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又晏
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1 9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题每小题 4 分共 3 分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. l( si t) cos () 设 f( )= dt g ( )= tatdt t 则当时 f( ) 是的低阶无穷小 g ( ) 是的高阶无穷小则正整数的值为 ( ) (A)3 (B) 4 (C)5 (D) 6 答案 (C) l( si t) 解析由等价无穷小替换得: 当 t 时 t tat t t l( si t) cos 4 6 当时 f( )= dt g ( )= ta d t t t 4 又因为 f( ) 是的低阶无穷小 g ( ) 是的高阶无穷小则 5 故选 (C) () 设 [ ] 表示不超过的最大整数则 [ ] e 是 f( ) 的 ( ) (A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点答案 (A) 解析由题可得: f( ) e 显然 lim f( ) 而 lim f( ) lim e offc 中公教故为 f( ) 的跳跃间断点故选 (A) (3) 下列结论中正确的是 ( ) d d (A) 与 ( ) 都收敛 ( ) (B) d d ( ) 与都发散 ( )

2 (C) d d ( ) 发散收敛 ( ) 答案 (D) d 解析 =l l 积分收敛 ; ( ) d =l 积分发散 ; 故选 (D) ( ) 版权所有翻版必究 (D) d d ( ) 收敛发散 ( ) a! (4) 已知级数其中 a 则下列说法正确的是 ( ) (A) 当 a 时级数发散 (B) 当 a 时级数发散 (C) 当 a e时级数收敛 (D) 当 a e时级数收敛答案 (D) 解析由比值判别法可知 : a ( )! ( ) a ( ) a a lim lim lim a! ( ) ( ) e a 故当 a e时 e 级数发散 ; 当 a e时 a e 级数收敛故选 (D) (5) 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量若向量组 A A 线性无关且 3 A 3AA 则矩阵 A 属于特征值的特征向量是 ( ) (A) A A 3 (B) A 3A (C) A A (D) 答案 (B) offc 中公教解析由定义可知: A 则为矩阵 A 属于特征值的特征向量 3 由于 AA ( 3 A) A 3A 3A A 3A A 3A

3 且向量组 A A 线性无关可知 A3A 所以 A 3A 为矩阵 A 属于特征值的特征向量故选 (B) (6) 设阶实对称矩阵 A 经第一行与第二行对调得到矩阵 B 矩阵 B 再经第一列与第二列对调得矩阵 C 则矩阵 A 与 C 为 ( ) (A) 等价但不相似 (C) 合同但不相似答案 (D) (B) 相似但不合同 (D) 相似合同且等价解析由题可得: E A B BE C 故可得 : E AE C 矩阵 A 通过初等变换得到矩阵 C 故矩阵 A 与 C 等价 ; 因为 ( E) E ( E ) E 故 ( ) E AE EAE C 故矩阵 A 与 C 相似为实对称矩阵故矩阵 A 与 C 合同故选择 (D) ( E ) AE E AE C 且 A (7) 设随机变量 X 和 Y 相互独立 X 服从参数为的指数分布 Y 的分布律为 PY { } PY { } 则 X Y 的分布函数 ( ) (A) 是连续函数 (C) 恰有一个间断点的非阶梯函数答案 (A) 解析由全概率公式知对任意的常数 a R (B) 恰有一个间断点的阶梯函数 (D) 至少有两个间断点 PX { Ya} PX { YaY } PY { } PX { YaY } PY { } 所以 X offc 中公教 PX { a} PY { } PX { a} PY { } PX { a} PX { a} Y 的分布函数是连续的函数故选 (A) (8) 设随机变量 X 服从分布 F () 记 P P{ X } P P{ } 则 ( ) X 3

4 (A) P P (B) P P (C) P P (D) 因未知无法比较 P P 大小答案 (C) 解析如果随机变量 X F( m ) 与均服从分布 () X 则 Fm ( ) X 由题中条件知 m 于是 X F 因此 P P{ X } P{ } P 故选 (C) X 二填空题 :9~4 小题每小题 4 分共 4 分请将答案写在答题纸... 指定位置上. f( y) y (9) 设 z f( y) 在 ( ) 处可微且 lim ( y ) () 则 ( ) y f( h ) f( h) lim h h 答案 4 解析由题 f( y) y lim 可知 : f ( ) f y ( ) 而 ( ) y ( y ) () f( h ) f( h) f( h ) f( ) [ f( h) f( )] lim lim h h h h f( h) f() [ f( h) f()] lim lim f ( ) f y( ) 4 h h h h () 曲线 y ( e ) 的斜渐近线答案 y offc 中公教 e t e e 解析由于 k lim lim lim t t 4

5 blim e lim o( ) 所以斜渐近线 y z z () 设函数 f() u v g() u 均可微 z f ( yl g( y)) 则 y y 答案 f. z 解析 yf ( yg) f z f gf 故 z z y f y y () 心形线 r a(cos ) ( a ) 的全长为答案 8a 解析极坐标形式下弧长公式为 : s r ( r) d [ a(cos )] ( asi ) d a cosd a cos d a cos d a costdt 8a (3) 设 A 为三阶矩阵其特征值为 3 其对应的线性无关的特征令 P =(4 3 3) 则 P ( A 3 E) P 为向量为 3 4 答案 offc 中公教解析因为 A 的特征值为 3 所以 A 的特征值为 3 又因为 3 3 ; A 3E 的特征值为 4 4 也为 A 的线性无关的特征向量 4 也是 A 3E 的线性无关的特征向量所以 3 3 5

6 4 所以 P ( A 3 E) P 版权所有翻版必究 (4) 假设随机变量 X 的分布函数为 F ( ) 概率密度函数 f( ) af( ) bf( ) 其中 f ( ) 是正态分布 N( ) 的密度函数 f ( ) 是参数为的指数分布的密度函数已知 F() 则 ab 分别的取值为 8 3 答案 a b. 4 4 解析由概率密度归一性可知 f ( ) d a f( ) d b f( ) d a b 又因为 F() 即 8 3 可得 : a b 4 4 a 8 f ( ) d a f( ) d b f( ) d a () 三解答题 :5~3 小题共 94 分请将解答写在答题纸... 指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. ( )si (5)( 本题满分分 ) 设函数 f( ) 满足 f() f() 计算 lim f(e ) 答案. ( )si 解析当时 ( )si 所以 lim f( e ) offc 中公教 lim lim ( ) f e f(e ) f() e f() e 6

7 注其中因 f () f () 故 (6)( 本题满分分 ) (Ⅰ) 设 f( ) 在 [ ] f( ) f() f( ) f() f () lim lim 上连续证明 : f (si ) d f (si ) d ; (Ⅱ) 设 f( ) 在 [ ] 上连续且 f( ) f( )sid cos 求 f( ) 答案 (Ⅱ) f( ). cos 解析 (Ⅰ) f (si ) d u ( u) f (si( u))( du) ( uf ) (si udu ) [ f(si d ) ( uf ) (si udu ) ] f(si d ) ; (Ⅱ) 令 f ( )sid A 则 f( ) A cos 该式两边同乘 si 并在 [ ] 上求积分得 : si f ( )sid d Asid cos si 由于是关于的偶函数 Asi 是关于的奇函数 cos si 因此 f( )sid d cos si 则 A f ( )sid d cos si d 进行变量替换令 t cos 对 si t tsi t si t A dt dt dta cos t cos t cos t 则可得 : si t A dt arcta(cos t) cos t 4 4 offc 中公教 7

8 或利用 (Ⅰ) 结论得 : si si arcta(cos ) 8 版权所有翻版必究 A d d t cos cos 4 4 所以 f( ) cos ( 7 )( 本题满分分 ) 设 u f( y ) 具有二阶连续偏导数且满足 y u u u u y 试求函数 u 的解析式答案 u C cos y C si y y 其中 C C 为常数 u du r du u d u du du 解析令 r y 则 3 dr r dr r dr r dr r dr u y d u du y du du 同理可得代入方程化简得 3 u r y r dr r dr r dr dr 求解二阶常系数非齐次微分方程得其通解为 : u C cos rc si rr ; 故函数解析式为 u C cos y C si y y 其中 C C 为常数 3y (8)( 本题满分分 ) 已知 S 是空间曲线绕 y 轴旋转形成的椭球面的上 z 半部分 ( z ) 取上侧是 S 在点 Pyz ( ) 处的切平面 ( yz ) 是原点到切平面的距离表示 S 的正法向的方向余弦计算 : (Ⅰ) S offc 中公教 z ds ( yz ) ;(Ⅱ) z( 3 y z) ds 答案 (Ⅰ) 3 3 ;(Ⅱ) 解析由题意得 : 椭球面 S 的方程为 S y z z 3 ( )

9 令 F y z F F y F z 3 则 y 6 z 切平面的法向量为 {3} y z 切平面的方程为 X ( ) 3 yy ( y) zz ( z) 原点到切平面的距离为 ( yz ) z 所以 : I ds z 9y z ds ( yz ) s s 3y z 9y z 9y z 将第一类曲面积分转化为二重积分 : 记 D : z z 由对称性可得 : z3( z ) r (3 r ) I 4 ddz 4 si d dr 3( z ) 3( r ) D z r (3 r ) si (3si ) 3 4 dr 4 d ; 3( r ) 3 (Ⅱ) 方法一 : 因为 z y z 9y z 9y z 9y z 所以 I z( 3 yz) ds z 9y z ds I s s 3 ; 方法二 ( 将第一类曲面积分转化为二型 ): I z y z ds zdydz zydzd z ddy 记 ( 3 ) 3 s s : z 3y ; : 3y z ( z ) 取面向下向外由高斯公式得 : I zdydz 3zydzd z ddy 6zdV 求解三重积分 : 方法 : 先一后二 : offc 中公教 3 I 6 d zdz3 ( 3 y ) d d r( r ) dr 3y 3y 3y 3 9

10 方法 : 先二后一 : 6 3 I zdz d z z dz 6 ( ) 3y z 3 ; 方法 3: 球面坐标 : I d d r si dr 3 版权所有翻版必究 4 6 (9)( 本题满分分 ) 求级数 ( ) 的收敛域并求其和函数 s ( ) l l( ) 答案收敛域[ ] 和函数为 : s ( ) l 解析设 s ( ) () 则 s( ) ( ) dt 所以 s( ) l ( ) t t t s ( ) l dt l dt l l( ) t t ( ) s() lim l l( ) lim l( ) l( ) l( ) l( ) l + lim( l( ) l( )) l. offc 中公教 s( ) lim l l( ) ( ) lim l( ) l( ) l( ) l( ) ( ) l + lim ( l( ) l( )) l ( ).

11 l l( ) 故收敛域为 [ ] 和函数为 : s ( ) l 3 4 ()( 本题满分分 ) 设线性方程组 ( ) (4 ) 3 44 已知 ( ) 是该方程组的一个解试求 : (Ⅰ) 方程组的全部解并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 ; (Ⅱ) 该方程组满足 3的全部解答案 (Ⅰ) 当时全部解为 : k ( ) k( ) ( k 为任意常数 ); 当 λ 时全部解为 : k k ( ) k( 3 ) k( ) ( k k 为任意常数 ); (Ⅱ) 当 λ 时满足 3的全部解为 : ( ) ; 当 λ 时满足 3的全部解为 : ( ) k 3 ( ) ( k 为任意常数 ) 解析 (Ⅰ) 将 ( ) 代入方程组得对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换得 : offc 中公教 A ( )

12 当时有 A r( A) r( A ) 34 故方程组有无穷多解且 ( ) 为其一个特解对应的齐次线性方程组的基础解系为 ( ) 故方程组的全部解为 : k ( ) k( ) ( k 为任意常数 ); 当 λ 时有 A 3 r( A) r( A ) 4 故方程组有无穷多解且 ( ) 为其一个特解对应的齐次线性方程组的基础解系为 ( 3 ) ( ) 故方程组的全部解为 : k k ( ) k( 3 ) k( ) ( k k 为任意常数 ); (Ⅱ) 当 λ 时由于 3 即 k k 解得 k 故方程组满足 3的解为 ( ) ( ) ( ) ; 当 λ 时由于 3 即 3k k k 解得 k k 4 offc 中公教故方程组满足 3的全部解为 : ( ) ( )( 3) ( ) 4 k k

13 k ( ) ( ) ( k 为任意常数 ) ()( 本题满分分 ) 已知二次型 f( ) ( a4) 若二次型 f( 3) 经正交变换 Qy 化为标准型 by 5y y3 (Ⅰ) 求 ab 的值 ;(Ⅱ) 求将二次型化为规范型所用的变换矩阵 5 答案 (Ⅰ) a b ;(Ⅱ) P b 解析 (Ⅰ) 二次型矩阵为 : A a tra tr a43b5 a 由题可得 A 与相似所以有即解得 ; A 3a45b b (Ⅱ) 由于 A 的特征值为 5 依次求解方程组 ( E A) (5 EA) ( EA) 可得对应的特征向量分别为 : 3 ; offc 中公教单位化后可得 : 3 ; 所求的正交变换矩阵为 Q 3 相应的正交变换为 Qy 将二次型变形 3

14 4 版权所有翻版必究 y z 为标准型 y 5y y3 若再做合同变换 y z 5 即 y Pz y 3 z 3 可将二次型化为规范型 z z z 所用的变换为 Pz 3 5 故变换矩阵 P QP ()( 本题满分分 ) 设 X 为随机变量若行列式 A X 的概率为已知 Y U() Y B( ) Y 3 N() 且 X 分别与 Y Y Y 3独立随机变量 X 3 Y Y Y 其中一个随机变量同分布与 3 (Ⅰ) 随机变量 X 与 Y Y Y 3中哪个随机变量同分布 ; X (Ⅱ) 计算 E X Y ; offc 中公教 (Ⅲ) 求 Z X Y 的分布函数答案 (Ⅰ) Y ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) F Z z < z z 4 9 ( z) ; z 4 z z 6

15 解析 (Ⅰ) 由题得 : P{ X } 而 A X X 即 X 据题意有 PY { } ; PY { } 4 9 ; PY { } () 故与 X 同分布的只有 Y 3 ; (Ⅱ) 由于 X 与 Y 独立同分布故 ( XY ) 的联合概率密度为 : y f( y) 4 由二重积分的轮换对称性可得 : 其他则 X X Y X Y E () E E E E ; X Y X Y X Y X Y (Ⅲ) 据题意有 X 的密度函数 f( ) 其它则有 : F ( z) P Z z P X Y z Z Y 的分布律 ; P X Y z Y P Y P X Y z Y P Y P X Y z Y P Y 4 4 P X z P X z P X z offc 中公教 5

16 z < 4 z z z < z 9 9 z z z z 9 z z 4 z z 4 z z z 6 z 6 (3)( 本题满分分 ) 设 X X X 是来自总体 X N( ) 的一个简单随机样本 ( 其中为未知的参数 ) 记 X S ( X ) i X (Ⅰ) 试求的最大似然估计量 ; (Ⅱ) 判断 ax Xi i ( a) S 是否为的无偏估计量并说明理由 ; (Ⅲ) 试确定常数 a 使得 ax ( a) S 有最小方差答案 (Ⅰ) ˆ X i ;(Ⅲ) a ; i 解析 (Ⅰ) 设为样本 X X X 的观测值故似然函数为 L( ) e ( i ) i i 对数似然函数为 l L( ) l l dl L( ) 求解似然方程得的最大似然估计值为 ˆ i d i 的最大似然估计量为 i offc 中公教 ˆ ; X i i i i (Ⅱ) 证明 : 因为 E[ ax ( a) S ] ae( X ) ( a) E( S ) 6

17 a[ D( X ) E ( X )] ( a) a ( a) 因此 ax ( a) S 为的无偏估计量 ; (Ⅲ) D[ ax ( a) S ] a D( X ) ( a) D( S ) 由于 X ( ) S 由于 X N 那么 () X 则 D ( ) ( ) S 则 D 4 从而 DX ( ) 4 ( ) 从而 DS ( ) 则 D ax ( a) S a ( a) ( a a ) 当 a 时 a a 取最小值即方差最小 offc 中公教 7

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