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鸡君危
4 years ago
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1 銳角三角函數第二章三角函數的基本概念 ( 甲 ) 銳角三角函數 () 銳角三角函數的定義 : 設為直角三角形, 其中為直角三角形, 為斜邊, 兩股與分別是的鄰邊與對邊設 =a, =b, =c, 則我們定義的三角函數如下 : 對邊的正弦 =sin= 斜邊 = = a c 鄰邊的餘弦 =cos= = 斜邊 = b c ( 斜邊 ) c 對邊的正切 =tan= 鄰邊 = = a b 鄰邊的餘切 =cot= 對邊 = = b a b ( 的鄰邊 ) 斜邊的正割 =sec= = 鄰邊 = c b 斜邊的餘割 =csc= 對邊 = = c a 例如 : 直角三角形各邊為 c=,a=,b= 依據定義 :sin=,cos=,tan= cot=,sec=,csc= a ( 的對邊 ) [ 討論 ]: 給定一銳角 ( 即 θ) 它的六個三角函數值亦隨之確定了直角 ~ ~ ~, 因 sinθ= = =... 故知 ( 即 θ) 的六個三角函數值只受 ( 即 θ) 的大小影響, 而不在乎三角形的大小 θ ~ ~

2 () 特殊角的三角函數值 : 60 0 θ sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 0 60 [ 例題 ] 一直角三角形中, 設 =, =0, =9, 令 =θ, 求 θ 的六個三角函數值 [ 例題 ] 試求下列各式之值 : ()sin 0 +cot +cos 60 ()csc +sec 0 +cot 60 ns:() () + ~ ~

3 [ 例題 ] 設一直角三角形中, =θ, 已知 cotθ =, 試求其他五個三角函數值 ( 練習 ) 在下列各三角形, 分別計算 sin,cos,tan 之值 () () 0 ns:()sin=,cos=,tan= ()sin=,cos=,tan= 0 ( 練習 ) 設 θ 為銳角且 tanθ=, 則 sinθ=, 而 secθ= 6 ns: ; ( 練習 ) 設 θ 為一銳角, +tanθ -tanθ = +, 求 sinθ= ns:sinθ= [ 例題 ] 如圖, 有一等腰三角形, 其中 = =6, = 請問 tan=? sin=? ns:sin=,tan= ~ ~

4 [ 例題 ] 設 θ 為銳角, 且 sinθ=, 試求 sin θ cosθ ns:sin θ = 0,cosθ = 0 D θ θ E ( 練習 ) 於中, 為直角, =,D 是的中點令 D=θ, 則 cotθ = ns: ( 練習 ) 設, =0, = D, 如右圖所示, 試利用右圖求 sin,cos,tan 之值 D P ns:,, ( 練習 6) 如圖, 為直徑且 =0, 已知 sinθ=, 求 P=? ns:p=6 ( 練習 7) 中, D 垂直於 D, 已知 =,sin =,sin =, 7 ~ ~

5 則下列敘述何者正確?() D = () D =8 () =7 (D) =8 (E) sin = ns:()()()(d) 7 ( 練習 8) 直角中, =90, =, =, 自作 D 垂直於 D, 作 DE 垂直於 E, 8 則 DE 的長為 ns: ( 乙 ) 三角函數的基本關係 () 由上一節知, 若三角形中, =90, 的度數為 θ, 以 a,b 與 c 分別表示三邊, 與之長, 則可發現這六個三角函數並非毫不相干, 而是具有某些關聯的 (a) 預備公式銳角三角函數的定義 c ( 斜邊 ) 90 -Θ a( 對邊 ) Θ b ( 鄰邊 ) sinθ= cosθ= tanθ= cotθ= secθ= cscθ= (b) 倒數關係 : sinθ cscθ= 即 cscθ = cosθ secθ= 即 secθ = tanθ cotθ= 即 tanθ = (c) 商數關係 : tanθ= cotθ= (d) 平方關係 ( 利用畢式定理可得 ) sin θ+cos = tan θ+=sec θ +cot θ=csc θ sin +cos =( a c ) +( b c ) = c c = sin +cos = 上式兩邊同除以 cos sin, 則可得 cos += cos =sec tan +=sec 若將 sin +cos = 的兩邊除以 sin, 則可得 +cot =csc ~ ~

6 c a b = secθ c = sinθ a b = tanθ c a = cscθ b c = cosθ 注意 :sin θ=(sinθ) cos θ=(cosθ) (e) 餘角關係 : 直角三角形的兩銳角互為餘角關係 sin(90 θ)= cos(90 θ)= tan(90 θ)= cot(90 θ)= sec(90 θ)= csc(90 θ)= 上述的直角三角形中, =90, + =90, 我們可以觀察的對邊剛好為的鄰邊, 的鄰邊剛好是的對邊, 由正弦和餘弦函數的定義可知 :sin= 的對邊斜邊 = 的鄰邊斜邊 =cos b a =cotθ (f) 銳角三角函數範圍 : 若 0 <θ<90, 則 0<sinθ< 倒數 cscθ> 0<cosθ< 倒數 secθ> tanθ R cotθ R (g) 上述各種關係對於任意銳角 θ 都成立, 根據這些關係, 我們若知道 sinθ,cosθ,tanθ,cotθ,secθ,cscθ 六個三角函數值中之一個, 就可推得他五個的值 [ 例題 6] 已知 θ 為銳角且 tanθ= 6, 試求 sinθ,cosθ,tanθ,cotθ,secθ,cscθ 之值 ns:sinθ= 6,cosθ= 6 6,tanθ= 6,cotθ=6 6 6,secθ= 6,cscθ= ~ 6~

7 [ 例題 7] 設 θ 為銳角, 且 sinθ +cosθ =, 求 sinθ 與 cosθ ns:sinθ=,cosθ = [ 例題 8] 設 θ 為銳角, 且 sinθ +cosθ=, 求下列各小題的值 : ()sinθ cosθ ()sinθ cosθ ()sin θ + cos θ ()tanθ +cotθ ns:() 7 8 ()± () 7 ()8 7 ( 練習 9) 求下列二小題的值 : (a)sin6 sec9 +sec 7 tan 7 =? (b)cos csc8 csc 7 +tan =? ns:(a) (b)0 ( 練習 0) 設 θ 為銳角, 且令 tanθ=k, 請用 k 表示下列各三角函數的值 : ()secθ ()cosθ ()sinθ ns:() +k () +k () k +k ( 練習 ) 設 θ 為銳角, 且 tanθ +secθ =, 試求 tanθ=? ns: ( 練習 ) 設 θ 為銳角,sinθ cosθ=, 請計算下列各小題的值 : ()sinθ cosθ ()sinθ +cosθ ()tanθ +cotθ ns:() 7 8 () () 8 ~ 7~

8 ( 練習 ) 設 x 為銳角且 tanx+cotx=, 求下列各式之值 :()sinx+cosx ()sin x+cos x ns:() () 9 ( 練習 ) 假設 cosθ+sinθ=, 且 0<θ<90, 求 cosθ+sinθ 之值 ns: + 6 恆等式的證明三角函數的關係式還可以幫助我們將涉及 sinθ,cosθ,tanθ,cotθ,secθ 或 cscθ 的式子, 轉化成其他形式的式子也就是三角恆等式 : 不論銳角的度數是多少, 涉及三角函數的式子都成立要證明這些恆等式成立, 三角函數的關係式大致上可以依下列方法使用 : (a) 三角函數的種類要統一看到有 tanθ,cotθ,secθ,cscθ, 利用倒數與商數關係化為 sinθ,cosθ tanθ= sinθ cosθ,cotθ = cosθ sinθ,secθ= cosθ,cscθ= sinθ (b) 看到 =sin θ+cos θ =sec θ tan θ=csc θ cot θ (c) 看到 sinθ,cosθ 一定要隨時平方, 其目的有二 : 全化為 sinθ ( 或 cosθ), 可將函數種類統一利用 sin θ+cos = sin θ= cos θ 將高次降為低次例 :sin θ cos θ=(sin θ+cos θ)( sin θ cos θ)=( sin θ cos θ) (sinθ+cosθ) = sin θ+cos θ+ sinθ cosθ=+ sinθ cosθ (sinθ cosθ) = sin θ+cos θ sinθ cosθ= sinθ cosθ 另外常常見到 tanθ+cotθ= sinθ cosθ +cosθ sinθ = sinθcosθ 證明三角恆等式的原則. 由繁化簡 : 通常恆等式都是左式較繁, 右式較簡, 由左式出發逐步化成較簡單的式子. 相減為零 : 不太容易掌握方向, 可以左右兩式相減導出結果為零, 由此推論兩式相等. 化為同一式 : 當左右兩式複雜程度相近時, 可以分別化成同一簡單式, 使兩式相等. 單純化 : 將三角函數之種類單純化, 例如一律化為 sinθ 與 cosθ 表示, 再配合兩者的平方關係即可 ~ 8~

9 [ 例題 9] ()sin θ+cos θ= sin θcos θ ()sin 6 θ+cos 6 θ= sin θcos θ [ 例題 0] 求證下列三角恆等式 () +sinθ cosθ + cosθ +sinθ = secθ ()cot θ+cot θ=csc θ csc θ [ 例題 ] 求證下列恆等式 tanθ+secθ- tanθ-secθ+ = secθ+tanθ = +sinθ cosθ cosθ ( 練習 ) 試證 sinθ ( 練習 6) +sinθcosθ cos θ-sin θ = sinθ +cosθ = +tanθ -tanθ ( 練習 7) 設 f(n)=cos n θ+sin n θ, 試證明 :f() f(6)= ( 練習 8) 試化簡下列各式 : ~ 9~

10 () +sin θ + +csc θ = ()(+tanθ +secθ )(+cotθ cscθ )= ns:() () ( 練習 9) 設 cos=cosx sin,cos=sinx sin, 試求 sin +sin +sin 的值 ns: () 試求下列各式的值 : 綜合練習 (a)cos 0 (b)sin0 cos0 (c) tan0 -tan 0 (d)sin60 cos60 tan60 cot60 sec60 (e)tan + tan60 sin 0 (f)+sin tan0 cot60 () 設 0 <θ<90,tanθ=k, 則下列敘述何者正確? () secθ= k + () cscθ=k + () cotθ= k cosθ= k + (D) sinθ= k k + (E) () 設 θ 為銳角, 且 tanθ=, sinθ 求 cotθ + cosθ tanθ =? () 如左下圖, 若 sinθ = 9, 求 cot θ 的值 θ 9 D () 求一個半徑 r 的圓內接正 n 邊形與圓外切正 n 邊形的周長 (6) 如圖, =90,D = D, = D, 則 tan D 之值為 (7) 如下圖所示 : 扇形 O 中, O= O =a, O=θ, 已知扇形的內切圓半徑為 r, 若以 a 及 θ 表內切圓半徑 r, 則 r= ; 又若 θ=0 a, 則比值 = r (8) 設 tanθ =, 求 (a) sinθ+cosθ sinθ cosθ (b) sin θ+sinθcosθ cos θ sin θ+sinθcosθ cos θ (9) 設 θ 為銳角且 7 sinθ cosθ =, 求 sinθ=? ~ 0~

11 (0) 設 θ 為銳角, 若 cosθ =tanθ, 求 sinθ=? () 設 x (tanθ+cotθ)x+=0 有一根為 +, 試求 sinθcosθ 的值 () 已知 sinθ cosθ=, 且 sinθ 及 cosθ 為 x +px+q=0 的兩個根, 則判別式 p 8q= () 設 sinθ+cosθ =, 則求下列各小題的值 : (a)sinθ cosθ= (b)sinθ cosθ = (c)sin θ + cos θ = (d)sin 6 θ +cos 6 θ = () θ 為銳角, 求證下列三角恆等式 : (a) +cosθ -cosθ -cosθ +cosθ = cotθcscθ (b)cos 6 θ+sin 6 θ= cos θ+cos θ (c) -tan θ sec θ + tan θ = sec θ (d) cscθ-cotθ secθ-tanθ = secθ+tanθ cscθ+cotθ (e) sinθ(sinθ+) +sinθ+cosθ = +sinθ cosθ () 試求 o o o o + sin 7 + cos + sec + csc7 = (6) 設中,cos =,cos =, 之中點 M, 而 H 於 H, 若 MH=, 求 =? D (7) 是一個頂角為 6 的等腰三角形, M 與 D 分別是與的分角線, 如右上圖所示試利用 D~, 求 sin8 之值 M 進階問題 (8) 銳角之三邊長為 a,b,c, 其所對應的高為 h a, h b, h c, 已知 tan=,tan=, abc tan=, 則 h a h b h =? P c (9) 有二同心圓, 外圓之一直徑 D, 被內圓三等份於,( 如圖 ), 在外圓上任取異於,D 之一點為 P, 設 P=α, DP=β, 試求 tanα tanβ 之值 D ~ ~

12 (0) 設 tanα tanβ 為 x ax+b=0 之二根, 試以 a,b 表示 cos α sin β 之值 () 設 x cosθ + y sinθ =,x sinθ y cosθ =, 試求 x 與 y 的關係 () 如右圖, D=90, D=0, 共線, 且 = D=, 求的長 () (a) (b) (c) (d) (e) (f)7 6 () ()()(D)(E) () () 7 7 綜合練習解答 D () nrsin 80 n,nrtan80 n (6) asinθ (7) r= ; + sinθ (8) (a)9 (b) [Hint:(a) 分子分母同除以 cosθ (b) 分子分母同除以 cos θ ] (9) [Hint:cosθ =7sinθ, 兩邊平方, 再利用 sin θ+cos θ=, 化成 sinθ 的二次方程式, 再解出 sinθ ] (0) () () () (a) (b)± 6 () 略 () (c) 8 (d) (6) = ~ ~

13 (7) sin8 = (8) (9) (0) - (Hint: 考慮 b a +( b) () x +y = () c h a b a,, 的值 ) h h c b ~ ~

<4D F736F F D20312D31AABDA8A4A454A8A4A7CEAABAC3E4A8A4C3F6AB595FADD7A7EF5F2E646F63>

<4D F736F F D20312D31AABDA8A4A454A8A4A7CEAABAC3E4A8A4C3F6AB595FADD7A7EF5F2E646F63> 第一章三角直角三角形的邊角關係 ( 甲 ) 正弦餘弦與正切的定義相似三角形其三邊長的比都是定值, 若是將相似的直角三角形擺放如右圖, 並且讓相同的內角重疊, 只要固定, 則這些直角三角形三邊長的比例是固定的即給定一銳角, 因為直角 ~ ~ ~, 所以 = =... 故上述的比值只受的大小影響 θ 換句話說當銳角的度數固定時, 作直角 ( 為直角 ), 那麼所作的三角形, 其邊長大小不論如何改變,