Microsoft Word - chap_5-2.doc

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豫稳孙
4 years ago
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1 第二節倍角公式在傳統課本中, 二倍角公式是由和角公式及平方和的恆等式 sin θ + cos θ = 1所推導而來, 首先利用 ( ) cos α + β = cosαcos β sinαsin β, 當 α = β = θ 時可得 cos θ = cos θ sin θ, 再利用 sin θ + cos θ = 1可得 cos θ = cos θ 1 = 1 sin θ ; 同理利用 ( ) sin α + β = sinαcos β + cosαsin β, 當 α = β = θ 時可得 sin θ = sinθcosθ ; 利用 tan tanα + tan β tanθ + =, 當 α = β = θ 時可得 tan θ = 至於三倍角的公式則利用 1 tanα tanβ 1 tan θ ( α β) 和角公式及二倍角公式來推導, 其過程如下 : ( ) cos 3θ = cos θ + θ = cosθ cos θ sinθ sin θ = cosθ cos θ sin θ sinθ sinθcosθ 3 = 4cos ( ) ( ) 3 3 = cos θ sin θcosθ sin θ cosθ = cos θ 3sin θ cosθ = cos θ 3 1 cos θ cosθ = cos θ 3cosθ + 3cos θ θ ( ) ( ) 3cosθ sin 3θ = sin θ + θ = sinθcos θ + cosθsin θ ( ) ( ) ( ) = sinθ cos θ 1 + cosθ sinθ cosθ = 4cos θ sinθ sinθ = 4 1 sin θ sinθ sinθ 3 = 4sinθ 4sin θ sinθ 3 = 3sinθ 4sin θ 本節將利用圓形三角形矩形等基本幾何圖形來呈現介紹正餘弦函數之倍角公式的動態圖說證明, 在此共設計了八個例子, 分別如下 : 一 sin θ = sinθcosθ 本例是利用矩形兩對角線的夾角及對角線與矩形邊的夾角之間恒為二倍的關係, 加上面積相等的關係來證明 :sin θ = sinθcosθ, 本例是 Proofs Without Words Ⅱ 一書中第 48 頁的例子, 作者為 Yihnan David Gau 在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖 ~ 圖 ) 8

2 圖 : 任一矩形 ABCD 圖 5--1-: 做對角線 BD, 令長為, 與底邊夾角為 θ 圖 : 得矩形一邊 AB = sinθ 圖 : 得矩形另一邊 AD = cosθ 圖 : 得 ABD = BCD 的面積為 1 sin θ cos θ 圖 : 再連另一對角線 AC, 同理與底邊夾角為 θ 83

3 圖 : 得兩對角線夾角為 θ 圖 : 將對角線長改為兩段長分別為 1 圖 : 從頂點 C 做一垂直線段 CE BD 於圖 : 得線段 CE 長為 sin θ E 1 圖 : 再得 BCD 面積為 sin θ 圖 : 將文字 BCD = 消失 84

4 圖 : 出現斜線將等號兩邊 1 約去圖 : 將等號兩邊 1 與斜線消失圖 : 得 sin θ = sinθcosθ 二 sin θ = sinθcosθ 與 cos θ = cos θ 1 本例是利用圓心角恒為圓周角的二倍的關係, 及相似的直角三角形邊長成比例的關係來證明 :sin θ = sinθcosθ 及 cos θ cos θ 1 =, 本例是 Proofs Without Words 一書中第 34 頁的例子, 作者為 R. B. Nelsen(1993) 在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖到圖 5---0) 85

5 圖 5---1: AB 中點為 O, 且 AO = BO = 1 圖 5---: 以 O 為圓心,OA 為半徑做半圓圖 5---3: 做圓半徑 OC, 令圓心角為 θ 圖 5---4: 由 C 點向直徑 AB 做垂線 CD 圖 5---5: 得線段長 CD = sin θ 圖 5---6: 再得線段長 OD = cos θ 圖 5---7: 連兩弦 AC BC, 得 C 為直角圖 5---8: 得 CAB = θ 86

6 圖 5---9: 得 AC = cosθ 圖 : 再 BC = sinθ 圖 : 得 DCB = θ 註 : BCD BAD 圖 5---1: 將 OC 及 θ 消失圖 : 標示 ACD 並顯示 ACD 圖 : 再標示 ABC 並顯示 ABC CD 圖 : 由相似三角形得 AC BC = AB 圖 : 得 sin θ sinθ cosθ = 87

7 圖 : 得 sin θ = sinθcosθ AD AC 圖 : 再得 = AC AB 圖 : 得 1+ cosθ cosθ cosθ = 圖 5---0: 得 cos θ cos θ 1 = 三 sin θ = sinθcosθ 本例是利用單位圓上任一弦及過圓心垂直弦的線段平分其圓心角, 再利用面積的不同表達方式來證明 :sin θ = sinθcosθ本例為李政豐等 (001) 等發表於數學傳播, 在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖到圖 ) 88

8 圖 : 平面上一點 O 圖 : 以 O 為圓心做單位圓, 並顯示兩半徑 OA OB 圖 : 做弦 AB, 再做 OC AB 於 C 圖 : 令兩圓心角皆為 θ 1 11sin 圖 : 得 OAB = θ 圖 : 得 AC BC 皆為 sinθ 89

9 圖 : 得 OC 為 cosθ 1 圖 : 得面積 sin θ cos θ 圖 : 將 OAB = 消失圖 : 等號二邊 1 約去圖 : 得 sin θ = sinθcosθ 90

10 四 cos θ = 1 sin θ = cos θ 1與 sin θ = sinθcosθ 本例是利用單位圓上任一弦及過圓心垂直弦的線段平分其圓心角, 再利用面積的不同表達方式來證明 : cos θ = 1 sin θ = cos θ 1及 sin θ = sinθcosθ, 本例為李政豐等 (001) 發表於數學傳播, 本例原作者只呈現 cos θ = 1 sin θ = cos θ 1的部分, 研究者在動態化的過程中發現可以再加入 sin θ = sinθcosθ 的結果在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖 ~ 圖 ) 圖 : 平面上一點 O 圖 5--4-: 以 O 為圓心做單位圓, 並顯示兩半徑 OA OB 圖 : 連弦 AB 得等腰 OAB 令兩底角為 θ 圖 : 做 OD AB 於 D 點 91

11 圖 : 得 AD BD 皆為 cosθ 圖 : 做直徑 AC 圖 : 得 BOC 為 θ 圖 : 做 BE OC 於 E 點圖 : 由直角 OBE 得 OE = cos θ, 並顯示 cos θ = 圖 : 連 BC, 由直角 ABC 得長度為 sinθ 9

12 圖 : 顯示 CBE 為 θ 圖 : 標示 CE, 並由直角 BCE 得 CE = sin θ 圖 : 得 cos θ 1 sin θ = 圖 : 標示 AE, 並由直角 ABE AE = cos θ 得圖 : 得 cos θ 1 sin = θ 圖 : 標示 BE, 並由直角 OBE 得 BE = sin θ, 顯示 sin θ = 93

13 圖 : 由直角 BCE 得 sinθ cosθ ; 或由直角 ABE 得 sin cos θ θ 五 sin θ = sinθcosθ 與 cos θ = 1 sin θ 本例是利用腰長為 1 的等腰三角形製造直角三角形, 再利用三角函數的定義證得 sin θ = sinθcosθ 及 cos θ 1 sin = θ 本例為李政豐(000) 發表於科學教育月刋第 35 期的作品, 原作者只呈現 sin θ = sinθcosθ 的部分, 研究者在動態化的過程中發現可以再加入 cos θ 1 sin ) = θ 的結果在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖 ~ 圖圖 : 任一等腰三角形 ABC, 令兩腰長為 1 圖 5--5-: 做 AD BC 於 D 94

14 圖 : 令 BAD = CAD = θ 圖 : 得 BD = CD = sinθ 圖 : 做 BE AC 於 E 圖 : 顯示 sin θ = BE 圖 : 標示 BE 及 CBE = θ 註 : BCE ACD 圖 : 由直角 BCE 得 sin cos θ θ 95

15 圖 : 將 BE = 消失, 並將 sinθ cosθ 左移至 sin θ 旁, 得 sin θ = sinθcosθ 圖 : 顯示 cos θ = AE 圖 : 顯示 = 1 CE 圖 : 標示 AE 圖 : 得 = 1 sinθ sinθ 註 : 由直角 BCE 得 CE = sinθ sinθ 圖 : 再得 = 1 sin θ 96

16 圖 : 將中間各項消失, 並將移至 cos θ 旁, 得 cos θ 1 sin = θ 1 sin θ 上六 cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ 與 sin θ = sinθcosθ 本例是利用一斜邊為 1 的直角三角形, 向外製造等腰三角形, 來推導 cos θ = cos θ sin θ = cos θ 1 = 1 sin θ 的公式, 本例為李政豐 (000) 發表於科學教育月刋第 35 期的作品, 本例原作者只呈現 cos θ 的部分, 研究者在動態化的過程中發現可以再加入 sin θ = sinθcosθ 的結果在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖 ~ 圖 ) 圖 : 直角 ABC, C = θ, BC = 1 圖 5--6-: 得 AB = sinθ 圖 : 得 AC = cosθ 圖 : 由 C 點做一射線, 與 CA 夾角為 θ, 且與 BC 異側 97

17 圖 : 做 AD, 使得 ADC = θ 圖 : 得 AD = cosθ 圖 : 做 BF CD於 F, 交 AC 於 N 圖 : 則 ABF = θ 註 : BAN CFN 圖 : 做 AE BF 於 E 圖 : 由直角 ABE 得 AE = sin θ 圖 : 做 AM CD 於 M 圖 : 由矩形 AEFM 得 MF = sin θ 98

18 圖 : 做 NH AM 交 AD 於 H 圖 : 做 HG CD 於 G 圖 : 由等腰及對稱關係得 GM = sin θ 圖 : 由直角 CBF 得得 CF = cos θ 圖 : 由對稱關係得 cos θ = DM GM 圖 : 標示 DM 線段, 並得長為 cos θ 圖 : 得 cos θ sin θ 圖 : 消去 DM GM cos θ sin θ, 並將靠近, 得 cos θ = cos θ sin θ 99

19 圖 : 顯示 = DF FG 圖 5--6-: 得 cos θ + sin θ sin θ sin θ cos θ 1 圖 : 由平方和公式 + =, 得 1 sin θ 圖 : 消去中間部分, 並將 1 sin θ 靠近圖 : 顯示 DM ( DM + MF ) 圖 : 得 cos θ ( cos θ sin θ) + 100

20 圖 : 得 cos 1 θ 圖 : 消去中間部分, 並將近 cos 1 θ 靠圖 : 標示 BF θ = 圖 : 由直角 BCF 得 sin BF 圖 : 得 = BE+ EF 圖 : 由矩形 AEFM 得 = BE+ AM 101

21 圖 : 由直角 ABE 得 BE = sinθ cosθ 由直角 CAM 得 AM = cosθ sinθ, 得 sinθ cosθ + cosθsinθ 圖 : 整理得 sinθ cosθ 圖 : 消去中間部分, 並將 sinθ cosθ 上移靠近, 得 sin θ = sinθcosθ 七 sin θ = sinθcosθ sin 3 3sin 4sin 3 θ = θ θ 3 = cos 3θ = 4 cos θ 3cosθ 與 cos θ cos θ 1 本例是利用半徑為 1 的半圓及過圓心的圓周角來推導正弦函數的二倍角三倍角及餘弦函數的二倍角三倍角, 本例為李政豐等 (001) 發表於數學傳播 5 卷第 3 期, 在 PowerPoint 中的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖 ~ 圖 ) 10

22 圖 : 射線 AO 上, AO = 1 圖 5--7-: 以 O 圓心, 半徑為 1 做半圓, 直徑 AB 圖 : 做射線 AC, 交半圓於 C 點, 設 A = θ 圖 : 做半徑 OC 圖 : 做 OD AC 於 D 點圖 : 得 AD = cosθ 圖 : 由等腰 AOC 外角可得 BOC = θ 圖 : 做 CE AB 於 E 103

23 圖 : 由直角 COE 得 CE = sin θ 圖 : 顯示 sin θ = AC sinθ 圖 : 再得 ADsinθ 圖 : 得 sinθ cosθ 圖 : 消去中間兩項, 將 sinθ cosθ 移動靠近 sin θ, 得 sin θ = sinθcosθ 圖 : 由直角 COE 得 OE = cos θ 圖 : 顯示 cos θ = AE AO 圖 : 由直角 ACE 得 cos 1 AC θ 104

24 圖 : 化為 AD cosθ 1 圖 : 得 cos 1 θ 圖 : 消去中間項, 將 cos 1 θ 移動靠近 cos θ, 得 cos θ = cos θ 1 圖 : 做 CF 交射線 AB 於 F, 且 CF = 1, 得 BFC = θ 圖 : 得射線 AC 與 CF 夾角為 3θ 註 : ACF 的外角圖 5--7-: 做 FG AC 於 G, 由直角 CFG 得 FG = sin 3θ 105

25 圖 : 由直角 AFG 得 ( AO OE EF ) sin 3θ = + + sinθ 圖 : 化為 ( θ ) 1+ cos sinθ 圖 : 化得 + ( θ ) 1 1 sin sinθ 圖 : 整理得 3sinθ 3 4sin θ 圖 : 由直角 CFG 得 CG = cos3θ 圖 : 將前三項消去, 並將 3 3sinθ 4sin θ sin 3θ, 得移動靠近 106

26 圖 : 顯示 cos3θ = AG AC 圖 : 由直角 AFG 及 AC = AD 得 ( AO + OE + EF )cosθ cosθ 圖 : 化簡得 1+ cos θ cosθ cosθ ( ) 圖 : 再化得 ( ) 1 cos θ 1 + cosθ cosθ 圖 : 整理得 3 4cos θ 3cosθ 圖 : 消去中間各項, 並將移動靠近 cos3θ, 得 3 cos 3 4 cos 3cos 3 4cos θ 3cosθ θ = θ θ 107

27 tanθ 1 tan θ 八 sin θ = cos θ = 1 + tan θ 1 + tan θ tanθ tan θ = 1 tan θ 與 tanθ 1 tan θ 本例是利用半圓及直角三角形來推導 sin θ = cos θ = 及 1 + tan θ 1 + tan θ tanθ tan θ =, 本例為李政豐等發表於科學教育月刋第 35 期的作品, 在 PowerPoint 中 1 tan θ 的呈現方式如下列各圖所示 ( 圖 ~ 圖 ) 圖 : BC 上,O 為中點圖 5--8-: 以 O 為圓心, 做半圓圖 : 半圓上一點 A, 做二弦 AB AC, A 為直角圖 : 做 AD BC 於 D 圖 : 令 BD = 圖 : 設 ABD = θ 108

圖 5--8-7: 得 AD = tanθ 圖 5--8-8: 由 ACD BCA 得 CAD = θ 圖 5--8-10: 得半徑 BO = 1+ tan θ 圖 5--8-11:

28 圖 : 得 AD = tanθ 圖 : 由 ACD BCA 得 CAD = θ 圖 : 得半徑 BO = 1+ tan θ 圖 : 得 OD = 1 tan θ 圖 : 將 BD 長為消失圖 : 做 OA, 得 BAO = θ 圖 : 半徑 OA = 1+ tan θ 109

29 圖 : 由等腰 AOB 外角得 AOD = θ 圖 : 由直角 AOD 得 tanθ tan θ = 1 tan θ 圖 : 得 tanθ sin θ = 1 + tan θ 圖 : 再得 1 tan θ cos θ = 1 + tan θ 110

考查知识点肝气疏泄调畅气机的作用, 主要表现在以下几个方面 :(1) 促进血液与津液的运行输布 ;(2) 促进脾胃的运化功能和胆汁分泌排泄 ;(3) 调畅情志 ;(4) 促进男子排精

考查知识点肝气疏泄调畅气机的作用, 主要表现在以下几个方面 :(1) 促进血液与津液的运行输布 ;(2) 促进脾胃的运化功能和胆汁分泌排泄 ;(3) 调畅情志 ;(4) 促进男子排精 2015 年全国硕士研究生入学统一考试中医综合科目试题解析一 A 型题 :1~80 小题, 每小题 1.5 分, 共 120 分在每小题给出的 A B C D 四个选项中, 请选出一项最符合题目要求的 1. 提出阳常有余, 阴常不足观点的医家是 A 朱丹溪 B 刘完