trigonometry_2_A.dvi

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1 高中數學講義 三角函數. 三角函數的性質與圖形 弧度制的度數 θ : 半徑為 r 的圓, 在圓周上取一段弧長 PQ= r, 則 PQ 所對應的圓心角 PQ 為 弧度 單位圓圓心角 90 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位 即弧度 80 ; 0 弧度 80 ; 80 弧度 = ( 80 ) ; = 80 弧度 弧度 弧度 Q s = rθ θ r = P 扇形弧長 s = r θ : 半徑為 r 的圓, 弧度為 θ 所對應的弧長 s = r θ 扇形的面積 A = r θ: 半徑為 r 的圓, 弧度為 θ 所對應的扇形面積 A = r θ 廣義角的三角函數定義 : 若廣義角 θ 是標準位置角 (x 軸正向為始邊, 原點為夾角的頂點 ), 在終邊上取一點 P(x,),r = P = x + 則三角函數定義為 正弦函數 : sinθ = r 正切函數 : tanθ = x 正割函數 : secθ = r x, 餘弦函數 : cosθ = x r, 餘切函數 : cotθ = x, 餘割函數 : cscθ = r P(x,) θ x P(x,) θ x P(x,) θ x θ P(x,) x 三角函數的基本關係 :. 平方關係 : sin θ+cos θ =,tan θ+ = sec θ,+cot θ = csc θ. 倒數關係 : sinθcscθ =,tanθcotθ =,cosθsecθ =. 商數關係 : 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 tanθ = cosθ sinθ,cotθ = cosθ, tanθ = sinθsecθ, secθ = tanθcscθ sinθ 4. 餘角關係 : A+ B = 90 則 sina = cosb,cosa = sinb,tana = cotb,seca = cscb 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

2 高中數學講義三角函數的性質與圖形 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 三角函數的負角關係 餘角關係 補角關系 :. 餘角關係 A+ B = = 90 : sina = cosb,sinb = cosa. 補角關係 A+ B = = 80 : sina = sinb,cosa+cosb = 0. 周角關係 A+ B = = 0 : sina+sinb = 0,cosA = cosb 4. 反向角關係 A = + B : sina+sinb = 0,cosA+cosB = 0 ( 相反數關係 ) 5. 奇偶性 : sin( θ) = sinθ,cos( θ) = cosθ;tan( θ) = tanθ,cot( θ) = cotθ;sec( θ) = secθ,csc( θ) = cscθ. 三角函數值相反數 :sin( θ) = sinθ ; cos( θ) = cosθ tan(80 θ) = tanθ ;cot( θ) = cotθ sec(80 +θ) = secθ ;csc( +θ) = cscθ 三角函數化簡公式 旋轉木馬記憶法 : cos sec cos -sin sin -cot tan -csc csc -sin cos sin sin -cos -sec 圖 : 三角函數化簡公式 : 旋轉木馬記憶法 -cos. 由該函數位於哪一輪輻為起始點 (sin(θ + ) 比 sinθ 角度多 90, 就以 sinθ 為主輻 ). 以 90 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值 ( 例 :sin(θ+ ) 就是 sinθ 逆時針轉 90, 輪輻位置為 cosθ) 已知一三角函數求其餘三角函數值方法 :. 銳角參考角法 : 每一標準角 θ 終邊與 x 軸所夾之銳角參考角 α,θ 角的三角函數值絕對值與 α 的三角函數值相同, 再由 θ 象限角位置決定其三角函數值的正負. 坐標法 : 利用 cosθ = x r,sinθ = 找出 θ 終邊上的點 P(x,) 坐標, 再依三角函數定義求其餘三 r 角函數值 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

3 高中數學講義. 基本關係法 : 利用平方關係 商數關係 倒數關係求其餘三角函數值 週期函數 : 對每一定義域中的元素 x,f(x+t) = f(x) 恆成立, 另一實數 t 也滿足 f(x+t ) = f(x),t 是 t 的整數倍, 則稱 f 是週期為 t 的週期函數 三角函數的圖形及性質 : 表 : 特別角的三角函數值 x 0 sin x 0 cosx x 4 4 sinx 0 cosx 0 0 x 0 4 tanx 0 4. 正弦函數 = f(x) = sinx 圖形 f(x) = sinx 5 (a) 定義域 D 與值域 R: D = {x x R},R = { } (b) 週期 T = : 滿足 sin(x+t) = sinx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 正弦函數的週期為 T = (c) 振幅 : 正弦函數振幅為 A = Max Min = (d) 對稱 : = sinx 圖形以 x = +n,n Z 的鉛直線 ( 過函數圖形最高點或最低點的鉛直 線 ) 均為其線對稱 = sinx 圖形與 x 軸交點 (n,0),n Z 為其對稱點 ( 對稱中心 ) 特別是正弦函數 = f(x) = sinx 圖形對稱於原點 (0,0), 為奇函數 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

4 4 高中數學講義三角函數的性質與圖形. 餘弦函數 = f(x) = cosx 圖形 f(x) = cosx 5 (a) 定義域 D 與值域 R: D = {x x R},R = { } (b) 週期 T = : 滿足 cos(x+t) = cosx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 餘弦函數的週期為 T = (c) 振幅 : 正弦函數振幅為 A = Max Min = (d) 對稱 : = cosx 圖形以 x = n,n Z 的鉛直線 ( 過函數圖形最高點或最低點的鉛直線 ) 均為其線對稱 = cosx 圖形與 x 軸交點 ( + n,0),n Z 為其對稱點 ( 對稱中心 ) 特別是餘弦函數 = f(x) = cosx 圖形對稱於 軸, 為偶函數. 正切函數 = f(x) = tanx 圖形 tan(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 由商數關係 tanx = sinx 所以 D = {x x + n,n Z},R = cosx { R} (b) 週期 T = : 滿足 tan(x+t) = tanx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 餘弦函數的週期為 T = (c) 對稱 : = tanx 圖形以 ( n,0),n Z 為其對稱點 特別是 = f(x) = tanx 圖形對稱於點 (0,0), 為奇函數 (d) 漸近線 : 直線 x = +n,n Z 都是正切函數 = tanx 的漸近線 4. 餘切函數 = f(x) = cotx 圖形 cot(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 由倒數關係 cotx = 所以 D = {x x n,n Z},R = { tanx R} (b) 週期 T = : 滿足 cot(x+t) = cotx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 餘弦函數的週期為 T = 順伯的窩 三角學 II [ 第 4 頁 / 共 7 頁 ]

5 高中數學講義 5 (c) 對稱 : = cotx 圖形以 ( n,0),n Z 為其對稱點 特別是 = f(x) = cotx 圖形對稱於 點 (0,0), 為奇函數 (d) 漸近線 : 直線 x = n,n Z 都是餘切函數 = cotx 的漸近線 tan(x) cot(x) 5 5. 正割函數 = f(x) = secx 圖形 sec(x) cos(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 因為 secx = cosx,cosx 0, 所以定義域 D = {x x +n,n Z}, 值域 R = {, 或 } (b) 週期 T = : 因 secx = cosx,cosx 0, 餘弦函數的週期為, 故正割函數周期亦為 (c) 對稱 : 正割函數 = secx 與 = cosx 圖形的對稱軸與對稱點 ( 對稱中心 ) 都相同, 亦為偶函數 (d) 漸近線 : 直線 x = +n,n Z 為正割函數圖形的漸近線. 餘割函數 = f(x) = cscx 圖形 csc(x) sin(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 因為 cscx = sinx,sinx 0, 所以定義域 D = {x x n,n Z}, 值域 R = {, 或 } (b) 週期 T = : 因 secx = sinx,sinx 0, 正弦函數的週期為, 故餘割函數周期亦為 (c) 對稱 : 正割函數 = cscx 與 = sinx 圖形的對稱軸與對稱點 ( 對稱中心 ) 都相同, 亦奇偶函數 (d) 漸近線 : 直線 x = n,n Z 為餘割函數圖形的漸近線 函數圖形的平移伸縮 : 正弦函數 = f(x) = asin(kx+b)+c 順伯的窩 三角學 II [ 第 5 頁 / 共 7 頁 ]

6 高中數學講義三角函數的性質與圖形 表 : 三角函數圖形的特點 函數 = sinx = cosx = tanx = cotx = secx = cscx 圖形 ( 一週期 ) x = x = x = 0 x = x = x = x = x = x = x = 0 定義域 R R x +n x n x +n x n 值域 [,] [,] R R (, ] [, ) (, ] [, ) 鉛直漸近線無無 x = +n x = n x = +n x = n 與 x 軸交於 n +n n +n 無無 與 軸交於 0 0 無 無 週期 奇偶性質奇偶奇奇偶奇 對稱原點 軸原點原點 軸原點 鉛直對稱軸 x = n + x = n 無無 x = n x = n + 對稱點 (n,0) (n +,0) (n,0) (n,0) (n +,0) (n,0) 一般正弦函數 = f(x) = asin(kx+b)+c, f(x) 振幅 A : a = Max min f(x) 週期 T T : k = k 則 b 與水平平移量有關 : 觀察圖形波峰 節點或波谷發生點 : 如 : 波峰點 x 代入 kx+b c 為節點所在的水平線 : = c = Max+min 考慮正弦函數 = f(x) = sinx 標準圖形, 與 Y = g(x) = asin(kx + b) + c 圖形的關係 : Y = g(x) = asin(kx +b)+c Y c = sin(kx +b), { a x = kx +b 若 = Y c 時, 則 = f(x) = sinx 與 Y = g(x) = asin(kx +b)+c 圖形就會重疊 ( 相 { b X = x b 同 ), 故當 k 時, 兩函數圖形是重疊的, Y = a +c { 向左平移 (x 軸負向 )b 單位, 再左右縮小 k 倍即 g(x) 圖形是 f(x) 圖形上下方向 ( 軸方向 ) 伸展 a 倍後再向上平移 ( 軸 )c 單位 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

7 高中數學講義 7 函數 = f(x) = sinx 圖形 A A 0 A x A A 振幅 A = 函數 = f(x) = cos (x ) 圖形 0 水平平移 = 週期 T = = x 正 餘弦函數圖形關係 : { = cosx = sin(x+ ) = sinx, 餘弦 = cosx 是正弦 = sinx 函數圖形在 x 軸方向左平移 單位 sin(x) cos(x)(0,) (,) 5 正弦函數的平移 : sin(x) sin(x+ ) sin(x+) sin(x) sin(x)+ sin(x+ )+ sin(x+ ) 5 5 正弦函數的伸縮 : sin(x) sin(x) sin( x ) sin(x) sin(x) sin(x) 5 5 順伯的窩 三角學 II [ 第 7 頁 / 共 7 頁 ]

8 8 高中數學講義三角函數的性質與圖形 例題 5 範例 : 將弧度與 化為度? 5 = 50 ; = 演練 a : 將下列弧度化為度數或將度數化為弧度. =? 0. 0 =? 演練 b : 比較下列角度的大小? a =,b =,c = a,d = 5 演練 c : 7 弧度是第幾象限角?. 75 =? =? 5 5 > c > d > b 三 範例 : 已知一扇形半徑為 公分, 圓心角為 0, 求此扇形的弧長及面積? 演練 a : 已知一扇形半徑為 5 公分, 圓心角為 8, 求此扇形的弧長及面積? 演練 b : 已知一圓半徑為 5 公分, 求圓心角為 5 的扇形面積? 演練 c : 若一扇形的弧長為 s 公分, 扇形面積為 A 平方公分, 且 s = A, 求此扇形的半徑長? 演練 d : 已知一圓半徑為 5 公尺, 若弧長為 公尺, 求此弧所對應的圓心角為何? 演練 e : 弓形為圓的弦與弧所圍的區域, 已知圓半徑 0, 求圓心角為 範例 : 半徑為 公分的三圓互相外切 ( 如圖 ), 求陰影區域的周長與面積? 所對應的弓形區域面積? s = 4,A = 4 s = 80 9,A = 9 A = 0 r = 5 5 ( ) s =,A = 8 一直圓錐的底半徑為 8, 高為 5, 若由底邊一點沿其斜邊向錐頂點剪開, 展開為一扇形 ; 求此扇形的圓心角及面積? θ = 7 ;A = 演練 a : 已知半徑為, 圓心角 θ = 0 正圓錐, 求此直圓錐的高? 的扇形, 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 為頂點的 演練 b : 如圖 : 圓半徑為, 弦長為, 求其劣弧與弦所圍成的弓形面積為多少平方單位? 9 順伯的窩 三角學 II [ 第 8 頁 / 共 7 頁 ]

9 高中數學講義 9 θ 演練 c : 過點 P(,0) 與圓 C : x + = 9 的切線與圓切於 A,B 兩點 ( 如圖 ), 求扇形 AB 面積? A P B 演練 d : 如圖 : 一皮帶套繞著兩圓 C,C, 已知圓心分別為,, 半徑分別為 r =,r = 7, 連心線段 0 + = 0, 求此皮帶 ABCD 長? B D r A P r r r C 演練 e : 已知兩圓半徑分別為,, 連心線段長, 求兩圓重疊區域面積? A 5 9 B 範例 4: 已知 cosθ = 5 且 θ 為第四象限角, 求 θ 的其他三角函數值? ( 解 :)sinθ = 4 5,tanθ = 4,cotθ = 4,secθ = 5,cscθ = 5 4 演練 4a : 如圖 : 單位圓中, 已知 AP = sinθ,a = cosθ, 用三角函數表示下列線段長?. BD =?. D =?. E =? 4. CE =? tanθ secθ cscθ cotθ 順伯的窩 三角學 II [ 第 9 頁 / 共 7 頁 ]

10 0 高中數學講義三角函數的性質與圖形 C(0, ) E P D θ A x B(, 0) 演練 4b : 承上圖 :. 利用上述線段長大小說明 : 0 < θ < PA < BD < D 時 sinθ < tanθ < secθ. 0 < θ < 時, 比較 cosθ,cotθ,cscθ 大小? cosθ < cotθ < cscθ. 0 < θ < 時, 分別先求 PA, 扇形 PB, BD 面積, 進而說明 sinθ < θ < tanθ 演練 4c : 求下列三角函數值?. cos 4 =?. sin 4 =?. cos 5 =? 4. sin 5 =? 5. tan 7 =?. cos 9 =? 7. sin 4 =? 8. cot =? 無定義 9. csc( 7 ) =? 0. sec( ) 演練 4d : 將下列式子化為最簡單的式子或值?. cosx(tanx secx) sinx = cot( x). csc( x) = sin x+sinx. cos x sinx = cosx 4. +sinx +tanx = 5. +tan θ + +cot θ 演練 4e : 已知 (, 4) 為標準位置角 θ 終邊上的一點, 試求 cotθ,secθ 的值? - cosx +cscx secx cotθ = 5 4,secθ = 演練 4f : 若 x = tanθ 且 0 < θ <, 用三角函數表示 9+x =?, 並用 x 表示 sinθ 與 cosθ? 順伯的窩 三角學 II [ 第 0 頁 / 共 7 頁 ]

11 高中數學講義 ( 解 :)secθ;sinθ = x 9+x ;cosθ = 9+x 演練 4g : 若 t = tanθ 且 0 < θ <, 用三角函數表示. secθ +t t sinθcosθ. +t. t cosθcotθ +t 演練 4h : 若 x = tanθ 且 < θ <, 用三角函數表示函數 f(x) = x +4x? ( 解 :)f(x) = g(θ) = sinθ 演練 4i : 令 x = 4secθ, 用三角函數表示 x x =? 演練 4j : 已知圓半徑, 求弦長 所對應的劣弧弓形面積? 4 sinθcosθ 4 範例 5: 若 θ < 且 cotθ =, 求 cscθ 及 sec( θ) 的值? cscθ = 5,sec( θ) = 5 若 θ 是第三象限角, 已知 tanθ+cotθ = 5, 試求 :() sinθcosθ =? () sinθ+cosθ =? 5 () secθ+cscθ =? ; 7 5 ; 5 0 演練 5a : 化簡求 tanθ +cotθ secθcscθ 值? 演練 5b : 化簡 tan θ+ +tanθ cos θ =? 演練 5c : 化簡 secθcscθcotθ cot θ =? 演練 5d : 已知 sinθ cosθ =, 求下列各式的值 :() sinθ cosθ () tanθ+cotθ () secθ cscθ? ( 解 :)() 8 () 8 () 4 演練 5e : 若 cosθ = tanθ, 求 sinθ 值? + 5 範例 : 利用 = sinx 的圖形, 畫出 () = +sinx () = sin(x ) 的圖形? sin(x) sin(x)+ sin(x ) ( 解 :) 5 利用 = cosx 的圖形, 畫出 () = cosx () = cos(x) 的圖形? 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

12 高中數學講義三角函數的性質與圖形 = cos(x) = cos(x) = cos(x) ( 解 :) 5 演練 a : 設 a = sin,b = sin,c = sin,d = sin4, 試比較 a,b,c,d 的大小? b > a > c > d 演練 b : 利用 = sinx 的圖形, 作出 = sin x 的圖形? = sin x ( 解 :) 5 演練 c : 利用 = sinx 的圖形, 作出 = sinx 的圖形? = sin(x) ( 解 :) 5 演練 d : 利用 = sinx 的圖形, 作出 = sin(x+ ) 的圖形? = sin(x) = sin(x+ ) ( 解 :) 5 ; = sin(x+ ) 的圖形如同 = cos(x) 圖形 演練 e : 設 a = cos,b = cos,c = cos,d = cos4, 試比較 a,b,c,d 的大小? a > 0 > b > d > c 演練 f : 利用 = cosx 的圖形, 作出 = cosx 的圖形? = cos(x) = cos(x) ( 解 :) 5 演練 g : 利用 = cosx 的圖形, 作出 = cos(x ) 的圖形? 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

13 高中數學講義 = cos(x) = cos(x ) ( 解 :) 5 ; = cos(x ) 的圖形如同 = sin(x) 演練 h : 下列圖形分別為哪一函數的部分圖形? () = cos(x)() = sin(x)+() = sin( x) (4) = cos(x ) B,D,C,A 5 A B C D 4 演練 i : 函數 = sin(x )+, 求此函數的振幅 A=? 週期 T=? 此函數圖形可由 = sin(x) 函數圖 形如何平移得到? A=,T = ; 向左 單位, 向上 單位平移 演練 j : 下列函數 : (a) f(x) = sin( x ) (b) f(x) = cos(x 4 )+ (c) f(x) = sin[(x )]+ (d) f(x) = sin(x+) (e) f(x) = cos(4x ) (f) f(x) = cos(x 8 ). 哪些函數的振幅為. 哪些函數圖形的週期為?. 哪些函數圖形的週期為? a,e b,c,f d 範例 7: 將 = sinx 和 = cosx 的圖形畫在同一平面上, 並利用圖形求 () 在 0 x 時, = sinx 和 = cosx 的圖形有幾個交點? () 在 0 x 時, 解 sinx = cosx 個交點 ; x = 4, 5 4 sin(x) cos(x)(0,) (,) 5 ( 解 :) 演練 7a : 解三角方程式 sinθ = tanθ θ = k,k Z 演練 7b : 求三角方程式 sinθ = sinθ 的解? θ = k,k Z;θ = ± +k,k Z 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

14 4 高中數學講義三角函數的性質與圖形 演練 7c : 在 0 x 的範圍內, 方程式 4sin x 4sinx = 0 有幾組解? 解 演練 7d : 在 0 x 的範圍內, 求解 sin(x ) = ( 解 :)x =, 演練 7e : 在 0 x 的範圍內, 求解 sinx = ( 解 :)x =, 5,, 7 演練 7f : 在 0 x 的範圍內, 求解 cosx = ( 解 :)x = +k, 4 +k 即 x = 9 + k,k = 0,, 或 x = k,k = 0,, 範例 8: 在 x 的範圍, 求方程式 sinx = x 的實根個數? ( 解 :) 個實根, 演練 8a : 求方程式 sinx = x 的實根個數? ( 解 :) 個實根, 演練 8b : 在 x 的範圍, 方程式 cosx = x 有幾個實數解? ( 解 :) 個實根, 演練 8c : 方程式 x sinx = 有幾組實數解? 順伯的窩 三角學 II [ 第 4 頁 / 共 7 頁 ]

15 高中數學講義 ( 解 :) 個實根 範例 9: 某城市紀錄歷年資料的月平均溫度 ( C) 變化曲線如下 : Month Jan Feb Mar Apr Ma Jun Jul Aug Sep ct Nov Dec t 值 Temp(T C) 平均溫 月份 若此城市月均溫可用數學模型 T = f(t) = asinb(t c) + d 來表示 (a,b,c,d > 0), 則 () a = () b = () c 最小值為 0 (4) d = 4,,,4,5 (5) c 值可以為 演練 9a : 某城市歷年資料的月平均溫度 ( C) 變化曲線如下 : Month Jan Feb Mar Apr Ma Jun Jul Aug Sep ct Nov Dec t 值 Temp(T C) 順伯的窩 三角學 II [ 第 5 頁 / 共 7 頁 ]

16 高中數學講義三角函數的性質與圖形 平均溫 月份 若此城市月均溫可用數學模型 T = f(t) = AsinB(t C)+D 來擬合資料 (A,B,C,D > 0), 求此數學模型? f(t) = sin (t 9 )+0.4 演練 9b : 一工業城, 在週一至週末上工的星期中測得空氣污染量以模型 P(t) = 40+sin 7 資料, 其中 t 為距離週日午夜 點的天數, 求. 最小污染量為多少單位?. 在觀察期間, 什麼時間點, 使得污染量為最低? (t 7 ) 擬合 8 8:00 Am Monda 演練 9c : 研究觀察某水牛群的數量可用 P(t) = sin( t ) 擬合研究資料, t 為觀察經歷時間 ( 年 ), 求. 初觀察時這群水牛的數量為何?. 個月後及 年後, 這群水牛的數量為何?. 這群水牛的數量最多為何? 4. 首次觀察到這群水牛的數量為最少時, 需歷時多久? 數量為多少 5. 首次觀察到這群水牛的數量超過 55 頭, 何時? 經歷多久時間? ; 年後 ;50 < t < 5 演練 9d : 某地區某天的潮汐情形, 可用模型 h(t) = sin( t ) ( 公尺 ) 擬合潮汐情形, 其中 t ( 小時 ) 為午夜 點開始計量時間, 問 :. 當天何時潮汐為滿潮 ( 漲潮至最高點 )? am, pm. 當天何時潮汐為乾潮 ( 漲潮至最低點 )? 9 am, pm. 當天的潮差 ( 滿潮與乾潮兩者的水位差 ) 為多少公尺? 7 點 4. 若一船在當地港口至少需漲潮.5 公尺時才能進出港口, 問該船當天下午何時可以進出港口? 演練 9e : 人體血壓若為 P(t) = 00 +0sint ( 毫米汞柱 ), 其中 t 為時間 ( 秒 ); 表示血壓在 00 上下震盪 0 毫米汞柱, 這個函數的週期為 秒, 這意味著該人的心臟跳動一分鐘 0 次 問 :. 在 t = 0,0.5,0.5,0.75, 秒時, 分別求其血壓為多少毫米汞柱? 00,0,00,80,00. 在第 秒內, 血壓最高時, 發生時間點為何? t = 0.5 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

17 高中數學講義 7. 在第 秒內, 血壓最低時, 發生時間點為何? t = 0.75 演練 9f : 一個歷史悠久的豪宅中一個保全攝影監視器鏡頭可旋轉監看豪宅外一條又長又直的車道入口進入到豪宅內 假設車道中心分隔線為一直線, 攝影監視器正前方距離為 英尺與分隔線交點為中心點 監視器監看分隔線的中心點右側範圍, 若 d 代表監視器轉動掃描時沿其中心點之車道分隔線的距離 模 d drivewa midpoint ft camera 型 d = tan( t 0 ) 表示 t 秒時, d 的距離 ( 英尺 ). 求 t = 5 秒時,d =?. 求 t = 5 秒時,d 的位置如何?. 此監視器鏡頭掃描的週期為多少秒? 監視器鏡頭平行車道 演練 9g : 交流安培電流計 I ( 安培 A) 是量測當時 (t 秒 ) 交流電流通時的電流, 若電流模型為 I = 0sin(0t ). 此電流的振幅為何?. 此電流的變化週期為何?. 此模型如何位相平移得到正弦波的圖形? 4. 求 t = 0 的電流為何?. 分別將 0,50,8 化為弧度?. 將弧度 9 5 化為度數? 習題 I:- 三角函數的性質與圖形. 已知一扇形半徑為 公分, 圓心角為 0, 求此扇形的弧長及面積? 4. 設 a = sin,b = sin,c = sin,d = sin4, 試比較 a,b,c,d 的大小? 5. 已知一扇形的弧長為 公分, 扇形面積為 4 平方公分, 求此扇形的半徑為及圓心角? 0 秒 0A 0 秒 0 0A. 一扇形半徑為 0, 圓心角為 5, 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 為頂點的正圓錐, 此正圓錐底面為一圓, 求圓 的半徑 r 及此正圓錐頂點 到底面中心 的距離 h( 正圓錐的高 )? h r 順伯的窩 三角學 II [ 第 7 頁 / 共 7 頁 ]

18 8 高中數學講義三角函數的性質與圖形 7. 求圖中陰影區域面積? 8. 一皮帶套繞著相同半徑為 r 的三個兩兩外切圓,( 如圖 ) 求皮帶長? r r r 9. 利用坐標法求三角函數值 : 若直線 sinθ,cosθ,tanθ 值? (a) P(,) (b) P(, 4) 0. 先將 θ 化為較簡同界角後, 再求其三角函數值? P 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點 P 的坐標如下, 分別求三角函數 (a) tan 9 4 (b) cos 7 (c) sin( ) (d) sec( 7 4 ) (e) tan( ) (f) csc( 5 ) (g) csc( 70 ) (h) cot(90 ) (i) sec( ) (j) tan 9 (k) cos( ). 將下列式子化為最簡單的式子? (a) csc( x) cot( x) = (b) 4tanxsecx+secx tanxsecx+secx = sinx+ (c) tanx+secx = sinx (d) cotx + cosx tanx =. 三角函數的奇偶性質 : (a) cot( ) (b) tan( 7 4 ) (c) sin( 9 4 ) 順伯的窩 三角學 II [ 第 8 頁 / 共 7 頁 ]

19 高中數學講義 9 (d) tan( 9 4 ). 已知 θ 角中 sinθ,cosθ,tanθ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值? (a) cscθ =,tanθ > 0 (b) tanθ = 4,sinθ < 0 4. sinθ =,θ 為第二象限角, 分別求 a = cosθ,b = cos(θ ),c = sin(θ + ),d = tan(θ+ 4 ) 值? 5. 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ = 5, 求 cosθ 與 tanθ 的值?. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P(, ), 試求 θ 角的六個三角函數值? 7. 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cosθ sinθ =, 求 sinθcosθ 與 sinθ +cosθ 的值? 8. 已知 cosθ = 5, 且 θ 為第二象限角, 求其他三角函數值? 9. 若 tanθ = 4 求 sinθ+cosθ sinθ+cosθ =? ( 分子分母同除以 cosθ) 0. 已知 sinθ +cosθ =, 求下列各式的值 : (a) sinθ cosθ = (b) tanθ +cotθ = (c) secθ+cscθ =. 若 x = tanθ,0 < θ <, 用三角函數表示 4+x =?, 並用 x 表示 sinθ 與 cosθ?. 若 x = secθ 且 0 < θ <, 用三角函數表示 x 9 =?, 並用 x 表示 sinθ 與 cosθ?. 令 x = sinθ, 用三角函數表示 x x =? 4. 求下列函數的週期 T 最大值 M 與最小值 m (a) = sinx (b) = cos(x+ ) (c) = sin x + (d) = cos(x+ 4 ) 5. 求下列函數的週期 : () = cosx () = tan(x+ ). 求下列條件下的值? (a) 若 f(x) = sinx, 且 f(a) =, 求 f( a) =?,f(a)+f(a+)+f(a+4) =? (b) 若 f(x) = secx, 且 f(a) = 4, 求 f( a) =?,f(a)+f(a+)+f(a+4) =? (c) 若 cotθ =, 求 cotθ +cot(θ )+cot(θ ) =? 順伯的窩 三角學 II [ 第 9 頁 / 共 7 頁 ]

20 0 高中數學講義三角函數的性質與圖形 7. 右圖為函數 = acosbx+c 的部分圖形 ( 其中 a,b,c 為正數 ) 求此函數的週期與振幅及 a,b,c 的值? 4 8. 右圖為函數 = asinbx+c 的部分圖形 ( 其中 a,b,c 為正數 ) 求此函數的週期與振幅及 a,b,c 的值? 將圖形 = cosx, 如何伸縮平移可得到函數 = sinx 的圖形? 0. 利用伸縮平移描繪三角函數圖形 : = sin(x ). 餘弦函數 = f(x) = acosbx 的圖形振幅為 9.8, 週期為, 求常數 a,b 值?. 方程式 sinx = 在 0 x 4 範圍內實根的個數?. 在 x 的範圍, 求方程式 sinx = x 的實根個數? 4. 某城市歷年資料的月平均溫度 ( C) 變化曲線如下 : Month Jan Feb Mar Apr Ma Jun Jul Aug Sep ct Nov Dec t 值 Temp(T C) 平均溫 月份 若此城市月均溫可用數學模型 T. = f(t) = AsinB(t C)+D 來表示 (A,B,C,D > 0), 求此數學模型? 5. 研究觀察某甲蟲的數量可用 P(t) = 5+sin( t ),( 單位 : 千隻 ) 0 t 8 為觀察經歷時間 ( 星期 ), 求 順伯的窩 三角學 II [ 第 0 頁 / 共 7 頁 ]

21 高中數學講義 (a) 剛開始觀察時這群甲蟲的數量為何? (b) 這群甲蟲的數量最多為何? (c) 首次觀察到這群甲蟲的數量為最少時, 數量為多少 (d) 觀察到這群甲蟲的數量超過 000 隻, 何時? 經歷時間? 習題 I:-. ; 5 ; 0. 0 ;4. s = 8 公分,A = 48 平方公分 4. b > a > c > d 5. r = 4 公分,θ =. r =,h = (+ +)r 9a. sinθ =,cosθ =,tanθ = 9b. sinθ = 4 5,cosθ = 5,tanθ = 4 0a. 0b. 0c. 0d. 0e. 0f. 0g. 0h. 0i. 0j. 0k. a. sec x b. tan x+ tanx+ c. cos x d. sinx+cosx a. 0 b. c. d. a. sinθ =,cosθ =,tanθ = b. sinθ = 4 7 7,cosθ = a =,b = +,c = +,d = cosθ = 4 5,tanθ = 4. sinθ =,cosθ =,tanθ =, cotθ =, secθ =,cscθ = 7. sinθcosθ = 4 9, sinθ + cosθ = 7 8. sinθ = 4 5,tanθ = 4,cotθ = 4, secθ = 5,cscθ = a. 0b. 0c.. secθ;sinθ = x ;cosθ = 4+x 4+x. tanθ;sinθ = x 9 x ;cosθ = x. sinθtanθ 4a. T =,M =,m = 4b. T =,M =,m = 4c. T =,M =,m = 4d. T =,M =,m = 5 5., a. ; b. 4; c. 7. T =,A =,a =,b =,c = 8. T =,A =,a =,b =,c = 9. = cosx 圖形向右平移 單位後, 再上下方向伸長兩倍大 0. = sinx 圖形向右平移 單位 = sin(x) = sin(x ) 5. a = 9.8,b =. 利用函數圖形圖解有 4 個交點 :,5,,7. 個實根 4. A = 7.05,B =,C = 4.5,D = a b c d. < t < 5 ;.5 < t < 8 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

22 高中數學講義三角函數的應用. 三角函數的應用 正餘弦函數的疊合 : f(x) = asinx+bcosx+c : 圖形以 為週期, 振幅為 a +b 的波狀圖形 f(x) = asinx+bcosx+c = a +b a ( sinx+ b cosx)+c a +b a +b = a +b (cosθsinx+sinθcosx)+c; 其中 cosθ = a a +b,sinθ = = a +b sin(θ +x)+c 故 a +b +c f(x) a +b +c sin(x) cos(x) sin(x) + cos(x) b a +b 正弦函數 sinx 與餘弦函數 cosx 的疊合的意義 :. 將正弦 餘弦函數 ( 週期皆為, 振幅皆為 ) 經由和角公式, 化為單一個正弦函數 a +b sin(θ+ x)+c, 其週期仍為, 振幅為 a +b. 將正弦 餘弦函數圖形疊合, 圖形位移, 振幅放大為 a +b. 描述兩個週期相同的波重疊之效應, 形成相同週期的波, 強度增大, 此即為物理上的共振現象 ( 聲波 水波 電波等 ) 三角函數的柯西不等式 : (a +b )(sin x+cos x) (asinx+bcosx) 即 a +b (asinx+bcosx) a +b asinx+bcosx a +b 三角函數解題要訣 :. 角度要一致 ( 利用倍角, 半角, 和角公式簡化成一致角 ). 三角函數要愈少 ( 餘角關係, 平方關係, 倒數關係化簡成 sinx 或 cosx ). 三角函數的次數要愈低 ( 倍角公式, 高次以低次倍角三角函數代換 ) 三角函數的極值 :. 可化為一元二次型 : f(θ) = acos θ +bsinθ+csin θ 二次函數的極值. 可化為二元一次型 : f(θ) = asinθ+bcosθ +c 正餘弦函數的疊合. 參數式型 : f(θ) = k(sinθ +cosθ)+lsinθcosθ +m 可令 sinθ+cosθ = t,sinθcosθ = ( t ) 其中 t f(θ) = g(t) = ( t )l+kt+m, t, 轉化為二次函數的極值問題 圓與橢圓的參數式 : 圓 C : x + = r, 圓周上點的參數式為 { x = rcosθ = rsinθ,0 θ < 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

23 高中數學講義. 圓 C : (x h) + ( k) = r, 圓周上點的參數式為 P(rcosθ,rsinθ) { x = h+rcosθ = k+rsinθ,0 θ < θ r x. 橢圓的標準式 : (x h) ( k) a + b =,(a > b > 0,a = b +c ) { 橢圓的參數式 : x = h+acosθ = k+bsinθ, 0 θ < ; 此時變動角 θ 非橢圓上點 P 與中心點 的 水平夾角 P (bcosθ,bsinθ) θ P (acosθ,asinθ) P(acosθ,bsinθ) x. 橢圓 : (x h) ( k) + = 是圓 C : (x h) +( k) = a 依 x 軸方向 ( 左右 ) 不變, 軸 a b 方向 ( 上下 ) 伸縮成 b 的伸縮變化 若橢圓上一點 P(acosθ,bsinθ) 則 P 與水平軸夾角 α tanα = b a tanθ 橢圓內接正方形面積為 4a b a +b ; 內接矩形最大面積為 ab, 其周長為 4 a +b 簡諧運動 : 當某物體進行簡諧運動時, 物體所受的力跟位移成正比, 且所受的力總是指向平衡位置 例如 : 質點等速率圓周運動對於某定直徑的投影運動軌跡 f x (t) = Acos(ωt+θ), 其中每秒的速率為 ω 為 角速率,ωt+θ 為此函數 ( 運動 ) 的 相位, 運動的起點 t = 0 的方向角 θ 為此函數 ( 運動 ) 的 相 位角, 此函數 ( 運動 ) 的週期 T = ω 例題 範例 : 關於函數 = f(x) = (sinx+cosx) 的圖形, 問此函數的週期 T=? 振幅 A=? 對稱軸有幾條? ( 解 :)T =,A =, 對稱軸 x = n + 4,n Z 演練 a : 求函數 = sinx+4cosx 在 0 x 條件下的最大值與最小值, 並求作其函數圖形? 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

24 4 高中數學講義三角函數的應用 ( 解 :) ;M=5,m=-5 演練 b : 若 f(x) = sinx +4cosx 可化為 f(x) = Asin(x +θ), 其中 A > 0,0 θ <, 求 A 值及 A = 5; 5 cosθ 值? 演練 c : 若 f(x) = cosx sinx 可化為 f(x) = cos(x+θ), 求 tanθ 值? 演練 d : 若 f(x) = 8cosx+5sinx 可化為 f(x) = rcos(x+α) = r(sinx+β), 其中 r > 0, 求 tanα 及 cos(α β) 值? 並求 α,β 的關係? 5 8 ;0;β α+ 演練 e : 若已知函數 f(θ) = Rsin(θ +b) 在 θ = 時有最大值為, 求常數 R,b 值? R =,b = 三角函數正餘弦的疊合, 化為二元一次型 : f(θ) = acosθ+bsinθ+c 極值問題 範例 : 求函數 f(x) = cosx sinx+ 的最大值與最小值, 以及極值發生時的 x 值? ( 解 :)x =,max = ;x = 5,min = 已知函數 f(x) = cos(x+ )+sinx, 求. 在 0 x 時, 函數 f(x) 的最大值與最小值, 以及極值發生時的 x 值? ( 解 :)x = 0,max = ;x = 5,min =. 在 x 時, 函數 f(x) 的最大值與最小值, 以及極值發生時的 x 值? ( 解 :)x =,max = ;x =,min = 演練 a : 求函數 = sinx cosx+ 在下列條件下的最大值與最小值, 並求其對應的 x 值?. 0 x < ( 解 :)x = 5. 0 x,m = 5;x =,m = ( 解 :)x = 5,M = 5;x = 0,m = 演練 b : 分別求下列函數的振幅及最大 最小值為何?. f(x) = sinx 4cosx. f(x) = 5sinx+cosx. f(x) = sinx+cosx A = 5,M = 5,m = 5 A =,M =,m = A =,M =,m = 順伯的窩 三角學 II [ 第 4 頁 / 共 7 頁 ]

25 高中數學講義 5 演練 c : 下列方程式在 0 θ < 範圍內有幾組解?. sinθ cosθ =. sinθ cosθ =. sinθ cosθ = 4 4. sinθ cosθ = 0.00 範例 : 解三角方程式 sinx cosx =, 其中 0 x 無解, 演練 a : 若 = cosx sin(x ) = rsin(x+b), 其中 r > 0,0 b, 求 r,b 值? r = ;b = 演練 b : 解三角方程式 sinx+ cosx =, 其中 0 x 演練 c : 解三角方程式 sinx+cosx =, 0 x < 演練 d : 解三角方程式 cosx+cos(x ) =, 其中 0 x <,0 三角函數倍角公式化為二元一次型 : f(θ) = acosθ+bsinθ+c 極值問題 範例 4: 求函數 f(θ) = 5cos θ +sinθcosθ +sin θ 之最大值與最小值? 演練 4a : 求函數 f(x) = sinx(sinx+cosx) 之最大值與最小正週期? 演練 4b : 求函數 f(x) = cos x+sinxcosx+sin x 之最小值? 此時 x 為何? 演練 4c : 求函數 f(θ) = cos θ+ sinθcosθ + 之最大值與最小值? 演練 4d : 求函數 f(x) = sin(x )+sin(x+ ) 之最大值與最小值? M =,m = M = + ;T = x 5 8 ;m = ± ± 三角函數化為二次型 : f(θ) = acos θ +bcosθ+c 或 f(θ) = asin θ+bsinθ+c 極值問題 範例 5: 求 f(θ) = 4cos θ sinθ+sin θ 之最小值為? -7 演練 5a : 求函數 f(x) = +sinx 5cosx 之最大值與最小值? sinx =,M = 4;sinx = 0,m = 9 0 演練 5b : 求函數 f(x) = +cosx 5cosx 之最大值與最小值? cosx = 89 0,M = 0 ;cosx =,m = 8 演練 5c : 求函數 f(x) = cos x+ sinx+ 之最大值與最小值? 演練 5d : 求函數 f(x) = sinx+cosx+sinxcosx 之最大值? 演練 5e : 求函數 f(x) = sin x + 4 cos x 之最小值? M = 9 4 ;m = 柯西不等式 ;9 順伯的窩 三角學 II [ 第 5 頁 / 共 7 頁 ]

26 高中數學講義三角函數的應用 x 範例 : 求橢圓 = 上一點 P 與直線 L : x = 0 的最短距離? 此時 P 點坐標為何? 5;P( 9 5, 8 5 ) 演練 a : 若 x, 為實數, 且已知 x + = 4. 求 x 的最大值及最小值為多少?( 柯西不等式 參數式 幾何意義 d(,l)±r) M =,m =. 求 x 的最大值及最小值為多少?( 算幾不等式 參數式 ). 求 x +x + 的最大值及最小值為多少? ( 參數式 ) 4. 求 x 4 的最大值及最小值為多少? 5. 求 x +x 的最大值及最小值為多少?( 參數式 ) M =,m = ± M = 0,m = 0 M = 5,m = 演練 b : 求圓 x + = 4 上一點 P 與直線 L : x = 0 的最短距離? 此時 P 點坐標為何? 5 ;P( 5, 4 5 ) 演練 c : 求圓 C : x + = 上一點 P 與直線 L : x + = 0 有最短距離多少? 並求此時 p 點坐 標? 演練 d : 已知橢圓 演練 e : 求橢圓 演練 f : 橢圓 x = 與直線 L : x+ = 相切, 求切點坐標? x = 之內接矩形的最大面積? d = ;P(, ) (,) x = 上點 P 與點 A(,0) 的距離為最小, 求 P 點坐標與最短距離? P(9 5, 8 5 );l = 4 5 演練 g : 一架飛機飛航路徑為雙曲線, 若飛航路線用方程式 x = 8 表示, 城市坐標為 (,0), 求此飛機 Miles (x, ) 與城市的最近距離為多少哩? 7;x = mi x 習題 I:- 三角函數的應用. f(θ) = sinθ + cosθ, 為最大值時, θ =?. 下圖是函數 = asinx+bcosx 圖形的一部份, 求此函數的週期及 a,b 值?. 求 f(x) = sin(x+ ) cos(x+ ) 在 0 x 的最大值與最小值? 4. 求 f(x) = sin(x+ )+cos(x ) 在 0 x 的最大值與最小值? 5. 設 α,β 均為銳角, 且滿足 α+β =, 試求 cosα+cosβ 的最大值?. 試求 = sinx cosx, 在下列條件下求圖形的振幅 A 函數最大值 M 與最小值 m, 並求其對應的 x 值? 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

27 高中數學講義 7 Π 5Π 4 8 (a) 0 x < (b) 0 x 7. 試求 = 4cos x sin x+8sinxcosx 的最大值與最小值? 8. 求 = sin x 4sinxcosx+cos x 的最大值與最小值? 9. 試求 = sinx cos( x),0 x < 的最大值與最小值? 及其所對應的 x 值? 0. 求函數 f(x) = sinx+cosx 之最大值與最小值?. 求函數 f(x) = sinx+cosx+sinxcosx 之最大值?. 若 x+ =,0 x < 試求 sinxsin 的最大值和最小值?. 在 0 x 的範圍內, 求方程式 sinx+cosx = 的解? 4. 在 0 x < 的範圍內, 求不等式 sinx cosx = 的解? 5. 點 P 為圓 C : x + = 上的點, 為原點, 點 Q(, ), 試求 PQ 面積的最大值? { x = h+cosθ. 求參數式中,0 θ = k +sinθ 所表示的弧長? 7. 平面上, 圓 C : x + = 上的點到直線 L : x = 的最短距離為多少? 8. 求橢圓 9. 求橢圓 x 4 + = 上一點 P 與直線 L : x+ +7 = 0 的最大距離與最小距離? x = 內接矩形面積的最大值? x 0. 已知點 A,B 分別為橢圓 = 長軸及短軸上的一頂點, 點 P 為橢圓上一點, 求 ABC 的最大面積及此時的 P 點坐標? 習題 I: max=+ 5;min= 5. ±h.,a =,b =. max= 7,min= 7 4. max =,min = a. A =,x = 4,M =,x = 7 4,m = b. A =,x =,M =,x = 0,m = 7., 4 9. x = 5/ max = ;x = / min = 0. sinx = 4,M = 9 8 ;sinx =,m =. + 順伯的窩 三角學 II [ 第 7 頁 / 共 7 頁 ]

28 8 高中數學講義複數的幾何意涵. /4, max= ;min=. x = 0, x =, A = + ; P(, ). 複數的幾何意涵 複數平面 : 將複數 z = a + bi 對應到坐標平面上的點 (a,b), 用來表示所有複數的坐標平面, 稱為複數平面或高斯平面 虛軸 (a,b) z = a+bi x 實軸 複數加減法與係數積的幾何意義 : z = a+bi,z = c+di, a,b,c,d 皆為實數,r > 0. 複數加法 :z +z = (a+c)+(b+d)i ( 如同兩向量 z, z 加法 ). 複數減法 :z z = (a c)+(b d)i ( 如同兩向量 z, z 減法 ). 複數係數積 :rz = ra+rbi ( 如同向量 z 係數積 ) 4. 共軛複數 : z = a+bi,z = a bi ( 兩數對稱於實數軸 ) 虛軸 z +z = (a+c)+(b+d)i z = c+di z = a+bi 實軸 虛軸 rz = r(a+b)i z = a+bi 實軸 虛軸 z = a+bi 實軸 z = a bi 複數的絕對值與複數極式 : 複數 z 的絕對值 z = a+bi = r = a +b 表 z 在複數平面上與原點的距離 將 z = a+bi 化為 z = r(cosθ +isinθ) 形式, 其中 r = z 稱為複數 z 的極式, 稱 r 為 z 的模,θ 為 z 虛軸 z = a+bi = r(cosθ +isinθ) 模 r = z 的輻角 arg z, 若 0 θ < 稱主輻角 Arg z 輻角 θ 實軸 複數 z 絕對值及的一些性質 : Z Z = Z = a +b 順伯的窩 三角學 II [ 第 8 頁 / 共 7 頁 ]

29 高中數學講義 9. Z +Z Z + Z. Z Z = Z Z. Z Z = Z Z 4. Z n = Z n 複數 z 輻角的一些性質 :. arg(z +Z ) arg(z )+arg(z ). arg(z Z ) = arg(z )+arg(z ). arg( Z Z ) = arg(z ) arg(z ) 4. arg(z n ) = n arg(z) 極坐標與複數平面坐標 : 極坐標 [r,θ], 平面坐標 x = rcosθ, = rsinθ 複數的乘除法 : ( 複數的乘除開方根運算, 將一般式化為極式後再運算較簡易 ) z = r (cosθ +isinθ ),z = r (cosθ +isinθ ) 則 z z = r r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )] z z = r r [cos(θ θ )+isin(θ θ )] Im Im z = z z = [r +r,θ +φ] z = [r,φ] z = [r,θ] w = iz = [r,θ +90 ] θ+φ φ θ Re θ θ z = [r,θ] Re u = z i = z = [r, θ] 棣美弗定理 : 若複數極式 z = r(cosθ+isinθ), 則 z n = r n (cosnθ+isinnθ),n N 仿照實數, 規定 z 0 =,z n = z n, 則 z n = z n = r n (cosnθ+isinnθ) = r n (cos( nθ) + isin( nθ)) 即棣美弗定理 z n = r n (cosnθ+isinnθ) 對任意整數 n 均成立 複數的 n 次方根 : 若 a+bi = z n = r(cosφ+isinφ), 則 a+bi 的 n 個根可寫成 z k = n r (cos φ+k n +isin φ+k n ),k = 0,,,,(n ) n 這 n 個根 Z k 在複數平面上, 位於半徑為 r 的圓內接正 N 邊形的頂點, 相鄰兩頂點所夾的圓心角為 n ( 第一個根 Z 0 主輻角為 φ n ) 的 n 次方根 : 若 Z n =, 則 的 n 次方根為 z k = (cos k n +isin k n ),k = 0,,,,(n ) f(x) = x n = (x )(x n +x n + +x+) = (x )(x ω )(x ω ) (x ω n ) = (x )(x ω)(x ω )(x ω ) (x ω n ) 當 f(x) = x n = 0, 時 z k = ω k 為 x n = 的根, 即 z 0 =,z = ω,z = z = ω,z = z = ω, 故 ω 為 的一個 n 次方根, 具有下列代數式關係 : 順伯的窩 三角學 II [ 第 9 頁 / 共 7 頁 ]

30 0 高中數學講義複數的幾何意涵. ω n =. +ω +ω +ω + +ω n = 0. z 0 =,ω = z,ω = ω,ω = ω,,ω n = ω n 4. g(x) = x n +x n + +x+ = (x ω)(x ω )(x ω ) (x ω n ) 複數平面上的幾何性質 :,ω,ω,,ω n 恰為內接單位圓的正 n 邊形的 n 個頂點, 其中一個頂點為 z 0 = z 虛軸 虛軸 z z k = (cos k 虛軸 k +isin ),k = 0,,,5 z z z 0 實軸 z z 0 實軸 z n z 0 實軸 z 的三次方根 :,ω,ω z 的四次方根 :,ω,ω,ω z 4 z 5 的六次方根 :,ω,ω,ω,ω 4,ω 5 要訣 :. θ±k 的整數倍 nθ n(θ±k) 即 θ 的整數倍與 θ 同界角的整數倍是同界角 但 θ 的 角 θ n 未必與 n (θ ±k) 都是同界角. 複數相加減 化成實部虛部的兩複數相加減 複數相乘除 n 次方根 化成極式 z = r(cosθ+isinθ) 再依棣美弗定理運算. 若 z = r(cosθ isinθ) 則 z n = r n (cosnθ isinnθ) 成立 但 z = r(sinθ +icosθ) 則 z n = r n (sinnθ+icosnθ) 並不成立 4. 若 f(x) 為實係數函數, 設 f(z) = a+bi, 其中 a,b R 則 f(z) = a bi n 倍 例題 範例 : 若主幅角 0 θ <, 將下列複數以三角函數極式 ( 主幅角 ) 表示之?. z = i =. z = i =. z = = 4. z = i = 演練 a : 若主幅角 0 θ <, 將下列複數以三角函數極式 ( 主幅角 ) 表示之?. z =. z = i =. z = = (cos 7 4 +isin 7 4 ) (cos +isin ) (cos +isin) (cos 5 4 +isin 5 4 ) cos0+isin0 (cos +isin ) (cos +isin) 順伯的窩 三角學 II [ 第 0 頁 / 共 7 頁 ]

31 高中數學講義 4. z = i = 演練 b : 將下列複數用複數平面極坐標表示之?. + i. i. + i (cos +isin ) 4,, 7, 4 4. i 演練 c : 將下列複數極式表為複數平面實虛部表示之?. (cos 4 +isin 4 ) i. cos +isin ), 5 i. (cos 4 +isin 4 ) + i 4. 4(cos 7 isin 7 ) i 範例 : 設 z = 5(cos 4 +isin 4,z = (cos +isin )) 試求 z z 與 ( 解 :)z z = 0(cos 5 5 +isin ), z z = 5 (cos +isin ) 演練 a : 化簡求 (cos 7 +isin 7 ) (cos +isin ) = z z 以極式表之? 演練 b : 化簡求 (cos 4 +isin 4 ) 4(cos +isin ) = 演練 c : 求 (cos4 +isin4 ) (cos +isin ) =? 演練 d : 若 Z = (cos0 isin0 ),Z = (sin0 +icos0 ), 求 z z 與 z z = ; z z = (cos( 0 )+isin( 0 )) 演練 e : Z = (cos0 +isin0 ),w = 5(cos00 +isin00 ), 以極式表示之, 求. zw.. 範例 : 求 z w w z 4(cos80 +isin80 ) (cos50 +isin50 ) (cos5 +isin5 ) (cos5 +isin5 ) 之值? 演練 a : Z = (cos40 isin40 ),w = 4(cos0 isin0 ), 以極式表示之, 求. zw. z w z z 以極式表之? i + i + i 5(cos0 +isin0 ) 5 (cos80 +isin80 ) 5 (cos80 +isin80 ) i (cos0 isin0 ) 4 (cos0 isin0 ) 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

32 高中數學講義複數的幾何意涵. w z 演練 b : 化簡求 (cos5 +isin5 ) 4 =? 演練 c : 化簡求 (cos5 isin5 ) 4 =? 演練 d : 化簡求 (cos0 +isin0 ) 4 =? 演練 e : 化簡求 [(cos0 +isin0 )] =? 演練 f : 化簡求 [ (cos7 +isin7 )] 5 =? 演練 g : 化簡求 [ (cos0 +isin0 )] =? 演練 h : 化簡求 ( i) 5 =? 範例 4: 計算下列各式的值 : A = ( i) 0,B = ( i + i )4 A = 5(+ i),b = 409 演練 4a : 化簡求 (+i) 0 =? 演練 4b : 化簡求 ( i) 8 =? 演練 4c : 化簡求 ( +i) =? 演練 4d : 化簡求 ( i) =? 演練 4e : 化簡求 (+ i) =? 4 (cos40 isin40 ) + i i i 4+4 i i + i i 5i 範例 5: 在複數平面上滿足方程式 z i = 的複數 z, 所形成的圖形為何? 演練 5a : 已知二次方程式 Z +bz +c = 0 的兩根為 (cos +isin ),(cos 5 +isin 5 ), 求方程式的係 b = ( +)i;c = 數 b,c 為何? 演練 5b : 坐標平面上, 正三角形 AB 的頂點 A 坐標 (,), 另一頂點 B 落在第四象限內, 求 B 點坐標? B( +, ) 圓 演練 5c : 在複數平面上滿足方程式 z i = z 的複數 z, 所形成的圖形為何? 演練 5d : 在複數平面上滿足方程式 z+ i + z i = 0 的複數 z, 所形成的圖形為何? 範例 : 設 ω = cos +isin 0 0, 試求下列問題 :. 求 ω 5 與 ω 0 值?. 說明方程式 x 0 = 的十個根為,ω,ω,ω,,ω 8,ω 9 直線 橢圓 ; 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

33 高中數學講義. 求 +ω +ω +ω + +ω 99 +ω 00 值 4. 求 ( ω)( ω )( ω ) ( ω 8 )( ω 9 ) 值? 0 演練 a : 設 z = cos 7 +isin 7, 試求下列問題 :. 求 z 7 值?. 說明方程式 x 7 = 的七個根為,z,z,z,z 4,z 5,z. 求 z +z +z +z 4 +z 5 +z 值 4. 求 ( z)( z )( z )( z 4 )( z 5 )( z ) 值? 5. 求 z z z z 值? 演練 b : 設 z = cos 7 +isin 7,. 求 z 4 值?. 試求 z +z +z + +z +z =?. 利用上題結果分別求 A = cos 7 +cos 7 +cos 7 sin + +sin 的值? 7 7 演練 c : 方程式 x =. 求方程式的解? ( 解 :) [cos( + k )+isin( + k )],k = 0,, 即 + i ( ); ( i ); + +cos 7. 若方程式的三根為 z 0,z,z, 化簡求 ( z 0 )( z )( z ) 值? 與 B = sin 7 +sin 7 + A = ;B = 0 + 範例 7: 求 i 的三次方根? ( 解 :)cos( + k )+isin( + k ),k = 0,, 虛軸 z z 0 實軸 即 +i z ; +i ; i i 的三次方根 :z 0,z,z 演練 7a : 求方程式 x 4 +i = 0 的根? 並將其根所代表的點描在複數平面上 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]

34 4 高中數學講義複數的幾何意涵 ( 解 :)z k = (cos +k 4 虛軸 z 0 +isin +k 4 ),k = 0,,,, 為正四邊形 且 z 0 的幅角為 8 z 實軸 z z i 的四次方根 :z 0,z,z,z 演練 7b : 求 +i 的三次方根? ( 解 :) [cos( + k )+isin( + k )],k = 0,, 演練 7c : 求方程式 x = + i 的解? ( 解 :) 4cos( + k )+isin( + k ),k = 0, 即 + i; i 演練 7d : 求方程式 x = + i 的解? ( 解 :) cos( k )+isin( k ),k = 0,, 習題 I:- 複數的幾何意涵. 滿足方程式 z + = z i 的複數 z, 在複數平面上所形成的圖形軌跡方程式為何 ( 用 x, 表示 )?. 已知點 P 的極坐標為 [4, 4 ], 求其直角坐標?. 將複數化為極式 ( 輻角取主輻角 ): z = i,z = +i 4. 將下列複數寫成極式 ( 輻角取主輻角 ): (a) z = i (b) z = i (c) z = (sin70 +icos70 ) (d) z = sin00 icos0 (e) z = i 5. 化簡求 4(cos +isin ) 7(cos +isin ) =. 化簡求 (cos 4 +isin 4 ) (cos 4 +isin 4 ) = 7. 化簡求 (a) (+i) 5 =? (b) 求 ( i) 0 的值? (c) 求 ( +i) 9 的值? (d) 求 ( +i) 9 的值? (e) 求 ( +i) 4 的值? 順伯的窩 三角學 II [ 第 4 頁 / 共 7 頁 ]

35 高中數學講義 5 (f) 求 ( i) 5 的值? 8. 試求 (sin9 icos9 )(cos.5 +isin.5 ) =? 9. 設 ω = + i, 求 ω =?,ω 8 =? 0. 將極坐標 (, 4 ) 化為複數平面坐標?. 求 (cos +isin ) (cos5 +isin5 ) (cos4 +isin4 ) 之值?. 若 z = (4 i) ( i)( i), 求 z 的值?. 如圖 : 坐標平面上已知直角 AB 中, AB = 90,A(,0),B(,), 將此三角形繞原點旋轉 θ = 0 B(, ) B 角後, 形成 A B, 求 A B 的點坐標? A θ x A(,0) 4. 求 i 的三次方根? 5. 試求 的五次方根? 並將其根所代表的點描在複數平面上, 觀察此五點為頂點的五邊形是否為正五邊形?. 試求 8+8 i 的四次方根? 將其根所代表的點描在複數平面上 7. 試求 i 的四次方根? 8. 設 z + z =, 試求 z 00 + z 00 之值? 9. 設 z = cos 5 +isin 5,, 試求 z 5 +z +z 7 + +z 5 =? 0. 求二次方程式 z +i = 0 的根. 求方程式 x = + i 的解?. 求方程式 z 7 +z +z 5 +z 4 +z +z +z + = 0 的 7 個根在複數平面上所圍成的七邊形面積? 習題 I:-. x+ = 0. (, ). z = (cos isin 7 4 ),z = 4(cos 5 +isin 5 ) 4a. (cos 4 +isin 4 ) 4b. (cos +isin ) 4c. (cos0 +isin0 ) 4d. (cos0 +isin0 ) 4e. (cos isin ). i 7a. 4(+i) 7b. 5+5 i 7c. i 5 7d. 5+5 i 7e. 4 7f. i 順伯的窩 三角學 II [ 第 5 頁 / 共 7 頁 ]

36 高中數學講義複數的幾何意涵 8. cos7.5 isin i, i 0. (, ). i. 5. A = (,) B (,+ ) 5 4. [cos( 4 +k ) + isin( 5 4 +k )],k = 0,, 5. z k = (cos k 5 + isin k 5 ),k = 0,,,,4, 為 正五邊形 且 z 0 在 x 軸上虛軸 z z z 0 實軸 z z 4 的五次方根 :,ω,ω,ω,ω 4. [cos( + k ) + isin( + k )],k = 0,,, 虛軸 z z z z 0 實軸 7. 4 [cos( 8 + k )+isin( 8 + )],k = 0,,, k i, i. +i; i. 考慮 x 8 = (x )(x 7 + x + +x+) = 0 的根為正 8 邊形頂點,z 為去除 x = 的其餘頂點 A 7 = +... 教用版附答案... 順伯的窩 三角學 II [ 第 頁 / 共 7 頁 ]