第一章
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1 壹 重點整理 一 廣義角三角函數 : (1) 廣義角的定義 : 三角函數 ( 一 ) 由一射線 ( 始邊 ) 旋轉到另一射線 ( 終邊 ) 的旋轉量, 逆時針為正向角, 順時針為負向角 () 同界角 :θ 1,θ 為同界角 θ 1 θ =360 k,k 為整數 (3)sinθ 與 cosθ 的定義 : 坐標平面上以原點 O 為圓心半徑等於 r 的圓, 給定一個廣義角 θ, 規定 θ 的始邊為 x 軸 的正向, 角的頂點為原點, 根據 θ 的旋轉量, 可畫出終邊的位置 設終邊這條射線與圓交於 P(x,y), 則我們定義 :sinθ = y r,cosθ =x r y P(x,y) O r x () 其他三角函數的定義 : 根據三角函數間的關係, 我們可定義其他的三角函數 : 利用 cosθ = x r sinθ =y r 可定義 :tanθ= sinθ cosθ = y x (5) 三角函數的關係 :,cotθ = cosθ sinθ = x y,secθ = 1 cosθ =r x,cscθ = 1 sinθ = r y (a) 平方關係 :sin θ+cos θ=1,1+tan θ=sec θ,1+cot θ=csc θ (b) 商數關係 :tanθ = sinθ,cotθ =cosθ cosθ sinθ (c) 餘角關係 :sin(90 θ )=cosθ,cos(90 θ)=sinθ,tan(90 θ)=cotθ,cot(90 θ)=tanθ sec(90 θ)=cscθ,csc(90 θ)=secθ (6) 三角函數值的化簡 : (a) 化簡角度到 360 度內 : sin,cos,tan,cot,sec,csc (n 360 +θ ) = sin,cos,tan,cot,sec,csc (θ ) ~ 三角一 -1~
2 利用此觀念可將任意角度的三角函數化成 0 到 360 之間的三角函數 例如 :sin789 =sin( )=sin69,tan( 1000 )=tan( )=tan80 (b) 化簡角度到 180 度內 : sin,cos,tan,cot,sec,csc (180 ± θ,θ±180 ) = ± sin,cos,tan,cot,sec,csc (θ ) ± 由等號左右的正負來決定 例如 : sin(θ+180 )= sinθ cos(θ+180 )= cosθ tan(θ+180 )=tanθ sin(180 θ)=sinθ cos(180 θ)= cosθ tan(180 θ)= tanθ 兩個角度成補角, 正弦值相等, 餘弦值等值異號 (c) 餘角的關係 : sin,cos,tan,cot,sec,csc (90 ± θ,70 ± θ) = ± cos,sin,cot,tan,csc,sec (θ ) ± 由等號左右的正負來決定例如 : sin(90 +θ)=cosθ cos(90 +θ)= sinθ tan(90 +θ)= cotθ sin(70 θ)= cosθ cos(70 θ)= sinθ tan(70 θ)=cotθ (d) 負角關係 : sin( θ)= sinθ,cos( θ)=cosθ,tan( θ)= tanθ 二 三角函數在平面幾何上的應用 : (1) 正弦公式 : a (a) 在 中, 以 a,b,c 表示,, 之對邊長度, 則 sin = b sin = c sin =R, 其中 R 為 外接圓的半徑 (b) 正弦定理的用法 : a 正弦定理 sin = b sin = c sin =R 的轉換 ( 以 R 為媒介 ) 比例型 :a:b:c =sin:sin:sin 邊化角 :a=rsin,b=rsin,c=rsin 角化邊 :sin= a R,sin= b R,sin= c R () 餘弦公式 : a (a) 在 中, 若 a,b,c 為,, 之對邊長, 則 b c = b = a = b + c + c + a bc cos ac cos ab cos ~ 三角一 -~
3 (b) 由餘弦定理, 可知 cos= b +c a bc,cos= c +a b ca,cos= a +b c ab (c) 從 (a) 可知 =90 a =b +c <90 a <b +c >90 a >b +c (3) 正 餘弦公式的應用 : (a) 解三角形的邊長與角度 : 三角形的全等性質有 SSS SS S S 斜股性質, 我們可以利用正 餘弦定理來解出唯一的三角形 SS 型的討論 : 中, 若已知 a,b 及 [ 想法 ]: 設 =b, 利用尺規在 的邊 X 上做出 點使得 =a 想要找出另一個頂點, 則圓規打開的半徑大小 a, 一定要比頂點 到 X 的距離大才有交點 (1 ) 為銳角時, 頂點 到 X 的距離 h=b sin a<h 時, 找不到 點 無解 ( 如圖一 ) a=h 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖二 ) h<a<b 時, 有兩個 點 有兩解 ( 如圖三 ) b a 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖四 ) ( ) 為鈍角時, 頂點 到 X 的距離 =b a b 時, 找不到 點 無解 ( 如圖五 ) a>b 時, 找到唯一一點 恰有一解 ( 如圖六 ) b h a b h a 圖一 X 圖二 X b h a b h a 圖三 X 圖四 X a b a b 圖五 X 圖六 X ~ 三角一 -3~
4 (b) 三角形面積 : 三角形 的面積 = 1 底 高 () 測量問題 : (a) 名詞解釋 : = 1 bcsin(1 兩邊乘積 夾角的正弦值 ) = s( s a)( s b)( s c) s= 周長之半 = abc R (R 為三角形 外接圓的半徑 ) =r s (r 為三角形 內切圓的半徑 ) 鉛直線 : 通過地球球心的直線 水平線 : 垂直鉛直線的直線 測物線 : 眼睛與觀測物所成之直線 仰角 : 測物線與水平線之夾角, 此時觀測物在水平線之上方 俯角 : 測物線與水平線之夾角, 此時觀測物在水平線之下方 (b) 解題原則 : 一遇直角三角形, 最大要訣 以三角函數值表示幾何量 對邊 (a)= 斜邊 (c) 對角的正弦值 (sin) = 鄰邊 (b) 對角的正切值 (tan) 鄰邊 (b)= 斜邊 (c) 對角的餘弦值 (cos) = 對邊 (a) 對角的餘切值 (cot) 若為任意三角形已知一邊二角 ( 角比邊多 ) 用正弦定理已知二邊一角 ( 邊比角多 ) 用餘弦定理 立體測量 : 處理立體測量的問題時, 通常將要求出的量 ( 塔高 山高 距離..) 與題目所給的條件 ( 方位 距離 仰角 俯角 ), 通通轉化成一個三角形的邊長或內角, 然後就可將立體的問題化成平面三角形的問題, 此時正餘弦等在三角形上解決邊角問題的技巧就可以派上用場 ~ 三角一 -~
5 貳 精選範例 一 廣義角三角函數 [ 例題 1] ( 基本定義 ) 若角 θ 位於標準位置, 其終邊與單位圓 ( 圓心為原點 ) 之交點 P 的坐標 (x, 1 ), 則下列何者恆成立?()x= 3 ()sinθ = 1 ()cosθ = 3 ()cscθ = (E)tanθ = 1 3 [ 答案 ]:()() () 因為 P(x, 1 ) 在單位圓上, x +( 1 ) =1 x= ± 3 () sinθ= 1 ()cosθ=± 3 ()cscθ= 1 sinθ 故選 ()() = (E) tanθ =sinθ cosθ =± 1 3 [ 例題 ] ( 用線段表示三角函數 ) 在坐標平面上以原點 O 為圓心,1 為半徑畫一圓, 交 x 軸正向於 點,y 軸正向於 點, 再畫一直線 L 過原點並交圓 O 於, / 兩點 過 點與 點作圓的切線, 分別交直線 L 於 點與 E 點並自 點作 x 軸的垂線交 x 軸於 F 點, 設 O=θ(0 <θ<90 ) (1) 試在上圖中分別找出長度等於 sinθ,cosθ,tanθ,secθ 的單一線段長 () 試比較 sinθ,tanθ,secθ 的大小 (3) 試比較 sinθ cosθ 的大小 [ 答案 ]: / y O θ F E x L (1)sinθ= F,cosθ= OF,tanθ=,secθ= O()sinθ <tanθ <secθ (3)0<θ<5,cosθ >sinθ ;5 <θ <90,sinθ >cosθ (1) 在直角 OF 中,sinθ= F O = F,cosθ = OF O = OF 在直角 O 中,tanθ = O =,secθ= O O = O () 由圖形可知 F < < O sinθ <tanθ <secθ y θ=5 y θ=5 O F x O F x ~ 三角一 -5~
6 (3) 由前面的圖形可知 0<θ<5, OF> F cosθ >sinθ 5 <θ <90, F > OF sinθ >cosθ [ 例題 3] ( 三角函數的化簡 ) o 若 cos( 100 )=k, 則以 k 表示 csc( 1360 ) =? 1 [ 答案 ]: 1 k cos( 100 )=cos100 = cos80 =k cos80 = k csc( 1360 )=csc( )=csc80 = 1 sin80 = 1 1 k [ 例題 ] ( 三角函數的關係 ) 設 0 <θ<90, 若 sinθ cosθ = 1 5, 則下列敘述何者正確? ()sinθ cosθ = 1 5 (E)cosθ= 3 5 [ 答案 ]:()()()()(E) ()tanθ +cotθ =5 1 ()sinθ +cosθ =7 5 ()sinθ= 5 ()(sinθ cosθ) =sin θ+cos θ sinθcosθ =1 sinθ cosθ sinθ cosθ = 1 5 ()tanθ +cotθ = sinθ cosθ + cosθ sinθ =sin θ+cos θ cosθsinθ = 1 sinθ cosθ =5 1 () (sinθ+cosθ) =sin θ+cos θ+sinθcosθ =1+sinθ cosθ= 9 5 因為 θ 為銳角, 所以 sinθ +cosθ = 7 5 ()(E)Q sinθ cosθ = 1 5,sinθ +cosθ =7 5 sinθ 5,cosθ =3 5 [ 注意 ]: 根據 (sinθ±cosθ) 1 =1±sinθcosθ,tanθ +cotθ= sinθ cosθ 可知 sinθ ±cosθ,sinθ cosθ,tanθ +cotθ 這三個式子, 已知一個就可以求得其他各個式子的值 ~ 三角一 -6~
7 ( 練習 1) 化簡下列各小題的值 : (1)sin60 cos150 cos5 sin( 315 )+tan300 sec( 180 )= ()cos( 960 )+tan(585 )+sin( 100 )= 1+ [ 答案 ]:(1) 3 () 1+ 3 ( 練習 ) 右圖為一圓心在原點的單位圓, 則圓弧上一點 P 的坐標為? () (cosθ,sinθ) ()(cosθ, sinθ) () ( cosθ,sinθ) () ( cosθ, sinθ) (E)( sinθ,cosθ) [ 答案 ]::() y O ( 練習 3) 設 tan0 =k, 試求 sec50 = [ 答案 ]: k +1 k P θ x ( 練習 ) 設 θ 為銳角,sinθ+cosθ= 7, 請計算下列各小題的值 : (1)sinθ cosθ ()sinθ cosθ (3)tanθ +cotθ [ 答案 ]:(1) 3 8 () ±1 (3)8 3 二 三角函數在平面幾何上的應用 [ 例題 5] ( 正餘弦公式的應用 ) 中, 三邊長上的高為 h a =6,h b =,h c =3, 求 (1)sin:sin:sin=? () 最大角的餘弦值 (3) 的面積 [ 答案 ]:(1):3: () 1 (3) (1)Q 1 ah a= 1 bh b= 1 ch c= 面積 a:b:c= 1 h a : 1 h c : 1 h c = 1 6 :1 :1 3 =:3: 根據正弦定理 sin:sin:sin=a:b:c=:3: () 最大邊 c 對應最大角 = +3 3 cos cos= 1 (3) 設 a=k,b=3k,c=k ~ 三角一 -7~
8 Qcos= 1 sin= 15 1 (k)(3k) 15 = 面積 = 1 k 3 k= 面積 = 5 [ 例題 6] ( 餘弦公式的應用 ) R 如右圖, 若 = =10, P = R=9, P = Q=7, = RP PQ=90, (a) 請計算 cos( P)=? (b) PQR 的面積 =? [ 答案 ]:(a) 5 9 (b)35 (93 建中幾何期中考 ) P R Q (a) 連接,Q = =10, =90 =10 在 P 中使用餘弦公式 = P + P P P cos( P) cos( P)= 5 9 P Q (b) 設 RPQ=θ,Q RP= PQ=90, P = R, P = Q θ+90 = P sinθ =sin( P 90 )= cos( P)= 5 9 PQR 的面積 = 1 1 PR PQ sinθ= =35 [ 例題 7] ( 三角形的中線定理 ) 三角形 中, 設 =c,=a,=b, 為 之中點, 試證 : + = + 1 [ 證明 ]: ( 想法 ): 考慮兩個三角形, 其中這兩個三角形的內角互補或相等, 在這兩個三角形中使用餘弦定理, 去求出要求的邊長 令 =x 令 =θ =π θ 在 中使用餘弦公式 c =x +( a ) x ( a )cosθ. θ π θ ~ 三角一 -8~
9 在 中使用餘弦公式 b =x +( a ) x ( a )cos(π θ). 因為 cos(π θ)= cosθ + b +c =x + a 故 + = + 1 [ 例題 8] 如右圖, =5, =, =, 在 上, 且 =1, =3 試求 =? [ 答案 ]: 79 ( 想法 ): 考慮兩個三角形, 其中這兩個三角形的內角互補或相等, 在這兩個三角形中使用餘弦定理, 去求出要求的邊長 令 =x, =θ, =180 θ 在 中使用餘弦公式 5 =x +1 x 1 cosθ =x xcosθ. 在 中使用餘弦公式 =x +3 x 3 cos(180 θ) 7=x 6x( cosθ) =x x = x= 1 5 x θ 180 θ 3 [ 例題 9] 中, 之內角平分線交 於, =3, =6, =10, 則 = ; = [ 答案 ]:; 7 令 =x 利用 + = 的關係求出 1 sin sin60 = 1 sin x 3 +1 x 6 3 = x= 在 中, = + cos60 ~ 三角一 -9~
10 = +6 6 ( 1 ) =8 = 7 ( 練習 5) 設 a,b,c 為 的三邊長且滿足 (a b+c) +(3a+b c) =0, 若 θ 為 的最大內角, 求 cosθ = [ 答案 ]: 1 ( 練習 6) 在 中已知 sin:sin:sin= :5:7, 則求 cos =?sin=? [ 答案 ]: ( 練習 7) 中, 設 a=3,b=,tan= 3, 求 c=? 7 [ 答案 ]: 5 或 5 ( 練習 8) 已知 之三邊長分別為,6,8, 則 (1) 的面積 =?() 邊長 6 所對應的高 =? (3) 的內切圓半徑 =?() 的外接圓半徑 =? [ 答案 ]:(1)3 15 () 15 (3) () 15 ( 練習 9) 若 為一平行四邊形, 請利用三角形的中線定理去證明 : + =( + ) ( 練習 10) 設 為直角三角形,EF 是以 為一邊向外作出的正方形,G 是以 為一邊向外作出的正方形, 若 =5 = =3, 試求 (1)cos( E) () E 的面積 [ 答案 ]:(a) 3 5 (b)6 F E G ~ 三角一 -10~
11 ( 練習 11) 已知圓內接四邊形 的各邊長為 =1, =, =3, =, 則 (1) =? ()sin =? (3) 的面積 [ 答案 ]:(1) 55 7 () 6 7 (3) ( 練習 1) 中, =75, = 6, =, 在 上且 =30, 求 =? [ 答案 ]: 6 三 三角測量的問題 [ 例題 10] 設有一湖, 欲測湖岸兩點 長, 但湖岸築有鐵絲網不能靠近, 在鐵絲網外取, 兩點間距離為 30 公尺, 分別自, 可看到其餘三點,, 或,,, 因而測得如圖, =10, =135, =30, =5, 則 長為 公尺 [ 答案 ]:30( 6+ ) Q =10, =135, =30, =5, = =90, =15, =15,,, 四點共圓 與 的外接圓半徑相同 令 =x, 在 與 中根據正弦公式 x =R= 30 sin90 sin15 x=30( 6+ ) [ 例題 11] 如圖,, 兩點分別位於一河口的兩岸邊 某人在通往 點的筆直公路上, 距離 點 50 公尺的 點與距離 點 00 公尺的 點, 分別測得 =60, =30, 則 與 的距離為 公尺 [ 答案 ]:50 7 公尺 Q = + =30 = =150 令 =x 公尺, 在 中使用餘弦公式 ~ 三角一 -11~
12 x = cos60 x=50 7 [ 例題 1] ( 立體測量 ) 自塔之東一點, 測得塔頂之仰角為 5 ; 在塔之南 60 東一點, 測得塔頂之仰角為 30 設 兩點相距 1000 公尺, 則塔高為公尺 [ 答案 ]:1000 公尺 ( 想法 ): 令塔高 O 為 h 公尺, 利用銳角三角函數的定義, W 將 O O 與 h 連上關係, 然後於 O 中利用餘弦公式, 解出 h O N Q塔之東一點, 測得塔頂之仰角為 5 O=h Q塔之南 60 東一點, 測得塔頂之仰角為 30 O=hcot30 = 3h S E 在 O 中, O=30 ( 在東, 在南 60 東 ), =1000 = O + O O O cos =h +( 3h) h 3h cos30 h=1000 [ 例題 13] 一直線上三點 E 測得山頂 點之仰角分別為 ( 但 E 三點與山頂之垂足 點不共線 ), 若 =600 公尺, E=00 公尺, 則山高為多少公尺? [ 答案 ]:00 15 公尺 ( 想法 ): 令山高 為 h 公尺, 利用銳角三角函數的定義, 將 E 用 h 來表示, 於 E 中利用餘弦公式解出 h Q E 測得山頂之仰角分別為 =hcot30 = 3h, =hcot5 =h, E=hcot60 = 如右圖, 令 =θ, 則在 E 中 ( 3h) =h +(600) h 600 cosθ ( h 3 ) = h +(00) h 00 cos(180 θ) h h 5 E h 60 h 3 h =(600) 100hcosθ ~ 三角一 -1~ θ θ 00 E
13 3 h = (00) +800hcosθ h=00 15 P 6 Q ( 練習 13) 如圖所示, 設 =30, 1=60, =5, 5 3=30, =60, 求 PQ [ 答案 ]: ( 練習 1) 氣象局測出在 0 小時期間, 颱風中心的位置由恆春東南方 00 公里直線移動到恆春南 15 西的 00 公里處, 試求颱風移動的平均速度 ( 整數以下, 四捨五入 ) (89 學科能力測驗能力測驗 ) [ 答案 ]: 17 公里 / 時 ( 練習 15) 某人隔河測一山高, 在 點觀測山時, 山的方位為東偏北 60, 山頂的仰角為 5, 某人自 點向東行 600 公尺到達 點, 山的方位變成在西偏北 60, 則山高公尺 (91 學科能力測驗能力測驗 ) [ 答案 ]:600 公尺 ( 練習 16) 自地面上共線的相異三點,, 測得一山頂 E 點的仰角分別為 30, 5,60 若點 介於, 之間且 =00 公尺, =100 公尺, 並且山腳與三點,, 不共線, 試求山高 [ 答案 ]:300 公尺 E ~ 三角一 -13~
14 叁 綜合練習 () 學科能力測驗 聯考試題試題觀摩 1. 如右圖, 單位圓 O 與 y 軸交於, 兩點 角 θ 的頂點為原點, 始邊在 x 軸的正向上, 終邊為 O, 直線 垂直於 y 軸且與 角 θ 的終邊交於 點, 則下列那一個函數值為? () sinθ () cosθ () tanθ () cotθ (E) secθ (86 大學聯考社會組 ). 設 中 =60, =b, 1 =c, 今在 上取一點 使得 = 3, 令 s=, 則 s = () 1 9 (b +c +bc) () 1 9 (b +c +bc) () 1 9 (b +c bc) () 1 9 (b +c +bc) (E) 1 9 (b +c bc) (87 大學聯考自然組 ) O y θ x 3. 已知四邊形 中, =8, =8, =3 且 = =60 試求 之長 (89 大學聯考社會組 ). 設 H 為銳角三角形 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表示線段 之長, 則 H 之長等於 ()c cos sin ()c cos cos ()c cos tan ()c cos sec (E)c cos csc (89 大學聯考自然組 ) 5. 平面上有 三點 已知 之間的距離是 00 公尺, 之間的距離是 1500 公尺, 等於 60 請問 之間距離的最佳近似值是哪一個選項? (1) 1500 公尺 () 1600 公尺 (3) 1700 公尺 () 1800 公尺 (9 指定考科甲 ) 6. 如圖所示的立體示意圖, 線段 垂直於過,,E 這三點的平面 設 = =10, =15, E=30, =α, =β, E=α /, E=β /, 試問下列何者為真? ()α=β ()α=α / +β / ()α=α / ()α+β> π 3 (E)α/ +β / < π 6 10 (9 指定考科乙 ) β 10 α β / α / E ~ 三角一 -1~
15 7. 如圖, = θ, = = 90, = a, = b, 下列選項合者可以表示? (1) a sinθ + bcosθ () asinθ bcosθ (3) a cosθ bsinθ () a cosθ + bsinθ (5) a sinθ + b tanθ (93 指定考科乙 ) 8. 如圖所示 中, 為邊 上一點, 且 = =5, =, =, =a, 則 a = (9 指定考科乙 ) a 9. 旗竿頂端的仰角為 15 在底端連線段中的另一點測得 旗竿頂端的仰角為 6, 旗竿頂端的仰角為 19, 則 旗竿高度和 旗竿高度的比值約為 ( 四捨五入到小數點後第一位 ) (98 指定考科甲 ) 一汽船在湖上沿直線前進, 有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50, 距離為 00 公尺, 一分鐘後, 於原地再測, 知汽艇到正前方偏右 70, 距離 300 公尺, 那麼汽艇在這一分鐘內行駛了公尺 (8 學科能力測驗 ) 11. 在 中, 已知 =60,=3000 公尺,=000 公尺, 則 = 度 ( 度 以下四捨五入 ) 3 =1.73, 7 =.66, 1 =.583 (88 學科能力測驗 ) ( 要利用三角函數表 ) 1. 若 sinx= 3 5,π <x<π, 則下列選項何者為真? ()cosx= 5 ()tanx=3 ()cotx= 3 ()secx= 5 (E)cscx= 5 3 (90 學科能力測驗 ) 13. 有一等腰三角形底邊為 10, 頂角 7 下列何者可以表示腰長? () 5 sin 36 () 5 tan 36 () 5 cot 36 () 5 sec 36 (E) 5 csc 36 (89 學科能力測驗 ) 1. 在坐標平面的 x 軸上有 (,0),(,0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 5 點, 測得 及 之值後, 通知在 (, 8) 的砲台此兩個角的正切值分別 ~ 三角一 -15~
16 8 8 為 9 及 3 那麼砲台 至目標 的距離為 (90 學科能力測驗 ) 15. 在 中,M 為 邊之中點, 若 =3, =5, 且 =10, 則 tan M= (96 學科能力測驗 ) 16. 假設甲 乙 丙三鎮兩兩之間的距離皆為 0 公里, 兩條筆直的公路交於丁鎮, 其中之一通過甲 乙兩鎮而另一通過丙鎮 今在一比例精確的地圖上量得兩公路的夾角為 5, 則丙 丁兩鎮間的距離約為 (1).5 公里 () 5 公里 (3) 5.5 公里 () 6 公里 (5) 6.5 公里 (98 學科能力測驗 ) 17. 在 中, = 10, = 9, cos = 3 8 設點 P Q 分別在 上 使得 PQ 之面積為 面積之一半, 則 PQ 最小可能值為 (98 學科能力測驗 ) () 重要問題觀摩 18. 若 5 <x<90,a=log 0.5 sinx,b=log 0.5 cosx,c=log 0.5 1,d=log 0.5 tanx, 則比較 a,b,c,d 的大小為 19. 之三邊長為 a,b,c, 外接圓半徑為 R 假設 a,b,c 均小於 R, 則此三角形為 () 銳角三角形 () 直角三角形 () 鈍角三角形 () 正三角形 (E) 無法判斷 (91 北區指定考科模擬考 ) 0. 已知一三角形的二高長分別為 與 1, 若第三高之長為 h, 則 ()<h<5 ()3<h<6 ()<h<8 ()3<h<5 (E)5<h<9 (91 雄中模擬考 ) 1. 右圖中, 中,=9,=8,=7, 若 之內切圓切 於, 求 =? E F.,, 三地兩兩相距 1 公里 甲從 地出發走向 地, 在同一時間乙從 地出發走向 地, 已知甲速度為乙速度的 倍, 試求甲 乙兩人間的最短距離 3. 如圖, 設每一小格皆為正方形, 求 cosθ=? θ ~ 三角一 -16~
17 . 設圓內接四邊形 中 = 30, =5, =, 則 = 5. 設 =60,P 為其內部一點且 P =10, 又 P 對於 的對稱點分別為 Q R, 則 QR=? 6. 設凸四邊形 之對角線 =p,=q, 兩對角線之交角為 θ (a) 試證 : 凸四邊形 之面積 = 1 pq sinθ (b) 若 +=10, 則凸四邊形 面積之最大值為何? 7. 如圖, 設 之內切圓半徑為 r, 外接圓半徑為 R, PQR 的面積內切圓切三邊於 P,Q,R, 則證明 = r 的面積 R R I Q 8. 利用下面的三角函數值表, 求 sin( / )= P θ 10 / 0 / 30 / 0 / sinθ cosθ ~ 三角一 -17~
18 1. [ 答案 ]:() 肆 綜合練習解答 O=θ 90, =tan(θ 90 )= cotθ= cotθ. [ 答案 ]:() 如圖, 令 =θ, =180 θ 在 與 中使用餘弦公式 c =s +( a 3 ) s a 3 cosθ b =s +( a 3 ) s a 3 cos(180 θ). + s = 1 9 (3b +6c a ) 又因為 a =b +c bccos60 a =b +c bc 代入上式 s = 1 9 (b +c +bc), 故選 () 3. [ 答案 ]:3 或 5 在 與 中使用餘弦公式 8 +x 8 x cos60 = = cos60 x=3 或 5 H θ E. [ 答案 ]:(E) 如圖,H=E secθ=e sec(90 )=E csc= c cos csc 5. [ 答案 ]:() 令 =100x, 在 中使用餘弦公式 1500 =(100x) x 00 cos60 x x 1=0 x= 約為 1600 公尺 6. [ 答案 ]:() () 中線不一定是角平分線 ()tanα= = 3,tan(α/ +β / )= 0 30 = 3 α=α/ +β / ~ 三角一 -18~
19 ()tanα= 3,tanα/ = = 1 3,tanα/ = tanα/ 1 tan α / = 3 α α / ()tan(α+β)= 0 15 = 3 < 3 α+β<π 3 (E)tan(α / +β / )= 3 > 1 3 α/ +β / > π 6 7. [ 答案 ]:() π θ = a sin( π θ ) + b cos( π θ ) = a sinθ b cosθ π θ 8. [ 答案 ]: 9 在 與 中使用餘弦公式 +5 5 = cos= 5 +(+a) 5 5 (+a) 13 = a +a+ +a a= 9 9. [ 答案 ]:3. 3 設 旗竿高度為 a; 旗竿高度為 b; 兩支旗竿底端距離為 d, 則 d = a cot 9 + b cot 15 = a cot 6 + b cot 19 a( cot 6 cot 9 ) = b( cot 15 cot 19 ), 即 a( ) = b( ) 0.5a = 0.83b a=3.3b, 故 旗竿高度和 旗竿高度的比值約為 3.3 θ 10. [ 答案 ]: 如圖, 令 =100x 公尺 x = +3 3 cos10 x= 19 = O [ 答案 ]:1 在 中使用餘弦 正弦公式, 令 =1000x 公尺 x =3 + 3 cos60 x= 7 = 公尺 又 sin60 = 000 sin sin= =1 ( 用三角函數表 ) 1. [ 答案 ]:()()(E) ~ 三角一 -19~
20 π <x<π,x 為第二象限角, 且 sinx= 3 5 cosx= 5,tanx= 3,cotx= 3,secx= 5,cscx= [ 答案 ]:(E) (m,n) 設腰長為 l, 5 l = cos5 l=5sec5 =5csc36 1. [ 答案 ]:13 如圖, 設 (m,n),tan( )= E E =8 9, tan( )= E E = 8 3 E:E=3:1 E=3 E( 5,0) E= ( 5,) =13 (,0) E O(0,0) (.0) 15. [ 答案 ]:5 3 利用坐標化方法 設 (0,0), (3,0), ( 5cos10,5sin10 ) = (, ) ( ) M 之坐標為 (, ) = (, ) m M = = 5 3, m = = m M m 故 tan M = = = m m M 16. [ 答案 ]:(1) 依照題意可作圖如右 : 假設丙丁之間的距離為 x, 則由正弦定理有 x 0 3 =, 故 x = , 即最接近.5 公里 sin10 sin 5 5 M [ 答案 ]: 因為 PQ 與 共用一個, 這兩個三角形的面積比為其共角夾邊的乘積 3 ( 5, 8) ~ 三角一 -0~
21 1 比, 即欲使 PQ 之面積為 面積之一半, 則須 P Q = = 5 假設 x = P, y = Q, t = PQ PQ 中, t = x + y xy cos 因為 x + y xy = 90, 所以, t 90 = t 18. [ 答案 ]:b>a>c>d Q 5 <x<90 cosx<sinx<1<tanx, 又 Qy=log 0.5 x 為遞減函數 b>a>c>d 19. [ 答案 ]:() 因為 a,b,c<r, 由正弦公式 a sin = b sin = c sin =R sin= a R < R R =1,sin<1,sin<1 在 (0, π 6 ) 或 ( 5π 6,π), 且 + + =π 若 在 (0, π 6 ), 則 + + <π 所以 恰一在 ( 5π 6,π), 為鈍角三角形 0. [ 答案 ]:() 1 三角形三邊之比為 h <1 h < <h<6 1. [ 答案 ]: 6 設 E=F=x,E==y,=F=z x + y = 9 y + z = 8 x=,y=5,z=3 z + x = 7 令 =a, 在 與 中使用餘弦公式 9 +5 a = cos = a= [ 答案 ]: 1 公里 ~ 三角一 -1~
22 如圖, 設甲乙兩人的距離為 l, 設乙從 走了 x 公里 Q甲速度為乙速度的 倍, 甲走了 x 公里利用餘弦公式 l =(1 x) +x x (1 x)cos60 =7x 70x+196 =7(x 5) +1 當 x=5 時,l 的最小值為 1 x 1 x 甲 x 乙 3. [ 答案 ]: 連, = 3 +1= 10, = +1= 5 = +3 =5 θ 在 中使用餘弦公式 = + cosθ cosθ=. [ 答案 ]: Q四邊形 為圓內接四邊形 與 內接圓相同 利用正弦公式 = R = sin30 sin5 = 5. [ 答案 ]:10 3 Q P QP 對於 的對稱點分別為 Q R P= Q, P= R,Q=P=10,R=P=10 RQ= =10 在 RQ 中使用餘弦公式 RQ = cos10 RQ= [ 答案 ]: 50 令 E=θ (a) 面積 = + R = 1 F= 1 q Esinθ ~ 三角一 -~
23 = 1 G= 1 q E sinθ 面積 = + =( 1 q Esinθ)+( 1 q E sinθ) = 1 q ( E+ E)sinθ= 1 q sinθ = 1 pq sinθ F E G (b) 利用 pq 1 (p+q), 且 p+q=10 四邊形 之面積 = 1 pq sinθ 1 8 (p+q) sinθ= 50 sinθ 等號成立 p=q=5, 且 sinθ =1 50 所以四邊形 之面積的最大值為 7. 如圖, PQR= RQI+ RPI+ PQI = 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 )+ 1 r sin(180 ) = 1 r (sin+sin+sin) = 1 R r (a+b+c)= r s R, 又 =rs PQR 的面積 = r 的面積 R R P I Q 8. [ 答案 ]: sin( / )=sin(13 37 / )=sin7 3 / =cos 37 /, 令 cos 37 / =x 由三角函數值表 cos 30 / =0.7373,cos 0 / = 根據內插法 7 10 = x x= ~ 三角一 -3~
3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係 在 中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長 邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c 第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
<4D F736F F D20312D31AABDA8A4A454A8A4A7CEAABAC3E4A8A4C3F6AB595FADD7A7EF5F2E646F63>
第一章三角 直角三角形的邊角關係 ( 甲 ) 正弦 餘弦與正切的定義 相似三角形其三邊長的比都是定值, 若是將相似的直角三角形擺放如右圖, 並且讓相同的內角 重疊, 只要 固定, 則這些直角三角形三邊長的比例是固定的 即 給定一銳角, 因為直角 ~ ~ ~, 所以 = =... 故上述的比值只受 的大小影響 θ 換句話說當銳角 的度數固定時, 作直角 ( 為直角 ), 那麼所作的三 角形, 其邊長大小不論如何改變,
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
trigonometry_1.dvi
https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 8 三角 8. 直角三角形的邊角關係 銳角三角函數定義 : 直角三角形中 ; 對應角的對邊 鄰邊與斜邊邊長的比值關係 共有正弦 (sine) 餘 弦 (co-sine) 正切 (tangent) 餘切 (co-tangent) 正割 (secant) 與餘割 (co-secant) 六個比 例關係 若直角三角形
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
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1 5 三角測量現實生活中涉及的測量問題很多, 如測量河寬 山高等 往往由於地形條件的限制, 有一些數據不容易被直接測量, 這時就需要利用一些容易測量到的數據, 並透過 正弦定理 與 餘弦定理 加以計算, 求出 不易被測量的數據 不過三角測量所用到的角度, 並不一定都是特別角 30,45 或 60, 而這些非特別角的正弦 餘弦與正切, 雖然有些可利用和角 差角 倍角或半角等公式求出來, 但大部分並非可經由這樣的計算得到的,
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 cotα + cot β ( ). cot(α β)? (A) cotα cot β cotα cot β (E). cotα + cot β cotα cot β (B) cotα cot β cotα cot β + (C) cotα cot β cotα cot β + (D) cot β cotα D ( α β ) α β + sinα sin β cotα cot β + cot(α
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 ( ). ABC 中, a, b, c,則面積為: (A) A b cosa + c a bc + ( ).. sina (B) cos A (C) ( ) (D) (E). ABC 面積 bcsina ( ). ABC 中, a, b, c,則外接圓半徑為: (A) B (B) (C) (D) (E). 承上題,已知 sina 外接圓半徑 R a sin A ( ). 下列各組數,何者可為一個銳角三角形三邊長?
第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
目 次
第 章 三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 1 - 三角函數的基本關係 10-3 簡易測量與三角函數值表 17-4 廣義角的三角函數 8-5 正弦定理與餘弦定理 46-6 基本三角測量 60 附表一附表二 希臘字母表 63 三角函數值表 64 一 銳角三角函數值的定義 第二章三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 : 給定一銳角 θ, 作 =θ, 在 的其中一邊上任選一點 ( 不能是 點 ),
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
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101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
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第十九單元反三角函數 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 () g(y), 設,y 分別是 () g(y) 定義域內任意元素, 如果 g(())= 且 (g(y))=y 則稱 () 與 g(y) 互為反函數,() 的反函數記為 1 (), 即 g()= 1 () 此時 () g() 的定義域與值域互換, 即 () 的定義域為 1 () 的值域,() 的值域為 1 () 的定義域
例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x) x = a x = a 2
y = x x = 0 y 2 0 2 x Figure : y = x f x) x = a f x) x = a f a) dy dx x=a f a) x a f x) f a) x a f a + ) f a) f x) x = a f x) x = a y = x x = 0 例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x)
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第一章三角 第一章三角. 直角三角形邊的比例 : 設有一直角 - 直角三角形的邊角關係 乁重點整理乁 Δ ABC, 則與 Δ ABC 相似的任一直角三角形之兩邊的比值會等於 Δ ABC 對應的兩邊比值, 即此值與三角形的大小無關. 設直角 Δ ABC 中, C = 90, A 的對邊長為 a, a 鄰邊長為 b, 斜邊長為 c, 則為一定值, 此定值 c 稱為 b A 的正弦 (sine), 記作
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
三角函數與複數 一 有向角及其角度每一個角是由共有一端點的兩條射線所構成, 此兩射線稱為此角的兩邊, 而它們共有之端點稱為此角的頂點 一個有向角 A 的兩邊中, 有一邊稱為始邊, 另一邊稱為終邊 若由 A 的始邊繞頂點旋轉至終邊的方向是逆時針方向, 則稱 A 為正角, 若為順時針方向, 則稱 A 為
三角函數與複數 一 有向角及其角度每一個角是由共有一端點的兩條射線所構成, 此兩射線稱為此角的兩邊, 而它們共有之端點稱為此角的頂點 一個有向角 A 的兩邊中, 有一邊稱為始邊, 另一邊稱為終邊 若由 A 的始邊繞頂點旋轉至終邊的方向是逆時針方向, 則稱 A 為正角, 若為順時針方向, 則稱 A 為負角 習慣上, 若無特別指明, 我們將以直角座標平面的原點為任一有向角的頂點, 且以 x 軸的正向為任一有向角的始邊
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向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十六單元 向量的應用 ( 甲 ) 分點公式與共線的條件 (1) 本節所要使用的基本知識 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a.
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
99math3.dvi
國立新營高中 99 課綱數學科自我學習要點 習題手冊 範圍 : 數學第三冊三角學 直線與圓 平面向量 高 二 : 班 號 學 生 : 指導教師 : 鄭國順 老師 參考版本 : 南一, 翰林, 龍騰版 新營高中鄭國順編版本修訂 :01 年 7 月 3 日 目 次 1 三角 1 1.1 直角三角形的邊角關係............. 1 1. 廣義角與極坐標................ 4 1.3
trigonometry_2_B.dvi
https://sites.google.com/site/hsh4math 高中數學講義 三角函數. 弧度 弧長 弧度制的度數 θ : 半徑為 r 的圓 O, 在圓周上取一段弧長 PQ= r, 則 PQ 所對應的圓心角 POQ 為 弧度 單位圓圓心角 90 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位 即弧度 80 ; 0 弧度 80 ; 80 弧度 = ( 80 ) 57.95
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
週次 期間或備註四3/3 3/7 3/10 3/1 8-s-01 8-s-02 8-s-20 8-s-21 8-s-01 8-s-02 8-s-06 8-s-1 8-s-20 8-s 生活中的平面圖形 2-1 生活中的平面圖形 2-2 垂直 平分與線對稱圖形 1. 能了解生活中的平面圖
台南市私立瀛海中學 102 學年度第二學期二年級 數學 學習領域課程計畫 一 二年級下學期之學習目標 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積 5. 了解三角形的基本性質 : 內角與外角 內角和與外角和 ( 推導至多邊形 ) 全等性質
標題
旋轉坐標軸 ( 甲 ) 轉軸公式考慮一個以點 F(,) 為焦點, 以直線 L:+=0 為準線的拋物線 Γ 方程式是 Γ : ( ) +( ) = +..(*), (*) 式平方後可化成 Γ: + 8 8+6=0 (**), 但是從 (**) 很難辨識它是一條拋物線, 是否可以利用適當的坐標變換, 來辨識 (**) 式為一條拋物線 我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點與軸垂直的直線, 則此拋物線就成為一條開口向上的拋物線,
C3特教班學習領域課程計畫
臺南市 ( 安平 ) 國民中學 (103) 學年度第 ( 二 ) 學期學習中心學習課程計畫表 組別 : 二 A 教學者 : 王聰榮 每周教學節數 :3 數學 8-n-05-1 能辨識出等差數列的公差 8-n-05-2 能熟練計算出簡單數列的等差中項 8-n-05-3 能熟練使用等差數列的標準公式, 計算出等差數列的一般項 8-n-06-1 能解釋出等差級數為等差數列的總和 8-n-06-2 能熟練等差級數的標準公式
第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c
Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ
一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0
一 單選題 ( 第 1~ 題每題 0 分 ) 1. 已知 5.61, 若 0 < θ < 90,tanθ cosθ, 利用三角函數值表, 則下列 何者與角 θ 最接近? (A) 7 50 (B) 8 (C) 8 10 (D) 8 0 (E) 8 0 解答 (C) 由 tanθ cosθ sinθ cos θ > 0 sin θ + sinθ 1 0 sinθ 1± 5 1 + 5 1+.61 取 sinθ
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
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學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
和的公式 3. 能理解等差級數求和的公式. 能利用等差級數公式解決日常生活中的問題 能解決生活中相關的問題 性平教育 討論. 作業 二親師座談會 3/5-3/9 2-1 生活中的平面圖形 1. 能了解生活中的平面圖形 : 三角形 多邊形 正多邊形及圓形 2. 能認識點 線 線段 射線 角 三角形及其
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 106 學年度第 2 學期 年級學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書版本 : 翰林版 編撰教師 : 鄭宛尹 吳奈曄 洪梅君 本學期 : (以條列式文字敘述) 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積
(3) ˉ( 甲 )ˉ (4) 故 AD BC 請問甲應填入下列何者, 可得完整的證明? (A) 1= 2 (B) AD BC, 1= 2=90 (C) B= C, 1= 2 (D) 1= 2, 又 1+ 2=180, 1= 2=90 6. ( ) ABC 中, AD 垂直平分 BC, 且交 BC
第三章 : 幾何與證明第一節 : 證明與推理一 選擇 1. ( ) 如圖, 已知 AD = BC, 1= 2, 則下列推論何者錯誤? (A) AB =CD (B) AO =OC (C) B= D=45 (D) BAC DCA 2. ( ) 老師問 : 在 ABC 和 DEF 中, 若 AC = DF,BC = EF, 如果要證明 ABC DEF 應該要加上哪一個條件? 甲生說 : AB = DE 乙生說
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試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y
一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行 軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 :
林園高中107學年度第二學期領域一年級課程計畫
高雄市立林園高中 ( 國中部 )107 學年度第二學期二年級數學學習領域課程計畫 一 教材來源 : 選用 ( 康軒版 ) 請填寫新學年度版本 二 教學節數 : 每週 ( 4 ) 節, 學期共 ( 80 ) 節 學期以 20 週計, 請配合教學進度表每週節數及表格最下方總節數填寫 三 各單元內涵分析 週次實施期間學校重要行事單元活動主題單元學習目標 預備週 1 02/11-02/15 2/11 第二學期開學日
三角函數二
三角函數 sin sin cos cos ( α + β ) ( α β ) ( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = sinα cos β cosα sin β = cosα cos β sinα sin β ( α β ) = cosα cos β + sinα sin β tanθ tan sin θ =, cosθ = + tan θ + tan θ θ 姓名
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試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d
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- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
Microsoft Word - 3-1平隢咂é⁄‘çı—醉箊(ä¿®æfl¹).docx
第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數 多項式 : 餘式定理 因式定理 多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx
定理 3. 內接於同一圓的三角形序列 A B C, A 3 B 3 C 3,..., A n B n C n,..., 在 A n B n C n 中, 如下圖 設 A n, B n, C n 的對邊為 a n, b n, c n, 且 A n θ, B n nθ 則 a n a n 1, b n
1 n 倍角整數邊三角形與圓內接四邊形之探討 國立宜蘭高級中學郭家愷指導老師戴武郎 Abstract A triangle ABC is called a triangle with double angle, if B A. Similarly, a cyclic quadrilateral ABCD is called a cyclic quadrilateral with double angle
第二冊3-1三角函數的性質與應用-三角函數的圖形
(99 課綱 ) 選修數學甲上冊第二章三角函數 - 三角函數的性質及圖形 目標 首先認識弧度單位, 再以弧度定義正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割六個基本的三角函數, 熟習倒數關係 商數關係及平方關係 能作各函數的圖形, 並能將基本三角函數作平移 伸縮的變化 討論 在數學第三冊中曾討論過三角 首先, 當給定一銳角 時, 可在以 作為一內角的直角三角形中, 定義 的對邊長比斜邊長的比值為 的正弦, 記為
Slide 1
(III) 4. T,T T d l d T Q Q ~ T~, d~, k~ T d T Q k d T Q Q Q T a ~ T b ~ k ~ k ~ k T d T k T l T T k T d T a d l T T b a a b b T T k Q k, s h h d s + ) k, ( l d d T Q Q d T T k Q d T T Q ) ( + s d T T k
第一章
壹 重點整理 一 弧度與扇形周長與面積 (1) 弧度制 : 三角函數 ( 二 ) (a) 弧度量的定義 : 設有一圓, 圓心為 O, 半徑為 r 在圓周上取一段圓弧 PQ, 使得圓弧 PQ 的 長度等於 r, 規定這一段圓弧 PQ 所對的圓心角 POQ 就定義成 1 弧度 (b) 度與弧度之互換 : 設 x 弧度相當於 y, 因為 π 弧度相當於 180 x, 所以 π = y 180 1 π =
6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈, 當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半 例如下表中第二週成本上漲 00%, 所以第二週售價上漲 0% 依此定價方式以及下表的資訊, 試選出正確的選項? 當週成本 前週成本當週售價 前週售價 註: 成本漲跌幅,
07 年大學學科能力測驗數學科參考詳解 單一選擇題. 給定相異兩點 A B, 試問空間中能使 PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合為下列哪一選項? () 兩個點 () 一線段 () 一直線 (4) 一圓 () 一平面 解 若在坐標平面上, 滿足 PAB 為正三角形的 P 點應有兩點 P, P 則以 AB 中點 M 為中心, 在空間中, 將 P, P 以 AB 為旋轉軸繞 M 旋轉一圈的所有點均到
平面圖形.docx
平面圖形.docx1 平面圖形翰林版 ( 四 )2-1 1 平面幾何 幾何 : 源於 Geometry 一詞, 原為測量之意, 明朝時利瑪竇與徐光啟翻譯歐基里德的著作 幾何原本 後, 正式成為數學學科的名稱之一 ; 幾何學 主要在研究 空間 的各種性質, 如圖形的形狀 大小... 等等的學科 平面幾何 : 專門討論在平面上的圖形所相關的 性質理論等知識的數學稱為平面幾何 2 幾何基本元素 點 : 表示位置,
01.dvi
物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
<4D F736F F D20B2C43330B3E6A4B8A57EBF6EBB50A454B6A5A6E6A643A6A12E646F63>
( 甲 ) 空間向量的外積 第三十單元外積 體積與三階行列式 在物理學中, 設力 F 作用在位移 r 的終點上, 它的力矩定義為一個向量 M, 其大小 為 F r sinθ, 方向垂直 F 與 r, 且 M 與 r F 構成右手系, 符號寫成 : M r F 這樣的概念抽象化之後, 形成 外積 的定義 () 外積的定義 : F 設空間中兩向量 與 的外積為一個向量, 符號記為, 設空間中兩向量 與
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
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試題 空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線 空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
投稿類別 : 數學類 篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡 作者 : 藍崧文 國立武陵高中 高三 1 班 吳玟秀 國立武陵高中 高三 1 班 陳宗蔚 國立武陵高中 高三 1 班 指導老師 : 吳明霞老師
投稿類別 : 數學類 篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡 作者 : 藍崧文 國立武陵高中 高三 班 吳玟秀 國立武陵高中 高三 班 陳宗蔚 國立武陵高中 高三 班 指導老師 : 吳明霞老師 壹 前言 在此作品 笛卡兒的十三封情書 中, 我們探討了任意三角形的重心 G 與其對各邊對稱所 得到的三點 G,G 2,G 形成的軌跡 使三角形二頂點固定, 一頂點於單位圓上繞行,
<4D F736F F D D D28AABEC3D129A454A8A4A7CEA454ADD3B7A5A470ADC8B0DDC344AABAB1B4B05128ADD7A7EF29>
李政豐 * 傅淑婷 陳昭地 國立竹南高級中學 臺北市立敦化國民中學 3 國立臺灣師範大學數學系 3 壹 前言 在編寫國家教育研究院國民中學數學教材原型的過程中, 感覺到目前中學幾何課程 的份量, 在國高中均有減輕的趨勢, 然而要訓練學生證明與推理的能力, 幾何是數學家 公認不可或缺的學程 在台灣師大數學系陳昭地教授的指導下, 我們藉由三個初等數學 的問題 : () 平面上一點到三角形三邊所在直線距離和之最小值
trigonometry_2_A.dvi
https://sites.google.com/site/hsh4math 高中數學講義 三角函數. 三角函數的性質與圖形 弧度制的度數 θ : 半徑為 r 的圓, 在圓周上取一段弧長 PQ= r, 則 PQ 所對應的圓心角 PQ 為 弧度 單位圓圓心角 90 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位 即弧度 80 ; 0 弧度 80 ; 80 弧度 = ( 80 ) 57.95
B2C3
- () 60 =60 =60 () = () 60 = ( ) =80 80 () = =0.075( ) () =( ) =57 7 5 80 Ex. θ=0 θ?θ Ans 0-8 Ex. a=sinb=sinc=sind=cose=cos5 Ansb>a>e>c>d Ex. P(costan6) Ans r θ( )A () S=rθ () =r+rθ () A = r θ Ex. 0 8
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
2. 平面上有 A B C 三點 已知 B C 之間的距離是 200 公尺, B A 之間的距離是 1500 公尺, ACB 等於 60 請問 A C 之間距離的最佳近似值是哪一個選項? (1)1500 公尺 (2)1600 公尺 (3)1700 公尺 (4)1800 公尺 2. 在與水平面成 10
高中數學科差異化評量 100 學年度高二上第 2 次定期考 1.5.1 三角函數值表基礎級試題 1.5.1 三角函數值表精熟級試題 1. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球 在上午 10:00 熱氣球的 仰角為 30, 到上午 10:10 仰角變成 34 請利用下表判斷到上午 10:30 時, 熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數? (1)39 (2) 40 (3) 41 (4) 42 (5) 43 30
嘉義市立蘭潭國民中學一百學年度第一學期一年級國文領域課程計畫
嘉義市立蘭潭國民中學 104 學年度第一學期九年級學領域課程計畫 一 學領域每週學習 : 共 二 教材來源 : 翰林版第五冊 九年一貫學領域課程綱要 九年一貫議題融入課程與教學三 課程架構 : 單元主題 第一章 : 比例線段與相似形 單元名稱 1-1 比例線段與圖形的縮放 1-2 相似形 第二章 : 圓的性質 2-1 點 直線 圓之間的關係 2-2 圓心角 圓周角與弦切角 第三章 : 推理證明與三角形的心
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
國立台灣師範大學
國立台灣師範大學九十八學年度高一數學科第一次期中考試題附屬高級中學第一學期 範圍 : 第一冊 -~-4 009/0/3 一 多選題 ( 一題 5 分, 共計 0 分, 答錯不倒扣 ). 下列各敘述何者為真 : 3 (A) 若 a 為有理數,b 為無理數, 則 a-b 為無理數 (B) 若 a a 8 為有理數, 則 a 為有理數 (C) 若 a c = b d 則 a=b,c=d (D) a b 為有理數,c
C = C + C C = + + C C C C 1 2 3
C = C + C 1 2 3 1 1 1 1 + C = + + C C C C 1 2 3 17 Q = Q = Q C = Q U C 1 1 2 3 C 1 C 2 C 3 U = 1 1 1 U 1 U 2 U 3 = + + C C C 1 2 3 1) A B U A U B U U = AB A B AB G G R = R U = U U = 0 U = 4 B C BC CB C
幾 何
.. =,,, [ ] (1 1 1 = 1 = 1 > 1 ( (2 2 2 = 2 = 2 < 2 ( (1(2,,, 1 2 ~94~ (1 (2 (3 (a G (b (c G (d G O = 1 2 O O O [ ] O 1 = O 1 = 1 2 O= O = 1 O ~95~ 1. 2. = 3. M M M=M M,,,, 4. 5. ( (1 (Menelaus 98 >
章節
試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
互補 : 若兩個角的和是一個平角 ( ), 我們稱這兩個角互補, 如圖, + = 80, 故我們稱 與 互補 互餘 : 若兩個角的和是一個直角, 我們稱這兩個角互餘, 如圖, + =90 0, 故我們稱 與 互餘 對頂角 : 兩直線相交會形成兩組對頂角 如右圖, 與 為對頂角, 3 與
點 線 角 : 在探討幾何學之前, 我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素 - 點 線 角 點 : 點是幾何學中所討論的最基本圖形 點僅用來表示事物所在的位置, 而不考慮它的形狀與大小 圖示記法讀法 點 或 點點 或 點 線 : 線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線, 因此線是沒有寬窄的 線可以分為曲線與直線, 如下圖 曲線 直線 直線 : 通過兩點用直尺所畫出來的線, 也就是說 : 兩點決定一直線
一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0
一 是非題 ( 第 題每題 0 分 ). 已知球面 S:x + y + z x + 4y + z 9 = 0, 平面 E :x + y + z = 0,E :x y + z =,E :y =,E 4 :x y z = 0,E 5 :x = y 考慮諸平面與球 面 S 所交的圓之面積 () 面積最大者為 E 與球面 S 所交的圓 () 面積最小者其面積為 6π 解答 () () () 球心 A(,,
2007 TRML思考賽
TRML 思考賽 -2007 思考賽共 10 題, 每題 4 分 答題時必須寫明計算或證明過程, 為得到滿分, 答題方式必須合理, 層次清楚簡明 前面小題縱使未被證出, 也可被引用來解後面小題 ; 但反之後面小題的結果, 未正確證明之前, 不可用來解前面小題 繳交的答案紙每張至多一小題, 且必須在每張答案紙上方標明題號且依序排列 每張紙上只寫一面, 不要寫兩面 准考編號大會已直接印於答案紙上, 在繳交的答案時,
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
Microsoft PowerPoint - B9-2.pptx
單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
4 00 4 4 .4 0 8 A 6 B 4 7 4 6 8 08 7 0 4 4 6 0 9 4 6 8 00 6 0 6 9 0 4 4. 8 6 0 8. 7 4 6 7 4 8 4 - = 0 ( ) = ( ) = ( ) = + +... + 97 99 + + +... + 4 99 00 + +... + 99 0 4 + +... + 4 4 7 00 0 7 = 7
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Microsoft Word - HKMO1986final.doc
Sample Event (Individual) (i) In the given figure, the sum of the four marked angles is a. Find a. 附圖所示四角之和為 a, 求 a a = (ii) The sum of the interior angles of a regular b-sided polygon is a. Find b. 一正
專科警員班第 32 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 1 C 1 B 1 C 1 B 1 D 2 D 2 A 2 D 2 D 2 B 3 A 3 B 3 C 3 C 3 A 4 B 4 C 4 B 4 A
專科警員班第 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 C B C B D D A D D B A B C C A B C B A B C B A C A 6 B 6 B 6 D 6 A 6 C D B B A A 8 C 8 D 8 C 8 A 8 D 9 A 9 B 9 B 9 C 9 C 0 A 0 A 0
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
三角形的基本性質 3- 內角與外角 三角形的全等.. SSS 3. SS 4. S 5. S 6. RHS 三角形的邊角關係 s-07 8-s-08 y t h a g o r e a n T h e o r e m
能力指標分年細目 3- 內角與外角 8-s-03 能理解凸多邊形內 角和以及外角和公 式 8-s-0 能理解三角形的基 本性質 將章首頁圖片內容 以動畫演出 引導 學生從生活動情境 中學習數學概念的 運用 已知台東市與綠島的距離為 33 公里 從上述的動畫中以 互動的方式進行生 活化與數學核心概 念的測驗 台東市與蘭嶼的距離為 90 公里 振華 綠島與蘭嶼相距 50 公里 溫蒂 綠島與蘭嶼相距 73
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數學傳播 41 卷 4 期 pp. 60-68 五合一定理 蔡聰明 本文我們要證明下列五個幾何定理都是等價的 :1. 畢氏定理 ; 2. 畢氏逆定理 ; 3. 三角形的餘弦定律 ; 4. 圓內接四邊形的餘弦定律 ; 5. 托勒密定理 筆者曾經看過學生這樣論證 : 考慮三邊為 3 4 5 的三角形 因為 5 2 = 4 2 +3 2 所以根據畢氏定理知 此三角形為直角三角形 並且邊 5 所對應的角為直角