵的行列式方阵 : 行数 列数的矩阵 ; 矩阵 A 的行列式 : A 复习思考题 作业 : p 9 ;;4(),(),(4);6;7();; 课后小结 :
10 第 5 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 : 习题课 教学任务 : 使学生理解并熟练掌握矩阵的运算及其性质 重点 难点 : 矩阵的概念 运算及其性质的灵活运用 教学内容提要 : EX p 9 EX 设 A ( ij ), 若 A -, 求 A A 解 : A A -A A A () -8A -8 (-)6 测试题 一 填空 :
11 9 设 A, 则 A -7 A - 4 设 A 是一个 阶矩阵,k 是一个常数, 则 ka A k 5 二 设 A,B, 求 AB BA 4 AB BA 复习思考题 作业 : 4(),(5);5; p 9 课后小结 :
12 第 6 次课教案 6 年 月 日星期五 章 节 :. 逆矩阵 教学任务 : 使学生正确理解逆矩阵的概念及性质, 理解伴随矩阵的概念, 理解逆矩阵的公式 重点 难点 : 逆矩阵的概念 逆矩阵的计算公式 教学内容提要 :. 逆矩阵 一 逆矩阵的概念逆矩阵在矩阵理论和应用中起着重要的作用 定义 对于 阶矩阵 A, 如果存在 阶矩阵 B, 使得 ABBAE 那么矩阵 A 成为可逆矩阵, 而 B 称为 A 的逆矩阵 命题 如果矩阵 A 可逆, 则 A 的逆矩阵是唯一的 二 逆矩阵的性质 : ( A ) A ( ) A kb (k 是数 ) k ( ) AB B A T ( A ) ( A ) T A A
13 三 矩阵可逆的判别与逆矩阵的求法 定理 阶矩阵 A ( ) ij 可逆 A 非奇异 且 A A A A A A A A A A A 其中 A 是 A 中元素的代数余子式 ij ij 例 求矩阵 A 的逆矩阵 5 复习思考题 : p 48 9 作业 : p 48 ;4();5()6 课后小结 :
14 章 教学任务 : 第 7 次课教案 节 :.4 分块矩阵.5 几类特殊的矩阵 6 年 月 5 日星期四 使学生了解分块矩阵的概念 运算及其性质 ; 掌握几类特殊的矩阵 重点 难点 : 教学内容提要 :.4 分块矩阵 一 分块矩阵的概念 分块矩阵的意义及其运算 在矩阵的讨论与计算中, 经常需要将一个矩阵分成若干个子块, 使原矩阵显得结构简单而清晰 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵, 每一个小矩阵称为矩阵 A 的子块, 以子块为元的矩阵称为分块矩阵 特别地, 运算中可以将子块当作 数 来处理, 使得运算简单, 这就是所谓的矩阵的分块 分块的原则 : 显示特点 ; 简化运算 ; 分块后的子块之间的运算有意义 二 分块矩阵的计算 E 例 把矩阵 A 分成四块, 即 A, 又把 A E
15 E B 矩阵 B 分成四块, 即 B, 验证 4 B B E E B E B AB A E B B A B A B B 例 对于线性方程组 A b, 其系数矩阵 A α m m m ( α ) 则线性方程组 A b 可以表示为 ( α α ) α α b 即 α α α b 称为线性方程组 A b 的向量形式.5 几类特殊的矩阵 对角矩阵 ; 数量矩阵 单位矩阵 4 三角形矩阵 5 对称矩阵 复习思考题 作业 : ();; p p 课后小结 :
16 第 8 次课教案 6 年 月 7 日星期五 章 节 : 习题课 教学任务 : 使学生理解并熟练掌握矩阵的概念运算及其性质 重点 难点 : 矩阵的概念的灵活运用 教学内容提要 : EX p 9 EX 设 A ( ij ), 若 A -, 求 A A 解 : A A -A A A () -8A -8 (-)6 测试题 三 填空 :
17 9 设 A, 则 A -7 A - 4 设 A 是一个 阶矩阵,k 是一个常数, 则 ka A k 5 四 设 A,B, 求 AB BA 4 AB BA 复习思考题 作业 : ; 6 55 p 59 p 课后小结 :
18 第 9 次课教案 6 年 月 日星期四 章 节 :.6 矩阵的初等行变换 教学任务 : 使学生理解并熟练掌握矩阵初等行变换的方法 ; 了解初等矩阵 重点 难点 : 矩阵的初等行变换 ; 教学内容提要 : 一 矩阵的初等变换 初等矩阵 定义 对矩阵施以下列 种变换, 称为矩阵的初等变换 () 交换矩阵的两行 ( 列 ); () 以一个非零数 k 乘矩阵的某一行 ( 列 ); () 把矩阵的某一行 ( 列 ) 的 l 倍加到另一行 ( 列 ) 上 二 初等矩阵
19 三 用初等变换的方法求可逆矩阵的逆矩阵作一个 矩阵 (AE), 对此矩阵施以仅限于行的初等变换, 则使 A 化成 E 的同时,E 就化成了 A 例 求矩阵 A 的逆矩阵 5 例 4 已知例 中矩阵 A, 求 ( ) E A EX 求矩阵 A 的逆矩阵 A EX 求矩阵 A 的逆矩阵 A EX 求下列矩阵方程 AXB () X 复习思考题 作业 : (),(4); 64 p 课后小结 :
20 第 次课教案 6 年 月 日星期五 章 节 :.7 矩阵的秩 教学任务 : 使学生理解并熟练掌握矩阵秩的概念, 会求矩阵的秩 重点 难点 : 矩阵秩的定义 ; 矩阵秩的求法 教学内容提要 :.7 矩阵的秩 一 矩阵秩的概念 定义 设 A ( ) ij 是 m 矩阵, 从 A 中任取 k 行 k 列,(k mi(m,)) 位于这些行和列的相交处的元素, 保持它们原来的相对位置所构成的 k 阶行列式, 称为矩阵 A 的 k 阶子式 例如矩阵 A 处的元素所构成的 阶子式是 定义 设 A ( ) ij 4 5 的第 行, 第 4 列相交 5 是 m 矩阵, 如果存在 r 阶子式不为零, 而任 意 r 阶子式皆为零, 则 r 称为矩阵 A 的秩 记做秩 (A)r, 或 r(a)r
21 二 用初等变换的方法求矩阵的秩定理初等变换不改变矩阵的秩 例 求矩阵 A 的秩 例 求矩阵 A 的秩 5 4 EX 求矩阵 A 的秩 EX 求矩阵 A 的秩 EX 求矩阵 A 的秩 4 8 三 关于矩阵秩的性质复习思考题 作业 : ()()(),(4) 68 p 课后小结 :
22 章 教学任务 : 第 次课教案 节 : 第三章线性方程组 6 年 月 8 日星期四. 高斯消元法. 线性方程组的相容性定理 使学生了解高斯消元法及线性方程组的相容性定理, 会利用高斯消元法讨论线性方程组的解 重点 难点 : 线性方程组的相容性定理 教学内容提要 :. 高斯消元法一 对于一般的线性方程组 m m m b b b m () 用消元法求解一般线性方程组 () 的过程, 实质上就是对 () 的增广矩阵 A 实施一系列的初等行变换的过程 二 对于齐次线性方程组 AX. 线性方程组的相容性定理
23 定义 : 若线性方程组 () 有解, 则称此线性方程组是相容的, 否则称为不相容的 定理 线性方程组 () 有解 秩 A 秩 A 且 秩 A 秩 A 时,() 有唯一解 ; 秩 A 秩 A < 时,() 有无穷多解 例 判断线性方程组的相容性和相容时解的个数 4 () 定理 齐次线性方程组 () 有非零解 秩 A< 当秩 A 时,() 只有零解 推论当 m< 时,() 有非零解 例 解齐次线性方程组 小结求解方法 : 对于非齐次线性方程组, 将增广矩阵 (AB) 化为阶梯形矩阵, 便可直接判断其是否有解, 若有解, 化为行最简矩阵, 可直接写出其通解 对于齐次线性方程组, 将系数矩阵 A 化为行最简矩阵, 可直接写出其通解 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
24 第 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 :. 维向量及向量组的线性相关性 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 :. 维向量及向量组的线性相关性 一 维向量的定义 定义 由 个实数组成的有序数组称为一个 维向量 一般地用 α β γ 表示 如 : α (,,, ); 称为 维行向量, 其中 i 称为 α 的第 i 个分量 ; b b β 称为 维列向量, 其中 bi 称为 β 的第 i 个分量 b 几个概念 : 一个 m 行 列矩阵 A 是由 m 个 维行向量组成, 或者是由 个 m 维列向量组成
25 向量的相等 : 当且仅当它们各对应分量都相等, 记做 α β 零向量 : 所有分量均为零的向量, 记做 (,,,) 4 负向量: 若 α (,,, ), 则 α (,,, ) 维向量的运算 向量的加法 数乘向量 二 线性相关与线性无关 线性组合 定义 对于向量组 α, α,, α s, β, 如果存在一组数 k, k,, k s, 使关系式 β k α k α k s α s 成立, 则称向量 β 是向量组 α, α,, α s 的一个线性组合, 或称向量 β 被向量组 α, α,, α s 线性表出 例 任何一个 维向量 α (,,, ) 都是 维向量组 ε (,,,) ε (,,,) ε (,,,) 的线性组合 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
26 第 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 :. 维向量及向量组的线性相关性 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 线性相关与线性无关定义 对于向量组 α, α,, α s, 如果存在一组不全为零的数 k,, k, k s, 使关系式 k α k α α ( ) k s s 成立, 则称向量组 α, α,, α s 线性相关, 如果 ( ) 式当且仅当 k k k s 时成立, 则称向量组 α, α,, α s 线性无关 三 线性相关性的判别 定理 个 维向量 α,,, ) (j,,,) j ( j j j
27 线性相关 推论 个 维向量 α,,, ) (j,,,) j ( j j j 线性无关 例 4 维单位向量 ε, ε,, ε 线性无关 例 5 一个零向量线性相关 例 6 一个非零向量线性无关 例 7 任意 个 维向量线性相关 例 8 如果向量组 α, β,γ 线性无关, 那么向量组 α β, β γ,γα 亦线性无关 例 9 部分相关, 全组相关 例 全组无关, 部分无关 例 含有零向量的向量组线性相关 向量间线性关系的性质 定理 向量组 α, α,, α s (s ) 线性相关 其中至少有一个 向量是其余 s- 个向量的线性组合 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
28 第 4 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 :.4 向量组的秩 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 :.4 向量组的秩 一 向量组的等价关系 定义 设有两个向量组 A α, α,,α r,b β, β,, β s, 如 果 A 中的每个向量都能被 B 中的向量线性表出, 则称向量组 A 可以被向量组 B 线性表出 ; 如果 A 中的每个向量都能被 B 中的向量线性表出,B 中的每个向量也都能被 A 中的向量线性表出, 则称向量组 A 与向量组 B 等价 二 极大线性无关组 定义 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组, 如果这个部分组本身是线性无关的, 并且从这个向量组中任意添一个向量 ( 如果还有的话 ), 所得的部分向量组都线性相关 注 向量组的极大线性无关组是不唯一的 但是极大线性无关组所含向量的个数是唯一的
29 定义 向量组 α, α,, α s 的极大线性无关组所含向量的个数, 称为向量组的秩, 记做 r( α, α,, α s ) 定理 两个线性无关的, 可以互相线性表出的向量组, 必含有相同个数的向量 定义 4 矩阵 A ( 行向量的秩称为矩阵的行秩, 矩阵 A ( ij ) m ij ) m 定理 矩阵的行秩与列秩相等 定理 设 阶矩阵 A 列向量的秩称为矩阵的列秩, 那么 A 秩 A< 例 求向量组 α (,4,), α (,,), α (,,) α 4 (,5,) 的一个极大无关组与秩 EX 求向量组 α (,,), α (-,,), α (,, ), α 4 (,,4) 的一个极大无关组与秩 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
30 第 5 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 :.5 线性方程组解的结构 教学任务 : 使学生理解齐次线性方程组解的性质, 理解齐次线性方程组的基础解系的概念 重点 难点 : 齐次线性方程组解的性质 ; 齐次线性方程组的基础解系 教学内容提要 :.5 线性方程组解的结构 一 齐次线性方程组解的结构 对于齐次线性方程组 AX () 齐次线性方程组 () 的解有如下性质 : () 的两个解的和仍是 () 的解 ; () 的解的倍数仍是 () 的解 ; () 的解的线性组合仍是 () 的解 由此可知, 如果一个齐次线性方程组有非零解, 则必有无穷多解, 这无穷多解就构成了一个 维向量组 如果求出这个向量组的一个极大无关组, 那么, 就可以用它的线性组合来表示它的全部的解 定义 如果 v, v,, vs 是齐次线性方程组 () 的解向量的一个极
31 大无关组, 则称 v, v,, vs 是方程组 () 的一个基础解系 定理 对于齐次线性方程组 (), 如果秩 Ar<, 那么 () 有基础解系, 且基础解系所含解向量的个数是 -r 例 求齐次线性方程组 的一个基础解系 和通解 EX 求齐次线性方程组 的一个基础解系 EX 求齐次线性方程组 4 的一个基础解系 EX 解齐次线性方程组 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
32 第 6 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 :.5 线性方程组解的结构 教学任务 : 使学生理解非齐次线性方程组解的结构, 会求线性方程组的解 重点 难点 : 非齐次线性方程组的导出组的定义 ; 非齐次线性方程组的特解 解的结构 教学内容提要 : 二 非齐次线性方程组解的结构 对于非齐次线性方程组 AXB () 定义 一般线性方程组 () 中, 取 B, 得齐次线性方程组 () 称为一般线性方程组 AXB 的导出组 一般线性方程组 () 的解与它的导出组的解之间有着密切的关系 : 一般线性方程组 () 的两个解的差是它的导出组 () 的解 ; 一般线性方程组 () 的一个解与它的导出组 () 的一个解之和还是这个方程组的解 定理 如果 u 是一般线性方程组 () 的一个特解, 对于方程组 () 的任一个解 u 都可以表成 u v 其中 v 是导出组 () 的一个解 定理 说明了, 为了找出一个线性方程组的全部解, 我们只 u
33 要找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就行了 而导出组的全部的解可以用基础解系表出, 因此, 我们可以用导出组的基础解系表示一般线性方程组的 例 解线性方程组 例 设线性方程组 b, 试就 b, 讨论方程组解的 b 4 情况, 若有解, 求出解 EX 解线性方程组 EX 解线性方程组 EX 解线性方程组 8 4 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
34 章 教学任务 : 第 7 次课教案 6 年 9 月 7 日星期四 节 : 第四章相似矩阵与二次型 4. 正交矩阵 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 第四章 相似矩阵及二次型 4. 正交矩阵一 向量组的内积 α ( ) T ( b, b,, ) T 定义 : 设 维向量,,,, β b, 则实 数 b b b 称为向量 α 与向量 β 的内积 记作 [α, β ] b b b 事实上, 向量的内积可以用矩阵的乘法表示, 即 [α, β ] α T β
35 性质 : [α, β ][ β,α ] [kα, β ]k[ β,α ],k R [α β,γ ][α,γ ][ β,γ ] 4 [α,α ], 当且仅当 α 时,[α,α ] 定义 : 非负实数 [ α, α] 称为向量 α 的长度, 记作 α 定义 : 长度为 的向量称为单位向量 α 定义 4: 称为把向量 α 单位化 α 性质 : 非负性 α 齐次性 kα k α, k R 事实上, k α [ kα, kα ] k [ ε, α] k α 三角形法则 α β α β 例 求下列向量的内积 ()α (,-,,), β (,-,,-) 例 求下列向量的长度 ()α (,,,4); ()α (,-, -,,,-) 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
36 第 8 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 : 4. 正交矩阵 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 二 正交向量组 定义 向量 α (,,, ), β ( b, b,, ) b T, 若 α β, 则向量 α 与向量 β 正交 若向量组 α, α,, α s 两两正交, 则称向量组 α, α,, α s 是正交向量组 例如 : 维单位向量 e, e,, e 是正交向量组 定理非零向量组成的正交向量组一定是线性无关的 定义 如果 阶矩阵 A 满足 A 为正交矩阵 三 向量组的正交规范化 AA T E, 即 A T A 成立, 那么称
37 施密特正交化过程 : 设向量组 α, α,, α s 线性无关, 令 β α β α [ α, β] β [ β, β ] [ α s, β] [ β, β ] β [ α s, β s ] β [ β, β ] s α s β s s s 可以证明 : β, β,, β s 两两正交, 且 α, α,, α s 等价 与 β, β,, β s 例 将 α, α, α 4 正交规范化 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 : 第 9 次课教案
38 6 年 月 8 日星期四 章 节 : 4. 正交矩阵 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 四 正交矩阵 T T 定义 : 如果 阶方阵 A 满足 AA AA E, 则 A 称为正交矩阵 例如 : A 是正交矩阵 T 命题 阶方阵 A 是正交矩阵的充要条件是 A A 命题 阶方阵 A 是正交矩阵的充要条件是 T AA E cosθ siθ 例 判断下列矩阵 A 是否是正交矩阵 siθ cosθ 解 : T AA cosθ siθ cosθ siθ siθ cosθ siθ cosθ 所以 A 是正交矩阵 性质 E 是正交矩阵 性质 若 A B 是正交矩阵, 则 AB 也是正交矩阵
39 性质 若 A 是正交矩阵, 则 A 也是正交矩阵 性质 4 若 A 是正交矩阵, 则 deta A 或 - 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 : 第 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 : 4. 矩阵的特征值与特征向量 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 :
40 4. 矩阵的特征值与特征向量一 特征值与特征向量定义 : 设 A 为 阶矩阵, 如果数 λ 和 维非零向量 使关系式 A λ () 成立, 那么数 λ 称为矩阵 A 的特征值, 非零向量 称为矩阵 A 的对应于特征值 λ 的特征向量 设 ( ) ij A, ( ) T, 则 () 式可以写成 ( ) E A λ 或者 b b b ) ( ) ( ) ( λ λ λ 其系数行列式 ( ) ( ) det λ λ λ λ λ E A f () 是 () 有非零解的充要条件 ( ) λ f 称为矩阵 A 的特征多项式,() 是矩阵 A 的特征方程 可见, 矩阵 A 的特征值就是其特征多项式的根 二 特征值与特征向量的求法例 求矩阵 A 的特征值与特征向量 4 解 : 矩阵 A 的特征多项式
41 ( ) ( ) λ λ λ λ λ 4 det E A f 令 ( ) λ f, 得矩阵 A 的特征值 λ,( 重根 ), 当 λ 时, 解方程组 ( ) E A A-E 4 得基础解系, 于是 η η k ( ) 是对应于特征值 λ 的特征向量 k 当 λ 时, 解方程组 ( ) E A A-E 4 得基础解系, 于是 η η k ( ) 是对应于特征值 λ ( 重根 ) 的特征向量 k 复习思考题 作业 : (),() p 5 课后小结 :
42 第 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 : 4. 相似矩阵 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 4. 相似矩阵 一 相似矩阵的概念 定义 设 A B 是 阶矩阵, 若有 阶可逆矩阵 P, 使得 P AP B 成立, 则称矩阵 A 与 B 相似 对 A 进行运算 P 相似变换 显然, 相似关系是等价关系 性质 : 反身性 A 与 A 相似 ; 对称性若 A 与 B 相似, 则 B 与 A 相似 ; AP 称为对 A 进行
43 传递性若 A 与 B 相似,B 与 C 相似, 则 A 与 C 相似
44 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
45 第 次课教案 6 年 月 8 日星期四 章 节 : 总复习 教学任务 : 使学生理解克拉默法则, 会利用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解 重点 难点 : 克拉默法则 ; 齐次线性方程组的有解判定 教学内容提要 : 复习思考题 作业 : p 5 (),() 课后小结 :
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
2003年
00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
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. 高斯消元法. 矩阵的秩. 线性方程组解的判定 第二章 线性方程组 线性方程组的解取决于 n n nn n n n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L ( ),,,,, n j i ij L 系数 ( ),n,, i b i L 常数项回顾 : 根据克拉默法则 线性方程组的一般形式 L nn b L nn b LLLLLLLLLLLL m m L mnn bm,, L,
第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
课程教学大纲 (course syllabus) practice link in the reform since 2000, this changes the traditional study mode and make the teaching method becomes vivid an
线性代数 (B 类 ) 课程教学大纲 课程基本信息 (Course Information) 课程代码 (Course Code) MA0014/MA077 * 学时 (Credit Hours) 48 * 学分 (Credits) * 课程名称 ( 中文 ) 线性代数 (B 类 ) (Course Name) ( 英文 )Linear Algebra (B class) 课程性质 (Course
四 教学内容及安排 第 1 章 行列式 了解行列式的定义和性质, 掌握 2 3 阶行列式的计算, 会计算较简单的 n 阶 行列式, 掌握 Cramer 法则 章节数 授课 实验 上机 讨论 作业 自学 综合 大作业 第 2 章 矩阵 理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运
线性代数与空间解析几何 I 课程教学大纲 英文名称 :Linear Algebra and GeometryI 课程编号 :MATH 1037 课内学时 :66( 理论学时 :62, 上机学时 :4) 学分 :4 适用对象 : 电气 电信 软件 理学 钱学森班等专业 先修课程 : 高等数学 使用教材及参考书 : (1) 魏战线 李继成编, 线性代数与解析几何 二版, 高等教育出版社, 2010 年
习题一
. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念
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新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 考研数学 - 讲义 主讲 : 朱长龙 欢迎使用新东方在线电子教材 目 录 第一讲行列式... 第二讲矩阵... 9 第三讲向量... 第四讲线性方程组... 3 第五讲特征值和特征向量... 38 第六讲二次型... 43 新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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维向量 向量组的线性相关性 向量组的秩 维向量空间 5 欧氏空间 R 6 线性方程组解的结构 第四章 向量空间 第一节 维向量 一 维向量的概念 定义 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量 这 个数称为该向量的 个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 例如 ( ) 维实向量 ( i i ( ) i) 维复向量 第 个分量 第 个分量 第
第三章自考线性代数精讲
第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结 思考题 6// 一 n 维向量的概念 定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的 n个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 6// 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 n
x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y
线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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线性代数概念 定理 公式大全 第一章行列式. 二阶 三阶行列式. 二阶行列式 = -.. 主对角线从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线..3 副对角线从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线..4 对角线法则主对角线上两元素之积减去的副对角线上两元素之积所得的差..5 三阶行列式 3 3 3 3 33 = 33 + 3 3 + 3 3-3 3-33 - 3 3.. 全排列及其逆序数. 全排列
学习指导（四）：欧氏空间
一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内
行列式 2 零, 为什么消元法解方程时有的方程会被消掉. 最大无关组的概念才真正解释了, 为什么消元法解方程组时保留下来的方程个数是稳定不变的. 既然中心的议题是解方程组, 那么关于线性方程组解的理论要非常清楚, 比如 n r 的含义, 有解 无解的充要条件. 0.2 要点 TOP 0 下面的要点列
线性代数 ( 同济 5 版 ) 复习提要 黄正华 * 205 年 7 月 27 日 目录 0 全书总结 行列式 2 2 矩阵 线性方程组 5 4 向量组的线性相关性 7 5 相似矩阵及二次型 0 0 全书总结 如果非要给这本书加一个副标题, 我希望是 一个方程组引发的故事. 0. 全书概览我们现在使用的教材是工程数学 线性代数, 是线性代数学科比较基础的部分. 这一部分的中心是围绕 用高斯消元法求解线性方程组
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考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
式与重根的联系, 掌握复系数与实系数的标准分解式 3. 教学重点和难点教学重点是两个多项式作为形式多项式相等和作为多项式函数相等的定义及两者的等价 ; 最大公因式和互素, 因式分解定理和标准分解式, 有理数域上的多项式 教学难点是多项式代数和多项式函数两个不同角度研究多项式的方法和联系, 最大公因式
高等代数选讲 教学大纲 课程编码 :1511105003 课程名称 : 高等代数选讲学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 近世代数 适用专业 : 数学与应用数学开课教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 数学与应用数学专业的一门选修课程, 是在学生学完高等代数等专业基础课程, 已具备一定的代数知识基础之后开设的高等代数提高课程 2. 课程任务 :
找研讯, 找资料, 找辅导, 就上 聚创考研网, 微信电话咨询 : 一 函数 极限 连续 2020 考研数学二考试大纲原文内容 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段 函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立
一 函数 极限 连续 2020 考研数学二考试大纲原文内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段 函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的 概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准 则 : 单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 : 数学大纲
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基
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科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课教材系列 线性代数学习辅导 徐秀娟主编肖继先副主编何亚丽张帅佟玉霞参编 北京 内容简介 本书是与科学出版社 27 年出版的枟线性代数枠 ( 徐秀娟主编 ) 一书配套的学习辅导书, 按教材编排顺序逐章编写 每章包括目的与要求, 知识框图, 内容提要疑难问题解析, 方法 技巧与例题分析, 习题全解等内容 ; 包括对知识点的概括
矩阵函数
矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
(Microsoft PowerPoint - \317\337\320\324\264\372\312\3751 \320\320\301\320\312\275.pptx)
Laplace 定理 在行列式中, 任取 k 行, 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 93 7. Cramer 法则 二元线性方程组 若令 a x + a x = a x + a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a a D a a 11 12 = ( 方程组的系数行列式 21 22 方程组的系数行列式 ) D 1 = 1
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第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域在 V 上定义了一种加法运算 +, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α + β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素
限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其 关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则 : 单调有 界准则和夹逼准则两个重要极限 : sin x lim 1, x 0 x 1 lim 1 x x x e 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的
2018 考研数学二大纲原文汇总 考试科目 : 高等数学 线性代数 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 高等数学约 78% 线性代数约 22% 四 试卷题型结构 单项选择题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分 解答题 ( 包括证明题
平面曲线的切线和法线 ; 导数和微分的四则运算 ; 基本初等函数的导数 ; 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 ; 高阶导数 ; 相关变化率 ; 洛必达 (L'Hospital) 法则 ; 函数单调性的判别 ; 函数的极值与最值 ; 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 ; 函数图形
硕士 ( 港澳台 ) 数学考试大纲与要求 对知识的要求层次 : (1) 初步的感性认识, 能处理简单的问题, 用语 : 知道, 会 ; (2) 一定的理性认识, 能模仿解决一般问题, 用语 : 了解, 掌握 ; (3) 较深刻的理性认识, 能主动利用知识解决相对复杂的问题, 用语 : 理解, 能够运用 高等数学一 函数 极限与连续 考试内容 函数的概念及表示法 ; 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性
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目 录 第一章线性方程组与矩阵初步... 第一节 矩阵及其运算... 第二节 用消元法解线性方程组... 第三节 齐次线性方程组... 练习一... 第二章 维向量空间...9 第一节 维向量及其线性运算...9 第二节 线性相关性... 第三节 极大线性无关组与向量组的秩... 第四节 线性方程组解的结构...9 练习二... 第三章行列式与矩阵的进一步讨论... 第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵...
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
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08-09 年度第一学期 0050 00503 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 05 室 E-mail: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院 http://math.ustc.edu.c/ 第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 特征值与特征向量 在实际工程计算中, 经常会遇到特征值和特征向量的计算, 如 : 机械 结构或电磁振动中的固有值问题 ; 物理学中的各种临界值等
本文非正式出版物, 它是我们上课教案的一部分 文中真正有价值的部分, 是每一章开头的文字总结部分 如果你能看懂这些文字, 甚至感觉这些话说到你心里去了, 那么你已经很好地理了这本教材 我建议你能读一下这些总结部分, 即便你没有时间去研习那些题目 有的题目看起来有一点难度, 其实我也不建议做很难的题目
线性代数 总结与复习 线性代数 总结与复习 武汉大学黄正华 武汉大学黄正华 Wuhan University 本文非正式出版物, 它是我们上课教案的一部分 文中真正有价值的部分, 是每一章开头的文字总结部分 如果你能看懂这些文字, 甚至感觉这些话说到你心里去了, 那么你已经很好地理了这本教材 我建议你能读一下这些总结部分, 即便你没有时间去研习那些题目 有的题目看起来有一点难度, 其实我也不建议做很难的题目,
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 -- 数学二 考试科目 : 高等数学 线性代数 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 高等教学 78% 线性代数 22% 四 试卷题型结构 试卷题型结构为 : 单项选择题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题 6 小题,
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
第三章矩阵的
第三章矩阵的 第三章矩阵的 高等工程数学 ( 第三版 ) 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强华南理工大学出版社出版 2016 年 9 月 20 日 第三章矩阵的 1 2 3 4 5 第三章矩阵的 本节主要研究 : 一个 n 阶方阵能够相似于对角形矩阵的充要条件是什么? 设 V 是复数域 C n n 上的 n 维线性空间, T 是 V 的一个线性变换, 又 e 1, e 2,, e n 是 ε 1,
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
内容简介 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为数理统计部分. 其中, 上册包括行列式 矩阵 向量组的线性相关性 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换等内容 ; 下册包括随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定
高等教育 十二五 规划教材 线性代数与概率统计 ( 上册 ) 周晨星韩七星主编陈岩魏丽莉付静副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内容简介 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为数理统计部分. 其中, 上册包括行列式 矩阵 向量组的线性相关性 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换等内容 ; 下册包括随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布
内 容 简 介本书是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的 内容包括行列式 矩阵 线性方程组 相似矩阵和二次型 线性空间与线性变换以及与这些内容相应的数学实验 书中每节后均配备有大量的练习题 每章后又配备了总复习题 书末附有习题参考答案 便于学生及时巩固所学基本概念 基本理论的同时
普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课系列教材线性代数 朱玉清 主 编梁 瑛 连冬艳 副主编于育民 王 满 北 京 内 容 简 介本书是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的 内容包括行列式 矩阵 线性方程组 相似矩阵和二次型 线性空间与线性变换以及与这些内容相应的数学实验 书中每节后均配备有大量的练习题 每章后又配备了总复习题 书末附有习题参考答案 便于学生及时巩固所学基本概念
《概率论与数理统计〉教学大刚
模块编号 :0730203 模块内容 : 线性代数 概率论与数理统计理论学时 :96 先修模块 : 高等数学 A 高等数学 B 后修模块 : 工程数学 B 工程数学 A 教学大纲 一 说明部分 1. 模块性质本模块是工科类本科各专业学生的专业基础模块, 授课对象是大学二年级学生 2. 教学目标及意义线性代数是工科类本科各专业的数学基础之一 通过这部分内容的学习, 使学生比较系统理解线性代数的基本概念,
线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,A 是 V 内一个线性变换 我们需要解决下面两个问题 : 决定 K 内所有 A 的特征值 λ 对于属于特征值 λ 的特征子空间 V λ, 找出它的一组基 我
矩阵对角化和 标准形 曾焰 版本, 最后修改于 摘要 蓝以中 关于矩阵对角化和 标准形的相关内容的摘要笔记 目录 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 实对称矩阵的对角化 矩阵的 标准形 幂零线性变换的 标准形 一般线性变换的 标准形 最小多项式 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
第一讲 引言、行列式
多元线性方程基础提高 型 线性代数 板书提纲 第一讲引言 行列式 教学目的 :. 对 线性代数 作概要的介绍 ;. 谈谈线性代数的学习目的 方法 ; 说明本学期的评分管理 ;. 定义行列式的运算法则 ; 4. 介绍行列式的基本性质 ; 重点是这些性质的运用 教学内容 ; 第一章行列式. 行列式的概念. 行列式的性质教案提纲 : 引言 线性代数 课程的重要性:. 后续课程必备的工具 ;. 考研数学占相当比例
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则, 掌握基本初等函数的导数公式, 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性, 会求函数的微分. 3. 了解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶导数. 4. 会求分段函数的导数, 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5. 理解并会用
工程硕士 数学 考试大纲与考试要求 高等数学一 函数 极限与连续 考试内容 函数的概念及表示法, 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性, 复合函数 反函数 分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数, 函数关系的建立, 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限, 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较, 极限的四则运算, 极限存在的两个准则
线性代数 定义 三阶行列式的定义为 不难看出 三阶行列式共有 项 其中正 负项各为 项 每项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积 确定每项的符号的法则是 当该项元素的行标按自然数顺序排列后 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号 是奇排列则取负号 例如 项 的列标 的逆序数为 为奇排列 所以此项符号
第 章 行 列 式 引 言 行列式的概念最早是在 世纪由日本数学家关孝和 约 提出来的 他在 年写了一部名为 解伏题之法 的著作 意思是 解行列式问题的方法 书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述 欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家 微积分学奠基人之一莱布尼兹! "#$% & 年 月 莱布尼兹在写给法国数学家洛比达 "'% 的一封信中使用了行列式 并给出了线性方程组的系数行列式为零的条件
2013年考研数学一试题答案.doc
年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和 正项级数前 项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件 故选 A (C) I
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 = + 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :C 解析 : lim + =, 所以 = 为垂直的 + lim =, 所以 = 为水平的, 没有斜渐近线故两条选
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数域定义 第一章多项式一 内容提要. 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域.. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中. 一元多项式,,,, 属于数域 F, 称为数域 F 上的一元多项式.. 多项式的运算 () 加法设 = = f ( )
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学二 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 l( si t) cos f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
n 维实向量空间 R n 3 维欧 空间 R 3 n 维欧 空间 R n 线性空间 前 我们建 了 n 维实向量空间 R n 的概念, 但它还不是三维欧 空间的推, 因为它还缺少向量的长度 夹 垂直等 何概念 ( 何建立的早期目的就是讨论长度 夹角等度量性质 ) 长度 夹 这 个概念都可以由内积导出
Chapter 4 向量空间与线性变换 Linear Algebra November 24, 207 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 4 目录 R n 的基与向量关于基的坐标 2 2 R n 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 6 2 n 维实向量的内积, 欧 空间 6 22 标准正交基 8 23 施密特正交化 法 8 24 正交矩阵及其性质 2 3 线性空间的定义及简单性质 4 4 线性子空间
复旦大学金融学单独考试硕士研究生招生考试 783 高等数学 ( 单 ) 考试大纲 一 微积分 ( 一 ) 函数 极限 连续考试内容函数的概念及表示法, 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性, 复合函数 反函数 分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数, 函数关系的建立数列极限与函数
复旦大学金融学单独考试硕士研究生招生考试 783 高等数学 ( 单 ) 考试大纲 一 微积分 ( 一 ) 函数 极限 连续函数的概念及表示法, 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性, 复合函数 反函数 分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数, 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限和右极限, 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较,
三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数 : 两个重要极限 : 双曲正弦 : sh 双曲余弦 : ch sh 双曲正切 : h ch sh ch h 三角函数公式 : 诱导公式 : 角 函数 s m m s g cg -α -sα α -gα -cgα 9 -α α
第 页共 5 页全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : cg g cg g og csc csc sc sc csc sc c cs ccg cg sh ch ch sh cg g cg g csc csc sc sc csc s sc cg cg g cg g cs csc csc sc sc s I I cs s 三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数
精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )
三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数 : 两个重要极限 : 双曲正弦 : sh 双曲余弦 : ch sh 双曲正切 : h ch sh ch h 三角函数公式 : 诱导公式 : 角 函数 s m m s g cg -α -sα α -gα -cgα 9 -α α
第 页共 5 页全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : cg g cg g og csc csc sc sc csc sc c cs ccg cg sh ch ch sh cg g cg g csc csc sc sc csc s sc cg cg g cg g cs csc csc sc sc s I I cs s 迅捷 编辑器迅捷 编辑器 三角函数的有理式积分
线性代数
线性代数 同济五版 高景利 南阳师范学院数学与统计学院 目 录 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性相似矩阵及二次型 目录 第一章行列式 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 二阶与三阶行列式全排列及其逆序数 阶行列式的定义行列式的性质行列式按行 ( 列 ) 展开克拉默法则 学习基本要求 第一章行列式. 了解排列 逆序的概念,
扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b
数值代数 夏银华 中国科学技术大学 扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 初等变换矩阵 放缩 (scaling): 第 i 个方程
(8) 设 A = ( α α α α) 是 阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵 若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系 则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二 填空题 (9~ 小题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 k f = 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 ( ) si si (A) k = c= (B) k = c= (C) k = c= (D) k = c= () 已知 f ( ) 在 = 处可导 且
2012ÄêÎ÷°²²Æ¾�ѧԺ601Êýѧ£¨Àí£©¿¼ÊÔ´ó¸Ù
西安财经学院 2012 年硕士研究生入学考试初试考试大纲 考试科目 : 理学数学考试科目代码 :601 适用专业 : 统计学参考书目 : [1] 同济大学数学系主编. 高等数学 ( 上 下 )( 第六版 ), 高等数学出版社. [2] 同济大学数学系主编. 线性代数 ( 第五版 ), 高等数学出版社. [3] 魏宗舒等主编. 概率论与数理统计教程 ( 第二版 ), 高等数学出版社. 考试总分 :150
一 根据所给图表，回答下列问题。
一 选择题 : () 下列结论中正确的是 ( ) 8 年考研数学模拟试题 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 版权所有翻印必究 (A) 若 f () 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (B) 若 f ( ) 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (C) 若 f ( ) 在 点处连续 则 f () 在 点处也必连续 ; (D) 若 f () 在 点处连续 则
目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献
杨忠鹏 1 王海明 1 张金辉 1 吴秀清 1,2 1. 莆田学院数学系 2. 中南大学数学院 2009 年 5 月 16 日 目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献 一 引言 V P 为数域 P 上的线性空间, 而 L( V ( P)) { σ σ V } 设 ( ) 为恒等变换 = 为上的线性变换,ε 现行的教材上线性空间求其上的线性变换的定义是对一般空间给出
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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 204 年 2 月 0 日星期三 上讲回顾 第 9 讲矩阵函数的求解 矩阵函数的计算 利用 Jordan 标准形求矩阵函数 矩阵论 2 矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点 即令 则有 零化多项式 n ( ) det( I A) c c c n n 对于多项式 f (z), 若 f (A)=0 则称 f (z) 为 A
一 根据所给图表，回答下列问题。
版权所有翻印必究 QQ 488 7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学三 ) 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos,, () 若函数 f ( ) a 在, 处连续, 则 ( ) b,, (A) ab (B) ab (C) ab
; 的特征值全不为 ; 反证法 ; 是正定矩阵 ; 构造齐次方程组 证明其有非零解 ; 的行 列 向量组是 的一组基 ; 4 利用秩 证明 ; 是 中某两组基的过渡矩阵 ; 5 证明 是其特征值 ; 矩阵 * * 对于阶矩阵 : 无条件恒成立 ; * * * * 是阶可逆矩阵 : 是非奇异矩阵 ;
线性代数公式大全 最新修订 行列式! 行列式共有个元素 展开后有项 可分解为 行列式 ; 代数余子式的性质 : 和的大小无关 ; 某行 列 的元素乘以其它行 列 元素的代数余子式为 ; 某行 列 的元素乘以该行 列 元素的代数余子式为 ; 代数余子式和余子式的关系 : 设行列式 : 将 上 下翻转或左右翻转 所得行列式为 则 ; 将 9 顺时针或逆时针旋转 所得行列式为 则 ; 将 主对角线翻转后
正整数 p, 都有 p 成立. 5. 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界. () 比较法 设 和 v 均为正项级数, 且 v (,, ), 如果级数 v 收敛, 则级数 也收敛 ; 如果级数 发散, 则级数 v 也
08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 级数的敛散性. 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散. 当级数 收敛时, 称极限值 lm S S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和.. 几个重要级数 () 几何级数 ( 等比级数 ) q 当 0 q 时收敛, 当 q 时发散. () p 级数
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
第一节
楚雄师范学院 经济与管理学院教案 ~ 学年第 学期 线性代数 学院 部教研室授课教师课程名称课程学时 经济与管理学院工商管理教研室张无畏线性代数 学时 实验学时 教材名称 线性代数 年 月 6 日 楚雄师范学院 经济与管理学院教案 ~ 学年第 学期 教研室 实验室 ) : 工商管理教研室 课程名称 : 线性代数 授课班级 : 级信息管理与信息系统 主讲教师 : 张无畏 职 称 : 教授 使用教材 :
内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学 本书可作为高等院校工科和经济管理学科
普通高等教育 十二五 规划教材 线性代数及其应用 主 编 邹杰涛 张 杰副主编 孙明正 钱 盛 张智勇 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学
2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质
第二讲 非负矩阵与 M 矩阵 非负矩阵 不可约非负矩阵 M- 矩阵与单调矩阵 对角占优 M- 矩阵 注记 非负矩阵在很多领域都有重要应用, 如数理经济, 运筹, 图像处理等. 同样, 它在矩阵理论与数值代数中也扮演着很重要的角色. 若无特别注明, 本讲内容都是在实数域中讨论. 2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质 3/63 非负矩阵, 正矩阵
微信公众号 : 给力考研资料 考研数学真题近十年考题路线分析 ( 高数部分 ) 以下给出了 高等数学 每章近 10 年 ( ) 的具体考题题型, 可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式 命题的频率及其分值比重, 在全面复习的过程中, 也不失对重点知识的明确和强化 ( 高等数学 (1
考研数学真题近十年考题路线分析 ( 高数部分 ) 以下给出了 高等数学 每章近 10 年 (1997-2006) 的具体考题题型, 可以使考生清晰地了解和把握各章出题的方式 命题的频率及其分值比重, 在全面复习的过程中, 也不失对重点知识的明确和强化 ( 高等数学 (110 年考题总数 :117 题 2 总分值 :764 分 3 占三部分题量之比重 :53%4 占三部分分值之比重 :60%) 第一章函数
(5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 0 4 柯西收敛原理 级数 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的 正整数 p, 都有 p 成立 5 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数 正项级数
08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 两个重要极限 s lm ; lm 0 e ( 或 lm( ) e ) 0 考点 级数的敛散性 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散 当级数 收敛时, 称极限值 lm S 几个重要级数 S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和 () 几何级数 ( 等比级数
2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.
9 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 时, 若 ta 与 是同阶无穷小, 则 k = A B C D4 k - ta -, 若要 - ta 与 是同阶无穷小, \ k = \ 选 C,, 设函数 f ( ) 则 = 是 f() 的 l,, A 可导点, 极值点 B 不可导点,
2013ÄêÎ÷±±Ê¦·¶´óѧ636Êýѧ½ÌÓý×ۺϣ¨º¬Êýѧ½ÌѧÂÛ¡¢Êýѧ·ÖÎö¡¢¸ßµÈ´úÊý£©¿¼ÊÔ´ó¸Ù
硕士研究生入学考试 数学数学教育综合 ( 含数学教学论数学教学论 数学分析 高等代数 ) 考试大纲 ( 科目代码 : ) 学院名称 ( 盖章 ): 教育学院 学院负责人 ( 签字 ): 编制时间 :2012 年 9 月 5 日 数学数学教育综合 ( 含数学教学论数学教学论 数学分析数学分析 高等代数 ) 考试大纲 ( 科目代码 : ) 一 考核要求 数学教育综合( 含数学教学论 数学分析 高等代数
& &((. ) ( & ) 6 0 &6,: & ) ; ; < 7 ; = = ;# > <# > 7 # 0 7#? Α <7 7 < = ; <
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Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当 时, 若 t 与 是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则 是 f (
cos si A ; A si cos 解 由于对任意点 有 y y y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于 轴对称 的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于直线 y 对称的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y y 确定的
教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换 它有着深刻的几何学和物理学背景 是一个经常使用的数学工具 在数学理论研究和实际应用中起着重要作用 在这节中主要讲解以下几方面的内容 : 线性变换的概念 乘积变换和可逆变换的概念 ; 线性变换的矩阵表示 ; 在不同基下的表示矩阵之间的关系 ; 在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 线性空间与线性变换这部分内容 由于其抽象性较强
目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:
第二章 矩阵 Matrix 2. 2.2 目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77..6 例_ 例 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 B B2 B3 在某年第一季度 各厂的生产情况 如下表 产品
找研讯, 找资料, 找辅导, 就上 聚创考研网, 微信电话咨询 : 考研数学一考试大纲 一 函数 极限 连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极
2020 考研数学一考试大纲 一 函数 极限 连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则 : 单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 : 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 f 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 si si (A) c (B) c (C) c (D) c () 已知 f 在 处可导 且 (A) f f f 则 lim f (B) f (C) () 函数
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 3 分 下列每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. l( si t) cos () 设 f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
2018 年数学三考试大纲 考试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计 考试形式和试卷结构一 试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构微积分约 56% 线性代数约 22% 概率论与数理统计约 22% 四 试卷题
018 年数学三考试大纲 考试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计 考试形式和试卷结构一 试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构微积分约 56% 线性代数约 % 概率论与数理统计约 % 四 试卷题型结构单项选择题选题 8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分填空题 6 小题, 每小题 4 分, 共 4 分解答题
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量 的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个 准则 : 单调有
2018 考研数学三大纲原文汇总 考试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 微积分约 56% 线性代数约 22% 概率论与数理统计约 22% 四 试卷题型结构 单项选择题选题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题 6 小题,
精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设 是
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f (
目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 Gauss 变换 Doolittle 分解 选主元三角分解 平方根
线性方程组的直接解法 目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 2 2.2 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 2.2.2 Gauss 变换 2.2.3 Doolittle 分解 3 2.3 选主元三角分解 4 2.4 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 2.4.2 改进的平方根法 5 2.5
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
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内部资料请勿外传 7 年全国硕士研究生入学统一考试 模拟测试 ( 数一 ) 总分 :5 分 用时 :8 分钟 姓名 : 专业 : 分数 : 6 年 月 第 页共 页 总部地址 : 北京市西城区西直门南大街 号成铭大厦 C 座 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ( ), () 已知函数
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
2013 考研数学大纲 ( 数学三 ) 考试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 微积分 约 56% 线性代数 约 22% 概率论与数理统计 约 22% 四 试卷题型结构 单项选择题选题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 填空题
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
一 根据所给图表，回答下列问题。
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题 目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :(C) 解析 : lim, 所以 为垂直渐近线 lim, 所以 为水平渐近线, 没有斜渐近线, 总共两条渐近线, 选
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第一章多项式 多项式理论是高等数学研究的基本对象之一 在整个高等代数课程中既相对独立 又贯穿其他章节 换句话说 多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系 却可为其他章节的内容提供范例与理论依据 本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质 包括数域的概念 一元多项式的定义与运算规律 整除性 因式分解及根等概念 对于多元多项式 则主要讨论字典排列法与对称多项式 一重难点归纳与分析 一 ) 基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分
考试内容 考研, 就看 V 研客! 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数 反函数 和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达 (L'Hospital) 法则函数单调性的判别函数的
017 考研数学三考试大纲 试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构 微积分 约 56% 线性代数 约 % 概率论与数理统计 约 % 四 试卷题型结构 单项选择题选题 8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分 填空题 6 小题, 每小题 4
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010 年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 -- 数学三 考试科目 : 微积分. 线性代数. 概率论与数理统计考试形式和试卷结构一 试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二 答题方式答题方式为闭卷 笔试. 三 试卷内容结构微积分 56% 线性代数 % 概率论与数理统计 % 四 试卷题型结构试卷题型结构为 : 单项选择题选题 8 小题, 每题 4 分, 共 3
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p y q 的两个特解 若常数 使 y y 是该方程的解 y y是该方程对应的齐次方程的解
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018 年全国硕士研究生招生考试数学考试大纲 ( 数学三 ) 来源 : 文都教育微积分一 函数 极限 连续考试内容 : 函数的概念及表示法函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则
聚英考研网 24 小时咨询电话 : 年数学三考试大纲 考试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计考试形式和试卷结构一 试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟 二 答题方式答题方式为闭卷 笔试 三 试卷内容结构微积分约 56% 线性
2019 年数学三考试大纲 考试科目 : 微积分 线性代数 概率论与数理统计考试形式和试卷结构一 试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟 二 答题方式答题方式为闭卷 笔试 三 试卷内容结构微积分约 56% 线性代数约 22% 概率论与数理统计约 22% 四 试卷题型结构单项选择题选题 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分填空题 6 小题, 每小题 4 分, 共 24