第三單元平面座標與直線的斜率

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螗画姚
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1 第二十一單元三角函數公式倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α +β)= (c)tanθ= tan θ tanα+tanβ tanα tanβ, 令 α=β=θ, 可得 [ 注意 ]: 根據公式 (b) cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ, 可知已知 θ 的正弦值餘弦值, 可 α 得 θ 的餘弦值另一方面, 若已知 α 的餘弦值, 就可得的正弦值餘弦值例如 : 已知 cosθ= 3, 請求出 cosθ=? [ 解法 ]: 根據 cosθ=cos θ =( 3 ) = 9, 已知 0<α<, 且 cosα= 3, 試求 cos α =? 根據 (b) 令 θ=α, 可得 cosα=cos α, 所以 cos α =5 6 cosα = ± 5 α cos 6 = 5 6 結論 : 我們整理倍角公式如下 : (a)sinθ= sinθ cosθ (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ (c)tanθ= tan θ (d) cosα=cos α α = sin (e)cos θ= +cosθ,sin θ= cosθ ~ ~

2 () 以正切表示二倍角 sinθ= 證明 : +tan θ sinθ=sinθcosθ= sinθ cosθ cos θ =( sec θ ) = +tan θ cosθ= tan θ +tan θ 證明 : cosθ=cos θ = sec θ = +tan θ = tan θ +tan θ θ +tan θ 結論 : 利用 tanθ 可以將 sinθ,cosθ,tanθ 表示出來, 整理如下 : [ 討論 ]: (a) sinθ= +tan θ (b) cosθ= tan θ +tan θ (c) tanθ= tan θ 利用 tanθ 來表示 sinθ cosθ tanθ, 主要是將 sinθ cosθ tanθ 表示成分式的形式, 即 sinθ = t t +t,cosθ = t +t,tanθ= t, 其中 t=tan θ 為任意實數, 可以應用於求某些三角函數的積分 tan θ (3) 三倍角公式 (a)sin3θ= 3sinθ sin 3 θ 證明 : sin3θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ =sinθ( sin θ)+cosθ(sinθcosθ) = sinθ( sin θ)+sinθcos θ = sinθ( sin θ)+sinθ( sin θ) = 3sinθ sin 3 θ (b)cos3θ=cos 3 θ 3cosθ 證明 : cos3θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ sinθsinθ ~ ~

3 =cosθ(cos θ ) sinθ(sinθ cosθ) = cosθ(cos θ ) sin θcosθ = cosθ(cos θ ) ( cos θ)cosθ =cos 3 θ 3cosθ [ 例題 ] 已知 tanθ= 3 3 且 <θ<, 求 ()cosθ tanθ ()sin θ tanθ ns:()cosθ= 7 5 tanθ= 7 ()sinθ = 0 tanθ = 3 [ 例題 ] 如右圖, 一個大的正八角星形的頂點為周圍八個全等的小正八角星形中心, 相鄰的兩個小八角星有一個共同頂點觀察圖中虛線部分, 設小八角星頂點到其中心的距離為 a, 大八角星頂點到其中心的距離為 b 試問 a:b 的比值為何? ns: O ~ 3~

4 [ 例題 3] 已知 0<θ<,sinθ= 5 求 cos3θ=?ns: 7 5 [ 例題 ] 若 3 sinθ +cosθ =3, 求 tanθ 之值 ns: 或 5 [ 例題 5] 設 sinθ = 3 5, <θ <3, 試求下列之值 : ()sinθ cosθ ()cos θ sin θ ()tanθ +cotθ (3)sin 6 θ +cos 6 θ ns:() () 5 5 () 0 3 (3) 結論 : 底下是一些有用的公式 : (a)sin θ= cos θ (b)cos θ= sin θ (c)sin θ+cos θ=(sin θ+cos θ) sin θcos θ= sin θcos θ (d)sin 6 θ+cos 6 θ=(sin θ+cos θ) 3 3sin θcos θ( sin θ+cos θ)= 3 sin θcos θ (e)tanθ+cotθ= sinθcosθ = sinθ (f)(sinθ±cosθ) = sin θ+cos θ±sinθ cosθ=±sinθ ~ ~

5 ( 練習 ) 設 <θ< 且 sinθ= 3 5, 求 sinθ 及 sin θ sin3θ 的值 ns:sinθ= - 5,sinθ = 3 0 sin3θ=7 5 ( 練習 ) 試求 sin,cos,tan 之值 ns: +,, + ( 練習 3) <θ < 3, 且 tanθ = 3, 則 sin θ =,cosθ = ns: 3 0, 0 ( 練習 ) 設 cosθ=t, 試以 t 表示 (cos 6 θ sin 6 θ)=? ns:t 3 3t ( 練習 5) 設 <θ <, 且 3sin θ sinθ cosθ cos θ =0, 則 sinθ +cosθ = ns: 7 3 ( 練習 6) 設 sinx=3cosx, 則 cosx=,sinx= ns: 5,3 5 ( 練習 7) 試求 cos +cos 3 +cos 5 +cos 7 的值 ns: 3 ( 練習 ) <θ <, 且 sinθ+cosθ=, 則 ()sinθ = ()cosθ =,(3)sin 3 θ +cos 3 θ = ns:() 5 6 () 3 6 (3) 7 5 ( 練習 9) 若 <θ<3,sinθ=a, 則 sinθ cosθ = ns: a ( 練習 0) 如圖,θ 為一有向角, =3, =, 求 sinθ=?ns: 5 θ ~ 5~

6 ( 乙 ) 倍角公式的應用 [ 例題 6] () 利用倍角公式, 求出 sin 之值 () 求 sin5 之值 ns:() 5 () 5 + [ 例題 7] 如圖, 假設正五邊形的邊長為 a, 請求出對角線的長度 ns: 5+ a 註 : 5+ 稱為黃金比例數 E D ~ 6~

7 [ 例題 ] 求在 0<x< 的範圍內,y=sinx 與 y=sinx 兩圖形的交點坐標 ns:(,0) ( 3, ) (5 3, ) [ 例題 9] 求 cos cos cos cos 之積 ns: 6 ( 練習 ) 利用 sin 的值求出 cos36 的值 ns:cos36 = 5+ ( 練習 ) 試求在 0 x 的範圍內,y=cosx 與 y=cosx 兩圖形的交點坐標 ns:(0,) ( 3,- ) ( 3, ) (,) ( 練習 3) 設 f(x)=x 3 3x+, 則 f(x) 被 x sin 9 除後所得的餘式 = ns: 3 ( 提示 : 利用三倍角公式與餘式定理 ) ( 練習 ) 求下列的值 : ()cos0 cos0 cos0 ()cos 7 cos3 7 cos5 7 ns:() () ~ 7~

8 綜合練習 () 如圖,θ 為一個有向角, =, =5, 則 sinθ = () 設 cosθ= 且 5 <θ<, 求 (a)sinθ (b)sin3θ (c)cos θ 3 (3) 設 cos α =, α, 求 3 α (a) cos α (b) tan α (c) cos + sin α 之值 () 設 0<α<,0<β<, 且 cosα= 6,sinβ= 5, 請求出 (a)cos(α β) (b)sin α β (c)cos α+β (5) 下列何者為 x 3 6x+=0 之根? () sin0 () sin30 () sin30 (D) sin60 (E)sin50 θ (6) 設 0<α<,0<β<, 若 sinα= 5,cosβ= 5 3 則 ()0<α +β < ()tan(α β)= 6 63 ()cosα = 5 5 (D)sinβ= 0 69 (7) 如右圖, 兩個全等的直角三角形中, =, D = 3, 試求點到直線 D 的最短距離? () 求 y=sin x 的週期 (9) 化簡 sin + sin 3 + sin 5 + sin 7 (0) 化簡 cos θ +cos ( 6 +θ )+cos ( 6 θ )= = D () 若 sinx= 5, 請計算 sin(x )=? () 設 tan θ =x, 試以 x 表示 cosθ (3) 設 sinθ +cosθ =, 求 tan θ 之值 () 設 0<α <, 試化簡 +sinα sinα ~ ~

9 (5) 設 x (tanθ +cotθ )x+=0 有一根 + 3, 求 sinθ = (6) x +ax =0 有一根為 sin30 +cos30, 求 a 的值 (7) 以 x-cos0 除 f(x)=3x-x 3 之餘式為 3 () 化簡 cos cos cos cos (9) (a) 試求 cos ; sin? 6 6 (b) 試求單位圓內接正十六邊形的面積及周長? E (0) 設 <x<, 化簡 + cos x + cos x O D () 已知正五角星 ( 即 DE 為正五邊形 ) 內接於一圓 O, 如右圖所示. 若 =, 則圓 O 的半徑長 =?. [sin = 5,cos = ] o () 等腰三角形的頂角為 0, 腰長為, 底長為 b, 試求 b 3 6b 之值為何? 65 (3) 四邊形 D 內接於圓 O, 圓 O 的半徑為, 已知四邊形的周長為, = D=3, 試問 D 的長度為何? () 已知的和 b c 兩邊, 試求的內角平分線段長 (5) 在右圖中, =3, =6, D=, 且 D=θ, D=θ : (a) 利用之面積 = D 面積 + D 面積, 以 θ 之三角函數列出方程式 (b) 試利用 (a) 的結果求 cosθ 之值進階問題 3 6 (6) 求 sin 6 x+cos 6 x 的範圍 D (7) 設 sinα+sinβ=,cosα+cosβ=0, 求 cosα+cosβ 之值 () 中,=a,=b,=c,s= a+b+c ( s b)( s c) 試證 : sin = bc, O ~ 9~

10 (9) 設 α,β 為 acosx+bsinx+c=0 的相異二根,a 0, <α,β< (a) 令 tan x =t, 試將上述方程式化成 t 的方程式 (b) 求 x 在與之間有二實根的條件 (c) 求 tan α+β 之值 (30) 平行四邊形 D 中, =a, D=b, 且 a b, =α, 其內角平分線圍成一矩形, 試以 a,b,α 表示此矩形的面積 P S R D Q 綜合練習解答 0 () 9 () (a) 5 (3) (a) 6 3 () (a) (b) 5 (b) 6 (b) 305 (5) ()()(E) (6) ()()(D) (7) 96 5 () (9) 3 (0) () 5 (c) 5 (c) (c) 305 () cosθ = 6x +x +x +x [ 提示 : 因為 cosθ= t +t,t=tanθ, 所以 cosθ= x +x, 再利用 cosθ=cos θ, 求出 cosθ = 6x +x +x +x ] (3) () sin α [ 提示 :+sinα=sin α α +cos +sin α cos α =( sin α +cos α ), sinα=sin α α +cos sinα cosα =( sinα cosα ) ] (5) (6) (7) ~ 0~

11 () 6 (Hint: 3 cos = cos 9 3 = ) (9) (a) ; (b) 面積 = sin = ; 周長 3 sin = (0) x x (sin cos ) [ 提示 : 利用 cosx=cos x x = sin ] () () (3) 6 或 6 [ 提示 : 設 =x, D=y, D= D=θ, 根據正弦定理可知 sinθ= 5, 又周長為, 所以 x+y=, 由餘弦定理可知 D =x +y xycosθ, 根據倍角公式 xy=56] bc cos () b + c + 3 (5) (a)3sin3θ=sinθ +sinθ (b) 6 (6) sin6 x+cos 6 x [ 提示 :sin x+cos x= sin xcos x= (sinx) ] (7) [ 提示 :sinα= sinβ,cosα= cosβ, 兩式平方相加可得 sinβ= sinα= 再計算 cosα+cosβ] () [ 提示 :sin = r O, 因為 r= s 所以 r = s s(s a)(s b)(s c) = (s a)(s b)(s c) s,o =r +(s a) = (s a)[(s b)(s c)+s(s a)] s, sin = r O = (s b)(s c) (s b)(s c)+s(s a) =(s b)(s c) bc ] (9) (a)(c a)t +bt+(a+c)=0 (b)a +b c (c) b a (30) (b a) sinα [ 提示 :S= sin α =bsin α, P= sin α α α PS=S P=(b a)sin, Q=D cos, P= cos =a sin α α, PQ=Q P=(b a)cos α, 故矩形面積 =PS PQ= (b a) sinα ] ~ ~

標題

銳角三角函數第二章三角函數的基本概念 ( 甲 ) 銳角三角函數 () 銳角三角函數的定義 : 設為直角三角形, 其中為直角三角形, 為斜邊, 兩股與分別是的鄰邊與對邊設 =a, =b, =c, 則我們定義的三角函數如下 : 對邊的正弦 =sin= 斜邊 = = a c 鄰邊的餘弦 =cos= = 斜邊 = b c ( 斜邊 ) c 對邊的正切 =tan= 鄰邊 = = a b

第三單元 平面座標與直線的斜率

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