三角函數二

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1 三角函數 sin sin cos cos ( α + β ) ( α β ) ( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = sinα cos β cosα sin β = cosα cos β sinα sin β ( α β ) = cosα cos β + sinα sin β tanθ tan sin θ =, cosθ = + tan θ + tan θ θ 姓名 :.

2 弧度 三角函數 主題一度與弧度之計算角的度量單位. 六十分制 : 將圓周 60 等分, 每一等分所對的圓心角之度量稱為 度 度 =60 分, 分 =60 秒, = 60 = 600. 弧度制 ( 弳度量 ): 在圓上取一弧, 使其長度等於半徑, 則此弧所對的圓心角之度量, 稱為 弧度 ( 或 弳 ) < 注意 >() 弧度單位常常省略不寫 () 因為圓的周長等於 r, 所以整個圓周所對的角為 弧度. 度與弧度之換算 因為 60 = 弧度, 所以 = ( 弧度 ) 約 ( 弧度 ), ( 弧度 )= 約 例. 下列何者正確 : (A) sin>0 (B) cos>0 (C) tan>0 (D) cot8>0 (E) sec7>0 [A,C,E] 例. θ < <, 點 P(tan(sinθ), cot(cosθ)) 在第象限 [ 四 ] 例. 化簡 sin( + θ ) cos( θ ) sin( θ) cos( + θ ) + = [ 0 ] cos sin ( + θ) ( + θ) 例. 設三角形之三內角弧度量成等差數列, 最小角之度度量與最大角之弧度量比為 60 :, 求此三角之弧度量 [,, ] 6 [ 作業 ]. 5 與 0 分別為若干弧度? [, ] 6

3 . 5 60,,, 分別為若干度? [ 0,5,70,( ) ]. 00 弧度為第象限角 [ 四 ]. 的最大負同界角為, 最小正同界角為 [ 7, ] θ=0, () θ 為第象限角, () θ 的最大負同界角為 [ 一, 0 8 ] 6. () 四點鐘時, 兩針所成的較小角是度, 弧度 [ 0, ] () 時鐘在 點 5 分時, 求兩針所成的較小角是弧度 [ 5 ] 7 () 時鐘自 5 點 5 分到 6 點, 時針, 分針, 秒針各繞若干度? [. 5, 70, 600 ] () 三點半時, 兩針所成的角弧度 [ 5 ] 7. 下列何者正確 :(A) sin(5.9)>0 (B) cos5>0 (C) tan( 050 )>0 [ C ] 8. () 點 P(csc tan, cos sec 5) 在第象限 [ 四 ] () 點 P(cot( ), sec( )) 在第象限 [ 三 ] 9. 下列何者正確 : (A) sin<0 (B) cos>0 (C) tan6>0 (D) cos8<0 (E) sec( 5 )<0 [ D ] n 0. n Z, n 00, θ n =, 則使 θ n 為第三象限角的 n 值共有個 [] 主題二弧長與扇形面積 : 圓 O, 半徑為 r, 扇形 OPQ 中的圓心角為 θ( 弧度 ), 則弧長 s = rθ, 扇形面積 A = r θ = r s 例 5. 兩輪半徑分別為 公尺及 公尺, 兩輪中心相距 6 公尺, 今將一皮帶繞此兩輪,( 不交叉 ), 求皮帶長 = [ 6 +6 公尺 ] 例 6. 兩輪半徑分別為 公尺及 公尺, 兩輪中心相距 6 公尺, 今將一皮帶交叉繞此 兩輪, 求皮帶長 = [ 6 + 公尺 ] 例 7. 赤道上兩點間之弧, 在地球中心所張之角為, 此兩點間之距離約為 70 浬, 則地球半徑約為浬 [ 0 浬 ]

4 例 8. 一扇形中心角, 則其內切圓與此扇形之面積比 = [ :( + ) ] 例 9. 中心角 之扇形, 有一內切圓, 則 ( 扇形面積 ):( 內切圓面積 )= [ : ] 例 0. 半徑為 之三圓互相外切, 則此三圓中間所圍之面積為, 周長為 [, ] 例. 如右圖正方形邊長為, 各段圓弧皆以正方形頂點為圓心, 為半徑, 則斜線部分面積 = [ + ] 例. 求下列各圖形之斜線部分面積 : D C B A F D A B O A B E C 圖一圖二圖三圖四 (). 如圖一, 同一平面上有兩個單位圓而且每一圓必過另一圓的圓心, 則此二圖形區域交集部分面積 = [ ] (). 如圖二, 邊長為 的正方形 ABCD, 以 A,B 為圓心, 為半徑, 作圓弧, 則斜線部分面積為. [ ] (). 如圖三, 扇形 AOB 中, AOB = 90, 半徑 OA = OB =, 以 OA, OB為直徑作半圓, 則斜線部分面積為. [ ] (). 如圖四, 矩形 ABCD, AB =, AD =, 以 A 為圓心, AB 及 AD 為半徑作圓 弧, 則斜線部分面積為. [ + ]

5 例. 有一正方形 ABCD 之池塘, 邊長 6 公尺, 在四個頂點立了四根竹干, 今有一 羊, 以 公尺長的繩子繫於 A 點, 試畫出羊在池塘外所能活動之區域, 並求此 區域之面積 = [6 平方公尺 ] 重點 : 若扇形面積固定, 則扇形周長為最小時 中心角 θ= ( 弧度 ) 若扇形周長固定, 則扇形面積為最大時 中心角 θ= ( 弧度 ) 例. 設一扇形面積為一定值 k, 當中心角 θ=α 半徑 r=a 時, 扇形周長 L 為最小, 求 L =,α=, a = [ k,, k ] 例 5. 設一扇形周長為一定值 L, 當中心角為 α 時有最大面積 M, 求 α=, M= [, L ] 6 例 6. 設一扇形周長度量與其面積度量相等, 其圓心角為 θ, 求其半徑 =. [ + ] θ [ 作業 ]. 圓之半徑為, 圓心角 θ = 55 則角 θ 所對之弧長 = [ ] 5. 一扇形, 半徑為 5, 圓心角, 求弧長 =, 面積 = [5, ] 6. 設一扇形半徑為 r, 頂角為 d, 扇形面積 = [ dr 60 ]. 一扇形中心角 θ 半徑為 a, 此扇形之內切圓半徑為 r, 則 r = ( θ ) ( θ ) a sin [ ] + sin 5. 時針長為 8, 則時針由 9 點 5 分到 0 點, 所掃出之面積 = [ ] 7 6. 今將一皮帶繞在以 A,B 為中心的兩輪上而不交叉, 大輪半徑, 小輪半徑, 0 AB =, 求皮帶長 = [ + ] 7. 有一正六邊形 ABCDEF 之池塘, 邊長 9 公尺, 在六個頂點立了六根竹干, 今有一 羊, 以 7 公尺長的繩子繫於 A 點, 試畫出羊在池塘外所能活動之區域, 並求此 區域之面積 = [ 6 平方公尺 ]

6 8. 扇形面積為 000, 當中心角為 θ 時, 扇形周長最小, 求 θ= [ ] 9. 設一扇形周長為, 當中心角為 θ, 半徑為 r 時, 有最大面積 A, 求 θ=, A= [, ] 0. 有一扇形, 其周長度量等於面積度量, 若此扇形之圓心角為, 則其所在圓之 半徑 = [ 0 ]. 有一扇形, 中心角為 60, 半徑為 0, 則此扇形之周長 =, 面積 =, 內切圓半徑 =. [ 0 +,, ]. 如右圖, A, A, A,..., A 等八個點, A 8 依次將圓周八等分 若圓半徑為, A () AA = [ ] () 斜線部分面積 = [ + ] 底面積 高主題三體積與表面積直圓錐體的體積 = 求側表面積 將直圓錐體剪開, 變成一扇形 A A 5 A 6 重點 : 利用直圓錐體底面圓之周長 = 扇形之弧長, 可求得扇形之中心角 A 7 A A 8 例 7. 一扇形中心角 θ 半徑為 r, 今以此扇形圍成一直圓錐體, 求其側表面積 =, 全表面積 =, 體積. [ r θ r θ θ r θ, r θ +, ] 5 例 8. 一直圓錐體高為 5, 體積, 若將此圓錐體剪成一扇形, 求此扇形的 半徑 =, 弧長 =, 中心角 =, 面積 =. [,,,6] 例 9. 一直圓錐體, BC 為底之直徑, A 為頂點,BC =6, AB =, AC 上一點 D, AD =, 有一隻螞蟻從 C 沿曲面至 D ( 繞一圈 ) 之最短路程長為 [ 0] [ 作業 ] 5

7 . 底半徑為 r, 高為 h 之直圓錐, 求其側表面積 = [ r r + h ]. 一直圓錐體, 高為, 底半徑為, 若將此圓錐體剪成一扇形, 求此扇形的中心角 =, 面積 = [ 6,5] 5. 一直圓錐體, 高為, 底半徑為, 若將此圓錐體剪成一扇形, 求此扇形的中心角 =, 面積 = [ 8,0] 5. 小華在下午 6 點過後不久, 到達公園赴女友約會, 他看手錶剛好時針與分針夾 角成 0, 等到快 7 點時, 方見女友珊珊來遲, 此時他又看手錶恰巧兩針夾 角也是 0, 請問下列各敘述何者正確? [ ABCD ] (A) 小華在公園等的時間超過半小時 (B) 小華在公園等的時間不超過 5 分鐘 5 (C) 小華在公園等的時間, 手錶的分針共移動的弧度大於 5 (D) 小華在公園等的時間, 手錶的分針共移動的弧度小於 (E) 小華在公園等的時間, 手錶的時針共移動的弧度小於 0 6

8 三角函數及其圖形 一. 週期函數 : f 表一函數, 若存在一個正實數 a, 對所有 x R, f ( x+ a) = f ( x) 恆成立, 則函數 f 叫做 週期函數 滿足上述條件 a 之最小值為 f 之基本週期, 簡稱為週期. 例如 :sin( x+ ) = sin( x), 對任何 x 恆成立, 所以 sinx 為週期函數. sin( x+ ) = sin( x) sin 之週期為 cos( x + ) = cos( x) cos 之週期為 sec(x + ) = sec( x) sec 之週期為 csc( x + ) = csc( x) csc 之週期為 tan( x + ) = tan( x) tan 之週期為 cot(x + ) = cot( x) cot 之週期為 例. 若 f ( x+ ) = f( x), 且 0 x< 時 f ( x) = x+, 求 () f(.7)= [. ] () f(00)= [ ] () f( 5 )= [ ] f x + 5 = f x, f x = f x, f ( = = () 9 f ( ) =, () f ( ) + f ( 7) = [,,0] 例. 函數 f 滿足下列三性質 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 6 則 () f ( ) 二. 函數圖形 : 正弦函數 y = sinx R { x x } 在 Ⅰ,Ⅳ 為增函數, Ⅱ,Ⅲ 為減函數, 週期為 因 sin( x) = sin x 故為奇函數 餘弦函數 y = cosx R { x x } 在 Ⅲ,Ⅳ 為增函數, 在 Ⅰ,Ⅱ 為減函數, 週期為 cos x = cos x 故為偶函數 因 ( ) ( ) 7

9 { } 正切函數 y = tanx, ( ) xx R x n + R 在 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 均為增函數, tan x = tan x 故為奇函數 因 ( ) ( ) 餘切函數 y = cotx {, } xx R x n R 週期為 在 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 均為減函數, 週期為 cot x = cot x 故為奇函數 因 ( ) ( ) { xx R, x n + } { xx or x } 正割函數 y = secx ( ) 在 Ⅰ,Ⅱ 為增函數, 在 Ⅲ,Ⅳ 為減函數, 週期為 sec x = sec x 故為偶函數 因 ( ) ( ) 餘割函數 y = cscx { xx R, x n} { xx orx } 在 Ⅱ,Ⅲ 為增函數, 在 Ⅰ,Ⅳ 為減函數, 週期為 csc x = csc x 故為奇函數 因 ( ) ( ) 例 : 試繪出 y=sin(x) 的圖形, 並求其週期 = [ 週期為 ] 例 : 試繪出 y=sin( x ) 的圖形, 並求其週期 = [ 週期為 ] 主題一圖形變化 ( ) 重點 : 圖形之變化 = ( + ) a 決定圖形的振幅 b 決定圖形的週期 c 決定圖形的水平位移 d 決定圖形的鉛垂位移 y a sin b x c + d 例. 試繪出下列各圖形 : () y=sinx () y=sinx () y=+sinx 8

10 例. 0 x 試繪出 y=tan( x ) 的圖形 例 5. 0 x 試繪出 y= cos x 的圖形 例 6. 試繪出 y=sin x 之圖形 例 7. 試繪出 y= sin x 之圖形 例 8. 試繪出 y= sin x + 之圖形 例 9. 設 x, 試繪出 y=tan x 之圖形 圖形與方程式的根 : () 方程式 f(x)=g(x) 的實根, 就是 y=f(x) 與 y=g(x) 的圖形交點的 x 坐標 () 方程式 f(x)=g(x) 的實根個數, 就是 y=f(x) 與 y=g(x) 的圖形交點的個數 重點 : 畫圖時, 先畫較複雜者, 再畫較簡單者 簡單者要 遷就 複雜者 例 0. 方程式 0sinx = x 有 n 個相異實根, 求 n 值 = [ 7 ] 例. y =sinx 與 y = x 兩圖形之交點有 k 個, 其交點坐標即表兩方程式之共同解, 求 k 值 = [ ] 例. 若 y = sin x 是遞減, 而 y = cos x 是遞增, 則角 x 是第象限角 [ 三 ] 9

11 [ 作業 ]. 試繪出下列各圖形 : () y = sinx () y = sin x () y = tan x () y = + tanx (5) y = sinx (6) y = sinx sin x. 試繪出下列各圖形 : () y = + sinx () y = cosx () y = sin(x + ) () y = cosx (5) y = tan(x ) (6) y = tanx. 方程式 0sinx + x=0 有 n 個相異實根, 求 n 值 = [ 5 ]. 方程式 tanx=sinx, 在 - x, 有 個相異實根 [ 7 ] 5. y =cosx 與 y = x 之交點個數 = [ 5 ] 6. 方程式 sinx = x 之實根個數 = [ ] 7. 0 x 0, y=sinx 與 y = 之交點個數 = [ 7 ] 8. 方程式 x + 5 = cos x cos x 之實根個數 = [ 5 ] 6 9. y = cos(x+) 係將 y = cosx 的圖形沿 x 軸方向, 向平行移動單位, 再沿 y 軸方向, 向平行移動單位而得 [ 左,, 下, ] 0. 若將 y = cosx 的圖形向右平行移動單位, 所得新圖形與下列何者相同 [B,D] (A) y = sin( x) (B) y = sinx (C) y = sin x (D) y = cos( x ) (E) y = cos( x + ) 0

12 . y = sinx + cosx = sin( x + ) 之振幅為 [ ] 主題二函數之週期 一. 週期函數 : f 表一函數, 若存在一個正實數 p, 對所有 x R, f ( x + p) = f ( x) 恆成立, 則函數 f 叫做 週期函數, 二. 性質 : 滿足上述條件 p 之最小值為 f 之基本週期, 簡稱為週期.. 對所有 x R, f ( x + p) = f ( x) 恆成立, 則任意整數 n 也都有 f ( x + np) = f ( x). p 為 f 之週期, 若有一實數 q 滿足 f(x+q)=f(x), q 必為 p 之整數倍 p. p 為 f 之週期, 則為 f(kx) 之週期, 其中 k>0 k. f 與 g 之週期均為 p, 則 f,g 之和, 差, 積, 商及 fg, gf ( 合成函數 ) 均為週 期函數 三. 基本三角函數之週期 : f(x) = sinx,cosx,secx,cscx 之週期皆為 f(x) = tanx,cotx 之週期皆為 四. 導出週期 : f x = a sin k( x+ b) + c, a 0, k > 0, a, b, c R, 其週期為. ( ) ( ). ( ) ( ) k, 週期僅與 k 有關 f x = a tan k( x+ b) + c, a 0, k > 0, a, b, c R, 其週期為 k, 週期僅與 k 有關. sinx,cosx,secx,cscx 遇絕對值或偶次方 週期減半. tan x, cot x, tan x, cot x 週期與原來一樣不變 五. 常見之非週期函數 :. 角度在分母者 f(x) = sin 非週期函數 x. 角度有絕對值者 f(x) = sin x, f(x) = tan x 非週期函數 例外 : f(x) = cos x, f(x) = sec x 仍為週期函數

13 例. 試求下列各函數之週期 : () y = sin( x 0 ) [ ] 5 () y = cos(7x+ ) [ ] 7 () y = tanx+ [ ] () y = sin x [ ] (5) y = tanx [ ] (6) y = sin x + sin x [ ] (7) y = sin(6+ 5 x ) cos( 7 x 8) [ 0] ( 重點 : 各個週期中, 分母先通分, 再求此時分子的 L.C.M) [ 作業 ]. 下列敘述何者正確? [C,D ] (A) y=tanx + 之週期為 (B) 對於任何實數 x,y=tanx 均有意義 (C) y=tanx + 之函數值範圍為 < y < (D) y=tanx 在一, 二. 三. 四象限均為增函數. 試求下列各函數之週期 : () y = sinx + cos6x [ ] () y = sin6x cos8x + 7secx [ ] () y = sin( x + ) + [ ] () y = cos ) [ ] x (5) y = tan( + ) [ ] (6) y = sec( 6 x 5 + ) + [ ] 5 (7) y = sin( x + ) + [ ] (8) y = cot( x + ) [ ]

14 主題三比較大小 例. 試比較下列各值之大小 : a = sin 0, b = sin 0, c = tan 50, d = cos 0, e = cos0 [c>e>d>a>b] ( ) 例 5. 試比較下列各值之大小 : a = sin,b = sin,c = sin [ b>a>c ] 例 6. θ 在第 Ⅱ 象限, 試比較 sinθ, tanθ, secθ 之大小 :? [sinθ>tanθ>secθ] 例 7. 若 0 [ 作業 ] < θ <, 下列各值何者最小 sinθ, cosθ, tanθ, cotθ,secθ, cscθ [sinθ]. 試比較下列各值之大小 : a = sin 870, b = cos 0, c = tan 0, d = sin 095, e = cos900 ( ) ( ) [ c>d>a>b>e]. 試比較下列各值之大小 : a=cos, b=cos, c=cos [ a>b>c ]. 試比較下列各值之大小 : a=sin, b=sin, c=cos, d=tan [ d>a>b>c] 主題四最大值與最小值 例 8. 試求 y=sin x + sinx 之最大值 =, 最小值 = [,0] 例 9. 試求函數 y = cos x cosx+ 的最大值與最小值. [7,] 例 0. 設 x, 試求函數 y = cos x cos x+ 的最大值與最小 值, [ 9 7, ] a sin x + cos x + 之最大值為 5, 最小值為, 求 a = [ ] 例. 若 ( )

15 和角公式 sin ( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sin( α β ) = sinα cos β cosα sin β cos( α + β ) = cosα cos β sinα sin β cos ( α β ) = cosα cos β + sinα sin β tanα + tan β tanα tan β tan( α + β ) =, tan( α β ) = tanα tan β + tanα tan β cotα cot β cotα cot β + cot( α + β ) =, cot( α β ) = cot β + cotα cot β cotα 利用距離公式及餘弦定理, 推導出 : cos ( α β ) = cosα cos β + sinα sin β 再證出其他的公式 練習. () cos5 =. [ () cos05 =. [ ( 6 + ) ] ( 6) ] 練習. 試求下列各式之值 : () ( 0 + α ) cos( 0 α ) sin( 0 + α ) sin( 0 α ) cos = [ ] () ( 0 + α ) cos( 00 + α ) cos( 0 + α ) sin( 00 + α ) sin = [ ] cos 0 α cos 0 + α sin 0 α sin 0 + α = [ 0 ] () ( ) ( ) ( ) ( ) () cos( + 0 ) cos( α 60 ) + sin( α + 0 ) sin( α 60 ) α = [ 0 ] 主題一求值問題例. 設 < α < < β <, sin α =, tan β =, 則 5 5 () sin( α + β) = [ 65 ] () tan( α β) = [ 6 6 ] 例. 設 A(sinα, cosα),b(cosβ, sinβ),α + β = 0, 則 AB = 6 [ ]

16 例. 設 a = sin 9, b = cos, 則下列何者正確? [B,D] (A) a b b a = (B) a b b a = (C) ab a b = (D) ab + a b = (E) a b + b a = 例. ABC 中,sinA= 5, cosb= 5, 求 a:b:c= [ 5:5: ] 例 5. 設 sina+sinb=sinc, 且 cosa+cosb=cosc, 則 cos( A B )= [ ] 例 6. 若 tanα=,tanβ=,tanγ=, 則 α+β+γ= [ n, n Z ] 例 7. A, B 為銳角,tanA,tanB 為 x + ax+ ( a+ ) = 0之二根, 求 A+B= [ ] 例 8. 若 tana,tanb 為 x + px+ q = 0之二根, sin A+ B + psin A+ B cos A+ B + qcos A+ B = [ q ] 則 ( ) ( ) ( ) ( ) 例 9. 如右圖, ABGH, BCFG, CDEF 均為正方形, 則 BAG + CAF + DAE = [ ] H G F E [ 作業 ] A B C D. ABC 中,A,B 均為銳角,sinA=,cosB= 5, 則 A+B= [ ]. ABC 中,A,B 均為銳角,sinA=,sinB=, 則 C= [ ]. sina= 5, cosb= 5, A 為第二象限角, B 為第四象限角, () sin(a+b) = [ 6 65 ] 5

17 () cos(a+b) = [ 6 65 ] () tan(a-b) = [ 56 ]. 設 sin 8 = a, cos6 = b, 則 () cos = [ b a + a b ] () sin = [ ab a b ] () sin 7 = [ ab + a b ] () cos 7 = [ b a a b ] 5. ABC 中, 若 tana=,tanb=, 求 C= [ ] 6. sin θ cosθ 可化簡為. ()sinθ () cosθ () tanθ () cotθ [()] secθ cscθ 7. 設 < α < < β < α = β = 5,,cos,sin, 則 tan( α β) = [ 6 6 ] 8. 若 tana,tanb 為 x x + 0 = 0之二根, sin A+ B cos A+ B sin A+ B + cos A+ B = [ ] 則 ( ) ( ) ( ) ( ) 9. 若 tana,tanb 為 x x = 0之二根, = [ ] 則 cos ( A B) cos( A B) sin( A B) sin ( A B) 0. 若 cota,cotb 為 x 5x = 0之二根, + cot A + B + cot A + B + cot A + B + = [ 5 5 ] 求 ( ) ( ) ( ).... A,B,C,D 均為銳角,tanA= 8,tanB= 7,tanC= 5,tanD=, 則 A+B+C+D = [ 5 ] 6

18 主題二 tan 與 cot 的問題 例 0. tan + tan + tan tan = [ ] 例. 當 A+B=5 時, 求 (+tana)(+tanb)= [ ] 例. 試證下列各式 :. (a) 若 α+β+γ= 則 tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ (b) 利用 (a), 銳角 ABC 中, 求 tana+tanb+tanc 的最小值 = [ ]. 若 α+β+γ= 則 cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcotα= α β β γ γ α. (a) 若 α+β+γ= 則 tan tan + tan tan + tan tan = A B C (b) 利用 (a), ABC 中, 若 tan + tan + tan =, 求此三角形的形狀. [ 正 ] A B C A C 例. ABC 中, 若 cot, cot, cot 成 A.P. 證 : cot cot = [ 作業 ]. tan7 + tan + tan7 tan = [ ]. cot - cot66 + cot cot66 = [- ]. 當 A+ B = 7 時, 求 (-tana)(-tanb)= [ ]. (a) 若 α,β,γ 為 ABC 的三內角, 則 tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = α β γ (b) 若 α,β,γ 為 ABC 的三內角, 利用 (a), 求 tan + tan + tan 的 最小值 = [ ] (c) 若 α,β,γ 為 ABC 的三內角, 利用 (a), 求 tan α +tan β +tan γ 的最小值 =. [ ] 5. tan( A B ) =,tan( B C ) =, 求 tan( C A)= [ 7 ] 7

19 主題三平方差問題 sin α + β sin α β = sin α sin β = cos β cos α 重要性質 (). ( ) ( ) (). ( ) ( ) cos α + β cos α β = cos α sin β = cos β sin α 例. sin 5. 5 sin 7. 5 = [ 6 ] 例 5. 當 α + β = 時, 求 sin α sin β 的最大值 =, 最小值 = [, ] 6 例 6. 當 α+β=60 時, 求 sinα sinβ 的最大值 = [ ] [ 作業 ]. sin 75 sin 5 = [. sin 7. 5 sin 7. 5 = [. cos 7. 5 sin 7. 5 = [. 當 x+y = 時, 求 cos x sin y的最大值 =, 最小值 = 6 ] ] ] [, ] a + b 5. 下列各函數中, 何者有 f ( ) < ( f ( a) + f ( b)), a b 的性質 [ A ] (A) f ( x) = sin x, x [, ] (B) f ( x) = cos x, x [0, ] (C) f ( x) = tan x, x (, ) (D) f ( x) = cot x, x (, ) 6. 若 x 為第二象限角, 則下列何者恆為正? [ C ] (A) sin x (B) cos x (C) tan x (D) sec x (E) csc x 8

20 倍角與半角公式 二倍角公式 : sin α = sinα cosα cosα = cos α sin α = cos α = sin α tanα cot α tan α =, cotα = tan α cotα 萬能公式 : tanθ tan θ sin θ =, cosθ = + tan θ + tan θ 三倍角公式 : cos cos θ = θ cosθ, sin θ = sinθ sin θ 半角公式 : θ cosθ θ + cosθ sin = ±,cos = ±, θ cosθ sinθ cosθ tan = ± = = + cosθ + cosθ sinθ 例. 設 f ( x) = x x +, 則 f (x) 除以 x sin0 之餘式為 [ ] 例. 證明下列各式 : sin θ cosθ θ () = tan + cos θ + cosθ cosθ sinθ () = secθ tan θ cosθ + sinθ () cosθ = 8cos θ 8cos θ + + sinθ + cosθ θ () = cot + sinθ cosθ 例. () 證明 sinθsin( 60 θ) sin( 60 θ) () ( sin0 )( sin0 )( sin80 ) sinθ + = ( 公式 ) = [ () ( sin0 )( sin50 )( sin70 ) = [ 8 ] 8 ] 9

21 例. 試求下列各式之值 : () ( cos0 )( cos0 )( cos80 ) = [ 8 ] () cos cos cos = [ 8 ] 6 () cos cos cos = [ 8 ] 5 sin8 = cos 7 =, sin5 = cos6 = 5+ 例 5. 試求下列各式之值 : () sin 6 = sin 8 = [ 0 5 () cos 8 = tan 8 = [ +,, ] ] 例 6. () 求 tan9 tan7 + tan8 tan6 之值 [ ] () sin ( 5) sin( 5) sin( 5) sin( 5) = [ 5 6 ] 例 7. 試求下列各式之值 : () cos ( 8) + cos ( 8) + cos ( 5 8) + cos ( 7 8) 00 ( n ) () cos n= 8 = [ ] = [ 75 ] 例 8. 設 sinα= 5, 求 sinα=, cosα= [ ± 7, ] 5 5 例 9. ABC 中,b+c : c+a : a+b = : 5 : 6, 求 sina : sinb : sinc= [ 9 :55:9 ] 例 0. 設 0<α< 且 sinα-cosα=, 求 α= [ ] 0

22 例. 設 0<α<, sinα>cosα 且 sinα+cosα=, 求 α= [ 5 ] 6 例. 設 < α <, 且 sinα= 5, 求 sinα,cosα,tanα= [ 5,,] 5 例. 設 < α < 且 cosα=, 求 tanα=,tan α = [ 7 例. 設 cosα= 5, 求 cos α + sin α = [ 7 5 ], ] θ 例 5. 設 sinθ = 8 cos 5, 求 cosθ= [ 7, ] 5 例 6. 設 sinθ, cosθ 為 x + px+ q = 0之兩根, θ θ θ 試以 p,q 表示 sin (cos sin ) = [ +p+q ] 例 7. 設 sinα,cosα 為 x x+ sin β = 0 之兩根, 且 < αβ, <, 則 α,β= [ 5, 0 ] 例 8. ABC 中, 最大角 α 為最小角 γ 的 倍, 且三邊長成連續整數, 求三邊長之和 = [ 5 ] 例 9. 設 < α <, 試化簡 + sinα sinα = [ cos α ] 例 0. 設 < α <, α α 試化簡 + cosα + cosα = [ (sin cos ) ] 例. 設 0 < α <, 試化簡 cosα sinα + = [ +tanα] sin α + sin α

23 例. 設 tanθ=, 求 sinθ+cosθ= [ 5 ] 例. 設 tan θ = k, 試以 k 表示 cosθ= [ k k 6 + k + k + ] 例. 設 tan θ = k, sinθ 試以 k 表示 + cos ( ) θ =. [ k ] 6 6 例 5. 設 cosθ=k, 試以 k 表示 ( cos θ sin θ) = [ k + k ] [ 作業 ]. 下列何者為真? [C,D,E] (A) sin 8 = + (B) cos 8 = (C) tan = 8 (D) sin + = (E) cos + + = 6 6. 設 0<α<,sinα>cosα, 且 sinα + cosα = 6, 求 α= [ 75 ]. 設 0 α 且 sinα= 5, 求 sin α =,cos α =.[, 或, ] 設 0 < α <, 且 cosα=, 求 sinα+cosα= [ 7 5. 設 0 < α <, 試化簡 + sinα sinα = [ sin α ] 6. 設 0 < α <, 試證 log(cscα-cotα)=logsin α -logcos α 7. 設 cosα=, 求 cos α + sin α 之值 [ 5 8 ] 8. 設 sinα=, 6 6 求 cos α + sin α 之值 [ ] 9. 設 tanθ= k, 試以 k 表示 cosθ= [ k k 6 + k + k + ] 0. 設 tan α =, 則 cosα= [ 7 5 ] ]

24 . 設 tan α =, 則 sinα=,cosα= [ 7, ] [ 7/5 ] 5 5 θ θ θ. 設 sinθ 與 cosθ 為 x x = 0之兩根, 求 sin (cos sin ) = [ ]. 設 x ( tanθ + cotθ) x+ = 0之一根為 5, 求 sinθ= [ 5 5 ]. 設 f ( x) = 8x + x 6x, 則 f(x) 除以 x sin05 之餘數為 [ + ] 5. 設 f ( x)= 8x 6x+, 則 f(x) 除以 x + cos 之餘數為 [ ] 8 6. 試證 : () sin 0 為方程式 8x 6x + = 0之一根 () sin 0 是無理數 () sin + sin + sin + sin = [ ] 5 7 () cos + cos + cos + cos = [ ] 8.sinα+sinβ=, cosα+cosβ= 0 () cosα+cosβ= [ ] () sin α + cos β = [ 5 8 ] 9. 已知四邊形 ABCD 中, AB = 6, BC = 5, CD = 5, ABC 及 BCD 皆為銳角, 而 sin ABC =, sin BCD = 求 5 5 () BD 之長 = () AD 之長 = [ 0, ] 0. 若 0 < θ <, 試問以下哪些選項恆成立?. [()(5)] () sinθ < cosθ () tanθ < sinθ () cosθ < tanθ ()sin θ < cos θ θ (5) tan < tanθ D. 如右圖 BAC = θ, ABD = ACD = 90, AB = a, BD= b 下列選項何者可以表示 CD?. [()] B () asinθ + bcosθ () asinθ bcosθ () acosθ bsinθ () acosθ + bsinθ (5) asinθ + btanθ A C

25 和與積互化公式 積化和差 sinα cosβ = sin( α + β) + sin ( α β) cosα sin β = sin α + β sin α β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cosα cosβ = cos α + β + cos α β sinα sinβ = cosα + β cosα β 和差化積 α + β α β sinα + sin β = sin cos α + β α β sinα sin β = cos sin α + β α β cosα + cosβ = cos cos α + β α β cosα cosβ = sin sin 主題一利用公式化簡例. 化簡 sin 5θ sin θ = [tanθ] cos5θ + cosθ 例. 化簡 ( cosθ cosθ)( sin8θ + sin θ) ( sin5θ sinθ)( cos6θ cosθ) = [ ] 例. 求 sin00 sin( 60 ) cos00 cos( 80 ) + = [ ] 例.0 < x < 60 且 tan x = sin5 + sin 7 cos5 cos7, 則 x= [ 69 or 9 ] 例 5. 化簡 sinα sinα + sinα sin 6α + sin α sinα sinα cosα + sin α cos6α + sin α cos α = [ tan9α] 重點 : 三項時, 前兩個和差化積, 第三個用二倍角公式四項時, 兩個兩個一組, 用和差化積

26 例 6. 試證 sinθ+ sin7θ+ sin0θ= sin 7 5 cos θ θ cos θ 例 7. 試證 cosθ+ cosθ+ cos5θ+ cos7θ=cosθcosθcosθ A+ B B+ C C+ A 例 8. 試證 sina + sinb + sinc - sin(a+b+c)= sin sin sin [ 作業 ]. 求 sin 7. 5 sin 7. 5 = [. 求 cos65 sin0 + cos5 sin0 = [ ] ]. 求 cos55 cos65 + cos65 cos75 + cos75 cos55 = [ ]. 求 cos00 sin50 + sin50 cos0 cos0 cos00 = [ ] 5. 求 sin5 sin0 + sin5 sin0 + sin0 sin 65 sin5 cos0 + sin5 cos0 + sin0 cos65 = [ ] 6. 求 cos0 cos0 + cos60 cos80 = [ ] sin7 sin5 7.0 < x < 60 且 tan x = cos7 cos5, 則 x= [, ] 主題二 sin, cos 之連乘與連加. cos 之連乘 : () 角度成等比, 公比為 時 兩邊同乘最小角的 sin () 積化和差解之. sin 之連乘 : 積化和差解之. sin, cos 之連加 : () 角度成等差, 公差為 d 時 兩邊同乘 sin d () 和差化積解之 例 9. 利用積化和差公式求 sin 0 sin 0 sin80 = [ 8 ] 例 0. 利用積化和差公式求 cos 0 cos0 cos80 = [ 8 ] 5

27 例. 求 tan 6 tan tan66 tan78 = [ ] 例. 求 cos80 + cos0 cos0 = [ 0 ] 例. 求 cos cos cos = [ ] 6 例. 求 cos + cos + cos = [ ] 例 5. 求 cos cos cos cos cos cos = [ ] [ 作業 ]. 在以原點 O 為圓心之單位圓上, 做一內接正七邊形, 若使一頂點之坐標為 (,0), 且在第一及第二象限內之所有頂點之 x 坐標的和與積分別為 a 與 b, 則數對 (a, b)= [(, 8 )]. 求 sin5 + sin5 sin5 = [ 0 ]. 求 sin 0 sin 0 sin80 cos0 cos0 cos80 = [ ] 8. 求 tan 0 tan0 tan80 = [ ] 5. 求 cos cos8 cos96 cos9 = [ 6 ] 求 sin + sin + sin + sin = [ 0 ] 7. 求 cos cos cos cos cos cos cos [ 0 ] 主題三平方連加 看到平方 先化為二倍角 cos cosθ cosθ θ = +,sin θ = 例 6. 求 cos θ + cos ( + θ ) + cos ( θ ) = [ ] 6

28 例 7. 求 cos θ + cos ( + θ ) + cos ( + θ ) + cos ( + θ ) = [ ] [ 作業 ]. sin θ + sin ( + θ ) + sin ( + θ ) = [ ]. 求 cos θ + cos ( + θ ) + cos ( + θ ) + cos ( + θ ) + cos ( + θ ) = [ ] 6. sin θ + sin ( + θ ) + sin ( + θ ) sin ( + θ ) = [ ]. cos θ + cos ( + θ ) + cos ( + θ ) cos ( + θ ) = [ ] 5.sin 0 + cos 0 sin0 cos0 = [ ] 主題四求值問題一般有二種類型 :. 先求 tan A + B tanθ tan θ, 再利用萬能公式 sin θ =, cosθ = + tan θ + tan θ. 利用和角公式 例 8. A,B 為銳角,sinA+sinB = a, cosa+cosb = b, ab 0, 求 ab a + b ] () sin(a+b) = [ ( ) () cos(a+b) = [( b a ) ( a b ) + ] 例 9. sin A sin B =, cos A+ cos B =, 求 () cos( A B ) = [ 5 ] () cos(a+b) = [ 59 7 ] 例 0. 若 sinα+sinβ=, cosα+cosβ=0, 求 () cosα+cosβ= [ ] () sin α + sin β = [ 8 ] () cos(α β )= [ ] 7

29 ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin 6 例. 求 = cos cos 7 [ ] [ 作業 ]. 若 sinα+sinβ = a, cosα+cosβ = b, b 0 () tan α + β = [ a b ] () cos( ) = b a a + b ] α+β [( ) ( ) () sin(α+β ) = [ ab ( a + b )] A+ B. 若 sin A+ sin B =, cos A+ cos B =, 則 tan = [ ]. 若 sin A+ sin B =, cos A+ cos B =, 求 () cos( A B) = [ 6 88 ] () c os(a+b) = [ 7 5 ] ( 7) cos( 7) ( ) + cos( ). cos 求 cos = [ 主題五證明題 ] 例.A+B+C= 試證 A B C () sin A+ sin B+ sin C = cos cos cos A B C () cos A+ cos B+ cosc = + sin sin sin () sina+sinb+sinc = sina sinb sinc () cosa+cosb+cosc = cosa cosb cosc (5) sin A + sin B + sin C = + cos A cos B cosc A B C A B C (6) sin ( ) + sin ( ) + si n ( ) = sin sin sin + cosθ = cot θ + 0 cot θ 0 ) cosθ 例. 試證 : ( ) ( 8

30 例. 試證 :+cos6θ-cos0θ-cosθ= cosθ sin5θ sinθ 例 5. 試證 : sin 7θ sin θ + sin θ = tan θ cos7θ cosθ + cosθ sinθ + sin θ + sin θ + sin5θ 例 6. 試證 : = tan θ cosθ + cosθ + cosθ + cos5θ 例 7. 若 cosα+cosβ+cosγ=0, sinα+sinβ+sinγ=0, 求 () cos( α-β), cos(β-γ), cos( γ-α)= [,, ] () cos(α-β)+cos(β-γ)+cos(γ-α)= [ ] () 試證 cosγ=cos(α+β) () sin α + sin β + sin γ = [ ] (5) cos α + cos β + cos γ = [ ] (6) sinαsinβ+sinβsinγ+s inγsinα= [ ] (7) cosαcosβ+cosβcosγ+cosγcosα= [ ] [ 作業 ]. cot ( θ + 0 ) cot( θ 0 ) = [ C ] (A) + sin θ (B) cosθ (C) + cos θ (D) sin θ (E) cot θ sinθ + cosθ cosθ + sin θ + cot θ. ABC 中, 利用和差化積公式將 cosa + cosb + cosc 化為連乘積, 其結果為 [ B ] A (A) sinasinbsinc (B) sin B C sin sin (C) cos A cos B cos C (D) cosacosbcosc 9

31 sin θ + sin5θ sinθ. 試證 : = tanθ cosθ + cos5θ + cosθ cosθ + cosθ + cos5θ + cos7θ. 試證 : = cot θ sinθ + sin θ + sin5θ + sin 7θ 5. ABC 中, A= 60, 則 cos A+ cos B+ cosc sin A+ sin B+ sinc = [ ] 0

32 正餘弦函數的疊合 主題一 : 疊合公式 () y = asin x+ bcos x = a + b sin( x+ α) 其中 cos α = a b, sinα = a + b a + b () y = asin x+ bcos x = a + b cos( x β) 其中 cos β = b a, sin β = a + b a + b 函數疊合後的最大值與最小值 ( θ ) f ( x) = asinx+ bcosx+ c = a + b sin x+ + c 表示 sinx 向左平移 θ 單位, 上下拉長 a 所以 a + b + c f ( x) a + b + c + b 倍, 全部向上 ( 下 ) 移 c 單位 例. 坐標平面上, 將二函數 y = sinx 與 y = cosx 的圖形疊合後, 得一新函數圖形, () 對此新函數圖形而言, 下列敘述何者正確? (A) 週期為 (B) 振幅為 (C) 與 y = sin(x + ) 的圖形相同 (D) 與 y = cos(x + ) 的圖形相同 (E) 與 Y 軸的交點坐標為 (0, ) [ A, B, C ] () 在 0 與 的範圍內, 此新函數圖形的最低點坐標為 [( 5, )] 例. 求下列各函數之最大值與最小值 () y = sin x+ cos x [, - ] () y = sin( x) cos x [, - ] 6 例. 若 0 x <, y = sin( x) cos x, 當 x=α 時, y 有最大值 M, 6 當 x=β 時, y 有最小值 m, 求 α=, m= [, ]

33 例. y = a sin x + b cos x + c, 當 x=α 時, y 有最大值 M, 當 x=β 時, y 有最小值 m, 求 M=,m=,sinα=,sinβ=. a a [ M = a + b + c, m= a + b + c, sin α =, sin β = ] a + b a + b 例 5. 若 x, y = sinx cosx, 求 x= 時, y 有最大值. 6 x= 時, y 有最小值 [ x = 0,, x = 0, ] 例 6.( 重要題 ) 設 A>0,B<0, 且 0 α <,0 β < 若 y = sin( x) cos x = Asin( x+ α) = B cos( x+ β ) 則數對 (A,α )=,(B, β )= [ (, ),(, ) ] 6 例 7. ( ) cos( ) sin( ) f x = 5 ax + b ax + c, a>0, b>0, 若 f 的最小正週期為, 最 大值為 8, 最小值為 8, 則 a =, b =, c = [,5 5,8 ] [ 作業 ]. 求下列各函數之最大值與最小值 () y=sinx + cosx [, - ] () y=sinx + cosx [ 5, 5 ]. 求 y = sin x+ cos x 之最大值 = [ 0 ]. 若 0 x, 求 y = sin x+ cos( x) 的最大值 =, 最小值 = [ 6 +, ].a + b 0, 若 acosx+bsinx+c =0 有解, 其充要條件為何 [c a + b ] α, 其中 A>0,0 < α < 60, 5. 若 sin x cos x = Acos( x ) 則 A=,α= [, 50 ]

34 6. 若 0 x, 求 y = sin x cos x 的圖形中, 波峰坐標, 波谷坐標 [(, 5 ),(, )] 7. 若 0 x, y = cos x+ sin x, 求 x= 時, y 有最大值, x= 時, y 有最小值 [ x= 6,,x= ] 8. 若 0 x, y = cos x+ sin x+ 5, 求 x= 時, y 有最大值 x= 時, y 有最小值 [ x= 6,7,x= 7, ] 6 9. 若 x <, y = sinx cos( x ), 當 x=α 時, y 有最大值當 x=β 時, y 有最小值, 求 α=, β= [ 5, ] 6 6 主題二利用 sin(x +θ) 或 繪圖觀察 求其極值 例 8. y = + sin x, 最大值 M=, 最小值 m= [ cos x, 0 ] 例 9. y= sinx + cosx, 求週期 =, 最大值 =, 最小值 =. [ 6,,] [ 作業 ] x. 若 y = sin, 求最大值 = + cos x, 最小值 = [, 0 ]. 若 y = sin x+ cos x+ 6, 求最大值 =, 最小值 = [, ] + sin x. 若 y =, 最大值 M= cos x +, 最小值 m= [, 0 ] x. 若 y = + sin, 求最大值 = + cos x, 最小值 = [, 0 ] 主題三 有 sin θ, sinθcos θ, cos θ 時 化為二倍角 有 cos θ, cos θ 時 cos θ 化為二倍角, 再配方

35 例 0. 若 0 θ, 求 cos θ sinθcosθ + sin θ 的最大值 = [ ] 若 0 θ, 求 cos θ sinθcosθ + sin θ 的最大值 = [+ ] 例. 求 cos θ + sin θ 的最小值 = [ ] 例. 若 0 θ, y = cos θ sinθcosθ sin θ, 求 θ= 時, y 有最大 值,θ= 時, y 有最小值 [0,,, 8 ] 例. 5 x, 求 8( cos x+ sin x) 的最大值 = 6, 最小值 = [7,] 6 6 例.x R, 求 cos x + sin x 的最大值 =, 最小值 = [, ] [ 作業 ]. 求 sin x + sin x cos x + 5cos x 之最大值 =, 最小值 = [ +, +]. x, 求 cos x sin x cos x + sin x之最大值 =, 最小值 = [, ].0 x<, 求 cos x + sin x cos x 之最大值 = [ ].x R, 求 cos x sin x 之最大值 =, 最小值 = [ 5, ] 5.x R, 求 sin x + cos x 之最大值 =, 最小值 = [ 9, 0 ] 主題四利用 積化和差 例 5. y = cos( x ) cos( x+ ) 6, 求週期 =, 最大值 =, 最小值 = 主題五已知 x+ y 時例 6. x 0, y 0, x+y=, [,, ] () 求 sinx + siny 的最大值 =, 最小值 = [, ]

36 () 求 sinx siny 的最大值 =, 最小值 = [, 0 ] 例 7.x+y=, 求 () cos [ 作業 ] x cos y 的最大值 =, 最小值 = [ () 求 sinx siny 的最大值 =, 最小值 = [, ], ]. x+ y =, 求 sinx+siny 的最大值 =, 最小值 = [, ]. x+ y = 5, 求 sin x+ cos y的最大值 =, 最小值 = [, ] 6. x+ y =, 求 sinx + siny 的最大值 = [ 7 ]. x+ y =, 求 sinx + siny 的最大值 = [ ] 主題六證明題與比較大小 例 8. 0 < α, β, γ, δ < 試證 : () sinα + sin β sin α + β () sinα + sin β + sinγ + sinδ sin α + β + γ + δ () sinα + sin β + sinγ sin α + β + γ 例 9. 0 < αβγ<,,, 試證 : sinα + sin β + sinγ > sin( α + β + γ ) ( ) sinα + sin β α + β sin α + β 例 0. 0 < αβ, < 試比較 a =, b = sin, c = 之大小? [ b a>c ] 例. 0 < αβα,, + β< 試比較 a = sin α + β, b = sinα + sin β, c = cosα + cosβ 之大小? ( ) 5

37 反三角函數的基本概念 主題一 : 反正弦函數. 對於每一個實數 a [, ], 在區間 [, ] 內, 都恰好有一個實數 x 使得 sin x = a, 這個唯一的實數 x, 就記做 sin a ( 或記做 arcsin a ). 對於每一個實數 a, a, 直線 y = a 與正弦函數 y = sin x 之曲線圖 形在區間 [, ] 內的交點的橫座標即為 sin a. 函數 y = sin x 叫做反正弦函數 主題二 : 反餘弦函數. 對於每一個實數 a [, ], 在區間 [ 0, ] 內, 都恰好有一個實數 x 使得 cos x = a, 這個唯一的實數 x, 就記做 cos a ( 或記做 arccos a ). 對於每一個實數 a, a, 直線 y = a 與餘弦函數 y = cos x 之曲線圖形在 區間 [ 0, ] 內的交點的橫座標即為 cos a. 函數 y = cos x 叫做反餘弦函數 主題三 : 反正切函數. 對於每一個實數 a R, 在區間 (, ) 內, 都恰好有一個實數 x 使得 tan x = a, 這個唯一的實數 x, 就記做 tan a ( 或記做 arctan a ). 對於每一個實數 a, 直線 y = a 與正切函數 y = tan x 之曲線圖形在區間 (, ) 內的交點的橫座標即為 tan a. 函數 y = tan x 叫做反正切函數 綜合練習 :. 下列何者有意義? (A) sin ( ) (B) sin (C) sin (D) sin (E) sin ( ) [ BDE ]. 下列何者有意義? (A) tan (B) tan (C) tan ( ) (D) tan( ) (E) tan( ) [ ACD ]. 下列何者有意義? (A) sec ( ) (B) sec (C) sec (D) sec (E) sec ( ) [ ACDE ] 6

38 . 下列何者有意義? (A) sin tan (B) cos tan 7 5. 求下列各式的值 : () sin ( cos ) = 5 () cos( sin ( ) ) = () tan ( sin + cos ) = (C) sec sin( ) 5 (D) tan sin [ D ]. [ ] 5. [ ]. [ + ] () cos( cos ) =. [ ] (5) 5 sin ( cos + tan ( ) ) =. [ ] 求下列各式的值 : () sin + cos = 7 7. [ ] 7 () tan tan ( ) + sin sin + cos cos =. [ ] () tan + tan + tan + tan = 7. [ ] () tan + tan + tan = [ ] 5 6 (5) sin + sin + sin = [ ] 7. 設 a = cos ( ), b = cos, c = cos, 試比較 a, b, c 的大小 5. [ a>b>c ] 8. 設 a = sin, b = cos, 試比較 a, b 的大小. [ b>a ] 9. 若 x <, 試證明 sin 0. 若 x R, 試證明 tan x + cos x = x + cot x = 7

39 棣美弗定理 主題一極式 複數的極式 () 每一個複數 z = x+yi (x, y R) 與坐標平面上的點 (x,y) 形成 - 對應, 故 (x,y) 點可表 x+yi () z=x+yi, 對應點為 P(x,y), 令 r =OP,OP 的有向角為 θ, 則 x = rcosθ, y = rsinθ, tanθ= y x, r = x + y 為 z 之絕對值, 以 z 表示之, θ 為 z 之輻角, 若 0 θ < 則 θ 為 z 之主輻角, 以 Arg(z) 表示 () z = r( cosθ + isinθ ) 為複數 z 之極式 複數絕對值的性質 : 設 z, z, z 為複數, z 表 z 的共軛複數, 則 () z = z z n () z = z () z z = z z () n (5) z = z n N (6) z + z z + z (7) z z z z z z = z z 例. 試求 z = + i, z = i 的絕對值與主輻角 [,,, 5 ] 例. 將下列各數化成極式? () i = [ cos + i sin ] + i sin ) ] () + i = [ (cos () cos 6 + i sin = [cos97 + i sin97 ] () sin 77 i sin = [cos7 + i sin7 ] + cosθ + i sinθ 例. 將化成極式 = + cosθ i sinθ [ cosθ+isinθ] i 化成極式 = [ cos80 ( cos80 sin 80 ) 例. 將 + cos 00 + sin 00 +i ] 8

40 例 5. 設 z Arg z =, =, 則 z 的極式 = [ cos + i sin ] z z 6 6 z z = a+ ai, z = b + b i, a, b R, 若 z = z 且 z 例 6. 設 ( ) ( ) ( ) 的輻角 =, 則 a=,b= [, + ] 例 7. 設 z,c 為複數, z =, cz, z c, 則 z c cz = [ ] [ 作業 ]. 將下列各數化成極式 () + i = [ (cos + i sin )] 7 7 () -i = [ (cos + i sin )] () = [(cos0+isin0) ]. 求下列各複數的主幅角 : cos 8 + i sin 8 [ 68 ] () ( ) ( ) () cos i sin [ 9 ] () sin8 + i cos8 [ 5 ] () sin7 i cos5 [ 7 ]. 設 z = + i, z = + i, 令 α,β 分別表 z, z 的輻角, 則 tan(α+β)= [ ] z +. 設 z = z +, Arg( ) =, 則 z = [ ] z 5. 若 z C z Arg z, =, ( ) =, 則 z = [ ] z + z + α 6. ab, R, α = + bi, β = + ai若 α = β, Arg ( ) =, β 則 a=,b= [, ] az+ b 7. 設 a,b,z 為三複數, z =, bz + a 0, 則 = [ ] bz+ a 9

41 主題二 棣美弗定理 複數的乘法與除法設 z = r cosθ + isin θ, z = r cosθ + isinθ 則 ( ) ( ) z z = r r cos ( ( θ + θ ) + isin( θ + θ )) 即兩複數相乘 絕對值相乘, 輻角相加 z r = ( cos( θ θ ) + i sin( θ θ ) ) z r 即兩複數相除 絕對值相除, 輻角相減 棣美弗定理 設 z = r( cos θ + isin θ), r >, θ R n n. 設 xn = cos( ) + isin( ) n n 0 則 = ( θ + θ ) z r cosn isin n, n Z 例 8, 求 x x x x 至無窮 = [ ] 例 9. 化簡 ( cos + isin )( sin cos ) ( cos50 i sin 0 ) i = [ + i ] 例 0. 試求下列各式的值 + i 0 () ( ) = [ ] () ( cos8 + i sin8 ) 5 = [ i ] () ( + i ) 6 = [ ] 6 + i () ( ) = [ ] + i 例. 求 6 ( cos8 + isin8 ) ( cos5 + isin 5 ) 7 ( cos + i sin ) = + i [ ] 0

42 ( i )( cosθ + sinθ cosθ + isin θ 例. 設 θ =, z = 0 cosθ + i sin θ ) 5, 則 z =, Arg(z)= [, 0 ] 例. 設 z = cos + isin, 則 5 5 z 65 z 66 z 67 z = [ ] 00 例. 若 x + =, 則 x + 00 x x = [ ] 例 5. 若 x + = c os 8 則 x x 50 + = [ ] 50 x 例 6.() 若 z = cos+isin, 則 z 00 所表示的點在複數平面第象限 [ Ⅳ ] () 若 z = sin5 isin 75 則 z 50 所表示的點在複數平面第象限 [ Ⅲ ] 例 7. 不大於 00且滿足 n + + i 為實數的自然數 n 有 個 [ 8 ] 5 ± i 例 8. z =, 且 z + z = 0, 求 z= [ ] [ 作業 ]. 試求下列各式的值 () i i i = [ + i ] cos00 + isin00 cos0 i sin0 = [ i ] ( cos5 + sin5 )( cos0 + sin0 )( cos5 + sin5 ) () ( )( ). 試求下列各式的值 () ( ) () ( ) 0 + i = [ 5 5 i ] 6 + i = [ i i = () ( ) + ( + ) ( ) 6 ] [ 00 ] () i = [ 8 ]

43 + i) = [ 6( + ) (5) ( 7 ( cos + isin6 ) ( sin8 + icos8 ) 6 5. 求 = [ + i ] cos i sin. 求 + ( cos 0 i sin 0 ) 之主幅角為 [0 ] 若 z + =, 則 z + z 00 = z [ ] 若 x + =, 則 x + = 00 x x [ 0 ] 7. 若 x + =, 則 x + 5 = x x [ ± i ] 5 8. 若 x + = cos9 則 x + 5 = x x [ ] 9. 若 z = cos isin, 則 z 00 所表示的點在第 象限 [ Ⅰ ] 0. 求 n ( ) = 滿足 ( ) +i i 的最小自然數為 n = [ ]. 右圖陰影部分所示為複數平面上區域 y 5 A= z z = r(cosθ + isin θ), 0 r, θ 之略圖 令 D= w w= z, z A, 試問下列選項中之略圖, x { } 何者之陰影部分與區域 D最接近?. () y () y () y () y (5) i ] y x x x x x 主題三 的 n 次方根 n k k 方程式 z = 的 n 個根為 z k = cos + isin, k = 0,,,,..., n n n 這 n 個根在坐標平面上所對應的點可 n 等分單位圓之圓周這 n 個根有下列性質 : z * n 若為方程式 z = 的一根, n * * * * * 則方程式 z = 的所有根為 z,( z ),( z ),( z ),...,( z ) n { }

44 例 9. () 試求 的 5 次方根, () 並將代表它們的點描在坐標平面上 例 0. 解方程式 z + z + z + z+ = 0 例. 設 ω = cos + i sin 5 5 () ω 5 = [ ] () + ω + ω + ω + ω = [ 0 ] ω ω ω ω = [ 5 ] () ( )( )( )( ) () ( + )( + )( + )( + ) ω ω ω ω = (5) ω ω ω ω = [ ] 例. 設 θ =, n N, n >, 試證 : n () cosθ+cosθ+cosθ+...+cosnθ=0 () sinθ+sinθ+sin θ+... +sinnθ=0 [ ] [ 作業 ]. 設 θ=, 試求 : () c osθ+ cosθ+...+ cos0θ= [ ] () sinθ + sinθ sin0θ= [ 0 ]. 設 ω = cos + i sin () ω + ω = [ ] () ω 990 = + i [ ] () = ω ω 5 ω 95.. ω ( ) [ 0 ] () + ω + ω = [ ] 5. 若 ω 是 x = 0 的一虛根, 則 () ω + ω + ω + ω = [ ] 950 () ω ω ω ω 990 = [ ] + ω + ω + ω + ω = [ ] () ( )( )( )( ) () ( ω)( ω )( )( ω ) ω = [ ]

45 . 設 ω = + i 5 且 x = ω + ω, 求 x x x + x 7 = [ 9 i ] 主題四 a 的 n 次方根設 a = r ( cosψ+ i sinψ) 方程式 z k = n ( ) z n = a a 0 的 n 個根為 ϕ + k ϕ + k r cos + i sin 其中 k=0,,,, n n n n 這 n個根在坐標平面上所對應的點可 n 等分以原點為圓心, r 為半徑之圓周 * 若 z 為方程式 z n = a 的一根, 令 ω = cos + i sin n n 則方程式 z a * * * * *,..., * n z, z ω, z ω, z ω, z ω z ω n = 的所有根為 { } 例. 試求 8+6i 的平方根 [ ± ( + i )] 例. 試求 i 的平方根 5 [ ± ( ) i ] 例 5. 二次方程式 x + i = 0 的根為何? [±( ) i ] 5 例 6. 解 z = i. 8 i 例 7. 解 z =. [ 作業 ]. 試求 i 的平方根 [ ± + i ]. 試求 0+i 的平方根 [ ± ( 7+ i )]. 試求 i 的 次方根. () 試求 的 次方根, () 並將代表它們的點描在坐標平面上 5. 求 x = i 的複數根 [ + i, + i, i] ( )

46 主題五解高次方程式 例 8.() 解 x x x 8 0 例 = [,( ),( + ) i i ] () 解 x + x + x + x + x + = [t, t, t, t, t, t, t, t, t, t, 其中 t = cos + isin 6 6 ] ( ) 6 x + + i x + i = 0 之根可為. [ B, C, E ] (A) i (B) i (C) i (D) + i (E) i 主題六求正多邊形的周長與面積 例 0. 在複數平面上, 描繪出 z 置, 連接各點成一正六邊形, 6 = i的各根 Z, Z, Z, Z, Z, Z, 所在的位 0 5 () 此六個頂點中, 有 a 個點在第二象限, 有 b 個點在第三象限, 則數對 (a,b)= [(,)] () 此六個頂點之 x 坐標的總和 = [0] () 此正六邊形的周長 = [6 ] = [ ()Z Z ZZ ZZ ZZ ZZ ] 6 例. 在複數平面上, 以 x + x + x + = 0的六個複數根為頂點的六邊形面積 為 [ + ] [ 作業 ]. 在複數平面上, 以 x = 0 的所有複數根為頂點的凸多邊形面積為 [ ]. 在複數平面上, 以 x = + i 的四根為正方形, 面積為, 周長 為 [ 5, 5] 5

47 綜合練習. 將複數平面上一點 P ( + i) 繞原點逆時針方向轉 90, 再對 x 軸做鏡射, 所得 之點為 [ i ]. 下列何者正確? (A) cos 有意義 (B) tan 有意義 cot ( ) = cot (D) sin + cos = (E) tan + tan = 7 7 [ BDE ]. 方程式 sin x + cos x 7 = 0 的解為 C B [ x = n ±, n Z ] 6. 如圖 A B C 為單位圓上的三點,B 為 AC 的中點, A 7 若 C 的坐標為 (, ), 則 B 的坐標為 [(, )] cos 600 sin 化簡 = cos 00 sin 00 [ ] 6. 設 f ( x) = sin( x ) + cos x, x, 若 x = α 時 f (x) 有最大值 M 則 ( α, M ) = [ (, ) ] 7. 若 (cos x + i sin x)(cosx + i sin x).....(cos89x + i sin 89x) = 且 0 < x 則 x 之值共有個 [ 005 ] 8. 已知梯形 ABCD, 若 AD BC 且 AD = 5, BC = 7, B + C =, 求梯形 ABCD 面積的最大值 [ ] 5 9. 設方程式 x = 的五個根為, ω, ω, ω, ω 則 ( ω )( ω)( ω)( ω) = () 8 () 6 () () [() ] 0. 設 θ =, 求 + cosθ + cos θ + cos θ cos 8θ =. [ 9 ] 9 6