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蜜屈
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1 7 全国研究生入学考试考研数学 ( 数学一 ) 真题解析本试卷满分 5, 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos, () 若函数 f( ) a b,, 在处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 (A) 思路点拨根据分段函数 f( ) 在分段点连续的概念, 无穷小替换公式 lm f ( ) lm f ( ) f ( ) 以及等价解析由连续的定义可知 : lm f ( ) lm f ( ) f (), 其中 f() lm f ( ) b, ( ) cos lm f( ) lm lm, 从而 b, 也即 ab, 故选 (A) a a a a 考点重现等价无穷小替换的广义化: cos, () 若函数 f( ) 可导, 且 f ( ) f ( ), 则 ( ) (A) f() f( ) (B) f() f( ) (C) f() f( ) (D) f() f( ) 答案 (C) 思路点拨利用函数的单调性, f ( ) f ( ) 单调递增解析令 F( ) f ( ), 则有 F( ) f ( ) f ( ), 故 F ( ) 单调递增, 则 F() F( ), 即 [ f()] [ f( )], 即 f() f( ), 故选 C (3) 函数 f (, y, z) y z 在点 (,,) 处沿向量 (,,) u 的方向导数为 ( ) (A) (B) 6 (C) 4 (D) 答案 (D) 思路点拨使用方向导数的概念可以得到结果中公考研学员专用资料报名专线 :

2 解析 gradf { y,, z}, 将点 (,,) 代入得 gradf {4,,} (,,), 则故选 (D) f u gradf. {4,,}.,, (,,) u (,,) u 考点再现函数 u f(, y, 在 z) 点 (, y, z 沿 ) 向量的方向导数为 u ( u (, y, z), u ( y, z, ), u ( y, z, )) (, y, z ) y z (4) 甲乙两人赛跑, 计时开始时, 甲在乙前方 ( 单位 :m) 处, 图中实线表示甲的速度曲线 v v () t ( 单位 :m/s), 虚线表示乙的速度 v v () t, 三块阴影部分面积的数值依次为,,3, 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t ( 单位 :s), 则 ( ) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 (A) 答案 (C) 思路点拨定积分的物理应用, 速度在时间上的积分是位移, 欲乙追上甲, 只需 t [ V ( t) V( t)] dt 解析从到 t 时刻, 甲乙的位移分别为 t V () t dt 与 t [ V ( t) V( t)] dt, 由定积分的几何意义可知, 5 V t t 5, 故选 (C) (5) 设是维单位列向量, E 为阶单位矩阵, 则 ( ) (A) E 不可逆 (B) E t V () t dt 要使乙追上甲, 则有 [ ( ) V ( t )] dt, 可知不可逆中公考研学员专用资料

3 (C) E 不可逆 (D) E 答案 (A) 思路点拨矩阵 E 可逆的充分必要条件是 E 不可逆的特征值非零, 结合特征值讨论矩阵的可逆性解析因为的特征值为 ( 重 ) 和, 所以 E 的特征值为 ( 重 ) 和, 故 E 不可逆考点再现 (I) 设 A 为阶方阵且 r A,,,, tr, 则 A 的特征值为 A (II) 阶矩阵 A 可逆 A r A 非齐次方程组 A b有唯一解齐次方程组 A 仅有零解 A 的特征值非零 (6) 设矩阵 A, B, C, 则 ( ) (A) A 与 C 相似, B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似, B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似, B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似, B 与 C 不相似答案 (B) 思路点拨显然矩阵 C 可相似对角化, 利用相似对角化的条件判断 AB, 是否和 C 相似解析由 EA 可知 A 的特征值为,,, 因为 3 r( E A), 所以 A 可相似对角化, 且由 EB 可知 B 的特征值为,,, 中公考研学员专用资料 3 报名专线 : A ; 因为 3 r( E B), 所以 B 不可相似对角化, 显然 C 可相似对角化, 所以 A C, 且 B 不相似于 C 考点再现设 A 为阶方阵, 则

4 A 有个不同的特征值 A 可相似对角化 A 为实对称矩阵 A 可相似对角化 A 可相似对角化 A 有个线性无关的特征向量 A 属于的线性无关的特征向量等于的重数 r( E A) 的重数注意前两个是充分条件, 后三个是充要条件 (7) 设 AB, 为随机事件, 若 PA ( ), PB ( ), 则 P ( AB ) P AB ( ) 的充要条件是 ( ) (A) P( B A) P(B A) (B) P( B A) P(B A) (C) P( B A) P(B A) (D) P( B A) P(B A) 答案 (A) 思路点拨抽象型随机事件的条件概率使用条件概率的定义进行处理解析因为 P A B P( A B), 且 PB A P( AB) P( A) P( B) P( B A) P B A 故选 (A) P AB 考点再现条件概率: P( B A) PA ( ) P( AB) P( AB) P( A) P( AB), 所以, 从而 P( B) PB ( ) P( B) P ( AB ) ( ) ( ), ( ) P B P B A P AB, 所以 P( A) P( A) (8) 设 X, X,, X ( ) 为来自总体 N(,) 的简单随机样本, 记 X X, 则下列结论中不正确的是 ( ) (A) (C) ( X ) ( X X) 服从分布服从分布 (B) ( X X ) 服从分布 (D) X ( ) 服从分布答案 (B) 思路点拨结合分布的定义以及一维正态总体下的统计量的性质可以得到本题结论解析 ( A) X N(,) 故 ( X ) ( ) ; 中公考研学员专用资料 4

5 X X (B) X X N(, ) N(,) X X () ( X X) 即 () S ( X X ),( ) S ( X X ) ( ) (C) (D) ( X ) N,, 则 ( X ) N(,), 所以 X ( ) () 故选 (B) 考点再现 (I) 分布的定义 : 若 X, X,, X 相互独立且均服从标准正态分布 N (,), 令 X X X, 则服从自由度为的分布 (II) 设 X, X,, X 是来自一维正态总体 N (, ) 的简单随机样本, 且样本均值 X X,, 则 ) X N(, ) 样本方差 S X X 相互独立 S ;) 二填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) 已知函数 f( ), 则 f () 答案思路点拨只需要求函数在这一点处的导数, 可以考虑讨论函数的奇偶性 ;3)X 与 S 解析因为 f( ) 为偶函数, 可知 f ( ) 为奇函数, 进一步有 f ( ) 为偶函数, f ( ) 为奇函数, 可知 f () 考点再现如果 f( ) 为偶函数, 则 f ( ) 为奇函数 ; 如果 f( ) 为奇函数, 则 f ( ) 为偶函数 () 微分方程 y y 3y 的通解为 y e ( c cos c s ), c, c 为任意常数答案思路点拨利用二阶常系数齐次线性微分方程的通解求解方法来进行求解中公考研学员专用资料 5 报名专线 :

6 解析该齐次方程的特征方程为 3, 解得, 通解为 e ( c cos c s ), 其中 c, c 为任意常数考点再现设 y py qy 为二阶常系数齐次线性微分方程, 则 y py qy 的特征方程为 p q, 可得若, 为两个不同的实根通解为 C e C e, 其中 C, C 为任意常数若为二重根通解为 ( C C) e, 其中 C, C 为任意常数若为一对共轭的虚根通解为 e ( Ccos Cs ), 其中 C, C 为任意常数 () 若曲线积分 L d aydy 在区域 D {(, y) y } 内与路径无关, 则 a y 答案思路点拨结合积分与积分路径无关的充要条件 ay 解析令 P(, y), Q(, y) y y, P y, Q ay y ( y ) ( y ) 则, P Q 若曲线积分与路径无关, 则有 y, 解得 a 考点再现第二类曲线积分 P (, y ) d Q (, y ) dy 在区域 D 内积分与积分路径无关 L 对于区域 D 内任意简单闭合曲线 C 有 P (, y ) d Q (, y ) dy C Q P 对于区域 D 内任意单连通区域 G 有 ddy y G Q P 在区域 D 内有 y 中公考研学员专用资料 6

7 () 幂级数 ( ) 在区间 (,) 内的和函数 S ( ) 答案 ( ) 思路点拨逐项积分定理进行幂级数求和解析 ( ) ( ) ( ) 考点再现,, ; ( ),, (3) 设矩阵 A 秩为,,, 3 为线性无关的 3 维列向量组, 则向量组 A, A, A 3 的答案思路点拨本题主要考查矩阵相乘的秩的问题, 可以直接使用矩阵相乘秩的结论解析因为,, 3 为线性无关的 3 维列向量组, 所以矩阵 (,, 3) ( A, A, A ) A(,, ), 所以 r( A, A, A ) r A 3 3 故 ra ( ), 所以 ( A, A, A 3) 秩为 3 A 可逆 ; 另一方面, 因为考点再现 r( AB) m{ r( A), r( B)} ; 若矩阵 P 可逆, 则 r( PA) r( AP) r( A) 4 (4) 设随机变量 X 的分布函数为 F ( ).5 ( ).5, 其中 ( ) 为标准正态分布函数, 则 EX 答案思路点拨结合正态分布的数字特征以及数字特征的定义解析随机变量 X 的概率密度函数为 4 f ( ) ( ) 4, 其中 ( ) 为标准正态分布的概率密度函数中公考研学员专用资料 7 报名专线 :

8 则 4 4 EX ( ) d d d 4 4, 换元令 4 t, 则 t4, d, dt 所以 EX (t 4) ( t) dt ( t) dt, 其中 d 三解答题 :5 3 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. dy (5)( 本题满分分 ) 设函数 f ( u, v ) 具有阶连续偏导数, y f ( e,cos ), 求 d, d y d 思路点拨由题设可知 y 为二元复合函数, 结合二元复合函数求偏导数的方法求解 dy 解析由复合函数求导法则, 可得 : ( s ) dy f e f, 故 d (,) f d 进一步得 : d y d d ( f ) ( ) e f e cos f s d f d d e f e ( f e f s ) cos f s ( f e f s ) e f cos f e f e s f s f d y 故 f (,) f (,) f (,) d (6) ( 本题满分分 ) 求 lm k l k k 思路点拨本题主要考查定积分的定义以及定积分的计算, 一般求无穷项和的极限采用定积分分段求和取极限的定义比较简单解析由定积分的定义式可知原式 = lm l l k k d k, 再由分部积分法可知 : l d l d l d l d (7) ( 本题满分分 ) 已知函数 y ( ) 由方程 y 3 3y 确定, 求 y ( ) 的极值中公考研学员专用资料 8

9 思路点拨求函数的极值需要使用充分条件, 但是由于本题函数是一个隐函数, 导数没有一个统一的解析式, 所以考虑使用第二充分条件解析等式两边同时对求导可得, () 3 3y y 3 3y 令 y 可得 3 3, 故由极限的必要条件可知, 函数的极值之可能取在与处, 为了检验该点是否为极值点, 下面来计算函数的二阶导数, 对 () 式两边同时求导可得, 6 6y y 3y y 3y () y, 故 y 当时, y, 将, y, y 代入 () 式可得 () 值当时, y, y, 代入 () 式可得 ( ) y, 故 (8) ( 本题满分分 ) 设函数 f( ) 在区间 [,] 上具有二阶导数, 且 f (), 证明 :(Ⅰ) 方程 f( ) 在区间 (,) 内至少存在一个实根 (Ⅱ) 方程 f f f ( ) ( ) ( ) 在区间 (,) 内至少存在两个不同实根是函数的极大 y 是函数的极小值 f( ) lm 思路点拨借助保号性与零点存在定理解决第一问, 第二问涉及到导数考虑使用罗尔定理 f( ) f 证明 (I) 由于 lm, 则由保号性可知 :, 使得当 (, ) 时, ( ), 也即 f( ) 又由于 f (), 则由零点存在定理可知, f( ) 在 (,) 内至少有一个实根 f( ) (II) 令 F( ) f ( ) f ( ) 由 lm 可知又由 (I) 可知 : (,) 使得 f( ) f( ) f() lm 由罗尔定理可知 : 再由罗尔定理可知 : (, ) 使 f ( ), 从而 F() F( ) F( ) (, ), 3 (, ) 使得 F( ) F( 3) 也即 F( ) f ( ) f ( ) [ f ( )] 在 (, ) (,) 内有两个不同的实根 (9)( 本题满分分 ) 设薄片型 S 是圆锥面 z y 被柱面 z 割下的有限部分, 其上任中公考研学员专用资料 9 报名专线 :

10 一点的密度为 9 y z, 记圆锥面与柱面的交线为 C (I) 求 C 在 Oy 面上的投影曲线的方程 ; (II) 求 S 的质量 M 思路点拨投影方程结合两个曲消去变量可得 ; 曲面的质量使用第一类曲面积分 z y 解析 (Ⅰ) C 的方程为 z, 从中消去 z 可得 y y 则 C 在 oy 平面上的投影为 z (Ⅱ) S 的质量 m (, y, z) ds 9 y z ds S z z 将 z y 带入可得 : ds ddy ddy y 故 m 9 y ddy, 其中 D 为平面区域 {(, y) y } D 利用极坐标计算该二重积分可得 : S 44 m 8 y ddy 8 r drd 8 d r dr cos d 64 D cos 3 3 D ()( 本题满分分 ) 设 3 阶矩阵 A =(,, ) 有 3 个不同的特征值, 且 = (I) 证明 : r A ; (II) 若 = + + 3, 求方程组 A = 的通解思路点拨结合向量组的秩来考虑矩阵的秩 ; 非齐次方程组的解的结构关键在于找到基础解系解析 (I) 因为 A 有三个不同的特征值, 所以 A, ra ( ), 假若 ra ( ) 时, 是二重的, 故不符合, 那么 ra ( ), 又因为 3, 所以 ra ( ), 即 ra ( ) ( II ) 因为 ra ( ), 所以 A 的基础解系只有一个解向量, 又因为 3, 即 3, 即基础解系的解向量为 (,, ), 又因为 3, 故 A 的特中公考研学员专用资料

11 解为 (,,), 所以 A 的通解为 k(,, ) (,,), k R ()( 本题满分分 ) 设二次型 f (,, ) a 8, 在正交变换 Qy 下的标准型, y y, 求 a 的值及一个正交矩阵 Q 思路点拨每一个二次型对应着一个实对称矩阵, 实对称矩阵一定可正交相似对角化, 求出矩阵特征值与特征向量, 进一步利用正交相似对角化的结论来进行求解 4 解析二次型对应的矩阵为 A, 因为标准型为 y 4 a 4 4 y, 所以 A, 从而 a 4 6, 即 a, 代入得 E A, 解得, 3,6 ; 4 时, E A 4 当, 化简得 5 4 当 3时, 3E A, 化简得时, 6E A 当从而正交矩阵 Q , 化简得 ()( 本题满分分 ) 设随机变量为 X,Y 相互独立, 且 X 的概率分布为, 对应的特征向量为 k (,,) ;, 对应的特征向量为 k (,,) ;, 对应的特征向量为 k ( 3,,) ; P( X ) P( X ),Y 的概率密度为 y, y, f( y ), 其他, (Ⅰ) 求 P( Y EY ); 中公考研学员专用资料报名专线 :

12 (Ⅱ) 求 Z X Y 的概率密度思路点拨已知概率密度函数求概率做积分, 口诀哪求概率, 哪积分 ; 离散型随机变量与连续型随机变量在一起, 考虑使用全概率公式解析 ( Ⅰ) 由数字特征的计算公式可知 : EY yf ( y) dy y dy 则 P{ Y EY} P Y f ( y) dy ydy 3 9 (Ⅱ) 先求 Z 的分布函数, 由分布函数的定义可知 : F ( z) P{ Z z} P{ X Y z} 由于 X 为离散型随机变量, 则由全概率公式可知 Z F ( ) { } Z z P X Y z P{ X } P{ X Y z X } P{ X } P{ X Y z X } P{ Y z} P{ Y z } FY( z) FY( z ) ( 其中 FY () z 为 Y 的分布函数 : FY ( z) P{ Y z} ) 则 Z 的概率密度 : z, z fz ( z) f ( z) f ( z ) z, z 3, else (3)( 本题满分分 ) 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体的质量做次测量, 该物体的质量是已知的, 设次测量结果 X, X,, X 相互独立且均服从正态分布 N(, ) 该工程师记录的是次测量的绝对误差 Z X,(,,, ), 利用 Z, Z,, Z 估计 (Ⅰ) 求 Z 的概率密度 ; (Ⅱ) 利用一阶矩求的矩估计量 ; (Ⅲ) 求的最大似然估计量思路点拨参数估计题目可以直接使用矩估计以及最大似然估计的方法进行求解解析 ( I ) 因为 X N, 所以 Y X ~ N(, ), 对应的概率密度为 ~ (, ) y fy y e, 设 Z 的分布函数为 F z, 对应的概率密度为 f() z ; 当 z 时, Fz ; 中公考研学员专用资料

13 z 时, 当 y z F z P{ Z z} P{ Y z} P{ z Y z} e dy ; z 则 Z 的概率密度为 z e, z> f ( z) F( z) ;, z ( II ) 因为 EZ z e dz z, 所以 EZ, 从而的矩估计量为 Z Z ; (Ⅲ) 样本 Z, Z,, Z 的似然函数为 L( z, z,..., z, ) e z, 取对数得 : z dl L( ) z dl L( ) l L l l, 所以 3, 令, d d 得 z, 所以的最大似然估计量为 Z 中公考研学员专用资料 3 报名专线 :

精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设是

精勤求学自强不息 Bor to w! (A) t (B) 5 t (C) t 5 (D) t 5 答案 B 从到 t 这段时间内甲乙的位移分别为 t v (t) v (t) dt, 当 5 t 时满足, 故选 C. t t v (t) dt, v (t) dt, 则乙要追上甲, 则 (5) 设是 Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 3 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f (

一 根据所给图表，回答下列问题。

一根据所给图表，回答下列问题。