《概率论与数理统计〉教学大刚

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1 模块编号 : 模块内容 : 线性代数 概率论与数理统计理论学时 :96 先修模块 : 高等数学 A 高等数学 B 后修模块 : 工程数学 B 工程数学 A 教学大纲 一 说明部分 1. 模块性质本模块是工科类本科各专业学生的专业基础模块, 授课对象是大学二年级学生 2. 教学目标及意义线性代数是工科类本科各专业的数学基础之一 通过这部分内容的学习, 使学生比较系统理解线性代数的基本概念, 基本理论, 掌握线性代数的基本方法, 能够较好地理解线性代数所蕴含的数学思想, 培养学生的逻辑推理能力, 空间想象能力, 运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支, 通过这部分内容的学习, 使学生掌握概率统计的基本概念, 了解它的基本理论和方法, 从而使学生初步掌握研究和探讨随机现象的基本思想和数学方法, 学会用随机现象的规律和统计的方法去指导专业的学习 研究和实践 3. 教学内容及教学要求教学内容 : 线性代数 : 行列式 矩阵及其初等变换 线性方程组 特征值与特征向量 二次型 概率论 : 随机事件的概念及运算, 概率的定义与性质, 随机变量及其分布, 多维随机随机变量及其分布, 数字特征, 大数定理和中心极限定理 数理统计 : 数理统计的基本概念, 抽样理论, 参数的点估计和区间估计, 假设检验等 教学要求 : 1) 掌握线性代数的基本知识和基本方法, 理解用代数的方法解决问题的数学思想和数学方法 2) 了解概率论与数理统计的基本概念和基本原理, 领会有关概念和结论的直观意义, 使学生初步认识概率统计是研究随机现象数量规律的科学 ; 3) 掌握处理随机现象的基本思想和方法, 具备运用概率统计方法分析和解决实际问题的初步能力, 培养学生数据分析和推断能力 4. 教学重点 难点 (1) 线性代数重点 : 行列式的计算 矩阵的基本运算及求解线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的可对角化及二次型的标准形和正定二次型 难点 : 向量组的线性关系 矩阵的初等变换的应用 矩阵的可对角化 (2) 随机事件及概率重点 : 事件的定义, 概率三大性质及其推导的几种性质, 古典概型, 独立性 ; 难点 : 古典概型, 独立性 (3) 一随机变量及其分布 第 1 页共 8 页

2 重点 : 随机变量的定义 ( 离散 连续型 ) 分布函数的定义, 贝努力试验, 几种常见的随机变量的分布, 随机变量函数的分布 ; 难点 : 随机变量和分布函数的定义 (4) 二维随机变量及其分布重点 : 联合分布, 边缘分布, 条件分布的定义, 两个独立随机变量的定义, 两个随机变量函数的分布如 Z=x+y 的分布 ; 难点 : 联合分布 边缘分布 独立性的关系及其性质 (5) 随机变量的数字特征重点 : 期望方差的性质与定义, 随机变量函数的期望及其在现实中的应用, 切比雪夫不等式, 协方差与相关系数的定义与计算, 独立与不相关的关系 ; 难点 : 独立与不相关的关系 (6) 大数定理与中心极限定理重点 : 频率稳定于概率的实际含义, 利用中心极限定理和拉普拉斯定理计算概率难点 : 中心极限定理与拉普拉斯定理在实际中的应用 (7) 样本及抽样分布重点 : 简单样本的定义, 样本的抽样分布,X 2 分布和 T 分布和 F 分布的定义难点 : 抽样分布, 上下分位点 (8) 参数估计重点 : 矩估计, 极大似然估计, 参数的区间估计, 估计量的评选标准难点 : 矩估计与极大似然估计的方法与理论依据 (9) 假设检验重点 : 单侧双侧检验,Z 检验,T 检验,X 2 检验,F 检验难点 : 假设检验的理论依据与基本步骤 5. 教学方法与手段本模块的内容特点 : 比较抽象, 思维方式比较独特, 知识面涉及广, 学生学习有较大的困难 可采取多种方式的教学方法, 理论学习可以以启发互动式教学为主, 加强基本概念 基本理论 基本运算的理论教学 对于概率论与数理统计这一部分内容, 可以加强实用概率统计方法的介绍, 由实际问题出发, 在阐明问题实际背景的基础上建立数学模型, 研讨总结概率统计方法, 再引导学生应用概率统计方法来解决实际问题 自主学习包括作业 思考练习 问题解决 数学实验 过程考核等多种学习方式, 在教师的指导下, 由学生独立自主地完成 6. 教材及主要参考书 [1] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计. 浙江大学第三版. 高等教育出版社 [2] 孙清华, 赵德修. 新编概率论与数理统计题解. 第一版. 华中科技大学出版社 [3] 茆诗松等, 概率论与数理统计习题与解答. 第一版. 中国统计出版社 [4] 同济大学数学教研室编. 线性代数. 第四版. 高教出版社 [5] 魏战线. 线性代数辅导与典型题解析. 西安交通大学出版社.2001 第 2 页共 8 页

3 二 正文部分线性代数部分 第一章行列式一 教学要求了解 : 排列 对换及其有关性质 n 阶行列式的定义 克拉默法则掌握 :n 阶行列式的性质 行列式按行 ( 列 ) 展开法则 高阶行列式及简单的 n 阶行列式的计算二 教学内容第一节二阶与三阶行列式知识要点 : 二阶 三阶行列式的定义与计算第二节全排列及其逆序数知识要点 : 全排列逆序数偶排列奇排列第三节 n 节行列式的定义知识要点 : n 阶行列式定义上三角 下三角行列式对角行列式第四节对换知识要点 : 对换第五节行列式性质知识要点 : 转置行列式行列式性质第六节行列式按行 ( 列 ) 展开知识要点 : 余子式代数余子式行列式按行 ( 列 ) 展开法则第七节克拉默法则知识要点 : n 元线性 ( 非 ) 齐次方程组方程组系数行列式克拉默法则三 本章学时数课堂讲课课时 :8 第二章矩阵及其运算一 教学要求了解 : 矩阵的概念 单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 对称矩阵以及它们的性质 掌握 : 矩阵的线性运算 转置 方阵的幂和行列式 分块矩阵的运算 伴随矩阵的概念及性质 逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件二 教学内容第一节矩阵知识要点 :n 阶矩阵同型矩阵零矩阵方程组系数矩阵单位矩阵对角矩阵两矩阵相等第二节矩阵的运算知识要点 : 矩阵的和差数与阵的乘阵与阵的乘矩阵转置方阵的行列式共轭矩阵第三节逆矩阵知识要点 : 逆矩阵伴随矩阵非奇异矩阵矩阵的 m 次多项式矩阵可逆的充要条件第四节矩阵分块法知识要点 : 分块矩阵概念矩阵的子块分块矩阵的运算克拉默法则的证明三 本章学时数课堂讲课课时 :8 第 3 页共 8 页

4 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 一 教学要求 了解 : 矩阵秩的概念 矩阵等价的概念以及初等矩阵的性质 掌握 : 矩阵的初等变换及其最简形 行阶梯形矩阵 用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 用分块矩阵求逆矩阵 二 教学内容 第一节矩阵的初等变换 知识要点 : 初等变换 矩阵 A 与 B 等价 行阶梯形矩阵 最简形矩阵 第二节初等矩阵 知识要点 : 初等矩阵概念可逆方阵与初等矩阵的关系利用初等变换求逆矩阵方法 第三节矩阵的秩 知识要点 : 矩阵 A 的 k 阶子式矩阵秩的概念满秩矩阵 降秩矩阵矩阵秩的性质 第四节线性方程组的的解知识要点 :n 元线性方程组有唯一解 无解 无穷多解的判断方法 增广矩阵 方程组的通解 利用矩阵的初等变换求方程组的解三 本章学时数课堂讲课课时 :6 第四章向量组的线性相关性 一 教学要求 了解 : n 维向量的概念 线性组合 线性表示 向量组等价 向量组的秩 向量组的最大无 关组等概念 掌握 : 向量组线性相关 线性无关的有关性质及判别法 求向量组的最大无关组和秩的方法 齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件 齐次线性 方程组基础解系及通解 非齐次线性方程组通解的概念, 用初等行变换求线性方程组 的通解的方法 二 教学内容 第一节向量组及其线性组合 知识要点 :n 维向量 线性组合线性表示 向量组等价向量组与矩阵的关系 第二节向量组的线性相关性 知识要点 : 向量组线性相关向量组线性无关判断向量组相关与无关的定理与结论 第三节向量组的秩 知识要点 : 最大无关向量组向量组的秩 利用初等变换求向量组的秩方法 第三节线性方程组的解的结构 知识要点 : 方程组的解向量 解空间齐次方程组的基础解系 非齐次方程组与齐次方程组 解的关系 第四节向量空间 知识要点 :n 维向量空间 向量空间的基 自然基基变换公式坐标变换公式 三 本章学时数课堂讲课课时 :8 一 教学要求 第五章相似矩阵及二次型 了解 : 向量的内积 规范正交基 正交矩阵 正交变换的概念及性质 相似矩阵的概念与性 第 4 页共 8 页

5 质, 矩阵可相似对角化的充要条件 二次型及其矩阵表示 二次型的秩及二次型的标准形等概念 惯性定理 正定二次型 正定矩阵的概念 掌握 : 线性无关向量组规范正交化的施密特 (Schimidt) 方法 求方阵的特征值 特征向量的方法, 会求一个正交阵将实对称阵对角化 用正交变换将二次型化为标准形的方法以及拉格朗日配方法, 化二次型为标准形的方法 判断二次型及其系数阵的正定性 二 教学内容第一节向量的内积 长度及正交性知识要点 : 向量内积向量长度向量组的正交与无关的关系正交向量组规范正交基 Schimidt 正交化过程正交矩阵正交变换第二节方阵的特征值与特征向量知识要点 : 方阵的特征值特征向量特征方程特征多项式与特征值相关的结论第三节相似矩阵知识要点 : 相似矩阵相似变换相似矩阵的性质与结论方阵与对角矩阵相似的条件第四节对称矩阵的对角化知识要点 : 对称矩阵有关实对称矩阵的特征值与特征向量的定理与结论利用特征值特征向量将实对称矩阵对角化的方法第五节二次型及标准型知识要点 : 二次型概念二次型的标准形二次型的矩阵二次型的秩利用二次型矩阵的特征值与特征向量将二次型化为标准形第六节用配方法化二次型为标准形知识要点 : 拉格朗日配方法第七节正定二次型知识要点 : 惯性定理正 ( 负 ) 惯性指数正定二次型概念正 ( 负 ) 定矩阵概念利用二次型矩阵的主子式判别二次型的正定性利用二次型的正惯性指数的个数判定二次型的正定性三 本章学时数课堂讲课课时 :10 概率论与数理统计部分 第一章概率论的基本概念一 教学要求了解 : 随机试验, 随机事件, 样本空间, 样本点等概念概率的统计定义掌握 : 事件的关系和运算, 古典概型, 条件概率, 乘法公式, 全概率公式和贝叶斯公式独立性的定义二 教学内容第一节随机试验知识要点 : 随机现象, 确定性现象, 随机试验第二节样本空间, 随机事件知识要点 : 基本事件, 样本空间, 随机事件, 必然事件, 不可能事件, 事件的关系和运算 ( 包含 相等 和 积 差 互斥 对立 对偶律 ) 第三节频率与概率知识要点 : 频率 事件的概率及其性质第四节古典概型知识要点 : 古典概型 ( 等可能概型 ) 古典概型的计算 第 5 页共 8 页

6 第五节条件概率知识要点 : 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式第六节独立性知识要点 : 事件的独立性三 本章学时数课堂讲课课时 :10 第二章随机变量及其分布一 教学要求了解 : 分布律, 密度函数, 分布函数的定义以正态分布为主的七种分布的直观背景 掌握 : 随机变量 ( 离散型和连续型 ) 概率分布, 分布函数, 掌握七种分布, 并利用它们计算概率二 教学内容第一节随机变量知识要点 : 随机变量的定义第二节离散型随机变量及其分布列知识要点 : 离散型随机变量及其分布列 (0-1 分布 二项分布 普松分布 超几何分布 ) 第三节随机变量的分布函数知识要点 : 随机变量的分布函数定义及其性质第四节连续性随机变量及其分布密度知识要点 : 连续性随机变量及其分布密度 ( 均匀分布 指数分布 正态分布 ) 第五节随机变量的函数的分布知识要点 : 随机变量函数的分布三 本章学时数课堂讲课课时 :8 第三章多维随机变量及其分布一 教学要求了解 : 二个随机变量的函数的分,Z=x+y,Z=max(x,y),z=min(x,y) 的分布二维正态分布及其边缘分, 独立性的充分必要条件掌握 : 二维随机变量联合分布与边缘分布, 条件分布, 二个随机变量的独立性二 教学内容第一节二维随机变量知识要点 : 二维随机变量 联合分布函数及其基本性质第二节边缘分布知识要点 : 边缘分布律, 边缘密度函数, 二维正态分布及其边缘分布第三节条件分布知识要点 : 条件分布及计算第四节相互独立的随机变量知识要点 : 二个随机变量的独立性, 独立性的充分必要条件第五节两个随机变量的函数的分布知识要点 : 二个随机变量的函数的分布,Z=x+y,Z=max(x,y),z=min(x,y) 的分布三 本章学时数 第 6 页共 8 页

7 课堂讲课课时 :8 第四章随机变量的数字特征一 教学要求了解 : 协方差与相关系数的定义, 切比雪夫不等式的应用与推导过程, 矩 协方差矩阵, 相关系数为 1 的充分必要条件掌握 : 期望方差的定义与性质及其在实际中的应用二 教学内容第一节数学期望知识要点 : 数学期望的定义与性质, 常用分布的期望第二节方差知识要点 : 方差的定义与性质, 常用分布的方差, 切比雪夫不等式第三节协方差与相关系数知识要点 : 协方差与相关系数的定义 相关系数为 1 的充分必要条件第四节矩 协方差矩阵知识要点 : 矩与协方差阵三 本章学时数课堂讲课课时 :8 第五章大数定理与中心极限定理一 教学要求了解 : 贝努里大数定理是频率稳定于概率的理论依据, 对正态分布在概率论中的重要地位从理论上提高认识掌握 : 切比雪夫大数定理与中心极限定理的计算, 拉普拉斯极限定理二 教学内容第一节大数定理知识要点 : 切比雪夫大数定理 贝努里大数定理第二节中心极限定理知识要点 : 中心极限定理, 拉普拉斯极限定理, 独立同分布辛钦大数定理, 独立不用分布李雅普诺夫大数定理三 本章学时数课堂讲课课时 :4 第六章样本与抽样分布一 教学要求了解 : 抽样分布 X 2 T F 分布的图形及其上下分位点掌握 : 数理统计的基本概念, 简单样本, X 2 T F 分布二 教学内容第一节随机样本知识要点 : 总体个体, 简单样本第二节抽样分布知识要点 : 统计量, 样本均值, 样本方差, 样本矩, 样本的分布,X 2 T F 分布三 本章学时数 第 7 页共 8 页

8 课堂讲课课时 :4 第七章参数估计一 教学要求了解 : 参数估计的有效性与一致性, 单侧置信区间, 二个均值差, 方差比的置信区间掌握 : 参数点估计的二种方法, 矩估计与极大似然估计, 参数置信水平为 1-α 的置信区间, 参数估计的无偏性 二 教学内容第一节点估计知识要点 : 矩法, 最大似然估计法第二节基于截尾样本的最大似然估计知识要点 : 基于截尾样本的最大似然估计第三节估计量的评选标准知识要点 : 参数估计的无偏性 有效性与一致性第四节区间估计知识要点 : 区间估计的基本方法第五节正态总体均值与方差的区间估计知识要点 : 正态总体均值与方差的区间估计第六节 (0-1) 分布参数的区间估计知识要点 :(0-1) 分布参数的区间估计第七节单侧置信区间知识要点 : 单侧置信区间 上限 下限三 本章学时数课堂讲课课时 :8 第八章假设检验一 教学要求了解 :Z T X 2 F 检验, 单侧检验, 二类错误掌握 : 假设检验的基本思想与步骤及方法二 教学内容第一节假设检验知识要点 : 假设检验的基本思想与步骤, 假设检验中的二类错误第二节正态总体均值的假设检验知识要点 : 一个正态总体均值的检验 Z 与 T 检验 ; 一个正态总体方差的检验, X 2 检验第三节正态总体方差的假设检验知识要点 : 二个正态总整方差的检验 F 检验二个正态总体均值的检验 Z 与 T 检验课堂讲课课时 :6 大学数学教研室 第 8 页共 8 页

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