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毓摘双
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1 高中數學講義三角函數. 弧度弧長弧度制的度數 θ : 半徑為 r 的圓 O, 在圓周上取一段弧長 PQ= r, 則 PQ 所對應的圓心角 POQ 為弧度單位圓圓心角 90 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位即弧度 80 ; 0 弧度 80 ; 80 弧度 = ( 80 ) ; = 80 弧度 O 弧度弧度 Q s = rθ θ r = P 扇形弧長 s = r θ : 半徑為 r 的圓 O, 弧度為 θ 所對應的弧長 s = r θ 扇形的面積 A = r θ: 半徑為 r 的圓 O, 弧度為 θ 所對應的扇形面積 A = r θ 例題 5 範例 : 將弧度與化為度? 5 = 50 ; = 演練 a : 將下列弧度化為度數或將度數化為弧度. =? 0. 0 =? 演練 b : 比較下列角度的大小? a =,b =,c = a,d = 5 演練 c : 7 弧度是第幾象限角?. 75 =? =? 5 5 > c > d > b 三範例 : 已知一扇形半徑為公分, 圓心角為 0, 求此扇形的弧長及面積? 演練 a : 已知一扇形半徑為 5 公分, 圓心角為 8, 求此扇形的弧長及面積? 演練 b : 已知一圓半徑為 5 公分, 求圓心角為 5 的扇形面積? 演練 c : 若一扇形的弧長為 s 公分, 扇形面積為 A 平方公分, 且 s = A, 求此扇形的半徑長? 演練 d : 已知一圓半徑為 5 公尺, 若弧長為公尺, 求此弧所對應的圓心角為何? s = 4,A = 4 s = 80 9,A = 9 A = 0 r = 5 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

2 高中數學講義弧度弧長演練 e : 弓形為圓的弦與弧所圍的區域, 已知圓半徑 0, 求圓心角為範例 : 半徑為公分的三圓互相外切 ( 如圖 ), 求陰影區域的周長與面積? 所對應的弓形區域面積? 5 ( ) s =,A = 8 一直圓錐的底半徑為 8, 高為 5, 若由底邊一點沿其斜邊向錐頂點剪開, 展開為一扇形 ; 求此扇形的圓心角及面積? θ = 7 ;A = 演練 a : 已知半徑為, 圓心角 θ = 0 正圓錐, 求此直圓錐的高? 演練 b : 求圖中陰影區域周長與面積? ( 解 :)s = + +;A = 9 + 的扇形, 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 O 為頂點的演練 c : 過點 P(,0) 與圓 C : x + = 9 的切線與圓切於 A,B 兩點 ( 如圖 ), 求扇形 OAB 面積? A O P B 演練 d : 如圖 : 一皮帶套繞著兩圓 C,C, 已知圓心分別為 O,O, 半徑分別為 r =,r = 7, 連心線段 0 + O O = 0, 求此皮帶 ABCD 長? B D r A P r O O O O r r C 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

3 高中數學講義演練 e : 已知兩圓半徑分別為,, 連心線段長, 求兩圓重疊區域面積? A 5 9 O O B. 分別將 0,50,8 化為弧度?. 將弧度 9 5 化為度數? 習題 I:- 弧度弧長. 已知一扇形半徑為公分, 圓心角為 0, 求此扇形的弧長及面積? 4. 弧度 a =,b =,c = 4,d = 0, 分別為哪一象限角? 5. 已知一扇形的弧長為公分, 扇形面積為 4 平方公分, 求此扇形的半徑為及圓心角?. 一扇形半徑為 0, 圓心角為 5, 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 O 為頂點的正圓錐, 此正圓錐底面為一圓 O, 求圓 O 的半徑 r 及此正圓錐頂點 O 到底面中心 O 的距離 h( 正圓錐的高 )? O h O O r θ 7. 如圖 : 圓半徑為, 弦長為, 求其劣弧與弦所圍成的弓形面積為多少平方單位? r r r 8. 一皮帶套繞著相同半徑 r = 的三個兩兩外切圓,( 如圖 ) 求皮帶長? 9. 在同一圓心角 θ 上有兩半徑相差的大小扇形, 已知小扇形的弧長為 4, 大扇形的弧長為, 求兩扇形面積差? 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

4 4 高中數學講義三角函數的性質與圖形習題 I:-. ; 5 ; 0. 0 ;4. s = 8 公分,A = 48 平方公分 4.,,, 5. r = 4 公分,θ =. r =,h = r +r = 三角函數的性質與圖形廣義角的三角函數定義 : 若廣義角 θ 是標準位置角 (x 軸正向為始邊, 原點為夾角的頂點 ), 在終邊上取一點 P(x,),r = OP = x + 則三角函數定義為正弦函數 : sinθ = r 正切函數 : tanθ = x 正割函數 : secθ = r x, 餘弦函數 : cosθ = x r, 餘切函數 : cotθ = x, 餘割函數 : cscθ = r P(x,) θ O x P(x,) θ O x P(x,) θ O x θ O P(x,) x 三角函數的基本關係 :. 平方關係 : sin θ+cos θ =,tan θ+ = sec θ,+cot θ = csc θ. 倒數關係 : sinθcscθ =,tanθcotθ =,cosθsecθ =. 商數關係 : 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 tanθ = cosθ sinθ,cotθ = cosθ, tanθ = sinθsecθ, secθ = tanθcscθ sinθ 4. 餘角關係 : A+ B = 90 則 sina = cosb,cosa = sinb,tana = cotb,seca = cscb sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 三角函數的負角關係餘角關係補角關系 :. 餘角關係 A+ B = = 90 : sina = cosb,sinb = cosa 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 4 頁 / 共頁 ]

5 高中數學講義 5. 補角關係 A+ B = = 80 : sina = sinb,cosa+cosb = 0. 周角關係 A+ B = = 0 : sina+sinb = 0,cosA = cosb 4. 反向角關係 A = + B : sina+sinb = 0,cosA+cosB = 0 ( 相反數關係 ) 5. 奇偶性 : sin( θ) = sinθ,cos( θ) = cosθ;tan( θ) = tanθ,cot( θ) = cotθ;sec( θ) = secθ,csc( θ) = cscθ. 三角函數值相反數 :sin( θ) = sinθ ; cos( θ) = cosθ tan(80 θ) = tanθ ;cot( θ) = cotθ sec(80 +θ) = secθ ;csc( +θ) = cscθ 三角函數化簡公式旋轉木馬記憶法 : cos sec cos -sin sin -cot tan -csc csc -sin cos sin sin -cos -sec 圖 : 三角函數化簡公式 : 旋轉木馬記憶法 -cos. 由該函數位於哪一輪輻為起始點 (sin(θ + ) 比 sinθ 角度多 90, 就以 sinθ 為主輻 ). 以 90 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值 ( 例 :sin(θ+ ) 就是 sinθ 逆時針轉 90, 輪輻位置為 cosθ) 已知一三角函數求其餘三角函數值方法 :. 銳角參考角法 : 每一標準角 θ 終邊與 x 軸所夾之銳角參考角 α,θ 角的三角函數值絕對值與 α 的三角函數值相同, 再由 θ 象限角位置決定其三角函數值的正負. 坐標法 : 利用 cosθ = x r,sinθ = 找出 θ 終邊上的點 P(x,) 坐標, 再依三角函數定義求其餘三 r 角函數值. 基本關係法 : 利用平方關係商數關係倒數關係求其餘三角函數值週期函數 : 對每一定義域中的元素 x,f(x+t) = f(x) 恆成立, 另一實數 t 也滿足 f(x+t ) = f(x),t 是 t 的整數倍, 則稱 f 是週期為 t 的週期函數三角函數的圖形及性質 : 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 5 頁 / 共頁 ]

6 高中數學講義三角函數的性質與圖形表 : 特別角的三角函數值 x 0 sin x 0 cosx x 4 4 sinx 0 cosx 0 0 x 0 4 tanx 0 4. 正弦函數 = f(x) = sinx 圖形 f(x) = sinx 5 (a) 定義域 D 與值域 R: D = {x x R},R = { } (b) 週期 T = : 滿足 sin(x+t) = sinx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 正弦函數的週期為 T = (c) 振幅 : 正弦函數振幅為 A = Max Min = (d) 對稱 : = sinx 圖形以 x = +n,n Z 的鉛直線 ( 過函數圖形最高點或最低點的鉛直線 ) 均為其線對稱 = sinx 圖形與 x 軸交點 (n,0),n Z 為其對稱點 ( 對稱中心 ) 特別是正弦函數 = f(x) = sinx 圖形對稱於原點 (0,0), 為奇函數. 餘弦函數 = f(x) = cosx 圖形 f(x) = cosx 5 (a) 定義域 D 與值域 R: D = {x x R},R = { } (b) 週期 T = : 滿足 cos(x+t) = cosx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 餘弦函數的順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

7 高中數學講義 7 週期為 T = (c) 振幅 : 正弦函數振幅為 A = Max Min = (d) 對稱 : = cosx 圖形以 x = n,n Z 的鉛直線 ( 過函數圖形最高點或最低點的鉛直線 ) 均為其線對稱 = cosx 圖形與 x 軸交點 ( + n,0),n Z 為其對稱點 ( 對稱中心 ) 特別是餘弦函數 = f(x) = cosx 圖形對稱於軸, 為偶函數. 正切函數 = f(x) = tanx 圖形 tan(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 由商數關係 tanx = sinx 所以 D = {x x + n,n Z},R = cosx { R} (b) 週期 T = : 滿足 tan(x+t) = tanx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 餘弦函數的週期為 T = (c) 對稱 : = tanx 圖形以 ( n,0),n Z 為其對稱點特別是 = f(x) = tanx 圖形對稱於點 (0,0), 為奇函數 (d) 漸近線 : 直線 x = +n,n Z 都是正切函數 = tanx 的漸近線 4. 餘切函數 = f(x) = cotx 圖形 cot(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 由倒數關係 cotx = 所以 D = {x x n,n Z},R = { tanx R} (b) 週期 T = : 滿足 cot(x+t) = cotx, 取 k = 滿足 t = k = 為最小值, 餘弦函數的週期為 T = (c) 對稱 : = cotx 圖形以 ( n,0),n Z 為其對稱點特別是 = f(x) = cotx 圖形對稱於點 (0,0), 為奇函數 (d) 漸近線 : 直線 x = n,n Z 都是餘切函數 = cotx 的漸近線 tan(x) cot(x) 5 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 7 頁 / 共頁 ]

8 8 高中數學講義三角函數的性質與圖形 5. 正割函數 = f(x) = secx 圖形 sec(x) cos(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 因為 secx = cosx,cosx 0, 所以定義域 D = {x x +n,n Z}, 值域 R = {, 或 } (b) 週期 T = : 因 secx = cosx,cosx 0, 餘弦函數的週期為, 故正割函數周期亦為 (c) 對稱 : 正割函數 = secx 與 = cosx 圖形的對稱軸與對稱點 ( 對稱中心 ) 都相同, 亦為偶函數 (d) 漸近線 : 直線 x = +n,n Z 為正割函數圖形的漸近線. 餘割函數 = f(x) = cscx 圖形 csc(x) sin(x) 5 (a) 定義域 D 與值域 R: 因為 cscx = sinx,sinx 0, 所以定義域 D = {x x n,n Z}, 值域 R = {, 或 } (b) 週期 T = : 因 secx = sinx,sinx 0, 正弦函數的週期為, 故餘割函數周期亦為 (c) 對稱 : 正割函數 = cscx 與 = sinx 圖形的對稱軸與對稱點 ( 對稱中心 ) 都相同, 亦奇偶函數 (d) 漸近線 : 直線 x = n,n Z 為餘割函數圖形的漸近線函數圖形的平移伸縮 : 正弦函數 = f(x) = asin(kx+b)+c 考慮正弦函數 = f(x) = sinx 標準圖形, 與 Y = g(x) = asin(kx + b) + c 圖形的關係 : Y = g(x) = asin(kx +b)+c Y c = sin(kx +b), { a x = kx +b 若 = Y c 時, 則 = f(x) = sinx 與 Y = g(x) = asin(kx +b)+c 圖形就會重疊 ( 相 { b X = x b 同 ), 故當 k 時, 兩函數圖形是重疊的, Y = a +c 即 g(x) 圖形是 f(x) 圖形 { 向左平移 (x 軸負向 )b 單位, 再左右縮小 k 倍上下方向 ( 軸方向 ) 伸展 a 倍後再向上平移 ( 軸 )c 單位順伯的窩三角學 II (B) [ 第 8 頁 / 共頁 ]

9 高中數學講義 9 表 : 三角函數圖形的特點函數 = sinx = cosx = tanx = cotx = secx = cscx 圖形 ( 一週期 ) x = x = x = 0 x = x = x = x = x = x = x = 0 定義域 R R x +n x n x +n x n 值域 [,] [,] R R (, ] [, ) (, ] [, ) 鉛直漸近線無無 x = +n x = n x = +n x = n 與 x 軸交於 n +n n +n 無無與軸交於 0 0 無無週期奇偶性質奇偶奇奇偶奇對稱原點軸原點原點軸原點鉛直對稱軸 x = n + x = n 無無 x = n x = n + 對稱點 (n,0) (n +,0) (n,0) (n,0) (n +,0) (n,0) 一般正弦函數 = f(x) = asin(kx+b)+c, f(x) 振幅 A : a = Max min f(x) 週期 T T : k = k 則 b 與水平平移量有關 : 觀察圖形波峰節點或波谷發生點 : 如 : 波峰點 x 代入 kx+b c 為節點所在的水平線 : = c = Max+min 函數 = f(x) = sinx 圖形 A A 0 A x A A 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 9 頁 / 共頁 ]

10 0 高中數學講義三角函數的性質與圖形振幅 A = 函數 = f(x) = cos (x ) 圖形 0 水平平移 = 週期 T = = x 正餘弦函數圖形關係 : { = cosx = sin(x+ ) = sinx, 餘弦 = cosx 是正弦 = sinx 函數圖形在 x 軸方向左平移單位 sin(x) cos(x)(0,) (,) 5 正弦函數的平移 : sin(x) sin(x+ ) sin(x+) sin(x) sin(x)+ sin(x+ )+ sin(x+ ) 5 5 正弦函數的伸縮 : sin(x) sin(x) sin( x ) sin(x) sin(x) sin(x) 5 5 例題範例 : 已知 cosθ = 5 且 θ 為第四象限角, 求 θ 的其他三角函數值? ( 解 :)sinθ = 4 5,tanθ = 4,cotθ = 4,secθ = 5,cscθ = 5 4 演練 a : 如圖 : 單位圓中, 已知 AP = sinθ,oa = cosθ, 用三角函數表示下列線段長?. BD =? tanθ 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 0 頁 / 共頁 ]

11 高中數學講義. OD =?. OE =? 4. CE =? C(0, ) E P D θ O A x B(, 0) secθ cscθ cotθ 演練 b : 承上圖 :. 利用上述線段長大小說明 : 0 < θ < PA < BD < OD 時 sinθ < tanθ < secθ. 0 < θ < 時, 比較 cosθ,cotθ,cscθ 大小? cosθ < cotθ < cscθ. 0 < θ < 時, 分別先求 OPA, 扇形 OPB, OBD 面積, 進而說明 sinθ < θ < tanθ 演練 c : 求下列三角函數值?. cos 4 =?. sin 4 =?. cos 5 =? 4. sin 5 =? 5. tan 7 =?. cos 9 =? 7. sin 4 =? 8. cot =? 無定義 9. csc( 7 ) =? 0. sec( ) 演練 d : 將下列式子化為最簡單的式子或值?. cosx(tanx secx) sinx = cot( x). csc( x) = sin x+sinx. cos x sinx = cosx 4. +sinx +tanx = 5. +tan θ + +cot θ - cosx +cscx secx 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

12 高中數學講義三角函數的性質與圖形演練 e : 已知 (, 4) 為標準位置角 θ 終邊上的一點, 試求 cotθ,secθ 的值? cotθ = 5 4,secθ = 演練 f : 若 x = tanθ 且 0 < θ <, 用三角函數表示 9+x =?, 並用 x 表示 sinθ 與 cosθ? ( 解 :)secθ;sinθ = x 9+x ;cosθ = 9+x 演練 g : 若 t = tanθ 且 0 < θ <, 用三角函數表示. secθ +t t sinθcosθ. +t. t cosθcotθ +t 演練 h : 若 x = tanθ 且 < θ <, 用三角函數表示函數 f(x) = x +4x? ( 解 :)f(x) = g(θ) = sinθ 演練 i : 令 x = 4secθ, 用三角函數表示 x x =? 演練 j : 已知圓半徑, 求弦長所對應的劣弧弓形面積? 4 sinθcosθ 4 範例 : 若 θ < 且 cotθ =, 求 cscθ 及 sec( θ) 的值? cscθ = 5,sec( θ) = 5 若 θ 是第三象限角, 已知 tanθ+cotθ = 5, 試求 :() sinθcosθ =? () sinθ+cosθ =? 5 () secθ+cscθ =? ; 7 5 ; 5 0 演練 a : 化簡求 tanθ +cotθ secθcscθ 值? 演練 b : 化簡 tan θ+ +tanθ cos θ =? 演練 c : 化簡 secθcscθcotθ cot θ =? 演練 d : 已知 sinθ cosθ =, 求下列各式的值 :() sinθ cosθ () tanθ+cotθ () secθ cscθ? ( 解 :)() 8 () 8 () 4 演練 e : 若 cosθ = tanθ, 求 sinθ 值? + 5 範例 : 利用 = sinx 的圖形, 畫出 () = +sinx () = sin(x ) 的圖形? sin(x) sin(x)+ sin(x ) ( 解 :) 5 利用 = cosx 的圖形, 畫出 () = cosx () = cos(x) 的圖形? 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

13 高中數學講義 = cos(x) = cos(x) = cos(x) ( 解 :) 5 演練 a : 設 a = sin,b = sin,c = sin,d = sin4, 試比較 a,b,c,d 的大小? b > a > c > d 演練 b : 利用 = sinx 的圖形, 作出 = sin x 的圖形? = sin x ( 解 :) 5 演練 c : 利用 = sinx 的圖形, 作出 = sinx 的圖形? = sin(x) ( 解 :) 5 演練 d : 利用 = sinx 的圖形, 作出 = sin(x+ ) 的圖形? = sin(x) = sin(x+ ) ( 解 :) 5 ; = sin(x+ ) 的圖形如同 = cos(x) 圖形演練 e : 設 a = cos,b = cos,c = cos,d = cos4, 試比較 a,b,c,d 的大小? a > 0 > b > d > c 演練 f : 利用 = cosx 的圖形, 作出 = cosx 的圖形? = cos(x) = cos(x) ( 解 :) 5 演練 g : 利用 = cosx 的圖形, 作出 = cos(x ) 的圖形? 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

14 4 高中數學講義三角函數的性質與圖形 = cos(x) = cos(x ) ( 解 :) 5 ; = cos(x ) 的圖形如同 = sin(x) 演練 h : 下列圖形分別為哪一函數的部分圖形? () = cos(x)() = sin(x)+() = sin( x) (4) = cos(x ) B,D,C,A 5 A B C D 4 演練 i : 函數 = sin(x )+, 求此函數的振幅 A=? 週期 T=? 此函數圖形可由 = sin(x) 函數圖形如何平移得到? A=,T = ; 向左單位, 向上單位平移演練 j : 下列函數 : (a) f(x) = sin( x ) (b) f(x) = cos(x 4 )+ (c) f(x) = sin[(x )]+ (d) f(x) = sin(x+) (e) f(x) = cos(4x ) (f) f(x) = cos(x 8 ). 哪些函數的振幅為. 哪些函數圖形的週期為?. 哪些函數圖形的週期為? a,e b,c,f d 範例 4: 將 = sinx 和 = cosx 的圖形畫在同一平面上, 並利用圖形求 () 在 0 x 時, = sinx 和 = cosx 的圖形有幾個交點? () 在 0 x 時, 解 sinx = cosx 個交點 ; x = 4, 5 4 sin(x) cos(x)(0,) (,) 5 ( 解 :) 演練 4a : 解三角方程式 sinθ = tanθ θ = k,k Z 演練 4b : 求三角方程式 sinθ = sinθ 的解? θ = k,k Z;θ = ± +k,k Z 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 4 頁 / 共頁 ]

15 高中數學講義 5 演練 4c : 在 0 x 的範圍內, 方程式 4sin x 4sinx = 0 有幾組解? 解演練 4d : 在 0 x 的範圍內, 求解 sin(x ) = ( 解 :)x =, 演練 4e : 在 0 x 的範圍內, 求解 sinx = ( 解 :)x =, 5,, 7 演練 4f : 在 0 x 的範圍內, 求解 cosx = ( 解 :)x = +k, 4 +k 即 x = 9 + k,k = 0,, 或 x = k,k = 0,, 範例 5: 在 x 的範圍, 求方程式 sinx = x 的實根個數? ( 解 :) 個實根, 演練 5a : 求方程式 sinx = x 的實根個數? ( 解 :) 個實根, 演練 5b : 在 x 的範圍, 方程式 cosx = x 有幾個實數解? ( 解 :) 個實根, 演練 5c : 方程式 x sinx = 有幾組實數解? 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 5 頁 / 共頁 ]

16 高中數學講義三角函數的性質與圖形 4 4 ( 解 :) 個實根範例 : 某城市紀錄歷年資料的月平均溫度 ( C) 變化曲線如下 : Month Jan Feb Mar Apr Ma Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec t 值 Temp(T C) 平均溫月份若此城市月均溫可用數學模型 T = f(t) = asinb(t c)+d 來擬合資料 (a,b,c,d > 0), 則 () a = () b = () c 最小值為 0 (4) d = 4,,,4,5 (5) c 值可以為演練 a : 某城市歷年資料的月平均溫度 ( C) 變化曲線如下 : Month Jan Feb Mar Apr Ma Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec t 值 Temp(T C) 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

17 高中數學講義 7 平均溫月份若此城市月均溫可用數學模型 T = f(t) = AsinB(t C)+D 來表示 (A,B,C,D > 0), 求此數學模型? f(t) = sin (t 9 )+0.4 演練 b : 一工業城, 在週一至週末上工的星期中測得空氣污染量可用模型 P(t) = 40+sin 7 擬合, 其中 t 為距離週日午夜點的天數, 求. 最小污染量為多少單位?. 在觀察期間, 什麼時間點, 使得污染量為最低? (t 7 ) 來 8 8:00 Am Monda 演練 c : 研究觀察某水牛群的數量可用 P(t) = sin( t ) 來擬合研究資料, 其中 t 為觀察經歷時間 ( 年 ), 求. 初觀察時這群水牛的數量為何?. 個月後及年後, 這群水牛的數量為何?. 這群水牛的數量最多為何? 4. 首次觀察到這群水牛的數量為最少時, 需歷時多久? 數量為多少 5. 首次觀察到這群水牛的數量超過 55 頭, 何時? 經歷多久時間? ; 年後 ;50 < t < 5 演練 d : 某地區某天的潮汐情形, 可用模型 h(t) = sin( t ) ( 公尺 ) 來擬合潮汐, 其中 t ( 小時 ) 為午夜點開始計量時間, 問 :. 當天何時潮汐為滿潮 ( 漲潮至最高點 )?. 當天何時潮汐為乾潮 ( 漲潮至最低點 )?. 當天的潮差 ( 滿潮與乾潮兩者的水位差 ) 為多少公尺? am, pm 9 am, pm 4. 若一船在當地港口至少需漲潮.5 公尺時才能進出港口, 問該船當天下午何時可以進出港口? 7 點演練 e : 人體血壓若為 P(t) = 00 +0sint ( 毫米汞柱 ), 其中 t 為時間 ( 秒 ); 表示血壓在 00 上下震盪 0 毫米汞柱, 這個函數的週期為秒, 這意味著該人的心臟跳動一分鐘 0 次問 : 00,0,00,80,00. 在 t = 0,0.5,0.5,0.75, 秒時, 分別求其血壓為多少毫米汞柱? 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 7 頁 / 共頁 ]

18 8 高中數學講義三角函數的性質與圖形. 在第秒內, 血壓最高時, 發生時間點為何?. 在第秒內, 血壓最低時, 發生時間點為何? t = 0.5 t = 0.75 演練 f : 一個歷史悠久的豪宅中一個保全攝影監視器鏡頭可旋轉監看豪宅外一條又長又直的車道入口進入到豪宅內假設車道中心分隔線為一直線, 攝影監視器正前方距離為英尺與分隔線交點為中心點監視器監看分隔線的中心點右側範圍, 若 d 代表監視器轉動掃描時沿其中心點之車道分隔線的距離模 d drivewa midpoint ft camera 型 d = tan( t 0 ) 表示 t 秒時, d 的距離 ( 英尺 ). 求 t = 5 秒時,d =?. 求 t = 5 秒時,d 的位置如何?. 此監視器鏡頭掃描的週期為多少秒? 監視器鏡頭平行車道 0 秒. 利用坐標法求三角函數值 : 若直線 sinθ,cosθ,tanθ 值? (a) P(,) (b) P(, 4). 先將 θ 化為較簡同界角後, 再求其三角函數值? 習題 I:- 三角函數的性質與圖形 OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點 P 的坐標如下, 分別求三角函數 (a) tan 9 4 (b) cos 7 (c) sin( ) (d) sec( 7 4 ) (e) tan( ) (f) csc( 5 ) (g) csc( 70 ) (h) cot(90 ) (i) sec( ) (j) tan 9 (k) cos( ). 將下列式子化為最簡單的式子? (a) csc( x) cot( x) = (b) 4tanxsecx+secx tanxsecx+secx = sinx+ (c) tanx+secx = sinx (d) cotx + cosx tanx = 4. 三角函數的奇偶性質 : 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 8 頁 / 共頁 ]

19 高中數學講義 9 (a) cot( ) (b) tan( 7 4 ) (c) sin( 9 4 ) (d) tan( 9 4 ) 5. 已知 θ 角中 sinθ,cosθ,tanθ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值? (a) cscθ =,tanθ > 0 (b) tanθ = 4,sinθ < 0. sinθ =,θ 為第二象限角, 分別求 a = cosθ,b = cos(θ ),c = sin(θ + ),d = tan(θ+ 4 ) 值? 7. 若 θ 是第二象限角, 且 sinθ = 5, 求 cosθ 與 tanθ 的值? 8. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P(, ), 試求 θ 角的六個三角函數值? 9. 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cosθ sinθ =, 求 sinθcosθ 與 sinθ +cosθ 的值? 0. 已知 cosθ = 5, 且 θ 為第二象限角, 求其他三角函數值?. 若 tanθ = 4 求 sinθ+cosθ sinθ+cosθ =? ( 分子分母同除以 cosθ). 已知 sinθ +cosθ =, 求下列各式的值 : (a) sinθ cosθ = (b) tanθ +cotθ = (c) secθ+cscθ =. 若 x = tanθ,0 < θ <, 用三角函數表示 4+x =?, 並用 x 表示 sinθ 與 cosθ? 4. 若 x = secθ 且 0 < θ <, 用三角函數表示 x 9 =?, 並用 x 表示 sinθ 與 cosθ? 5. 令 x = sinθ, 用三角函數表示 x x =?. 求下列函數的週期 T 最大值 M 與最小值 m (a) = sinx (b) = cos(x+ ) (c) = sin x + (d) = cos(x+ 4 ) 7. 求下列函數的週期 : () = cosx () = tan(x+ ) 8. 求下列條件下的值? 順伯的窩三角學 II (B) [ 第 9 頁 / 共頁 ]

20 0 高中數學講義三角函數的性質與圖形 (a) 若 f(x) = sinx, 且 f(a) =, 求 f( a) =?,f(a)+f(a+)+f(a+4) =? (b) 若 f(x) = secx, 且 f(a) = 4, 求 f( a) =?,f(a)+f(a+)+f(a+4) =? (c) 若 cotθ =, 求 cotθ +cot(θ )+cot(θ ) =? 9. 右圖為函數 = acosbx+c 的部分圖形 ( 其中 a,b,c 為正數 ) 求此函數的週期與振幅及 a,b,c 的值? 4 0. 右圖為函數 = asinbx+c 的部分圖形 ( 其中 a,b,c 為正數 ) 求此函數的週期與振幅及 a,b,c 的值? 7 5. 將圖形 = cosx, 如何伸縮平移可得到函數 = sinx 的圖形?. 利用伸縮平移描繪三角函數圖形 : = sin(x ). 餘弦函數 = f(x) = acosbx 的圖形振幅為 9.8, 週期為, 求常數 a,b 值? 4. 方程式 sinx = 在 0 x 4 範圍內實根的個數? 5. 在 x 的範圍, 求方程式 sinx = x 的實根個數?. 某城市歷年資料的月平均溫度 ( C) 變化曲線如下 : Month Jan Feb Mar Apr Ma Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec t 值 Temp(T C) 平均溫月份順伯的窩三角學 II (B) [ 第 0 頁 / 共頁 ]

21 高中數學講義若此城市月均溫可用數學模型 T. = f(t) = AsinB(t C)+D 來表示 (A,B,C,D > 0), 求此數學模型? 7. 研究觀察某甲蟲的數量可用 P(t) = 5+sin( t ),( 單位 : 千隻 ) 0 t 8 為觀察經歷時間 ( 星期 ), 求 (a) 剛開始觀察時這群甲蟲的數量為何? (b) 這群甲蟲的數量最多為何? (c) 首次觀察到這群甲蟲的數量為最少時, 數量為多少 (d) 觀察到這群甲蟲的數量超過 000 隻, 何時? 經歷時間? 習題 I:- a. sinθ =,cosθ =,tanθ = b. sinθ = 4 5,cosθ = 5,tanθ = 4 a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. a. sec x b. tanx+ tanx+ c. cos x d. sinx+cosx 4a. 0 4b. 4c. 4d. 5a. sinθ =,cosθ =,tanθ = 5b. sinθ = 4 7 7,cosθ = 7 7. a =,b = +,c = +,d = cosθ = 4 5,tanθ = 4 8. sinθ =,cosθ =,tanθ =, cotθ =, secθ =,cscθ = 9. sinθcosθ = 4 9, sinθ + cosθ = 7 0. sinθ = 4 5,tanθ = 4,cotθ = 4, secθ = 5,cscθ = a. b. c.. secθ;sinθ = x ;cosθ = 4+x 4+x 4. tanθ;sinθ = x 9 x ;cosθ = x 5. sinθtanθ a. T =,M =,m = b. T =,M =,m = c. T =,M =,m = d. T =,M =,m = 5 7., 8a. ; 8b. 4; 8c. 9. T =,A =,a =,b =,c = 0. T =,A =,a =,b =,c =. = cosx 圖形向右平移單位後, 再上下方向伸長兩倍大. = sinx 圖形向右平移單位 = sin(x) = sin(x ) 5. a = 9.8,b = 4. 利用函數圖形圖解有 4 個交點 :,5,,7 5. 個實根. A = 7.05,B =,C = 4.5,D = a b c d. < t < 5 ;.5 < t < 8 順伯的窩三角學 II (B) [ 第頁 / 共頁 ]

22 高中數學講義三角函數的性質與圖形... 教用版附答案... 順伯的窩 - End - [ 第頁 / 共頁 ]

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角

第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒一有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負角度與弧度 : 1() 1() 弧度弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角一有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度角度弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積