ok313 正餘弦定理

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1 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: BC 面積 B C sin 108sin Show xes Show 底 10 Show 底 8 C B 類題 1 在 BC 中已知 B 10 BC 6 B 150 求 BC 的面積 ns:15 高中數學虛擬教室

2 1 1 BC 面積 B BC sin B 106sin 例題 在 BC 中已知 b 6 c 8 的內角平分線交 BC 於 D (1) 求面積比 BD : CD () 已知 10 求 D 長 ns:(1) :3() 7 (1) 設 BD CD 由三角形面積公式得 1 1 BD : CD B Dsin : C Dsin B : C 8: 6 : 3 () 10 故 BD CD 60 BC 面積 = BD 面積 + CD 面積 sin10 8 D sin60 6 D sin60 得 D 7 類題 在 BC 中若 B 5 C 60 若 D 為 BC 平分線且交 BC 於 D 求 D 長 ns: BC 面積 = BD 面積 + CD 面積 sin60 5 D sin30 D sin D 的 高中數學虛擬教室

3 3 0 3 D 9 高中數學虛擬教室

4 主題二 正弦定理 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 而 BC 的外接圓半徑為 R 則 a b c R sin sin B sin C B 和 C 的對邊長 例題 3 在 BC 中已知 : B : C 1:3:8求 a: b: c 6 ( sin15 ) ns: 6 : : 3 因為 BC 三內角和為 180 所以 B C a b c 利用正弦定理 得 sin sin B sinc a : b : c sin : sin B : sinc sin15 : sin5 : sin : : 6 : : 3 高中數學虛擬教室

5 5 類題 3 在 BC 中已知 : B : C 3: :5 求 a: b: c 6 ( sin 75 ) ns: : 3 : 6 因為 BC 三內角和為 180 所以 B C a b c 利用正弦定理 得 sin sin B sinc a : b : c sin : sin B : sinc sin5 : sin60 : sin : : : 3 : 6 例題 在 BC 中 5 C 75 BC 1 求 (1) C 長 () BC 外接圓半徑 ns:(1) 6 6() 6 (1) B 高中數學虛擬教室

6 6 a b 由正弦定理 得 sin sin B 1 C 1 C C 6 6 sin 5 sin () 由 R 1 sin5 1 得 BC 外接圓半徑 R 6 類題 在 BC 中 B 8 C 5 B 15 求: (1) BC 長 () BC 外接圓的半徑 ns:(1) 6() (1) a c 由正弦定理 得 sin sinc BC 8 BC 8 BC 6 sin10 sin () 由 R 8 sin5 1 得 BC 外接圓半徑 R 例題 5 在 BC 中設 若 b c c a a b B C 的對邊長分別為 a b c : : :5: 6 求 sin :sin B:sin C ns:7:5:3 高中數學虛擬教室

7 7 因為 b c c a a b : : : 5: 6 b c k (1) 所以可設 c a 5 k () a b 6 k (3) a b c 15k 由 (1)+()+(3) 得 15k 即 a b c () 將 ()-(1) 得 a 將 ()-() 得 b 將 ()-(3) 得 c 7k 5k 3k a b c 利用正弦定理 sin sin B sinc 7k 5k 3k 得 sin : sin B : sin C a : b : c : : 7 : 5: 3 類題 5 在 BC 中設 B C 的對邊長分別為 a b c 已知 5a b 5c 0 3a 1b 8c 0求 sin :sin B:sin C ns::5:6 5a b 5c 0 3a 1b 8c 0 5a b 5c 3a 1b 8c 解得 a c 3 b 5 6 c 5 故 sin : sin B : sin C a : b : c c : c : c : 5: 高中數學虛擬教室

8 8 例題 6 如右圖 BCD 為圓內接四邊形若 DBC 30 BD 5 CD 6求 D 的長 ns: 6 因為 BCD 四點共圓所以 BD 與 BCD 有相同的外接圓設此圓半徑為 R 利用正弦定理得 6 D R sin30 sin 5 解得 D 6 類題 6 如右圖 BCD 為圓內接四邊形若 DBC 30 DB 60 CD 6求 B 的長 ns: 6 3 因為 BCD 四點共圓 所以 BD 與 BCD 有相同的外接圓 設此圓半徑為 R 利用正弦定理 6 得 R sin30 解得 B 6 3 B sin60 高中數學虛擬教室

9 9 主題三 餘弦定理 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 a b c bc cos cos B 和 C b c a bc a c b ac b c a ca cos B cos B a b c ab c a b abcos C cos C 的對邊長則 例題 7 在 BC 中已知 B 5 C 60 求 BC 的長度 ns: 1 利用餘弦定理 BC B C B C cos 得 BC 5 5cos 即 BC 1 類題 7 設 BC 中 B C 求 BC 的長 ns: 在 BC 中利用餘弦定理 BC B C B C cos 得 高中數學虛擬教室

10 10 BC cos30 解得 BC 即 BC 例題 8 在 BC 中已知 B 5 C 8 BC 7 求 的度數 ns:60 b c a 利用餘弦定理 cos bc 得 cos 故 類題 8 在 BC 中已知 B 3 BC C 19 求 B 的度數 ns:10 利用餘弦定理 c a b cos B ca 3 1 B 10 例題 9 BC 中 a b cb c a 3bc 試求 的值 ns:60 a b c b c a 3bc b c a 3bc 高中數學虛擬教室

11 11 b c a bc b c a bc 1 cos bc bc 故 60 類題 9 BC 中 a b ca b c ac 試求 B 的值 ns:10 a b ca b c ac a c b ac a c b ac a c b ac 1 cos B ac ac 故 B 10 例題 10 在 BC 中已知 B 7 C 3 BC 5 CD 如右圖所示求 D 的長度 ns: BC 中 cosb BD 中 D cos B 故 D 7 類題 10 如右圖在 BC 中 D 為 BC 上一點且 B C 5 D BD DC a 求 a 的值 高中數學虛擬教室

12 1 ns: 9 在 BD 與 BC 中利用餘弦定理得知 5 cos 5 a B a 推得 a a a a 解得 a 或 ( 不合 )故 a 例題 11 求證:平行四邊形中兩條對角線長的平方和等於四邊長的平方和 ( 平行四邊形定理 ) 證明 作平行四邊形 BCD 如右圖 設 BC= 則 BCD=180- 根據餘弦定理 在 BC 中 C B BC B BC cos 在 BCD 中 BD CD BC CD BC cos 180 CD BC CD BC cos 因為 B CD BC D 得 C BD B BC CD D 故得證 類題 11 在 BC 中 D 為 BC 邊上的中點試證: B C D BD ( 中線定理 ) 高中數學虛擬教室

13 13 證明 如圖延長 D 至 E 使 D 則 BEC 為平行四邊形利用平行四邊形定理 DE E BC B BE CE C 即 D BD B C B C 化簡得 B C D BD 證二 利用餘弦定理 BD 與 BC 中 cos B B BD D B BD C B BD B BD 即 B BD D B BD C 化簡得 B C D BD 例題 1 在 BC 中 B BC 8 C 6若 D 為 BC 中點 求中線 D 長 ns: 10 在 BD 與 BC 中利用餘弦定理得知 D 8 6 cos B 8 得 D 10 即 D 10 解二 高中數學虛擬教室

14 1 利用中線定理 B C D BD 6 D 得 D 10 即 D 10 類題 1 在 BC 中 B 5 BC 8 C 7 求中線 D 長 ns: 1 利用中線定理 B C D BD 5 7 D 得 D 1即 若 D 為 BC 中點 D 1 例題 13 設 BCD 為圓內接四邊形已知 B 3 BC 3 CD 5 D 8求對角線 BD 的長度 ns:7 設 則 C 180 故 BD cos cos cos 3 30cos cos 1 於是 BD 故 BD 7 高中數學虛擬教室

15 15 類題 13 設四邊形 BCD 內接於一圓如右圖 其中 60 B BC 6 D 16 (1) CD () 四邊形 BCD 的面積 ns:(1) 10() 39 3 求: (1) 設 CD x 因 60 故 C cos cos60 BD x x 36 x 6x x x x x 故 x 10 或 x 16 但 x 16 不合所以 x 10 即 CD 10 () 四邊形 BCD 的面積 sin10 616sin 主題四 海龍公式 abc 在 BC 中若三邊長為 a b 和 c 且 s 則 ss as bs c 高中數學虛擬教室

16 16 例題 1 在 BC 中已知 a 5 b 8 c 7 求 BC 的面積 ns: 因為 s 10 利用海龍公式得 BC 的面積 故 BC 的面積為 10 3 類題 1 在 BC 中已知 a 7 b 5 c 3求 BC 的面積 ns: 因為 s 利用海龍公式得 BC 的面積 故 BC 的面積為 15 3 高中數學虛擬教室

17 17 ok313ex 1 若 BC 滿足 sin :sin B:sin C :3: 求 sin 的值 ns: 15 8 sin :sin B:sin C :3: a:b:c=:3: b c a 3 7 cos= bc 3 8 sin= 如圖 BC 是以 B 為直角的直角三角形四邊形 CDE 是長方形若 B C 5 E 10 求 BE 的面積 ns:16 sin BE=sin(90+ BC)=cos BC= 5 BE 的面積 = 1 B E sin BE = =16 高中數學虛擬教室

18 18 3 BC 中 30 C 10 則下列何條件下所產生的三角形為唯一? (1) BC () BC 5 (3) BC 6 () BC 10 ns:()() (1) () B 5 B C C (3) () B 10 6 B[6]- 6 B[6] C C 在 BC 中若 D 點在 BC 邊上且 B 7 C 13 BD 7 CD 8 求 D 的長 95 學測 ns:7 由餘弦定理知 x +7 7 cosdb= 7x x +8 (13) cosdc= 8x 因 coxdc=cosdb 故 x +7 7 =- 7x x +8 (13) 8x 7 13 C 8 m B = 533 cm m C = 990 cm CD = 69 cm DB = 8 cm m CB = 113 cm m D = 96 cm D 7 B 高中數學虛擬教室

19 19 8x =7(x -105) 15x =7105 x =7 x=7 5 圓內接四邊形 BCD 中 B 3 BC CD 3 BC 10 求 (1) D 的長 () 此四邊形的面積 ns:(1) 5() 1 3 (1) 在 BC 中 利用餘弦定理得 C =3 + -3cos10 在 CD 中 利用餘弦定理得 C =3 +x -3xcos60 故 3 D ( )=9+x -6x 1 C 19=x -3x+9 x -3x-10=0 (x-5)(x+)=0 10 B 3 D =x=5 () 此四邊形 BCD 的面積 =a BC+a CD = 1 3sin sin60 = 1 (6+15) 3 = 1 3 高中數學虛擬教室

20 0 6 在 BC 中 的內角平分線交 BC 於 D (1) 若 10 B 5 C 3求 D 的長 () 若 B 1 BC 1 C 16 求 D 的長 ns:(1) 15 8 () 1 (1) 設 D =x a BC=a BD+a CD 1 35sin10 = 1 5xsin xsin60 C D 5 B 15 3 =5x 3 +3x 3 8x=15 x= 15 8 () BD : CD 1 :16 3: 故 BD =1 3 7 =6 CD =1 7 =8 C 設 D =x 利用餘弦定理得 8 x x cos=8 (1) x +1-1x cos=6 () (1)3-() 得 x =1 故得 D =x= D 6 B 7 在 BC 的三邊 B BC C 上各取一點 D E F D BE CF 1 使得 求 DEF : BC 的面積比 DB EC F ns:1:3 高中數學虛擬教室

21 1 a DF= 1 D F sin C = B 3 C sin F E = 1 9 B C sin= 9 a BC D B 同理 a BDE= 9 a BC a CEF= 9 a BC 故 a DEF= 1 3 a BC 8 在 BC 中 B 3 BC 19 C 的 外角平分線交 BC 的延長線於 D 點求 (1) 的度數 () D 的長 ns:(1) 10 () 6 3 D Show xes C 19 3 B (1) 由餘弦定理知 cos= 3 得 =10 () BD : CD B : C 3: 得 BD =3 19 BD=150 高中數學虛擬教室

22 設 D =x 由餘弦定理知 x +3-3xcos150=(3 19 ) x x ( )=171 x +3 3 x-16= x= ( 取正 ) x=6 3 9 凸四邊形 BCD 兩對角線交於 E 若兩對角線的銳夾角為 30 且兩對角線長分別為 8 試求四邊形的面積 ns:8 四邊形 BCD 的面積 =a EB+a CED+a ED+a BEC = 1 [ E BE sin30+ CE ED sin30 + BE CE sin150+ E DE sin150] B 30 E D C = 1 1 [ E BE + CE ED + BE CE + E DE ] = 1 [ E ( BE + DE )+ CE ( ED + BE )] = 1 C BD = 1 8=8 10 如右圖在 BC 中 B 7 BC 8 C 9 且四邊形 BDE CFG 皆為正方形求 (1) EG 的長 () EG 的面積 ns:(1) EG 1 () EG 的面積為 1 5 高中數學虛擬教室

23 3 在 BC 中 cos= 得 cos EG=cos(180-)=cos= (1) EG = ( ) =1 1 () cos EG= 11 1 sin EG= EG 的面積 = = 在梯形 BCD 中若 D // BC B 13 BC 5 CD 15 D 11求此梯形面積 ns:16 自 作 E // CD 交 BC 於 E 11 D 因為 E // CD 且 D // CE 所以 ECD 為平行四邊形 故 E 15 BE 且 BE 的周長為 B 1 11 E C 利用海龍公式可得 BE 的面積為 假設 BE 邊上的高為 h 由 BE 的面積可得 1 1 h 8 h 1 1 故梯形面積為 高中數學虛擬教室

24 3 1 在 BC 中 B 10 C 9 cos BC 設點 P Q 8 分別在邊 B C 上使得 PQ 之面積為 BC 面積之一半則 PQ 之最小可能值為何? ( 化成最簡分數 ) 98 學測 ns: 15 設 P =x BP =y 則 a PQ= 1 x y sin = sin= 1 a BC 故 xy=5 由餘弦定理知 PQ =x +y -xycos =x +y =x +y 又 x +y xy= 5=90 故 PQ = 5 PQ 15 高中數學虛擬教室

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