第一章

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坊式山
5 years ago
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1 壹重點整理一弧度與扇形周長與面積 (1) 弧度制 : 三角函數 ( 二 ) (a) 弧度量的定義 : 設有一圓, 圓心為 O, 半徑為 r 在圓周上取一段圓弧 PQ, 使得圓弧 PQ 的長度等於 r, 規定這一段圓弧 PQ 所對的圓心角 POQ 就定義成 1 弧度 (b) 度與弧度之互換 : 設 x 弧度相當於 y, 因為 π 弧度相當於 180 x, 所以 π = y π = 180 弧度約等於弧度 1 弧度 =( 180 π ) 約等於 (57 17 / 45 // ), 注意弧度可以省略即 1=( 180 π ) () 扇形的弧長與面積 : 弧長公式與扇形面積公式 : 若設有一圓 O, 其半徑為 r, 扇形 OPQ 中的圓心角 POQ 為 θ( 弧度 ), Q 則 PQ 的弧長 s= r θ 扇形 OPQ 的面積 A= 1 r θ = 1 r s 注意 : 單位是弧度, 而不是度二三角函數的圖形 : (1) 三角函數的圖形與特性 (a) 正弦函數的圖形與特性 : 1 y y=sinx O P π O 1 π π x 正弦函數圖形的特色圖形的對稱中心為 (nπ,0), 圖形的對稱軸為 x= π +kπ,k 為整數圖形與 x 軸的交點 (nπ,0), 圖形與 y 軸的交點 (0,0) 正弦函數 y=sinx 的週期為 π 正弦函數 y=sinx 的振幅為 1 正弦函數的特色正弦函數 y=sinx 的定義域為 R ~ 三角二 -1~

2 正弦函數 y=sinx 的值域為 {y 1 y 1}, 即 1 sinx 1, 最大值 =1, 最小值 = 1 正弦函數 y=sinx 為奇函數即 sin( x)= sinx (b) 餘弦函數的圖形與特性 : y 1 π π x O π 3π π 1 y=cosx 餘弦函數圖形的特色圖形的對稱中心為 ( π +kπ,0), 圖形的對稱軸為 x=nπ,n 為整數圖形與 x 軸的交點 ( π +kπ,0), 圖形與 y 軸的交點 (0,1) 餘弦函數 y=cosx 的週期為 π 餘弦函數 y=cosx 的振幅為 1 π y=cosx 的圖形是由 y=sinx 的圖形向左平移單位所成的圖形餘弦函數的特色餘弦函數 y=cosx 的定義域為 R 餘弦函數 y=cosx 的值域為 {y 1 y 1}, 即 1 cosx 1, 最大值 =1, 最小值 = 1 餘弦函數 y=cosx 為偶函數即 cos( x)=cosx (c) 正切函數的圖形與特性 : ~ 三角二 -~

3 正切函數圖形的特色 : 圖形的對稱中心為 (nπ,0) 圖形與 x 軸的交點 (nπ,0), 圖形與 y 軸的交點 (0,0) 圖形在 x= π +kπ(k 為整數 ) 處不連續圖形的漸近線 :x= π +kπ,k 為整數正切函數的特色 : 正切函數 y=tanx 的定義域為 {x x kπ+ π, k 為整數,x R} 正切函數 y=tanx 的值域為 R 正切函數 y=tanx 的週期為 π 正切函數 y=tanx 為奇函數即 tan( x)= tanx (d) 餘切函數的圖形與特性餘切函數圖形的特色 : 圖形的對稱中心為 ( π +kπ,0) (k 為整數 ) 圖形與 x 軸的交點 ( π +kπ,0)(k 為整數 ) 圖形在 x=kπ(k 為整數 ) 處不連續圖形的漸近線 :x=kπ,k 為整數餘切函數的特色 : 餘切函數 y=cotx 的定義域為 {x x kπ, k 為整數,x R} 餘切函數 y=cotx 的值域為 R ~ 三角二 -3~

4 餘切函數 y=cotx 的週期為 π 餘切函數 y=cotx 為奇函數即 cot( x)= cotx (e) 正割函數的圖形與特性 : 正割函數圖形的特色 : 圖形的對稱軸為 x=nπ,n 為整數圖形的漸近線 :x= π +kπ,k 為整數圖形在 x= π +kπ(k 為整數 ) 處不連續正割函數 y=secx 的週期為 π 正割函數的特色 : 正割函數 y=secx 的定義域為 {x x kπ+ π, k 為整數,x R} 正割函數 y=secx 的值域為 {y y 1 或 y 1} secx 1 正割函數 y=secx 為偶函數即 sec( x)=secx (f) 餘割函數的圖形與特性 : ~ 三角二 -4~

5 餘割函數圖形的特色 : 圖形的對稱軸為,x= π +kπ,k 為整數圖形的漸近線 :x=kπ,k 為整數圖形在 x=kπ(k 為整數 ) 處不連續餘割函數 y=cscx 的週期為 π 餘割函數的特色 : 餘割函數 y=cscx 的定義域為 {x x kπ, k 為整數,x R} 餘割函數 y=cscx 的值域為 {y y 1 或 y 1} cscx 1 餘割函數 y=cscx 為奇函數即 csc( x)= cscx () 有關週期與振幅圖形的平移 : (a) 函數的週期 : 對於函數 y=f(x) 而言, 若找到固定的正數 α, 使得對於每個定義域中的元素 x, f(x+α)=f(x), 就稱函數 f(x) 為一個週期函數若可以找到滿足上述性質的最小正數 p, 稱 p 為週期函數 f(x) 的週期 (b) 正弦餘弦正割餘割函數的週期為 π 正切餘切函數的週期為 π (c) 設 F 表 sin,cos,sec,csc 中某一個函數, 則 π 形如 af(kx+b)+c 的函數週期為 k, 其中 a,b,c 為實數,k 為正實數 π 形如 F(kx+b) 的函數週期為 k (d) 設 F 表 tanθ,cot 中之某一個函數, 則 π 形如 af(kx+b)+c 的週期為, 其中 a,b,c 為實數,k 為正實數 k π 形如 F(kx+b) 的函數週期為 k (e) 圖形的伸縮與平移 f(x)=asin(px q)+b 週期 : π p 振幅 : A 1 圖形沿 x 軸方向平移 q, 再沿 x 伸縮 p 倍, 再沿 y 軸方向伸縮 A 倍, 最後沿 y 軸平移 B 例如 :y=sinx y=sin(x+3) y=sin ( 1 沿 x 軸平移 3 沿 x軸伸縮倍 x+3) y=5 sin ( 1 沿 y軸伸縮 5倍 x+3) y=5 sin ( 1 沿 y 軸平移 3 x+3)+3 ~ 三角二 -5~

6 y=5 sin ( 1 x+3)+3 的振幅 =5, 週期 =4π 三三角函數的公式 : (1) 和角公式 : 公式一 :cos(α β)=cosα cosβ+sinα sinβ 公式二 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ 公式三 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ 公式四 :sin(α β)=sinα cosβ cosα sinβ 公式五 :tan(α +β)= 公式六 :tan(α β)= 和角公式的精神 : tanα+tanβ 1 tanα tanβ tanα tanβ 1+tanα tanβ 已知兩個角度的三角函數, 即可得兩個角度的和或差的三角函數 () 倍角公式 : (a) 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 cosθ=cos θ sin θ=cos θ 1=1 sin θ 由和角公式 :tan(α +β)= [ 注意 ]: tanα+tanβ 1 tanα tanβ, 令 α=β=θ, 可得 tanθ= tanθ 1 tan θ 根據公式 (b) cosθ=cos θ sin θ=cos θ 1=1 sin θ, 可知已知 θ 的正弦值餘弦值, α 可得 θ 的餘弦值另一方面, 若已知 α 的餘弦值, 就可得的正弦值餘弦值例如 : 已知 cosθ= 3, 請求出 cosθ=? 根據 cosθ=cos θ 1=( 3 ) 1= 1 9 已知 0<α< π, 且 cosα= 3, 試求 cos α =? ~ 三角二 -6~

7 根據 (b) 令 θ=α, 可得 cosα=cos α 1 所以 cos α =5 6 cosα = ± 5 α cos 6 = 5 6 (b) 以正切表示二倍角 tanθ sinθ= 1+tan θ,cosθ= 1 tan θ 1+tan θ,tanθ= tanθ 1 tan θ (c) 三倍角公式 sin3θ= 3sinθ 4sin 3 θ cos3θ=4cos 3 θ 3cosθ 整理倍角公式如下 : sinθ= sinθ cosθ cosθ=cos θ sin θ=cos θ 1=1 sin θ tanθ tanθ= 1 tan θ cosα=cos α α 1=1 sin cos θ= 1+cosθ,sin θ= 1 cosθ sin3θ= 3sinθ 4sin 3 θ cos3θ=4cos 3 θ 3cosθ (3) 和與積互化公式 : (a) 積化為和差公式一 : sinα cosβ = sin(α+β)+sin(α β) θ 1+tan θ 1 tan θ tanθ 公式二 : cosα sinβ = sin(α+β) sin(α β) 公式三 : cosα cosβ = cos(α β)+cos(α+β) 公式四 :sinα sinβ = cos(α β) cos(α+β) 例如 : 將下列三角函數的乘積, 化成三角函數的和差 sin8.5 cos37.5 = 1 (sin10 +sin45 )= 1 [sin10 sin( 45 )] cos8.5 sin37.5 = 1 ( sin10 sin45 )= 1 [sin10 +sin( 45 )] ~ 三角二 -7~

8 cos3 cos37 = 1 [cos60 +cos( 14 )]= 1 ( cos60 +cos14 ) sin3 sin37 = 1 [cos( 14 ) cos60 ]= 1 [cos14 cos60 ] cos 與 sin 相乘如果 sinθ 的角度比 cos 的角度大, 適合用公式公式一 cos 與 sin 相乘如果 sinθ 的角度比 cos 的角度小, 適合用公式公式二 cos 與 cos 相乘一定是 cos+cos 角度兩個相加兩個相減 sin 與 sin 相乘一定是 cos cos 角度 ( 兩個相減 ) 減去 ( 兩個相加 ) (b) 和差化為積 α+β=x 想法 : 任何兩角 x,y 一定可以找到二數 α,β 使得 α-β=y, 此時 α= x+y β=x y, 代入積化為和差的關係式中, 可得公式一 :sinx+siny=sin x+y 公式二 :sinx siny=cos x+y 公式三 :cosx+cosy=cos x+y cos x y sin x y cos x y 公式四 :cosx cosy= sin x+y sin x y ( 注意此式中有負號 ) 例如 : sin110 +sin10 =sin60 cos50 sin110 sin10 =cos60 sin50 cos110 +cos10 =cos60 cos50 cos110 cos10 = sin60 sin50 上面的公式, 角度的原則都是 ( 前 + 後 )/,( 前後 )/ 四正餘弦函數的疊合 : (a) 疊合的方法 : 設 a,b 為實數, 且 a +b 0, 則函數 y=a sinx+b cosx 可以表為 y= a +b sin(x+θ), 其中 θ b a 為滿足 sinθ= a +b,cosθ= a +b 的角 θ [ 做法 ]: ~ 三角二 -8~

9 因為 y=asinx+bcosx= a +b ( 而且 ( a a +b ) +( 度 θ, 使得 sinθ= a a +b sinx+ b a +b ) =1, 點 P( b a a +b,cosθ= a +b, a a +b, b a +b cosx), 所以 y= a +b (cosθ sinx+sinθ cosx)= a +b sin(x+θ) b a +b ) 在單位圓上, 因此可找到一個角例子 : 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成正弦與餘弦函數 (1) 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成正弦函數先求兩係數的平方和的正平方根 = ( 3) +1 =, 再將原式提出 y=f(x)= 3 sinx+cosx =( cosθ= 3 且 sinθ= 1 θ 為第一象限角取 θ= π 6 y=f(x)= 3 sinx+cosx=sin(x+ π 6 ) () 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成餘弦函數 3 sinx+1 cosx)=(sinx cosθ+cosx sinθ)=sin(x+θ) 先求兩係數的平方和的正平方根 = ( 3) +1 =, 再將原式提出 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx=( sinx+1 cosx)=(sinx sinθ +cosx cosθ )=cos(x θ) sinθ= 3 且 cosθ= 1 θ 為第一象限角取 θ= π 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx=cos(x π 3 ) (b) 重點整理 : 正餘弦函數的線性組合 asinx+bcosx 可化成正弦函數, 也可化成餘弦函數 a +b y=a sinx+b cosx a +b 最大值為 a +b, 最小值為 a +b 函數 y=asinx+bcosx= a +b sin(x+θ) 的週期為 π, 振幅為 a +b y= asinx+bcosx= a +b sin(x+θ) 的圖形可以看成 : 先將正弦函數 y=sinx 的圖形向左 (θ>0 時 ), 或向右 (θ<0 時 ) 平移 θ 單位後, 再上下伸縮 a +b 倍而得到的圖形 ~ 三角二 -9~

10 貳精選範例一弧度與扇形周長與面積 : [ 例題 1] ( 弧長與弧角的計算 ) 有一輪子直徑為 30 公分, 讓它在地上自 A 點逆時針滾動 0 π 公分的長度, 問輪子繞軸轉動幾度? 問此時 A 點離地面幾公分? [ 答案 ]: 4π 3,45 公分設輪子繞軸轉動 θ 弧度, 0π=15 θ θ= 4π 3 如圖,A 點離地面 15+15sin π 6 =45 公分 A O 4π 3 O A [ 例題 ] 一直圓錐底面之半徑為 3, 高為 4, 若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇形, 則中心角為弧度 [ 答案 ]: 6π 5 ( 練習 1) 有一個輪子, 半徑 50 公分, 讓它在地上滾動 00 公分的長度, 問輪子繞軸轉動度 ( 度以下四捨五入 ) (88 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:9 ( 練習 ) 下列敘述何者正確? (A)sin9.8>0 (B)sin9.8=sin(3π 9.8) (C)sec π 四象限 (E)cos(α π)=cosα [ 答案 ]:(B)(C)(D) 無意義 (D)(csc,cot) 在第 ~ 三角二 -10~

11 ( 練習 3) 下列最大的數為? (A)sin1 (B) sin (C) sin3 (D) sin4 (E) sin5 [ 答案 ]:(B) 二三角函數的圖形 : [ 例題 3] ( 方程式求實數解與圖形求交點 ) x 關於坐標平面上函數 y = sin x 的圖形和 y = 的圖形之交點個數, 下列 10π 哪一個選項是正確的? (1) 交點的個數是無窮多 () 交點的個數是奇數且大於 0 (3) 交點的個數是奇數且小於 0 (4) 交點的個數是偶數且大於或等於 0 (5) 交點的個數是偶數且小於 0 (96 學科能力測驗 ) [ 答案 ]: (3) y ( 10π,1) ( 10π,1) x x 圖 y = 過 ( 0,0) ( 10π,1) 及 ( 10π, 1) 10π 與 y = sin x 的圖形交點個數為 19, 是奇數且小於 0, 選 (3) [ 例題 4] ( 三角函數圖形的平移 ) π 把函數 y=cosx 圖形向右平移單位, 成為函數 6 1 向上平移單位, 成為函數之圖形 π π 1 [ 答案 ]:(1) y=cos(x- )() y=cos(x- )+ 6 6 之圖形, 接著 [ 例題 5] 考慮函數 f(x)=sin3x, 試問下列選項何者為真? (A) f(x) (B)f(x) 在 x= π π 6 時有最大值 (C)f(x) 的週期為 3 (D)y=f(x) 的圖形對稱於直線 x= π (E)f()>0 (88 大學聯考社會組 ) [ 答案 ]:(A)(B)(C)(D) ~ 三角二 -11~

12 ( 練習 4) 當 x 介於 0 與 π 之間, 直線 y=1 x 與函數 y=tanx 的圖形, 共有幾個交點? (A)0 (B)1 (C) (D)3 (E)4 (87 學科能力測驗能力測驗 ) [ 答案 ]:(D) ( 練習 5) 請求出函數 y=3cos( x 4 +8) 1 的週期與振幅 [ 答案 ]: 週期 =8π, 振幅 =3 ( 練習 6) 求方程式 sinx= 1 3 在 [0,4π ] 內根的個數 [ 答案 ]:4 ( 練習 7) 求方程式 10sinx=x 有幾個實數解?(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 個 [ 答案 ]:(D) ( 練習 8) 若 sinx 1 且 0 x π, 試求 x 的範圍 [ 答案 ]: 7π 6 x 11π 6 三三角函數公式 [ 例題 6] ( 由三角形兩內角的三角函數, 求另一內角的三角函數 ) ABC 中, 已知 cosb= 4 5,cosC= 15,BC =, 則 (1)sinA=,() ABC 之外接圓半徑為 11 [ 答案 ]:(1) 5 5 ()5 5 (1) A+ B+ C=180 A=180 ( B+ C) sina=sin(180 ( B+ C))=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 又 Q cosb= 4 5,cosC= 15 B C 為銳角 sinb= 3 5,sinC= 5 ~ 三角二 -1~

13 sina= sinbcosc+cosbsinc= = 根據正弦公式 [ 例題 7] ( 和角公式的應用 ) BC sina = R R=5 5 已知四邊形 ABCD 中, AB=16, BC=5, CD=15, ABC 及 BCD 皆為銳角, 而 sin ABC= 4 5,sin BCD=4 5, 求 (1) BD=? () AD=? [ 答案 ]:(1)0 ()1 (1) 令 BD=x, 在 BCD 中利用餘弦公式 x = cos BCD x=0 BCD 為直角三角形 () 令 ABD=θ θ= ABC DBC 欲求 cosθ, 並於 ABD 中利用餘弦公式求 AD 因為 sin ABC= 4 5,sin DBC=CD BC =3 5 利用和角公式求 cosθ=cos( ABC DBC)= =4 5 AD = cosθ=144 AD=1 A θ D B C [ 例題 8] tanα,tanβ 為 x +5x =0 之二根, 求 (1)tan(α+β)=? () sin (α+β)+5sin(α+β)cos(α+β) cos (α+β) =? [ 答案 ]:(1) 5 3 () (1)Q tanα,tanβ 為 x +5x =0 之二根 tanα+tanβ= 5,tanαtanβ= tan(α+β)= tanα+tanβ 1 tanα tanβ = 5 3 ()Q tan(α+β)= 5 3,α+β 為第二或四象限角 sin(α+β)cos(α+β)<0, 所以取 α+β 為第二象限角,sin(α+β)= 5 34,cos(α+β)= 3 34 sin (α+β)+5sin(α+β)cos(α+β) cos (α+β) =( 5 34 ) +5( 5 34 )( 3 34 ) ( 3 34 ) = ~ 三角二 -13~

14 [ 例題 9] ( 倍角與半角公式 ) 已知 tanθ= 3 3π 4 且 <θ<π, 求 cosθ tanθ sin θ tanθ 的值 [ 答案 ]:cosθ= 7 5 tanθ= 4 7 sinθ = 1 10 tanθ = 1 3 tanθ= 3 3π 4 且 <θ<π cosθ=4 5 cosθ=cos θ 1=( 4 5 ) 1= 7 5 tanθ= tanθ 1 tan θ = 4 7 cosθ=1 sin θ 4 θ 5 =1 sin θ sin = 1 10 sinθ = 1 10 (Q3π 4 <θ <π) tan θ = 1 3 [ 例題 10] 設 sinθ = 3 5,π <θ <3π 4, 試求下列之值 : (1)sinθ cosθ ()tanθ +cotθ (3)sin 6 θ +cos 6 θ [ 答案 ]:(1) 8 10 () 5 3 (3) (1)(sinθ cosθ) =sin θ +cos θ sinθ cosθ=1 sinθ= 8 5 () sinθ = 3 5 tanθ +cotθ= sinθ sinθ cosθ = 3 5 sinθ cosθ = 3 10 cosθ + cosθ sinθ = 1 sinθcosθ = 10 3 (3) sin 6 θ +cos 6 θ =(sin θ+cos θ)(sin 4 θ sin θcos θ+cos 4 θ) = sin 4 θ sin θcos θ+cos 4 θ =(sin θ+cos θ) 3sin θcos θ =1 3 sin θcos θ = [ 例題 11] ( 積化和差公式 ) 化簡下列各式 : ~ 三角二 -14~

15 (1) sin0 sin40 sin80 () cos65 sin110 +cos5 sin0 3 [ 答案 ]:(1) 8 () (1) sin0 sin40 sin80 = 1 (cos0 cos60 )sin80 = 1 ( cos0 1 )sin80 =1 cos0 sin sin80 = 1 [1 (sin100 +sin60 )] 1 4 sin80 =1 4 sin sin sin80 = 3 8 () cos65 sin110 +cos5 sin0 = 1 (sin175 +sin45 )+1 (sin45 sin5 ) =1 (sin175 +sin45 sin5 ) =sin45 = [ 例題 1] ( 和差化積 ) 化簡下列兩式 : (1)sin10 sin110 +sin130 () cos0 cos40 cos80 [ 答案 ]:(1)0 ()0 (1) sin10 sin110 +sin130 =cos60 sin( 50 )+sin130 =sin( 50 )+sin130 =0 () cos0 cos40 cos80 = sin30 sin( 10 ) cos80 = sin( 10 ) cos80 =sin10 cos80 =0 π ( 練習 9) 設 <α<π,π <β<3π, 且 sinα= 3 5,cosβ = 1 13, 則 (1)sin(α β)= ()cos(α β)= (3)α β 為第象限角 [ 答案 ]:(1) ()33 65 (3) 四 ~ 三角二 -15~

16 ( 練習 10) 半徑 14 的圓 O 上有一扇形 AOB; 如圖所示, 在( AB 弧上取一點 P, 已知 P 對 OA 作垂直線段 PQ, 其長為 13;P 對 OB 作垂直線段 PR, 其長為 11 則 : (1) 若此扇形 AOB 的圓心角 θ, 則 θ 為 () 斜線面積為 [ 答案 ]:(1) π 3 ()196π ( 練習 11) 右圖是一個直角三角形 ABC, 其中 C=90, BAD=θ, 若 CD= BD=1, AC=3, 則 tanθ=? (A) 3 11 (B)1 7 (C) 9 (D)1 9 (E)1 3 (9 北區指定考科模擬考 ) [ 答案 ]:(A) B D C A π ( 練習 1) 設 <θ<π 且 sinθ= 3 5, 求 sinθ 及 cos θ sin3θ 的值 [ 答案 ]:sinθ= 4 5 cosθ = 1 10 sin3θ= ( 練習 13) π <θ <π, 且 sinθ+cosθ= 1 4, 則 (1)sinθ = ()sin 3 θ +cos 3 θ = [ 答案 ]:(1) () 18 ( 練習 14) 設 0 x π, 二曲線 Γ 1 :y=sin5x 及 Γ :y=cosx (a) 曲線 Γ 1 與 Γ 共有個交點 (b) 若 θ 是 Γ 1 與 Γ 交點的橫坐標中最小者, 則 cos θ= (91 台中區指定考科模擬考 ) [ 答案 ]:(a)10 個交點 (b) ~ 三角二 -16~

17 ( 練習 15) θ= π 8, sin5θ+sinθ 求之值 cos5θ+cosθ [ 答案 ]: +1 ( 練習 16) x 代表實數, 請選出正確的選項 : (1) 當 0<x< π 時,cosx 之值恆為正 () 當 0<x< π 時,sinx 之值恆為正 (3) 不論 x 為何,cos x sin x 1 恆成立 (4) 不論 x 為何,sinxcosx 1 恆成立 (5) 不論 x 為何,sinx+cosx 3 恆成立 (96 指定考科乙 ) [ 答案 ]:()(4)(5) 四三角函數的極值 : [ 例題 13] ( 疊合求極值 ) 設 0 x π, 求 y=3 cos( π 6 x)+sinx 的最大值, 最小值 [ 答案 ]:5,3 3 [ 解答 ]: y=3 cos( π 6 x)+sinx =3 (cos π 6 cosx+sinπ 6 sinx)+sinx =3 3cosx+sinx =3+( 1 sinx 3 cosx) =3+(sinxcos π 3 cosxsinπ 3 ) =3+sin(x π 3 ) 0 x π π 3 x π 3 π 3 3 sin(x π 3 ) y 5, 最大值 =5, 最小值 =3 3 [ 例題 14] ( 疊合求極值 ) A( 1, 3 ) y O 1 x B( 1, 3 ) 設 y=3sinx+4cosx+10,0 x π, 則當 x=? 時,y 有最大值 M=? 當 x=? 時,y 有最小值 m=? [ 答案 ]:x= π 4 sin 1 5 時 M=15;x= π 時,m=13 ~ 三角二 -17~ y D( 4 3 5,3 5 ) C( 5,4 5 ) α

18 y=3sinx+4cosx+10 =5( 3 5 sinx+4 5 cosx)+10 =5(sinxcosα+cosxsinα)+10, 令 cosα= 3 5,sinα=4 5 =5sin(x+α)+10 因為 0 x π,α x+α π +α 所以當 x+α= π x=π α=π sin 1 4 5,y=15 為最大值當 x+α= π +α x=π,y=5sin(π +α)+10=13 為最小值 [ 例題 15] ( 配方求極值 ) 在下列條件下, 求 y=sin x 3cosx+1 之最大值及最小值 (1)0 x π ()0 x π 3 [ 答案 ]:(1)M= 33 8,m= () M=1,m= y=sin x 3cosx+1 =(1 cos x) 3cosx+1 = cos x 3cosx+3 = (cosx+ 3 4 ) (1) 因為 0 x π 1 cosx 1 當 cosx= 3 4, 33 有最大值 8, 當 cosx=1 時, 有最小值 () 因為 0 x π 3 1 cosx 1 當 cosx= 1, 有最大值 1, 當 cosx=1 時, 有最小值 [ 例題 16] ( 倍角 + 疊合求極值 ) 設 0 x π, 若 f(x)=3sin x+4 3 sinx cosx cos x, 則 (1) 當 x= 時,f(x) 有最大值 = () 當 x= 時,f(x) 有最小值 = [ 答案 ]:(1) π 3,5 ()5π 6, 3 將 f(x)=3sin x+4 3 sinxcosx cos x ~ 三角二 -18~

19 =3 1 cosx +4 3 sinx = 3 sinx cosx+1 3 =4( sinx 1 cosx)+1 =4sin(x π 6 )+1 1+cosx 因為 0 x π, 所以 π 6 x π 6 11π 6 1 sin(x π 6 ) 1 當 x π 6 =π x=π 3,f(x) 有最大值 5 當 x π 6 =3π x=5π 6,f(x) 有最小值 3 [ 例題 17] 設 f(θ)=sinθ cosθ +sinθ +cosθ +1 (1)θ 為任意實數時,f(θ) 之最大值為, 最小值為 () π 4 θ π 時,f(θ) 之最大值為, 最小值為 [ 提示 : 令 t=sinθ +cosθ ] [ 答案 ]:(1) 3 +,0 () 3 +, [ 解答 ]: 先令 t=sinθ +cosθ 則 t =sin θ+cos θ+sinθcosθ sinθcosθ= t -1 且 t=sinθ+cosθ= sin(θ+ π 4 ) (1) 原式 f(θ)=sinθ cosθ +sinθ +cosθ +1 = t -1 +t+1= 1 t +t+ 1 = 1 (t+1), 又 θ R t 1 f(θ) 之最大值為 ( +1), 最小值為 0 () π 4 θ π 時 π θ+π 4 3π 4 sin(θ+π 4 ) 1 1 sin(θ+ π 4 ) 1 t f(θ) 1 之最大值為 ( +1), 最小值為 ~ 三角二 -19~

20 ( 練習 17) 設 y=sin( π 6 x)+cosx (1) 若 y=asin(x+b), 其中 a>0,0 b<π, 求實數 a,b 之值 () 若 0 x π, 求 y 之最大值與最小值 [ 答案 ]:(1)a= 3,b= π 3 ()3, 3 ( 練習 18) y=cos x-3cosx+3 之最大值為, 最小值為 [ 答案 ]:7,1 ( 練習 19) 設 0 x π, 則 f (x)=sin x+sinxcosx+cos x 最大值為, 最小值為 [ 答案 ]: 3+ ;1 ( 練習 0) 設 0 x π, 求 y=sinx sinx cosx+4 的最大值及最小值 (9 北區學測模擬測驗 ) [ 答案 ]: 最大值 =5, 最小值 = 11 4 叁綜合練習 (A) 學科能力測驗聯考試題觀摩 1. 設 cosθ +3sinθ=, 且 0<θ<90, 得 sinθ +cosθ=? (88 大學聯考自然組 ) E. 已知正五角星 ( 即 ABCDE 為正五邊形 ) 內接於一圓 O, A D 如右圖所示. 若 AC=1, 則圓 O 的半徑長為. O [sin18 = 5 1 4,cos18 = ] (90 大學聯考社會組 ) B C 3. 如右圖, 一個大的正八角星形的頂點為周圍八個全等的小正八角星形中心, 相鄰的兩個小八角星有一個共同頂點觀察圖中虛線部分, 設小八角星頂點 C 到其中心 A 的距離為 a, 大八角星頂點 A 到其中心的距離為 b 試問 a:b 的比值為 (91 指定考科乙 ) ~ 三角二 -0~

21 4. 設 a > 0, 令 A(a) 表示 x 軸 y 軸直線 x = a 與函數 y = + sin x 的圖形所圍成的面積下列選項有哪些是正確的? (1) A ( a + π ) = A( a) 恆成立 () A ( π ) = A( π ) (3) A ( 4π ) = A(π ) (4) A( 3π ) A(π ) > A(π ) A( π ) (93 指定考科甲 ) 5. 若有 θ 使下述方程組不只一組解, 求 sinθ +cosθ 的值 (1 + cosθ ) x y = 0 (93 指定考科甲 ) x + (1 + sinθ ) y = 0 6. sin 3θ cos3θ 可化簡為 (1) sinθ () cosθ (3) tanθ (4) cotθ (94 指定考科甲 ) sec θ csc θ 7. 如下圖所示, 有一船位於甲港口的東方 7 公里北方 8 公里 A 處, 直朝位於港口的東方公里北方 3 公里 B 處的航標駛去, 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度?( 整數以下, 四捨五入 ) A (89 學科能力測驗 ) B 港口 8. 設 ABC 為一等腰直角三角形, BAC = 90 若 P Q 為斜邊 BC 的三等分點, 則 tan PAQ = (93 學科能力測驗 ) 9. 下列哪些函數的最小正週期為 π? (9 學科能力測驗 ) ~ 三角二 -1~

22 (1)sinx+cosx ()sinx cosx (3) sinx+cosx (4) sinx cosx (5) sinx + cosx C 10. 兩條公路 k 及 m, 如果筆直延伸將交會於 C 處成 60 夾角, 如圖所示為銜接此二公路, 規劃在兩公路各距 C 處 450 公尺的 A B 兩點間開拓成圓弧型公路, 使 k, m 分別在 A,B 與此圓弧相切, 則此圓弧長 = 公尺 ( 公尺以下四捨五入 ) , π (90 學科能力測驗 ) A 60 B 11. 函數 f(x)= 1 k (cos10x cos1x),x 為實數則下列選項那些是正確的? (A)f(x)=sin11xsinx 恆成立 (B) f(x) 1 (C)f(x) 的最大值是 1 (D)f(x) 的最小值是 1 (E)f(x)=0 有無窮多解 (91 學科能力測驗 ) m 1. 如圖, ABC 的對邊分別為 a,b,c,p 為 C 點的垂足,h 為高,BP=x,AP=y, 則下列那些選項必定為真? C (A)cosC= h a + h b (D)cosC= a +b c ac (E)cosC= h xy ab (B)cosC= x a + y b (C)cosC=cos(A+B) (91 學科補考 ) 13. 在 ABC 中, 下列哪些選項的條件有可能成立? (1)sinA=sinB=sinC= 3 () sina,sinb,sinc 均小於 1 (3) sina,sinb,sinc 均大於 (4) sina=sinb=sinc= 1 (5)sinA=sinB=1,sinC= 3 (91 學科能力測驗 ) B a h c P b 3 A 14. 設 70 < A < 360 且 3 sin A+ cos A= sin 004, 若 A= m, 則 m = (93 學科能力測驗 ) 15. 下列哪一個數值最接近? (1) 3 cos44 + sin 44 () 3 cos54 + sin 54 (3) 3 cos64 + sin 64 (4) 3 cos74 + sin 74 (5) 3 cos84 + sin84 (95 學科能力測驗 ) 16. 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形, 且 OD = 8 問 : 直角三角形 OAB 的高 AB 為何? (1) 1 () 6 (3) 7 1 (4) 3 (5) (95 學科能力測驗 ) O D C B A ~ 三角二 -~

23 17. 坐標平面上, 以原點 O 為圓心的圓上三個相異點 A(1,0) B C, 且 AB= BC 已 3 知銳角三角形 OAB 的面積為 10, 則 OAC 的面積為 ( 化為最簡分數 ) (97 學科能力測驗 ) (B) 重要問題觀摩 : 18. 有一圓形紙片如右圖中圓 O, 將其中扇形 ( 陰影部分 )ROP 剪去, 並將兩半徑 OP OR 重合粘在一起, 成一圓錐以 r 表圓的半徑, 以 θ 表示圓心角 ROP 的弧度, 以 l 表示圓弧 PQR 的長, 用下列選項中的那些值, 就可以求出圓錐的體積? (A) 只用 r 值 (B) 只用圓弧 l 值 (C) 只用 r 和 θ 值 (D) 只用 r 和 l 值 (E) 只用 l 和 θ 值 ( 大考中心模擬試題 ) P R Q O 19. 某遊樂場的摩天輪直徑 80 公尺,O 為旋轉中心, 如右圖所示, 若已知該摩天輪旋轉一圈須花二十分鐘 ( 假設該摩天輪是等速旋轉 ) 那麼, 如果阿丁從地面 A 點處搭上摩天輪, 則十二分鐘後, 阿丁離地面的高度約為公尺 (9 北區學測模擬測驗 ) ( 四捨五入取至整數位,sin ,cos ) 0. 已知一扇形的周長為 40, 今欲得最大扇形面積, 其半徑為, 又此時扇形的面積為, 中心角 = 1. 下列有關函數 y=sinx cosx 的性質, 那些是正確的? O A (A) 它是一個週期函數 (B) 它的最大值為, 最小值為 (C) 它的圖形與直線 y= 3 會相交 (D) 在區間 [0, π ] 上, 它是一個遞增函數 (E) 它的圖形對稱於原點 (90 北區學測模擬考 ). 下面兩個圖分別是 f(x) 及 g(x) 的函數圖形, 其週期均為 5, 請問下列那些函數週期也是 5? (A)f(x)+g(x) (B) f(x) (C)f(x) g(x) (D) f(x) g(x) (E) f(x)+g(x) ( 大考中心參考試題 ) ~ 三角二 -3~

24 3. 下列圖形何者可能是 y= sinx cosx 在直角坐標平面上的部分圖形? (9 北區學測模擬測驗 ) 4. 設 0 x π, 1<k<0 是一個常數已知 y=k 和 y=sinx 的圖形交於兩點, 此二點的 x 坐標和為 (A)0 (B) π (C)3π (D)3π (E)π (93 大考中心研究用試題 ) 5. 下列那一組函數圖形經過平移後可以重疊? (A)y=sinx 與 y=cosx (B)y=secx 與 y=cscx (C)y=x 與 y=4x (D)y=x +5 與 y=(x+3) 6 (E)y=sinx 與 y=sinx 6. 如右圖, AH BC 且 BC=5AH, B+ C=45, BH 若 BH> HC, 則 HC =? B H C A ~ 三角二 -4~

25 7. 已知 cosx+cosy=1,sinx+siny= 1, 試求下列各式的值 : (1)tan x+y ()tan(x+y) (3)cos(x+y) (4)cos(x y) L 8. 如右圖, 正方形 A 與 B 的面積和為 1, (a) 設正方形 A 與 B 的邊長分別為 sinθ cosθ, 請利用 sinθ 與 cosθ 來表示 MNL 的面積 (b) 請求出 MNL 的面積的最大值 A M B N 9. 在右圖 ABC 中, AB=3, AC=6, AD=, 且 BAD=θ, DAC=θ : (a) 利用 ABC 之面積 = ABD 面積 + ADC 面積, 以 θ 之三角函數列出方程式 (b) 試利用 (a) 的結果求 cosθ 之值 A 30. 設 ABC 滿足下列條件, 試分別判定其形狀 : (1)cosAcosB=sinAsinB ()sina=sinbcosc 3 6 B D C ~ 三角二 -5~

26 肆綜合練習解答 1. [ 答案 ]: cosθ= 3sinθ cos θ=( 3sinθ) cos θ=4 1sinθ+9sin θ 1 sin θ=4 1sinθ+9sin θ sinθ= 6± 6 10 (1 ) 當 sinθ= cosθ= < 1( 不合 ) ( ) 當 sinθ= cosθ= sinθ +cosθ = [ 答案 ]: 10 令圓 O 的半徑為 r 連 OA OC, 在 AOC 中使用餘弦公式 AC = OA + OC OA OC cos144 1=r r cos144 =r (1 cos144 ) 1=r (1 cos144 ) 1=r sin 7 r sin7 =1 1 r= sin7 = 1 cos18 = [ 答案 ]: 5 = A B B C E O a A C D [ 解法 ] a 如右圖 b =sin AOC=sin.5 Qcos45 =1 sin.5 = 1 sin.5 sin.5 = 4 b O sin.5 = 4. [ 答案 ]:(3) (4) ~ 三角二 -6~

[ 答案 ]: 1+ (1 + cosθ ) x y = 0 1+ cosθ 1 不止一組解 = 0 x + (1 + sinθ ) y = 0 1 1+ sinθ sinθ + cosθ + sinθ cosθ = 0LL(*) t 1 令 sin

27 由上面兩個圖觀察即可得知 A(a)=R 1,A(a+π)=R 1 +R,A(π)=R 3 +R 4,A(π)=R 3,A(4π)=R 3 +R 4,A(π)=R 3 +R 4 (1) A ( a + π ) > A( a) () A ( π ) < A( π ) (3) A ( 4π ) = A(π ) (4) A( 3π ) A(π ) > A(π ) A( π ) 5. [ 答案 ]: 1+ (1 + cosθ ) x y = 0 1+ cosθ 1 不止一組解 = 0 x + (1 + sinθ ) y = sinθ sinθ + cosθ + sinθ cosθ = 0LL(*) t 1 令 sin θ + cosθ = t ( 其中 t ) 且 sinθ cosθ = t 1 1 (*) 式 = + t = ( t + t 1) = 0 t = 1± ( 負不合 ) 故 sinθ +cosθ = [ 答案 ]:(1) 原式 = sin 3θ cos θ cos 3θ sin θ = sin(3θ θ ) = sinθ 所以選 (1) ~ 三角二 -7~

28 7. [ 答案 ]:45 度 A(7,8) B(,3) C 港口 (O) D D 設 OBC=θ, DCA=α, OBD=β θ+α+β=90 tanθ=tan(90 α β) 又已知 tanα= =1 5,tanβ= tanα+tanβ 3 tan(α+β)= 1 tanαtanβ =1 cot(α+β)=1 tanθ=1 θ=45 8. [ 答案 ]: 4 3 坐標化, 定 A (0,0), B ( 3a,0), C( 0,3a), 其中 a 0 由分點公式知 P ( a, a), Q( a,a) a a + a a 4 3 cos θ = = tan θ = 5a 5a [ 答案 ]:(3)(4) (1) sinx+cosx= sin(x+ π 4 ), 週期 =π () sinx cosx= sin(x π 4 ), 週期 =π (3) sinx+cosx = sin(x+ π 4 ), 週期 =π (4) sinx cosx = sin(x π 4 ), 週期 =π C(0,3a) A(0,0) Q(a,a) P(a,a) B(3a,0) (5) sinx + cosx = sin(x+ kπ ) + cos(x+kπ ), 週期 = π C 故選 (3)(4) 10. [ 答案 ]:544 A 60 B 設圓弧的中心為 O, 連 OA OB AOB=10 = π 3 O Q ABC 為正三角形 AB=450( 公尺 ) k m ~ 三角二 -8~

29 設 OA=OB=r, 在 AOB 中使用餘弦公式 450 =r +r r rcos10 r=150 3 ( 公尺 ) 圓弧長 = π 3 r=100 3 π 544( 公尺 ) 11. [ 答案 ]:(A)(B)(D)(E) (A)f(x)= 1 (cos10x cos1x)=1 ( sin( x)sin11x)=sinxsin11x (B)Q sinx 1 且 sin11x 1 f(x) 1 (C) 當 f(x)=1 時 sinx=1 且 sin11x=1,sinx=1 x= π +kπ, 但代入 sin11x=sin( 3π +lπ)= 1, 所以 f(x) 不可能等於 1, 所以 f(x) 的最大值 1 (D) 考慮 f( π )=sinπ sin11π = 1, 所以 f(x) 的最小值 = 1 (E)Qx=kπ,f(kπ)=sinkπsin11kπ=0 f(x)=0 有無窮多解 1. [ 答案 ]:(E) cosc=cos(180 A B)= cos(a+b)= cosacosb+sinasinb 又 cosa= y b,sina=h b,cosb=x a,sinb=h a cosc= y b x a +h b h xy a =h ab 故選 (E) 13. [ 答案 ]:(1)()(5) (1) A= B= C=60 () A=10, B=10, C=160 sina=sinb<sin30 = 1,sin160 =sin0 <sin30 =1 3 (3)Q sina,sinb,sinc 均大於, ABC 中有兩個大於 60 的角, 設為 A B Q 內角和 =180 C<60 sinc< 3 ( 矛盾 ) (4)Q sina=sinb=sinc= 1 ABC 中會有兩個內角 =30, 另一內角為 10, sin10 = 3, 不合 (5) A= B=30, C=10 故選 (1)()(5) 14. [ 答案 ]:306 ~ 三角二 -9~

30 3 3 sina+cosa=( sina+1 cosa)=sin(a+30 ) Q70 <A< <A+30 <390 sin(a+30 )=sin004 =sin04 = sin4 =sin336 A+30 =336 A=306 m= [ 答案 ]:(4) (1) 3 cos 44 + sin 44 = cos(44 30) = cos14 () 3 cos54 + sin 54 = cos(54 30) = cos 4 (3) 3 cos64 + sin 64 = cos(64 30) = cos34 (4) 3 cos74 + sin 74 = cos(74 30) = cos 44 (5) 3 cos84 + sin84 = cos(84 30) = cos [ 答案 ]:(4) AB = OB sin15 = ( OC cos15 ) sin15 1 = (OD cos30 ) cos15 sin15 = 8 cos30 sin 30 = sin 60 = [ 答案 ]: 1 5 設 B(x B,y B ) C(x C,y C ) 三角形 OAB 面積 = 1. OA.y B = 3 10 y B= 3 5 因為三角形 OAB 為銳角, 故 x B = 4 5 設 B 的方向角 AOB 為 θ cosθ = 4 5,sinθ =3 5 因為 AB= BC,y C =sinθ=sinθ.cosθ = 4 5 OAC 的面積為 = = [ 答案 ]:(C)(D)(E) 設圓錐的底面半徑為 x, 高為 h 依題意 l=r(π θ), 圓錐底面的周長 l=πx,x= π l, r =h +x h= r x 圓錐體積 V= 1 3 πx h= π 3 (π l ) r x (C) 只用 r 和 θ 可得 l 可得 x 可得 h 可得體積 V ~ 三角二 -30~

31 (D) 只用 r 和 l 值可得 r 和 θ 值可得 x 可得 h 可得體積 V (E) 只用 l 和 θ 值可得 x,l 可得體積 V 故選 (C)(D)(E) 19. [ 答案 ]:7 1 0 = 3 5 ( 圈 ) =16 h=40+40cos [ 答案 ]:10,100, 設扇形半徑為 r, 中心角為 θ, 扇形面積為 A= 1 r θ, 依題意 40=r+r θ r rθ=4 A 100 A 當 A=100 時 r=r θ θ= A=100= 1 r r=10 1. [ 答案 ]:(A)(D) y=sinx cosx= sin(x π 4 ) (A) 週期為 π (B)y 的最大值為, 最小值為 3 (C) 因為 > y=3 與 y=sinx cosx 不相交 (D)Q0 x π π 4 x π 4 π 4 在區間 [0, π ] 上,y=sinx cosx 是一個遞增函數 (E)sin( x) cos( x) (sinx cosx) 圖形不會對稱於原點故選 (A)(D). [ 答案 ]:(A)(C) [ 解答 ]: 可將 f(x) g(x) 分別視為 f(x)=cos( π 5 x),g(x)=sin(π 5 x) (A) 根據疊合的方法週期 =5 5 (B) f(x) 的週期為 (C) 根據疊合的方法週期 =5 5 (D) f(x) g(x) 的週期為 (E) f(x)+g(x) 5 的週期為故選 (A)(C) 3. [ 答案 ]:(4) y= sinx cosx = sin(x π 4 ), 其圖形為 (4) ~ 三角二 -31~

32 4. [ 答案 ]:(C) Q 1<k<0, y=k 和 y=sinx 的圖形交於 A(α,sinα) B(β,sinβ) 且 π<α,β<π 又根據 y=sinx 在 [π,π] 的圖形對稱於直線 x= 3π A B 對稱於直線 x= 3π α+β=3π =3π 5. [ 答案 ]:(A)(B)(D) π 向左平移 π 向右平移 (A)y=sinx y=cosx (B)y=secx y=cscx (C)y=x 沿 y軸伸縮倍 y=4x (D)y=x 沿向量 ( 3, 11) 平移 +5 y=(x+3) 6 1 沿 x軸伸縮倍 (E)y=sinx y=sinx 故選 (A)(B)(D) 6. [ 答案 ]: 3 BH 設 HC =x, x 令 AH=a BC=5a BH=(5a) 1+x,CH=(5a) 1 1+x B+ C=45,tanB= AH BH =1+x 5x,tanC=AH CH =1+x 5 tan45 =tan(b+c)= tanb+tanc 1 tanbtanc x=3 7. [ 答案 ]:(1) 1 ()4 3 (3)3 5 (4) 3 8 (1)1=cosx+cosy=cos x+y cosx y.. 1 =sinx+siny=sinx+y cosx y x+y sin cosx y cos x+y cosx y = tan x+y =1 x + y ()Q tan x+y tan =1 tan(x+y)= x + 1 tan y = 4 3 ~ 三角二 -3~

33 x + y 1 tan (3)cos(x+y)= = 3 x + y 5 1+ tan (4)(cosx+cosy) =cos x+cos y+cosxcosy=1.. (sinx+siny) =sin x+sin y+sinxsiny= (cosxcosy+sinxsiny)= 5 4 +cos(x y)= cos(x y)= 8 8. [ 答案 ]:(a) 1 cosθ(sinθ cosθ) (b) 1 4 (a) MNL= 1 MN ML= 1 cosθ (sinθ cosθ) (b) 1 cosθ (sinθ cosθ) = 1 (cosθ sinθ cos θ) = 1 [1 sinθ 1+cosθ ] = 1 [1 sinθ 1 cosθ 1 ] =1 [ sin(θ π 4 ) 1 ] MNL 的面積的最大值為 [ 答案 ]:(a)3sin3θ=sinθ +sinθ (b) 6 (a)q ABC 之面積 = ABD 面積 + ADC 面積 sin3θ=1 3 sinθ+1 6 sinθ 3sin3θ=sinθ +sinθ (b) 利用倍角公式 3(3sinθ 4sin 3 θ)=sinθ +(sinθ cosθ ) Qsinθ 0 上式可約去 sinθ 9 1sin θ=1+4cosθ 9 1(1 cos θ)=1+4cosθ 3cos θ cosθ 1=0 1± cosθ= 6 ( 6 <0 不合 ) cosθ = 6 ~ 三角二 -33~

34 30. [ 答案 ]:(1) 直角 () 等腰 (1) cosacosb=sinasinb cosacosb sinasinb=0 cos(a+b)=0 A+ B= π ABC 為直角三角形 () 利用正弦公式 sina= a R,sinB= b R 利用餘弦公式 cosc= a +b c ab 代入 sina=sinbcosc a R =( b +b c R )(a ab ) b c =0 b =c ABC 為等腰三角形 ~ 三角二 -34~

第三單元平面座標與直線的斜率

第三單元平面座標與直線的斜率第二十一單元三角函數公式倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α