第1章函数的极限和连续函数

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好北强
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1 第 -7 节数列极限的例题和习题下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题, 初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的, 能够独立完成后面那些习题就更不容易. 因此, 你可以先粗读一下 ( 因为不管你读懂多少, 都暂时不会影响到你学习微积分 ), 有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它. 读一读它, 你会在做题方法上受到严格的训练. 件 : 条件 : 称一个数列 (,, ) 为无穷小量, 即 lim 0, 用 N 说法, 就是它满足条任意给定正数, 都有对应的正整数 N N( ), 当 N 时, 称一个数列 (,, ) 为无穷大量, 即 lim, 用 M N. 说法, 就是它满足任意给定正数 M, 都有对应的正整数 N N(M), 当 N 时, M. 特别,lim, 就是它满足条件 : 任意给定正数 M, 都有对应的正整数 N N(M), 使当 N 时, M. 而 lim, 就是它满足条件 : 任意给定正数 M, 都有对应的正整数 N N(M), 使当 N 时, M. 无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念, 即当 0 (,, ) 时, 若是无穷大量, 则是无穷小量 ; 若是无穷小量, 则是无穷大量. 在第 0 章 ( 看我做题 ) 中, 那些有关数列极限的习题, 如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话, 那么下面这些结论, 就必须用 N 说法才能够证明. 你看一看其中的证明, 可以学习到如何用 N 说法做数列极限证明题的方法. 例设有数列 (,, ). 证明 : 若有极限 lim, 则算术平均值的数列也有极限且 lim 证设 lim. 考虑 y lim. (,, ) ( ) ( ) ( ) y 任意给定正数. 因为 lim, 所以有正整数 N 使 ( N). 于是,

2 第章函数的极限和连续函数 5 ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( N ) ( N ) ( ) ( ) ( ) ( N ) ( N ) ( ) ( ) ( ) N 再取正整数 N N足够大, 使当 N 时, 右边第一项也小于. 这样, 当 N 时, 就会有 y, 即证明了有极限 lim lim 请注意... : 有极限 lim, 不一定有极限 lim! 考虑数列 ( ) :,0,,0,,0,,, 应用作为例的应用, 例如 ⑴ lim 3 lim 0 ; ⑵ 例若 0(,, ) 且有极限 lim, 则几何平均值的数列也有极限且 lim lim. z 5 (,, ) 3 3 lim lim. 证根据极限单调性, 必有 lim 0. 首先设 lim 0, 为任意给定的正数. 先取正整数 N 使 ( N), 则 N N N N N ( ) ( 你知道为什么吗? 见第 0 章题 33) 因此, 必有正整数 N N, 使当 N 时,, 即 lim 0 lim 注假若你知道几何平均值不超过算术平均值的话, 根据例的结论, 则有 0 0( )

3 6 第一篇微积分浅释 lim 0 lim. 所以其次, 设 lim 0, 为任意给定的正数 ( 不妨认为 ). 因为 lim, 所以有正整数 N 使从而有 ( N) ( ) z ( ) N N N 让, 则得 z lim ( 你知道为什么吗? 见第 0 章题 33) z 由于正数可以任意地小, 故有 lim, 即 lim lim 应用作为上述结论的应用, 若 0 (,, ) 且有极限 lim lim 这是因为且请你根据 lim lim lim lim lim lim lim ( ) 例 lim, 求极限 : 6 N, 则也有极限 ⑴ lim ( 答案 :e ); ⑵ lim! ( )( ) ( ( 答案 : e ) 4 ). 例 3 设有数列 (,, ). ⑴ 若 lim 0, 则必有单调增大数列 y, 使 lim y 且 lim( y ) 0 ; ⑵ 若 lim, 则必有单调减小数列 y, 使 lim y 0 且 lim( y ). 证下面证明 ⑴. 你可用类似的方法证明 ⑵. 设 lim 0. 根据数列极限的定义, 必有正整数 N 使 ( N) ; 同理, 必有正整数 N N 使 ( N ). 一般地, 必有正整数 N N 使

4 第章函数的极限和连续函数 7 ( ;,, N ) 现在, 当 N 时, 取 y 0 ; 当 N N时, 取 y ; 一般地, 当 N N 时, 取 y (,, ). 显然, 数列 y 是单调增大的且 lim y ; 另一方面, 由于所以有即 lim( y) 0. y y ( N N ;,, ) 0 lim y lim 0 ( 见第 0 章题 3) 注这里是根据数列极限的定义, 构造出了一个满足题中要求的数列种证明方法为构造性证明. y. 在数学中, 称这例 4 海因定理 ( 函数极限与数列极限的关系 ) () 有极限 lim f ( ) A 的充分必要条件是 : 对于以为极限的任何数列 ( ), 都有极限 lim f ( ) A ; () 有极限 lim f ( ) A 的充分必要条件是 : 对于任何数列 ( ), 都有极限 lim f ( ) A. 证为简单起见, 下面证明结论 (). 你可用类似的方法证明结论 (). 设为给定的任意正数. 若 lim f ( ) A, 则有正数, ( ) 当 0 时, 有 f ( ) A 又因为且 lim, 所以有正整数 N, 当 N 时,0 ; 根据结论 ( ), 即 lim f ( ) A. f ( ) A 反之, 设上面 () 中的条件满足.( 反证法 ) 假若 A 不是函数 f( ) 在点的极限, 用的话说, 就是 : 至少有一个正数 0, 不论取正数多么小, 总有对应的点, 使 0, 但 f ( ) A 0. 于是, 当取正数 (,, ) 时, 就会有相对应的点 (,, ), 使 0, 但 f ( ) A 0 0. 这说明, 虽然有 lim, 但 A 不是数列 f ) 的极限, 这与假设 lim f ( ) A 矛盾. ( 注海因定理就像是架在函数极限与数列极限之间的一座桥梁, 沟通了两者之间的关系. 因此, 不仅可以把数列极限看作函数极限的特例, 而且函数极限的某些结论, 根据海因定理, 7

5 8 第一篇微积分浅释可以用数列极限的相应结论来证明. 在有的微积分教科书中, 先讲数列极限的理论, 然后根据海因定理, 把有关数列极限的结论转移到函数极限上. 回答问题 ⑴ 一个数列 (,, ) 的前面有限个项 ( 如,,, ), 对该数列是否有极限或有提示 : 用夹挤规则证. 8 m 极限时的极限值有影响吗? ⑵ 正数数列的极限一定是正数吗? ⑶ 若 y (,, ) 且有极限 lim 与 lim y, 则有 lim lim lim y? ⑷ 有界数列一定有极限吗? 无界数列一定没有极限吗? lim y 还是有 ⑸ 若数列和 y 都没有极限, 那么数列 ( y ) 与 y 一定也没有极限吗? ⑹ 若数列有极限, 而数列 y 没有极限, 那么你对数列 y ) 是否有极限, 可以做出什么结论? ⑺ 若 lim c, 则必有 lim c 吗? 反之如何? ( 答案 :⑴ 没有 ;⑵ 不一定, 例如正数数列的极限是 0 ;⑶ lim 不一定有极限, 例如 () lim y ;⑷ 有界数列就没有极限 ; 无界数列一定没有极限, 因为有极限的数列是有界数列 ;⑸ 不一定, 例如 ( ), y ( ), 则 ( y ) 与 y 都有极限 ;⑹ 一定没有极限.( 反证法 ) 若 ( y ) 有极限, 则 y ( y ) 也有极限, 与数列 y 没有极限矛盾. ⑺ 是, 因为 c c ; 反之不成立. 习题提示和选解. 下面的习题都出现在第 0 章 ( 看我做题 ) 中, 你不会做时, 可去再看一下那里的做法. 证明 : ⑴ lim ; ⑵ lim b m, b( 其中 0, b 0 ); ⑶ lim ; ⑷ lim 0 ;! 35 ( ) 35 ( ) ⑸ lim 0 ; ⑹ lim. 46 ( ) 46 ( ). 证明 : ⑴ lim ; ⑵ lim 3 6 ; ⑶ lim ; ⑷ lim.

6 第章函数的极限和连续函数 9 3. 证明 : 若 lim, 则也有 lim 提示 : 参考例的证明.. 于是, 4. 设有 lim, lim y b. 证明 : y y lim y b 提示 : 设 (lim 0), y b (lim 0), 则 y ( )( b ) b b y y y y b b 5. 设 y 0(,, ) 且 y y y s ( ). 证明 : 若有极限 lim, 则也有极限 y y y lim y y y lim 提示 : 设 lim c, 则 c (lim 0). 于是, y ( c ) y y y y y y y s s 6. 设 y 0(,, ) 且 y y y s ( ) 证明 : 若有极限 lim, 则也有极限 y 提示 : 用 lim lim y y y y y 替换上一题中的. 7. 施笃兹 (Stolz) 定理若数列与 y 满足条件 : (i) y y y y, 且 lim y ; (ii) 有极限 lim ; y y 则也有极限 lim, 且 lim lim y y y y 证令 z y, z y y (, ), 则 z 0 ( ) 且. c y s 9

7 30 第一篇微积分浅释 s z z z y ( ) w, w (,3, ), 则再令 w 根据假设条件 (ii), 有极限 lim z w w w z z z y lim y y ( ), 而根据上式 ( ) 和题 6, 则有极限 w w w w lim lim lim lim y z z z z y y 注作为施笃兹定理的应用, 则有 lim p p p p ( p 为正整数 ) lim p p ( ) lim ( p) p ( p ) ( )! p p p p p 8. 设有数列 (,, ). 证明 : 若 lim( ) 0, 则 p lim 0 lim( ) 0 p p 证设为任意给定的正数. 因为, 所以有正整数 K, 使于是, 当 K时, ( K) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) K K ( ) ( K K ) ( ) ( K K ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 因此, 当 K时, ( K) K K, 从而有 K K K K K ( K) K K 再取正整数 N ( K) 足够大, 使当 N 时,. 于是, 当 N ( K) 时, K K 即 lim 0. 30

8 9. 若正项级数证因为第章函数的极限和连续函数 3 ( 0) 收敛, 且通项单调减小, 证明 lim 0. ( 0) 收敛, 所以余和 rm m m 0( m ) ( 见下注 ) 对于 m, 由于通项单调减小, 所以有 ( m) m m rm r m, 即 m ( m) 于是, 当 m 时, 0 rm rm rm rm m ( m) 任意给定正数, 先取 m 足够大, 使 rm, 再取正整数 N m, 则当 N 时, 0 rm 即 lim 0 注设级数 s, 余和 rm m m s sm, 则 lim r s lim s s s 0 m m m 在求方程的近似解时, 常常会得到叠代数列 ( 逐次逼近数列 ). 当它收敛时, 它能够逐步接近精确解. 因此, 就需要研究叠代数列的收敛性 ( 不必求出数列的极限值 ), 有时还可以进一步求出叠代数列的极限值. 例如, 0. 研究数列的收敛性. 若收敛, 试求极限 lim. ⑴ 设 0 解和 b为已知实数. 令 0 0 b ( ), b 3 ( ), ( ) b, 3 (,, ) m 一般地, b ( ). 将以上这些等式依次相加, 则得 3

9 3 第一篇微积分浅释 3 ( ) ( ) ( ) ( b ) 3 ( ) ( ) ( b ) ( b ) ( b ) ( b) b lim ( ). 因此, 3 b b b lim b 即即 3( ) ⑵ 设 c 0. (,, ) 3 提示 : 一方面, 0 3 (,, ) ; 另一方面, 对于任何, 3( ) 3( ) 6( ) 3 3 (3 )(3 ) ( ) 与 ( ) 具有相同的符号. 因此, 数列 ( ) 是单调增大或单调减小的有界数列. 答案 :lim 3. c c ⑶ 设实数 c 0., (,, ) c 提示 : 首先指出, 假如有极限 lim, 在两端取极限, 则得二次方程 c 0 解得 c. 因此, 当 c 时, 数列没有极限. 剩下来就是讨论 0c 的情形. 在这种情形下,0 (,, ) 且 (,, ). 答案 :lim c.. 设 b 0. 数列和 y (,, ) 由下式所确定 : y, y b, y, y 证明它们有公共极限 lim lim y (, b) [ 称它为数和 b 的算术 - 几何平均数 ] 证因为 b 0, 所以 y b, y b b b y b y 3

10 第章函数的极限和连续函数 33 b 又因为 b, 因此得 y y. 我们用相同的方法, 可以证明一般的不等式 y y (,, ) 根据单调有界原理, 有极限 lim 和 lim y 在 y y 两端让, 则得. 因此,, 即 lim lim y 我们就把这个公共极限值记成 ( b, ). 注德国数学家高斯 (Guss) 求出了这个极限值 ( b, ), 即 ( b, ) 有极限.. 证明数列 G d( 椭圆积分, 见第 6 章 ) 0 cos b si 3 证根据单调有界原理, 只要证明它是单调减小有下界就行了. 事实上, G, 其中即 (,, ). 其次, 因为 (,, ), 所以, 3,, 把这些同向不等式依次相加, 则得不等式 3 因此, 证明 : 数列有极限. 此时, 设 lim l (,,3, ) 3 C, 则 33

11 34 第一篇微积分浅释 l C (lim 0) 3 因此, l C (lim 0) 3 其中常数 C 称为欧拉常数. 证我们要证明数列单调减小且 0(,, ). 事实上, l l( ) 3 3 l( ) l l 0 ( 见第 -6 节 ) 即 (,, ). 另一方面, 根据 l( ) l( ) l 3 l( ) l [ l, 见第 -6 节 ] 则有 0(,, ). 根据单调有界原理, 必有极限 lim C. 因此, 4. 证明 : lim si (e!). 证因为 e (0 ), 所以!! 3!!! e (0!! 3!! ( )! ( )!( ) )!e!!!! ( ) 上式右端第一项是正整数, 而第二项 R 满足 lim R 0, lim( R). 注意到 ( ) si 是以为周期的周期函数, 所以 si R lim si(e!) lim si( R ) lim R R si [ 注意, lim( R), lim ] 0 34

高等数学A

高等数学A 高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数三要素图像 2 导数导数的定义基本导数表求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March

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