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鱼洛毛
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1 單元名稱 : 9 三角函數的積分教學目標 : 使學生了解三角函數的積分三角函數積分的類型及一些積分技巧學習時數 : 約一小時

2 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6. [ 第六類型 ] 的積分 sin( m) os( n) 7. [ 第七類型 ] os( m ) os( n ) 的積分 sin( m) sin( n) n

3 9 三角函數的積分當被積分函數為三角函數的乘積或乘方時, 大致有下列我們所要討論的七種類型, 或經由化簡而得我們所要討論的七種形式之一首先介紹第一類型三角函數本身的積分第一類型六個三角函數本身的積分 () sin d=-os+ () os d=sin+ () d=- ln os = ln (4) ot d= ln sin =- ln s (5) d= ln ln (6) s d= ln s ot =- ln s ot 我們只證明 () 與 (5), 其餘同學們自行練習證明

4 [Proof] () ) os ( os os sin d d d [Proof] (5) d d ) ( ln ) os ln( os ln = d = ) ( d ln = t ) )( ( ln + ln + ln = ) ln( + ln, 故定理得證

5 第一類型推論 () sinu du=-osu+ () osu du=sinu+ () u du ln os u ln u (4) otu du= ln sin u =- ln s u (5) u du= ln u u ln u u (6) su du= ln s u ot u ln s u ot u 例如 () d = () d ( ) = () d() ( 注意係數 ) = ln os( )

6 第二類型型如 sin n d 或 os n d 者,nN,n n 解法 : () 當 n 為正奇數時 : 拆一個出來, 利用 sin d=-d(os) 或 os d=d(sin) 及 sin +os =, 化為餘函數, 再積分之 () 當 n 為正偶數時 : 利用半角公式 os = sin = os ; os, 再積分之 ( sin = os( ) ; os = os( ) )

7 例求不定積分 os d Sol. 拆一個出來, 原式化為 os d = os os d ( 由速解法 ) = (-sin ) d(sin) =sin- sin + Ans. os d sin sin

8 例求不定積分 sin d Sol. 利用半角公式, 原式化為 sin d = os() d = [-os()] d = [- sin()]+ = - 4 sin()+ Ans. sin d sin( ) 4

9 第三類型型如 sin m os n d, m, nn 解法 : () 當 m 與 n 中至少有一為正奇數時 : 將正奇數那一項拆一個出來, 再利用第二類型 () 的解法解之即利用 sin d=-d(os) d(os) 或 os d=d(sin) 及 sin +os =, 化為餘函數, 再積分之 () 當 m 與 n 均為正偶數時 : 與第二類型 () 的解法相同, 即利用半角公式解之半角公式 : os sin = ; os os =, ( sin = os( ) ; os = os( ) )

10 例求不定積分 sin os 4 d Sol. sin os 4 d = sin os 4 sin d = (-os ) os 4 d(-os) = ( os 4 -os 6 ) d(-os) = (os 6 -os 4 ) d(os) = 7 os7-5 os5 + Ans. sin os 4 d 7 os 7 5 os 5

11 例 4 求不定積分 sin os d Sol. sin os d = [ = os( ) os( ) ][ os () d 4 os(4) ( ) d = 4 = 4 os(4) d ] d = 8 [-os(4)]d = 8 [- 4 sin(4)]+ = - 8 sin(4)+ Ans. sin os d sin( 4 ) 8

12 第四類型型如 n d 或 ot n d 者, n,n N 解法 : 拆兩個出來, 利用 l+ = 或 l+ot =s 及 d()= d 化為降階公式, 或 d(ot)=-s d, 每次降二階, 再積分之若 n 為正奇數, 則降階至最後為 d 或 ot d, 故 d =- ln os + 與 ot d = sin ln +, 要記得

13 例 5 求不定積分 4 d Sol. 4 d = d = ( -) d = ( - ) d = d()- ( -) d = -(-)+ = -++ Ans. 4 d

14 例 6 求不定積分 ot d Sol. ot d ot ot d = ot (s -) d = (ot s -ot) d = ot d(-ot)- ot d = ot - ln sin + Ans. ot d ot ln sin

15 n n 第五類型型如 d 或 s d 者, n,nn N 解法 : () 當 n 為正偶數時 : 拆兩個出來, 利用 d()= d 及 l+ = 或 l+ot =s 化為或 d(ot)=-s d, 或 ot 之形式, 再積分之 () 當 n 為正奇數時 : 同 (l) 之解法, 再利用分部積分法 (I.B.P.), 再移項, 化為降階公式, 每次降二階, 再積分之與若 n 為正奇數, 降至最後必為 d 或 s d, 故 d ln 之型式, s d ln s ot, 要記得

16 例 7 求不定積分 4 d Sol. 4 4 d = d ( ) d ( ) =+ + Ans. 4 d

17 例 8 求不定積分 d Sol. d d d ( ) = - d = - d = - ( -) d = - d+ d 移項可得 = + d d 兩邊同除以得 = + ln + (I.B.P.) d = [ + ln ]+ ) ( 其中 ' Ans. d [ ln ]

18 第六類型型如 m n d 或 s m ot n d 者,m,nN 解法 : () 當 m 為正偶數時 : 正偶數那一項拆兩個出來, 利用 l+ = 或 l+ot =s 及 d()= d 或 d(ot)=-s d, 化為 m+n- d() 或 ot m+n- d(ot) 的型式, 再積分之 () 當 n 為正奇數時 : 每項各拆一個出來, 利用 l+ = 或 l+ot =s 及 d( )= d 或 d(s )=-s ot d, 化為 m+n- d() 或 s m+n- d(s) 的型式, 再積分之 () 當 m 為正奇數且 n 為正偶數時 : 利用 l+ = 或 l+ot =s 化為 m+n d 或 s m+n d 之型式, 再積分之, 其中 m+n 為正奇數, 即同第五類型 () 之解法

19 例 9 求 () 4 d; () d Sol. () 4 d = d = (+ ) d() = ( + 4 ) d() = () d = d = ( -) d() = ( 4 - ) d() = Ans. () 4 d ( ) d

20 例 0 求不定積分. d Sol.. d =.( -) d = ( -) d = d- d = [.+ ln ]-ln + ( 由例 8) = [.- ln ]+ Ans. d [ ln ] d [ ln ] [ 例 8]

21 第七類型型如 sin(m) 第七類型型如 sin(m).os(n) d 或 os(m) os(n) d 或 os(m).os(n) os(n) d 或 sin(m).sin(n) d, m, n R 解法 : 利用積化和差公式積分之積化和差公式 : sinα osβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] osα osβ= [os(α+β)+os(α-β)] sinα sinβ= [os(α+β)-os(α-β)] = [os(α-β)-os(α+β)] os(α+β)]

22 例求不定積分 sin().sin() sin() d Sol. 利用積化和差公式, sinα sinβ= sinβ [os(α+β)-os(α-β)] β)] 可得 sin().sin() d = [os( ) os( )] d = [os( 5 ) os ] d ( 由簡單的變數變換法 ) [ sin( 5 ) sin ] 5 = sin(5)+ 0 sin+ Ans. sin() sin() d sin(5) 0 sin

23 例求不定積分 sin( 5 ) os( ) d Sol. 利用積化和差公式, sinα osβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] β)] 可得 sin( 5 ) os() d = [sin(5+)+sin(5-)] d = [sn(8)+sin()] d os(8)+ = [ 8 os()]+ ( 由簡單的變數變換法 ) = 6 4 os(8)- 4 os()+ Ans. sin(5) os() d os(8) os() 6 4

24 習題 9 三角函數的積分. 求 sin ( ) os ( ) d. 求 s 4 ( ) d 4 4. 求 d 4. 求 os () () d os 5. 求 d 4 6. 求 sin os( 4 ) os() d ot 7. 求 d 4 8. 求 s sin d 求 sin( ) sin() d 0. 求 sin os d 4. 求 sin d. 求 os d 7 8. 求 d 4. 求 s ot d

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f