2013年考研数学一试题答案.doc

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蜀洪
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1 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一选择题 :-8 小题, 每小题分, 共分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析因为 c k=, c = (C) - k=, c= (D) - c= = = = = k k ( + ) k k -arcta 洛 lm lm + lm lm lm Æ k Æ k- Æ k- Æ k- Æ 所以 - k =, k =, c= =, 故选 D k () 曲面 cos( y) yz = 在点 (,, ) -k k=, c = - 的切平面方程为 ( ) (A) - y+ z =- (B) + y+ z = (C) - y+ z =- (D) - y- z = 答案 A 解析曲面在点 (,,-) 处的法向量为 Æ y z (,,-) =( - s( )+,- s( )+,) (,,-) =( F, F, F ) y y y zy =(,-,) 故曲面在点 (,,-) 处的切面方程为 (-)-( y-)+( z+)=, 即 y -+=- z, 选 A 9 () 设 f( ) = -, b = f( )s pd( =,, ) Ú L. 令 s ( ) = Â b s p, 则 s( - ) = = (A) 答案 C (B) (C) - (D) Ï È -, Œ, Ô Í Î 解析 f()= - = Ì Ô È -, Œ, Ô Í Î Ó 将 f() 作奇延拓, 得周期函数 F, () 周期 = - ( )

2 9 则 F () 在点 =- 处连续, 从而 9 9 S(- )= F(- ) = F(- )=- F( )=-f( )=- 故选 C () 设 L : + y =, L : + y =, L : + y =, L : + y = 为四条逆时针方向的 y 平面曲线, 记 I = ( y+ ) d+ ( - ) dy( =,,,) L 6 Ú. 则 ma {,,, } (A) I (B) I (C) I (D) I 答案 D y 解析记 P= y+, Q=-, 则 Q P y Ê = + y ˆ - = Á, 6 y Ë Ê y ˆ Ê ˆ Ê Q Pˆ È Ê y ˆ I= ÚÁy+ d+ Á - dy= - ddy= Í - + ddy L 6 ÚÚÁ Á Ë Ë D Ë y ÚÚ. D Î Ë I I I I = ( ) 用 D 表示 L 所围区域的面积, 则有 I = 5 p, I= p, I =, I= p, I > I > I > I. 8 8 故选 D (5) 设 ABC,, 均为阶矩阵, 若 AB = C, 且 B 可逆, 则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价答案 B 解析将 AC, 按列分块, A= ( a,..., a), C = ( g,... g) 由于 AB = C, 故 Êb... b ˆ Á ( a,..., a)..... = ( g,... g) Áb... b Ë g = b a b a,..., g = b a b a 即即 C 的列向量组可由 A 的列向量线性表示由于 B 可逆, 故 A= CB -,A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示, 选 B

3 Ê a ˆ Ê ˆ Á Á (6) 矩阵 a b a 与 b 相似的充要条件为 Á a Á Ë Ë (A) a =, b= (B) a=, b为任意常数 (C) a=, b= (D) a =, b为任意常数答案 B 解析题中所给矩阵都是实对称的, 它们相似的充要条件是有相同的特征值 È a -a - Í 由是 a b a 的特征值, 知 Í -a -b - a = ÍÎ a - -a 解得 a =, 即 a = È 而 a = Í 时, b 的特征值是 Í, b, ÍÎ 此时两矩阵相似 ( 与 b 无关 ) (7) 设 X, X, X 是随机变量, 且 X ~ N (,), X ~ N (,), X ~ N (5,), { } p = P - X ( =,,), 则 ( ) (A) p > p > p (B) p > p > p (C) p > p > p (D) p > p > p 答案 A 解析 p = P{ - X } =F() -F- ( ) = F() -, Ï-- X - - p = P{ - X } = PÌ =F() -F- ( ) = F() -, Ó Ï--5 X -5-5 Ê 7ˆ Ê7ˆ p P X PÌ Á Á Ó Ë Ë = {- } = =F- ( ) -F - =F -F(), 由下图可知, p > p > p.

4 y y = j( ) O 7/ (8) 设随机变量 X ~ t ( ), Y ~ F(, ), 给定 a ( a.5) { c } PY > = (A) a 答案 C 解析 X ~ t ( ), 则 X ~ F(, ) < <, 常数 c 满足 { } (B) - a (C) a (D)- a { } { } { } { } { } PY > c = P X > c = P X > c + P X <- c = P X > c = a 二填空题 :9 小题, 每小题分, 共分. 请将答案写在答题纸... 指定位置上. ( y) (9) 设函数 y = f( ) 由方程 y- = e - È 确定, 则 lm f( ) Æ Í - = Î 答案解析 = 时, y = ( - y) 方程两边对求导得 y - = e (- y- y ) 所以 y () = f( )- f() È lm f( ) lm f () Æ Í - = = = Æ Î P X > c = a, 则 ( ) () 已知 y = e - e, y = e - e, y =- e 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的个解, 则该方程的通解 y = 答案 y = c ( e - e ) + ce - e 解析 y - y = e -e, y - y = e, 对应齐次微分方程的通解 y = c ( e - e ) + ce

5 非齐次微分方程的通解 y = c ( e - e ) + ce - e = s t () 设 { y = tst+ cost d y (t 为常数 ), 则 p = d t= 答案 dy dy st+ tcost-s t 解析 = = = t, d dt d cost dt Êdy ˆ d Á d = Ë = =, = = d dt d d cost d t= p p cos dt d y dt d y + l () Ú d =. ( + ) 答案 l + l 解析 l + d l + + Ú d =- + = = l ( + ) ( + ) Ú ( + ) ( + ) () 设 A= ( a j ) 是阶非零矩阵, A 为 A 的行列式, A j 为 a j 的代数余子式, 若 a + A = (, j =,,) 则 A = j j 答案 -. Ê ˆ Á 解析方法一: 取矩阵 A = -, 满足题设条件, A =-. Á Ë 方法二 : A * =- A, 则 A =- A, 整理得到 * A - = (- ) A, 即 A =- 或者 A =. ( ) A = a A + a A + a A =- a + a + a 又因为 A O, 所以至少有一个 a, 所以 j ( ) A = a A + a A + a A =- a + a + a < 从而 A =-.

6 () 设随机变量 Y 服从参数为的指数分布, a 为常数且大于零, 则 { } PY a+ Y > a =. 答案 - e -y Ï e, y>, 解析 f( y) =Ì Ó, y, {, a+ } Ú f( ydy ) a -a -( a+ ) + -a PY > ay a+ e -e PY { a+ Y > a} = = = = - PY { > a} f( ydy ) e e Ú a 三解答题 :5~ 小题, 共 9 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分分 ) 计算 Ú f( ) d, 其中 f( ) = Ú l( t+ ) dt t l( t+ ) l( + ) 解析 f( ) = Ú dt, 则 f ( ) =, f () = t ( ) Ú f d = f ( d ) = È f ( ) - f ( d ) Ú Î Ú l( + ) l( + ) = f() - Ú d=- d l( ) d Ú =- + Ú 其中 È =- Íl( + ) - Ú d =- l+ d + Ú Î + t t d tdt d d d. = t = = - + = t + t + t + t d= tdt Ú Ú Ú Ú Ú [ ] p = t- arctat = ( - ) p 所以原式 =- l+ 8( - ) = 8-p- l (6)( 本题满分分 ) 设数列 { } a 满足条件 : a =, a =, a- - ( - ) a = ( ), s ( ) 是幂级数 Â = 和函数 (I) 证明 : s ( ) - s ( ) = (II) 求 s ( ) 的表达式 a 的

7 解析 - ( ) = Â, ( ) = Â, = = S a S a - ( ) Â ( ) Â ( )( ) = = S = - a = + + a Â [ + ] = S ( ) - S ( ) = ( + )( + ) a -a 因为 ( -) a - a- =,, 所以 ( + )( + ) a+ - a = ( ). ÏS ( ) - S ( ) =, Ô 所以 ÌS() = a =, Ô ÓS () = a =. + (II) l - =, l =, l =-, 所以 S ( )= Ce - + Ce. 又 S() =, S () =, 所以 C =, C =, ( )= S e - + e. (7)( 本题满分分 ) y 求函数 f( y, ) = ( y+ ) e + 的极值 y 解析令 f + y = e ( + y+ ) =, f + = e ( + y+ ) = y 解得 Ï = Ï =- Ô Ì Ô 或 Ô y Ì =- y Ó Ô =- Ó f = e + + y+ + y ( ) f y = e + + y+ + y ( ) + y f yy = e ( + y+ ) A= f = e - Ê ˆ Á, - Ë B= f = e - y Ê ˆ Á, - Ë C = f = e - yy Ê ˆ Á, - Ë AC- B = e - e = e > 又 A > Ê ˆ 所以 Á, - Ë 为 f( y, ) 的极小值点, 极小值为 Ê ˆ f, e - Á - =- Ë

8 A= f =- e - Ê ˆ Á, - Ë 5 B= f = e - y Ê ˆ Á, - Ë 5 C = f = e - yy Ê ˆ Á, - Ë 因为 AC- B <, 所以 (-,- ) 不是 f( y, ) 的极值点. (8)( 本题满分分 ) 设奇函数 f( ) 在 [-,] 上具有阶导数, 且 f () =, 证明 :(I) 存在 Œ(,), 使得 f ( ) =. (II) 存在 h Œ- (,), 使得 f ( h) + f ( h) =. 解析 ( I ) 由于 f( ) 在 [-,] 上为奇函数, 故 f( - ) =- f( ), 则 f () = 令 F( ) = f( ) -, 则 F( ) 在 [,] 上连续, 在 (,) 内可导, 且 F() = f() - = F() = f() - =, 由罗尔定理, 存在 Œ (,), 使得 F ( ) =, 即 f ( ) =. (II) 由于 f( ) 在 [-,] 上为奇函数, 则 f ( ) 在 [-,] 上为偶函数, 所以由 () f (- ) = f ( ) =. 令 G ( ) e [ f ( ) ] = -, 则 G ( ) 在 [,] 5 - 上连续, 在 (,) - 内可导, 且 G( ) = G( - ) =, 由罗尔定理存在 hœ- (, ) Ã (,), 使得 G ( h) = 即 f ( h) + f ( h) =. (9)( 本题满分分 ) 设直线 L 过 A (,,), B (,,) 两点, 将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 S, S 与平面 z =, z = 所围成的立体为 W,(I) 求曲面 S 的方程,(II) 求 W 的球心方程解析 uuur (I) AB = (-,,) 所以直线 L 方程, - y z = = -

9 设 S 上任一点 y 由直线 L 上的点 F( y ) 绕 z 轴旋转一周得到, 则 Ï Ô + y = + y Ì ÔÓz = z - y z 又 = =, 所以 S 方程为 + y = (- z) + z = z - z + - (II) + y -( z - ) = 设形心坐标 ( yz,, ), 几何体关于 oz, yoz 对称, = y = ÚÚÚ zdv zdz ÚÚ ddy p ( z z zdz ) + y z - z+ Ú W z = = = = dv dz ddy p (z - z+ ) dz 5 W Ú ÚÚÚ Ú ÚÚ Ú ()( 本题满分分 ) 矩阵 C. + y z - z+ a 设 A = Ê ˆ Á Ë, B = Ê ˆ Á 当 a, b为何值时, 存在矩阵 C 使得 AC- CA= B. 并求所有 Ë b, Ê ˆ 解析设 C = Á Ë Ê a ˆ Ê Á Á Ë Ë ˆ Ê - Á Ë, 由于 AC- CA= B, 故 ˆÊ a ˆ Á Ë = Ê ˆ Á Ë b, Ê+ a + a Ê+ aˆ Ê ˆ 即 Á ˆ- Á = Ë Ë + a Á Ë b. Ï - + a = Ô - a + + a = Ì (I) Ô -- = Ô Ó - a = b 由于矩阵 C 存在, 故方程组 (I) 有解. 对 (I) 的增广矩阵进行初等行变换 :

10 Ê - a M ˆ Ê - - M ˆ Ê - - M ˆ Á Á Á Á -a a M Á -a M Æ Á -a M Æ Á - - M Á - a M a+ Á M a+ Á Á Á Ë -a M b Ë M b Ë M b 方程组有解, 故 a + =, b =, 即 a =-, b=, 此时存在矩阵 C 使得 AC- CA= B.. Ê - - M ˆ Á 当 a =-, b= 时, 增广矩阵变为 Á M Á M Á Ë M, 为自由变量, 令 =, =, 代为相应齐次方程组, 得 =-, =. =, =, 代为相应齐次方程组, 得 =, =. 令故 = (, -,,), ( ) =,,,, 令, 为 = =, 得特解, h = ( ) Êk = k + k + h=( k + k +,- k, k, k ) + k + -kˆ, 所以 C = Á. Ë k k ()( 本题满分分 ) a 设二次型 f(, ) = ( a + a + a ) + ( b + b + b), 记 Êa ˆ Êb ˆ Á, b = b Áa Á Ë b Ë Á = Á a,,,,, 方程组的通解 (I) 证明二次型 f 对应的矩阵为 aa + bb ; (II) 若 ab, 正交且为单位向量, 证明 f 在正交交换下的标准形为 y + y 解析证明:(I) f(,, ) = ( a + a + a ) + ( b + b + b) Êa ˆ Ê ˆ Á Á = (,, ) a ( a, a, a) Áa Á Ë Ë

11 Êb ˆ Ê ˆ Á Á + (,, ) b ( b, b, b) Áb Á Ë Ë Ê ˆ Á Á Ë = (,, )( aa + bb ) = A, 其中 A = aa + bb, 其中 = (,, ). 所以二次型 f 对应的矩阵为 aa + bb. (II) 由于 A = aa + bb,a 与 b 正交, 故 a b =,a, b 为单位向量, 故 a = aa =, 故 aa=, 同样 b b =. Aa = ( aa + bb ) a = aa a + bb a = a, 由于 a, 故 A 有特征值 l =. Ab = ( aa + bb ) b = b, 由于 b, 故 A 有特征值 l =. r( A ) = ( r aa + bb ) r( aa ) + r( bb ) = r( aa ) + r( bb ) =+ = <. 所以 A =, 故 l =. 因此, f 在正交变换下的标准型为 y + y. ()( 本题满分分 ) Ï Ô, < < 设随机变量 X 的概率密度为 f( ) = Ì9 ÔÓ, 其他, (I) 求 Y 的分布函数 (II) 求概率 P{ X Y} Ï, X Ô, 令随机变量 Y = ÌX,< X < Ô Ó, X 解析 (I) 设 y 的分布函数为 F( y ), 则 F( y) = PY { y} = PY { yx, } + PY { y,< X < } + PY { yx, } = P{ yx, } + PX { y,< X < } + P{ yx, }

12 当 y < 时, F( y ) =, 当 y < 时, F( y) = PX { y,< X < } + PX { } = P{ < X y} + PX { } y = Ú d+ 9 Ú d 9 = y ( ) ( ) ( y 8) = + 7 当 y 时, F( y) = PX { } + P{< X < } + PX { } = Ï, y < Ô 所以 F Y ( y) = Ì y +, y < Ô7 Ó, y (II) P ( X Y) = - P( X > Y ) = - P( y = ) = - Ú d = 9 ()( 本题满分分 ) q Ïq - Ô e, >, 设总体 X 的概率密度为 f( : q) = Ì ÔÓ, 其他, 为来自总体 X 的简单随机样本 (I) 求 q 的矩估计量 (II) 求 q 的最大似然估计量解析 8 7 其中 q 为未知参数且大于零, X, X, X q q q + + q - + q Ê q ˆ (I) EX ( ) = Ú f( ; q) d= e d e d q e d q - Ú = Ú = - =- Ú Á Ë 令 X = EX ( ), 则 X =- q, 即 q 的矩估计量为 q =- X, 其中 X X = = Â q Ï q - Ô ( e ), (,, ) > = (II) L( q) = f( ; q) L =Ì ÔÓ = =, 其它

13 q - 当 > ( =,, L ) 时, L( q )= ( e ) ll( q) = Â[lq -l - ] = q = = = dl L( q) = Â( - ) = - Â = dq q q 解得 q = Â = ) q 的最大似然估计量 q = Â X = q

Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与

Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当时, 若 t 与是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则是 f (