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2 普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课教材系列 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 郑州轻工业学院数学与信息科学系编 北京

3 内容简介 本书为同济大学数学系编写的枟高等数学枠第六版的配套辅导教材, 共分 章, 章节的划分与第六版完全一致 每章内容由六部分组成 : 基本概念 性质与结论 ; 典型例题分析 ; 疑难问题解答 ; 同步训练 ; 自测题 ; 同步训练及自测题参考答案与提示 书末附有 00 ~ 0 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及答案 本书可作为高等工科院校高等数学学习的辅导读物, 也可作为教师教学的参考书, 同时也是一本同步指导与训练教程, 而且也可作为学生考研的系统复习用书 图书在版编目 (CIP) 数据高等数学学习指导与同步训练教程 / 郑州轻工业学院数学与信息科学系编 版 北京 : 科学出版社,0 ( 普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课教材系列 ) ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 0340 唱 Ⅰ 畅 高 Ⅱ 畅 郑 Ⅲ 畅 高等数学高等学校教学参考资料 Ⅳ 畅 O3 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (0) 第 号责任编辑 : 王超张斌 / 责任校对 : 马英菊责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 出版 北京东黄城根北街 6 号邮政编码 :0077 ht tp :// w w w sciecep co m 印刷 科学出版社发行各地新华书店经销 倡 0 年 9 月第一版 0 年 9 月第一次印刷印数 : 开本 : /6 印张 :4 / 字数 : 定价 :39 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙路局票据枛 ) 销售部电话 00 唱 编辑部电话 00 唱 63535( H P04) 版权所有, 侵权必究 举报电话 :00 唱 ;00 唱 ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

4 前 言 本书第二版保留了第一版的框架结构, 但对第一版的具体内容作了重大调整变动, 更具可读性和实用性 全书共分 章, 章节的划分与同济大学第六版高等数学完全一致 每章内容由六部分组成 : 第一部分基本概念 性质与结论主要对本章内容进行归纳, 既简洁又翔实 第二部分典型例题分析, 对每节的内容逐个知识点进行剖析, 选编的例题题型多, 覆盖面广, 基本涵盖了本章各节典型的重 难点题目 第三部分疑难问题解答对每个章节的疑难问题给出详细的解答 第四部分同步训练旨在帮助学生通过训练, 巩固基础, 掌握本节的基本知识 解题方法与技巧 其中带 倡 的习题多为综合试题和近年来的考研试题, 供学有余力和有志于考研的学生练习用 第五部分自测题重在覆盖面, 难度略高于期中 末试题 这样有助于检验学生对本章内容的掌握情况, 发现知识的缺陷, 从而为完成全部课程的学习奠定基础 第六部分同步训练及自测题参考答案与提示附有答案或提示, 指出解题的思路及方法 书末附有 00 ~ 0 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及答案, 使有志于继续深造的同学可同步完成考研备考, 达到考研的能力和要求 本书结构严谨, 条理清晰, 综合性强, 并有较强的针对性和可操作性, 深入浅出, 便于自学, 本书可作为综合大学, 理工科大学, 高等师范学校理 工 经各专业大学生学习 高等数学 课程的辅导读物和训练教程, 对青年教师及报考研究生的大学生来说, 本书也是较好的教学参考书和考研复习用书 本书由郑州轻工业学院数学与信息科学系组织编写, 编写人员有 : 郭卫华 王霞 张新敬 黄守佳 职桂珍 赵玲玲 周永安 刘强 黄士国 在编写的过程中我们博采众家之长, 汲取了多本参考书的精华, 在此向各位作者表示感谢 由于时间仓促, 水平有限, 不足之处在所难免, 殷切希望读者提出宝贵意见, 以便改进和修正 编者 0 畅 5 于郑州轻工业学院

5 目 录 前言 第一章函数 极限与连续 一 基本概念 性质与结论 二 典型例题分析 3 三 疑难问题解答 0 四 同步训练 五 自测题 34 六 同步训练及自测题参考答案与提示 35 第二章导数与微分 40 一 基本概念 性质与结论 40 二 典型例题分析 4 三 疑难问题解答 54 四 同步训练 56 五 自测题 59 六 同步训练及自测题参考答案与提示 6 第三章微分中值定理与导数的应用 64 一 基本概念 性质与结论 64 二 典型例题分析 67 三 疑难问题解答 89 四 同步训练 9 五 自测题 97 六 同步训练及自测题参考答案与提示 99 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 第四章不定积分 03 一 基本概念 性质与公式 03 二 典型例题分析 05 三 疑难问题解析 8 四 同步训练 0 五 自测题 7 六 同步训练及自测题参考答案与提示 8 第五章定积分 3 一 基本概念 性质与结论 3 二 典型例题分析 34 三 疑难问题解析 45

6 iv 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 四 同步训练 47 五 自测题 53 六 同步训练及自测题参考答案与提示 55 第六章定积分的应用 58 一 基本概念 性质与结论 58 二 典型例题分析 60 三 疑难问题解答 69 四 同步训练 69 五 自测题 7 六 同步训练及自测题参考答案与提示 7 第七章微分方程 74 一 基本概念与解法 74 二 典型例题分析 77 三 疑难问题解析 9 四 同步训练 9 五 自测题 96 六 同步训练及自测题参考答案与提示 98 第八章向量代数与空间解析几何 0 一 基本概念 性质与结论 0 二 典型例题分析 05 三 疑难问题解析 7 四 同步训练 9 五 自测题 6 六 同步训练及自测题参考答案与提示 8 第九章多元函数微分学 33 一 基本概念 性质与结论 33 二 典型例题分析 36 三 疑难问题解析 50 四 同步训练 5 五 自测题 59 六 同步训练及自测题参考答案与提示 6 第十章重积分 68 一 基本概念 性质与公式 68 二 典型例题分析 73 三 疑难问题解析 89 四 同步训练 90 五 自测题 95 六 同步训练及自测题参考答案与提示 97

7 目录 v 第十一章曲线积分与曲面积分 30 一 基本概念 性质与公式 30 二 典型例题分析 306 三 疑难问题解析 39 四 同步训练 3 五 自测题 38 六 同步训练及自测题参考答案与提示 39 第十二章无穷级数 333 一 基本概念 性质与公式 333 二 典型例题分析 337 三 疑难问题解析 353 四 同步训练 355 五 自测题 359 六 同步训练及自测题参考答案与提示 360 附录 363 主要参考文献 38 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

8 第一章函数 极限与连续 一 基本概念 性质与结论 函数 ) 概念 () 映射 : 满射 单射和双射 ; 逆映射与复合映射 () 函数 分段函数 (3) 反函数 复合函数 (4) 基本初等函数 初等函数 ) 性质 () 有界函数 f( ) : X 炒 D, 存在 M > 0, 使 f( ) M () 单调增加 ( 或减少 ) 函数 f( ) : X 炒 D, 当 < 时, 有 f( ) < f( )( 或 f( ) > f( )) (3) 奇 ( 或偶 ) 函数 f( ) : D,D 关于原点对称, f( - ) = - f( )( 或 f( - ) = f( )) (4) 周期函数 f( ) : ( -, + ), 存在 T > 0, 使 f( + T) = f( ) 极限 ) 概念 () 数列极限和函数极限 () 无穷小 无穷大 无穷小的阶 ) 性质与结论 () 收敛数列极限的唯一性 : 数列 { } 不能收敛于两个不同的极限 () 收敛数列的有界性 : 如果数列 { } 收敛, 那么数列 { } 一定有界 (3) 收敛数列的保号性 : 如果数列 { } 收敛于 a, 且 a > 0( 或 a < 0), 那么存在正整数 N, 当 > N 时, 有 > 0 ( 或 < 0) (4) 收敛数列与其子数列之间的关系 : 如果数列 { } 收敛于 a, 那么它的任一子数列 也收敛, 且极限也是 a (5) 函数极限的唯一性 : 如果极限 0 f( ) 存在, 那么极限唯一 (6) 函数极限的局部有界性 : 如果 f( ) A( 0 ), 那么存在常数 M > 0 和 δ, 使 得当 0 < - 0 < δ 时, 有 f( ) M (7) 函数极限的局部保号性 : 如果 f( ) A( 0 ), 而且 A > 0( 或 A < 0), 那么存 在常数 δ > 0, 使当 0 < - 0 < δ 时, 有 f( ) > 0( 或 f( ) < 0) 如果 f( ) A( 0 )( A 0), 那么存在点 0 的某一去心邻域, 在该邻域内, 有

9 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) f( ) > A (8) 函数极限与数列极限的关系 : 如果当 0 时 f( ) 的极限存在,{ } 为 f( ) 定 义域内任一收敛于 0 的数列, 且满足 0 ( N + ), 那么相应的函数值数列 { f( )} 必收敛, 且 (9) 极限存在的充要条件 : (0) 夹逼准则 f( ) = 0 f( ) f( ) = A 骋 - f( ) = A 且 + f( ) = A 数列形式 : 若 y z 满足 y z 且 y = z = a, 则 = a 函数形式 : 若在 0 的某去心邻域 ( 或 > M > 0) 内, 满足 g( ) f( ) h( ), 且 0 g( ) = 0 h( ) = A, 则 0 f( ) = A 3) 单调有界数列 此种数列必有极限 4) 两个重要极限 si 0 = + 5) 无穷小的性质 = e, + () 有限个无穷小的和 ( 或积 ) 也是无穷小 = e, + = e 0 () 有界函数 ( 或常数 ) 与无穷小的乘积是无穷小 (3) 无穷小 ( 不为 0) 的倒数为无穷大, 无穷大的倒数为无穷小 (4)β 与 α 是等价无穷小的充分必要条件为 β = α + o(α) (5) 若 α ~ α, β ~ β, 且 β 存在, 则 β α α 3 函数连续性 ) 概念 β = α () 函数在 0 处连续的概念 : 设函数 y = f( ) 在点 0 的某一个邻域内有定义, 如果 当自变量的增量 Δ = 时, 对应的函数的增量 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) 0, 即 Δ y = 0 或 Δ 0 0 f( ) = f( 0 ), 那么就称函数 y = f( ) 在点 0 处连续 如果 f( ) = f( - 0 ), 则称 y = f( ) 在点 0 处左连续 0 如果 f( ) = f( + 0 ), 则称 y = f( ) 在点 0 处右连续 0 () 左 右连续与连续的关系 : 函数 y = f( ) 在点 0 处连续骋函数 y = f( ) 在点 0 处左连续且右连续 (3) 函数 f( ) 在 [ a, b] 上连续 : f( ) 在 ( a, b) 内每一点处连续, 在 = a 右连续, 在 = b 左连续 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

10 第一章函数 极限与连续 3 (4) 函数 f( ) 间断点的类型 : 如果 0 是函数 f( ) 的间断点, 但左极限 f ( - 0 ) 及右 极限 f( + 0 ) 都存在, 那么 0 称为函数 f( ) 的第一类间断点 ; 不是第一类间断点的任何 间断点, 称为第二类间断点 在第一类间断点中, 左 右极限相等者称为可去间断点, 不 相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点 ) 结论 () 初等函数的连续性 : 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函 数在其定义区间内都是连续的 () 闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值定理 : 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值 M 和最小值 m 有界性定理 : 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 3 零点定理 : 设函数 f( ) 在闭区间 [ a, b] 上连续, 且 f ( a) 与 f ( b) 异号, 那么在开 区间 ( a, b) 内至少有一点 ξ, 使 f(ξ) = 0 4 介值定理 : 设函数 f( ) 在闭区间 [ a, b] 上连续, 且 f( a) f(b), 那么, 对于 f( a) 与 f(b) 之间任意一个数 C, 在开区间 ( a, b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(ξ) = C 义域 函数及其性质 二 典型例题分析 例 () 设函数 y = f( ), [0,4], 求函数 f( ) 及 f( + ) + f( - ) 的定 () 已知 f( ) = e, f[ g( )] = -, 且 g( ) 0, 求 g( ) 及其定义域 解 () 因为 y = f( ) 的定义域为 [0,4], 所以对于函数 f( ) 应有 0 4, 即有 -, 故函数 f( ) 的定义域为 [ -,] 对于函数 f( + ) + f( - ), 应有 , 即, 故函数 f( + ) + f( - ) 的定义域为 [,] () 由题设及复合函数的定义可得 f[ g( )] = e g ( ) 由 = -, 且 g( ) 0, 所以 g( ) = l( - ) l( - ) 0, 解得 g( ) 的定义域为 ( -,0] - > 0 -, 求其交集得 5 评注求初等函数的定义域有以下原则 : 分式的分母不能为零 ; 根式中负数不能开 偶次方 ; 对数的真数不能为零和负数 ;arcsi 或 arccos 的定义域为, ta 的定 义域为 kπ + π, k Z,cot 的定义域为 kπ, k Z ; 求复合函数的定义域, 通常是 将复合函数看成一系列初等函数的复合, 然后考察每个初等函数的定义域和值域, 得到 对应的不等式组, 通过联立求解不等式组, 就可得到复合函数的定义域 ; 对于应用问题 中的函数, 其定义域由实际问题的具体含义确定

11 4 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 例 把下列函数分解为最简单的函数 () y = si + 解由外向里进行分解 ( + ) ;() y = 3arcsi () y = u, u = si v, v = w -, w = + ; () y = 3 u, u = v, v = arcsi w, w = + 例 3 问函数 y = - u 与 u = + e 能否构成复合函数? 为什么? 解两个函数能否构成复合函数, 取决于外层函数的定义域和内层函数的值域有没 有公共部分 这里外层函数 y = - u 的定义域为 D f = { u u }, 内层函数 u = + e 的值域为 R u = { u < u < + }, 由于交集为空集, 即 D f Ru = 矱, 所以函数 y = - u 与 u = + e 不能构成复合函数 例 4 求 f( ) = -, < 3, - 的反函数 - 6, > 解当 < - 时, y = -, 得 = - - y 当 - 时, y =, 得 = 3 y, - y 8 ; 当 > 时, y = - 6, 得 = y + 6 所以反函数 y = f - ( ) = - -, < - 3, , > 8, y > 8, y < - ; 评注反函数的求解方法比较固定, 由 y = f( ) 解出 = f - ( y), 对换自变量与因 变量的位置, 即可得到所求的反函数 y = f - ( ) 对分段函数要注意所求函数表达式的 区间 - 例 5 讨论函数 f( ) = φ( ) a 的奇偶性, 其中 φ( ) 为奇函数 a + - 解因为 f( - ) = a- a - + φ( - ) = - ( a - - ) a a ( a - + ) φ( ) = - a a + φ( ) = f( ), 所以 f( ) 为偶函数 例 6 设 f ( ) 的定义域为 ( -, + ), 对橙, y 都有 f ( + y) + f ( - y) = f( ) f( y), 且 f( ) 0, 证明 f( ) 为偶函数 得 证由 f( + y) + f( - y) = f( ) f( y), 用 - y 替换 y 得 f( - y) + f( + y) = f( ) f( - y), f( ) f( y) = f( ) f( - y), 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

12 第一章函数 极限与连续 5 又因为 f( ) 0, 故 f( y) = f( - y), 所以 f( ) 为偶函数 评注判定函数奇偶性的方法 : () 根据奇偶性的定义或利用奇偶函数的运算性质 如奇 ( 偶 ) 函数的代数和仍为奇 ( 偶 ) 函数 ; 奇 ( 偶 ) 函数的积为偶函数 ; 奇函数与偶函数的积为奇函数等 () 证明 f( - ) = - f( ) 或 f( - ) = f( ) 例 7 设 a < b, 函数 f ( ) 对任意 R, 有 f ( a - ) = f ( a + ), f ( b - ) = f(b + ), 证明 f( ) 为周期函数 分析若函数 f( ) 是周期函数, 且设其周期是 T, 则对于橙 R, 有 f( + T) = f[b + ( + T - b)] = f[b - ( + T - b)] = f[b - ( + T)] = f[ a - ( + T - b + a)] = f[ a + ( + T - b + a)] = f[ + T - (b - a)] = f( ), 所以 T - (b - a) = 0, 即 T = b - a 解因为橙 R, f( + b - a) = f(b + + b - a) = f[b - ( + b - a)] 所以 f( ) 为周期函数,b - a 是它的一个周期 = f( a - ) = f( a + a + ) = f[ a - ( a - )] = f( ), 评注判定函数 f( ) 为周期函数的主要方法是 : 从定义出发, 找到 T 0, 使得 f( + T) = f( ) ; 利用周期函数的运算性质证明 数 N = 用定义证明极限 例 8 利用定义证明下列数列极限 () - 4 = ; () - = 4 证 () 对于任给的 ε> 0, 要使 - - = < ε, 只要 > ε 即可 两边取对数 l > l ε, 即 > - lε l, 故对于任给的 ε> 0( 不妨设 ε< ), 可取正整 - lε l 当 > N 时, 恒有 - - < ε 成立, 即 - = () 由 当 时, 为使 故取 N = = 4 -, 先将它放大, 再解不等式 -, 4 于是 - 8, 因此任给的 ε> 0, = 4-8 < ε, 只要 > 8 ε, 8 ε, 当 > N 时, < ε 4 恒成立, 即 - = 4 评注用定义证明数列的极限时, 关键是对任给的 ε > 0, 寻找 N, 但不必找最小的

13 6 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) N, 即 N 等于多少并不重要, 关键是否存在 N 找 N 的方法有两种 ( 以 = A 为例 ) : () 直接解不等式 - A < ε, 得 > φ(ε), 取 N φ(ε) ( 或 N = φ(ε) ) () 将 - A 适当放大, 即 - A g( )( 其中 g( ) 为一个较简单的无穷 小量 ), 然后解不等式 g( ) < ε, 得 > φ(ε), 取 N φ(ε) ( 或 N = φ(ε) ) 例 9 设数列 的一般项 = π cos, 问 的值是多少, 并求出 N, 使当 > N 时, 与其极限之差的绝对值小于正数 ε 当 ε= 0 00 时, 求出 N 解 = 0, 对于 ε = 0 00, 由于 - 0 = 0 00 即可, 即 > ε, 所以取 N = ε = 000 当 > 000 时, 与 0 的差的绝对值小于 0 00 π cos 例 0 设数列 与 y 满足 y = 0, 则 ( ), 所以只要 (A) 若 发散, 则 y 必发散 (B) 若 无界, 则 y 必有界 (C) 若 有界, 则 y 必为无穷小 (D) 若为无穷小, 则 y 必为无穷小 解运用排除法, 若令 =, y =, 则排除 (A) 若令 = 0, = k +, = k, y =, = k +, 则排除 (B) 0, = k < ε= 若 (C) 成立, 则显然有 y = 0, 但反过来却未必成立 例如若取 =, y =, 就有 y = 0, 则排除 (C) 综上所述应选 (D), 若为无穷小, 事实上, y = ( y ) 0( ) 评注解选择题切忌一一进行求证, 应运用综合排除法 特殊值法和反证法等 例 利用定义证明下列函数极限 + 3 () 3 = 9 ; () = 3 3 证 () 考察 - 9 = , 在 3 的过程中, 只在 3 附近取值, 故 可限制 : - 3 <, 于是 < < 4, + 3 < 7, 因此 - 9 = < 7-3 对于任给的 ε> 0, 欲使 - 9 < ε, 只要 7-3 < ε, 即 - 3 < ε 7, 存在 δ = mi, ε 7, 当 0 < - 3 < δ 时, 有 - 9 < ε, 所以 3 = 9 () 任给 ε> 0, 要证愁 X > 0, 当 > X 时, 有 ε, 只需 > ε, 取 X = ε, 则对橙 ε > 0 当 > X 时, 有 - 3 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo = = < < ε,

14 第一章函数 极限与连续 即 = 3 3 评注证明 0 f( ) = A( 或 f( ) = A) 的关键在于, 对于任给的 ε > 0, 找相应的 δ > 0( 或 X > 0), 使得当 0 < - 0 < δ( 或 > X) 时, 不等式 f( ) - A < ε 成立 因 此找 δ( 或 X) 时, 一般从解 f( ) - A < ε 入手, 尽量将上述不等式转化为关于 - 0 ( 或 ) 的不等式, 将 - 0 ( 或 ) 视为未知数来解 注意不要在解不等式 f( ) - A < ε 的过程中, 将 视为未知数来解, 否则无法找到相应的 δ( 或 X) 在上述 () 中, 用了这样的手法 : 当 0 时, 可将 限制在 0 的一个邻域内, 即 限制 满足 - 0 < r, 在 () 中 r = 在此限制条件下, 就可推出 f( ) - A < c - 0 ( 其中 c 为某一确定的常数 ), 于是由 c - 0 < ε, 就可保证 f( ) - A < ε 3 利用四则运算法则求极限 例 求下列极限 () [ ( - )] ; () - ( + ) - ( - ) (3) ( + ) + ( ; (4) - ) ( ) + 解 () 分子有理化, 得 原式 = ( - + ) () 原式 = - 因为 = = ( - )( ) - 原式 = = ( )( ) (3) 原式 = ( + + ) + ( - + ) (4) 原式 = = + 评注 () 对于有理函数或无理函数的 理化析出并消去致零因子, 化为定式求极限 00 = = () 对于有理函数或无理函数及相应数列的 =, 所以 ( + ) = = 50 8 ( + ) = 4 0 型极限, 可通过分解因式及分子或分母有 0 型极限, 应采取 抓大放小 原则, 关 注分子和分母的最高次项 当分子与分母次数相同时, 极限为分子与分母最高次项的系 数之商 ; 当分子的次数低于分母的次数时极限为 0 ; 当分子的次数高于分母的次数时极 ;

15 8 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 限为 故 si 因此 4 利用 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量 求极限 例 3 求下列极限 () 0 si ; () (cos + - cos ) + + 解 () 当 0 时, +, 即它是有界的, 因此 本题易犯的错误是 : 0 si 错误在于, 因为 0 si 是无穷小量, 虽然 si 0 si + ()cos + - cos = - si 因为 0 si - si = 0 = 0 0 si 的极限不存在, 但因 + + = 0 + 不存在, 所以不能运用极限的四则运算法则 < + +, 故 si + - = si + + si + - = 0, + (cos + - cos ) = 利用函数极限与数列极限的关系求极限 例 4 求极限 si 解利用求函数极限的方法, 求数列的极限 si 由于 0 =, 取 =, 则 0, si = 例 5 证明极限 + si 不存在 si + - 为有界函数, 而 ( + + ) 0, 当 + 时, = si = 证取 () = π, () = π + π, 则 () +, () + 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

16 第一章函数 极限与连续 9 穷大 si () = + 因为 si () si () siπ = 0, si () = si π + π +, 故极限 + si 不存在 =, 例 6 证明 f( ) = cos 在 ( -, + ) 内无界, 但当 时, f( ) 并不是无 证 f( ) 在 ( -, + ) 内无界是指 : 橙 M > 0, 总存在 0 f( 0 ) > M ( -, + ) 使得 事实上橙 M > 0, 取 0 = [ M]π, 则 f ( 0 ) = [ M]π > M, 这说明 f ( ) 在 ( -, + ) 内无界 ; 当 时, f( ) 是无穷大是指 : 橙 M > 0, 总存在 Z0 > 0, 使当 > Z0 时, 恒有 f( ) > M ; 因此当 时, f ( ) 并不是无穷大则是指 : 存在 M > 0 使对于 橙 Z0 > 0, 总有 0 满足条件 0 > Z0, 但 f( 0 ) M 事实上, 取 M =, 橙 Z0 > 0, 记 0 = [ Z0 ]π + π > Z0, 而 f( 0 ) = 0 <, 利用极限 的归并性可将上述过程简化为 : 取 = π +, 则 f( ) = πcos π + 取 y = π + π +, 则 f ( y ) = π + π cos π + π 0, 说明 f ( ) = cos 在 ( -, + ) 内无界, 但当 时, f( ) 并不是无穷大 评注 () 为证明极限 a f ( ) 不存在, 只要寻找两个趋于 a 的数列 () 和 () f( () ) f( () ) 即可 () 为证明 f( ) 当 a 时不是无穷大量, 即证 a f ( ), 只要寻找一个趋近 倡于 a 的数列 所以 而, 使 倡 f( ) 即可 6 利用极限存在的两个准则求极限 例 7 求下列极限 () ; + () 解 () 因为 + = k = () 因为 + =, + + k + + k = + k k = + =, 所以, 原式 = + k + + k + k + k + ( k =,,, ), ( k =,,, ), + = +,, 使

17 0 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 所以 而 = = k = + k + k = 3, k + k k = + k + = = 3, 所以, 原式 = 评注利用夹逼定理求极限 的要点是 : 将 适当放大及缩小, 即找两个数列 { y} 及 { z}, 使 y z, 且 y 与 z 的极限都存在并且相等, 即 y = z 例 8 利用单调有界准则证明下列极限存在, 并求极限值 () 设 > 0, + = + a () =, + = +,( =,, ) 证 () 显然 > 0, + = 又因为 + - = a - 则在 + = 去 ), 故得 A = + a, 其中 a > 0 ( =,, ) ; + a a, = a, 即 有下界 0, 故由单调有界原理, 知 存在, 设 = A, 两边令 取极限得 A = a, 即 = a A + a A, 解得 A = ± a( 负值舍 () 先证 有上界 因为 = <, 由数学归纳法, 假设对 成立, 即 <, 则 + = + < + =, 所以数列 { } 为有上界数列 又因为 + = +, 所以 + - = + - = 以数列 { } 为单调递增数列 - - ( - )( + ) > 0, 所 + + 由单增有上界数列必有极限的准则知 { } 的极限存在, 设 = A, 由 = +, 有 = ( + - ), 即 A = > 0, 从而 A =, 即 = = + A, 解得 A = -, A =, 由于数列单增且 评注 () 在证明 { } 单调有界时, 常常使用数学归纳法 () 为证明数列 { } 单调, 只需证明 + - 0( 或 0) ( =,, ) (3) 证明了 存在后, 为求此极限值 A, 可在 递推式的两端取极限, 即得关 于 A 的方程 7 利用两个重要极限和等价无穷小求极限 例 9 求下列极限 cos - cos3 () 0 ; () si m π si ( m, 为正整数 ) cos - cos3 解 () 利用和差化积公式有 = si si 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

18 第一章函数 极限与连续 故 cos - cos3 0 = 4 si si 0 0 = 4 () 作变量替换, 令 t = - π, 将 π 化为 t 0 得 π si m si = si( mt + mπ) t 0 si( t + π) = ( - ) m- t 0 si mt mt = ( - ) m- t 0 si mt si t t si t m = ( - ) m- m si 评注利用重要极限 0 = 计算极限时, 必须具备两个条件 : () 在给定的极限过程下为 0 0 si φ( ) () 形如, φ( ) 0 φ( ) 计算时把求极限算式凑成以上形式即得结果 例 0 求下列极限 () + [l( + a) - l ] ( a > 0) ; () 解 () 解法一利用复合函数的连续性和重要极限, 得 原式 = + l + a = + l + a a a = l + + a a a = le a = a 解法二利用等价无穷小代换, 因为 + 时,l + a ~ a, 所以 原式 = () 利用变量代换, 由于 则 = 3 u +, 于是 条件 : + - 评注利用重要极限 + l + a + - = + u 原式 = u + + () 在给定的极限过程下为 () 形如 + α( ) = + + u = a + = a 3-3 u +, 因此得 3 u + u, 令 = e 或 0 ( + ) - 3 = e 3 α( ), α( ) 或 [ + α( )] α( ), α( ) 0 计算时把求极限算式拼成以上形式即得结果 例 求下列极限 si + cos () 0 ( + cos )l( + ) ta - si ; () 0 si 3 = u, = e 求极限时, 必须具备两个 e si - e ; (3) 0 si - ;

19 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) + ta - + si (4) 0 + si - 解 () 解法一原式 = 0 ; (5) 0 3 si + cos 3 + cos = l( + ) ( + cos ) - si + cos 解法二原式 = 0 ( + cos ) = 0 + cos ta ( - cos ) () 原式 = 0 = si 3 0 = 3 e (e si - - ) (3) 原式 = 0 si - si e (si - ) = 0 = si - 0 e = (4) 原式 = 0 ( + ta - - si ) ( + si - )( + ta + + si ) e l (5) 原式 = 0 ta - si ta - si = 0 = si 0 = 3 + cos 3-3 = 0 cos - 3 = - 6 评注无穷小等价代换是简化计算 注意以下两点 l + cos = cos l + cos - = 3 0 = 0 型极限的最有效方法, 要正确使用该方法, 应 0 () 熟记常用的等价无穷小 : 当 φ( ) 0 时, 有 si φ( ) ~ φ( ) ; ta φ( ) ~ φ( ) ; l( + φ( )) ~ φ( ) ; - cos φ( ) ~ φ ( ) ; e φ( ) - ~ φ( ) ;[ + φ( )] α - ~ αφ( ) () 在求极限的过程中乘 除因子可以用各自与其等价的无穷小代替, 但作为加 减项的无穷小不能随意用各自等价的无穷小代换, 必须将加 减项作为整体用其等价的 无穷小才能代换, 否则会造成错误 例如在例 () 中, 若用 分别代替 ta 和 si, 便有 0 ta - si si 3 = 0 - = 0 3 此解法显然错误, 原因是没有正确运用定理, 因 ta - si 是一个与 3 同阶的无 穷小, 但 ta - si 与 0 不等价, 因为 0 是比任何无穷小阶数都要高的无穷小 但作为加 减项的无穷小并非绝对不能用各自等价的无穷小代换 ( 只是不能随意 用 ), 例如 0 若用 分别代替 ta si, 则有 ta + si - si 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

20 第一章函数 极限与连续 3 运算结果仍然正确 ta + si - si 0 - = 0 =, 不过对初学者来讲, 作为加 减项的无穷小在什么条件下能用各自等价的无穷小代 换, 这个问题并不是很重要, 不必花时间仔细研究这个问题 例 设当 0 时,( - cos )l( + ) 是比 si 高阶的无穷小, 而 si 是比 e - 高阶的无穷小, 则 为何值? 解由于 0 时, l( + ) ~, si ~, - cos ~, 所以当 0 时有 ( - cos )l( + ) = O( 4 ), si = O( + ),e - = O( ) 因为 0 ( - cos )l( + ) si 因此有 < + < 4, 即 < < 3, 故 = 例 3 设 解法一 故 C = l 故 解法二 + C - C + C - C + C - C = 0, si 所以 + < 4 ; 0 e - = 0, 所以 + >, = 4, 求 C = + C - C = + C - C = + C - C - C C 解法三本题属于 型, 且 + C - C - + C - C = e C, 故 C = l 例 4 求 0 a + b + c 3 解法一本题属于 型, 因此 C + C - C = ec e = C, 故 C = l - C e = ( a > 0, b > 0, c > 0) C C - C = C = e C = 4, 原式 = 0 + a + b + c 而 0 a + b + c 解法二因为 0 3 a + b + c 3 - = a + b + c a - =, 0 =, a - + b - + b - + c - + c - = e 3 (l a+ l b+ l c) = 3 abc = 3 (l a + lb + l c) = l abc, 3 所以 0 a + b + c 3 = e 3 l abc = 3 abc

21 4 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) + f( )si - 例 5 已知 0 =, 求 e 3-0 f( ) + f( )si - 解因 0 =, 而 e 3-0 (e 3 - ) = 0, 故 0 [ + f( )si - ] = 0, 即 0 从而由等价无穷小的代换性质得 = 0 + f( )si - e 3 - = 0 + f( )si =, 得 0 f( )si = 0, f( )si si 由于 0 =, 故 0 f( ) 存在, 且 0 f( ) = 6 3 例 6 极限 + a + b si( - ) = 3, 求 a 和 b 的值 + a + b 解 si( - ) = 3, 而 si( = 3 0 si f( ) - ) = 0, 所以 ( + a + b) = 0, + a + b = 0, 即 b = - a - 又当 时, si( - ) ~ -, 故 得 a = 4, b = a + b si( - ) = 8 利用左 右极限求极限 例 7 求下列极限 () 0 f( ), 其中 f( ) = 解 () 0 - 故 () 当 - 当 + + a - a - - = + a + + l( + ) = + a, > f( ) = 0 - = ( - )( + a + ) ( - )( + ) = 3, - ;() - e,- < 0 = 0 - ( )( ) ( ) = =, 0 + l( + ) f( ) = =, f( ) = - 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 时, - -,e - - 0, 从而 - - e - = ( + )e - = 0 ; - 时, - +,e - - +, 故 + - e - = ( + )e - = +, +

22 第一章函数 极限与连续 5 故原极限不存在 评注 () 借助左 右极限讨论函数的极限, 通常有以下两种情形 : 分段函数分 段点处左右两侧函数表达式不相同, 考察分段点 ; 形如 e 0 arcta a ( + a) - a ( a 0) 等 () 要注意如下初等函数的极限 : = +, = 0 ; e + e - e 0 + = +, 0 - e = 0 ; arcta = π +, arcta = - π - ; arcta 0 + = π, arcta 0 - = - π 内连续 9 函数连续性与间断点类型的讨论 例 8 () 设函数 f( ) = e, < 0 a +, 0, 应该怎样选择 a, 可使 f( ) 在其定义域 () 设函数 f( ) = - e si arcsi ae, 0, > 0, 问 a 取何值时 f ( ) 在 = 0 处连续 解 () 显然 f( ) 分别在 ( -,0) 和 (0, + ) 内是连续的, 而 0 - f( ) = e 0 - = ; 0 + 故要使 f( ) 在其定义域内连续, 只需 a = () 因为 0 + f( ) = 0 + 故由连续的定义知 a = - e ta arcsi 0 - f( ) = ( a + ) = a = f(0), + 0 ta = - = - ; 0 + f( ) = 0 - ae = a, 评注此类题必须分左 右极限讨论, 因为 f( ) 在 = 0 的左 右两侧表达式不同, 且求 () 的右极限时使用等价无穷小代换比较简单 例 9 设 f( ) 在 ( -, + ) 内有定义, 且 则 ( ) (A) = 0 必是 g( ) 的第一类间断点 (B) = 0 必是 g( ) 的第二类间断点 (C) = 0 必是 g( ) 的连续点 (D) g( ) 在 = 0 处的连续性与 a 的取值有关 解若 a = 0, 则 0 g( ) = 0 f 若 a 0, 则 0 g( ) = 0 f f( ) = a, g( ) = = 0 = g(0), 从而 g( ) 在 = 0 处连续 ; = a g(0), 从而 g( ) 在 = 0 处不连续 f, 0, 0, = 0

23 6 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 故应选 (D) 评注函数 f( ) 在 0 处连续应满足 3 个条件 : 在 = 0 处有定义 ; 0 存在 ; 3 0 f( ) = f( 0 ) 3 个条件缺一不可 f( ) 例 30 设函数 f( ) 和 g( ) 在点 0 连续, 证明函数 φ( ) = ma f( ), g( ), ψ( ) = mi f( ), g( ) 在点 0 也连续 证由于函数 f( ) 和 g( ) 在点 0 f( ) = 0 所以 f( ) + g( ) = f( 0 ) + g( 0 ), 0 f( ) - g( ) = f( 0 ) - g( 0 ), 0 连续, 有 f( ) - g( ) = f( 0 ) - g( 0 ) 0 f( 0 ), 0 g( ) = g( 0 ), 由于 φ( ) = ma f( ), g( ) = ψ( ) = mi f( ), g( ) = f( ) + g( ) + f( ) - g( ) ; f( ) + g( ) - f( ) - g( ), 所以有 0 φ( ) = φ( 0 ), 0 ψ( ) = ψ( 0 ) 即 φ( ) = ma f( ), g( ), ψ( ) = mi f( ), g( ) 在点 0 连续 例 3 设 f( ) 和 g( ) 在 ( -, + ) 内有定义, f( ) 为连续函数, 且 f( ) 0, g( ) 有间断点, 则 ( ) (A) g[ f( )] 必有间断点 (C) g( ) 必有间断点 f( ) 解选 (C) 若令 f( ) = e, g( ) = 若令 f( ) = e 若令 g( ) = 事实上, 若, g( ) = (B) f[ g( )] 必有间断点 (D) g ( ) 必有间断点 -, 0, 则 g[ f( )] = 排除 (A),, > 0 -, 0, 则 f[ g( )] = e, 排除 (B), > 0 -, 0, 则 g ( ) =, 排除 (D), > 0 g( ) 连续, 则 g( ) = f( ) f( ) g( ) f( ) g( ) 连续, 与题设矛盾, 故必有间断点 f( ) - 例 3 讨论函数 f( ) = + 的连续性, 若有间断点, 判别其类型 解由于 q 若 >, 则 - = 0( q < ), 故若 <, 则 f( ) = + = 若 =, 则 f( ) = 0, 即 - <, f( ) = + = = - 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

24 第一章函数 极限与连续 7 f( ) =, < 0, = -, > 因此 f( ) 除去 = ± 外连续, 但在 = ± 处, f( - ) = ; f( + ) = - ; f( - ) f( + ) ; f( - - ) = ; f( - + ) = - ; f( - - ) f( - + ) 故 = ± 是 f( ) 的间断点, 而且是第一类间断点中的跳跃间断点 例 33 解下列各题 () 设 f( ) = + -, 问何处是 f( ) 的间断点? 是哪一类间断点? () 设 f( ) = 则补充或改变函数的定义使其连续 ta, 指出 f( ) 的间断点, 并判断间断点的类型, 若是可去间断点, 解 () 当 = 0 时, 无意义 ; 当 = 时, 分母 - = 0, 故 = 0 和 = 是函 数 f( ) 的间断点 又 f( ) = = -, + f( ) = = + - =, f( ) =, + - =, 所以 = 0 是跳跃间断点, 属第一类间断点 ; = 是无穷间断点, 属第二类间断点 () 在 = kπ + π (k 为整数 ) 处无定义, 在 = kπ( k 为整数 ) 处 ta = 0, 所以 f( ) = 的间断点为 = kπ + π ta ( k 为整数 ) 和 = kπ( k 为整数 ) 又因为 kπ + π ta = 0, kπ ta = ( k 0), 0 为整数 ) 为 f( ) 的可去间断点, 属第一类间断点 ; = kπ( k 为非零整数 ) 为 f( ) 的无穷间断点, 属第二类间断点 ta =, 故 = 0 和 = kπ + π ( k 要使 f( ) 在 = 0 和 = kπ + π ( k 为整数 ) 处连续, 重新定义的函数为 f( ) = ta, kπ + π ( k 为整数 ) 且 0 0, = kπ + π ( k 为整数 ), = 0 例 34 确定 a 和 b 的值, 使 f( ) = 断点 = - b 有无穷间断点 = 0, 有可去间 ( - a)( - )

25 8 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 解因 f( ) 在 = 0 处为无穷间断点, 即 0 f( ) =, 0 f( ) = 0, 所以 0 f( ) = 0 ( - a)( - ) - b 又 = 为可去间断点, 故 0, 即 b = 例 35 设 f( ) = - a = b = - a b = 0, 故 a = 0, b 0 f( ) = 求 f( ) 的间断点, 并说明间断点的类型 解因为当 > 0 且 时, f( ) = e - ; - b ( - ) = e -,0 < 且 l( + ), - < 0, 当 - < < 0 时, f( ) = l( + ) 均为连续函数 ; - b 存在, 只有 - ( - b) = 当 = 0 时, f(0) = 0, f(0 + ) = e - = e -, f(0 - ) = l( + ) = 0, 所以 = 0 为间断点, 且为跳跃 ( 第一类 ) 间断点 ; 当 = 时无定义, f( + ) =, 所以 = 为间断点, 且为无穷 ( 第二类 ) 间断点 评注求函数的间断点并判定其类型的步骤如下 () 找出间断点 () 对每一个间断点 i, 求极限 - i f ( ) 及 f ( ) + i (3) 判定类型 : 极限存在时, 属第一类间断点, 且为可去间断点 ; 左 右极限存在但 不相等时, 属第一类间断点, 且为跳跃间断点 ; 左 右极限至少有一个不存在时, 属第二 类间断点 ; 极限为 时, 属第二类间断点, 且为无穷间断点 0 利用连续函数的性质求极限 例 36 求下列极限 () ( + - ) + si - π ; () 0 l( a + ) + l( a - ) - l a ( a > 0) 解 () 由于函数在 = 处连续, 故 原式 = ( + - ) + si - - () 原式 = 0 l a a = l 0 - 评注利用连续函数的性质求极限常用的方法有两种 () 代入法 0 f( ) = f( 0 ) ( 0 属于定义区间 ) () 换序法 0 f[ g( )] = f[ 0 g( )] π = ( - ) - = - 3 ; a 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo - a - a = le - a = - a

26 第一章函数 极限与连续 9 利用闭区间上连续函数的性质证明命题 例 37 设 f( ) 在 [ a, b] 上连续, 且 f(0) = f( a), 证明在 [0, a] 上至少存在一点 ξ, 使 f(ξ) = f(ξ+ a) 证设 F( ) = f( ) - f( + a), 则 F( ) 在 [0, a] 上连续, 又 F(0) = f(0) - f( a), F( a) = f( a) - f( a) = f( a) - f(0) = - F(0) 若 f( a) = f(0), 则可取 ξ= 0 或 a ; 若 f(a) f(0), 则有 F(0)F(a) < 0, 由零点定理, 至少存在一点 ξ (0, a), 使 F(ξ) = 0 例 38 试证 : 若 f( ) 在 ( -, + ) 内连续, 且 f( ) 存在, 则 f( ) 在 ( -, + ) 内有界 证 f( ) 存在, 根据函数极限的局部有界性, 愁 M > 0 和 X > 0, 使当 > X 时, 总有 f( ) M, 又 f( ) 在 [ - X, X] 上连续, 所以 f( ) 在 [ - X, X] 上有界, 即 愁 M > 0, 使当 [ - X, X] 时, 总有 f( ) M 记 M = ma M, M, 则对于橙 ( -, + ), 总有 f( ) M, 故 f ( ) 在 ( -, + ) 内有界 例 39 证明 = asi + b, 其中 a > 0, b > 0, 至少有一个正根, 并且不超过 a + b 证设 f( ) = asi + b -, 则 f( ) 在 [0, a + b] 上连续, f(0) = b > 0, f( a + b) = a[si( a + b) - ] 0 若 f( a + b) = 0, 则 a + b 即为原方程的一个正根 ; 若 f( a + b) < 0, 则根据零点定理, 愁 ξ (0, a + b), 使得 f(ξ) = 0 综合 知结论成立 例 40 设 f( ) 和 g( ) 都是闭区间 [ a, b] 上的连续函数, 且 f( a) > g( a), f(b) < g(b), 试证在 ( a, b) 内至少存在一点 ξ, 使得 f(ξ) = g(ξ) 证设 F( ) = f( ) - g( ), 则 F( ) 在 [ a, b] 上连续, 且 F( a) = f( a) - g( a) > 0, F(b) = f(b) - g(b) < 0, 由零点定理知, 在 ( a, b) 内至少存在一点 ξ, 使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = g(ξ) 例 4 证明 : 当 为奇数时, 方程 a0 + a a - + a = 0( a0 0) 至少 有一实根 f( ) 证记 f( ) = a0 + a a - + a, 则 a0 = 故由函数极限的保号性知, 愁 X0 > 0, 使当 > X0 时, f( ) 与 a0 同号, 记 = - X0, = X0, 则 > X0, > X0 由于 是奇数, 故 f ( ) f ( ) 与 a0 ( - X0 ) a0 ( X0 ) = - a 0 X 0 同号, 即 f( ) f( ) < 0, 又 f( ) 在 [, ] 上连续, 故由零点定理得愁 ξ (, ), 使得 f(ξ) = 0, 即方程 a0 + a a - + a = 0 至少有一实根 例 4 设 f( ) 在 [ a, b] 上连续, 且 a < c < d < b, 试证在 [ a, b] 上必存在一点 ξ, 使 A f( c) + B f( d) = ( A + B) f(ξ), 其中 A B 是同号常数 证因 f( ) 在 [ a, b] 上连续, 故 f( ) 在 [ a, b] 上必取得最大值 M 和最小值 m

27 0 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 又因为 A B 是同号常数, 不妨设 A B > 0, 故有 ( A + B) m A f ( c) + B f ( d) ( A + B) M, 即 m 由介值定理知, 在 [ a, b] 上必存在一点 ξ, 使 A f( c) + B f( d) A + B A f ( c) + B f ( d) = ( A + B) f(ξ) A f ( c) + B f ( d) A + B = f(ξ), 即 M 评注利用闭区间上连续函数的性质证明方程根的存在问题一般有两种方法 () 利用零点定理 : 首先作辅助函数, 将要证明的等式中的 ξ 换成, 得到相应的方 程 ; 其次通过移项, 使方程一边为 0 ; 最后将方程另一端的函数设为辅助函数 () 利用介值定理 : 首先从所要证明的等式中整理出连续函数 f( ) 所需取得的值 C ; 其次表明 C 在 f( ) 的相关区间的最大值域最小值之间 ; 最后利用介值定理得到相应结论 何谓代数函数? 何谓超越函数? 三 疑难问题解答 答 : 从多项式出发, 由代数运算 ( 加 减 乘 除和求方根 ) 构成的函数称为代数函数 易知任何有理函数 y = P( ) Q( ), 其中 P( ) 和 Q( ) 都是多项式 ; 无理函数都是代数函数 非代数函数又称超越函数, 超越函数的集合包括 : 三角函数 反三角函数 指数函 数 对数函数以及无理指数幂函数 单调函数必有单值反函数, 不单调的函数是不是一定没有单值反函数? 答 : 不是的 一个函数是否存在单值反函数, 取决于它的对应规律 f 在定义域 D 与 值域 U 之间是否构成一一对应的关系 如果是一一对应的, 那么必有单值反函数 函数在 区间 I 上单调只是一种特殊的一一对应关系, 因此单调仅是存在单值反函数的充分条 件, 而不是必要条件 3 为什么函数 f( ) 在 0 的极限与函数在 0 的取值情况无关? 答 : 设函数 f( ) 在 0 的极限为 A, 即 橙 ε > 0, 愁 δ > 0, 橙 :0 < - 0 < δ 痴 f( ) - A < ε 显然, 满足不等式 f( ) - A < ε 的 ( 0 - δ, 0 + δ) - 0 说明 f ( ) 在 0 的 极限与函数 f( ) 在 0 的取值无关 这是因为很多函数 f( ) 在 0 有极限, 而函数 f( ) 在 0 却没有定义 例如函数 f( ) = si 在 = 0 处存在极限 ( 极限为 ), 而函数 f( ) = si 在 = 0 处却没有定义 虽然有的函数 f( ) 在 0 有定义, 但函数 f( ) 在 0 的极限 也与函数值 f( 0 ) 无关 例如, 函数 f( ) = - -, 8, = 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 在 = 处的极限是 4, 而 f() = 8 如果讨论函

28 第一章函数 极限与连续 数 f( ) 在 0 的极限, 同时又考虑函数 f( ) 在 0 的函数值, 那么, f( ) 在 0 的极限 A 与 f( 0 ) 的关系只有两种情况 : 一是 A = f( 0 ) ; 二是 A f( 0 ) 这两种情况正是连续与 不连续的问题 si 4 为什么两个极限 0 = 与 + = e 称为重要极限? 答 : 学完一元函数微分学之后, 将会知道, 导数运算是高等数学中最基本最重要的 运算 而导数运算的基础是基本初等函数的导数公式 其中求三角函数 y = si 的导数公 si 式必须使用极限 0 =, 求对数函数 y = log a 的导数公式必须使用 y 0 ( + y) y + = e 因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不能缺少的, 所以 通常把这两个极限称为重要极限 数列 5 怎样证明数列发散? 答 : 证明数列 发散的常用方法有两种 () 找出 的两个有不同极限的子列 () 找出 的一个发散子列 ( - ) 例如, 数列 = 3 再如, 数列 = cos π 4 而子列 8 k + = cos k + π = 0 0 ( k ) 是发散的, 这因为子列 k = 3 k ( k ), k 为发散 是发散的, 这是因为子列 8 k = cos kπ = ( k ), = 6 讨论无穷小有什么意义? 答 : 极限在高等数学中处于十分重要的地位, 任何类型的极限都可以归结为无穷 小 例如, 数列极限 a = a 可归结为 a - a ( ) 是无穷小, 函数极限 f( ) = 0 ( ) A 可归结为 f ( ) - A 是 0 ( ) 时的无穷小等 因此, 极限的方法实质就是无穷 小的方法 无穷小不仅能表达极限, 而且本身也很有用 例如, 后面将要学习的导数就是两个 无穷小之比的极限 ; 定积分就是无穷多个无穷小之和 ; 数值级数的敛散性就取决于该数 值级数的一般项是否是无穷小, 如果是无穷小, 还要看它趋近于 0 的速度 由此可见, 在 高等数学中, 无穷小与极限占有同等的重要地位 7 () 若 f( ) 在 ( -, + ) 内有定义是否至少存在一点 0, 使 f( ) 在点 0 处连续? () 若 f( ) 在点 0 连续, 是否存在 0 的某邻域, 使在该邻域内连续? 答 :() 不一定存在, 考虑狄利克雷函数 D( ) =, Q 0, 臭 Q

29 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 中 D( ) 在 ( -, + ) 内有定义, 对于任意的 0 ( -, + ), 当点 沿着有理点列 q 0 时, 有 q 0 D( q ) = q 0 = ; 当点 沿着无理点列 p 0 时, 有 p 0 D( p ) = 0 = 0 这说明 q 0 D( ) 不存在, 因此 D( ) 在点 0 处不连续 由点 0 的任意性可知, 0 狄利克雷函数在其定义域 ( -, + ) 内任何点处都不连续 () 不一定存在, 考虑函数 f( ) =, Q 0, 臭 Q 仅在 = 0 处连续, 任何一个点 0 ( 0) 都是函数 f( ) 的间断点 8 为什么不说初等函数在其定义域内连续, 而说其在定义区间内连续? 答 : 基本初等函数在其定义域上是连续的, 初等函数在其定义区间上是连续的, 但 初等函数在定义域的某些点处不一定连续 定义区间与定义域有所不同, 定义区间是包 含于定义域内的区间, 定义域不一定是区间, 可能包含孤立点 如初等函数 f ( ) = cos - 的定义域 = kπ, k Z 中的每个点都是孤立点, 由于函数在定义域孤立 点的邻近没有定义, 不具备讨论函数连续性的前提条件, 也就谈不上函数在该点连续 判断题 四 同步训练 映射与极限 () f( ) 在 X 上有界, g( ) 在 X 上无界, 则 f( ) + g( ) 在 X 上无界 ( ) () f( ) 和 g( ) 都在区间 I 上单调增加, 则 f( ) g( ) 也在 I 上单调增加 ( ) (3) 定义在 ( -, + ) 上的常函数是周期函数 ( ) (4) 任一周期函数必有最小正周期 ( ) (5) f( ) 为 ( -, + ) 上的任意函数, 则 f( 3 ) 必是奇函数 ( ) (6) 设 f( ) 是定义在 - a, a 上的函数, 则 f( ) + f( - ) 必是偶函数 ( ) 选择题 () 下列两个函数相同的是 ( ) (A) f( ) =, g( ) = (B) f( ) =, g( ) = e l (C) f( ) = 3 4-3, g( ) = 3 - (D) f( ) =, g( ) = ( ) () 下列函数中 ( ) 既是奇函数, 又是单调增加的 (A)si 3 (B) 3 + (C) 3 + (D) 3 - (3) 已知 f( ) = si, f[ 矱 ( )] = -, 则矱 ( ) 的定义域为 ( ) (A)( -, + ) (B)[ -,] (C) -, (D) - π, π (4) 函数 y = e co s 是 ( ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 单调函数 (D) 有界函数

30 第一章函数 极限与连续 3 3 填空题 () 映射又称为, 根据集合 X Y 的不同情形, 在数学的不同分支中, 映射 又有不同的惯用名称 从非空集 X 到数集 Y 的映射称为 X 上的 到它自身的映射称为 X 上的 义在 X 上的 成的 :, 从非空集 X 从实数集 ( 或其子集 ) X 到实数集 Y 的映射称为定 () 函数 y = - 的反函数为, 反函数的定义域为 + (3) 设 f( ) = -, 则 f[ f( )] = f (4) 设 f( ) 的定义域是 [0,], 则有 f( ) f(e ) 的定义域为 ; f(l ) 的定义域为 = ( 0, ) 4 指出下列函数是否为复合函数, 若是复合函数, 则分析它是由哪些函数复合而 () e co s5 ( 3 + ) 倡 5 ; () si ; (3) f( ) g( ) ( f( ) > 0) 设 f( ) 在 ( -, + ) 内有定义, 对一切实数 y 适合 f ( y) = f ( ) f ( y), 且 f(0) 0, 求证 : f( ), 并利用该结果求 f(00) 判断题 数列的极限 () 如果对任意 ε> 0, 存在正整数 N, 使得当 > N 时总有无穷多个 满足 - a < ε, 则 = a ( ) () 如果对任意 ε> 0, 数列 { } 中只有有限项不满足 - a < ε, 则 = a ( ) (3) 如果数列 { } 发散, 则 { } 必是无界数列 ( ) (4) 若数列 { } 发散, 数列 { y} 发散, 则数列 { + y } 发散 ( ) (5) 若 a ( ), 则对任一自然数 k, 也有 + k a( ) ( ) 选择题 () 数列有界是数列收敛的 ( ) (A) 充分条件 (C) 充分必要条件 () =, 当 为奇数 0-0, 当 为偶数, 则 ( ) (B) 必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 (A) = 0 (B) = 0-0 (C) = 0, 为奇数, 0-0, 为偶数 (3) 下列数列 { } 中, 收敛的是 ( ) (A) = ( - ) + (D) 不存在 (B) = +

31 4 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) (C) = si π (4) ( - + ) = ( ) (A) 0 (B) (C) (5) 给定数列, 下列命题正确的是 ( ) (A) 若 存在, 则 存在 (B) 若 和 + 存在, 则 也存在 (C) 若 有界, 则 存在 (D) 若 { } 无界, 则 不存在 (6) 以下 4 条中正确的是 ( ) (A) 有界数列必定收敛 (C) 发散数列必定无界 3 根据数列极限的定义证明 + () = ; 倡 4 若数列 {a} 满足 a > 0 且 判断题 a (D) = - ( - ) (D) 不存在, 但不是 (B) 无界数列必定发散 (D) 单调数列必有极限 () = = r (0 r < ), 试按极限的定义证明 a = 0 3 函数的极限 () 如果对某个 ε> 0, 存在 δ > 0, 使得当 0 < - 0 < δ 时, 有 f( ) - A < ε, 那 么 0 f( ) = A ( ) () f( ) 存在的充分必要条件是 + f( ) 和 - f( ) 都存在 ( ) (3) 如果 f( 0 ) =, 但 f( - 0 ) = f( + 0 ) =, 则 0 f( ) 不存在 ( ) 选择题 () 从 0 f( ) = 不能推出 ( ) (A) + 0 (C) f( 0 ) = f( ) = (B) f( - 0 ) = () f( ) 在 = 0 处有定义是 0 f( ) 存在的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (C) 充分必要条件 (3) 若 f( ) = ( - ) - (A) f( ) = g( ), g( ) = - +, 则 ( ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo (D) 0 [ f( ) - ] = 0 (B) 必要条件但非充分条件 (D) 既不是充分条件也不是必要条件 (B) f( ) = g( )

32 第一章函数 极限与连续 5 (C) f( ) = g( ) (4) - 0 f( ) = + 0 (A) 充分条件但非必要条件 (C) 充分必要条件 3 填空题 f( ) 是 0 f( ) 存在的 ( ) (D) 以上等式都不成立 (B) 必要条件但非充分条件 () 0 + e = ; 0 - e = ; 0 e () 设 f ( ) = 0 f( ) = 3 -, >, < (3) 设函数 f( ) = , 则有 + (D) 既不是充分条件也不是必要条件, 则有 f ( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = ; - f ( ) = ; f( ) = ; f( ) = ; f( ) = ; f( ) = 根据函数极限的定义证明 () ( - ) = 3 ; 倡 5 有界 f( ) 设 0 f( ) = A( A 0), 证明必存在 0 判断题 () + 4 无穷大与无穷小 = 的某个去心邻域, 使得在该邻域内函数 () 零是无穷小 ( ) () 是无穷小 ( ) (3) 两个无穷小之和仍是无穷小 ( ) (4) 两个无穷小之积仍是无穷小 ( ) (5) 两个无穷大之和仍是无穷大 ( ) (6) 无界变量必是无穷大量 ( ) (7) 无穷大量必是无界变量 ( ) 选择题 () 若 是 0 时的无穷小, 则当 0 时下面说法错误的是 ( ) (A) 是无穷小 (B) 是无穷小 (C) 是无穷小 () 在 0 时, 下面说法中错误的是 ( ) (D) - 是无穷小 (A) si 是无穷小 (B) si 是无穷小 (C) si 是无穷大 (D) 是无穷大

33 6 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) (3) 下面命题中正确的是 ( ) (A) 无穷大是一个非常大的数 (C) 无界变量必为无穷大 (B) 有限个无穷大的和仍为无穷大 (D) 无穷大必是无界变量 (4) 当 0 时, si 是 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界量非无穷小量 (D) 无界但非无穷大量 3 设 y = l( - ), 当 时, y 是无穷小 ; 当 时, y 是无 穷大 4 下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量 ()l ( ) 及 ( 0 + ) ; () si + ( 0) ; (3)e ( + ) 及 ( - ) ; (4)e ( 0 + ) ( 0 - ) 及 ( 0) 倡 5 试证明 0 cos 不存在 判断题 () R( ) = 5 极限运算法则 P( ) 是有理分式, 且 Q( ) 0, T( ) 是多项式, 则 Q( ) 0 R( ) + T( ) = R( 0 ) + T( 0 ) ( ) () (3) ( - ) cos = + - = ( - ) + + cos = 0 ( ) - = 0 ( ) (4) ( + )( + )( + 3) 3 = = ( ) f( ) (5) 若 0 存在, 且 g( ) 0 g( ) = 0, 则可断言 0 f( ) = 0 ( ) 选择题 3 + a + 4 () 若 = l, 则 ( ) - + (A) a = 6, l = 3 (B) a = - 6, l = 3 (C) a = 3, l = 6 (D) a = - 3, l = - 6 f ( ) () 已知 a f ( ) = a g( ), 则 a g( ) = ( ) (A) (B)0 (C) (D) 不能确定 (3) 设 0 f( ) 存在, 但 0 g( ) 不存在, 则 ( ) (A) 0 [ f( ) + g( )] 及 0 f( ) - g( ) 一定都不存在 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

34 第一章函数 极限与连续 7 (B) 0 [ f( ) + g( )] 及 0 (C) 0 f( ) g( ) 一定都不存在 (D) 0 f( ) g( ) 一定都存在 3 计算下列极限 () f( ) - g( ) 一定都存在 ; () ; (3) 0 e - e ; (4) - 0 si - ta ; (5) 0 si + si ; (6) + ( ) ; (7) + (9) 倡 4 倡 5 倡 si! + 已知 + a + b - - =, 求常数 a 和 b ; (8) ; 已知 a - b =, 求常数 a 和 b 求下列极限 () ; () [ ( - ) ] ; (3) - ( ) ; (4) - 判断题 si 6 极限存在准则两个重要极限 () y = z = a, 且当 > N 时有 y z, 那么 = a ( ) () 如果数列 { } 满足 : < a( =,, ; a 为常数 ) ; > + ( =,, ), 则 必有极限 ( ) si (3) = ( ) (4) + = ( ) (5) 0 ( + ) = ( )

35 8 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 填空题 si( - ) () = ; () 0 (3) ( ) = ; (4) 3 选择题 () 下列极限中, 极限值为 0 的是 ( ) (A) 0 arcta (C) si () 若 f( ) > φ( ) > g( ), 且 f a (3) a b + d (B) 0 si + 3cos si (D) (A)A (B)B (C) A + B 的值是 ( ) = ; = ( ) = A, g( ) = B, 则 a a φ( ) = ( ) (D) 不能确定 (A)e (B)e 000 (C)e e 000 (D) 其他值 ta (4) π si = ( ) (A) (B) - (C)0 (D) (5) 0 si - si = ( ) (A) - (B) (C)0 (D) 不存在 4 计算下列极限 () ( + ) ; () 0 sisi ; (3) si π - ; (4) ( - 3si )csc ; 0 (5) - 3 (7) si3 (9) 0 ta3 + si 利用夹逼准则证明 ()! () = 0 倡 ; (6) si3 + si ; (8) 0 ; ( + cos ) = ; 利用单调有界准则证 : 数列 { } 收敛, 并求其极限 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo ;

36 第一章函数 极限与连续 9 () 设 =, + = + + ( =,,3, ) ; () 设 0 < <, + = - ( =,, ) 7 无穷小的比较 判断题 ()α β γ 是同一极限过程中的无穷小, 且 α ~ β, β ~ γ, 则必有 α ~ γ ( ) ta - si - () 因为 0 时 si ~, ta ~, 所以 = si 3 0 = 0 ( ) 3 cos (3) 已知 0 - =, 由此可断言, 当 0 时,cos 与 ( - ) 为等价无穷小 ( ) (4) 当 0 时, si3 与 e - 是同阶无穷小 ( ) 选择题 () 0 时, - cos 是 的 ( ) (A) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 () 当 0 时, f( ) = e 是 的 ( ) (A) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (3) 设 α = - +, β = - 3, 当 时 ( ) (A)α 与 β 是等价无穷小 (C)α 是比 β 低阶的无穷小 (B) 同阶无穷小, 但不等价 (D) 低阶无穷小 (B) 同阶无穷小, 但不等价 (D) 低阶无穷小 (B)α 是比 β 高阶的无穷小 (D)α 与 β 是同阶无穷小 (4) 如果 时, 是比高阶的无穷小, 则 a b c 应满足 ( ) a + b + c + (A) a = 0, b =, c = ; (C) a 0, b 和 c 为任意常数 (5) 时与无穷小 - 等价的是 ( ) (B) a 0, b =, c 为任意常数 (D) a b c 都可以是任意常数 (A) - 3 (B) - (C) - (D) - (6) 下列极限中, 值为 的是 ( ) (A) (C) π π si π si (7) 当 0 时, 与 等价的无穷小量是 ( ) π si (B) 0 π si (D) π (A) si - (B) - si (C) - si (D) - cos (8) 设 0 时,( + a ) - 与 cos - 是等价的无穷小, 则 a = ( ) (A) 3 (B) 3 (C) - 3 (D) - 3

37 30 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 3 填空题 () 已知当 0 时, + a - 与 si 是等价无穷小, 则 a = () 当 0 时, 函数 α( ) = arcta 是 的无穷小 ; 函数 β( ) = e 3 + arcsi - 是 的无穷小 ; 函数 γ( ) = 3( ) 是 的无 穷小 4 计算下列各题 l + () arcta e - ; () 0 si ; - cos( - cos ) (3) 0 si l( + ) ; (4) si - ta 0 ( )( + si - ) ; m - a - + b (5) 0 ; (6) - cos 倡 5 确定 α 的值, 使 + ta - + si ~ 4 α ( 0) 判断题 8 函数的连续性与间断点 () f( ) 在其定义域 ( a, b) 内一点 0 处连续的充分必要条件是 f( ) 在 0 既左连续 又右连续 ( ) F( ) = () f( ) 在 0 有定义, 且 0 f( ) 存在, 则 f( ) 在 0 连续 ( ) (3) f( ) 在其定义域 ( a, b) 内一点 0 连续, 则 0 f( ) = f ( ) 0 ( ) (4) f ( ) 在 ( a, b) 内除 0 外处处连续, 点 0 是 f ( ) 的可去间断点, 则 f( ), ( a, 0 ) 或 ( 0, b) 在 ( a, b) 内连续 ( ) f( ), = 0 0 (5) f( ) 在 = 0 不连续, 则 f( ) 在 0 处无定义 ( ) 选择题 () f( ) 在点 0 处有定义是 f( ) 在点 = 0 有极限的 ( ), f( ) 在点 0 处有定 义是 f( ) 在点 = 0 连续的 ( ) (A) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (B) 充分条件而非必要条件 (D) 无关条件 () 0 f( ) = f( 0 ) 是 f( ) 在 = 0 连续的 ( ) (A) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (3) 若 0 f( ) = a, 则必有 ( ) (B) 充分条件而非必要条件 (D) 无关条件 (A) f( ) 在 0 点连续 (B) f( ) 在 0 点有定义 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

38 第一章函数 极限与连续 3 (C) f( ) 在 0 的某去心邻域内有定义 (D) a = f( 0 ) (4) f( ) = (A) 连续点 - -, <, (C) 跳跃间断点 (5) f( ) = + si 0, = 0,, < 0, 则 = 是 f( ) 的 ( ) (B) 可去间断点 (D) 无穷间断点 则 = 0 是 f( ) 的 ( ) cos, > 0 (A) 连续点 (B) 可去间断点 (C) 跳跃间断点 (D) 振荡间断点 (6) 设函数 f( ) = ( - ) co t, 则定义 f(0) 为 ( ) 时, f( ) 在 = 0 处连续 (A) e (B) e (C) - e (7) 设 0 为 f( ) 的间断点, 则必有 ( ) (A) f( ) 在 0 处没有定义 (B) f( ) 在 0 处有定义, 但 0 f( ) 不存在 (C) f( 0 ) 有意义, 0 f( ) 也存在, 但不相等 (D) 上述 3 种情况之一会出现 (8) 设 f( ) = ( + )arcta -, ± 0, = ± (D) 无论怎样定义 f(0), f( ) 在 = 0 处也不连续, 则 ( ) (A) f( ) 在点 连续, 在点 - 间断 (B) f( ) 在点 间断, 在点 - 连续 ; (C) f( ) 在点, - 都连续 (9) 设 F( ) = = 0 是 F( ) 的 ( ) (A) 连续点 (C) 第二类间断点 3 设 f( ) = (D) f( ) 在点, - 都间断 f( ), 0, 其中 f( ) 在 = 0 处可导且 f (0) 0, f (0) = 0, 则 f(0), = 0 e -, < k, = a + 4, > 为何值时, f( ) 在 = 处连续? (B) 第一类间断点 (D) 以上都不是, 当 () a 为何值时, f( ) 在 = 处的极限存在? () k

39 3 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 4 指出下列函数的间断点并判定其类型 () f( ) = ; () f( ) = - ( - ) ; (3) y = - 倡 5 设 f( ) = (a + b) + b , 4, =, 试确定 a 和 b 的值, 使 f( ) 在 = 连续 9 连续函数的运算与初等函数的连续性 判断题 () 若 f( ) + g( ) 在 = a 处连续, 则 f( ) 在 = a 处连续 ( ) () 若 f( ) 和 g( ) 在 0 都不连续, 则 f( ) + g( ) 在 0 一定不连续 ( ) (3) 若 f( ) g( ) 在 0 连续, 则 f( ) 在 0 一定连续 ( ) (4) f( ) = si e 在 ( -, + ) 上连续 ( ) (5) f( ) 和 g( ) 在 = 0 处连续, 则 f ( ) - f ( ) g( ) + 4 g( ) 在 = 0 处也 连续 ( ) 选择题 () 下列结论正确的是 ( ) (A) 如果 f( ) 在 0 处连续, g( ) 在 0 处间断, 则 f( ) g( ) 在 0 处间断 (B) 如果 f( ) 和 g( ) 在 0 处都间断, 则 f( ) + g( ) 在 0 处必间断 (C) 如果 f( ) 在 0 处连续, g( ) 在 0 处间断, 则 f( ) + g( ) 在 0 处必间断 (D) 如果 f( ) 在 0 处连续, 则 f( ) 在 0 处连续 () 对初等函数来说, 其连续区间一定是 ( ) (A) 其定义区间 (B) 闭区间 (C) 开区间 (D) ( -, + ) 求函数 f( ) = 3 的连续区间 求下列极限 l( + ) + ta - + si () 0 ; () si5 0 e (3) 3 + ; (4)( + e ) 0 倡 5 + ) 内连续 设函数 f ( ) = sia - cos, < 0 b, = 0 [l - l( + )], > 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo -, 问 a 和 b 为何值时, f ( ) 在 ( -, ;

40 第一章函数 极限与连续 33 0 闭区间上连续函数的性质 判断题 () f( ) 在 (a, b) 内连续, 则 f( ) 在 ( a, b) 内一定有最大值和最小值 ( ) () 设 f( ) 在 [ a, b] 上连续且无零点, 则 f( ) 在 [ a, b] 上恒为正或恒为负 ( ) (3) f( ) 在 [ a, b] 上连续且单调, f( a) f(b) < 0, 则 f( ) 在 ( a, b) 内有且仅有一个 零点 ( ) (4) 若 f( ) 在闭区间 [ a, b] 有定义, 在开区间 ( a, b) 内连续, 且 f( a) f(b) < 0, 则 f( ) 在 ( a, b) 内有零点 ( ) (5) f( ) 在 (a, b) 上连续, 则在 ( a, b) 上有界 ( ) (6)ta π 4 选择题 = > 0, ta 3π 4 = - < 0, 所以 ta 在 π 4, 3π 4 内必有零点 ( ) () 函数 f( ) 在 [ a, b] 上有最大值和最小值是 f( ) 在 [ a, b] 上连续的 ( ) (A) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (B) 充分条件而非必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 () f( ) 在 [a, b] 上连续, f ( a) f ( b) < 0, a < < < 3 < 4 < 5 < 6 < b, 且 f( ) = f( 3 ) = f( 6 ) =, f( ) = f( 4 ) = 0, f( 5 ) = -, 则应判断 f( ) 在 ( a, b) 内 的零点个数 ( ) (A) (B) 3 (C) 4 (D) 5 (3) 下列命题错误的是 ( ) (A) f( ) 在 [ a, b] 上连续, 则存在, [ a, b], 使 f( ) f( ) f( ) (B) f( ) 在 [a, b] 上连续, 则存在常数 M, 使得对任意 [a, b], 都有 f( ) M (C) f( ) 在 [ a, b] 内连续, 则在 ( a, b) 内必定没有最大值 (D) f( ) 在 [ a, b] 内连续, 则在 ( a, b) 内可能既没有最大值也没有最小值 (4) 已知函数 f( ) 在 a, b 上连续, 且 f( a) f(b) 0, 则存在一点 ξ ( ), 使 得 f(ξ) = 0 (A)( a, b) (B)( a, b] (C) [ a, b) (D) a, b 3 证明方程 3 + = 4 至少有一个实根介于 0 和 之间 4 若函数 f( ) 在闭区间 [ a, b] 上连续, f ( a) < a, f ( b) > b 证明 : 至少有一点 ξ ( a, b), 使得 f(ξ) = ξ 倡 5 设 f( ) 是周期为 的连续函数, 求证 : 方程 f( ) - f( - ) = 0 在任何长度等于 的闭区间 [ a, a + ] 上至少有一个实根 倡 6 设 f( ) 在 ( a, b) 上为非负的连续函数, a < < < < < b, 则在 ( a, b) 内 必有 ξ, 使 f(ξ) = f ( ) f( ) f( )

41 34 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 五 自测题 选择题 ( 每题 分, 共 0 分 ) () 设 f( - ) = + +, 则 f( ) = ( ) (A)( + ) (B) (C) (D)( + ) () 设 f( ) = -, - < 0, 0 <, 则 0 f( ) = ( ) (A) - (B) (C) 0 (D) 不存在 (3) 已知 0 f (3 ) =, f( ) 则 0 = ( ) (A)3 (B) 3 (C) 3 4 (D) 4 3 (4) ( ) = ( ) ( A)3 (B) (C)6 (D) (5) 下列等式成立的是 ( ) si3 (A) = 3 (C) 0 arcsi = (D) 0 (6) 下列结论正确的是 ( ) si( + 3) (B) 3 = + 3 si(si ) (A)0-000 是无穷小 (B) cos 当 时是无穷大 (C) si 当 0 时是无穷小 (D) l 当 0 + 时是无穷小 (7) 设 f( ) = -, < 0,0 < -, (A) = 0, = 处都连续 (C) = 0 处连续, = 处间断, 则 f( ) 在 ( ) = (B) = 0, = 处都间断 (D) = 0 处间断, = 处连续 (8) 当 0 时, α 与 si 3 ( ) 为等价无穷小, 则 α = ( ) ( A) (B)3 (C)5 (D)6 (9) 下列函数在点 = 0 处均无定义, 其中 ( ) 能适当补充定义, 使得所构成的函 数在 = 0 处连续 (A) f( ) = e, < 0, > 0 (C) f( ) = si (B) f( ) = si (D) f( ) = - + (0) 如果 f ( ) 在 a, b 上连续, 无零点, 但有使 f ( ) 取正值的点, 则 f ( ) 在 a, b 上 ( ) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

42 第一章函数 极限与连续 35 (A) 可取正值也可取负值 (C) 恒为负值 填空题 ( 每空 3 分, 共 5 分 ) (B) 恒为正值 (D) 为非负值 关系 () 若 f( ) = () 设函数 f ( ) = si, > 0 a +, < 0 a + b, 0 sib, 当 a = 时, 0 f( ) 存在, > 0, 在点 = 0 处连续, 则 a 和 b 应满足 (3) 设 + - a - b = 0, 则 a =, b = (4) 设 + a - a = 9, 则 a = 3 求下列极限 ( 每题 4 分, 共 0 分 ) ( - 3) 0 (3 + ) 30 ta( + ) () 50 ; () ( + ) (3) ( + cos ) ; (4) + l( + )l (5) 讨论下列函数在定义域内或给定点处的连续性 ( 每题 7 分, 共 分 ) () f( ) = () f( ) = e - (3) f( ) = si, = 0, < 0 ( + - ), 0 0, = 0 +, > 0, 在 = 0 处 ;, 在其定义域内 ; - - +, 在其定义域内 - 5 求下列函数的间断点, 并指出其类型 ( 每题 5 分, 共 5 分 ) () y = - - ; () y = siπ ; (3) y = ( + ) ; ; 6 (9 分 ) 证明方程 si + + = 0 在开区间 - π, π 内至少有一个根 六 同步训练及自测题参考答案与提示 () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ; (6)

43 36 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 3 ()(C) ; ()(C) ; (3)(C) ; (4)(A) 3 () 算子, 泛函, 变换, 函数 ; ()log (4) ( -,0] ; [,e] 4 () y = e u, u = v 5, v = cos w, w = p 3, p = + ; () y = u, u = v, v = si ; (3) y = e u, u = g( )l f( ) 倡 5 + -, - < < ; (3) -, ; 提示取 y = 0, 依题意 f(0) = f( ) f(0), 由 f(0) 0 及 的任意性得 f ( ), 因此 f(00) = () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ()(B) ; ()(D) ; (3)(B) ; (4)(B) ; (5)(D) ; (6)(B) 3 () 略 () 提示 = + 倡 4 提示因为 当 > N 时, a 因为 λ = 0, 所以 a = 0 a = r,0 r <, 取 ε< - r <, 则存在 N > 0 - r < ε, 即 a < ε+ r = λ <, 从而 0 < a < λ 4 () ; () ; (3) ()(C) ; ()(D) ; (3)(C) ; (4)(C) 3 (),0, 不存在 ; (),5,0 ; (3), 4, 不存在,, 4, 不存在 4 () = - ; () = 6 + < 6 倡 5 提示因为 0 f( ) = A 0, 所以由极限的保号性, 存在 0 的某个去心邻域, 使得在该邻域内 f( ) > A, 即 f( ) < A () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ()(C) ; ()(C) ; (3)(D) ; (4)(D) 3, 或 + 4 () 时为无穷小量, 0 + 时为无穷大量 ; () 0 时为无穷小量 ; (3) + 时为无穷大量, - 时为无穷小量 ; (4) 0 + 时为无穷大量, 0 - 时为无穷小量, 0 时极限不存在 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

44 第一章函数 极限与连续 37 倡 5 提示取 () = π ( =,, ), 有 时, () 0( () 0), 则 f( () ) = cos( π) = 再取 () = π + π ( =,, ), 有 时, () 0 ;( () 0), 而 f( () ) = cos π + π = 0, 所以极限不存在 5 () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ()(C) ; ()(D) ; (3)(A) 3 () 8 ; () - 3 ; (3) ; (4) ; (5)0 ; (6) 5 ; (7) ; (8)4 ;(9)0 倡 4 倡 5 倡 6 a =, b = - 8 a =, b = - () - 4 ; () ; (3) 提示分子分母同除以 时, 应注意 < 0, 放在根号中时应注意符号, 故 原式 = = - (4) 提示分子分母同除以 -, 将原式进行转化, 故 = - 50 ; 原式 = si = - = 6 () ; () ; (3) ; (4) ; (5) () 5 ; ()e - 5 ; (3)3 ; (4)e ab 3 ()(D) ; ()(D) ; (3)(A) ; (4)(B) ; (5)(B) 4 ()e - ; () ; (3)π ; (4)e - 6 ; (5) ; (6)e - ; (7) 3 ; (8) 3 ; (9) 5 () 提示 ; () 提示 0 <! = 3 ( - ) = 3 - < - 6 () 提示 > 0, = + = < 有界 ;

45 38 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) = ( + )( + - ), 利用归纳法可得数列单调增加 () 提示 0 < <, 所以 有界, + - = - = ( - ) > 0, 可得数列单 调增加 () ; () ; (3) ; (4) ()(B) ; ()(B) ; (3)(D) ; (4)(C) ; (5)(C) ; (6)(C) ; (7)(A) ; (8)(C) 3 () ; () 高阶, 同阶, 等价 4 ()0 ; ()0 ; (3) 8 ; (4) - 3 ; (5) - a - b m ; (6) 倡 () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ()(D),(A) ; ()(A) ; (3)(C) ; (4)(A) ; (5)(C) ; (6)(A) ; (7)(D) ; (8)(B) ; (9)(B) 3 () a = - 3 ;() k = 9 4 () = -, 可去间断点 ; () = -, 无穷间断点, = 0, 跳跃间断点, =, 可去间断点 ; (3) = 0, 可去间断点, =, 无穷间断点 倡 5 a = 4, b = - 提示 f( ) = ( a + b) + b 0 为型知, 分子极限为零, 得 a = - b, 再由 f( ) = f(), 得 - b = 4, 故 a = 4, b = - () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ()(C) ; ()(A) 3 ( -,),(,3),(3, + ) 4 () 5 ; () 4 ; (3) ; (4) 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 倡 5 a =, b = - 0 () ; () ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ()(A) ; ()(C) ; (3)(C) ; (4)(D)

46 第一章函数 极限与连续 39 3 提示令 f( ) = 3-4 +, f( ) 在 0, 上连续 4 提示令 g( ) = f( ) -, g( ) 在 a, b 上连续, 利用零点定理即可得证 倡 5 提示令 g( ) = f( ) - f( - ), 设 a 为任意实数, 注意到 g( a) = f( a) - f( a - ), g( a + ) = f( a + ) - f( a) = f( a - ) - f( a) = - g( a) 如果 g( a) = 0, 则结论自然成立 ; 如果 g( a) 0, 则由于 g( a + ) 和 g( a) 异号, 由零 点定理知, 至少存在一点 ξ ( a, a + ), 使得 g(ξ) = 0 倡 6 自测题 提示记 C = f ( ) f( ) f( ), mi f( ) C ma f( ), 对 f( ) [, ] [, ] 在 [, ] 上使用介值定理 ()(A) ; ()(D) ; (3)(B) ; (4)(A) ; (5)(D) ; (6)(C) ; (7)(D) ; (8)(D) ; (9)(B) ; (0)(B) ()0 ; () a = b ; (3) a =, b = - ; (4)l3 3 () () 连续 ; () 连续 ; (3) f( ) = ; () ; (3)0 ; (4)3l ; (5)e = -, 0,, 0 < = > 在 ( -, - ),( -,0),(0,),(, + ) 内是初等函数, 是连续的 ; 在 = ± 处, 利用函数连续的定义可知是间断的 5 () = 是可去间断点, 属第一类间断点 ; = - 是无穷间断点, 属第二类间 断点 ; () = 0, ±, ±, 都是无穷间断点, 属第二类间断点 ; (3) = 0 是可去间断点, 属第一类间断点 6 提示利用零点定理, 可得结论

47 第二章导数与微分 一 基本概念 性质与结论 导数 ) 概念 () 导数的定义 : f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f( ) - f( 0 ) f ( 0 ) = Δ 0 或 f ( 0 ) = Δ 0-0 导数定义的等价形式 : f ( 0 ) = Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ = t 0 f( 0 + t) - f( 0 ) t f( 0 + Δ ) - f( 0 ) () 左导数 : f - ( 0 ) = Δ 0 - Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) (3) 右导数 : f + ( 0 ) = Δ 0 + Δ ) 性质与结论 () 导数 f ( 0 ) 的几何意义 : f( 0 + h) - f( 0 ) = h 0 h 函数 y = f( ) 在点 0 处可导, 在几何上相当于曲线 y = f( ) 在点 ( 0, f( 0 )) 处具 有不垂直于 轴的切线, 切线的斜率等于 f ( 0 ) () 导数 f ( t0 ) 的物理意义 : 作变速直线运动 s = f( t) 的物体在 t0 时刻的瞬时速度 (3) 曲线 y = f( ) 在 ( 0, y0 ) 处的切线方程 : y - y0 = f ( 0 )( - 0 ) ; 法线方程 : y - y0 = - (4) 导数存在的充要条件 : f ( 0 ) = A 骋 f - ( 0 ) = f + ( 0 ) = A (5) 可导与连续的关系 : ( - 0 ), f ( 0 ) 0 f ( 0 ) 函数可导痴函数连续, 但函数连续却不一定可导 即连续是可导的必要条件, 但不 是充分条件 求导法则 ) 求导的四则运算法则 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 设函数 u( ) 和 v( ) 都在点 处可导, 则它们的和 差 积 商 u ± v u v u v 在点 处也可导, 且 (u ± v) = u ± v ; (uv) = u v + uv ; 3 u v = u v - uv, v( ) 0 v

48 第二章导数与微分 4 ) 复合函数求导法则 ( 链式法则 ) 设函数 u = φ( ) 在 0 处可导, 而 y = f(u) 在对应点 u0 = φ( 0 ) 处可导, 则复合函数 y = f[φ( )] 在点 0 d y 处可导, 且 d = 0 = ) φ ( ), d y 或 f (u0 0 d = 0 = dy du u = φ( 0 ) du d = 0 d y 即若 y 通过的中间变量 u 是 的函数, 则先利用 y = f( u) 求 d u, 再利用 u = φ( ) 求 d u 出 d, d y 最后作乘积即得到 d, d y 即 d = d y d u d u d, 即 由外向里, 逐层求导 3) 反函数的求导法则 设 = φ( y) 在 I y 上单调 可导且 φ ( y) 0, 则其反函数 y = f( ) 在相应区间 I 上单 d y 调可导, 且 d = φ ( y), 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 4) 隐函数的求导法则 () 由方程 F(, y) = 0 确定的隐函数 : 直接将方程两边对 求导, 这时 y 应视为中间变量, 遇到 y 的函数应看成是 的复 d y 合函数, 然后从所得关系式中解出 d, 即为所求的隐函数的导数 其实质是复合函数 求导 () 由参数方程 3 高阶导数 ) 概念 = φ( t) 确定的函数的导数 : y = ψ( t) d y d = d y d t d d t = ψ ( t), φ ( t) 0 φ ( t) f ( - ) ( + Δ ) - f ( - ) ( ) 阶导数 : f ( ) ( ) = Δ 0 Δ ) 公式与结论 () 求乘积的高阶导数的莱布尼茨公式如下 : ( uv) ( ) = u ( ) v + u ( - ) v + () 几个常用的高阶导数公式如下 : ( μ ) ( ) = μ( μ - ) ( μ - + ) μ - ; ( ) + = ( - )! + ;(l )( ) 3 ( a ) ( ) = a l a ;(e ) ( ) = e ; 4 (si k) ( ) = k si k + π ( - ) u ( - ) v +! ( - ) ( - k + ) u ( - k) v ( k) + + uv ( ) k! ; = ( - ) - ( - )! ;

49 4 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 5 (cos k ) ( ) = k cos k + π 4 微分 ) 概念 微分 : 若函数的增量 Δ y = f( 0 + Δ ) - f( 0 ) = AΔ + ο( Δ ), 称 y = f( ) 在 0 可 微, 记微分 d y = AΔ ) 性质与结论 () 可微的条件 : y = f( ) 在点 0 处可微的充分必要条件是 f ( ) 点 0 处可导, 且 d y = f ( 0 ) Δ () 微分的几何意义 : 函数 y = f ( ) 在点 0 处的微分 d y 就是曲线 y = f ( ) 在点 M( 0,y0 ) 处的切线的纵坐标的增量 (3) 微分的运算法则 : 从函数的微分和导数的关系 d y = f ( )d 可知, 要计算函数 的微分, 只要求出函数的导数, 再乘以自变量的微分即可, 由基本初等函数的导数公式 及求导的运算法则可直接得到相应的微分基本公式和微分运算法则 (4) 复合函数的微分法则 一阶微分的形式不变性 设 y = f( u), 则 y = f( u) 的微分为 d y = f ( u)d u 若 y = f( u), 而 u = φ( ), 对于由 y = f( u) 和 u = φ( ) 复合而成的复合函数 y = f[ φ( )] 的微分为 : d y = y d = f ( u) φ ( )d, 但 φ ( )d = d u, 故 d y = f ( u) d u (5) 绝对误差限 : δy = f ( ) δ (6) 相对误差 : δy y = f ( ) f( ) δ 利用定义及四则运算法则求导数 二 典型例题分析 f( ) 例 设 f( ) 在 = 3 处连续, 且 3-3 =, 求 f (3) 续, 所以 g( ) 解由于未给 f( ) 的表达式, 只能用定义求函数 f (3), 又因为 f( ) 在 = 3 处连 f(3) = 3 f( ) = 3 ( - 3) 于是 f (3) = 3 f( ) - 3 = ( - 3) 3 3 f( ) - f(3) - 3 评注 () 抽象函数的求导问题, 必须用定义求 f( ) = 3-3 = f( ) - 3 = 0 = 0, () 在求函数 f( ) 的极限时, 将 f( ) 改写成 [ f( ) ± g( )] 碢 g( ) 或 [ f( ) g( )] f( ) 或 g( ) g( ) 的形式, 是常用的技巧 ( 后面两个式子要加条件 g( ) 0) 例 若 f( ) 在 0 处可导, 判断下述极限是否存在? 其逆命题成立吗? 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

50 第二章导数与微分 43 f( 0 + t ) - f( 0 ) (A) t 0 ; (B) t Δ 0 (C) f 0 + 解 () 若 f( ) 在 0 等于 f ( 0 ), 尤其是 (B) 式 = Δ 0 Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 - Δ ) Δ f( 0 + si ) - f( 0 ) - f( 0 ) ; (D) 0 处可导, 则 (A) (B) (C) (D) 式的 4 个极限都存在, 且都 f( 0 + Δ ) - f( 0 - Δ ) Δ f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ + f( 0 - Δ ) - f( 0 ) - Δ ; = f ( 0 ) + f ( 0 ) = f ( 0 ) () 对于本题的逆命题, 除了 (D) 式之外, 极限 (A) (B) (C) 式存在都不能确保 f ( 0 ) 存在 事实上, 在 (A) 式中, 由于 t > 0, (A) 式极限的存在只能保证 f + ( 0 ) 存在, 而不能得出 f ( 0 ) 存在 在 (B) 式中, 对于任意以 = 0 为对称轴的函数, 比如 f ( ) = - 0, f ( ) = ( - 0 ) 3 等函数, 都有 f( 0 + Δ ) - f( 0 - Δ ) 0, 从而 (B) 式的极限为 Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 - Δ ) Δ 0 但上述函数在 0 处显然不可导 在 (C) 式中, 由于是离散地趋近于 0, 故它不能起到导数定义中 Δ 的作用 例如 f( ) = si π ( 0), f(0) = 0, f 0 + 续, 所以, f( ) 在 = 0 处必不可导 极限 (D) 式存在可以导出 f( ) 在 0 处可导 - f(0) = 0, 但 f ( ) 在 = 0 处不连 例 3 已知 f( ) 是周期为 5 的连续函数, 它在 = 0 的某邻域内满足关系式 f( + si ) - 3 f( - si ) = 8 + o( ) 其中 o( ) 是当 0 时比 高阶的无穷小, f( ) 在 = 处可导, 求曲线 y = f( ) 在点 (6, f(6)) 处的切线方程 解因为 f ( ) 的周期为 5, 故 f ( ) 的周期也为 5 且 f (6) = f () = 0, f (6) = f () 由题意知, 求此问题归结为求 f() 及 f () 由连续性有 0 [ f( + si ) - 3 f( - si )] = 0 [8 + o( )] = 0, 即 f() - 3 f() = 0, 故 f() = 0 下面考虑求 f () 即 0 因为 f( + si ) - f() si f( + si ) 3 f( - si ) 0 - si si + 3 f( - si ) - f() - si 8 + o( ) = 0 = 8, si 所以要求的切线方程为 : y - f() = f ()( - 6), 即 y = ( - 6) 复合函数求导法 例 4 设 y = 3 ta -, 求 d y d = f () + 3 f () = 8, 故 f () =

51 44 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 所以 解该函数是典型的复合函数, 可看作是由 y = 3 u, u = ta v, v = - 复合而成 d y d = (3 u ) u (ta v) v - = l3 sec - ta - 3 = 3 u l3 sec v - ( - ) 评注对复合函数求导时要由外到内逐层求导 同时加入导数的四则运算, 要理清 求导的先后顺序 例 5 下面求导运算正确吗? 如有错误, 请更正 () si + cos π 3 (3) a = cos - si π 3 ;() l - l = = - ( a) ( a) = - a (a) a = - - = - ; a (a) a = - a (a > 0) 解 () 错误 由于 cos π 3 是常数, 其导数应为 0, 而不是 si π 3 正确结果是 : si + cos π 3 = cos l () 错误 因为 (l) = 0, 而不是 其次 l = = - = ( - l ) = - 正确的结果是 : l - l = ( - l ) = - (3) 结果正确, 但是求导方法不好, 简便方法应先提出常数因子 : a = - a 3 例 6 求下列函数的导数 () y = si(3 + ) ; () y = - ; (3) y = e co s ; (4) y = l[si( - 5)] ; (5) y = arctae ; (6) y = si(e ) 解 () y = cos(3 + ) (3 + ) = 3cos(3 + ) () y = ( - ) - ( - ) = - ( - ) - (3) y = e co s (cos ) = e co s ( - si ) ( ) = - si e co s (4) y = = a a si( - 5) [si( - 5)] = cos( - 5) ( - 5) si( - 5) = cot( - 5) = - 或者 - = 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

52 第二章导数与微分 45 (5) y = + (e ) (e ) = (6) y = (sie ) - (sie ) = 试问下列 3 题的求导方法正确吗? + e e ( ) = sie cose e ( + e ) cose e = e sie ()[si( - )] = cos( - )( ) ; ()[l(3-5)] = (3) arcta = + ( ) 指出错误 ( 这是初学者最易犯的错误 ), 并改正 例 7 求下列函数的导数, 其中函数 f 和 g 均可导 () y = f(si ) ; () y = arcsi f( ) + g(arcta ) 解 () y = f (si ) (si ) = f (si )cos () y = - f ( ) f ( ) - + g (arcta ) ( ) ; 评注求导数时应根据具体情况, 确定先用复合函数的链式法则还是先用四则运算 求导法则 3 分段函数求导法 例 8 设 求 f (0) 解因为 0 f( ) - f(0) - 0 f( ) = 故 f (0) 存在, 且 f (0) = e 例 9 设 f( ) = 的可导性 解因 f - (0) = 0 - f + (0) = cos si ( + ), 0 0, = 0 si = 0 ( + ) = e, g( ), 0 f( ) - f(0) - 0 f( ) - f(0) - 0, > 0, 其中 g( ) 是有界函数, 试讨论 f( ) 在 = 0 处 = 0 + 所以 f( ) 在 = 0 处可导, 且 f (0) = 0 g( ) = cos - 0 例 0 设 f( ) = ( - ), 求 f ( ), = g( ) = 0 ; cos = = 解当 0 或 时, ( - ) 0, ( - ) = ( - ) 3 = 0

53 46 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 当 0 < < 时, ( - ) < 0, ( - ) = - ( - ), 所以 f( ) = 再求 f ( ), 当 < 0 或 > 时, ( - ), 0 或 时 - ( - ),0 < < 时 f ( ) = [ ( - )] = 3-4 ; 当 0 < < 时, f ( ) = [ - ( - )] = 在 = 0 处, f - (0) = 0 - f + (0) = 0 + f( ) - f(0) - 0 f( ) - f(0) - 0 f - (0) = f + (0), 故在 = 0 处可导且 f (0) = 0 在 = 处, f - () = - f + () = 0 - f( ) - f() - f( ) - f() - f - () f + (), 故在 = 处不可导 综上所述 f ( ) = 在 = 处 f ( ) 不存在 ( - ) - 0 = = 0 ; ( - ) - 0 = = ( - ) - 0 = = - 4 ; - - ( - ) - 0 = = , 0 或 > 时 ,0 < < 时 评注 () 函数在分段点两侧由同一个式子定义, 只是在分点的函数值单独定义, 这时需要依定义求导数 () 函数在分段点两侧由不同式子定义, 这时需从单侧导数入手, 然后依导数存在 的充分必要条件判定导数存在与否 再求导 (3) 对含有绝对值符号的函数求导时, 应化掉绝对值符号, 并将函数表为分段函数, 例 设函数 f( ) = () 连续 ;() 可导 ;(3) 导函数连续 解 () 当 α > 0 时, 0 α = 0, si, 所以 0 f( ) = 0 α si = 0 = f(0) ; 而 α 0 时, 0 f( ) = 0 α si 不存在 故 α > 0 时, f( ) 在 = 0 处连续 () f (0) = 0 f( ) - f(0) α si, 0, 问 α 满足什么条件, 函数 f( ) 在 = 0 处 0, = 0 = 0 α - si 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

54 第二章导数与微分 47 当 α > 时, f (0) = 0, α 时, f (0) 不存在, 所以 α > 时, f( ) 在 = 0 处可导 (3) 0 时, f ( ) = α - si - α - cos 使函数 当 α > 时, 0 f ( ) = 0 = f (0) ; 而 α 时, 0 f ( ) 不存在, 所以 α > 时, f( ) 在 = 0 处的导函数连续 例 设函数 f( ) 在 0 时有定义, 且具有二阶连续导数, 试确定 a b 的值, F( ) = 在 ( -, + ) 内具有二阶导数 f( ), 0 a( - 0 ) + b( - 0 ) + c, > 0 解由于 F( ) 在相应的开区间上都是二阶可导的, 所以只需考虑在分段点处函数 的可导性 要使函数在分段点处二阶可导, 函数需在此点处连续 可导且二阶可导 要使 F( ) 在 = 0 处连续, 有 F( - 0 ) = F( + 0 ) = F( 0 ) 痴 f( 0 ) = c F( ) 在 = 0 处可导, F - ( 0 ) = F + ( 0 ), 且 - 0 f( ) - f( 0 ) - 0 即为 f - ( 0 )) a( - 0 ) + b( - 0 ) + c - f( 0 ) = 痴 f ( + 0 ) = b( 此处 f ( 0 ) F( ) 在 = 0 处二阶可导, F - ( 0 ) = F + ( 0 ), 且 - 0 f ( ) - f ( 0 ) - 0 = + 0 f ( 0 ) 即为 f - ( 0 ), 所以, a = 内具有二阶导数 a( - 0 ) + b - f ( 0 ) - 0 f ( 0 ) 例 3 设 f( ) = ta 3 - si 3, 求 f ( ) 解当 0 时, f ( ) = (sec 3 - cos 3 ) ; 3 3 当 = 0 时, 有 f (0) = 0 故 f ( ) = f( ) - f(0) 痴 f ( 0 ) = a, a = f ( 0 ) ( 此处, b = f ( 0 ), c = f( 0 ) 时, F( ) 在 ( -, + ) ta 3 - si 3 = 0 = (sec 3 - cos 3 ), 0 3 3, = 0 0 ta 3 评注这一例子说明, 初等函数的导数不一定还是初等函数 4 高阶导数 例 4 设 y = ta, 求 y y y 碶 ; 3 - cos 3 3 =

55 48 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 解 y = sec ; y = ( y ) = sec ta ; y 碶 = ( y ) = sec 4 + 4sec ta 评注一元函数的 阶导数本质上是 - 阶导数的导数, 因此, 高阶导数无论是概 念方面还是计算方法上都没有超出一阶导数的新内涵 求 阶导数的常用方法有 3 种 () 直接法 求出函数的前几阶导数, 分析所得结果, 找出规律, 然后写出 阶导数 的表达式, 再用数学归纳法证明 () 间接法 将给定的函数通过化简或变量代换转化为熟知的函数来求高阶导数 (3) 利用莱布尼茨公式 例 5 设 为正整数, 证明等式 ( - e ) ( ) = ( - ) + e 证当 = 时, 左端 = (e ) = - e = ( - ) + e = 右端 设当 =,,, k 时, 等式成立, 则 = k + 时, 左端 = ( k e ) ( k + ) = ( k e ) ( k) = ( k k- e ) ( k) + ( - k- e ) ( k) = k ( - ) k k+ e - ( k - e ) ( k - ) = ( - )k+ k + e = 右端, = k ( - ) k k + e - 即当 = k + 时等式成立, 从而对一切正整数, 都有 例 6 设 y = arcta, 求 y ( ) (0) 解 y = 此将 y = ( - e ) ( ) = ( - ) + e ( - ) k- k e +, y (0) = ; y = - ( + ), y (0) = 0, 再直接计算将越来越复杂 为 + 加以改造得 两边对 求 阶导数得 将 = 0 代入得 ( + ) y = ( + ) y ( + ) + y ( ) + ( - ) y ( - ) = 0, y ( + ) (0) = - ( - ) y ( - ) (0), 因为 y (0) = 0, 故 y (0) = y (4) (0) = = y ( k) (0) = 0 又因为 y (0) =, 故 y 碶 (0) = - y (0) = -!, 例 7 设 y = 3 si, 求 y (0) (0) 解利用莱布尼茨公式 由 y (0) ( ) = 0 k = 0 y (5) (0) = y 碶 (0) = ( - ) 4! y ( k+ ) (0) = ( - ) k ( k)! 3 C k 0 (si ) (0 - k) ( 3 ) ( k) = C k 0 (si ) (0 - k) ( 3 ) ( k) k = 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

56 第二章导数与微分 49 = C k 0 (si ) (0 - k) ( 3 ) ( k) + C 3 0 (si ) (7) ( 3 ) (3), k = 0 所以 y (0) (0) = C 3 0 si π 3! = 隐函数的导数 化简得 解得 例 8 设方程 l + y = arcta y 确定了隐函数 y = y( ), 求 y ( ) 解将方程两端同时对 求导, 得 + yy + y = + y + yy = y - y y = + y - y y - y 例 9 设函数 y = f( ) 由方程 e + y - cos( y) = e - 所确定, 求曲线 y = f( ) 在 0, 处的法线方程 解方程两边对 求导得 将 = 0 和 y = 代入上式得 y = 0 y = 故法线方程是 : y = + e + y ( + y ) + si( y)( y + y ) = 0 = -, 评注 () 求由方程 F(, y) = 0 所确定的隐函数 y = y( ) 的导数的方法是 : 在方 程两端对 求导, 求导过程中将 y 看成 的函数 ( 因而要用到导数的四则运算法则及复 合函数的求导法 ) 而得到含有 y ( ) 的方程, 由此方程即可解得 y 的表达式 () 若求 y = 0, 由于 ) 中所得 y 的表达式通常是用隐函数 y 及自变量 表示的, 所以, 在计算 = 0 时的导数时, 通常由原方程解出相应的 y0, 然后将 ( 0, y0 ) 一起代 入 y 的表达式中, 便可求得 y = 0 d 例 0 试从 d y = 导出 :() d y d y = - y y 3 ;()d3 d y = 3 - y y 碶 y 3 y 5 d 解因 d y = 所以 y () d d y () d3 d y 3 = d d y = d d y d d y d d y = d d y = d d y y = d d y - y y 3 = d d d d y = - y y y = - y y 3 - y y 3 d d y = - y 碶 y 3 - y 3 y y y 6 y = 3 y - y y 碶 y 5

57 50 高等数学学习指导与同步训练教程 ( 第二版 ) 评注这类题应把 看成 y 的函数, 即 = ( y) ; 应视 y = y ( ) = y [ ( y)] 为 y 的复合函数, 其中间变量为 利用复合函数求导法即可导出所得的结果 例 设函数 y = y( ) 由方程 e y + y = e 所确定, 求 y (0) 解当 = 0 时, 由方程知 y = 对方程两边关于 求导得 e y y + y + y = 0 将 = 0, y = 代入上式得 e y (0) + = 0, 即 y (0) = - e 再对上式两边关于 求导得 e y y + e y y + y + y + y = 0 再将 = 0, y =, y (0) = - 代入上式得 e e e + e y (0) + - e = 0, 即 y (0) = e 评注求隐函数的二阶导数, 一般有两种解法 () 先求出 y ( 注意, 结果中一般含有 y), 再继续求二阶导数 () 对方程两边同时求导两次, 然后再解出 y 无论哪一种解法, 在求导时, 都应该记住 y 是 的函数 在 y 的结果中, 如果含有 y, 则应用一阶导数的结果代入, 总之最后的结果中只能含有 y 如果求 0 点的二阶 导数, 应先求出对应的 y0 及 y ( 0, y 0 ), 然后代入求出的 y 中 6 先取对数再求导 例 试用较简单的方法求下列函数的导数 () y = l a + b ( - ) ; () y = a - b ( + ) 3 解 () 先利用对数性质把函数变形后再求导, 即 y = l a + b a - b = l( a + b) - l( a - b), y = b () 用对数求导法, 对原函数两边取对数 等式两边同时对 求导, 得 a + b - l y = l + l( - ) - 3l( + ), y y = , 即 y = y ( - )( - 5 ) = ( + ) 4 - b a - b = ab a - b 评注利用对数性质将求导过程进行简化的方法多用于处理对数函数 多个因式的 乘除法运算以及幂指函数的求导等 这一方法叫做对数求导法 d y 例 3 求 y = ( + ) si 的导数 d 解法一对数求导法 两边同时取对数得 l y = si l( + ), 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo