第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式

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1 第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i 表示 共軛複數 : 設 = + i ( R 則 = i 稱為 的共軛複數 複數的絕對值 : 對於複數 = + i = + i ( R 他們差的絕對值 = ( + ( 表示兩點 P P ( 的距離 性質. ± = ±. =. ( = ( 4. = 5. = 問題. 試在複數平面上用 = + i 表示出 P( 點對於 軸 軸 原點 直線 = 等的對稱點. 試在複數平面上說明 = + i = + i ( R 與 + 之間的幾何意義為何? 定理 平行四邊形定理 : 平行四邊形中兩對角線平方的和等於各邊平方的和 即 + + = ( + + O

2 定義. 複數的極式 : r = + P ( = P( + i ( 複數平面上任一點 P( = P( + i( R 設 OP = r 並以 表示任意以 軸的正向為始邊 OP 為終邊的有向角 則 r = + = + i 且 = r cos = r si 及 ta = 故有 = + i = + ( + i = r (cos + i si + + 其中 cos = si = + + = r(cos + i si 稱為複數的極式 ( 給定一個複數 = + i ( R 我們就可以把 = + i 表示成 + i = r(cos + i si 的型式 反之 若知道 OP = r 以及任一有向角 ( 以 軸的正向為始邊 OP 為終邊 的大小 就可以確定 P 點的位置及其複數坐標 又 的取法不唯一. 向徑與輻角 : 其中 r = + = + i 稱為複數 + i 的向徑 ( 或絕對值 稱為複數 + i 的輻角 記為 arg( 並將 r (cos + i si 稱為複數 = + i 的極式表示 簡稱為極式 也就是說極式是用長度與角度來描述複數 且若 < π 則稱輻角 為複數的主輻角 把它記為 rg( 性質. 若 為 = + i 之輻角 則 + kπ ( k Z 亦為複數 + i 的輻角 主輻角 rg ( 只有一個 而輻角 arg( 卻有無限多個. 複數 + i 的極式 r (cos + i si 中 須注意 r 前後角度必須相同 且以 cos 為實部 si 為虛部. 注意 : ( cos + i si (cos + i si (si + i cos (cos i si (cos + i si 6 (si i cos 6 ( i 及 ( + i 等均不為複數極式的型式 4. 化成複數極式的技巧為先調整 r 再化成 cos si 的順序 接著化成加法型式

3 公式 複數的乘除運算與棣美弗定理 :. 若兩複數的極式分別為 = r (cos + isi 及 = r (cos + isi 則 = r r (cos( + + isi( + 即複數的乘法 其長度為兩複數的長度相乘 角度為兩複數的輻角相加 證明 : (cos si (cos si = r + i r + i = r r [(cos cos si si + i(si cos + cos si ] = r r (cos( + + isi( +. 設 = r (cos + isi 則 = (cos( + i si( r 證明 : (cos isi = = r (cos + i si r (cos + isi (cos isi = (cos i si = (cos( + i si( r r. 若兩複數的極式分別為 = r (cos + isi 及 = r (cos + isi r 則 = (cos( + i si( r 即複數的除法 其長度為兩複數的長度相除 角度為兩複數的輻角相減 證明 : r (cos + isi r = = (cos + i si(cos( + isi( r (cos + isi r r r = (cos( + ( + isi( + ( = (cos( + i si( r r 問題. rg ( = rg( + rg(?( 解答 : 錯誤. rg( = rg( rg(?( 解答 : 錯誤. arg( = arg( + arg(?( 解答 : 錯誤 4. arg( = arg( arg(?( 解答 : 錯誤

4 5. 試解釋複數極式的乘法及除法之幾何意義 ( 如旋轉 伸縮等意義? 試以下圖例子中 及 作圖標出 及之位置 ( 解答 : 乘或除一個複數就是表示對某一點的伸縮及旋轉之意 π π = (cos + i si π π = (cos + isi 4 4 定理 棣美弗定理 (De Moivre`s Theorem: 若 = r(cos + i si 為極式 則 = r (cos + i si Z 均成立 證明 : ( 當 = 時 = r (cos( + i si( 原式成立 設 = k 時 原式成立 k k 即 = r (cos k + i si k 成立 則 = k +時 k + = k = r k (cos k + i si k r(cos + i si + = r k (cos( k + + isi( k + 故由數學歸納法得知 = r (cos + i si N 均成立 ( 當 = 時 = = r (cos( + i si( 原式成立 ( 當 = m m N 時 = m = = = (cos( m + i si( m m r m (cos m + i si m r m = r m (cos( m + i si( m = r (cos + i si 由上知 = r (cos + i si Z 均成立 註 :. 有時棣美弗定理指的是 : 若 = r(cos + i si 為極式 則 = r (cos + i si N 均成立. 此定理即表示 = 及 arg( = arg( + kπ k Z. 定理可以用於簡化複數的乘除法運算 4. 若 + = cos = cos ± isi + = cos 4

5 問題 的 次方根 : 試解方程式 = 解答 : 設解之極式為 r (cos + i si 且 之極式為 (cos + i si ( r (cos + i si = (cos + i si r (cos + i si = (cos + isi r = r = kπ = + kπ k = k = kπ kπ 根為 k = cos + i si k = 此 個根稱為 的 次方根 ( w ( ( w 性質 π π 若令 ω = cos + i si 則此 個根為 即 w w 且有以下性質 :. ω =. + ω + ω =. 已知 = ( ( + + 又 = ( ( ω( ω 可得 + + = ( ω( ω 令 = 代入 得 ( ω( ω = 4. 若點 k ( k k = 此 個根在複數平面上半徑為 的圓上 並將單位圓 等份 π 即 ioi + = i = ( 令 = π 5. 此 個根在複數平面上所圍成的正三角形面積為 ( si 6. = ω ω = = 5

6 方法 的 次方根 : + 試解方程式 = Z 解答 : 設解之極式為 r (cos + i si 且 之極式為 (cos + i si ( r(cos + i si = (cos + i si r (cos + i si = (cos + i si r r = = kπ = + kπ k = k = L kπ kπ 根為 k = (cos + i si k = L 此 個根稱為 的 次方根 性質 π π m 若令 ω = cos + i si 則此 個根為 L 即 w w L w 且有以下性質 : ( = ( w ( = ( w π ( = ( (. ω =. + ω + ω + L + ω = ( 即實部 cos k = 且虛部 si k = k = k =. 已知 = ( ( + + L+ + ( = 又 = ( ( ω( ω L( ω 可得 + + L+ + = ( ω( ω L( ω 令 = 代入 得 ( ω( ω L( ω = 4. 若點 k ( k k = L 此 個根在複數平面上半徑為 的圓上 並將單位圓 等份 π 即 ioi + = i = L ( 令 = π 5. 此 個根在複數平面上所圍成的正 邊形面積為 ( si 6. L = ω ω L ω = = ( w 6

7 方法 複數 a 的 次方根 : 試解方程式 = a Z + a C 解答 : 設解之極式為 r (cos + i si 且 a 之極式為 r (cos + i si r(cos + i si = r (cos + i si ( r (cos + i si = r (cos + i si r = r r = r + = + kπ k kπ = k = L + kπ + kπ 根為 = k r (cos + isi k = L 此 個根稱為 a 的 次方根 性質 若令 π π = r (cos + isi ω = cos + isi 則此 個根為 L 即 ω ω L ω 且有以下性質 : ( 註 : = [ r (cos + isi ] = r (cos + i si = a ( = ( w ( = ( w π ( ( r ( = ( w. a ( ( L ( = ( = (. 若點 k ( k k = L ( ω( ω L ( ω 此 個根在複數平面上半徑為 r 的圓上 並將此圓 等份 π 即 ioi + = i = L ( 令 = π. 此 個根在複數平面上所圍成的正 邊形面積為 ( r r si 7

8 定義 極坐標 : 設 P ( = P( + i 的極式為 r (cos + i si 以符號 [ r ] 來做為 P ( 的坐標 稱為極坐標 記為 [ r ] 在複數平面上選定一點 O 再過 O 作一數線 L 以其正向為始邊 繞定點 O 旋轉 使 P 點恰在其上 若其旋轉量 ( 為一有向角 逆時針為正 順時針為負 且設 OP = r 我們就可以利用 r 來描述 P 點的位置 用符號 [ r ] 表示 P 點的位置 這種表示法就是極坐標表示法 其中 O 點稱為該極坐標系的極 ( 或極點 數線 L 稱為極軸 並稱 [ r ] 為 P 點的極坐標 O P ( = P( + i 註 :. 極坐標就是用長度與角度來描述點之意. 點的極坐標的表示法不唯一 ( 因為有同界角的關係 但直角坐標的表示法唯一. 直角坐標 : ( = ( r cos r si 複數坐標 : = + i = r(cos + i si 極坐標 :[ r ] 公式 兩點距離 : 兩點 r ] B[ r ] 的距離為 B = r + r r r cos( [ r L B r ] [ r ] [ 8

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