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- 贡翻 绍
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1 3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係 在 中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長 邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c <<+c 角的關係 :0 <,,<180, 且 ++=180 () 三角形的面積公式 : 國中 面積 = 1 底 高, 以底與高的長度表示面積但是當 邊上的 高 不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用三角函數邊角的關係 式間接求出高, 於是 的面積 = 1 sin c? c? c? c 是銳角 是直角 是鈍角 事實上圖中, 是銳角, 當 是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然是 sin 面積 = 1 sin 同理由對稱性得 的面積公式 = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin 例子 : 已知正 每邊的長是, 求其面積 結論 : 面積記憶法 利用三角函數定義, 由 = 1 底 高, 導出兩邊夾角求面積, 即 = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin ( 兩邊夾一角 ) ~ 3 1~
2 [ 例題 1] 四邊形, 設 θ 為對角線 與 的一個交角, 1 求證 : 此四邊形的面積為 sinθ [ 例題 ] 設 為直角三角形,EF 是以 為一邊向外作出的正方形, G 是以 為一邊向外作出的正方形, 若 =5 =4 =3, 試求 ()cos( E) () E 的面積 F ns:() 3 5 ()6 E G ( 練習 1) 四邊形兩對角線為 1 與 5, 若兩對角線的夾角為 θ 1,θ, 且 θ 1 =θ 則其 面積為 ns:15 3 ( 練習 ) 已知一三角形 的二邊 =5,=8,cos= 4 5, 則 的面積 ( 乙 ) 正弦定理 為 ns:1 國中幾何曾經學過 大邊對大角 這個性質, 但這個性質只說角大則邊大, 邊大則角大, 這種說法似乎只是一種對於邊角關係的 定性描述, 那麼邊角之間有沒有 定量的描述 呢? 我們用以下的定理來回答這個問題 : 正弦定理 : 在 中, 以,,c 表示,, 之對邊長度, 則 sin = sin = c sin =R, 其中 R 為 外接圓的半徑 ~ 3 ~
3 證明 : 由前面三角形的面積公式 :S = 1 sin= 1 c sin= 1 c sin 等號兩邊同除 c, 可得 sin c = sin = sin sin = sin = c sin 但是 sin = sin = c sin =? 我們由以下的證明來說明 : 我們將 分成直角 銳角 鈍角三種情形來討論, 如下圖所示 : O O O (1) 當 =90 () 當 <90 (3) 當 >90 (1) =90 sin90 = = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R () 為銳角 : 過 做圓 O 的直徑, 因為 與 對同弧 ( ), 因此 = 考慮直角三角形, 由銳角三角形的定義可知 =sin=sin sin = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R (3) 為鈍角 : 過 做圓 O 的直徑, 因為 + =180, 所以 sin =sin(180 )=sin 考慮直角三角形, 由銳角三角形的定義可知 =sin=sin sin = = 外接圓直徑 =R sin = sin = c sin =R 結論 : 正弦定理的用法 正弦定理 sin = sin = c sin =R 的轉換 ( 以 R 為媒介 ) () 比例型 : = () 邊化角 :=,=,c= (c) 角化邊 :sin=,sin=,sin= ~ 3 3~
4 [ 例題 3] 中,,,c 分別代表,, 之對邊長度 : (1) 若 (+c):(c+):(+)=5:6:7, 試求 sin:sin:sin () 若 =55, =65,=10 公分, 試求外接圓半徑 ns:(1)4:3: () 公分 [ 例題 4] 設圓內接四邊形 中 =30, =45, =, 則 = ns: c ( 練習 3) 利用三角形的面積公式與正弦定理, 證明 : 的面積為 4R (R 為外接圓半徑 ) ( 練習 4) 在下列各條件下, 求 的外接圓半徑 R 3 (1) =70, =80,=3 ()=,cos= ns:(1)r=3()r= ( 練習 5) 中, =60, =75, = 3+1, 求 (1) 之長 () 之長 ns:(1) = 6() = (sin75 = ) ( 練習 6) 以,,c 分別表示 之三邊,, 的長, 試在下列各條件下, 求 sin:sin:sin ( 已知 sin75 = 6+ 4 ) (1) =30, =45 () : : =3:4:5 (3) + c=0 且 3+ c=0 (4)(+):(+c):(c+)=5:6:7 ns: (1): : 6+ () : 3: 6+ (3)3:5:7 (4)3::4 ~ 3 4~
5 ( 丙 ) 餘弦定理直角三角形中的寶藏是畢氏定理 即在直角 中, 若夾角 =90 則知兩鄰邊,, 可由畢氏定理 c = + 求出對邊 c; 對於一般的三角形, 如果夾角給定, 但不一定是直角, 如何求第三邊的長呢? 此時, 餘弦定理就代替了直角三角形 特有的畢氏定理 E 觀察右上圖, 為直角三角形, 且 ==E=,=c,=, 根據商 高定理可得 = + c, 即 + c =0 在鈍角 與銳角 E 中我們考 慮 + c 與 + c E 的值, 從圖形中可猜出 + c <0 而 + c E >0, 但進一步我們不禁會問這兩個值會不會與邊或角的三角函數有 關呢? 我們用以下的定理回答這個問題 : 例子 : 設 中, =30, =6, =7, 請求出 =? [ 解法 ]: 作高, =6 cos30, =6 sin30 =7 6 cos30 在 中, =90 = + =(6 sin30 ) +(7 6 cos30 ) =6 (sin 30 ) cos30 +6 (cos 30 ) =6 (sin 30 + cos 30 ) cos30 = cos30 30 上例的解法, 對於 為鈍角或直角時都會成立, 我們將其寫成底下的定理 餘弦定理 : 在 中, 若,,c 為,, 之對邊長, 則 = +c c cos = +c c cos c = + cos ~ 3 5~
6 證明 : 在 中, 依 為銳角 直角 鈍角三種情形來說明 : 設 點對 邊或其延長線的垂足點為 (1) 為銳角 () 為直角 (3) 為鈍角 = Qcos>0 Qcos=0 Qcos<0 = =c cos = =c co = + =c+ cos =c cos 由以上的討論可知 : 不論 為銳角 直角 鈍角均可得 =c cos 又因為 = = + =(c cos) +( sin) =c c cos+ cos + sin =c + c cos 故 = +c c cos, 同理可證 = +c c cos,c = + cos [ 畢氏定理的圖解 ] 歐幾里得證明了矩形 GH 面積 =S 1, 矩形 GF 面積 =S, 因此可得 S 3 =S 1 +S S S 1 據此可證明 = + E [ 餘弦定理的圖解 ] S 3 餘弦定理的面積證法 : F G H c = + =( + )+( + ) = + cos c ~ 3 6~
7 結論 : () 由餘弦定理, 可知 cos= +c c,cos= c + c,cos= + c () 從 () 可知 =90 = +c <90 < +c >90 > +c [ 例題 5] 在 中已知 sin:sin:sin= 4:5:7, 則求 cos =?sin=? ns: ( 練習 7) 中, =3, =4, 角度如下, 試分別求出 之長 (1) =60 () =90 (3) =138 已知 cos4 = ns:(1) 13()5(3)6.54 ( 練習 8) 池塘旁有, 兩點, 小明想知道, 兩點間的距離, 他採用底下兩種 方法, 試根據所得資料求出 距離?( 兩者所在地點可能不同 ) 法一 : 他走到遠處 點, 並量得 =60, =7m =10m, 請問 =? 法二 : 他走到遠處 點, 並測得 =60, =75 =10m, 請問 =?ns:(1) 79() m 60 10m 10m ( 練習 9) 在 中, 若,,c 分別代表 的三邊長 之長 (1) 試證 := cos+c cos,= cos+c cos,c=cos+cos () 利用 (1) 去證明 : = +c ccos ( 練習 10) 中, 若 (++c)(+ c)=3c, 則 = ns:60 ( 練習 11) 中, 若 sin:sin:sin= ::( 3 1), 則 = ns:135 ~ 3 7~
8 ( 練習 1) 設,,c 為 的三邊長且滿足 ( +c) +(3+ c) =0, 若 θ 為 的最大內角, 求 cosθ = ns: 1 ( 丁 ) 正餘弦定理的應用 (1) 解三角形 : () 三角形的全等性質有 SSS SS S S 斜股性質, 我們可以利用正餘弦定理來解出唯一的三角形 ()SS 型的討論 : 中, 若已知, 及 [ 想法 ]: 設 =, 利用尺規在 的邊 X 上做出 點使得 = 想要找出 另一個頂點, 則圓規打開的半徑大小, 一定要比頂點 到 X 的距離大才有交點 (1 ) 為銳角時, 頂點 到 X 的距離 h= sin <h 時, 找不到 點 無解 ( 如圖一 ) =h 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖二 ) h<< 時, 有兩個 點 有兩解 ( 如圖三 ) 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖四 ) ( ) 為鈍角時, 頂點 到 X 的距離 = 時, 找不到 點 無解 ( 如圖五 ) > 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖六 ) h h 圖一 X 圖二 X h h 圖三 X 圖四 X 圖五 X ~ 3 8~ 圖六 X
9 [ 例題 6] 已知三邊 求三角 已知 SSS 解三角形 中,= 3,=,c= 6, 試求三個內角 ns: =10, =45, =15 [ 例題 7] 已知兩邊夾角 SS 解三角形求全部邊角 設 中, =, = 3+1, =30, 試求,, ns: =, =45, =105 [ 例題 8] 已知二邊一對角 即知 SS 解三角形 已知 中, =15, =15 3, =30, 則 =? =? ns: =90, =30; =30, =15 ~ 3 9~
10 [ 例題 9] 已知一邊兩角求邊與角 S 中, =45, =60, =7, 求 及 之長 (sin75 = ns: = 7 ( 3+1), = ) ( 練習 13) 在下列各條件中, 解三角形 (1)=1,=, =60 ns: (1) 無解 ()c= 3,=90,=60 ()=1,=, =30 (3)c= 6+,=45,=75 (3)= 3,=, =60 (4) 有兩組解 c= 3+1,=45,c=105 (4)=,=, =30 c= 3 1,=135,c=15 ( 練習 14) 由下列條件解, 何者恰有一解?() =40, =60, =80 () =,=4,c=6 () =1,=, =30 () =1, =3, =30 (E) =1,=4, =40 ns:()(e) ( 練習 15) 中,=1,= 3, =30, 求 =?, =? ns:1,10 ( 練習 16) 中, 設 c=8, =105, =45, 求 =? ns:8 () 求三角形的面積 : ()Heron 公式 設 中,,,c 分別為,, 之對邊長, 令 s= ++c 則 S = s( s )( s )( s c) [ 證明 ]: 由餘弦定理,cos= +c S = 1 c sin=1 c c 1 cos, = 1 c + c 1 ( ) c = 1 c 1 c (c) ( +c ) = 1 4 [(+c) ][ ( c)] ~ 3 10~
11 = 1 4 (+c+)(+c )(+ c)( +c) = 1 4 (s)(s )(s c)(s ) = s( s )( s )( s c) () 三角形 的面積 = r s (r 為三角形 內切圓的半徑 ) [ 證明 ] 三角形 的面積 = I+ I+ I = 1 c r+1 r+1 r I = 1 (++c) r = r s 三角形 的面積 = 1 底 高 = 1 csin(1 兩邊乘積 夾角的正弦值 ) = s( s )( s )( s c) s= 周長之半 c = 4 R (R 為三角形 外接圓的半徑 ) =r s (r 為三角形 內切圓的半徑 ) ( 練習 17) 已知 之三邊長分別為 4,6,8, 則 (1) 的面積 =?() 邊長 6 所對應的高 =? (3) 的內切圓半徑 =?(4) 的外接圓半徑 =? ns:(1)3 15 () 15 (3) (4) 15 ( 練習 18) 有一凸多邊形, 若 =, =6, =4, =6, =30, 則 此四邊形的面積 =? ns:3+8 ~ 3 11~
12 (3) 三角形或多邊形的邊角計算 : [ 例題 10] 三角形的中線定理三角形 中, 設 =c,=,=, 為 之中點, 1 試證 : + = + [ 例題 11] 已知圓內接四邊形 的各邊長為 =1, =, =3, =4, 則 (1) =? ()sin =? (3) 的面積 ns:(1) 55 7 () 6 7 (3) ~ 3 1~
13 [ 例題 1] 中, 之內角平分線交 於, =3, =6, =10, 則 = ; = ns:; 7 [ 例題 13] 圓內接四邊形 中, =5, =1, =13, =10, 13 3 則 =? ns: [ 例題 14] 中若滿足以下條件則其形狀為何? (1)cossin=sin () cos cos+c cos=0 ns:(1) 等腰三角形 () 直角三角形 ( 練習 19) 設 中,=15,=0,=10, 為 的分角線, 試求 =? ~ 3 13~
14 =?ns:=1,=3 6 ( 提示 : 可以利用內分比性質 ) ( 練習 0) 設 M 為 上 的中線, 請證明 : M = 1 4 ( +c +ccos) 79 ( 練習 1) 如右圖, 試求 =?ns: ( 練習 ) 中, =75, = 6, =, 在 上且 =30, 求 =? ns: 6 ( 練習 3) 證明 : 平行四邊形 中, 對角線平方和 = 四個邊的平方和 ( 練習 4) 圓內接四邊形, = =, =90, =105, 求對角線 =? ns: ( 3+1) (sin105 = 6+ 4 ) ( 練習 5) 如右圖, 中, =6, =10, =10, =30, 則 = ns: ( 練習 6) 設 滿足下列條件, 試分別決定其形狀 : (1)sin +sin <sin ()cos sin=sin cos ns:(1) 鈍角三角形 () 等腰三角形 綜合練習 (1) 一汽船在湖上沿直線前進, 有人儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50, 距離為 00 公尺, 一分鐘後, 於原地再測, 知汽艇到正前方偏右 70, 距離 300 公尺, 那麼汽艇再這一分鐘內行駛了公尺 () 在 中, 已知 =1,sin<sin, 且 sin 與 sin 為 8x 4 3 x+1=0 的兩根, 則 的外接圓半徑 =? (3) 如圖, 設每一小格皆為正方形, 求 cosθ=? (4) 中,= 3,=,c= 6, 試求 θ ~ 3 14~
15 (5) 已知 中, =, = 6 +, =105, 則 =? (6) 中, 設 =3,=4,tn= 3 4, 求 c=? (7) 設 之三高為 h =6,h =4,h c =3, 則求最小內角之餘弦為 ; 最小邊長 = (8) 圓內接四邊形, =5, =105, =90, =60, 求對角線 的長度 (9) 在 中, =75, =30, =1, =, 則 =? (10) 中, =60, =15, =4, 則 的外角平分線 長為多少? (11) 如圖, O=, O=, O=c, O= O=30, 試證 1 +1 = 3 c (1) 圓內接四邊形, 已知 =5, =5, =3, =10, O 則 =? (13) 如右圖, = 4,, 為以 為直徑的半圓上的二點, 且 = = 1, 則 =? (14) 設 中 =60, =, 1 =c, 今在 上取一點 使得 = 3, 令 s=, 則 s = () 1 9 ( +4c +4c) () 1 9 ( +4c +c) () 1 9 ( +4c c) () 1 9 (4 +c +c) (E) 1 9 (4 +4c c) (87 大學自 ) (15) 已知四邊形 中, = 8, = 8, = 3 且 = = 60 試求 之長 (16) 已知 三邊長分別為 =7, =5, =3, 延長 至, 如右圖所示, 使得 =, 則 =? (17) 如圖, 三角形 之三邊長為 =7, =8, =9, 若 E,FG 皆為正方形, ~ 3 15~
16 則 EG = (18) 在 中之三邊長分別為 11,13,0, 則此三角形內切圓半徑為 ; 外接圓半徑為 (19) 郊外有甲, 乙, 丙三家, 兩兩相距 70,80,90 公尺, 今計畫公設一井, 井到三家必須等距, 則此距離為公尺 (0) 中滿足 cos= cos, 請問此三角形之形狀為何? (1) 中, 設 =c,=,=, 試證下列等式 : ()(sin sin)+(sin sin)+c(sin sin)=0 sin sin sin () = c (c)( c)sin+(c )sin+( )sin=0 (d)( cos cos)= c () 設 =3+t,=3 t t,c=4t () 若,,c 均為正數, 求 t 的範圍 () 若,,c 為 的三邊長, 求 t 的範圍 (c) 若,,c 為 的三邊長, 求最大角的度量 (3) 若 15 x 19 x 3 x 為一個鈍角三角形的三邊長, 求 x 的範圍 (4) 設 =60,P 為其內部一點且 P =10, 又 P 對於 的對稱點分別為 Q R, 則 QR=? 進階問題 (5) 中, 周長為 0, =60, 外接圓的半徑為 R= 又三角形的內切圓半徑為何? 則求各邊的邊長,,c, (6) 設 之三邊長為 3,x, y, 且邊長 3 之對角為 60, 試求 x+y 的範圍 (7) 設凸四邊形 之對角線 =p,=q, 兩對角線之交角為 θ () 試證 : 凸四邊形 之面積 = 1 pq sinθ () 若 +=10, 則凸四邊形 面積之最大值為何? ~ 3 16~
17 (8) 中, 設 =,=1 () 當 面積最大時, 求 c () 當 最大時, 求 c (9) 設 為半圓內接四邊形, 為直徑長為 d, 若 =, =, =c, 試證明 :d 為方程式 x 3 ( + +c )x c=0 的一根 (30) 試證明 : 的內切圓半徑 r=(s )tn s= 的半周長 (31) 如圖, 設 之內切圓半徑為 r, 外接圓半徑為 R, 內切圓切三邊於 P,Q,R, 則 PQR 的面積之值為何? ns: r 的面積 R R I Q P (3) 設圓內接四邊形 四邊之長分別為 =, =, =c, =d, 試證 : () = (c+d)(d+c) +cd () = (c+d)(+cd) d+c (c) =c+d (33) 已知三角形 的邊 =9, =8, =40, 在 上取一點, 在 上 取一點 E 而 E 把 的面積等分為二, 試問 : 若要求 E 之長度最短, (1) () 3 +1 (3) (4) =10 及 E 之值應為何? 綜合練習解答 (5) = 7 (6) 5 或 5 (7) (8) (9) 7 8 (10) 40 ; =10 = 5( 6+ ) (11) [ 提示 : 考慮 O= O+ O, 再利用三角形的面積公式, 即可得證 ] ~ 3 17~
18 (1) 8 (13) 7 (14) () (15) 3 或 5 (16) 7 (17) 14 (18) 3, 65 6 (19) 1 5 (0) 等腰或直角三角形 [ 提示 : 利用 cos= +c c,cos= +c c cos, 化簡可得 ( )(c )=0 ] 代入 cos= (1) ()()(c) 利用正弦定理將 sin sin sin 化成 R R c R 代入式子中運算 (d) 利用餘弦定理 () ()0<t<1 ()0<t<1 (c)10 (3) 3<x<11 (4) 10 3 [ 提示 QR=10 ] (5) =7,=8,c=5 或 =7,=5,c=8 r= 3 (6) 3<x+y 3 [ 提示 : 根據餘弦定理 =x +y xy=(x+y) 3xy (x+y) =3(xy+1), 因為 xy=x +y 3 xy 3 xy 3 (x+y) =3(xy+1) 1 ] (7) () 50 4 [ 提示 : 利用 pq 1 4 (p+q) ] (8) () 5 () 3 (9) [ 提示 : 如下圖, = + cos=c +d cdcos, 因為 =90, cos= c d, 代入前面的式子化簡即可得證 ] (30) [ 提示 : 如 (31) 題圖, 只需證明 R=s 即可 ] (31) [ 提示 : 如圖, PQR= RQI+ RPI+ PQI = 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )= 1 r (sin+sin+sin)= 1 4R r (++c)= r s R, =rs] (3) [ 提示 : 利用 = + cos=c +d cdcos, 而且 + =180 ] (33) = E =6 [ 提示 : 設 =x, E =y, E= 1 xysin40 = 1 = 1 ( 1 ~ 3 18~
19 9 8 sin40 ) xy=36 又因為 E =x +y xycos40 xy xycos40 =7(1 cos40 ) 等號成立時,x=y=6 ] ~ 3 19~
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 ( ). ABC 中, a, b, c,則面積為: (A) A b cosa + c a bc + ( ).. sina (B) cos A (C) ( ) (D) (E). ABC 面積 bcsina ( ). ABC 中, a, b, c,則外接圓半徑為: (A) B (B) (C) (D) (E). 承上題,已知 sina 外接圓半徑 R a sin A ( ). 下列各組數,何者可為一個銳角三角形三邊長?
Microsoft Word - 0.5bh.doc
198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
第一章
壹 重點整理 一 廣義角三角函數 : (1) 廣義角的定義 : 三角函數 ( 一 ) 由一射線 ( 始邊 ) 旋轉到另一射線 ( 終邊 ) 的旋轉量, 逆時針為正向角, 順時針為負向角 () 同界角 :θ 1,θ 為同界角 θ 1 θ =360 k,k 為整數 (3)sinθ 與 cosθ 的定義 : 坐標平面上以原點 O 為圓心半徑等於 r 的圓, 給定一個廣義角 θ, 規定 θ 的始邊為 x 軸
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
<4D F736F F D20312D31AABDA8A4A454A8A4A7CEAABAC3E4A8A4C3F6AB595FADD7A7EF5F2E646F63>
第一章三角 直角三角形的邊角關係 ( 甲 ) 正弦 餘弦與正切的定義 相似三角形其三邊長的比都是定值, 若是將相似的直角三角形擺放如右圖, 並且讓相同的內角 重疊, 只要 固定, 則這些直角三角形三邊長的比例是固定的 即 給定一銳角, 因為直角 ~ ~ ~, 所以 = =... 故上述的比值只受 的大小影響 θ 換句話說當銳角 的度數固定時, 作直角 ( 為直角 ), 那麼所作的三 角形, 其邊長大小不論如何改變,
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 cotα + cot β ( ). cot(α β)? (A) cotα cot β cotα cot β (E). cotα + cot β cotα cot β (B) cotα cot β cotα cot β + (C) cotα cot β cotα cot β + (D) cot β cotα D ( α β ) α β + sinα sin β cotα cot β + cot(α
週次 期間或備註四3/3 3/7 3/10 3/1 8-s-01 8-s-02 8-s-20 8-s-21 8-s-01 8-s-02 8-s-06 8-s-1 8-s-20 8-s 生活中的平面圖形 2-1 生活中的平面圖形 2-2 垂直 平分與線對稱圖形 1. 能了解生活中的平面圖
台南市私立瀛海中學 102 學年度第二學期二年級 數學 學習領域課程計畫 一 二年級下學期之學習目標 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積 5. 了解三角形的基本性質 : 內角與外角 內角和與外角和 ( 推導至多邊形 ) 全等性質
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
S = V 2 Sin2 H = V 2 Sin2 0 0 g 2g 2mh 2mh F = 2 F t = t t V = 2h t 2 2 2 V0 Sin cos + V0 Cos V 0 Sin 2 + gh L = + C*cos + dcos g 2 2 2 V0 Sin Cos + V0 Cos V0 Sin + 2gH L2 = g GH Cos2 = V 2 + gh 0 2 2
第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i
C3特教班學習領域課程計畫
臺南市 ( 安平 ) 國民中學 (103) 學年度第 ( 二 ) 學期學習中心學習課程計畫表 組別 : 二 A 教學者 : 王聰榮 每周教學節數 :3 數學 8-n-05-1 能辨識出等差數列的公差 8-n-05-2 能熟練計算出簡單數列的等差中項 8-n-05-3 能熟練使用等差數列的標準公式, 計算出等差數列的一般項 8-n-06-1 能解釋出等差級數為等差數列的總和 8-n-06-2 能熟練等差級數的標準公式
和的公式 3. 能理解等差級數求和的公式. 能利用等差級數公式解決日常生活中的問題 能解決生活中相關的問題 性平教育 討論. 作業 二親師座談會 3/5-3/9 2-1 生活中的平面圖形 1. 能了解生活中的平面圖形 : 三角形 多邊形 正多邊形及圓形 2. 能認識點 線 線段 射線 角 三角形及其
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 106 學年度第 2 學期 年級學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書版本 : 翰林版 編撰教師 : 鄭宛尹 吳奈曄 洪梅君 本學期 : (以條列式文字敘述) 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
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101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求
林園高中107學年度第二學期領域一年級課程計畫
高雄市立林園高中 ( 國中部 )107 學年度第二學期二年級數學學習領域課程計畫 一 教材來源 : 選用 ( 康軒版 ) 請填寫新學年度版本 二 教學節數 : 每週 ( 4 ) 節, 學期共 ( 80 ) 節 學期以 20 週計, 請配合教學進度表每週節數及表格最下方總節數填寫 三 各單元內涵分析 週次實施期間學校重要行事單元活動主題單元學習目標 預備週 1 02/11-02/15 2/11 第二學期開學日
<4D F736F F D20B2C43139B3E6A4B8A4CFA454A8A4A8E7BCC6>
第十九單元反三角函數 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 () g(y), 設,y 分別是 () g(y) 定義域內任意元素, 如果 g(())= 且 (g(y))=y 則稱 () 與 g(y) 互為反函數,() 的反函數記為 1 (), 即 g()= 1 () 此時 () g() 的定義域與值域互換, 即 () 的定義域為 1 () 的值域,() 的值域為 1 () 的定義域
三角形的基本性質 3- 內角與外角 三角形的全等.. SSS 3. SS 4. S 5. S 6. RHS 三角形的邊角關係 s-07 8-s-08 y t h a g o r e a n T h e o r e m
能力指標分年細目 3- 內角與外角 8-s-03 能理解凸多邊形內 角和以及外角和公 式 8-s-0 能理解三角形的基 本性質 將章首頁圖片內容 以動畫演出 引導 學生從生活動情境 中學習數學概念的 運用 已知台東市與綠島的距離為 33 公里 從上述的動畫中以 互動的方式進行生 活化與數學核心概 念的測驗 台東市與蘭嶼的距離為 90 公里 振華 綠島與蘭嶼相距 50 公里 溫蒂 綠島與蘭嶼相距 73
平面圖形.docx
平面圖形.docx1 平面圖形翰林版 ( 四 )2-1 1 平面幾何 幾何 : 源於 Geometry 一詞, 原為測量之意, 明朝時利瑪竇與徐光啟翻譯歐基里德的著作 幾何原本 後, 正式成為數學學科的名稱之一 ; 幾何學 主要在研究 空間 的各種性質, 如圖形的形狀 大小... 等等的學科 平面幾何 : 專門討論在平面上的圖形所相關的 性質理論等知識的數學稱為平面幾何 2 幾何基本元素 點 : 表示位置,
C41N46.dvi
數學傳播 41 卷 4 期 pp. 60-68 五合一定理 蔡聰明 本文我們要證明下列五個幾何定理都是等價的 :1. 畢氏定理 ; 2. 畢氏逆定理 ; 3. 三角形的餘弦定律 ; 4. 圓內接四邊形的餘弦定律 ; 5. 托勒密定理 筆者曾經看過學生這樣論證 : 考慮三邊為 3 4 5 的三角形 因為 5 2 = 4 2 +3 2 所以根據畢氏定理知 此三角形為直角三角形 並且邊 5 所對應的角為直角
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十六單元 向量的應用 ( 甲 ) 分點公式與共線的條件 (1) 本節所要使用的基本知識 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a.
定理 3. 內接於同一圓的三角形序列 A B C, A 3 B 3 C 3,..., A n B n C n,..., 在 A n B n C n 中, 如下圖 設 A n, B n, C n 的對邊為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ 則 a n a n 1, b n
1 n 倍角整數邊三角形與圓內接四邊形之探討 國立宜蘭高級中學郭家愷指導老師戴武郎 Abstract A triangle ABC is called a triangle with double angle, if B A. Similarly, a cyclic quadrilateral ABCD is called a cyclic quadrilateral with double angle
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
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https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 8 三角 8. 直角三角形的邊角關係 銳角三角函數定義 : 直角三角形中 ; 對應角的對邊 鄰邊與斜邊邊長的比值關係 共有正弦 (sine) 餘 弦 (co-sine) 正切 (tangent) 餘切 (co-tangent) 正割 (secant) 與餘割 (co-secant) 六個比 例關係 若直角三角形
C = C + C C = + + C C C C 1 2 3
C = C + C 1 2 3 1 1 1 1 + C = + + C C C C 1 2 3 17 Q = Q = Q C = Q U C 1 1 2 3 C 1 C 2 C 3 U = 1 1 1 U 1 U 2 U 3 = + + C C C 1 2 3 1) A B U A U B U U = AB A B AB G G R = R U = U U = 0 U = 4 B C BC CB C
35 007 373 9 092 44.472 1 175 248 731 773 1 907 021 10 162 706 19 1808 1847 3 1830 325 X (1) (2) (3) 406 453 8. Y X 2. 3. 4 5 6 7 8 9 10....... 11.
z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c
Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ
目 次
第 章 三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 1 - 三角函數的基本關係 10-3 簡易測量與三角函數值表 17-4 廣義角的三角函數 8-5 正弦定理與餘弦定理 46-6 基本三角測量 60 附表一附表二 希臘字母表 63 三角函數值表 64 一 銳角三角函數值的定義 第二章三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 : 給定一銳角 θ, 作 =θ, 在 的其中一邊上任選一點 ( 不能是 點 ),
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學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
章節
試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
嘉義市立蘭潭國民中學一百學年度第一學期一年級國文領域課程計畫
嘉義市立蘭潭國民中學 104 學年度第一學期九年級學領域課程計畫 一 學領域每週學習 : 共 二 教材來源 : 翰林版第五冊 九年一貫學領域課程綱要 九年一貫議題融入課程與教學三 課程架構 : 單元主題 第一章 : 比例線段與相似形 單元名稱 1-1 比例線段與圖形的縮放 1-2 相似形 第二章 : 圓的性質 2-1 點 直線 圓之間的關係 2-2 圓心角 圓周角與弦切角 第三章 : 推理證明與三角形的心
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數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數 多項式 : 餘式定理 因式定理 多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
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向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
(3) ˉ( 甲 )ˉ (4) 故 AD BC 請問甲應填入下列何者, 可得完整的證明? (A) 1= 2 (B) AD BC, 1= 2=90 (C) B= C, 1= 2 (D) 1= 2, 又 1+ 2=180, 1= 2=90 6. ( ) ABC 中, AD 垂直平分 BC, 且交 BC
第三章 : 幾何與證明第一節 : 證明與推理一 選擇 1. ( ) 如圖, 已知 AD = BC, 1= 2, 則下列推論何者錯誤? (A) AB =CD (B) AO =OC (C) B= D=45 (D) BAC DCA 2. ( ) 老師問 : 在 ABC 和 DEF 中, 若 AC = DF,BC = EF, 如果要證明 ABC DEF 應該要加上哪一個條件? 甲生說 : AB = DE 乙生說
<4D F736F F D D D28AABEC3D129A454A8A4A7CEA454ADD3B7A5A470ADC8B0DDC344AABAB1B4B05128ADD7A7EF29>
李政豐 * 傅淑婷 陳昭地 國立竹南高級中學 臺北市立敦化國民中學 3 國立臺灣師範大學數學系 3 壹 前言 在編寫國家教育研究院國民中學數學教材原型的過程中, 感覺到目前中學幾何課程 的份量, 在國高中均有減輕的趨勢, 然而要訓練學生證明與推理的能力, 幾何是數學家 公認不可或缺的學程 在台灣師大數學系陳昭地教授的指導下, 我們藉由三個初等數學 的問題 : () 平面上一點到三角形三邊所在直線距離和之最小值
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第一章三角 第一章三角. 直角三角形邊的比例 : 設有一直角 - 直角三角形的邊角關係 乁重點整理乁 Δ ABC, 則與 Δ ABC 相似的任一直角三角形之兩邊的比值會等於 Δ ABC 對應的兩邊比值, 即此值與三角形的大小無關. 設直角 Δ ABC 中, C = 90, A 的對邊長為 a, a 鄰邊長為 b, 斜邊長為 c, 則為一定值, 此定值 c 稱為 b A 的正弦 (sine), 記作
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- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈, 當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半 例如下表中第二週成本上漲 00%, 所以第二週售價上漲 0% 依此定價方式以及下表的資訊, 試選出正確的選項? 當週成本 前週成本當週售價 前週售價 註: 成本漲跌幅,
07 年大學學科能力測驗數學科參考詳解 單一選擇題. 給定相異兩點 A B, 試問空間中能使 PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合為下列哪一選項? () 兩個點 () 一線段 () 一直線 (4) 一圓 () 一平面 解 若在坐標平面上, 滿足 PAB 為正三角形的 P 點應有兩點 P, P 則以 AB 中點 M 為中心, 在空間中, 將 P, P 以 AB 為旋轉軸繞 M 旋轉一圈的所有點均到
課程計畫一覽表
高雄市 105 學年度第二學期岡山區岡山國民中學二年級數學領域教學計畫表設計者 : 謝金財 學習總目標 : 1. 能辨識數列的規則性 2. 能熟練等差數列與等差級數的樣式 記法與公式, 並解決相關 3. 能理解常用幾何形體之定義與. 能指出滿足給定性質的形體 5. 能透過形體之刻畫性質, 判斷不同形體之包含關係 6. 能利用形體的性質解決幾何 7. 能理解外角和定理與角形 多邊形內角和定理的關係 8.
初級中學數學課自學課本_幾何一_ch4
注意 : 允許學生個人 非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答 重版 系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可 申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw 第四章 四邊形 4. 多邊形 一 多邊形 籬笆的格子 六角螺帽外圍的各個面 ( 圖 4-) 門 窗等, 都是多邊形的形象 圖 4- 如圖 4- 那樣,
3-2 連比例 連比的運算性質 a b c 0 a b c (a m) (b m) (c m
114 3-2 連比例 1 連比與連比例式 2 應用問題 主題 1 連比與連比例式 12 15 3 6 15 3 6 15 3 6 連比 15 3 6 15 3 3 6 15 6 600 120 15 3 6 7 2 1 3-2 連比例 115 24 2 30 6 12 4 1 3 5 1 2 12 24 4 15 3 6 30 6 12 5 1 2 15 3 6 30 6 12 15 3 6 5
互補 : 若兩個角的和是一個平角 ( ), 我們稱這兩個角互補, 如圖, + = 80, 故我們稱 與 互補 互餘 : 若兩個角的和是一個直角, 我們稱這兩個角互餘, 如圖, + =90 0, 故我們稱 與 互餘 對頂角 : 兩直線相交會形成兩組對頂角 如右圖, 與 為對頂角, 3 與
點 線 角 : 在探討幾何學之前, 我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素 - 點 線 角 點 : 點是幾何學中所討論的最基本圖形 點僅用來表示事物所在的位置, 而不考慮它的形狀與大小 圖示記法讀法 點 或 點點 或 點 線 : 線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線, 因此線是沒有寬窄的 線可以分為曲線與直線, 如下圖 曲線 直線 直線 : 通過兩點用直尺所畫出來的線, 也就是說 : 兩點決定一直線
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10. 能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係 11. 能計算複合平面圖形的周長及面積問題 12. 能理解平面圖形線對稱的意義 13. 能理解單一圖形透過格子點做出線對稱的鏡射圖形 14. 能認識對稱點 對稱線 對稱角 對稱軸 15. 能畫出線對稱圖形 16. 能利用線對稱性質說明等腰三角形兩底角相
臺北市私立靜心國民中小學 ( 國中部 )105 學年度第二學期 八 年級 數學 科教學計畫表 日程及項目 週次一二三四五六七八九十十期2/13 2/17 2/20 2/24 2/27 3/3 3/6 3/10 3/13 3/17 3/20 3/24 3/27 3/31 4/3 4/7 4/10 4/14 4/17 4/21 一十4/24 4/28 二十5/1 5/5 5/8 5/12 三十5/15
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
標題
旋轉坐標軸 ( 甲 ) 轉軸公式考慮一個以點 F(,) 為焦點, 以直線 L:+=0 為準線的拋物線 Γ 方程式是 Γ : ( ) +( ) = +..(*), (*) 式平方後可化成 Γ: + 8 8+6=0 (**), 但是從 (**) 很難辨識它是一條拋物線, 是否可以利用適當的坐標變換, 來辨識 (**) 式為一條拋物線 我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點與軸垂直的直線, 則此拋物線就成為一條開口向上的拋物線,
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
2007 TRML思考賽
TRML 思考賽 -2007 思考賽共 10 題, 每題 4 分 答題時必須寫明計算或證明過程, 為得到滿分, 答題方式必須合理, 層次清楚簡明 前面小題縱使未被證出, 也可被引用來解後面小題 ; 但反之後面小題的結果, 未正確證明之前, 不可用來解前面小題 繳交的答案紙每張至多一小題, 且必須在每張答案紙上方標明題號且依序排列 每張紙上只寫一面, 不要寫兩面 准考編號大會已直接印於答案紙上, 在繳交的答案時,
數學傳播十七卷三期民 8 年 9 月 註 : 畢氏定理在文獻上有 370 種證法 [5] 接著飛躍到一般三角形, 此時比較豐富 多彩 畢氏定理推廣成 餘弦定理 : a b + c bc cosa b c + a ca cosb ( 邊 角關係 c a + b ab cosc (1 面積公式 : S
![數學傳播十七卷三期民 8 年 9 月 註 : 畢氏定理在文獻上有 370 種證法 [5] 接著飛躍到一般三角形, 此時比較豐富 多彩 畢氏定理推廣成 餘弦定理 : a b + c bc cosa b c + a ca cosb ( 邊 角關係 c a + b ab cosc (1 面積公式 : S](/thumbs/91/105254765.jpg "數學傳播十七卷三期民 8 年 9 月 註 : 畢氏定理在文獻上有 370 種證法 [5] 接著飛躍到一般三角形, 此時比較豐富 多彩 畢氏定理推廣成 餘弦定理 : a b + c bc cosa b c + a ca cosb ( 邊 角關係 c a + b ab cosc (1 面積公式 : S")
四邊形的面積 蔡聰明 一. 問題的提出 給一個三角形, 已知三邊長, 那麼它的面積可用著名的 Heron 公式來求算 這我們在 談 Heron 公式 : 記一段教學經驗 一文中, 己經有所敘述 [1] 現在要加以推廣, 我們自然想到了兩個方向 : (i 維數的提高, 從平面問題變成空間問題 ; (ii 邊數的增加, 從三角形變成四邊形乃至更多邊形 本文僅限於討論推廣到四邊形的情形 問題 : 已知四邊形的四邊
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
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三角函數與複數 一 有向角及其角度每一個角是由共有一端點的兩條射線所構成, 此兩射線稱為此角的兩邊, 而它們共有之端點稱為此角的頂點 一個有向角 A 的兩邊中, 有一邊稱為始邊, 另一邊稱為終邊 若由 A 的始邊繞頂點旋轉至終邊的方向是逆時針方向, 則稱 A 為正角, 若為順時針方向, 則稱 A 為
三角函數與複數 一 有向角及其角度每一個角是由共有一端點的兩條射線所構成, 此兩射線稱為此角的兩邊, 而它們共有之端點稱為此角的頂點 一個有向角 A 的兩邊中, 有一邊稱為始邊, 另一邊稱為終邊 若由 A 的始邊繞頂點旋轉至終邊的方向是逆時針方向, 則稱 A 為正角, 若為順時針方向, 則稱 A 為負角 習慣上, 若無特別指明, 我們將以直角座標平面的原點為任一有向角的頂點, 且以 x 軸的正向為任一有向角的始邊
幾 何
.. =,,, [ ] (1 1 1 = 1 = 1 > 1 ( (2 2 2 = 2 = 2 < 2 ( (1(2,,, 1 2 ~94~ (1 (2 (3 (a G (b (c G (d G O = 1 2 O O O [ ] O 1 = O 1 = 1 2 O= O = 1 O ~95~ 1. 2. = 3. M M M=M M,,,, 4. 5. ( (1 (Menelaus 98 >
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國立新營高中 99 課綱數學科自我學習要點 習題手冊 範圍 : 數學第三冊三角學 直線與圓 平面向量 高 二 : 班 號 學 生 : 指導教師 : 鄭國順 老師 參考版本 : 南一, 翰林, 龍騰版 新營高中鄭國順編版本修訂 :01 年 7 月 3 日 目 次 1 三角 1 1.1 直角三角形的邊角關係............. 1 1. 廣義角與極坐標................ 4 1.3
2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) X 2π(0.045) = 6.67 μt B Y = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) Y 2π(0.015) = 20 μt (b) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(2) X 2
23 (b) 1 (p. 192) 1. (a) F (b) F 2. (a) C C B B B A (b) 2 (p. 196) 1. (a) T (b) F (c) T 2. (a) W 4. 3 (p. 205) 1. A A 2. (a) F (b) T 3. 4. (a) (b) Z 3. (a) 2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5)
章節
試題 空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線 空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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( 甲 ) 空間向量的外積 第三十單元外積 體積與三階行列式 在物理學中, 設力 F 作用在位移 r 的終點上, 它的力矩定義為一個向量 M, 其大小 為 F r sinθ, 方向垂直 F 與 r, 且 M 與 r F 構成右手系, 符號寫成 : M r F 這樣的概念抽象化之後, 形成 外積 的定義 () 外積的定義 : F 設空間中兩向量 與 的外積為一個向量, 符號記為, 設空間中兩向量 與
TRML2010 Ans.pdf
個人賽參考解答 寸絲方寸之地 已知直線 L y= 4 x+4 分別交 x 軸 y 軸於 A B 兩點若 L x+by+c=0 為 BAO 的角平分線, 其中 O 為原點,b c 為整數, 則 b+c=? 答 解易得 A(,0) B(0,4) AB=(,4), 因此角平分線方 向為 AB+ AB AO=(,4)+(5,0)=(8,4), 又 L 過 AO A 點, 故 L 方程式為 x y+=0 b+c=
數學新里程(第二版) 附加練習 - 樣章
第 1 章 有向數 第 8 章 代數不等式 第 章 基礎代數 第 9 章 代數分式及公式 第 章 基礎幾何 第 10 章 面積和體積 第 4 章 一元一次方程 第 11 章 三角比的認識 第 章 百分法 第 1 章 多邊形 第 6 章 統計與生活 第 1 章 集中趨勢的量度 第 7 章 代數式與多項式 第 1 章 整數指數定律 第 8 章 對稱與變換 第 章 續因式分解 第 9 章 坐標簡介 第 章
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
Microsoft Word - HKMO1986final.doc
Sample Event (Individual) (i) In the given figure, the sum of the four marked angles is a. Find a. 附圖所示四角之和為 a, 求 a a = (ii) The sum of the interior angles of a regular b-sided polygon is a. Find b. 一正
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1
![推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1](/thumbs/65/52868443.jpg "推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1")
1 讓我們來看 面 向 - 向量與多邊形的面積關係 臺北市立第一女子高級中學陳育婷指導老師楊健民 1 簡介 1.1 研究動機 上高中以後才學習到 向量 這個新名詞, 它讓我用不同的角度思考數學 ; 對於其應用之廣泛以及能證明多個定理感到驚奇 ; 此外它與幾何學也有極大的關係, 例如在高二時學到用向量分割出三角形的面積比, 恰好是點 P 到對頂點向量的係數比 : 設點 P 在 ABC 的內部且 m,,
山东建筑大学学分制管理规定（试行）
山 建 大 校 字 2015 67 号 山 东 建 筑 大 学 关 于 印 发 学 分 制 管 理 规 定 ( 试 行 ) 的 通 知 各 院 部 校 直 各 部 门 : 山 东 建 筑 大 学 学 分 制 管 理 规 定 ( 试 行 ) 已 经 学 校 研 究 同 意, 现 印 发 给 你 们, 请 认 真 遵 照 执 行 山 东 建 筑 大 学 2015 年 8 月 7 日 1 山 东 建 筑
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
2 數學傳播十九卷三期民 84 年 9 月與 60 之差的平方和再乘以 2 就可以了, 不必每項都算 現在使用簡單隨機抽樣法, 從這九個分數中取出三個 請回答下面三個小問題 3. 所取出三個分數中至少有一個為 60 分的取法有幾種? (A) 8 (B) 2 (C) 35 (D) 40 (E) 64
八十四學年度大學聯考自然組數學試題解答及分析 吳隆盛 對於今年的大學聯考自然組數學試題以作者個人觀點加以解答及分析如下 第一部分單一選擇題 [ 一 ] 九位學生的數學抽考分數分別為 : 30, 40, 60, 50, 70, 80, 60, 90, 60. 這九個分數的中位數為何? (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 80 解 : 先將這九個數由小而大依序排列 選 (C)
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
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數與代數 : 有向數運算 分數運算 變換主項 解一次方程 解一次不等式 因式分解 多項式的加減乘除 :. 兩邊做相同運算 (eg: 兩邊同時加 減 乘 除 平方 開方.. 等 ) eg: 兩邊同時乘分母的 LCM, 使分母等於 " 交差相乘 " 移項.. 同類項相加減 3. 分配律拆括號 抽公因子 4. 利用恆等式 5. 兩邊同時乘 / 除負數, 不等式方向改變 百分法 : ( 百分數增減 ) 新值
中華民國 第51屆中小學科學展覽會
中 華 民 國 第 51 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 物 理 科 第 三 名 080115 問 水 哪 得 高 如 許? 為 有 熱 源 伴 水 來 學 校 名 稱 : 桃 園 縣 龍 潭 鄉 三 坑 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 陳 嬿 云 黃 啟 晉 小 六 張 婉 怡 關 鍵 詞 : 熱 脹 冷 縮 模 擬 燃 燒 影 響 力
头部
一 头 部...3 1. 用 原 始 点 治 感 冒... 3 2. 德 州 达 拉 斯 原 始 点 治 感 冒 发 烧 _ 邱 善 仁... 4 3. 用 原 始 点 处 理 眼 睛 酸 涩 眼 疲 劳...5 4. 李 先 生 案 例 06: 耳 鸣... 6 5. 李 先 生 案 例 02: 脑 瘤... 6 6. 喉 咙 出 血... 7 7. 处 理 牙 痛... 8 8. 原 始 点 对
智慧學習. 城鄉有感 ~ 03 年學測數學科最精要重點總整理 ~ 甲 數與式 ( 一 ) 一個已化成最簡分數的有理數, 如果分母的質因數只有 或 5, 則這個有理數 範例 一定可以化成有限小數 m [ 註 ]: 設 m, 為兩互質的自然數, 則 q ( pq, { 0} p 為有限小數 5 } )
![智慧學習. 城鄉有感 ~ 03 年學測數學科最精要重點總整理 ~ 甲 數與式 ( 一 ) 一個已化成最簡分數的有理數, 如果分母的質因數只有 或 5, 則這個有理數 範例 一定可以化成有限小數 m [ 註 ]: 設 m, 為兩互質的自然數, 則 q ( pq, { 0} p 為有限小數 5 } )](/thumbs/83/87921240.jpg "智慧學習. 城鄉有感 ~ 03 年學測數學科最精要重點總整理 ~ 甲 數與式 ( 一 ) 一個已化成最簡分數的有理數, 如果分母的質因數只有 或 5, 則這個有理數 範例 一定可以化成有限小數 m [ 註 ]: 設 m, 為兩互質的自然數, 則 q ( pq, { 0} p 為有限小數 5 } )")
智慧學習. 城鄉有感 ~ 03 年學測數學科最精要重點總整理 ~ 甲 數與式 ( 一 ) 一個已化成最簡分數的有理數, 如果分母的質因數只有 或 5, 則這個有理數 範例 一定可以化成有限小數 m [ 註 ]: 設 m, 為兩互質的自然數, 則 q ( pq, { 0} p 為有限小數 5 } ) 0 下列哪些有理數可化成有限小數? () 3 () 3 (3) 49 8 30 350 (4) 7 (5)
面積與二階行列式 陳清海 老師
面積與二階行列式 陳清海 老師 1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為
44 數學傳播 24 卷 期民 89 年 3 月 圖 3 利用這三個定理, 再加上畢氏定理 插 值法以及一些三角恆等式, 托勒密就可以編 製出弦表, 真正達到他所說的 以儘可能少 的命題, 正確地求出各種圓心角所對應的弦 長 英國數學家 ugustus e Morgn (806-87) 稱讚弦表為
星空燦爛的數學 (II) 一一托勒密定理 蔡聰明 托勒密 3 冊的著作 lmġest ( 西元 50 年 ) 集古希臘天文學的大成, 並且展示了歐氏幾何學與三角學的美妙應用 他為了編製弦表 (the tle of hords) 創立下面三個幾何定理 : 定理 : 考慮圓 O, 假設 O 為直徑, O, 為 O 的平分點, 作 = E, 見圖, 則 EO 為圓內接正十邊形的邊長, E 為圓內接正五邊形的邊長
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
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- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
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- - - - - - 1 2 3 1 - - 0 2225601 2225601 0.76 1 2005 12 31 150,516,198 2,225,601 2 16.7% 31.5% 3 4 2006 1 10 1400 2005 12 31 2006 1 12 11.01 - - 2005 12 31 - - 2006 1 12 10 - - - - - - 1 2 2005 2004 -
章節
試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d