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1 8 考研数学 ( 一 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 下列函数中, 在处不可导的是 ( ) A. f ( ) si B. f ( ) si C. f ( ) cos D. f ( ) cos 答案 :(D) 解析 : 方法一 : f( ) f() si (A) lim lim lim si, 可导 f( ) f() si (B) lim lim lim si, 可导 ( ) () cos - f f (C) lim lim lim, 可导 ( ) () cos - f f (D) lim lim lim 不存在, 不可导应选 (D). 方法二 : 因为 f( ) cos, f () ( ) () cos f f lim lim lim f ( ) 在处不可导, 选 (D) 不存在对 ( A): f( ) si在处可导对 ( B): f( )~ i 在处可导对 ( C): f( ) cos在处可导. 3 () 过点 (,,) 与 (,,), 且与 z + y 相切的平面方程为 A. z 与 + y z B. z 与 + y z C. y 与 + y z D. y 与 + y z

2 答案 :(B) 解析 : 将两点的坐标带入 (C) (D), 显然不对 ; 又切平面的法向量 {, y, } 或 {, y,} 法向量为 {,, } (3) + 3 ( ) ( + )!, 排除 (A), 故应选 (B), 而 (A) 的平面 + y z 的 A. si+ cos B. si+ cos C. 3si+ cos D.3si+ cos 答案 :(B) 解析 : ( ) ( ) (+ )! (+ )! ( ) + ( ) ( )! (+ )! + 而 si ( ),cos ( ) (+ )! ( )! 所以, + 3 ( ) cos+ si. 选 (B). ( + )! π π π ( + ) + (4) 设 M π d, N d, K ( cos )d, π e π + + 则 A. M > N > K. B. M > K > N. C. K > M > N. D. K > N > M. 答案 :(C) ( ) π π π + 解析 : M π d d d π + π + + π π, + + N d e, 因为 e > +, 所以 < ( ) π K π + cos d +,+ cos >. 即 < < + cos e 所以由定积分的比较性质 K > M > N, 应选 (C). e

3 (5) 下列矩阵中, 与矩阵相似的为 A.. B.. C.. D.. 答案 :(A) 解析 : P P 令则 P AP 选项为 A (6) 设 A, B 为阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( X Y ) 表示分块矩阵, 则 A. ra ( AB) ra ( ) B. ra ( BA) ra ( ) C. ra ( B) ma{ ra ( ), rb ( )} D. ( ) ( r A B r A B ) 答案 :(A) 解析 : 易知选项 C 错对于选项 B 举反例 : 取 A B 则 BA,( A, BA) raba (, ) ra ( ) 3

4 对于选项 D, 举反例 : 世纪文都教育科技集团股份有限公司 A B, 则 ( ) ( r A,B r A,B ) (7) 设 f ( ) 为某分布的概率密度函数, f ( + ) f( ), f( )d.6 p{ X < } A.. B..3 C..4 D..6 答案 :(A) 解析 : f ( + ) f( ), 故 X 的概率密度关于直线对称于是由 f( )d.6有 :, 则于是 P { X < }. (8) 给定总体 X N( μ, ), 已知, 给定样本 X, X,, X, 对总体均值 μ 进行检验, 令 H : μ μ, H: μ μ, 则 A. 若显著性水平 α.5 时拒绝 H, 则 α. 时也拒绝 H. B. 若显著性水平 α.5 时接受 H, 则 α. 时拒绝 H. C. 若显著性水平 α.5 时拒绝 H, 则 α. 时接受 H. D. 若显著性水平 α.5 时接受 H, 则 α. 时也接受 H. 答案 : 选 (D) 解析 : 在 α.5下的接受域为 ( X u.5, X + u.5 ) u < u.5.5 在 α.下的接受域 ( X u.5, X + u.5 ) ( X u.5, X + u.5 ), 故选 (D). 4

5 二填空题 :9~4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分 ta si k 9. 若 lim e, 则 k. + ta 解析 : ta ta si k lim ta sik lim + e + ta 所以,, k k ta lim e + ta si k lim k k e e e. 设函数 f ( ) 具有阶连续导数, 若曲线 y f ( ) 过点 (,) 相切, 则 f ( ) d. 且与曲线 y 在点 (,) 处解析 : 由题意 f(), y l l, f() f ( )d d f ( ) f ( ) f ( )d f () f( ) f () f() + f() l. 设 F(, y, z) yi yzj+ zk, 则 rot F(,,). 解析 : i j k rotf yi z j k i k y z (,,) y yz z (,,) () 曲线 L 是由 + y + z 与 + y+ z 相交而成, 求 yds 解析 : ( ) + y + z + y+ z + y + z + y+ yz+ z L : + y + z 所以 3 得 y + yz + z 3 π yds y + yz + z ds ds.π 故 ( ) L L L (3) 二阶矩阵 A 有两个不同特征值, α, α 是 A 的线性无关的特征向量, 5

6 A ( α + α ) ( α + α ), 则 A 解析 : 设 Aα λα, Aα λα, λ λ. ( ) A α + α λ α + λ α α + α ( ) ( ) λ α + λ α α, α 线性无关 λ, λ A 有个互不相同的特征值. λ λ λ 或 λ A (4) 设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, BC PAC ( AB C ), 则 PC ( ). 4 解析 : PACAB [ ( C ( ) )] PAC PAC AB C ( ) 4 PAB ( C) PAB ( ) + PC ( ) PABC ( ), 若 PA ( ) PB ( ), PC ( ) PAPC ( ) ( ), 解得 PC ( ). PAPB ( ) ( ) + PC ( ) + PC ( ) 4 4 三解答题 :5~3 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明证明过程或写出步骤. (5)( 本题满分分 ) 求不定积分 e arcta e d. 解析 : e arcta e d 6

7 arcta e de e e e arcta e d + e e e e arcta e 4 d e e e arcta e 4 de e e + e arcta e d( e ) 4 e e arcta e e d( e ) 4 + e 3 e arcta e ( e ) + e + C arcta e e ( e ) e + C 6 世纪文都教育科技集团股份有限公司 (6)( 本题满分分 ) 将长为 m 的铁丝分成三段, 依次围成圆正方形与正三角形, 三个图形的面积之和是否存在最小值? 若存在, 求出最小值. 解析 : 设圆的周长为, 正方形的周长为 y, 正三角形的周长为 z, 则 + y+ z 为限制条件. y 3 z 目标函数为 S π y z + + 4π 6 3 方法 : 拉格朗日乘数法 y z L λ( + y+ z) 4π 6 3 L + λ π π y A L + y λ 8 由 8 解得 y 这里 A π z A L + z λ z L λ + y+ z A 4π 6 3 4π 由实际问题的背景可知 : S mi A + A + A A 7

8 4π (π ) π + 4+ y z 方法 : 记, y, z 4π 6 3 则条件变为 4π + 6y+ 3z 目标函数变为 : S + y + z 4π + 6y + 3z 由 Cauchy 不等式得 ( ) ( ) ( ) 4 π, 6, 3,, y z ( ) ( ) y z 4π 世纪文都教育科技集团股份有限公司所以 4 + y + z 4π π + 4+ Smi π + 4+ 方法 3: z y y ( y) S + + 4π 6 3 ( y) S π 4π 3 π + 4+ 由解得代入得 y ( y) 8 S y y 6 3 π + 4+ S mi π + 4+ (7)( 本题满分分 ) 曲面 : 3y 3z, 取前侧, 求解析 : 作曲面 Σ :, 取后侧, 3y + 3z 8 dd yz+ ( y+ )dd z+ zdd y

9 设 ΣΣ, 围成的空间区域为 Ω, 则由高斯公式得 Σ dydz + ( y + ) dzd + z ddy Σ+Σ Σ D y z y z {(, ) }, Ω dydz ( y ) dzd z ddy dydz ( y ) dzd z ddy + + ( 3y 3 z ) dv d ( 3y 3 z ) dydz D + + 世纪文都教育科技集团股份有限公司 π ( ) 3 d dθ ( 3 r ) rdr + π ( ) d 4π. 45 (8)( 本题满分分 ) 已知微分方程 y y f( ) +, 其中 ( ) f 的是 R 上的连续函数. () 若 f ( ) 时, 求微分方程的通解. () 若 f ( ) 是周期为的函数, 证明 : 方程存在唯一的以为周期的解. 解析 : y' + y f( ) () y' + y ( P( ), Q( ) ) P( ) d P( ) d 通解 : y e Q( ) e d+ C e e d+ C e de + C e e e + C 通解 : y + Ce (C 为任意常数 ) () y ' + y f( ) ( f ( ) 为周期函数 ) d ( ) d y e f e d+ C e e f( ) d+ C 设 f ( ) f( + ) 9

10 t 由知 y e f() t e dt+ C, 下面取一个特殊的 C 使之成为周期函数 + t y( + ) e f( t) e dt+ C + t t e e f() t e dt+ f() t e dt+ C u+ t e e f( u+ ) e du+ f( t) e dt+ C ( ) e f ( u) e du + C + f ( t) e dt e t 故 ( () ) u t +, 由 C C f t e dt e 周期的解. C 世纪文都教育科技集团股份有限公司 t f () tedt 为确定常数, 故方程存在唯一的以为 e (9)( 本题满分分 ) + 设数列 { } 满足 : >, e e (,, ). 证明 { } 收敛, 并求 lim. 证明 : 先证 >, 易证再证 { } e e e + 单减, 由 e 拉格朗日中值定理 e ξ, ξ (, ) ξ < + { } 单减有下界, 由此得 lim 存在 + A A 3 设 lim A, 则 Ae e + A ()( 本题满分分 ) 设实二次型 f (,, 3) ( + 3) + ( + 3) + ( + a3), 其中 a 是参数. () 求 f(,, 3) 的解 ; () 求 f (,, 3) 的规范形. 解析 :() + 3 f(,, 3) 而 + 3, + a3

11 由 A 得 a a 当 a 时, ra ( ) 3, 只有零解 3. 当 a 时, ra ( ), 方程有无穷多解, 通解为 k, k 为任意常数. 3 () 由 () 知, 当 a 时 A 可逆, y + 3 令 y + 3 y + a 3 3 当 a 时, ra ( ),, 即 Y AX, 则规范形为 f y + y + y, 3 y + 3 令 y + 3, 则 y3 3 3 f y + y + ( y+ y) ( y+ y) + y, z y+ y 3 z y, 则得规范形为令 z3 y3 f z + z. ()( 本题满分分 ) a a 已知 a 是常数, 且矩阵 A 3 可经初等列变换化为矩阵 B. 7 a () 求 a ; () 求满足 AP B 的可逆矩阵 P. 解析 :() A 经过初得列变换化为 B ra ( ) rb ( )

12 a a a A 3 a a 7 a a ra ( ) rb ( ). a a a 由 B a+ 3 a 得 a. () 令 P ( X, X, X3), B ( b, b, b3) AP A( X, X, X ) ( AX, AX, AX )( b, b, b) AX b, i 3,, i i ( AB ) k + 3 AX b的通解为 X k + k, k AX AX ( k 为任意常数 ) 6 4 6k + 4 b 的通解为 X k + k,( k 为任意常数 ) k 6 4 6k3 + 4 b 的通解为 X3 k3 + k3, k 3 6k+ 3 6k + 4 6k3+ 4 P k k k3 k k k 3 ( k 3 为任意常数 ) ( 其中 k, k, k 3为任意常数 )

13 6k+ 3 6k + 4 6k3+ 4 P k k k k k k k k k 当 3 k 3 3 6k+ 3 6k + 4 6k3+ 4 k 时, P 可逆, 取可逆矩阵 P k k k3 ( k 为任意常数, k k k 3 k ), 使得 AP B. ()( 本题满分分 ) 设随机变量,. Y 服从参 X Y 相互独立, 且 X 的概率分布为 : P( X ) P( X ) 数为 λ 的泊松分布, 令 Z () 求 Cov ( X, Z ); () 求 Z 的概率分布. XY. 解析 :() Cov( X, Z) E( XZ) EX EZ E( X Y ) EX EX EY, EX EY ( EX ) EY 其中, EX, EX + ( ), EY λ, 故 Cov( X, Z) λ. () 由题意知 Z XY 的取值范围是整数, P{ Z k} P{ XY k} P{ X, XY k} + P{ X, XY k} PX {, Y k} + PX {, Y k} PX { } PY { k} + PX { } PY { k} PY { k} + PY { k}, 因为 Y 服从参数为 λ 的泊松分布, 所以 λ λ λ 当 k 时, PZ { k} e + e e, k λ λ 当 k > 时, PZ { k} e, k! k λ λ 当 k < 时, PZ { k} e, ( k)! 3

14 λ e, k k λ λ 故 Z 的分布律为 PZ { k} e, k> k! k λ λ e, k < ( k)! (3)( 本题满分分 ) 设总体 X 的概率密度为 f( ; ) e, 其中 (,+ ) 为未知参数, X, X,, X 为来自总体 X 的简单随机样本, 记的最大似然估计量为 ˆ ; () 求 ˆ ; () 求 E ˆ 和 D ˆ. 解析 :() 似然函数 : ( ) f (, ) i i i i e e, L i 取对数, ( ) i d l L( ) i l L l l, 求导数有, + i d, i d l L( ) 令可得 : i, 故的最大似然估计量为 : ˆ X i. d i i + + () ˆ E E X i E X e d e d i i D ˆ D X i E ( X ) ( ). + t t te dt Γ + + i t D X e e t d dt Γ [ E( X ) ( E X ) ] + e () 3, d t 于是, D ˆ [ E( X ) ( E X ) ]., 而 + t e t dt 4

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