1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面

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铠葛
5 years ago
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1 正餘弦定理陳清海老師

2 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin Show Axes Show 底 10 Show 底 8 C 8 A B 類題 1 在 ABC 中已知 AB 10 BC 6 B 150 求 ABC 的面積. Ans:15 高中數學虛擬教室

3 1 1 ABC 面積 AB BC sin B 10 6sin 例題在 ABC 中已知 b 6 c 8 A的內角平分線交 BC 於 D (1) 求面積比 ABD: ACD. () 已知 A 10 求 AD 長. Ans:(1) 4:3() 4 7 (1) 設 BAD CAD 由三角形面積公式得 1 1 ABD : ACD AB AD sin : AC AD sin AB : AC 8:6 4:3. () A 10 故 BAD CAD 60 ABC 面積 = ABD 面積 + ACD 面積 sin10 8 AD sin60 6 AD sin60 得 4 AD 7. 類題在 ABC 中若 AB 5 AC 4 A 60 若 AD 為 BAC 平分線且交 BC 於 D 求 AD 長. Ans: ABC 面積 = ABD 面積 + ACD 面積 sin60 5 AD sin30 4 AD sin AD 4 的高中數學虛擬教室

4 3 0 3 AD. 9 高中數學虛擬教室

5 4 主題二正弦定理若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 A 而 ABC 的外接圓半徑為 R 則 a b c R. sin A sin B sin C B和 C的對邊長例題 3 在 ABC 中已知 A : B : C 1:3:8 求 abc : :. ( 6 sin15 ) 4 Ans: 6 : : 3 因為 ABC 三內角和為 180 所以 1 A B C a b c 利用正弦定理得 sin A sin B sin C a: b: c sin A:sin B:sin C sin15 :sin45 :sin : : 4 6 : : 3. 高中數學虛擬教室

6 5 類題 3 在 ABC 中已知 A : B : C 3:4:5求 abc : :. ( 6 sin75 ) 4 Ans: : 3: 6 因為 ABC 三內角和為 180 所以 3 A B C a b c 利用正弦定理得 sin A sin B sin C a: b: c sin A:sin B:sin C sin45 :sin60 :sin : : 4 : 3: 6. 例題 4 在 ABC 中 A 45 C 75 BC 1 (1) AC 長. () ABC 外接圓半徑. Ans:(1) 66() 6 (1) B 求高中數學虛擬教室

7 6 a b 由正弦定理得 sin A sin B 1 AC 1 AC AC 66 sin45 sin () 由 R 1 sin45 1 得 ABC 外接圓半徑 R 6. 類題 4 在 ABC 中 AB 8 C 45 B 15 求: (1) BC 長. () ABC 外接圓的半徑. Ans:(1) 46() 4 (1) A a c 由正弦定理得 sin A sin C BC 8 BC 8 BC 46 sin10 sin () 由 R 8 sin45 1 得 ABC 外接圓半徑 R 4. 例題 5 在 ABC 中設 A B C的對邊長分別為 a b c. bc : ca : ab 4:5:6求 sin A:sin B:sin C. 若 Ans:7:5:3 高中數學虛擬教室

8 因為 b c c a a b : : 4:5:6 b c 4 kl (1) 所以可設 c a 5 kl () a b 6 kl (3) abc 15k 由 (1)+()+(3) 得 15k 即 abc (4) 將 (4)-(1) 得將 (4)-() 得 b 將 (4)-(3) 得 7k a 5k 3k c. a b c 利用正弦定理 sin A sin B sin C 7k 5k 3k 得 sin A:sin B:sin Ca: b: c : : 7:5:3. 7 類題 5 在 ABC 中設 A B C的對邊長分別為 a b c.已知 5a b 5c 0 3a 1 b8c 0求 sin A:sin B:sin C. Ans:4:5:6 5a b 5c 0 5a b 5c 3a 1b 8c 0 3a 1b 8c 解得 a c b 5 c 故 sin A:sin B:sin Ca: b: c c: c: c 4:5: 高中數學虛擬教室

9 8 例題 6 如右圖 ABCD 為圓內接四邊形.若 DBC 30 ABD45 CD 6求 AD 的長. Ans: 6 因為 ABCD 四點共圓所以 ABD 與 BCD 有相同的外接圓設此圓半徑為 R 利用正弦定理得 6 AD R sin30 sin45 解得 AD 6. 類題 6 如右圖 ABCD 為圓內接四邊形.若 DBC 30 ADB 60 CD 6求 AB 的長. Ans: 63 因為 ABCD 四點共圓所以 ABD 與 BCD 有相同的外接圓設此圓半徑為 R 利用正弦定理 6 AB 得 R sin30 sin60 解得 AB 63. 高中數學虛擬教室

10 9 主題三餘弦定理若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 A B和 b c a a b c bc cos Acos A bc a c b b c a ca cos Bcos B ac a b c c a b ab cos Ccos C. ab C的對邊長則例題 7 在 ABC 中已知 AB 5 AC 4 A 60 求 BC 的長度. Ans: 1 利用餘弦定理 BC AB AC AB AC cos A得 BC cos 即 BC 1. 類題 7 設 ABC 中 AB AC 1 3 A 30 求 BC 的長. Ans: 在 ABC 中利用餘弦定理 BC AB AC AB AC cos A得高中數學虛擬教室

11 10 BC cos30 解得 BC 即 BC. 例題 8 在 ABC 中已知 AB 5 AC 8 BC 7求 A的度數. Ans:60 b c a 利用餘弦定理 cos A bc cos A 85 故 A 60. 得類題 8 在 ABC 中已知 AB 3 BC AC 19 求 B的度數. Ans:10 利用餘弦定理 c a b cos B ca 3 1 B 10. 例題 9 ABC 中 a b cb c a 3 Ans:60 bc 試求 A abc bca 3bc bc a 3bc 的值. 高中數學虛擬教室

12 11 b c a bc b c a bc 1 cos A bc bc 故 A 60. 類題 9 ABC 中 a b ca b c Ans:10 abc abc ac ac b ac a c b ac ac 試求 B a c b ac 1 cos B ac ac 故 B 10. 的值. 例題 10 在 ABC 中已知 AB 7 AC 3 BC 5 CD 如右圖所示.求 AD 的長度. Ans: ABC 中 cos B ABD 中 13 AD cos B 故 AD 7. 類題 10 如右圖在 ABC 中 D 為 BC 上一點且 AB AC 5 AD 4 BD DC a求 a 的值. 高中數學虛擬教室

13 1 Ans: 9 在 ABD 與 ABC 中利用餘弦定理得知 a cos B 5 5 a 推得 a a a a 解得 a 或 ( 不合 )故 a. 例題 11 求證:平行四邊形中兩條對角線長的平方和等於四邊長的平方和. ( 平行四邊形定理 ) 證明作平行四邊形 ABCD 如右圖. 設 ABC= 則 BCD=180- 根據餘弦定理在 ABC 中 AC AB BC AB BC cos 在 BCD 中 BD CD BC CD BC cos 180 CD BC CD BC cos 因為 AB CD BC DA 得 AC BD AB BC CD DA 故得證. 類題 11 在 ABC 中 D 為 BC 邊上的中點試證: AB AC AD BD.( 中線定理 ) 高中數學虛擬教室

14 13 證明如圖延長 AD 至 E 使 AD DE 則 ABEC 為平行四邊形. 利用平行四邊形定理 AE BC AB BE CE AC 即 AD BD AB AC AB AC 化簡得 AB AC AD BD 證二利用餘弦定理 ABD 與 ABC 中. AB BD AC AB BD AD cos B AB BD AB BD 即 AB BD AD AB BD AC 化簡得 AB AC AD BD. 例題 1 在 ABC 中 AB 4 BC 8 CA 6若 D 為 BC 中點求中線 AD 長. Ans: 10 在 ABD 與 ABC 中利用餘弦定理得知 4 4 AD cos B 得 AD 10 即 AD 10. 解二高中數學虛擬教室

15 14 利用中線定理 AB AC AD BD 4 6 AD 4 得 AD 10 即 AD 10. 類題 1 在 ABC 中 AB 5 BC 8 CA 7若 D 為 BC 中點求中線 AD 長. Ans: 1 利用中線定理 AB AC AD BD 5 7 AD 4 得 AD 1即 AD 1. 例題 13 設 ABCD 為圓內接四邊形已知 AB 3 BC 3 CD 5 DA 8求對角線 BD 的長度. Ans:7 設 A 則 C 180 故 BD cos cos cos 34 30cos cos 1 於是 BD 故 BD 7. 高中數學虛擬教室

16 15 類題 13 設四邊形 ABCD 內接於一圓如右圖. 其中 A 60 AB BC 6 AD 16 (1) CD. () 四邊形 ABCD 的面積. Ans:(1) 10() 39 3 求: (1) 設 CD x 因 A 60 故 C 10 BD 6 x 6 xcos cos60 36 x 6x x 6x x10 x16 0 故 x 10或 x 16 但 x 16 不合所以 x 10 即 CD 10. () 四邊形 ABCD 的面積 sin sin 主題四海龍公式 abc 在 ABC 中若三邊長為 a b 和 c 且 s ssasbs c 則高中數學虛擬教室

17 16 例題 14 在 ABC 中已知 a 5 b 8 c 7求 ABC 的面積. Ans: 因為 s 10 利用海龍公式得 ABC 的面積故 ABC 的面積為類題 14 在 ABC 中已知 a 7 b 5 c 3求 ABC 的面積. Ans: 因為 s 利用海龍公式得 ABC 的面積故 ABC 的面積為高中數學虛擬教室

18 17 ok313ex 1. 若 ABC 滿足 sin A:sin B:sin C :3:4求 sina 的值. Ans: 15 8 sin A:sin B:sin C :3:4 a:b:c=:3:4 cosa= sina= b c a bc 如圖 ABC 是以 B為直角的直角三角形四邊形 ACDE 是長方形.若 AB 4 AC 5 AE 10 ABE 的面積. 求 Ans:16 sin BAE=sin(90+ BAC)=cos BAC= 4 5 ABE 的面積 = 1 AB AEsin BAE = =16. 高中數學虛擬教室

19 18 3. ABC 中 A 30 AC 10 則下列何條件下所產生的三角形為唯一? (1) BC 4. () BC 5. (3) BC 6. (4) BC 10 Ans:()(4) (1) () B 5 B 4 A C 15 A C (3) (4) B 10 6 B[6]- 6 4 B[6] A C 15 A C 在 ABC 中若 D 點在 BC 邊上且 AB 7 AC 13 BD 7 CD 8求 AD 的長. 95 學測 Ans:7 由餘弦定理知 cosadb= cosadc= x x x +8 (13) 8x 因 coxadc=cosadb 故 =- x x x +8 (13) 8x 7 13 C 8 m AB = 5.33 cm m CA = 9.90 cm CD = 6.94 cm DB = 4.48 cm m CB = cm m AD = 4.96 cm D A 7 B 高中數學虛擬教室

20 19 8x =7(x -105) 15x =7105 x =7 x=7 5. 圓內接四邊形 ABCD 中 AB 3 BC CD 3 ABC 10 求 (1) AD 的長. () 此四邊形的面積. Ans:(1) 5() (1) 在 ABC 中利用餘弦定理得 AC =3 + -3cos10 在 ACD 中利用餘弦定理得 AC =3 +x -3xcos60 故 9+4-1( 1 )=9+x -6x 1 C 3 D 60 19=x -3x+9 x -3x-10=0 (x-5)(x+)=0 10 B 3 A AD=x=5 () 此四邊形 ABCD 的面積 =a ABC+a ACD = 1 3sin sin60 = 1 (6+15) 3 = 高中數學虛擬教室

21 0 6. 在 ABC 中 A的內角平分線交 BC 於 D. (1) 若 A 10 AB 5 AC 3求 AD 的長. () 若 AB 1 BC 14 CA 16求 AD 的長. Ans:(1) 15 8 () 1 (1) 設 AD=x a ABC=a ABD+a ACD 1 35sin10 = 1 5xsin xsin60 C A D 5 B 15 3 =5x 3 +3x 3 8x=15 x= 15 8 () BD : CD1:16 3:4故 BD = =6 CD= =8 C 設 AD=x 利用餘弦定理得 8 x x cos=8 (1) x +1-1x cos=6 () (1)3-()4 得 x =144 故得 AD=x=1 A 16 1 D 6 B 7. 在 ABC 的三邊 AB BC AC 上各取一點 D E F 使得 AD BE CF 1 DB EC FA 求 DEF: ABC 的面積比. Ans:1:3 高中數學虛擬教室

22 1 a ADF= 1 AD AF sina C = AB 3 AC sina F E = 1 9 AB AC sina= 9 a ABC A D B 同理 a BDE= 9 a ABC a CEF= 9 a ABC 故 a DEF= 1 3 a ABC 8. 在 ABC 中 AB 3 BC 19 CA A的外角平分線交 BC 的延長線於 D 點求 (1) A的度數. () AD 的長. Ans:(1) 10 () 63 D Show Axes C (1) 由餘弦定理知 cosa= 得 A= () BD : CD AB : AC 3: A 得 BD =3 19 BAD= B 高中數學虛擬教室

23 設 AD=x 由餘弦定理知 x +3-3xcos150=(3 19 ) 3 x +9-6x ( )=171 x +3 x= x=6 3 3x-16= ( 取正 ) 9. 凸四邊形 ABCD 兩對角線交於 E 若兩對角線的銳夾角為 30 且兩對角線長分別為 48 試求四邊形的面積. Ans:8 四邊形 ABCD 的面積 =a AEB+a CED+a AED+a BEC = 1 [ AE BE sin30+ CE ED sin30 + BE CE sin150+ AE DE sin150] A B 30 E D C = 1 1 [ AE BE + CE ED + BE CE + AE DE ] = 1 [ AE( BE + DE )+ CE ( ED + BE )] 4 = 1 AC BD 4 = =8 10. 如右圖在 ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 且四邊形 ABDE ACFG 皆為正方形求 (1) EG 的長 () AEG 的面積. Ans:(1) EG 14 () AEG 的面積為 1 5 高中數學虛擬教室

24 3 在 ABC 中 cosa= 得 cos EAG=cos(180-A)=cosA= 11 7 (1) EG = ( ) =14 1 () cos EAG= 11 1 sin EAG= AEG 的面積 = 1 = 在梯形 ABCD 中若 AD // BC AB 13 BC 5 CD 15 AD 11求此梯形面積. Ans:16 自 A 作 AE // CD 交 BC 於 E. 因為 AE // CD 且 AD // CE 所以 AECD 為平行四邊形. 故 AE 15 BE 且 ABE 的周長為 4. 利用海龍公式可得 ABE 假設 BE 邊上的高為 h. 由的面積為 ABE 的面積可得 B 13 A 11 D E C 1 14 h 84 h 1. 1 故梯形面積為高中數學虛擬教室

25 4 1. 在 ABC 中 AB 10 AC 9 3 cos BAC.設點 P Q 8 分別在邊 AB AC 上使得 APQ 之面積為 ABC 面積之一半則 PQ 之最小可能值為何? ( 化成最簡分數 ) 98 學測 Ans: 15 設 AP=x BP=y 則 a APQ= 1 x y sina = sina= 1 a ABC 故 xy=45 由餘弦定理知 PQ =x +y -xycosa =x +y =x +y 又 x +y xy= 45=90 故 PQ = 5 4 PQ 如圖在 ABC 中 BAC的平分線 AD 交對邊 BC 於 D ;已知 BD 3 DC 6且 AB AD 求 cos BAD的值. 94 學測 Ans: 3 4 設 AB=a 則 AB= AD=a AC=a BAD=θ 高中數學虛擬教室

5 a ABD 中 cosθ= +- a 3.. a a (1) a ACD 中 cosθ= +( a) -6.. a a () 由 (1)() a 9 - = 5a -36 a =18 a 4a a cosθ= -9 =.- 18 9 a. 18 =7 36 =3 4. 14. 四邊形 ABCD 中 AB 1 BC 5 CD 5 DA 7且 DAB BCD 90 則對角線 AC 長為.

26 5 a ABD 中 cosθ= +- a 3.. a a (1) a ACD 中 cosθ= +( a) -6.. a a () 由 (1)() a 9 - = 5a -36 a =18 a 4a a cosθ= -9 = a. 18 =7 36 = 四邊形 ABCD 中 AB 1 BC 5 CD 5 DA 7且 DAB BCD 90 則對角線 AC 長為. 100 學測 Ans: 4 如右圖 ABCD 必共圓且 BD 為直徑由餘弦定理得及 ABC+ ADC=180 得 AC = cos ABC = cos ADC 1-10cos ABC=49-70(cos ABC) cos ABC= 3 5 A 1 B 7 5 D C 5 AC = ( )= 3=4 5 高中數學虛擬教室

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題

1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面

1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面