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邮壕弘
5 years ago
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1 第一章三角直角三角形的邊角關係 ( 甲 ) 正弦餘弦與正切的定義相似三角形其三邊長的比都是定值, 若是將相似的直角三角形擺放如右圖, 並且讓相同的內角重疊, 只要固定, 則這些直角三角形三邊長的比例是固定的即給定一銳角, 因為直角 ~ ~ ~, 所以 = =... 故上述的比值只受的大小影響 θ 換句話說當銳角的度數固定時, 作直角 ( 為直角 ), 那麼所作的三角形, 其邊長大小不論如何改變, 相異兩邊長的比值 :, 是不會改變的這些不變的比值, 分別稱為的正弦, 餘弦與正切 () 正弦餘弦與正切的定義 : 設 Δ 為直角三角形, 其中為直角三角形, 為斜邊, 兩股與分別是的對邊與鄰邊設 =, =b, =c, 對邊的正弦 ( 讀做 sine)=sin= = 斜邊 = c c ( 斜邊 ) 鄰邊的餘弦 ( 讀做 cosine)=cos= = 斜邊 = b c ( 的對邊 ) 對邊的正切 ( 讀做 tngent)=tn= = 鄰邊 = b b ( 的鄰邊 ) 例如 : 直角三角形各邊為 c=,=,b= 依據定義 :sin=,cos=,tn= 另一方面 : 如果的度量是 θ, 則 sin 也可記為 sinθ 與 ~ ~

2 ( 練習 ) 特殊角的三角函數值 : 0 60 請根據上面的圖形, 填完下表 : sin cos tn 0 60 [ 例題 ] 一直角三角形中, 設 =, =0, =9, 令 =θ, 試求 sinθ cosθ tnθ sinθ,cosθ,tnθ 中, 若已知其中一個, 由畢氏定理我們就可以求出其它兩個 [ 例題 ] 直角三角形中, 已知 tn =, 試求 sin cos ns: sin =, cos = ~ ~

3 [ 例題 ] 設銳角三角形的垂心 ( 三高的交點 ), 若以 b 表示的長度, 則線段 H 的長度等於 () bcos sin () bcossin () bcoscos () bcos tn () bcostn ns:() ( 練習 ) 如圖,, 兩個纜車站的距離為 000 公尺, 的坡度是 0, 如果車站的標高 D 是 0 公尺, 求車站的標高 E 是多少公尺? ns:90 公尺 ( 練習 ) 在下列各直角三角形中, 分別計算 sin,cos,tn 之值 () () 0 0 ns:()sin=,cos=,tn= ()sin=,cos=,tn= ( 練習 ) 有一長方形 D, =9, 且對角線與邊的夾角為 60, 求此長方形的面積 ns:7 ( 練習 ) 設 θ 為銳角且 tnθ=, 則 sinθ=, 而 cosθ= ns: 6, ( 練習 6) 設 θ 為一銳角, +tnθ tnθ = +, 試求 tnθ=,sinθ= ns:tnθ = sinθ= ~ ~

4 ( 乙 ) 正弦餘弦與正切的關係由上一節知, 若三角形中, =90, 的度數為 θ, 以,b 與 c 分別表示三邊, 與之長, 則可發現正弦餘弦與正切並非毫不相干, 而是具有某些關聯的根據前面對於正弦餘弦與正切的定義, 可以得知 : sinθ= c,cosθ= b c,tnθ= b 商數關係 Q sinθ= c,cosθ= b c,tnθ= tnθ= b = c b c = sinθ cosθ 上述關係稱為 sinθ cosθ 與 tnθ 的商數關係 b 平方關係 Q sinθ= c,cosθ= b c (sinθ) +(cosθ) =( c ) +( b c ) = +b c = (Q +b =c ) (sinθ) 通常寫成 sin θ,(cosθ) 通常寫成 cos θ 故 sin θ+cos θ= 上述關係稱為 sinθ 與 cosθ 的平方關係 c = sinθ 注意 :sin θ=(sinθ) cos θ=(cosθ) b c = cosθ 餘角關係 : 上述的直角三角形中, =90, + =90, 我們可以觀察的對邊剛好為的鄰邊, 的鄰邊剛好是的對邊, 由正弦和餘弦函數的定義 ~ ~

5 sin= 的對邊斜邊即 sin(90 θ)=cosθ = 的鄰邊斜邊 =cos 同理 cos(90 θ)=sinθ sin(90 θ)=cosθ 與 cos(90 θ)=sinθ, 稱為 sinθ 與 cosθ 的餘角關係結論 : 正弦餘弦與正切的關係商數關係 :tnθ= sinθ cosθ 平方關係 :sin θ+cos θ= 餘角關係 :sin(90 θ)=cosθ 與 cos(90 θ)=sinθ 上述各種關係對於任意銳角 θ 都成立, 根據這些關係, 可以得知只要知道 sinθ, cosθ,tnθ 中之一個, 就可推得其它的值 [ 例題 ] 已知 θ 為銳角且 tnθ= 6, 試求 sinθ,cosθ 之值 ns:sinθ= 6,cosθ= 6 6, ( 練習 7) 試以銳角分別填入下列空格中 : () sin 7 =cos( ) () cos 80 =sin( ) () 求 sin 7 +sin 7 之值 ns:()7 0 () ( 練習 8) 直角中, =90, 若 cos=, 求 sin,tn 之值 ~ ~

6 ns: ( 練習 9) 設 θ 為銳角, 且令 tnθ=k, 請用 k 表示下列各三角函數的值 : k ()cosθ ()sinθ ns:() +k () +k [ 例題 ] ( 等腰三角形內角的正弦餘弦與正切 ) 如圖, 有一等腰三角形, 其中 = =6, = 請問 tn=? sin=? ns:sin=,tn= [ 例題 6] 設 θ 為銳角, 且 sinθ=, 試求 sin θ cosθ ns:sin θ = 0,cosθ = 0 D θ θ ~ 6~

7 [ 例題 7] ( 基本關係的應用 ) 設 0 <θ<90, 試證明 : ()(sinθ+cosθ) =+sinθcosθ ()(sinθ cosθ) = sinθcosθ [ 例題 8] ( 基本關係的應用 ) 設 θ 為銳角, 且 sinθ +cosθ =, 求 sinθ 與 cosθ ns:sinθ=,cosθ = [ 例題 9] ( 基本關係的應用 ) 設 θ 為銳角, 且 sinθ +cosθ=, 求下列各小題的值 : ()sinθ cosθ ()sinθ cosθ ()sin θ + cos θ ns:() 7 8 () ± () 7 ~ 7~

8 ( 練習 0) 於 Δ 中, 為直角, =,D 是的中點令 D=θ, 則 tnθ = ns: ( 練習 ) 如圖, 若 sinθ = 9, 求 tn θ 的值 ns: 7 D θ 9 ( 練習 ) 如圖, 為直徑且 =0, 令 P=θ, 已知 sinθ=, 求 P=?ns:P=6 P ( 練習 ) 設 θ 為銳角,sinθ cosθ=, 請計算下列各小題的值 : ()sinθ cosθ ()sinθ +cosθ ns:() 7 8 () ( 練習 ) 假設 cosθ+sinθ=, 且 0<θ<90, 求 cosθ+sinθ 之值 ns: + 6 ( 練習 ) 已知 0 <θ<90, 試證明 : +cosθ sinθ + sinθ +cosθ = sinθ ( 練習 6) 直角中, =90, =, =, 自作 D 垂直於 D, 8 作 DE 垂直於 E, 則 DE 的長為 ns: ( 丙 ) 正弦餘弦與正切的增減關係前面談到特別角的正弦, 我們知道當 θ 由 0 增大到, 再增大到 60 時,sinθ 的值由增大到, 再增大到一般情形, 當銳角 θ 增大時,sinθ 的值是否也會增大呢? 而 cosθ,tnθ 又如何? 右圖是以 O 為圓心的四分之一單位圓 ( 半徑為的圓稱為單位圓 ), 其中 OP=θ,,P 在圓上, 垂直 OP 於點, 過 P 點與單位圓相切的直線交直線 O 於點, 則 sinθ=,cosθ= O,tnθ= P ~ 8~

9 設 α,β 都是銳角, 由下圖知 : () (b) 若 β>α, 則 sinβ>sinα,cosβ<cosα( 圖 ()), 且 tnβ>tnα( 圖 (b)) 實際上, 因為 sinα 隨銳角 α 增大而增大, 所以由 sin α+cos α= 可知 cosα 隨 α 增大而減小 ; 再進一步, 由 tnα= sinα cosα 亦可知 tnα 隨 α 增大而增大結論 : () 當銳角 θ 遞增時, 正弦餘弦與正切的遞增 ( 以表示 ) 或遞減 ( 以表示 ) 如下表所示 : sinθ cosθ tnθ () tnθ= sinθ cosθ > sinθ =sinθ [ 例題 0] 設 θ 為銳角, 試討論何時,cosθ>tnθ ns: 當 θ 滿足,0<sinθ< + 時,cosθ>tnθ (θ 約為 8.7 ) ( 練習 7) 試比較下列各數的大小 : sin 8,cos 8,tn 8,sin 7,cos 7,tn 7 提示 : 先比較 cos 0 與 tn 0 的大小, 再比較 cos 8 與 tn 8 的大小 ns:sin8 =cos7 <tn8 <cos8 =sin7 <tn7 ( 練習 8) 試比較下列的大小關係 : ()cos0 cos ()sin cos ()sin7 ()cos68 ()cos tn (6)tn. ns:()< ()> ()> ()< ()< (6)< ~ 9~

10 綜合練習 () 如右圖, 為直角三角形, =90, =θ, 若 =, =, 求 sinθ,cosθ,tnθ 之值 () 設 θ 為銳角, 且 cosθ=, 試求 : () sinθ 與 tnθ 之值 (b) 比較 θ 與 60 的大小 () 試求下列各式的值 : ()cos 0 (b)sin0 cos0 (c) tn0 tn 0 (d)tn + tn60 sin 0 () 設為等腰三角形, 若頂角 =0, 底邊 =, 則下列選項中何者可用以表示底邊上的高?( 單選 ) () 6 sin 0 () 6 cos 0 () 6 tn 0 (D) 6 tn 70 (E) 6 cos 0 () 在直角三角形中, =90, =θ, 若 =0, 試分別依下列各條件, 求與之長 () sinθ= (b) tnθ= (c) =θ (6) 求一個半徑 r 的圓內接正 n 邊形與圓外切正 n 邊形的周長 (7) 如右圖, 在矩形 D 中, = 公分, =8 公分, P 點在上移動, 但 P 點異於, 點, 求 tnα+tnβ 之值 (8) 如下圖所示 : 扇形 O 中, O= O =, O=θ, 已知扇形的內切圓半徑為 r, 若以及 θ 表內切圓半徑 r, 則 r= ; 又若 θ=0, 則比值 = r (9) 銳角三角形中, 已知 sin= sin=, 若 =, 試求 () =? (b)δ 的面積 ~ 0~

11 (0) 右圖是以 O 為圓心的四分之一單位圓,P 為其上一點, 直線是過 P 點與單位圓相切的直線, P 垂直直線 O 於點設 PO=θ(0 <θ<90 ), 試分別以單一線段長表示 sinθ,cosθ,tnθ () 如右圖,Δ 中, D 7, 已知 =,tn=, sin=, 則 =? () 設圓 O 之半徑為, O =6, O 交圓 O 於點, D 切圓 O 於 D 點, 為點到 OD 的垂足, 如右邊的示意圖則 = ( 化為最簡分數 ) (0 學科能力測驗 ) () 設 tnθ =, 求 () sinθ+cosθ sinθ cosθ (b) sin θ+sinθcosθ cos θ sin θ+sinθcosθ cos θ () 若 sinθ cosθ=, 試求下列各值 : ()sinθcosθ (b)sinθ+cosθ (c)sinθ cosθ () 設 θ 為銳角且 7 sinθ cosθ =, 求 sinθ=? (6) 設 θ 為銳角, 若 sinθ cosθ 為方程式 x 7x+k=0 的兩根, 試求下列各值 : ()sinθ+cosθ (b)sinθcosθ (c)k (d)sin θ+cos θ (7) 設 sinθ+cosθ =, 則求下列各小題的值 : ()sinθ cosθ= (b)sinθ cosθ = (c)sin θ + cos θ = (d)sin 6 θ +cos 6 θ = ~ ~

12 (8) 有一塊正方形的壓克力版, 其中有一個角落附近有瑕疵, 現在要將它依右圖的方式截成一塊較小的正方形壓克力, 小正方形的邊與大正方形的邊成一個角度 θ (0<θ< ) 使得其面積為原來面積的, 試問 tnθ= (9) 作一直角三角形, 使得 =, 如右圖若作 D=, 且 D 點在上, 故得 D=0, 若 =, 試求 : () D, D 與之長 (b) sin,cos,tn 之值 θ (0) 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形, 且 OD =8, 請利用上題 (b) 的數據求直角三角形 O 的高之長 () 是一個頂角為 6 的等腰三角形, M 與 D 分別是與的分角線, 如右圖所示試利用 D~, 求 sin8 之值進階問題 D () 如圖, =90,D = D, = D, 則 tn D 之值為 M () 設 Δ 中,cos =,cos =, 之中點 M, 而 H 於 H, 若 MH=, 求 =? () 銳角 Δ 之三邊長為,b,c, 其所對應的高為 h, h b, bc h c, 已知 tn=,tn=,tn=, 則 h h b h =? c () 有二同心圓, 外圓之一直徑 D, 被內圓三等份於,( 如圖 ), 在外圓上任取異於,D 之一點為 P, 設 P=α, DP=β, 試求 tnα tnβ 之值 P D ~ ~

13 (6) 設 x cosθ + y sinθ =,x sinθ y cosθ =, 試求 x 與 y 的關係 (7) 如右圖, D=90, D=0, 共線, 且 = D=, 求的長 D ~ ~

14 () sinθ=,cosθ=,tnθ= () () () () (b) () (D) (b)θ>60 (c) (d) 綜合練習解答 () (), 7 (b),6 (c)0,0 (6) nrsin 80 n,nrtn80 n (7) sinθ (8) r= ; + sinθ (9) () (b)8 (0) () P O P 0 () [ 解法 ]: 設 O=θ,6 sinθ= D =tnθ cosθ=, =sinθ= 0 () ()9 (b) [Hint:() 分子分母同除以 cosθ (b) 分子分母同除以 cos θ ] () () 9 (b) 7 (c)sinθ= cosθ= 7 6 () [Hint:cosθ =7sinθ, 兩邊平方, 再利用 sin θ+cos θ=, 化成 sinθ 的二次方程式, 再解出 sinθ ] (6) () 7 (b) (7) () (b)± 6 (c) (c) 8 (d) 9 (8) [ 解法 ]: 設大正方形邊長為, (d) 6 ~ ~ L K N

15 則小正方形邊長為, 令 ND=x 因為 ΔMDN ΔNK 全等, 所以 MD= N= x 故 = x +( x) x= (+ 不合 ) tnθ= x x = (9) () 6+ (b) 6 6+ (0) () sin8 = () - () () () = (Hint: 考慮 c h b,, 的值 ) h h [ 提示 :tnα= E PE,tnβ=F PF ] (6) x +y = (7) c b ~ ~

16 補充教材 ( 甲 ) 的餘切正割與餘割的定義 : 設 Δ 為直角三角形, 為直角, 為斜邊, 兩股與分別是的對邊與鄰邊, 定義的三角函數如下 : 的餘切 =cot= 的鄰邊 = 的對邊 = b c ( 斜邊 ) 斜邊的正割 =sec= = 的鄰邊 = c ( 的對邊 ) b 斜邊的餘割 =csc= = 的對邊 = c b ( 的鄰邊 ) 根據定義可以得知 : cot 與 tn 互為倒數 sec 與 cos 互為倒數 csc 與 sin 互為倒數 ( 乙 ) 基本關係 : () 倒數關係 : () sinθ cscθ= (b)cosθ secθ= (c)tnθ cotθ= () 平方關係 ( 利用畢式定理可得 ) () sin θ+cos θ= (b) tn θ+=sec θ (c)+cot θ=csc θ () 餘角關係 :( 直角三角形的兩銳角互為餘角關係 ) ()sin(90 θ)=cosθ (b)cos(90 θ)=sinθ (c)tn(90 θ)=cotθ (d)cot(90 θ)=tnθ (e)sec(90 θ)=cscθ (f)csc(90 θ)=secθ () 商數關係 : ()tnθ= sinθ cosθ (b)cotθ= cosθ sinθ () 銳角三角函數範圍 : 若 0 <θ<90, 則 ()0<sinθ< 倒數 cscθ> (b)0<cosθ< 倒數 secθ> (c)tnθ cotθ 任意正數 ~ 6~

標題

銳角三角函數第二章三角函數的基本概念 ( 甲 ) 銳角三角函數 () 銳角三角函數的定義 : 設為直角三角形, 其中為直角三角形, 為斜邊, 兩股與分別是的鄰邊與對邊設 =a, =b, =c, 則我們定義的三角函數如下 : 對邊的正弦 =sin= 斜邊 = = a c 鄰邊的餘弦 =cos= = 斜邊 = b c ( 斜邊 ) c 對邊的正切 =tan= 鄰邊 = = a b