第三章矩阵的
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1 第三章矩阵的 第三章矩阵的 高等工程数学 ( 第三版 ) 姚仰新, 王福昌, 罗家洪, 庄楚强华南理工大学出版社出版 2016 年 9 月 20 日
2 第三章矩阵的
3 第三章矩阵的 本节主要研究 : 一个 n 阶方阵能够相似于对角形矩阵的充要条件是什么? 设 V 是复数域 C n n 上的 n 维线性空间, T 是 V 的一个线性变换, 又 e 1, e 2,, e n 是 ε 1, ε 2,, ε n 是 V 的两组基, 从第一组基到第二组基的过渡矩阵 P, 则线性变换 T 在这两组基下的矩阵 A 与 B 相似, 即 B = P 1 AP. 我们自然会问 : 矩阵 A 是否相似于一个对角形矩阵? 换言之, 是否可以适当地选取第二组基 ε 1, ε 2,, ε n, 使得在线性变换 T 在这组基下的矩阵 B 是个对角性矩阵呢? 如果能做到这一点, 讨论线性变换 T 时可选取适当的基, 使得 T 在该组基下的矩阵为对角形, 从而更方便地研究线性变换 T 的性质 下面, 我们将逐步弄清这个问题
4 第三章矩阵的 首先设 A 能相似于对角阵, 即 λ 1 P 1 λ 2 AP = 因而有 λ 1 λ 2 AP = P... λn... λn 若把 P 写成分块矩阵 P = (x 1, x 2,, x n ) 这里 x 1, x 2,, x n 表示 P 的 n 个列向量, 由分块矩阵的乘法规则, 有
5 第三章矩阵的 另一方面 λ 1 λ 2 P 所以有 或者 AP = (Ax 1, Ax 2,, Ax n )... λn = (λ 1x 1, λ 2 x 2,, λ n x n ) Ax i = λ i x i, i = 1, 2,, n. (1) (λ i I A)x i = 0, i = 1, 2,, n. 若 A 相似于对角阵, 则 P = (x 1, x 2,, x n ) 的每个列向量都满足 (1).
6 第三章矩阵的 定理 ( 3.1 A 相似于对角阵的充要条件 ) 设 A C n n, 则 A 能与对角形矩阵相似的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 因为属于不同特征值的特征向量线性无关, 所以有 : 定理 ( 3.2 A 相似于对角阵的充分条件 ) 若 n 阶矩阵 A C n n 有 n 个不同的特征值, 则 A 可与对角形矩阵相似 注 : (1) 很多情况下使用定理 3.2 比较方便 (2) n 阶矩阵 A C n n 的特征值可通过求解方程 λi A = 0 得到, 它称为 A 的特征方程.
7 第三章矩阵的 (3) λi A = λ a 11 a 12 a 1n a 21 λ a 22 a 2n a n1 a n2 λ a nn 称为 A 的特征矩阵 (4) 多项式 f(λ) = λi A = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n 称为 A 的特征多项式. 这里 a 1 = n a i i = tr(a), i=1 a n = ( 1) n A. tr(a) 称为 A 的迹 (trace).
8 第三章矩阵的 (3) λi A = λ a 11 a 12 a 1n a 21 λ a 22 a 2n a n1 a n2 λ a nn 称为 A 的特征矩阵 (4) 多项式 f(λ) = λi A = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n 称为 A 的特征多项式. 这里 a 1 = n a i i = tr(a), i=1 a n = ( 1) n A. [ tr(a) ] 称为 A 的迹 (trace). 如 1 2 A =, n = 2, tr(a) = 5, A = 2, 3 4 所以 λi A = λ 2 5λ 2.
9 第三章矩阵的 例 (3.1) 研究矩阵 能否与对角形矩阵相似
10 第三章矩阵的 例 (3.1) 研究矩阵 能否与对角形矩阵相似 解 A 的特征多项式为 λi A = (λ 1) 2 (λ + 2), 特征值为 λ 1 = λ 2 = 1, λ 3 = 2. 而对应于特征值 1 的一切特征向量为 x = k[3, 6, 20] T, k 0, 又对应于特征值 - 2 的一切特征向量为 y = k 1 [0, 0, 1] T, k 1 0, 所以不存在三个线性无关的特征向量, 从而 A 不能与对角形矩阵相似
11 第三章矩阵的 例 (3.2) 设 求 A 的相似对角形矩阵及 A 100
12 第三章矩阵的 例 (3.2) 设 求 A 的相似对角形矩阵及 A 100 解 由 λi A = (λ 1) 2 (λ + 2), 特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = 1( 二重根 ), 求得对应于 λ 1 的一个特征向量 x 1 = ( 1, 1, 1) T, 以及对应于二重根 λ 2 = 1 的两个线性无关特征向量为 x 2 = ( 2, 1, 0) T, x 3 = (0, 0, 1) T,
13 第三章矩阵的 解 因此可得 因而有 P = 1 1 0, P 1 = P 1 AP = 1 1
14 第三章矩阵的 解 注意, 若取 则亦有 P 1 = 1 0 1, P 1 1 AP 1 = 可见 P 不是唯一的 现来计算 A 100, 由式 (3) 得 1 A = P 1 P 1. 2
15 第三章矩阵的 解 因此易知 A 100 = P P = =
16 第三章矩阵的 1 >> A=[4 6 0; 3 5 0; ] ; 2 p = poly (A) ; r s = r o o t s ( p ) % 特征多项式 p 和特征值 r s 3 p1 = n u l l (A ( 2)* eye ( 3 ), r ) % 2 对应的特征向量 4 p2 = n u l l (A (1)* eye ( 3 ), r ) % 1 对应的特征向量 5 P = [ p1 p2 ] 6 Pinv = inv (P) 7 Lam = Pinv*A*P
17 第三章矩阵的 1 r s = p1 = p2 =
18 第三章矩阵的 1 2 P = Pinv = Lam =
19 第三章矩阵的 由上节例 3.1 可以看出, 并非每个矩阵都可以相似于对角形, 那么当 A C n n 不能和对角形相似时, 能否找到一个构造比较简单的分块对角形矩阵和它相似呢? 当在复数域 C 内考虑这个问题时, 这样的矩阵确实是存在的, 这就是约当 (Jordan) 形矩阵, 称它为矩阵的约当 在矩阵分析及其应用中, 矩阵的约当都是重要的工具, 但其理论推导往往非常繁复, 这里只作简要介绍 先介绍多项式的最大公因式 1 及其一些性质 1 见北京大学编写的高等代数, 又 d(λ) f(λ) 表示 d(λ) 能整除 f(λ)
20 第三章矩阵的 定义 (3.1) 设 f(λ), g(λ) 是 P 上多项式, 如果存在 P 上多项式 d(λ) 满足 : (1) d(λ) 是 f(λ), g(λ) 的公因式 : d(λ) f(λ), d(λ) g(λ), (2) f(λ), g(λ) 的公因式全是 d(λ) 的因式 : 若存在 P 上多项式 d 1 (λ) 满足 d 1 (λ) f(λ), d 1 (λ) g(λ), 则有 d 1 (λ) d(λ). 则称 d(λ) 是 f(λ), g(λ) 的一个最大公因式, 以 (f(λ), g(λ)) 表示首项系数为 1 的最大公因式 注 :(1) 三个因式 f(λ), g(λ), h(λ) 的最大公因式 (f(λ), g(λ), h(λ)) 可定义为 ((f(λ), g(λ)), h(λ)). (2) 若 c 为非零常数, f(λ) 是首 1 多项式, 则有 (f(λ), c) = 1, (f(λ), 0) = f(λ).
21 第三章矩阵的 (3) 在 C 内若干个多项式的最大公因式时, 可先把每个多项式分解为一次因式的方幂的乘积形式, 然后取含有公共一次因式的最低方幂的成绩, 即为所求的最大公因式 例如 : f(λ) = (λ 1) 3 (λ + 2) 2 (λ + 5), g(λ) = (λ 1) 2 (λ + 2) 3 (λ + 3), h(λ) = (λ 1) 2 (λ + 2)(λ + 3) 5, 则有 (f(λ), g(λ), h(λ)) = (λ 1) 2 (λ + 2). 1 >> syms x, a =(x 1)^2*( x+2) ^3; b = ( x 1)^3*( x+2) *( x+5) ; [ g, c, d ] = gcd ( a, b ) 2 g = 3 x^3 3* x c = 5 1/9 6 d = 7 1/9
22 第三章矩阵的 1 >> f a c t o r ( g ) 2 ans = 3 [ x + 2, x 1, x 1 ]
23 第三章矩阵的 1 >> f a c t o r ( g ) 2 ans = 3 [ x + 2, x 1, x 1 ] 设 A = (a ij ) C n n,λi A 是 A 的特征矩阵, 暂用 A(λ) 表示.
24 第三章矩阵的 1 >> f a c t o r ( g ) 2 ans = 3 [ x + 2, x 1, x 1 ] 设 A = (a ij ) C n n,λi A 是 A 的特征矩阵, 暂用 A(λ) 表示. 定义 (3.2) 设 A(λ) 中所有的 k 阶子式的首项 ( 最高次项 ) 系数为 1 的最大公因式 D k (λ) 称为 A(λ) 的 k 阶行列式因子, k = 1, 2,, n.
25 第三章矩阵的 例 (3.3) 求下列矩阵行列式因子 1 1) 2 1 ; 2 a 1 a 3) n 阶方阵 a a 1 2) n 阶方阵 a , a 1 a
26 第三章矩阵的 解 1) 特征矩阵 λ + 1 A(λ) = λi A = λ 1, λ 2 D 1 (λ) = (λ + 1, λ 1, λ 2) = 1, D 2 (λ) = ((λ + 1)(λ 1), (λ + 1)(λ 2), (λ 1)(λ 2)) = 1, D 3 (λ) = (λ + 1)(λ 1)(λ 2).
27 第三章矩阵的 解 2) 特征矩阵 λ a 1 λ a 1 A(λ) = λi A =......, λ a 1 λ a 1 λ a 1 因为存在一个 n 1 阶子式 = = ( 1) n 1 为 λ a 1 非零常数, 故 D n 1 (λ) = 1, 从而 D 1 (λ) = D 2 (λ) = = D n 2 (λ) = 1, D n (λ) = (λ a) n.
28 第三章矩阵的 解 3) 特征矩阵 λ a 1 λ a A(λ) = λi A =......, 1 λ a 1 λ a 1 λ a 因为存在一个 n 1 阶子式 = = 1 λ a ( 1) n 1 为非零常数, 故 D n 1 (λ) = 1, 从而 D 1 (λ) = D 2 (λ) = = D n 2 (λ) = 1, D n (λ) = (λ a) n.
29 第三章矩阵的 定义 (3.3 A(λ) 的不变因式和初级因子 ) 下列的 n 个多项式 d 1 (λ) = D 1 (λ), d 2 (λ) = D 2(λ) D 1 (λ), d 3(λ) = D 3(λ) D 3 (λ),, d k (λ) = D k(λ) D k 1 (λ),, d n(λ) = D n(λ) D n 1 (λ), 称为 A(λ) 的不变因式 把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积 a ( 相同的必须按出现次数计算 ), 称为 A(λ) 的初级因子 a 我们是在数范围内讨论的, 这种分解是可能的.
30 第三章矩阵的 求解初级因子的过程分四步 : 1) 求 A 的特征方程 λi A; 2) 求 A 的 k 阶行列式因子 D k (λ), k = 1, 2,, n; 3) 求 A 的不变因式 d 1 (λ) = D 1 (λ), d k (λ) = D k(λ), k = 2,, n; D k 1 (λ) 4) 求 A 的初级因子.
31 第三章矩阵的 求解初级因子的过程分四步 : 1) 求 A 的特征方程 λi A; 2) 求 A 的 k 阶行列式因子 D k (λ), k = 1, 2,, n; 3) 求 A 的不变因式 d 1 (λ) = D 1 (λ), d k (λ) = D k(λ), k = 2,, n; D k 1 (λ) 4) 求 A 的初级因子.
32 第三章矩阵的 求解初级因子的过程分四步 : 1) 求 A 的特征方程 λi A; 2) 求 A 的 k 阶行列式因子 D k (λ), k = 1, 2,, n; 3) 求 A 的不变因式 d 1 (λ) = D 1 (λ), d k (λ) = D k(λ), k = 2,, n; D k 1 (λ) 4) 求 A 的初级因子.
33 第三章矩阵的 求解初级因子的过程分四步 : 1) 求 A 的特征方程 λi A; 2) 求 A 的 k 阶行列式因子 D k (λ), k = 1, 2,, n; 3) 求 A 的不变因式 d 1 (λ) = D 1 (λ), d k (λ) = D k(λ), k = 2,, n; D k 1 (λ) 4) 求 A 的初级因子.
34 第三章矩阵的 例 (3.4) 求下列矩阵的不变因式和初级因子 1 1) ; 2) n 阶方阵
35 第三章矩阵的 解 1) 因为 A 的特征矩阵 λ + 1 A(λ) = λi A = λ + 2 λ 1 所以 A(λ) 的行列式因子为 D 4 (λ) = (λ 2 1)(λ 2 4), D 3 (λ) = D 2 (λ) = D 1 (λ) = 1,, λ 2 不变因式为 d 1 (λ) = D 1 (λ) = 1, d 2 (λ) = d 3 (λ) = 1, d 4 (λ) = D 4 (λ)/d 3 (λ) = (λ 1)(λ + 1)(λ 2)(λ + 2). 而次数大于零的不变因式只有 d 4 (λ), 故由定义可见 A 的全部初级因子为 : λ 1, λ + 1, λ 2, λ + 2.
36 第三章矩阵的 解 2) 因为 A 的特征矩阵 λ A(λ) = λi A = 0 λ 2 0, 2 2 λ + 1 所以 A(λ) 的行列式因子为 D 3 (λ) = λe A = (λ 1)(λ + 1)(λ 2), D 2 (λ) = D 1 (λ) = 1, 次数大于零的不变因式为 (λ 1)(λ + 1)(λ 2), 故由定义可见 A 的全部初级因子为 : λ 1, λ + 1, λ 2.
37 第三章矩阵的 例 (3.5) 求下列矩阵的不变因式和初级因子 a b 1. 设 A = a... (b i 0, i = 1,, n 1), 求 A.. bn 1 a n n 的初级因子. 解 因为 A 的特征矩阵 λ a b 1 A(λ) = λi A = λ a bn 1, λ a
38 第三章矩阵的 解 所以 A(λ) 的行列式因子为 D n (λ) = λe A = (λ a) n, 又因它有一个 n 1 阶子式 b 1 λ a b = b 1 b 2 b n 1 0 λ a b n 1 故 D n 1 (λ) = 1, 从而 D 1 (λ) = D 2 (λ) = = D n 1 (λ) = 1, 于是不变因式为 d 1 (λ) = d 2 (λ) = = d n 1 (λ) = 1, d n (λ) = (λ a) n, 全部初级因子只有一个 (λ a) n.
39 第三章矩阵的 有了上述概念, 下面考虑矩阵的问题 设 A 的全部初级因子为 (λ λ 1 ) k1, (λ λ 2 ) k2,, (λ λ s ) ks, 在这里,λ 1, λ 2,, λ s 可能有相同的,k 1, k 2,, k s 中也可能有相同的 对每个初级因子 (λ λ s ) ki 构造一个 k i 阶矩阵 ( 约当块 ): λ i 1 λ i. J i = λ.. i 1 λ i. 或者 J i = , i = 1, 2,, s. λi 1 λ i 由所有这些约当块矩阵构成的分块对角阵 J 1 J 2 J =... Js 称为矩阵 A 的约当形矩阵, 或 A 的约当
40 第三章矩阵的 定理 (3.3) 每个 n 阶复矩阵都与一个约当形矩阵 J 相似 : P 1 AP = J 除去约当块的次序外, 约当形矩阵 J 是被矩阵 A 唯一决定的.
41 第三章矩阵的 定理 (3.3) 每个 n 阶复矩阵都与一个约当形矩阵 J 相似 : P 1 AP = J 除去约当块的次序外, 约当形矩阵 J 是被矩阵 A 唯一决定的. 推论 复数矩阵 A 与对角形矩阵相似的充要条件是 A 的初级因子全为一次式.
42 第三章矩阵的 定理 (3.3) 每个 n 阶复矩阵都与一个约当形矩阵 J 相似 : P 1 AP = J 除去约当块的次序外, 约当形矩阵 J 是被矩阵 A 唯一决定的. 推论 复数矩阵 A 与对角形矩阵相似的充要条件是 A 的初级因子全为一次式. 注 由于 λi A = λi J = (λ λ 1 ) k1 (λ λ 2 ) k2 (λ λ s ) ks, 所以约当形矩阵 J 的主对角线上的元素 λ 1, λ 2,, λ s 全为 A 的特征 s 值, 且 k i = n. 但由于 i j 时, 可能有 λ i = λ j. 故 λ i 不一定 i=1 是 A 的 k i 重特征根, 故由一般矩阵的特征多项式是不能写出矩阵的约当形矩阵的 这点常为学生误解, 请加以注意.
43 第三章矩阵的 一个矩阵的约当在不同资料里不同, 有时 1 在对角线下方, 有时 1 在对角线下方 在下面的例子中计算时要特别注意. 下面举一个应用的例子 例 (3.6) 求线性微分方程组 dx 1 dt dx 2 dt dx 3 dt = x 1 + x 2, = 4x 1 + 3x 2, = x 1 + 2x 3,
44 第三章矩阵的 解 这方程组写成矩阵形式为 dx dt = Ax, 其中 A = 4 3 0, ( 向量的导数定义为每个分量的导数, 见下章 ) 我们不难求得 A 的初级因子 : λ 2, (λ 1) 2, 于是有可逆矩阵 P = (x 1, x 2, x 3 ), 使得 P 1 AP = J =
45 第三章矩阵的 解 由 AP = PJ, 即有 (Ax 1, Ax 2, Ax 3 ) = (2x 1, x 2, x 2 + x 3 ). 所以有 Ax 1 = 2x 1 Ax 2 = x 2, Ax 3 = x 2 + x 3 求得 x 1 = 0 0, x 2 = 1 2, x 3 = 1 1, 1 1 0
46 第三章矩阵的 解 所以有 P = , 作满秩线性变换 x = Py, 其中 y = (y 1, y 2, y 3 ) T. 则有 APy = Ax = dx dt = Pdy dt, dy dt = P 1 APy = y, 0 0 1
47 第三章矩阵的 解 即 积分可得 dy 1 = 2y 1 dt dy 2 = y 2 + y 3 dt dy 3 = y 3 dt y 1 = k 1 e 2t, y 3 = k 3 e t, 再由非齐次一阶线性常微分方程 y + p(x)y = q(x) 求解公式 y = e p(x)dx (C + Q(x)e p(x)dx dx + C), 或常数变易法可得 y 2 = e t (k 2 + k 3 t),.
48 第三章矩阵的 解故微分方程组的通解为 k 1 e 2t e t ( k 2 + k 3 k 3 t) x = Py = (k 2 + k 3 t)e t = e ( 2k 2 + k 3 2k 3 t), k 3 e t k 1 e 2t + e t (k 2 + k 3 t) 其中 k 1, k 2, k 3 是任意常数.
49 第三章矩阵的 改变约当形形式, 可得如下解法 : 解 这方程组写成矩阵形式为 dx dt = Ax, 其中 A = 4 3 0, ( 向量的导数定义为每个分量的导数, 见下章 ) 我们不难求得 A 的初级因子 : λ 2, (λ 1) 2, 于是有可逆矩阵 P = (x 1, x 2, x 3 ), 使得 P 1 AP = J =
50 第三章矩阵的 解 由 AP = PJ, 即有 (Ax 1, Ax 2, Ax 3 ) = (2x 1, x 2, x 2 + x 3 ). 所以有 Ax 1 = 2x 1 Ax 2 = x 2 + x 3, Ax 3 = x 2 求得 x 1 = 0 0, x 2 = , x 3 = 1 2, 1
51 第三章矩阵的 解 所以有 P = , 作满秩线性变换 x = Py, 其中 y = (y 1, y 2, y 3 ) T. 则有 APy = Ax = dx dt = Pdy dt, dy dt = P 1 APy = y, 0 1 1
52 第三章矩阵的 解 即 dy 1 = 2y 1 dt dy 2 = y 2 dt dy 3 = y 2 + y 3 dt 积分前两个方程可得 y 1 = k 1 e 2t, y 2 = k 2 e t, 将求得的 y 2 代入第 3 个方程, 再由非齐次一阶线性常微分方程 y + p(x)y = q(x) 求解公式 y = e p(x)dx (C + Q(x)e p(x)dx dx + C), 或常数变易法可得 y 3 = e t (k 2 t + k 3 ),.
53 第三章矩阵的 解 故微分方程组的通解为 k 1 e 2t e t (k 2 t + k 3 ) x = Py = k 2 e t = e t (2k 2 t + k 2 + 2k 3 ) (k2t + k3)e t k 1 e 2t + e t (k 2 t + k 2 + k 3 ) 其中 k 1, k 2, k 3 是任意常数.
54 第三章矩阵的 定理 (3.3) 利用约当证明 : 若 n 阶矩阵 A 的特征值 λ 1, λ 2,, λ n, 则矩阵 A m 的特征值为 λ m 1, λm 2,, λm n
55 第三章矩阵的 定理 (3.4 Hamilton Cayley 定理 ) 每个 n 阶矩阵 A 都是特征多项式的根, 即 A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0 n n, (3.6) 注 :(1) 因为 f(λ) = λi A = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, 所以 (3.6) 式常写成 f(a) = 0 n n.
56 第三章矩阵的 定理 (3.4 Hamilton Cayley 定理 ) 每个 n 阶矩阵 A 都是特征多项式的根, 即 A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 0 n n, (3.6) 注 :(1) 因为 f(λ) = λi A = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n, 所以 (3.6) 式常写成 f(a) = 0 n n. 例 (3.8) 设 A = , 试计算 φ(a) = 2A 8 3A 5 + A 4 + A 2 4I
57 第三章矩阵的 解 : 因为 A 的特征多项式为 f(λ) = λi A = λ 3 2λ + 1, 再取多项式 φ(λ) = 2λ 8 3λ 5 + λ 4 + λ 2 4, 以 f(λ) 去除 φ(λ) 可得 ( 可用 MATLAB 中的 deconv()) 函数求解.) φ(λ) = (2λ 5 + 4λ 3 5λ 2 + 9λ 14)f(λ) + r(λ), 这里余式 r(λ) = 24λ 2 37λ 由 Hamilton Caylay 定理, f(a) = 0 n n, 所以 φ(a) = r(a) = 24A 2 37A + 10I = 注 :(1) 一个 n 阶矩阵的多项式, 如果其次数高于 n 次, 应用定理 (3.4) 可以将它化为次数小于 n 的多项式来计算.
58 第三章矩阵的 注 :(2) 关于多项式的相关运算, 可以使用 Mathematica 的相关命令计算 Mathematica 却可以, 输入 PolynomialQuotientRemainder[x 2 + x + 1, 2x + 1, x] 结果为 { x } 2, 3 4 表示 x 2 + x + 1 = (2x + 1)( x 2 ) (3) MATLAB 中多项式的乘法和除法可以分别用函数 conv() 和 deconv() 完成
59 第三章矩阵的 再如, 求两个多项式最大公因式, 输入 {f,g} = {2x 5 2x, (x 2 1) 2 }; {d, {a,b}} = PolynomialExtendedGCD[f,g,x] 结果为 { 1 + x 2, { x 4, 1 ( 4 2x 2 )}} 4 表示多项式 2x 5 2x 与 (x 2 1) 2 的最大公因式为 x 2 1, x 且 4 (2x5 2x) ( x2 )(x 2 1) 2 = x 2 1.
60 第三章矩阵的 定义 (3.4) 设 A 是 n 阶矩阵, 则 A 的首项系数为 1 的次数最小的零化多项式 m(λ), 称为 A 的最小多项式 首项 ( 最高次项 ) 系数为 1 的多项式, 以后简称首一多项式 定理 (3.5) 矩阵 A 的任何零化多项式都被其最小多项式整除. 定理 (3.6) 矩阵 A 的最小多项式是唯一的. 定理 (3.7) 矩阵 A 的最小多项式的根必定是 A 的特征根 ; 反之, A 的特征根也必定是 A 的最小多项式的根.
61 第三章矩阵的 例 (3.9) 求矩阵 A = 的最小多项式 m(λ)
62 第三章矩阵的 例 (3.9) 求矩阵 的最小多项式 m(λ) 解 A = A 的特征多项式为 f(λ) = λi A = (λ 2) 2 (λ 4), 故 A 的最小多项式只能是 m(λ) = (λ 2)(λ 4), 或 m(λ) = f(λ) = (λ 2) 2 (λ 4), 但由于 m(a) = (A 2I)(A 4I) = O, 便知 A 的最小多项式应为 m(λ) = (λ 2)(λ 4), 而不是 f(λ).
63 第三章矩阵的 1 2 >> A = [ 3 3 2; 1 5 2; ] ; 3 >> p = poly (A) 4 p = >> syms x,>> px = poly2sym ( p, x ) 7 px = 8 x^3 8* x^2 + 20* x 16 9 >> f a c t o r ( px, x ) 10 ans = 11 [ x 4, x 2, x 2 ] 12 >> (A 2*eye ( 3 ) ) *(A 4*eye ( 3 ) ) 13 ans = >> minpoly (A) 18 ans =
64 第三章矩阵的 定理 (3.8) 设 A 是 n 阶矩阵,D n 1 (λ) 是特征矩阵 λi A 的 n 1 阶行列式因子, 则 A 的最小多项式 λi A m(λ) = D n 1 (λ) = D n(λ) D n 1 (λ) = d n(λ), 这里 d n (λ) 是 λi A 的第 n 个不变因式 关于最小多项式的其他计算方法和性质, 可参阅高等代数相关书籍.
65 第三章矩阵的 若矩阵 A(λ) = (a ij (λ)) m n 的元素 a ij (λ) 都是 λ 的多项式 ( 系数属于某一数域 P) 则 A(λ) 称为 λ - 矩阵, 或多项式矩阵 为区别起见, 把以前我们介绍的元素为数字的矩阵称为数字矩阵, 显然数字矩阵是多项式矩阵的一种特例 我们把数字矩阵里面的有关概念搬到多项式矩阵上来
66 第三章矩阵的 若矩阵 A(λ) = (a ij (λ)) m n 的元素 a ij (λ) 都是 λ 的多项式 ( 系数属于某一数域 P) 则 A(λ) 称为 λ - 矩阵, 或多项式矩阵 为区别起见, 把以前我们介绍的元素为数字的矩阵称为数字矩阵, 显然数字矩阵是多项式矩阵的一种特例 我们把数字矩阵里面的有关概念搬到多项式矩阵上来 [ ] [ ] λ 例如 2 + λ λ 1 cos λ λ 1 2λ + 1 λ 3 是多项式矩阵, 而 1 λ λ 2 不是 + 2 应为其中的 cos λ 不是 λ 的多项式
67 第三章矩阵的 若矩阵 A(λ) = (a ij (λ)) m n 的元素 a ij (λ) 都是 λ 的多项式 ( 系数属于某一数域 P) 则 A(λ) 称为 λ - 矩阵, 或多项式矩阵 为区别起见, 把以前我们介绍的元素为数字的矩阵称为数字矩阵, 显然数字矩阵是多项式矩阵的一种特例 我们把数字矩阵里面的有关概念搬到多项式矩阵上来 [ ] [ ] λ 例如 2 + λ λ 1 cos λ λ 1 2λ + 1 λ 3 是多项式矩阵, 而 1 λ λ 2 不是 + 2 应为其中的 cos λ 不是 λ 的多项式 如果 λ 矩阵 A(λ) 中至少有一个 r(r 1) 阶子式不为 0, 而所有 r + 1 阶子式 ( 若存在 ) 全为 0, 则称 A(λ) 的秩为 r. 规定零矩阵的秩为 0.
68 第三章矩阵的 若矩阵 A(λ) = (a ij (λ)) m n 的元素 a ij (λ) 都是 λ 的多项式 ( 系数属于某一数域 P) 则 A(λ) 称为 λ - 矩阵, 或多项式矩阵 为区别起见, 把以前我们介绍的元素为数字的矩阵称为数字矩阵, 显然数字矩阵是多项式矩阵的一种特例 我们把数字矩阵里面的有关概念搬到多项式矩阵上来 [ ] [ ] λ 例如 2 + λ λ 1 cos λ λ 1 2λ + 1 λ 3 是多项式矩阵, 而 1 λ λ 2 不是 + 2 应为其中的 cos λ 不是 λ 的多项式 如果 λ 矩阵 A(λ) 中至少有一个 r(r 1) 阶子式不为 0, 而所有 r + 1 阶子式 ( 若存在 ) 全为 0, 则称 A(λ) 的秩为 r. 规定零矩阵的秩为 0. 例如, 数字矩阵 A = (a ij ) n n 的特征矩阵 A = λi A 的秩是 n, 因为 f(λ) = λi A 不是零多项式 ( 至多有 n 个根 )
69 第三章矩阵的 一般地, 若 n 阶多项式矩阵 A(λ) 的行列式 A(λ) 不等于零多项式, 则称 A(λ) 是满秩的 ( 秩 = n ), 或非奇异的 如果存在多项式矩阵 B(λ), 使得 A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = I, (2) 则称 A(λ) 是可逆的, 或称 A(λ) 是单模矩阵, 这里 I 为 n 阶单位矩阵
70 第三章矩阵的 一般地, 若 n 阶多项式矩阵 A(λ) 的行列式 A(λ) 不等于零多项式, 则称 A(λ) 是满秩的 ( 秩 = n ), 或非奇异的 如果存在多项式矩阵 B(λ), 使得 A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = I, (2) 则称 A(λ) 是可逆的, 或称 A(λ) 是单模矩阵, 这里 I 为 n 阶单位矩阵 与数字矩阵的证法一样, 满足 (2) 式的 B(λ) 是唯一的, 并记为 A 1 (λ), 它称为 A(λ) 的逆矩阵
71 第三章矩阵的 定理 (3.9) n 阶多项式矩阵 A(λ) 可逆的充要条件是 A(λ) 的行列式等于非零常数即 A(λ) = c 0
72 第三章矩阵的 定理 (3.9) n 阶多项式矩阵 A(λ) 可逆的充要条件是 A(λ) 的行列式等于非零常数即 A(λ) = c 0 证明. 设 A(λ) 可逆, 则有多项式矩阵 B(λ), 使得 (2) 式成立, 从而有 A(λ) B(λ) = I = 1 故 A(λ) 与 B(λ) 只能是零次多项式, 且不等于零 ( 数 ), 所以当 A(λ) 可逆时, A(λ) 必定等于某个非零常数 反过来, 若 A(λ) = c 0, 则易知 A(λ) 可逆, 且其逆矩阵为 A 1 (λ) = 1 c A (λ), 这里 A (λ) 是 A(λ) 的伴随矩阵, 证毕 由这个定理可见, 在多项式矩阵中, 满秩矩阵未必是可逆的, 如上面提到的特征矩阵虽然满秩, 但不可逆 可逆 ( 单模 ) 的要求更高了 这与数字矩阵是不同的
73 第三章矩阵的 例 (3.10) 多项式矩阵 [ ] λ + 1 λ + 3 A(λ) = λ 2 + 3λ λ 2, + 5λ + 4 [ ] λ + 1 λ + 3 B(λ) = λ 2 + 3λ + 2 λ 2, + 5λ + 6 [ ] λ 0 A(λ) =, 0 λ 中, A(λ) 是可逆的, 而 B(λ) 是不可逆的, C(λ) 满秩, 但不可逆, 因为 A(λ) = 4, B(λ) = 0, C(λ) = λ 2.
74 第三章矩阵的 定义 (3.5) 下列运算, 称为多项式矩阵 A(λ) 的初等变换 : 1) 互换 A(λ) 的任意两行 ( 列 ); 2) 以非零的数 c( P) 乘 A(λ) 的某一行 ( 列 ); 3) 以多项式 φ(λ) 乘 A 的某一行 ( 列 ) 并加到另一行 ( 列 ) 上 由单位矩阵 I 经过一次上述初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 容易验证, 初等矩阵都是可逆的, 即它们都是单模矩阵.
75 第三章矩阵的 定义 (3.5) 下列运算, 称为多项式矩阵 A(λ) 的初等变换 : 1) 互换 A(λ) 的任意两行 ( 列 ); 2) 以非零的数 c( P) 乘 A(λ) 的某一行 ( 列 ); 3) 以多项式 φ(λ) 乘 A 的某一行 ( 列 ) 并加到另一行 ( 列 ) 上 由单位矩阵 I 经过一次上述初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 容易验证, 初等矩阵都是可逆的, 即它们都是单模矩阵.
76 第三章矩阵的 定义 (3.5) 下列运算, 称为多项式矩阵 A(λ) 的初等变换 : 1) 互换 A(λ) 的任意两行 ( 列 ); 2) 以非零的数 c( P) 乘 A(λ) 的某一行 ( 列 ); 3) 以多项式 φ(λ) 乘 A 的某一行 ( 列 ) 并加到另一行 ( 列 ) 上 由单位矩阵 I 经过一次上述初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 容易验证, 初等矩阵都是可逆的, 即它们都是单模矩阵.
77 第三章矩阵的 事实上, 若用 E(i, j), E(i(c)), E(i, φ(λ)j) 分别表示由单位矩阵 E 互换 i, j 两行 ( 列 ); 第 i 行 ( 列 ) 乘以非零常数 ; 第 j 行 (j 列 ) 乘以多项式 φ(λ) 并加到第 i 行 (i 列 ) 上所得到的初等矩阵, 则有 E(i, j) = 1, E(i(c)) = c 0, E(i, φ(λ)j) = 1, 且可以验证 E(i, j) 1 = E(i, j), E(i(c)) 1 = E(i(c 1 )), E(i, φ(λ)j) 1 = E(i, φ(λ)j).
78 第三章矩阵的 事实上, 若用 E(i, j), E(i(c)), E(i, φ(λ)j) 分别表示由单位矩阵 E 互换 i, j 两行 ( 列 ); 第 i 行 ( 列 ) 乘以非零常数 ; 第 j 行 (j 列 ) 乘以多项式 φ(λ) 并加到第 i 行 (i 列 ) 上所得到的初等矩阵, 则有 E(i, j) = 1, E(i(c)) = c 0, E(i, φ(λ)j) = 1, 且可以验证 E(i, j) 1 = E(i, j), E(i(c)) 1 = E(i(c 1 )), E(i, φ(λ)j) 1 = E(i, φ(λ)j). 与数字矩阵的情形一样, 可以证明 : 对一个多项式矩阵 A(λ) 进行一次初等行 ( 列 ) 变换, 相当于用一个相应的初等矩阵左 ( 右 ) 乘矩阵 A(λ)
79 第三章矩阵的 定义 (3.6) 如果经过有限次初等变换能把 A(λ) 化为 B(λ), 则称多项式矩阵 A(λ) 与多项式矩阵 B(λ) 等价 当 A(λ) 与 B(λ) 等价时, 就记为 A(λ) = B(λ)
80 第三章矩阵的 定义 (3.6) 如果经过有限次初等变换能把 A(λ) 化为 B(λ), 则称多项式矩阵 A(λ) 与多项式矩阵 B(λ) 等价 当 A(λ) 与 B(λ) 等价时, 就记为 A(λ) = B(λ) 容易验证, 多项式矩阵的这一等价定义, 具有下述性质 : 1) 自反性 : A(λ) = A(λ); 2) 对称性 : A(λ) = B(λ), B(λ) = A(λ); 3) 传递性 : 若 A(λ) = B(λ), 且 B(λ) = C(λ), 则 A(λ) = C(λ) 简言之, A(λ) = B(λ) 是一种等价关系
81 第三章矩阵的 定义 (3.6) 如果经过有限次初等变换能把 A(λ) 化为 B(λ), 则称多项式矩阵 A(λ) 与多项式矩阵 B(λ) 等价 当 A(λ) 与 B(λ) 等价时, 就记为 A(λ) = B(λ) 容易验证, 多项式矩阵的这一等价定义, 具有下述性质 : 1) 自反性 : A(λ) = A(λ); 2) 对称性 : A(λ) = B(λ), B(λ) = A(λ); 3) 传递性 : 若 A(λ) = B(λ), 且 B(λ) = C(λ), 则 A(λ) = C(λ) 简言之, A(λ) = B(λ) 是一种等价关系 不难证明, A(λ) = B(λ) 的充分必要条件, 是存在初等矩阵 P 1,, P s,q 1,, Q t 使得 B(λ) = P 1 P s A(λ)Q 1 Q t = P(λ)A(λ)Q(λ), 这里 P(λ), Q(λ) 都是单模矩阵 ( 可逆矩阵 )
82 第三章矩阵的 在多项式矩阵的应用中, 有多种在不同场合里被使用着, 在这里我们只介绍其中最基本的一种, 即史密斯 (Smith) 我们用定理形式给出这一, 由于它的重要性, 将给出详细的证明, 但要用到下面的引理 引理 若多项式矩阵 A(λ) = (a ij (λ)) n n 的左上角元素 a 11 (λ) 0, 并且 A(λ) 中至少有一个元素不能被 a 11 (λ) 所整除, 则必可找到一个与 A(λ) 等价的多项式矩阵 B(λ), 其左上角元素 b 11 (λ) 也不等于零, 且 b 11 (λ) 的次数低于 a 11 (λ) 的次数 ( 证略 )
83 第三章矩阵的 定理 (3.10) 任一非零的多项式矩阵 A(λ) = (a ij (λ)) n n, 都等价于一个如下形式的标准对角形 : d 1 (λ) d 2 (λ) A(λ)..... = J(λ) = 0 0 d r (λ) 这里 r 1 是 A(λ) 的秩, d i (λ)(i = 1, 2,, r) 是首项系数为 1 的多项式, 且 d i (λ) d i+1 (λ)(i = 1, 2,, r 1) J(λ) 称为 A(λ) 的史密斯 (Smith) ( 证略 )
84 第三章矩阵的 例 (3.11) 化多项式矩阵 1 λ 2λ 1 λ A(λ) = λ λ 2 λ 1 + λ 2 λ 3 + λ 1 λ 2 史密斯 (Smith)
85 第三章矩阵的 例 (3.11) 化多项式矩阵 1 λ 2λ 1 λ A(λ) = λ λ 2 λ 1 + λ 2 λ 3 + λ 1 λ 2 史密斯 (Smith) 解 1 2λ 1 1 λ 1 2λ λ A(λ) 0 λ 2 λ 0 λ 2 λ 1 λ 3 + λ λ 2 0 λ 3 λ λ 2 + λ λ 2 λ 0 λ λ 2 0 λ 3 λ λ 2 + λ 0 λ 2 + λ λ 3 λ
86 第三章矩阵的 解 λ 0 0 λ 0 0 λ 2 + λ λ 2 λ 0 0 λ 2 + λ
87 第三章矩阵的 解 λ 0 0 λ 0 0 λ 2 + λ λ 2 λ 0 0 λ 2 + λ 定理 (3.11) 若 A(λ) = B(λ), 则 A(λ) 与 B(λ) 必有相同秩及相同的各阶行列式因子 定义 (3.8) 在 A(λ) 的史密斯 J(λ) 中, 多项式 d 1 (λ), d 2 (λ),, d r (λ) 称为 A(λ) 的不变因式
88 第三章矩阵的 由于 A(λ) = J(λ), 故由定理 (3.11) 可推得 : D 1 (λ) = d 1 (λ), D 2 (λ) = d 1 (λ)d 2 (λ),, D r (λ) = d 1 (λ) d r (λ), 从而有 d 1 (λ) = D 1 (λ), d 2 (λ) = D 2(λ) D 1 (λ),, d r(λ) = D r(λ) D r 1 (λ), (3) 这给出了不变因式与行列式因子的关系, 通过求行列式因子, 也就可以求出 A(λ) 的不变因式, 从而可得到 A(λ) 的史密斯 由关系式 (3) 看出, A(λ) 的不变因式完全由其各阶行列式因子所唯一确定, 所以史密斯是唯一的 由关系式 (3) 还看出行列式因子之间满足整除关系 : D r (λ) D k+1 (λ), (k = 1, 2,, r 1).
89 第三章矩阵的 又当 A(λ) 为 n 阶可逆矩阵时, 则因 A(λ) = c 0, 故 D n (λ) = 1, 从而 D k (λ) = 1, d k (λ) = 1(k = 1, 2,, n) 亦即可逆矩阵 A(λ) 的是单位矩阵 I 反之, 与单位矩阵等价的多项式矩阵必可逆 ( 因其行列式等于非零常数 ) 故 A(λ) 为单模矩阵的充要条件是 A(λ) 可以表示成初等矩阵的乘积
90 第三章矩阵的 又当 A(λ) 为 n 阶可逆矩阵时, 则因 A(λ) = c 0, 故 D n (λ) = 1, 从而 D k (λ) = 1, d k (λ) = 1(k = 1, 2,, n) 亦即可逆矩阵 A(λ) 的是单位矩阵 I 反之, 与单位矩阵等价的多项式矩阵必可逆 ( 因其行列式等于非零常数 ) 故 A(λ) 为单模矩阵的充要条件是 A(λ) 可以表示成初等矩阵的乘积 定义 (3.9) 把 A(λ) 的每个次数 1 的不变因式 d k (λ) 分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积, 所有这些一次因式的方幂 ( 相同的按出现的次数计算 ), 称为多项式矩阵 A(λ) 的初级因子 例 (3.11) 中 A(λ) 不变因式为 λ, λ, λ + 1.
91 第三章矩阵的 例 (3.13) 求矩阵 A = 的约当
92 第三章矩阵的 解 先求出 λi A 的不变因式及初级因子, 为此应用初等变换化 λi A 为史密斯, 有 λ λ + 1 λ 2 + 3λ 2 λi A = 1 λ 3 0 λ 1 λ λ λ λ 1 λ λ 1 λ λ + 1 λ 2 + 3λ λ 2 + 2λ λ 1 0 J(λ). 0 0 (λ 2 1) 2
93 第三章矩阵的 解 由此可见不变因式为 1, λ 1, (λ 1) 2 从而初级及因子为 λ 1, (λ 1) 2 故 A 的约当为 : J = 或 J =
94 第三章矩阵的 1 >> A = [ ; ; ] ; 2 >> syms t, At = t * eye ( 3 ) A; 3 >> [U,V, S ] = smithform ( At )
95 第三章矩阵的 1 U = 2 [ 0, 0, 1 ] 3 [ 0, 1, t ] 4 [ 1, 1, t 2 ] 5 6 V = 7 [ 0, 1, t 3 ] 8 [ 1, 1, 1] 9 [ 0, 0, 1] S = 12 [ 1, 0, 0 ] 13 [ 0, t 1, 0 ] 14 [ 0, 0, t ^2 2* t + 1 ]
96 第三章矩阵的 定理 (3.12) 两个多项式矩阵 A(λ) 与 B(λ) 等价的充要条件是有相同的行列式因子, 或相同的不变因式
97 第三章矩阵的 姚仰新, 罗家洪, 庄楚强. 高等工程数学 ( 第三版 ). 华南理工大学出版社, 广州, 邱启荣. 矩阵论与数值分析 理论及其工程应用. 清华大学出版社, 北京, 张贤达, 周杰. 矩阵论及其工程应用. 清华大学出版社, 北京, 薛定宇, 陈阳泉. 高等应用数学问题的 MATLAB 求解 ( 第三版 ). 清华大学出版社, 北京,
98 第三章矩阵的 Produced by: Address: 欢迎使用! WANG Fu-Chang Institute of Disaster Prevention of CEA Sanhe, , China QQ : cidpmath@126.com
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
第六章特征值 Eigenvalue 复习 : 线性变换与矩阵 _1 设 V 是数域 K 上 n 维向量空间, ξ1, ξ2... ξ n 是 V 的一组基, 则存在线性空间同构 1 η : V K n a 1 n a 2 α = a iξ i i = 1 a n 线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解. 复习 : 线性变换与矩阵 _2 线性变换的表示矩阵设 ϕ 是 V V 的线性变换, 取 V 的一组基
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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矩阵论 主讲教师 : 徐乐 204 年 2 月 0 日星期三 上讲回顾 第 9 讲矩阵函数的求解 矩阵函数的计算 利用 Jordan 标准形求矩阵函数 矩阵论 2 矩阵函数的计算 Hamilton-Cayley 定理 n 阶矩阵 A 是其特征多项式的零点 即令 则有 零化多项式 n ( ) det( I A) c c c n n 对于多项式 f (z), 若 f (A)=0 则称 f (z) 为 A
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. 高斯消元法. 矩阵的秩. 线性方程组解的判定 第二章 线性方程组 线性方程组的解取决于 n n nn n n n n n n b b b L LLLLLLLLLLLL L L ( ),,,,, n j i ij L 系数 ( ),n,, i b i L 常数项回顾 : 根据克拉默法则 线性方程组的一般形式 L nn b L nn b LLLLLLLLLLLL m m L mnn bm,, L,
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矩阵函数 矩阵分析 - 研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义 1: 已知 和关于变量 的多项 式 那么我们称 为 的矩阵多项式 n x n 1 n 1 1 0 f( x) a x + a x + L + a x+ a n n n 1 n 1 1 0 f( ) a + a + L + a + a I n n n C 设为一个阶矩阵, 为其 Jordan 标准形, 则 n J 于是有 1
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
矩阵论 第三章：矩阵分析
矩阵论 第三章 : 矩阵分析 马锦华 数据科学与计算机学院 中山大学 第三章 : 矩阵分析 3.1 矩阵序列 3.2 矩阵级数 3.3 矩阵函数 3.4 矩阵的微分与积分 3.5 矩阵分析应用举例 2 矩阵序列 定义 3.1: 设有中的矩阵序列 其中 若 m n C lim a a i 1, 2,, m; j 1, 2,, n, ij ij, 收敛于 记为 或 a ij mn 不收敛的矩阵序列称为发散.,
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00 年数学考研试卷 - 线性代数部分试卷一 一 填空题 ( 每小题 4 分 ) () 曲面 z x y 与平面 x 4y z 0 平行的切平面的方程是 解 : x 4y z 5 设 ( x0, y0, z 0) 为与平面 x 4y z 0 平行的切平面的切点坐标, 则过 ( x0, y0, z 0) 的法向量为 { x0, y0, } 于是过 ( x0, y0, z 0) 的切平面方程为 x0 (
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线性代数 课教案 学 期 :6 7 学年第一学期 学时 : 45 学时 系 ( 部 ): 基础部 教研室 : 理科教研室 授课教师 : 张焕玮 授课班级所 授课班级 授课班级 授课班级 在系 所在系 管理工程系管理工程系 6 物流管理 班 6 物流管理 4 班 第 次课教案 6 年 9 月 7 日星期三 章 节 : 第一章行列式 教学任务 :. 阶行列式的定义 使学生了解 阶行列式的定义, 会计算二阶和三阶行列式
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域在 V 上定义了一种加法运算 +, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α + β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素
线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,A 是 V 内一个线性变换 我们需要解决下面两个问题 : 决定 K 内所有 A 的特征值 λ 对于属于特征值 λ 的特征子空间 V λ, 找出它的一组基 我
矩阵对角化和 标准形 曾焰 版本, 最后修改于 摘要 蓝以中 关于矩阵对角化和 标准形的相关内容的摘要笔记 目录 线性变换的特征值与特征向量 特征值与特征向量的计算法 具有对角形矩阵的线性变换 不变子空间 实对称矩阵的对角化 矩阵的 标准形 幂零线性变换的 标准形 一般线性变换的 标准形 最小多项式 线性变换的特征值与特征向量 线性变换的特征值与特征向量 本节内容参见蓝以中 特征值与特征向量的计算法
x x x x y i j x x x x4 y x x x x4 y ( )( )( )( ) ( j i ) D = x x x x y = y x y x y x y x Π x x () 4 而 D = A5 + ya5 + y A5 + y A45 + y
线性代数练习册 复习题和自测题解答 三 求解下列各题 : 0 计算 0 4 99 第一章 复习题 0 0 0 0 5 5 解 : 原式 = 0 = 0 = 0 = 0 4 99 6 0 0 5 00 0 5 00 = 55 5 x 0 解方程 x 7 6 = 0 7 x 4 解 : 计算左边的行列式, 按第一列展开得 :9x 6 = 0, x = 4 ax + x + x = 0 确定 a 的值,
第一章 线性代数基础
第一章线性代数方法矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具, 也是线性代数中一个基本概念 矩阵常用大写英文字母表示 一个 n 阶矩阵 A 是如下 行 n 列的数表 n n n A 在计算机程序设计中, 矩阵被称为二维数组, 向量被称为一维数组 矩阵的每一行元素组成一个行向量, 所以矩阵是有限个同维行向量的排列 本章结合数学软件 MATAB 的计算机操作, 介绍线性代数中的矩阵行变换 线性方程组解结构
cos si A ; A si cos 解 由于对任意点 有 y y y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于 轴对称 的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y = y y 确定的变换将任意一个点 变成它关于直线 y 对称的点 见图.. 图.. 由于对任意点 有 y y y y 确定的
教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换 它有着深刻的几何学和物理学背景 是一个经常使用的数学工具 在数学理论研究和实际应用中起着重要作用 在这节中主要讲解以下几方面的内容 : 线性变换的概念 乘积变换和可逆变换的概念 ; 线性变换的矩阵表示 ; 在不同基下的表示矩阵之间的关系 ; 在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 线性空间与线性变换这部分内容 由于其抽象性较强
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数域定义 第一章多项式一 内容提要 1.1 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和 1. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域. 1. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中 1 1.2 一元多项式 1 ax + a 1x + + a L, a, a, L, a 属于数域 F,
目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献
杨忠鹏 1 王海明 1 张金辉 1 吴秀清 1,2 1. 莆田学院数学系 2. 中南大学数学院 2009 年 5 月 16 日 目 录 引言 可交换的线性变换的相关习题及结论 可交换的线性变换的一些讨论 参考文献 一 引言 V P 为数域 P 上的线性空间, 而 L( V ( P)) { σ σ V } 设 ( ) 为恒等变换 = 为上的线性变换,ε 现行的教材上线性空间求其上的线性变换的定义是对一般空间给出
新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念
![新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念](/thumbs/79/78990169.jpg "新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容 行列式按行 ( 列 ) 展开定理 考试要求. 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质.. 会应用行列式的性质和行列式按行 ( 列 ) 展开定理计算行列式. 基本概念 公式与方法精讲 一 行列式的概念")
新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 考研数学 - 讲义 主讲 : 朱长龙 欢迎使用新东方在线电子教材 目 录 第一讲行列式... 第二讲矩阵... 9 第三讲向量... 第四讲线性方程组... 3 第五讲特征值和特征向量... 38 第六讲二次型... 43 新东方在线 [www.koolear.co ] 考研数学网络课堂电子教材系列 第一讲 行列式 考试内容
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
习题一
. 计算下列二阶行列式 :. 解 :) (-) 5-(-) - b a a b ) log log ) x ( x+ y)( x y) y 4)(t+)(t -t+)-t 习题一 (A).. 解 :) (-)+ (-)+(-) -(-) (-)- -(-) - ) 5 (-)+ 6 +(-) (-) -(-) 5-6 -(-) (-)9 ) b c ac+ ( a) b c+ abc 4) + abc
AU = U λ c 2 c 3 c n C C n,, n U 2 U2 C U 2 = B = b 22 b 23 b 2n b 33 b 3n b nn U = U ( U 2, U AU = = = ( ( U 2 U 2 U AU ( U2 λ λ d 2 d 3 d n b 22 b 2
Jordan, A m? (264(, A A m, A (, P P AP = D, A m = P D m P, P AP 837, Jacobi (, ( Jacobi,, Schur 24 Cayley-Hamilton 25,, A m Schur Jordan 26 Schur : 3 (Schur ( A C n n, U U AU = B, (3 B A n n =, n, n λ
第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
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数域定义 第一章多项式一 内容提要. 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域.. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中. 一元多项式,,,, 属于数域 F, 称为数域 F 上的一元多项式.. 多项式的运算 () 加法设 = = f ( )
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
常微分方程
第四章常系数线性微分方程 Constant Coefficients Linear ODE 4. 常系数齐次线性微分方程的解法 4.2 常系数非齐次线性微分方程的算子解法 4.3 常系数线性微分方程的其他解法 4.4 Jordan 标准形法与 Sylvester 法 习题 第十一讲 : 4. 常系数齐次线性微分方程的解法 本讲要求. 掌握 Euler 指数函数法 2. 深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
课程教学大纲 (course syllabus) practice link in the reform since 2000, this changes the traditional study mode and make the teaching method becomes vivid an
线性代数 (B 类 ) 课程教学大纲 课程基本信息 (Course Information) 课程代码 (Course Code) MA0014/MA077 * 学时 (Credit Hours) 48 * 学分 (Credits) * 课程名称 ( 中文 ) 线性代数 (B 类 ) (Course Name) ( 英文 )Linear Algebra (B class) 课程性质 (Course
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 ( 数学类,2009) 考试形式 : 闭卷考试时间 : 120 分钟满分 : 100 分. 题号一二三四五六七总分 专业 : 线满分 得分 注意 :1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效.
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 ( 数学类,9) 考试形式 : 闭卷考试时间 : 分钟满分 : 分. 题号一二三四五六七总分 专业 : 线满分 5 5 5 5 注意 : 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 一 (5 分 ) 求经过三平行直线 L : x= y = z, 年级 : 封 L : x = y = z+,
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线性代数概念 定理 公式大全 第一章行列式. 二阶 三阶行列式. 二阶行列式 = -.. 主对角线从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线..3 副对角线从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线..4 对角线法则主对角线上两元素之积减去的副对角线上两元素之积所得的差..5 三阶行列式 3 3 3 3 33 = 33 + 3 3 + 3 3-3 3-33 - 3 3.. 全排列及其逆序数. 全排列
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( )
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科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 高等教育 十一五 规划教材 公共基础课教材系列 线性代数学习辅导 徐秀娟主编肖继先副主编何亚丽张帅佟玉霞参编 北京 内容简介 本书是与科学出版社 27 年出版的枟线性代数枠 ( 徐秀娟主编 ) 一书配套的学习辅导书, 按教材编排顺序逐章编写 每章包括目的与要求, 知识框图, 内容提要疑难问题解析, 方法 技巧与例题分析, 习题全解等内容 ; 包括对知识点的概括
2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
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Laplace 定理 在行列式中, 任取 k 行, 则由这 k 行元素组成的一切 k 阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值 93 7. Cramer 法则 二元线性方程组 若令 a x + a x = a x + a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a a D a a 11 12 = ( 方程组的系数行列式 21 22 方程组的系数行列式 ) D 1 = 1
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
内容简介 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为数理统计部分. 其中, 上册包括行列式 矩阵 向量组的线性相关性 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换等内容 ; 下册包括随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定
高等教育 十二五 规划教材 线性代数与概率统计 ( 上册 ) 周晨星韩七星主编陈岩魏丽莉付静副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内容简介 线性代数与概率统计 包括上 下两册, 上册为线性代数部分, 下册为数理统计部分. 其中, 上册包括行列式 矩阵 向量组的线性相关性 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换等内容 ; 下册包括随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布
式与重根的联系, 掌握复系数与实系数的标准分解式 3. 教学重点和难点教学重点是两个多项式作为形式多项式相等和作为多项式函数相等的定义及两者的等价 ; 最大公因式和互素, 因式分解定理和标准分解式, 有理数域上的多项式 教学难点是多项式代数和多项式函数两个不同角度研究多项式的方法和联系, 最大公因式
高等代数选讲 教学大纲 课程编码 :1511105003 课程名称 : 高等代数选讲学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析 高等代数 近世代数 适用专业 : 数学与应用数学开课教研室 : 代数与几何教研室 一 课程性质与任务 1. 课程性质 : 数学与应用数学专业的一门选修课程, 是在学生学完高等代数等专业基础课程, 已具备一定的代数知识基础之后开设的高等代数提高课程 2. 课程任务 :
四 教学内容及安排 第 1 章 行列式 了解行列式的定义和性质, 掌握 2 3 阶行列式的计算, 会计算较简单的 n 阶 行列式, 掌握 Cramer 法则 章节数 授课 实验 上机 讨论 作业 自学 综合 大作业 第 2 章 矩阵 理解矩阵的概念, 掌握矩阵的运
线性代数与空间解析几何 I 课程教学大纲 英文名称 :Linear Algebra and GeometryI 课程编号 :MATH 1037 课内学时 :66( 理论学时 :62, 上机学时 :4) 学分 :4 适用对象 : 电气 电信 软件 理学 钱学森班等专业 先修课程 : 高等数学 使用教材及参考书 : (1) 魏战线 李继成编, 线性代数与解析几何 二版, 高等教育出版社, 2010 年
Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. 1. 下列函数中, 在 x 0 错误! 未找到引用
8 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中, 在 错误! 未找到引用源 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f cos( ) 答案 D A 可导 : D. f ( )
2013年考研数学一试题答案.doc
年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 :-8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. -arcta () 已知 lm = c, 其中 k, c 为常数, 且 c, 则 ( ) Æ k - (A) k=, c= (B) 答案 D 解析 因为 c k=, c = (C) - k=, c=
2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
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8 考研数学 ( 一 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 下列函数中, 在 处不可导的是 ( ) A. f ( ) si B. f ( ) si C. f ( ) cos D. f ( ) cos 答案 :(D) 解析 : 方法一 : f( ) f() si
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
![数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数](/thumbs/51/27870416.jpg "数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数")
.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
第三章自考线性代数精讲
第一节 n 维向量 l n 维向量的概念 l n 维向量的表示方法 l l 小结 思考题 6// 一 n 维向量的概念 定义 n 个有次序的数 n 所组成的数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的 n个分量 第 i个数 i 称为第 i个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 6// 例如 n n 维实向量 i i n n i n 维复向量 第 个分量 第 个分量 第 n
G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 )
2005.7.21 KEK G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv 2+ + ds -
目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:
第二章 矩阵 Matrix 2. 2.2 目的要求 熟练掌握矩阵的定义 两矩阵的相等概念 ; 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则, 尤其是乘法运算的不可交换性 不可消去性 ; 注意对照数 行列式与矩阵的区别 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77..6 例_ 例 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 B B2 B3 在某年第一季度 各厂的生产情况 如下表 产品
第六章 一阶偏微分方程
第六章一阶偏微分方程 主讲人 : 刘兴波 6. 微分方程组的首次积分 对于非线性微分方程组 d d d d d d f (,,, f(,,,,, 6. f (,,, 它没有一般的求解方法. 本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组 (6., 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关. 一 概念的引入 6. 求解方程组 d d dy d 解 : 将方程组中的两式相加得 d(
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p y q 的两个特解 若常数 使 y y 是该方程的解 y y是该方程对应的齐次方程的解
行列式 2 零, 为什么消元法解方程时有的方程会被消掉. 最大无关组的概念才真正解释了, 为什么消元法解方程组时保留下来的方程个数是稳定不变的. 既然中心的议题是解方程组, 那么关于线性方程组解的理论要非常清楚, 比如 n r 的含义, 有解 无解的充要条件. 0.2 要点 TOP 0 下面的要点列
线性代数 ( 同济 5 版 ) 复习提要 黄正华 * 205 年 7 月 27 日 目录 0 全书总结 行列式 2 2 矩阵 线性方程组 5 4 向量组的线性相关性 7 5 相似矩阵及二次型 0 0 全书总结 如果非要给这本书加一个副标题, 我希望是 一个方程组引发的故事. 0. 全书概览我们现在使用的教材是工程数学 线性代数, 是线性代数学科比较基础的部分. 这一部分的中心是围绕 用高斯消元法求解线性方程组
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 函数 f ( ) = + 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) () 设 y y 是一阶线性非齐次微分方程 y p( ) y q( ) + = 的两个特解 若常数 λ µ 使 λ
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08-09 年度第一学期 0050 00503 计算方法 (B) 童伟华管理科研楼 05 室 E-mail: togwh@ustc.edu.c 中国科学技术大学数学科学学院 http://math.ustc.edu.c/ 第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 特征值与特征向量 在实际工程计算中, 经常会遇到特征值和特征向量的计算, 如 : 机械 结构或电磁振动中的固有值问题 ; 物理学中的各种临界值等
(8) 设 A = ( α α α α) 是 阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵 若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系 则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二 填空题 (9~ 小题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 k f = 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 ( ) si si (A) k = c= (B) k = c= (C) k = c= (D) k = c= () 已知 f ( ) 在 = 处可导 且
Microsoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
解析 : 由于 a >, 则 a 为正项级数,S =a +a + a 为正项级数 a 的前 = 项和 正项级数前 项和有界与正向级数 (4) 设 I = sid(=,,3), 则有 D (A)I < I <I 3. (B) I < I < I 3. = a = 收敛是充要条件 故选 A (C) I
年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 曲线 = + 渐近线的条数为 () (A) (B) (C) (D)3 答案 :C 解析 : lim + =, 所以 = 为垂直的 + lim =, 所以 = 为水平的, 没有斜渐近线故两条选
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
Bor to wi 曲面 z y 的法向量为 (, y, ), 因为平面过 (,,), 则平面方程为 ( X ) yy Z, 又因为平面过 (,, ), 故 y 由此, 取特殊值 ; 令 =, 则法向量为 (,, ), 故 B 选项正确. ( ) ( )! A. si cos B. si cos C
Bor to wi 8 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.. 下列函数中不可导的是 ( ) A. f ( ) si( ) B. f ( ) si( ) C. f ( ) cos D. f ( ) cos( ) 答案 D A 可导
2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质
第二讲 非负矩阵与 M 矩阵 非负矩阵 不可约非负矩阵 M- 矩阵与单调矩阵 对角占优 M- 矩阵 注记 非负矩阵在很多领域都有重要应用, 如数理经济, 运筹, 图像处理等. 同样, 它在矩阵理论与数值代数中也扮演着很重要的角色. 若无特别注明, 本讲内容都是在实数域中讨论. 2/63 1 非负矩阵 1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质 3/63 非负矩阵, 正矩阵
一 根据所给图表，回答下列问题。
版权所有翻印必究 QQ 488 7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学三 ) 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos,, () 若函数 f ( ) a 在, 处连续, 则 ( ) b,, (A) ab (B) ab (C) ab
本文非正式出版物, 它是我们上课教案的一部分 文中真正有价值的部分, 是每一章开头的文字总结部分 如果你能看懂这些文字, 甚至感觉这些话说到你心里去了, 那么你已经很好地理了这本教材 我建议你能读一下这些总结部分, 即便你没有时间去研习那些题目 有的题目看起来有一点难度, 其实我也不建议做很难的题目
线性代数 总结与复习 线性代数 总结与复习 武汉大学黄正华 武汉大学黄正华 Wuhan University 本文非正式出版物, 它是我们上课教案的一部分 文中真正有价值的部分, 是每一章开头的文字总结部分 如果你能看懂这些文字, 甚至感觉这些话说到你心里去了, 那么你已经很好地理了这本教材 我建议你能读一下这些总结部分, 即便你没有时间去研习那些题目 有的题目看起来有一点难度, 其实我也不建议做很难的题目,
Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. k (1) 当 x 0 时, 若 x tan x与
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项 符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 当 时, 若 t 与 是同阶无穷小, 则 (A). (C). (B). (D)4. 答案 C 解析 t ( o( )) ~, 故.,, () 设函数 f ( ) l,, 则 是 f (
扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b
数值代数 夏银华 中国科学技术大学 扩充矩阵 给定矩阵 A 和向量 b a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 b = b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 定义扩充矩阵 ( A b ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 初等变换矩阵 放缩 (scaling): 第 i 个方程
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
4 A C n n, AA = A A, A,,, Hermite, Hermite,, A, A A, A, A 4 (, 4,, A A, ( A C n n, A A n, 4 A = (a ij n n, λ, λ,, λ n A n n ( (Schur λ i n
,?,,, A, A ( Gauss m n A B P Q ( Ir B = P AQ r(a = r, A Ax = b P Ax = P b, x = Qy, ( Ir y = P b (4 (4, A A = ( P Ir Q,,, Schur, Cholesky LU, ( QR,, Schur,, (,,, 4 A AA = A A Schur, U U AU = T AA = A A
三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数 : 两个重要极限 : 双曲正弦 : sh 双曲余弦 : ch sh 双曲正切 : h ch sh ch h 三角函数公式 : 诱导公式 : 角 函数 s m m s g cg -α -sα α -gα -cgα 9 -α α
第 页共 5 页全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : cg g cg g og csc csc sc sc csc sc c cs ccg cg sh ch ch sh cg g cg g csc csc sc sc csc s sc cg cg g cg g cs csc csc sc sc s I I cs s 三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数
三角函数的有理式积分 : s g 一些初等函数 : 两个重要极限 : 双曲正弦 : sh 双曲余弦 : ch sh 双曲正切 : h ch sh ch h 三角函数公式 : 诱导公式 : 角 函数 s m m s g cg -α -sα α -gα -cgα 9 -α α
第 页共 5 页全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : cg g cg g og csc csc sc sc csc sc c cs ccg cg sh ch ch sh cg g cg g csc csc sc sc csc s sc cg cg g cg g cs csc csc sc sc s I I cs s 迅捷 编辑器迅捷 编辑器 三角函数的有理式积分
k 反比例函数 y 的图象与性质 x k 的符号 k> k< 图象的大致位置 经过象限 第一 第三象限 第二 第四象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 3 二次函数 y=x +x+c(c 为常数 的图象与性质 的符号 > < 图象 开口方向开口向
17 年陕西特岗教师招聘笔试重要分析 ( 数学 考点 数的有关概念 1 约数和倍数 : 如果数 能被数 ( 整除 就叫做 的倍数 就叫做 的约数 ( 或 的因数 ; 倍数和约数是相互依存的 ; 一个数的约数的个数是有限的 其中最小的约数是 1 最大的约数是它本身 ; 一个数的倍数的个数是无限的 其中最小的倍数是它本身 奇数和偶数 : 自然数按能否被 整除的特征可分为奇数和偶数 ; 能被 整除的数叫做偶数
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解 解 : 二阶线性变系数齐次 观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程 得 u' 二阶可降阶 解出 通
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 微积分 B() 第七次习题课答案 ( 第十六周 ). 求下列方程的通解 : ) 求微分方程 cos 的通解. 解题思路 : 在用比较系数法求该方程的特解时 注意此方程右端是两个函数 和 cos 之和 所以需要分别求出方程 程的一个特解. 的特解 和 解 : 首先求出对应的齐次方程的通解 : 然后用比较系数法求非齐次方程 程具有形如 cos 的特解. 然后得到原方 c
内 容 简 介本书是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的 内容包括行列式 矩阵 线性方程组 相似矩阵和二次型 线性空间与线性变换以及与这些内容相应的数学实验 书中每节后均配备有大量的练习题 每章后又配备了总复习题 书末附有习题参考答案 便于学生及时巩固所学基本概念 基本理论的同时
普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课系列教材线性代数 朱玉清 主 编梁 瑛 连冬艳 副主编于育民 王 满 北 京 内 容 简 介本书是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的 内容包括行列式 矩阵 线性方程组 相似矩阵和二次型 线性空间与线性变换以及与这些内容相应的数学实验 书中每节后均配备有大量的练习题 每章后又配备了总复习题 书末附有习题参考答案 便于学生及时巩固所学基本概念
; 的特征值全不为 ; 反证法 ; 是正定矩阵 ; 构造齐次方程组 证明其有非零解 ; 的行 列 向量组是 的一组基 ; 4 利用秩 证明 ; 是 中某两组基的过渡矩阵 ; 5 证明 是其特征值 ; 矩阵 * * 对于阶矩阵 : 无条件恒成立 ; * * * * 是阶可逆矩阵 : 是非奇异矩阵 ;
线性代数公式大全 最新修订 行列式! 行列式共有个元素 展开后有项 可分解为 行列式 ; 代数余子式的性质 : 和的大小无关 ; 某行 列 的元素乘以其它行 列 元素的代数余子式为 ; 某行 列 的元素乘以该行 列 元素的代数余子式为 ; 代数余子式和余子式的关系 : 设行列式 : 将 上 下翻转或左右翻转 所得行列式为 则 ; 将 9 顺时针或逆时针旋转 所得行列式为 则 ; 将 主对角线翻转后
内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学 本书可作为高等院校工科和经济管理学科
普通高等教育 十二五 规划教材 线性代数及其应用 主 编 邹杰涛 张 杰副主编 孙明正 钱 盛 张智勇 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介 本书共分六章 内容包括行列式 矩阵 向量空间 线性方程组 矩阵的相似对角化 二次型 各章中均有典型例题的归纳与解题方法的总结 还有历届研究生入学考试题按知识点的归类 每章均配有适量的习题 书后附有参考答案 加 号的内容适用于分层教学较高层次的教学
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 f 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 si si (A) c (B) c (C) c (D) c () 已知 f 在 处可导 且 (A) f f f 则 lim f (B) f (C) () 函数
2019 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A.1. B.2. C.3. D.4.
9 考研数学一考试真题及答案详解来源 : 文都教育一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 时, 若 ta 与 是同阶无穷小, 则 k = A B C D4 k - ta -, 若要 - ta 与 是同阶无穷小, \ k = \ 选 C,, 设函数 f ( ) 则 = 是 f() 的 l,, A 可导点, 极值点 B 不可导点,
习 题 12
.7 Lgrge. ( + = f, ) = f (,, ) = + + + = + + =, f (,, ) = + + A + B + C = 0, > > > 0 A + B + C = L (,, λ) = λ( + ) L = λ = 0 L = λ = 0 λ = ( + ) = 0, = =, + = 4, f m f(, ) = = 4 L (,,, λ) = + λ( + + )
2009ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
《概率论与数理统计〉教学大刚
模块编号 :0730203 模块内容 : 线性代数 概率论与数理统计理论学时 :96 先修模块 : 高等数学 A 高等数学 B 后修模块 : 工程数学 B 工程数学 A 教学大纲 一 说明部分 1. 模块性质本模块是工科类本科各专业学生的专业基础模块, 授课对象是大学二年级学生 2. 教学目标及意义线性代数是工科类本科各专业的数学基础之一 通过这部分内容的学习, 使学生比较系统理解线性代数的基本概念,
精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设 是
Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f (
正整数 p, 都有 p 成立. 5. 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界. () 比较法 设 和 v 均为正项级数, 且 v (,, ), 如果级数 v 收敛, 则级数 也收敛 ; 如果级数 发散, 则级数 v 也
08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 级数的敛散性. 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散. 当级数 收敛时, 称极限值 lm S S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和.. 几个重要级数 () 几何级数 ( 等比级数 ) q 当 0 q 时收敛, 当 q 时发散. () p 级数
一 根据所给图表，回答下列问题。
7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学一 ) 真题解析 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos, () 若函数 f ( ) a b, (A) ab 答案 (A) 由连续的定义可知 :, 在 处连续, 则 ( ) (B) ab
找研讯, 找资料, 找辅导, 就上 聚创考研网, 微信电话咨询 : 一 函数 极限 连续 2020 考研数学二考试大纲原文内容 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段 函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立
一 函数 极限 连续 2020 考研数学二考试大纲原文内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性复合函数 反函数 分段 函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的 概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准 则 : 单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 : 数学大纲
1991年全国硕士研究生入学考试政治试题（文科）
考研资料下载中心 http://dowload.kaoya.com 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择题 (~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) () 当 时, f ( ) si a 与 g l b 等价无穷小, 则 A ( C) a, b. ( B) a, b. a, b. ( D)
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
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目 录 第一章线性方程组与矩阵初步... 第一节 矩阵及其运算... 第二节 用消元法解线性方程组... 第三节 齐次线性方程组... 练习一... 第二章 维向量空间...9 第一节 维向量及其线性运算...9 第二节 线性相关性... 第三节 极大线性无关组与向量组的秩... 第四节 线性方程组解的结构...9 练习二... 第三章行列式与矩阵的进一步讨论... 第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵...
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9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学二 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 l( si t) cos f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
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第一章多项式 多项式理论是高等数学研究的基本对象之一 在整个高等代数课程中既相对独立 又贯穿其他章节 换句话说 多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系 却可为其他章节的内容提供范例与理论依据 本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质 包括数域的概念 一元多项式的定义与运算规律 整除性 因式分解及根等概念 对于多元多项式 则主要讨论字典排列法与对称多项式 一重难点归纳与分析 一 ) 基本内容概述多项式理论又分为一元多项式与多元多项式两大部分
<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303037C4EAC6D5CDA8B8DFB5C8D1A7D0A3D5D0C9FAC8ABB9FACDB3D2BBBFBCCAD4CEC4BFC6D7DBBACDCAD4BEEDBCB0B4F0B0B82DD6D8C7ECBEED2E646F63>
2007 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 重 庆 卷 ) 文 综 试 卷 第 一 部 分 本 部 分 共 35 题, 每 题 4 分, 共 140 分 在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 最 符 合 题 目 的 要 求 的 读 图 1, 回 答 1-3 题 1. 某 两 洲 面 积 之 和 与 某 大 洋 面 积 十 分 接 近, 它 们 是
(5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 0 4 柯西收敛原理 级数 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的 正整数 p, 都有 p 成立 5 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数 正项级数
08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 两个重要极限 s lm ; lm 0 e ( 或 lm( ) e ) 0 考点 级数的敛散性 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散 当级数 收敛时, 称极限值 lm S 几个重要级数 S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和 () 几何级数 ( 等比级数
平面曲线的切线和法线 ; 导数和微分的四则运算 ; 基本初等函数的导数 ; 复合函数 反函数 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 ; 高阶导数 ; 相关变化率 ; 洛必达 (L'Hospital) 法则 ; 函数单调性的判别 ; 函数的极值与最值 ; 函数图形的凹凸性 拐点及渐近线 ; 函数图形
硕士 ( 港澳台 ) 数学考试大纲与要求 对知识的要求层次 : (1) 初步的感性认识, 能处理简单的问题, 用语 : 知道, 会 ; (2) 一定的理性认识, 能模仿解决一般问题, 用语 : 了解, 掌握 ; (3) 较深刻的理性认识, 能主动利用知识解决相对复杂的问题, 用语 : 理解, 能够运用 高等数学一 函数 极限与连续 考试内容 函数的概念及表示法 ; 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性
湖北文都考研官网 : 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. k 1. 当 x 0, 若 x tan x与 x 是同阶
湖北文都考研官网 :wwwhbweducom 9 考研数学一考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 k 当 若 ta 与 是同阶无穷小 则 k = A B C D4 设函数 f( ) 则 = 是 f() 的 l A 可导点 极值点 B 不可导点 极值点 C 可导点 非极值点 D 不可导点
一 根据所给图表，回答下列问题。
7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学一 ) 真题解析 本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos, () 若函数 f( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 (A)