第二节向量组的线性相关性

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树史
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1 第二节向量组的线性相关性一维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当且仅当 c=c= =cm=0 c c c m m 0. 例证明 : () 维单位向量组 ε =(0 0) ε =(0 0) ε =(00 ) 线性无关 ; () 若 ( m ) 为任一维向量则 ε ε ε 线性相关. 证 () 设有实数 c c c 使得 cε cε c ε 0 由向量运算定义有 ( c c c ) =(00 0) 于是必有 c=c= =c=0 因此 εε ε 线性无关. (3) 显然存在不全为零的实数使得 ε ε ε ( ) 0 ε ε ε 线性相关. 因此例讨论下列向量组的线性相关性 :

2 () =(0)=(-); () =(-)=(-)3=(- 4p)(p 为实数 ). 解 () 设有实数 λλ 使得 0 即 (λ+λλ-λλ)=(000) 由此得 λ+λ=0 λ-λ=0 λ=0. 此方程组有唯一解 λ=λ=0 所以线性无关. () 设有实数 x x x 3 使得由此得 x x x 33 0 x x x3 0 x x 4x3 0 x x px 3 0. 这个方程组的系数行列式为 D 4 3p. p 当 p 4 时 D 0 上述齐次方程只有零解即必有 x=x=x3=0. 因此 p 4 时向量组 3 线性无关. 当 p=4 时 D=0 上述齐次方程组有非零解且有无穷多组解容易求得 x =-3x=x3= 是它的一组解从而有因此当 p=4 时向量组 3 线性相关. 例 3 设向量组 3 线性无关 =+=+3 3=3+. 试证向量组 3 也线性无关. 证设有 x x x 3 使 x x x 3 3 0

3 即整理得 x ( ) x ( ) x ( ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 线性无关有因 3 x+x3=0 x+x=0 x+x3=0. 方程组的系数行列式齐次方程组只有零解 x x x3 0 所以 3 线性无关. 关. 关. 由向量组的线性相关性容易得到以下结论 : () 零向量是线性相关的. 因为总存在非零常数 k 使 k 0=0 所以线性相 () 任一非零向量线性无关. 因为要使 k=0 0 只有 k=0 所以线性无 (3) 包含零向量的向量组是线性相关的. (4) 两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例. 结论 (3) 结论(4) 读者可以自己证明. 以下我们给出向量组线性相关的几个判别定理. 定理. 向量组 m (m ) 线性相关的充分必要条件是这个向量组中至少有一个向量可由其余 m- 个向量线性表示. 证充分性. 设 m 中有一向量是其余向量的线性组合即 k k k k 所以 m m k k k k mm 0 k k k k 不全为零故 m 线性相关. 因为 m 必要性. 若 m 线性相关则有不全为零的数 k k km 使 k k k k mm 0 k k km 不全为零不妨设 k 0 由上式可得因

4 k k k ( ) ( ) ( ) m k k k m 3 所以可由其余向量 m 线性表示. 由定理. 向量组 m (m ) 线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由其余 m- 个向量线性表示. 定理. 若维向量组 m (m ) 有一个部分组 ( 即由该向量组的部分向量所成的集合 ) 线性相关则该向量组也线性相关. 证不妨设向量组 r (r<m) 线性相关 ( 必要时可将向量重新编号做到这一点 ) 于是存在不全为零的数 k k kr 使得 k k k r r 0 从而存在不全为零的数 k k kr 0 0 使得 k k krr 0r 0m 0 这就证明了向量组 m 线性相关. 这个定理的等价命题是 : 若维向量组 m 线性无关则其任一部分组都线性无关. 定理.3 设 m 线性无关而 m 线性相关则能 m 线性表示且表示法是唯一的. 由证因 m 线性相关故有不全为零的数 k k km k 使 k k k k mm 0 要证能由线性表示只需证 k 0. 用反证法假设 k=0 则 k k km 不全为零且有 k k k m m 0 m 这与线性无关矛盾所以 k 0. 再证唯一性. 设有两个表示式 m m

5 及 l l l m m 两式相减得 ( l ) ( l ) ( l ) 0 m m m m 线性无关所以 l 0 即因 l (= m). 向量组 ( ) (= m) 可以构成矩阵 a a a a a a A a a a m m m m A 称为由向量组 m 所构成的矩阵称为矩阵 A 的第个行向量所以一个含有限个向量的向量组总可以看成由一个矩阵的全体行向量所构成. m 矩阵 A 有 m 个维行向量同时它又有个 m 维列向量从而 A 可记为 m A m A ( ). 或总之一个含有限个向量的向量组可构成矩阵. 相反一个矩阵也可以看做由有限个行向量 ( 或列向量 ) 所构成的向量组. 可见矩阵与向量组在形式上能够互相转化因此可用矩阵讨论向量组的有关问题. 按向量组线性相关的定义可知矩阵 A 的列向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程 x x x 0 即

6 x x x ( ) 0 或 Ax=0 有非零解其中 x ( x x x ). 列向量 b 能由线性表示的充要条件是线性方程组 x x x b 即 Ax=b 有解 ( 不一定是唯一解 ). 类似地矩阵 A 的行向量组 m 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 x x x m m 0 即 x A 0 ( 或 A x 0 ) 有非零解其中 x ( x x x ). 行向量能由行向量组 m 线性表示的充分必要条件是线性方程组 x x x m m 即 A x 有解. 定义. 设有两个维向量组 A: r ; s. B: 如果向量组 A 中的每个向量都能由 B 组的向量线性表示则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示. 如果向量组 A 能由向量组 B 线性表示且向量组 B 也能由向量组 A 线性表示则称向量组 A 与向量组 B 等价. 设齐次方程组的每一个方程的系数看成一个行向量若两个齐次方程组所对应的行向量组等价则两个齐次方程组同解. 向量组 A 能由向量组 B 线性表示也就是存在 k(= r;= s) 使 k k k (= r). s s 当为行向量时记

7 A 即有矩阵 K ( k ) B r s A=KB. rs 使对于列向量组 A: r ; 及 B: s : 记 A ( ) B ( ) r A 组能由 B 组线性表示存在矩阵 Ks r 使 A=BK. 向量组之间的等价关系具有下列性质 : () 自反性 :A 组与 A 组等价 ; () 对称性 : 若 A 组与 B 组等价则 B 组与 A 组等价 ; () 传递性 : 若 A 组与 B 组等价 B 组与 C 组等价则 A 组与 C 组等价. s 二向量组的线性相关性的矩阵判别法定理.4 设有两个维列 ( 行 ) 向量组 (Ⅰ): m ; (Ⅱ): m 其中向量是把的第与第个分量对调而得则向量组 (Ⅰ) 与向量组 (Ⅱ) 的线性相关性相同. 证记 A ( m) B ( m) 则方程组 Ax=0 与 Bx=0 只是交换了第与第个方程的次序因而两方程组同解即同时有非零解或同时只有零解从而它们有相同的线性相关性. 在定理.4 中如果交换的是另外两个分量或进行分量间的多次交换结论显然成立得到更一般的结论为 : 设有两个向量组 (Ⅰ): ( ) = m; (Ⅱ): ( ) = m p p p 其中 pp p 是这个自然数的某个确定的全排列则向量组 (Ⅰ) 与向量组 (Ⅱ) 线性相关性相同. 定理.5 设有两个向量组 (Ⅰ): ( ) r = m; (Ⅱ): ( ) r r = m 即是由添加一个分量而得. 若 (Ⅰ) 组向量线性无关则 (Ⅱ) 组向量也线性

8 无关. 证记 A ( m) B ( m. 由于方程组 Bx=0 的前 r 个方程是 Ax=0 的 r 个方程故方程组 Bx=0 的解一定是 Ax=0 的解. 因向量组线性无关 Ax=0 只有零解从而 Bx=0 也只有零解所以向量组 (Ⅱ) 线性无关. 定理.5 中在最后添上一个分量得由定理.4 可知添上的分量无论在什么位置结论仍成立. 添上一个分量如此添上若干个分量亦如此. 推论 r 维向量组的每个向量在相应位置添上 -r 个分量成为维向量组. 若 r 维向量组线性无关则维向量组亦线性无关. 反之若维向量组线性相关则 r 维向量组亦线性相关. 定理.6 设维行向量组 (Ⅰ): r 构成矩阵 A a a a a a a a a a r k k k 当 r 时向量组 (Ⅰ) 线性无关的充分必要条件是矩阵 A 中存在一个不等于零的 r 阶子式. 证先证充分性. 设 A 中有一个 r 阶子式不为零不妨设前 r 列构成的 r 阶子式组 B a a a r a a a r a a a r r r rr 0 其中 ( r ). 考察方程 ( x x x ) B 0 由于 B 0 按克莱姆法则此方程组只有零解因此行 r 向量组 r 线性无关. 又因是添加 -r 个分量而得的向量 ( 与添加的位置无关所以上述假设不失一般性 ) 由定理.5 知向量组 (Ⅰ) 线性无关. 再证必要性. 设 m 线性无关要证矩阵 A 中存在不等于零的 r 阶子式. 我们用归纳法证明. 当 r= 时只有一个向量 =(aa a) 因线性无关所以 0 故 aa a 中至少有一个数不为零此即为 A 中存在不为零的阶子式. 当 r=k 时假设命题成立. 要证当 r=k+ 时命题也成立. 当 r=k+( ) 时因为 k 线性无关所以 k 也线性无关由归纳假设在矩阵

9 a a a a a a A a a a k k k 中存在不等于零的 k 阶子式不妨设为 a k D 0 a k a a kk 记 k 维向量 r ( k ) = k+ 考察方程组 xr x r xkrk rk 即 r x r x rk x r k 由系数行列式 D 0 知此方程组有唯一解设此解为 ( x x x ) ( ) 有 k k r k r r r 或 r k ( r r r k k ) 0.(.) 记 k ( k k ) ( b b bm ) 则 k k b k ( kk ) =. 由于的前 k 个分量构成 r 由 ( ) 式有 : 当 k 时有 b=0 而由 k 线性无关知 0 即 ( b b b ) 0 因此 ( bk b ) 0 即至少有某个 b 0(k+ ) 于是 k+ 阶子式

10 D a a a k a a a k kk k a a a k k k k k r r b D 0.. a a k a k ak akk ak 0 0 b 综上所述对 r 命题成立. 推论个维向量线性无关的充要条件是它们所构成的方阵行列式不等于零. 推论含个方程的元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是系数行列式 A =0. 推论 3 当 m> 时 m 个维的向量组必定线性相关. 证若线性相关则 m 亦线性相关. 若线性无关则方程组 ( 设向量是行向量 ) ( ) x m 因系数行列式不等于零而有唯一解即 + 能由线性表示所以 m 线性相关从而 m 亦线性相关. 由推论 3 知定理 6 中的 r 可以去掉 ( 当 r> 时矩阵 A 中不存在 r 阶子式 ) 于是定理 6 可以叙述如下 : 定理.6 r 个维行向量构成矩阵 A 那么这 r 个向量线性无关的充分必要条件是 A 中存在不等于 0 的 r 阶子式. 反之这 r 个向量线性相关的充分必要条件是没有不等于 0 的 r 阶子式. 推论 4 如果在 m 矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D 0 则含有 D 的相应元素的 r 个行向量及 r 个列向量都线性无关. 如果 A 中所有的 r 阶子式全为零则 A 的任意 r 个行向量及任意 r 个列向量都线性相关. 例 4 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性 : 3 3 A 3 ; B ; C 解 A 中有 3 个二维向量线性相关.

11 B 中只有一个三阶子式经计算知 B 0 故 B 的 3 个行向量线性无关. 3 3 C 只 r( C ) 3 故 C 的行向量组线性相关. 例 5 设向量组 = rr 且 tt ( t t t ) tr 互不相等证明 r 线性无关. 证设向量组对应的矩阵为 A r 则其中的 r 阶子式 D r t t t t r t t r r 是范德蒙行列式的转置行列式且因 tt tr 互不相等所以 Dr 0 由此知 Ar 行向量组中有一个 r 阶子式不为 0 故 r 线性无关. 三向量组的最大无关组与秩定义.3 设有向量组如果 () 在中有 r 个向量 r 线性无关 () 中任意 r+ 个向量 ( 如果中有 r+ 个向量 ) 都线性相关 r 是向量组的一个最大线性无关向量组简称最大无关组. 数则称 r 称为向量组的秩. 只含零向量的向量组的秩规定为 0. 例如向量组 A:=(-)=(-3)3=(4 -) 可构成三阶方阵 A 3 4 方阵 A 唯一的三阶子式 A =0 而 A 的 9 个二阶子式都不为零. 因此任何一个非零的二阶子式所对应的两个行向量线性无关而三个行向量线性相关所以向量组 3 的秩为 r= 且或 3 或 3 都是它的最大无关组.

12 例 6 全体维向量构成的向量组记为 R 求 R 的一个最大无关组及 R 的秩. 解在本节例中我们证明了维单位坐标向量组 E: εε ε 是线性无关的又据定理 6 的推论 3 知 : R 中任意 + 个向量都线性相关因此向量组 E 是 R 的一个最大无关组且 R 的秩为. 显然任何个线性无关的维向量都是 R 的最大无关组. 向量组的最大无关组一般不唯一. 由定义.3 可知一个向量组如果是线性无关的则它的最大无关组就是它本身从而有性质. 性质向量组线性无关的充要条件是它所含向量的个数等于它的秩. 由矩阵秩的定义定义 3 及定理 6 的推论 4 可得性质性质 3 和性质 4. 性质设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的最高阶非零子式则 D 所在的 r 个行向量及 r 个列向量分别是矩阵 A 的行向量组和列向量组的一个最大无关组. 性质 3 矩阵 A 的秩等于 A 的行向量组的秩 ( 行秩 ) 也等于 A 的列向量组的秩 ( 列秩 ). 性质 4 设向量组 A: r 是向量组的一个最大无关组则向量组 A 与向量组等价. 证因为 A 故 A 组能由组线性表示. 按定义.3 知中任意 r+ 个向量都线性相关任取当 /A 时 r 这 r+ 个向量线性相关而 r 线性无关所以能由向量组 A 表示 ; 当 A 时也能由 A 组线性表示 (A 组能由 A 组自身线性表示 ). 因此对任意总可以由 A 组线性表示即组能由 A 组向量线性表示. 所以向量组 A 与向量组等价. 性质 4 表明 : 一个向量组与它自己的最大无关组等价. 反之如果向量组 A 是向量组的部分组 A 组线性无关且 A 组与组等价那么 A 组是否就是组的最大无关组? 答案是肯定的为此建立下述定理. 定理.7 设有向量组 (Ⅰ): r 及向量组 (Ⅱ): s 如果 (Ⅰ) 组能由 (Ⅱ) 组线性表示且 (Ⅰ) 组线性无关则 r s. 证不妨设讨论的向量是行向量记

13 A B r s 因 (Ⅰ) 组线性可由 (Ⅱ) 组表示即有 k k K kr ( kk ) rs k ( k k k ) 使其中 s A=KB. 要证 r s 用反证法. 假设 r>s 则由定理.6 的推论 3 知矩阵 K 的 r 个 s 维向量线性相关有不全为零的数 r 使 k k rkr 0 从而即 k ( ) k r ( r ) K O k ( ) A ( ) KB O r r 即 r r 0 这与 (Ⅰ) 组向量线性无关矛盾. 所以假设 r>s 不成立因此 r s. 推论等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等. 证在定理.7 中如果 (Ⅰ) 组与 (Ⅱ) 组等价且 (Ⅰ) 组与 (Ⅱ) 组都是线性无关的则应有 r s 及 s r 故 s=r. 推论设向量组 A 的秩为 r 向量组 B 的秩为 r 若 A 组能由 B 组线性表示则 r r. 证设 A 是 A 的最大无关组 B 是 B 的最大无关组. 且 A B 中所含向量的个数分别为 rr 由 A 组能由 B 组线性表示有 A 组能由 B 组线性表示又 B 组能由 B 组线性表示因而 A 组能由 B 组线性表示根据定理.7 有 r r. 推论 3 等价的向量组有相同的秩. 推论 4 设在向量组中有 r 个向量 r 满足 () r 线性无关 () 任取能由 r 线性表示

14 r 是向量组的一个最大无关组数 r 是向量组的秩. 则证由条件 () 知组能由向量组 r 线性表示据推论知组的秩不大于 r 故中任意 r+ 个向量线性相关. 所以 r 为组的一个最大无关组. 下面给出矩阵秩的一个结论. 推论 5 设矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D 0 而包含 D 的相应元素的所有 r+ 阶子式 ( 如果存在 ) 全为零则 A 中所有 r+ 阶子式全为零从而 r(a) =r. 证设 a a a a a a A. a a a m m m m 如果 m=r 或 =r 则 A 中没有 r+ 阶子式必有 r(a)=r. 下面只证 m>r 且 >r 的情形. 不妨设不等于零的 r 阶子式 D 位于 A 的左上角 [ 否则总可以调换行 ( 列 ) 的次序将 D 移到左上角而调换行 ( 列 ) 次序时行 ( 列 ) 向量组的秩不变从而 r(a) 不变 ; 且 A 中含 D 的 r+ 阶子式只是改变若干次符号而仍为零 ]. 考察矩阵 a a a B a a a a a a r r rr r r 记 B 的个 r+ 维列向量为 b b br b 因为 r< m D ( b b b b ) ( r ) ) r 为包含 D 的 r+ 阶子式 D=0 由定理 6 知 b b br b 线性相关 b b br 线性无关所以 b 能由 b b br 线性表示由推论 4 知 B 的列向量组的而秩为 r 从而 B 的行向量组的秩也为 r. 于是 B 的 r+ 个行向量 r 线性相关而 r 线性无关故能由 r 线性表示由推论 4 知 A 的行向量组的秩为 r 所以 r(a)=r 从而 A 的所有 r+ 阶子式都为零. 下面举例说明推论 5 的应用. 例 7 求矩阵 A 的秩

15 解 3 8 A. 3 4 易看出 A 的二阶子式 3 D 而含 D 的三阶子式只有两个 : 因此包含 D 的两个三阶子式均为零所以 r(a)=. 本例中用矩阵秩的定义计算 A 的所有三阶子式共有 4 个但利用推论 5 只需要计算个即可求出结果. 例 8 证明 r(ab) m{r(a)r(b)}. 证记 Cm Am rb r 即 (CC C)=( r )B 其中 C 分别是矩阵 C 及 A 的列向量. 上式表明 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示由定理 7 的推论知 r(c) r(a). 由 C B A 同理 r( C ) r( B ) 即 r(c) r(b). 所以 r(ab) m{r(a)r(b)}. 用矩阵的初等变换我们不仅可求出矩阵的秩同时可求得行 ( 列 ) 向量组的最大无关组. 引理若矩阵 A m 经初等行 ( 列 ) 变换变成矩阵 B m 向量组 ) 与 B 的行向量组 ( 列向量组 ) 等价. 证记 A ( ) ) 分别是矩阵 A 与 B 的列向量. () 对调 A 的第列与第列得到 B 则 k k ( k k ) () 设 A 的第列乘以常数 k 0 得到 B 则 l l l l ( l ). 且 ( l ) k k 则 A 的行向量组 ( 列 B ( ) 其中 (=

16 设 A 的第列乘以常数 k 加上 A 的第列得到 B 则 l l ( l ) k 且 l l ( l ) ( k) ( k) 以上说明经初等列变换矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组可以相互线性表示因此矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 对行向量组作行变换的情形可类似证明. 引理设 AB 都是 m 矩阵若 AB 的行向量组等价齐次线性方程组证明留给读者. Ax=0 与 Bx=0 同解. 引理 3 若矩阵 A 经过有限次初等行 ( 列 ) 变换变成 B 则 A 的任意 k 个列 ( 行 ) 向量与 B 中对应的 k 个列 ( 行 ) 向量有相同的线性关系.( 不证 ) 引理 3 说明 : 矩阵的初等行变换不改变列向量间的线性关系 ( 相关性线性表示 ). 例 9 求向量组 =(43) =(--66) 3 = (---9) 4 =(-7) 5 =(449) 的秩和一个最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示出来. 解设 A ( ) 知 r(a)=3 列向量组即向量组的秩为 3 最大无关组中有 3 个向量取非零行第一个非零元所在的 4 列对应的向量 4 为向量组的一个最大无关组. 为了将 3 5 用 4 线性表示出来继续将 A 变成行最简形

17 A 由引理 3 有例 0 设 A= 0 0 A B 证明向量组与等价. 证 r(a)=r(b)= 故线性无关线性无关 C c4 c 显见 r(c)= 因此与都是它的最大无关组所以与等价. 读者可以证明 : 若行向量组构成矩阵 A 与 B 则 A 与 B 的行向量组等价的充分必要条件是 r( ) r( ) r A A B. B

第三章自考线性代数精讲

第三章自考线性代数精讲第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结思考题 6// 一 n 维向量的概念定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量这 n个数称为该向量的 n个分量第 i个数 i 称为第 i个分量分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量 6// 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量第个分量第个分量第 n

第二节 向量组的线性相关性

第二节向量组的线性相关性