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1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://

线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,

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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V

复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.

第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基

6.3 正定二次型

6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k

目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献

杨忠鹏 1 王海明 1 张金辉 1 吴秀清 1,2 1. 莆田学院数学系 2. 中南大学数学院 2009 年 5 月 16 日 目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献 一 引言 V P 为数域 P 上的线性空间, 而 L( V ( P)) { σ σ V } 设 ( ) 为恒等变换 = 为上的线性变换,ε 现行的教材上线性空间求其上的线性变换的定义是对一般空间给出

线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,A 是 V 内一个线性变换 我们需要解决下面两个问题 : 决定 K 内所有 A 的特征值 λ 对于属于特征值 λ 的特征子空间 V λ, 找出它的一组基 我

矩阵对角化和 标准形 曾焰 版本, 最后修改于 摘要 蓝以中 关于矩阵对角化和 标准形的相关内容的摘要笔记 目录 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 实对称矩阵的对角化 矩阵的 标准形 幂零线性变换的 标准形 一般线性变换的 标准形 最小多项式 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法

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试卷

竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :

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cos si A ; A si cos 解 由于对任意点 有 y y y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于 轴对称 的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于直线 y 对称的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y y 确定的

教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换 它有着深刻的几何学和物理学背景 是一个经常使用的数学工具 在数学理论研究和实际应用中起着重要作用 在这节中主要讲解以下几方面的内容 : 线性变换的概念 乘积变换和可逆变换的概念 ; 线性变换的矩阵表示 ; 在不同基下的表示矩阵之间的关系 ; 在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 线性空间与线性变换这部分内容 由于其抽象性较强

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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a

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1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中

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数域定义 第一章多项式一 内容提要. 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域.. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中. 一元多项式,,,, 属于数域 F, 称为数域 F 上的一元多项式.. 多项式的运算 () 加法设 = = f ( )

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Chapter3

第 讲线性空间与线性相关性 线性空间定义与性质 元素组的线性相关性 3 元素组间的线性表示 6:3 共 7 页 线性空间及其基本性质定义 设 V是一个非空集合, K是一个数域, 若 ( ) 存在 V中任意两个元素到 V中某个元素的对应, 即对 V中任意两元素, 在 V 中都有唯一的元素 γ 与它们对应 一般称该对应为加法 ( 运算 ), γ 称为 与 的和, 记做 γ = + 要求此加法满足 ( )

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学习指导（四）：欧氏空间

一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内

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2003年

00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (

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数域定义 第一章多项式一 内容提要 1.1 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和 1. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域. 1. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中 1 1.2 一元多项式 1 ax + a 1x + + a L, a, a, L, a 属于数域 F,

PowerPoint 演示文稿

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式与重根的联系, 掌握复系数与实系数的标准分解式 3. 教学重点和难点教学重点是两个多项式作为形式多项式相等和作为多项式函数相等的定义及两者的等价 ; 最大公因式和互素, 因式分解定理和标准分解式, 有理数域上的多项式 教学难点是多项式代数和多项式函数两个不同角度研究多项式的方法和联系, 最大公因式

高等代数选讲 教学大纲 课程编码 :1511105003 课程名称 : 高等代数选讲学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 近世代数 适用专业 : 数学与应用数学开课教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 数学与应用数学专业的一门选修课程, 是在学生学完高等代数等专业基础课程, 已具备一定的代数知识基础之后开设的高等代数提高课程 2. 课程任务 :

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n 维实向量空间 R n 3 维欧 空间 R 3 n 维欧 空间 R n 线性空间 前 我们建 了 n 维实向量空间 R n 的概念, 但它还不是三维欧 空间的推, 因为它还缺少向量的长度 夹 垂直等 何概念 ( 何建立的早期目的就是讨论长度 夹角等度量性质 ) 长度 夹 这 个概念都可以由内积导出

Chapter 4 向量空间与线性变换 Linear Algebra November 24, 207 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 4 目录 R n 的基与向量关于基的坐标 2 2 R n 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 6 2 n 维实向量的内积, 欧 空间 6 22 标准正交基 8 23 施密特正交化 法 8 24 正交矩阵及其性质 2 3 线性空间的定义及简单性质 4 4 线性子空间

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Remark：随机变量不只离散和连续两种类型

Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :

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1 线性空间 1.1 线性空间的定义及例子概念的源起 向量在加法运算 数乘运算所满足的运算规律, 例如 加法交换律 : x + y = y + x, 加法结合律 : (x + y) + z = x + (y + z), 数乘分配律 : (λ + µ)x = λx + µx; 矩阵 多项式 连续函数等

Chapter 2 线性代数基础 Matrix Theory November 27, 2014 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 2.1 Contents 1 线性空间 2 1.1 线性空间的定义及例子......................... 2 1.2 子空间的概念.............................. 6 1.3 基底和维数...............................

Γ Ν Ν, 1 Ο ( Π > Π Θ 5?, ΔΓ 2 ( ΜΡ > Σ 6 = Η 1 Β Δ 1 = Δ Ι Δ 1 4 Χ ΓΗ 5 # Θ Γ Τ Δ Β 4 Δ 4. > 1 Δ 4 Φ? < Ο 9! 9 :; ;! : 9!! Υ9 9 9 ; = 8; = ; =

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正整数 p, 都有 p 成立. 5. 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界. () 比较法 设 和 v 均为正项级数, 且 v (,, ), 如果级数 v 收敛, 则级数 也收敛 ; 如果级数 发散, 则级数 v 也

08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 级数的敛散性. 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散. 当级数 收敛时, 称极限值 lm S S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和.. 几个重要级数 () 几何级数 ( 等比级数 ) q 当 0 q 时收敛, 当 q 时发散. () p 级数

3 = 4 8 = > 8? = 6 + Α Β Χ Δ Ε Φ Γ Φ 6 Η 0 Ι ϑ ϑ 1 Χ Δ Χ ΦΚ Δ 6 Ε Χ 1 6 Φ 0 Γ Φ Γ 6 Δ Χ Γ 0 Ε 6 Δ 0 Ι Λ Χ ΦΔ Χ & Φ Μ Χ Ε ΝΓ 0 Γ Κ 6 Δ Χ 1 0

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4 4 4 4 4 4! # % & ( # ) )! ) & +!. # / 0! + 1 & % / 0 2 & #. 3 0 5. 6 7 8 0 4 0 0 # 9 : ; < 9 = >9? Α = Β Χ Δ6 Ε9 8 & 9 : # 7 6 Φ = Γ Η Ι 0 ϑ 9 7 Κ 1 Λ 7 Κ % ΓΗ Δ 9 Η ΕΔ 9 = ;

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7 6 Η : Δ >! % 4 Τ & Β( Β) 5 &! Α Υ Υ 2 Η 7 %! Φ! Β! 7 : 7 9 Λ 9 :? : 9 Λ Λ 7 Φ! : > 9 : 7Δ 2 Η : 7 ΛΔ := ς : Ν 7 Λ Δ = Ν : Ν 7 ΛΔ : = Λ ς :9 Λ 7 Λ! Λ

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x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y

线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,

(5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 0 4 柯西收敛原理 级数 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的 正整数 p, 都有 p 成立 5 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数 正项级数

08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 两个重要极限 s lm ; lm 0 e ( 或 lm( ) e ) 0 考点 级数的敛散性 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散 当级数 收敛时, 称极限值 lm S 几个重要级数 S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和 () 几何级数 ( 等比级数

3 4 Ψ Ζ Ζ [, Β 7 7>, Θ0 >8 : Β0 >, 4 Ε2 Ε;, ] Ε 0, 7; :3 7;,.2.;, _ & αε Θ:. 3 8:,, ), β & Φ Η Δ?.. 0?. χ 7 9 Ε >, Δ? Β7 >7 0, Τ 0 ΚΚ 0 χ 79 Ε >, Α Ε

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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 2014 年 9 月 24 日星期三 徐乐 教师信息 电子工程学院 办公室电话 : 88204458 Email: 矩阵论 2 前言 矩阵理论是一门数学学科, 是众多理工学 科的重要数学工具 是目前非常活跃的经典数学基础课程 现代科技各领域处理有限维空间形式与数量关 系的强有力工具 计算机科学与工程计算的核心 矩阵运算与求解 矩阵理论有着广阔的应用前景 矩阵论 3 发展

9 < 9 Α Α < < < Β= =9 Χ 9Β 78! = = 9 ΦΑ Γ Η8 :Ι < < ϑ<; Β Β! 9 Χ! Β Χ Δ Ε <Β Α Α = Α Α Ι Α Α %8 Β < 8 7 8! 8 =

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Υ 2 Δ Υ 1 = 1 : Φ Υ 1 Ω 5 ς ) Ν + Φ 5 ς ς Α+ ) Ν Φ 6 Ξ ς Α+ 4 Φ Ψ Ψ + = Ε 6 Ψ Ε Ε Π Υ Α Ε Ω 2? Ε 2 5 Ο ; Μ : 4 1 Ω % Β 3 : ( 6 Γ 4 Ρ 2 Ρ

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习题一

. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc

Φ2,.. + Φ5Β( 31 (+ 4, 2 (+, Η, 8 ( (2 3.,7,Χ,) 3 :9, 4 (. 3 9 (+, 52, 2 (1 7 8 ΙΜ 12 (5 4 5? ), 7, Χ, ) 3 :9, 4( > (+,,3, ( 1 Η 34 3 )7 1 )? 54

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课程教学大纲 (course syllabus) practice link in the reform since 2000, this changes the traditional study mode and make the teaching method becomes vivid an

线性代数 (B 类 ) 课程教学大纲 课程基本信息 (Course Information) 课程代码 (Course Code) MA0014/MA077 * 学时 (Credit Hours) 48 * 学分 (Credits) * 课程名称 ( 中文 ) 线性代数 (B 类 ) (Course Name) ( 英文 )Linear Algebra (B class) 课程性质 (Course

# # 4 + % ( ) ( /! 3 (0 0 (012 0 # (,!./ %

#! # # %! # + 5 + # 4 + % ( ) ( /! 3 (0 0 (012 0 # (,!./ % ,9 989 + 8 9 % % % % # +6 # % 7, # (% ) ,,? % (, 8> % %9 % > %9 8 % = ΑΒ8 8 ) + 8 8 >. 4. ) % 8 # % =)= )

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4 5 6 + 5! # % & ( ) +, ). /, 0 1 # % & ( ) + 2 ( 3 ) & 8 9 : ; ? 6 Α Β9 # ΧΔ = Φ > =9 > Κ Λ

第三章自考线性代数精讲

第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结 思考题 6// 一 n 维向量的概念 定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的 n个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 6// 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 n

8 8 Β Β : ; Χ; ; ; 8 : && Δ Ε 3 4Φ 3 4Φ Ε Δ Ε > Β & Γ 3 Γ 3 Ε3Δ 3 3 3? Ε Δ Δ Δ Δ > Δ # Χ 3 Η Ι Ι ϑ 3 Γ 6! # # % % # ( % ( ) + ( # ( %, & ( #,.

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幻灯片 1

向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个

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维向量 向量组的线性相关性 向量组的秩 维向量空间 5 欧氏空间 R 6 线性方程组解的结构 第四章 向量空间 第一节 维向量 一 维向量的概念 定义 个有次序的数 所组成的数组称为 维向量 这 个数称为该向量的 个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 例如 ( ) 维实向量 ( i i ( ) i) 维复向量 第 个分量 第 个分量 第

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