内容小结（2）

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1 第二学期总复习

2 向量代数与空间解析几何一向量代数二空间解析几何

3 一向量代数向量的概念设模 : 单位向量 : 方向余弦 : cosα cosγ { } i j k { cosαcosβ cosγ } cos β cos α cos β cos γ

4 向量的运算 b c 设 { } { } 3 b b b { } 3 c c c 3 加法 : b { b b b } λ λ 3 数乘 : λ { λ } 点乘 : b b cos b b b 3b3 叉乘 : 模 : b b si b 方向 : 垂直于 b 并且 b b 成右手系 i j k 坐标表示 : b 几何意义 : b b b3 b 表示以 b 为邻边的平行四边形的面积

5 混合积 : c b c b c c c b b b b c c b c b c b c b 几何意义 : 积表示以 c 为棱的平行六面体的体 b c b b b 3 3 b b b b // b 3 3 b b b 共面 c b c b

6 平面 [] 点法式 C B A [] 一般式 D C B A c b [3] 平面的截距式方程二空间解析几何空间直线 : D C B A D C B A L [] 一般方程 p m [] 对称式方程 [3] 参数方程 pt t mt

7 3 过直线的平面束的平面束方程为 : : D C B A D C B A L : : 过直线 π π D C B A D C B A λ 注意 : 不包括 π 这个平面.

8 4 距离两点间距离公式 : M M 点到平面距离公式点 P 到平面 A B C D 的距离为 d A 点到直线的距离公式点 M 到直线的距离为 d M A B M s B C C m D. p L : s

9 异面直线之间的距离公式已知两直线 L 过点 P 方向向量为 ; 则 L 与 L L 与 L L : v 过点方向向量为 P P v v P P v v : P v 共面异面 ; 若 L 与 L 异面则它们之间的距离为 d P P v v v v

10 5 夹角两向量之间的夹角 cos 两平面之间的夹角 cos b Π Π b b v v 两直线之间的夹角 cos L L v v v 直线与平面之间的夹角 si L Π v Π : Π : L : v L : v L : v Π :

11 6 二次曲面 [] 柱面母线平行于轴准线为 : F 的柱面方程为 : F [] 旋转曲面 : ± F F L 曲面方程为 : 轴旋转一周所成的旋转绕曲线

12 [3] 二次曲面椭球面 c b 球面 R 3 单叶双曲面 c b 4 双叶双曲面 c b b 5 椭圆抛物面 b 6 双曲抛物面 c b 7 二次锥面

13 7 空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程 : F G 消去变量后得 : H 曲线关于 o 的投影柱面空间曲线在 o 面上的投影曲线 H

14 多元函数微分学一极限与连续二偏导数和全微分三方向导数和梯度四极值五几何应用

15 一极限定义的说明 lim f A存在是指 : 沿任何路径趋于时函数的极限都存在求二元函数极限的方法: 利用定义及性质夹逼准则 ; 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量 ; 利用一元函数的两个特殊极限及等价无穷小代换 ; 3 利用极坐标变换化成一元函数的极限

16 3 确定极限不存在的方法: 找两条不同路径使沿这两条路径趋向于时 f 的极限都存在但不相等 ; 找一条特殊路径使沿此路径趋向于时 f 的极限不存在

17 二多元函数连续可导可微的关系函数连续函数可导函数可微偏导数连续方向导数存在

18 全微分定义: 设 f Δ f Δ f Δ oρ d f d f 证明二元函数不可微的方法要证明 f 在不可微只需求极限 : Δ f Δ f lim Δ Δ Δ Δ Δ 若此极限存在且等于则 f 在可微否则 f 在不可微其中 ρ d Δ f Δ Δ f Δ Δ

19 求偏导数复合函数微分法链式法则隐函数微分法公式 3 利用全微分求偏导数

20 3 方向导数和梯度方向导数 : u f 在 M 沿 l cosαcosβ cosγ 的方向导数为 : { } f l M f cosα f cos β f M M M cosγ 梯度 : u f 在 M 的梯度为 : f f f grdu M M 函数沿梯度方向的方向导数最大其模为方向导数的最大值.

21 三多元函数微分法的应用在几何中的应用求曲线的切线及法平面关键 : 抓住切向量求曲面的切平面及法线关键 : 抓住法向量空间曲线的切线与法平面 Γ : t t t. 切向量 τ ± t t t Γ : F G { } 切向量 τ ± i F G j F G k F G

22 曲面的切平面与法线. : F π { } F F F ± 法向量 : v u v u v u π v v v u u u k j i ± 法向量

23 极值必要条件 : 极值点是稳定点充分条件: 若 f f f 令 :f f f 则 B A C 在点处是否取得极值的条件如下 : AC B > 时有极值当 A < 时有极大值当 A > 时有极小值 ; AC B < 时没有极值 ; 3 AC B 时可能有极值. f

24 3 求函数 f 极值的一般步骤 : 第一步 : 解方程组 f 求出实数解得驻点. 第二步 : 对于每一个驻点第三步 : 定出 f 求出二阶偏导数的值 A B C. AC B 的符号再判定是否是极值.

25 4 求条件极值的一般步骤: 目标函数 : u f 约束条件 : ϕ 构造函数 F λ f λϕ 解方程 F F F F 解出 λ 其中就是可能的极值点的坐标即条件极值的稳定点 3 判定此稳定点是否为条件极值的极值点 λ

26 重积分一二重积分二三重积分三重积分的应用

27 一二重积分二重积分的概念 : 二重积分的定义 : 和式的极限几何意义 : 曲顶柱体的体积物理意义 : 平面薄片的质量二重积分的性质 : V m f dσ D μ dσ D

28 关于二重积分的奇偶对称性 :. 如果 D 关于轴对称则若 f 关于是奇函数则 I ; 若 f 关于是偶函数则 I f dd. 如果 D 关于轴对称则若 f 关于是奇函数则 I ; 若 f 关于是偶函数则 I f dd 轮换对称性 : 若平面有界闭区域 D 关于直线对称则 D D f dσ f dσ D D

29 二重积分的计算二重积分在直角坐标下的计算公式 dσ D f dσ b d ϕ ϕ D f c d d ϕ ϕ f d. f d. [X- 型 ] [Y- 型 ] 在积分中要正确选择积分次序二重积分在极坐标系下的计算公式 f D dd D f r cosθ r siθ rdrdθ. 注意利用对称性化简计算

30 二三重积分三重积分的概念三重积分的定义 : 三重积分的性质 : 和式的极限 Ω dv Ω的体积 ; 奇偶对称性 : 若空间区域 Ω 被 o 平面或 o 平面 o 平面分成对称的两块 Ω Ω i 若 f 关于或或是偶函数则 : Ω f dv f dv Ω f dv ii 若 f 关于或或是奇函数则 : Ω Ω f dv

31 轮换对称性 : 若空间区域 Ω 关于直线对称那么被积函数 f 中的变量无论怎样互换积分值不会改变即 f dv f dv Ω Ω f dv f dv Ω Ω

32 三重积分的计算方法方法 : 先单后重方法 : 先重后单 d d d D f Ω v f d D Z b f d d d Ω v f d 注意利用对称性化简计算三重积分在直角坐标下的计算公式

33 三重积分在柱坐标下的计算公式 Ω f ddd f r cosθ r siθ rdrdθd. Ω 3 三重积分在直角坐标下的计算公式 Ω f ddd Ω f r siϕ cosθ r siϕ siθ r cosϕ r siϕdrdϕdθ

34 三重积分计算的基本方法小结. 选择合适的坐标系 ;. 选择易计算的积分次序 ; 图示法 3. 掌握确定积分限的方法 : 列不等式法 4. 利用奇偶对称性和轮换对称性简化计算 ; 5. 利用重心公式简化计算 ; 6. 消去被积函数绝对值符号 7. 利用重积分换元公式分块积分法利用对称性

35 四重积分的应用曲顶主体的体积 V f dd. 平面区域的面积 S dd. 3 空间区域的体积 V ddd 4 曲面面积 S : f S 的面积为 D D Ω A D dd;

36 5 重心平面薄片 D 的面密度为 ρ 则重心为 : D D ρ dσ ρ dσ D D ρ dσ. ρ dσ 空间物体 Ω 的密度为 ρ 则重心为 : ρ dv ρdv M M Ω Ω ρdv. M Ω 其中 M ρdv. Ω

37 D d I σ ρ. D d I σ ρ 平面薄片 D 的面密度为 ρ 则它对于轴轴和原点的转动惯量分别为 : 6 转动惯量. D d I σ ρ

38 空间物体 Ω 体密度为 ρ 则该物体对坐标轴及原点的转动惯量为 Ω dv I ρ Ω dv I ρ Ω dv I ρ. Ω dv I o ρ

39 7 引力物体占有空间区域 Ω 体密度 ρ 区域 Ω 外有一质量为 m 的质点 P 则物体对质点 P 的引力为 : F { F F F } F F F Ω km ρ dv r km ρ dv r km ρ dv r 3 3 Ω 3 Ω 其中 :k 为引力常数 r

40 曲线积分与曲面积分一曲线积分与曲面积分二各种积分之间的联系三场论初步

41 第一类曲线积分曲线积分第二类曲线积分定义联系 L d f ds lim f ξi ηi Δs L i λ i lim [ P ξi ηi Δ P Q d λ i Pd Qd Pcosα Qcosβ ds L L i Q ξ i η i Δ i ] 计算 L f β f[ ϕ ψ] ϕ ψ dt α ds 与方向无关 α < β L Pd Qd β α [ P ϕ ψ ϕ 与方向有关 Q ϕ ψ ψ ] dt

42 一第一类曲线积分的计算则的参数方程为 β α ψ ϕ t t t L ] [ β α ψ ϕ ψ ϕ β α < dt t t t t f ds f L L 的直角坐标方程 b L s f d b f d 3 L 的极坐标方程为 : rθ r β θ α L ds f θ θ θ θ θ θ θ β α d r r r r f ] si cos [ 则

43 5 若曲线 L 的方程为 : G F 则需化成参数方程再进一步用公式求. : β α ω ψ ϕ t t t t L ] [ β α ω ψ ϕ ω ψ ϕ β α < Γ dt t t t t t t f ds f 4 L 为空间曲线

44 二第二类曲线积分的计算对有向光滑弧 P d Q L b : ϕ t L ψ t d { P[ ϕ t ψ t] ϕ t Q[ ϕ t t] ψ t} d t ψ 对有向光滑弧 L : ϕ : b t : b P d L Q d b { P[ ϕ ] Q[ ] ϕ } d ϕ

45 3 若曲线 L 的方程为极坐标方程 : r rθ θ : α β 先化成参数方程 : r θ cosθ θ : α β r θ siθ 然后用公式计算 4 若曲线 L 的方程为 : F 则需化成参数 G Γ b 方程再进一步用公式求 5 对空间有向光滑弧 Γ : P d Q d { φ t ψ t ω t R t d P [ ϕ t ψ t ω t] ϕ t Q[ ϕ t ψ t ω t] ψ t R[ ϕ t ψ t ω t] ω t } d t : b

46 对面积的曲面积分曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算 Σ Σ f ds lim f ξ η ζ Δs Σ Pdd f ds λ i Qdd Rdd f[ ] D i i i i dd Σ R dd lim R ξi ηi ζi ΔS i Σ λ i P cosα Qcosβ Rcosγ ds Σ Pdd Qdd Rdd ± D [ ] { P [ ] [ ] dd Q R }

47 三第一类曲面积分的计算. 若曲面 Σ : 则 Σ Σ f ds f ds f [ ] D. 若曲面 Σ: 则 f [ ] D 3. 若曲面 Σ: 则 dd; dd; Σ f ds f [ ] dd. D

48 四第二类曲面积分的计算若 Σ 的方程为 : D 则 Σ Pdd ± Qdd Rdd { P [ ] [ ] Q D [ ] dd R } 其中 : 若 Σ 取上侧取正号 Σ 取下侧取负号

49 若 Σ 的方程为 : D 则 Σ Pdd Qdd Rdd ± { P [ ] Q[ ] D [ ] dd R } 其中 : 若 Σ 取前侧取正号 Σ 取后侧取负号

50 3 若 Σ 的方程为 : D 则 Σ Pdd Qdd Rdd ± [ ] [ ] { P Q D [ ] dd R } 其中 : 若 Σ 取右侧取正号 Σ 取左侧取负号

51 与平面路径无关的四个等价命题条件等价命题在平面单连通开区域 D 上 P Q 续的一阶偏导数则以下四个命题等价. 3 在 D 内 Pd Qd与路径无关 C L Pd Qd 闭曲线 C D 具有连在 D 内存在 U 使 du Pd Qd P Q 4 在 D内

52 条件与曲面无关的四个等价命题在空间二维单连通区域 G 上 P Q R 具有连续的一阶偏导数则下述命题等价等价命题在 G内在 G内 Σ Σ Pdd Pdd Qdd Rdd Qdd Rdd P Q R 3 在 G 内恒有与曲面无关 Σ G

53 与空间路径无关的四个等价命题条件在空间一维单连通区域 G 上 P Q R 具有连续的一阶偏导数则以下命题等价. 等价命题在 G 内 Pd Qd Rd与路径无关 L Pd Qd Rd 闭曲线 Γ G Γ 3 在 G 内存在 U 使 du Pd Qd P Q Q R R P 4 在 G内 Rd

54 格林公式 D Q P dd Pd Qd 沿 L的正向 L 高斯公式 Ω P Q R dv Σ Pdd Qdd Rdd 斯托克斯公式 Σ dd P dd Q dd R Pd Qd Rd Γ

55 第一类曲线积分曲面积分的计算方法. 直接利用计算公式计算 ;. 利用奇偶对称性和轮换对称性简化计算 ; 3. 利用形心坐标简化计算几何应用 : 柱面及旋转曲面的侧面积物理应用 : 质心转动惯量引力

56 第二类曲线积分的计算方法. 利用公式化为定积分计算. 补上辅助曲线如平行于坐标轴的直线等形成封闭曲线然后利用格林公式转化为二重积分和辅助线上的曲线积分 3. 利用积分与路经无关的定理选取适当的积分路径可以简化计算

57 第二类曲面积分的计算方法. 利用公式化为二重积分计算. 补上辅助曲面如平行于坐标面的平面等形成封闭曲面然后利用高斯公式转化为三重积分和辅助面上的曲面积分 3. 利用斯托克斯公式化成第二类曲线积分有时可以简化计算

58 梯度 k u j u i u grdu 旋度 R Q P diva k P Q j R P i Q R 散度场论初步 R Q P k j i rota

59 级数一数项级数二幂级数三泰勒级数四傅里叶级数

60 一数项级数的判别法. 正项级数判别法必要条件 lim u 满足不满足发散比值判别法 lim 根值判别法 ρ < 收敛 u u lim u 发散 ρ ρ ρ > ρ 不定用它法判别部分和极限比较判别法积分判别法

61 比较判别法若 u 收敛发散且 v u u v 则 v 收敛发散. 比较判别法的极限形式 u 如果 lim l 则 < l < 时 v 有相同的敛散性 ; l 时 v l u 当时发散则发散 ; v u v收敛则 u 收敛 ;

62 3 比值判别法达朗贝尔 D Alembert 判别法设 u u 是正项级数如果 lim ρ ρ 数或 u 则 ρ < 时级数收敛 ; ρ > 时级数发散 ; ρ 时失效. 4 根值判别法柯西判别法设如果 u 是正项级数 lim u ρ 为数或 ρ 则 ρ < 时级数收敛 ; ρ > 时级数发散 ; ρ 时失效.

63 5 柯西积分判别法设 u 是正项级数若存在一个定义在 [ 上的单调下降的非负函数 f 满足 u f 则级数的充分必要条件为 f d收敛 u 收敛

64 任意项级数判别法概念 : u 为收敛级数 u 若收敛称 u 若发散称 u u 绝对收敛条件收敛 Leibi 判别法 : 若 u > 且 lim u u 则交错级数收敛 u 且余项 r u.

65 比值判别法达朗贝尔 D Alembert 判别法 : 设 u 是任意项级数且 ρ < 时级数绝对收敛 ; lim u ρ > 或时级数发散根值判别法柯西判别法 : u ρ 则设 u 是任意项级数且 lim u ρ < 时级数绝对收敛 ; ρ > 或时级数发散 ρ 则

66 二幂级数幂级数收敛半径求法如果幂级数的所有系数设 lim ρ 或 lim ρ 则当 ρ 时 R ; ρ 当 ρ 时 R ; 3 当 ρ 时 R.

67 求幂级数收敛域的方法标准形式幂级数 : 先求收敛半径 R 再讨论 ±R 处的敛散性. 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法

68 幂级数和函数的分析运算性质 : 幂级数的和函数 s 在收敛区间 R R 内连续在端点收敛则在端点单侧连续. 幂级数内可积且对 R R 的和函数 s 在收敛区间 R R 可逐项积分. 的和函数 s 在收敛区间 R R 幂级数内可导并可逐项求导任意次. 利用以上性质求幂级数的和函数

69 3 幂级数和函数的求法求部分和的极限 ; 分解拆相相消套用公式; 逐项求导或逐项求积分在收敛区间内难 S 逐项求导或求积分对和式积分或求导求和 S * 数项级数求和直接求和 : 直接变换求部分和等间接求和 : 转化成幂级数求和再代值

70 4 常用已知和函数的幂级数 ; ; 3 逐项求导化为的形式 ; 4 逐项求积分化为的形式 5! e ;

71 6! si 7! cos 8 l ; 9 l ;

72 三泰勒级数. 定义 : 如果 f 在点处任意阶可导则幂级数 f 称为 f 在点的泰勒级数.! f! 称为 f 在点. 函数的幂级数展开法的麦克劳林级数. 直接展开法利用泰勒级数间接展开法利用已知函数的展开式及幂级数的性质

73 3. 常用函数的泰勒级数 e!! 3 5 si 3! 5!! 4 cos! 4!! 3 l 3 ] α α α α! α α! α

74 四傅里叶级数. 三角函数系 cos si cos si cos si 正交性 π d π si d π π cos π π sim sid π π cosm cosd π π π si π m cosd m m m m 其中其中 m

75 . 函数的傅里叶级数展开法. 周期为 π 的函数的傅里叶级数及收敛定理 f ~ cos b si 其中 b π π π π π π π π π f d f cos d f si d

76 则和函数为 : f 为连续点 s [ f f ] 为间断点 [ f π f π ] ± π. 周期为 π 的奇偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数 b

77 奇延拓 : < < < f f f π π 令的正弦级数 f. si b f π < < 3. 周期延拓偶延拓 : < < f f f π π 令的余弦级数 f cos f π

78 4. 周期为 l 的函数的傅里叶级数展开公式 f ~ π l π l cos b si l f cos π d l l l 其中 l b f si π d l l l 则和函数为 : f 为连续点 s [ f f ] 为间断点 [ f l f l ] ± l

79 3 求傅里叶展开式的步骤 ;. 验证是否满足狄利克雷条件 ;. 判断奇偶性 ; 3. 求出傅里叶系数 ; 4. 写出傅里叶级数 ; 5. 写出和函数

数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念向量积的运算规律向量积的坐标表示两向量平行的充要条件向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的

数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念向量积的运算规律向量积的坐标表示两向量平行的充要条件向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的注 :(1) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内高等数学 ( 下册 ) 知识点的细分目录第八章向量代数与空间解析几何 (08) 0801 向量及其线性运算 (35 分钟 ) 080101 向量的概念 080102 向量的加减法 080103 向量与数的乘法