【三角函數的導函數】

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皑陆
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1 - 三角函數三角函數共有個, 其符號分別為 sin cos tan cot sec 及 csc, 這個 sin ( ) ( ) 函數的自變數皆為角度, 若仍以來表示 ( 有時候會以 θ ), 便寫成 cos tan ( ) ( ) sec 及 csc (), 通常會簡寫成 sin cos tan cot sec cot ( ) 及 csc 談三角函數的導函數之前, 先複習 ( 一 ) 角 ( 二 ) 角度 ( 三 ) 三角函數的定義 ( 一 ) 何謂角? 兩條端點重疊的射線 ( 像箭一樣的線, 箭頭可無限延伸 ) 就構成所謂的角, 其中一條稱為角的始邊, 另一條稱為終邊, 通常習慣將始邊水平置放, 如下 : 不過, 通常畫一個角時, 會把箭頭省略 ( 二 ) 何謂角度? 一個角的大小就稱為角度怎麼看大小呢? 把任意一個圓 ( 不管半徑多少 ) 三百六十等分, 則每一等分所代表的角的大小就稱為一度, 記作, 所以四分之一圓的角其大小為 9, 半圓代表 8, 整個圓代表另一種表示角度的方式是以圓弧的長度來表示, 稱為弳, 這是指圓的周長的部份長度, 例如半圓的弧長是圓周長的一半因為圓周長等於倍的半徑乘以, 單位圓 ( 半徑為的圓 ) 的周長為, 而一個圓的度數為, 所以在數學上又常以代表, 也就是代表 8 代表 9, 進而 8 這個數字代表, 大約 57. 依照這樣的說法, 則任意一個大於實數或 ( 代表 ) 皆可用來形容角的大小, 同時再加入這樣的想法把角平移到直角座標上, 並且使得軸的右半邊都是角的始邊, 這時候角可分成逆時針方向 ( 稱為正向角 ) 與順時針方向 ( 稱為負向角 ) 兩類, 而以大於的實數代表逆時針方向的角的大小 ; 小於的實數代表順時針方向的角的大小, 這樣形成任何實數即代表角的大小與方向下面左圖為逆時 - -

2 針方向的角, 右圖為順時針方向的角如不考慮方向純看大小, 一般分為小於 9 度及大於 9 度兩類, 分別稱為銳角與鈍角 ;9 度的角稱為直角,8 度的角稱為平角兩個角的度數差 ( 大的減小的 ) 若為度的倍數, 則互相稱為同位角, 例如 : 與 7 5 與 8 5 一般人的認知是角的度數最大是度, 但在數學上是可能會碰到超過度的角, 這時候只要運用同位角的觀念便可將角度化簡為小於度, 例如 5 減掉個可得, 也就是說這兩個角度是同義的同位角的觀念常可用來解決求三角函數的值的問題 ( 三 ) 何謂三角函數? () 狹義的三角函數設 ABC 表一直角三角形, 直角為角 C, 則點 A 到點 B 稱為斜邊若以角 A 來看, 則點 A 到點 C 稱為鄰邊, 點 B 到點 C 稱為對邊, 如下圖斜邊那以這三個邊彼此兩兩互相除, 共有六種情形, 就稱為角 A 的六個三角函數值, 中文名稱分別如下 : 正弦 = 餘弦 = 對邊的長對邊的長斜邊的長正切 = 正割 = 斜邊的長鄰邊的長鄰邊的長鄰邊的長鄰邊的長斜邊的長餘切 = 餘割 = 斜邊的長對邊的長對邊的長 - -

3 西方名稱則簡寫為 sin( 正弦 ) cos( 餘弦 ) tan( 正切 ) cot( 餘切 ) sec( 正割 ) 及 csc( 餘割 ) 當然畢氏定理告訴我們 : 斜邊長的平方 = 對邊長的平方 + 鄰邊長的平方但對於角 C, 即 9 度角, 如何定義呢? 請想想, 對邊是不是就是斜邊, 而且無鄰邊, 也就是正弦與餘割等於, 餘弦與餘切等於, 而正切與正割無意義 ( 或無限大 ) 特殊的零度角就定義成無對邊, 鄰邊相當於斜邊, 所以, 正弦與正切等於, 餘弦與正割等於, 餘切與餘割無意義 ( 或無限大 ) () 廣義 ( 一般 ) 的三角函數前面提過對於任何角, 皆可平移到直角座標上, 所以設任何角的終邊皆由座標上任意一點 (, ) 連接原點 (,) 而成, 則請想想若由點 (, ) 作一條垂直軸的直線, 那是不是有一個直角三角形了, 其斜邊長 = 即 +, 對邊的長就相當於點 ( ), 而鄰邊的長就相當於點 ( ), 到軸的距離,, 到軸的距離, 即這樣將上面的定義推廣進而有以下的定義 ( θ 表角的度數 ): sinθ = + cosθ = + tanθ = cotθ = + secθ = cscθ = + 當 θ 小於 9 度時如下圖 : ( ), θ 當 θ 大於 9 度小於 8 度時如下圖 : - -

4 θ θ 與 (, ) 的位置之關係如下表 : (, ) 的位置第一象限第二象限第三象限第四象限正向 θ 的範圍負向 < θ < < θ < < θ < < θ < < θ < 而三角函數的值也隨著 ( ) 域與值域如下表 : < θ < < θ < < θ <, 的位置的不同, 可能正可能負, 定義函數定義域值域 sin (, ) [, ], cos (, ) [ ] tan cot n + R, 但, n Z (, ) { R, 但 n, n Z} (, ) sec csc n + R, 但, n Z (, ] [, ) { R, 但 n, n Z} (, ] [, ) 註 :. 上表中將角度改為, 即為函數的自變數. 當 = ±, ±, 時, tan 與 sec 無定義 ( 值為 ± ). 當 =, ±, ±,時, cot 與 csc 無定義 ( 值為 ± ) 4. 任意兩個同位角的三角函數值相等 5. 三角函數為多對一函數, 例如 sin = sin = sin =, 也因為其函數值會重覆出現, 即有週期性, 所以也稱週期函數 - 4 -

5 例設角度 θ 的終邊為點 (,) 值 a 至原點, a <, 求 θ 的六個三角函數解 : a + = a = a = a, a sin θ = =, cosθ = =, a tan θ = =, secθ = = a a a a cot θ 無意義 ( 或註 : 此題 θ = a = = ), cscθ 無意義 ( 或 a = = )# 例設負向角度的終邊為點 (, ) 解 : ( ) = +, 至原點, 求的六個三角函數值 sin = =, cos =, tan = = cot = =, sec = =, csc = = # 註 : 此題由三邊長分別為, 及的直角三角形中的對角為度, 得知 = (, ) 當給定角度時, 三角函數值常為無理數, 只有及這 4-5 -

6 幾個常見的特殊角, 才能容易求值求及的三角函數值常利用 4 以下兩圖 4 4 下表為特殊角度的三角函數值 : θ 4 sin θ cos θ tan θ cot θ sec θ cscθ 以下這幾個公式可以幫助求負向角的三角函數值 : sin ( ) = sin, tan( ) = tan, cot( ) = cot ( ) cos, sec ( ) = sec cos = tan tan 例 ( ) = =, ( ) = ( ), csc = csc, sec sec = 有時候求三角函數值還需下列表一中的結果及表二中的公式 : 表一 : 補角公式 ( ) sin, cos( ) = cos, tan( ) = tan ( ) = cot, sec( ) = sec, csc ( ) = csc sin = cot 5 註 : 兩個相加等於 ( 8 ) 的角度互為補角, 例如與互為補角表二 : 三角函數值的正負分佈 - -

7 的終邊的位置第一象限第二象限第三象限第四象限 sin 正正負負 cos 正負負正 tan 正負正負 cot 正負正負 sec 正負負正 csc 正正負負 5 sin = sin = sin = sin = 例 4 ( ) 5 ( 5 ) 以下這些表示三角函數彼此之間的關係的公式, 常常會用到 : sin cos. tan =,cot =,sec =,csc = cos sin cos sin. sin + cos =, + tan = sec, + cot = csc 註 : sin ( sin = ), 其餘同理 - 7 -

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角一有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度角度弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積