康熹中學九十六學年度第一學期

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靴华
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1 一單選題 ( ). ABC 中, a, b, c,則面積為: (A) A b cosa + c a bc + ( ).. sina (B) cos A (C) ( ) (D) (E). ABC 面積 bcsina ( ). ABC 中, a, b, c,則外接圓半徑為: (A) B (B) (C) (D) (E). 承上題,已知 sina 外接圓半徑 R a sin A ( ). 下列各組數,何者可為一個銳角三角形三邊長? (A),, (B),, (C),, (D),, (E),,6. E (A) + 不能構成三角形 (B) 6 > + 構成鈍角三角形 (C) + 構成直角三角形 (D) 9 > + 構成鈍角三角形 (E) 6 6 < + 構成銳角三角形故選 (E) ( ). 在 ABC 中,已知 AC 0, AB 8, A,則 ABC 的面積為: (A)0 (B)0 (C)80 (D)0 (E)0. A ABC 面積. AB. AC.sinA.8.0.sin 0 ( ). 在 ABC 中, A, B, C 之三對邊長分別為 a,b,c,若滿足 (a b + c) (sina sinb + sinc),則此三角形的外接圓半徑 R (A) (B) (C) (D) (E). B a b c R sin A sin B sin C a b + c R(sinA sinb + sinc) (sina sinb + sinc)

2 R ( ) 6. ABC 中, A, B, C 的對邊長分別為 a,b,c,若二次方程式 x sina + xsinb + sinc 0 有等根,則下列各選項何者正確? (A)b a + c (B)c a + b (C)b ac (D)c ab (E)abc. C 若二次方程式 x sina + xsinb + sinc 0 有等根則 (sinb).sina.sinc 0 sin B sinasinc 0 sin B sinasinc 0 a 由正弦定理知 sina, sinb b R R, sinc c b a 代入上式可得 ( R R ) ( R )( c R ) 0 b ac 0 b ac 0 b ac b ± ac ( 負不合 ) R R b ac,故選(c) ( ). 有一邊長為的正六邊形紙板,今在每一個角各剪掉一個小三角形,使其成為正十二邊形之紙板,則此正十二邊形之一邊長為: (A) (B) E (C) (D) 令所截去三角形的腰長為 x,則所得正十二邊形之一邊長為 x 如圖,由餘弦定理知 ( x) x + x x.x cos0 x x x 6 ± ( 正號不合 ) 故正十二邊形的邊長是 (6 ) 6 9 (E)6 9. 二多選題 ( ). 下列何者是一個鈍角三角形的三邊長? (A),, (B),, (C),,6 (D),, (E),, 8. AD (A) + <,為鈍角三角形 (B) +,為直角三角形 (C) + > 6,為銳角三角形 (D) + <,為鈍形三角形 (E) + 8,不為三角形故選 (A)(D) ( ). 由下列條件解 ABC,何者恰有一解? (A) A 0, B 60, C 80 (B)a, b, c 6 (C)a, b, A 0 (D)a, b, A 0 (E)a, b, C 0. CE (A) 由 AAA 公式知,滿足此條件的三角形有無數多個 (B) a + b c 無解 a b (C) sinb B 90 sin A sin B sin 0 sin B C 60, c,恰有一解,如下圖

3 a b (D) sinb,無解 sin A sin B sin 0 sin B (E) 由 SAS 公式知,滿足此條件的三角形恰有一個 ( ). 滿足下列條件的 ABC,何者恰有一解? (A)a, b, A 0 (B) A 0, B 60, C 90 (C)a, b, c (D)a 6 +, b, A 0 (E) A 60, B, b. DE (A) 由正弦定理 sin 0 sin B sinb (B) 由 AAA 公式知,滿足此條件的三角形有無限多個 (C) a + b c 無解 6 + (D) 由正弦定理 sin0 sin B sinb B 0 或 0 ( 不合 ),恰有解 B 或,故有解 a (E) 由正弦定理 a 6,恰有解 sin 60 sin ( ). ABC 中,若 a + c b, a + b c,下列何者正確? (A)a:b:c : : (B)sinA:sinB:sinC :: (C) C 60 (D)sinA (E)cosB. ABDE a b + c 0 a + b c 0 a + b c a:b:c :: cosc ab.. C 0 sinc c + a b sina sinc, cosb ca.. ( ). 圓內切四邊形 ABCD 中, AB AD, C 60, D 0,下列何者正確? (A) BD (B) 此圓半徑 (C) AC 6 (D) ACB 0 (E) CAD. ABDE (A) BD AB + AD AB. AD. cos0 + + (B) R BD sin A. AC 6 + (C) AC. sin 0 sin0 6 + ( ) 6. 若 ABC 中, a,b,c 分別為 A, B, C 的對邊,則下列敘述何者正確? (A) 若 sin A + sin B sin C,則 C 90 (B) 若 sina,則 A 0 (C) 若 cosa < 0,則 A 是鈍角 (D)sinA + sinb > sinc (E) 若 c, b

4 , B 0,則 C. ACD a R ) + ( (A) 由正弦定理 ( (B) sina,則 A 0 或 0 b R ) ( c R ) a + b c C 90 π (C) cosa < 0,則 < A < π A 是鈍角 a (D) a + b > c R + b R > c sina + sinb > sinc R (E) 由正弦定理 sinc C 或 sin 0 sinc ( ). 若 a,b,c 分別表 A, B, C 的對邊長,則下列何者恰可決定一個三角形? (A)a 9, b 0, A 60 (B)a, b, c (C) A: B: C ::0 (D)a 0, B 60,三角形面積為 0 (E)a b DE, A 89. (A) (D) (E), (A) 由餘弦定理知 c c.cos60 9 c 0c c ± 6 故不能恰好決定一個三角形 (B) 三角形中,二邊之和必大於第三邊,因為 b + c + a,故不能組成一個三角形 (C) 若已知 A : B : C ::0,則只能確定一個三角形的形狀,不能確定其大小, 故不能恰好決定一個三角形 (D) ABC 面積 acsinb 0 0 csin60 c b a + c accos ( ) b ± 8 0 ( 負不合 ) 故恰可決定一個三角形 (E)a b + c bccosa ( ) ( ) + c ccos89 c ccos89 0 c(c cos89 ) 0 c 0( 不合 ) 或 c cos89,故恰可決定一個三角形 ( ) 8. ABC 中,滿足下列條件,何者恰有一解? (A)a, b 0, A 0 (B)a, b, A 0 (C)a, b, A 60 (D)a, b, c 8 (E)a, b, A 0. ACE b + c a 00 + c (A)a, b 0, A 0, cos0 bc 0c c 0 c + 0 (c ) 0 c

5 8 + c 6 (B)a, b, A 0, cos0.. c c c + 0 (c )(c 8) 0 c 或 c (C)a, b, A 60, cos60. ± c c 0 c. c ± 6 ( 6 不合 ) (D)a, b, c 8, a + b + 8 > c,無法構成三角形 9 + c 6 (E)a, b, A 0, cos0.. c ± c c 0 c ( 恰有一解者為 (A)(C)(E) 三填充題不合 ). 梯形 ABCD 上底 BC,下底 AD 0,兩腰 AB 6, CD,則: ()cosa. () 而梯形 ABCD 的面積為. () ;()8 6 如上圖:過 C 作 AB 之平行線交 AD 於 E,則 CE 6, DE 0, CED A 在 CED 中,由餘弦定理 cosa cos CED 梯形 ABCD 之高 h AB sina 6. 6 面積 ( + 0).h 設 ABC 中, A 的分角線交 BC 於 D,已知 AB, AC, A 0,則 AD 的長為:. 8 () AD 平分 A BD : DC : 令 BD x, DC x, x > 0 由餘弦定理,設 AD t 9x 9 + t..t.cos60 t t + 9 x + t..t.cos60 t t + 消去 x, 9 6t 0t 0 t 8

6 () 由 ABC ABD + ACD..t.sin60 +..t.sin60...sin0 8t t 8. ABC 中, A, B 60, BC,則: () AB. () AC. () +;() 6 () C a c 由正弦定理 sin A sinc a b () 由正弦定理 sin A sin B sin sin c sin b sin 60 c + b 6. ABC 中, AB, BC, CA,則: () A. () 設 M 為 BC 中點,則 AM. 9 ()0 ;() b () 由餘弦定理 cosa A 0 + c a bc +.. () 設 AM x, AMB θ,則 AMC 80 θ cosθ cos(80 θ ) x + ( ) x + ( ) 9 x.x..x. x ± 9 ( 負不合 ). ABC 中, AB, AC, B 0,且 ABC 不是直角三角形,則: () BC. () C. () ;() 0 () 由餘弦定理知 b a + c accosb a + ( ) a. cos0 a a + 0 a 或 ABC 不是直角三角形 a () ABC 中 AC BC A B 0 C

7 6. ABC 中, b, c, tanb,則 a. tanb cosb b c + a cacosb 6 + a..a. a a 0 a. ABC 中, a, c +, A,則 b. 或 6 ( ) ( + ) + b b( + )cos b b( + ) + + b ( + )b b ( + 6 )b + 0 (b )(b 6 ) 0 b 或 6 8. ABC 中,若 AC 的中垂線交 AB 於 D,若 AD, BD, BC 8,則 AC cosb.. 8 AC AC 9. ABC 中, AC, BC, A 60,則 AB 之長為. + 由餘弦定理知 6 + AB cos60 AB AB 9.. AB ± ± AB. AB + ± ( 負不合 ) AB AB B, C 60, a (+ ),求 ABC 的面積. (+ ) ( + ) 由正弦定理知: sin b sin ( ) ABC 之面積 ( + ) sin60 ( + ) b b

8 . 設圓內接四邊形 ABCD 中, CAD 0, ACB, CD,試求: () AB 之長. () 劣弧(的弧長. CD π () ;() () 設 ADC θ, ABC π θ AC 在 ACD 中, sin AC AC,在 ABC 中, θ sin0 sin( π θ ) sin θ AB sin sin 0 AB sin () ACD 之外接圓半徑 R 則劣弧(之圓心角為 CD 6. ABC 之三邊長為 8,0,,則: () ABC 之面積為. () ABC 之外接圓半徑為. () ABC 最大邊上之中線長為. 6 () ;() ;() 6 sin AB sin 0 π R,又 CAD 0 sin 0 6 π π 劣弧( π π 之長 CD () 設 a 8, b 0, c,則 s ( ), 由海龍公式... abc () 由 R 8 0 R 0 6 R () 最大邊上之中線長 a + b c ABC 中,已知 A(,), B(,), C(, 6),則: ()sina. () ABC 的面積為 () ;() 8 在 ABC 中, a BC b AC c AB [ ( ) + ( 6 ) ( )] + ( 6 ) 98 [ ( )] + ( ) 8

9 b cosa sina + c a bc cos A ( ) + (. ). ( ) 8 8 ( ) ABC 面積 bcsina 長方形 ABCD,令 AB 6, AD 8,對角線 AC 與 BD 相交於 P 點,求 cos APB. AB 6, AD 8, AC BD 0 AP BP cos APB + 6. ABC 中, B, C 60, a +,求: () AB 的值. () 外接圓半徑. () 6 ;() B, C 60 A BC AB 由正弦定理知 sin A sin C AB 又 R sinc R AB sinc AB BC sin C ( sin A 6. ( + )sin 60 sin + ) 6. 設 ABC 中, AB, CA +, A 0,則: () BC 的長度為. () C 的大小為度. () ;() () 根據餘弦定理可得 6 + BC + ( + )..( + )cos0 + ( + ).( + ) BC 6 9

10 () 因為 b + > c,故 C 為銳角,由正弦定理知: sinc sin 0 sinc. C. 若 ABC 的三邊分別為,,,試求出: () ABC 的面積. () 內切圓半徑. () 6 ;() 6 () 利用海龍公式, s ( + + ) 8 則 ABC s( s a)( s b)( s c) 8(8 )(8 )(8 ) 6 6 ()r s ABC 中,若 a b c 0, a + b c 0,則: () sina:sinb:sinc. () cosc. () ::;() 9. ABC 中, AB +, AC, C 0,則: () BC. () B. () ;() 0 0. ABC 中, a, b, c,則: () C. () ABC 面積. ()0 ;(). ABC 之三邊長分別為 AB, BC 6, AC,則: () ABC 之內切圓半徑為. () 若 A 之外角平分線交直線 BC 於 D,則 AD 長為. () 6 ;() 0 ()s ( ) 9 海龍公式: s( s a)( s b)( s c) 9(9 )(9 6)(9 ) 內切圓半徑 r s 9 CD () BD AB 6 AC x + 6 x BD x 由 ABC 及 ACD 中,利用餘弦定理可得 cosc AD AD ABC 中,三邊 AB, BC, CA 的高分別為 h c, h a 6, h b, 則: ()cosa. () BC, () ABC 的外接圓半徑 R. 0

11 6 6 () ;() ;() 8 () a:b:c b + c : : : : :: cosa h a hb hc 6 bc () 在直角 BCH 中, h b BH BC sinc a cosc + b c ab sinc a. a 8 6 a a a 6 () R cosa sina R sin A 8 8 sin A. 設 ABC 中,已知 a 0, b 6, A,則 ABC 的面積可為. ( ± ) 由餘弦定理 a b + c bc cosa c. 6.c. c 0 c c ± bc sina. 6.( ± ). ( ± ). 若 0 x, 0,0 + x 為一三角形的三邊長. () 則 x 的範圍為. () 又若此三角形為銳角三角形,則 x 的範圍為. () < x < ;() < x < () 之三邊為 0 x, 0,0 + x 0 x > 0 x < x > 0 x > 0 < x < (0 x) + 0 > 0 + x x < (0 + x) + 0 > 0 x x > () 此之三邊長成等差,欲其表一銳角三角形,則須 (0 + x) (0 x) > (0 x) > (0 + x) 所求為 < x < 0x > 00 0x < 00 x > x <. 設 ABC 的外接圓半徑為 0,而 AB : BC :CA ::,則三角形的面積為. ( sin 6 + (+ ) )

12 AB : BC : CA :: A 80 B 80 C bcsina a Rsin A 0. b Rsin B 0. c Rsin C ( + ) 0 0 ( 6. ABC 中, AB, AC, A 60, A 的平分線交 BC 於 D,又其外角平分線交 BC 於 E, 則: () AD. () AE. 6 () ;() 6 () 設 AD x,由 ABC 面積 ACD 面積 + ABD 面積..sin60.xsin0 +.xsin x. + x. x () 設 AE y,由 ACE 面積 ACB 面積 + ABE 面積 6 + ).ysin0..sin60 +.ysin60 y 6 + y y 6. ABC 中,若 (sina + sinb + sinc)(sina + sinb sinc) sinasinb,則 C. 0 a 原式 ( R + b R + c R )( a R + b R c R ) a R. b R (a + b) c ab a + b c ab a + b c ab cosc C 0 ab ab 8. ABC 中, a, b, c, h a 表 a 邊之高, m c 表 c AB 邊之中線長,求 : () ABC 之面積. () h a. () m c. () ;() () s () ;() 0..ha h a () m c ( a + b ) c s( s a)( s b)( s c) 0 ( + 9) asin C 9. 銳角 ABC 中, sina,則 b a cosc.

13 asin C asin C b a cosc a cosc + c cos A a cosc asinc R sin Asin C sin A tana ccos A R sin C cos A cos A 0. ABC 中, asina bsinb csinc,若最大內角為 θ,則 cosθ. 6 a b c 原式 a b c R R R a a a:b:c a: : 6 : : b cosa + c a bc ABC 中, AB, AC, A 0, A 之分角線交 BC 於 D,則 AD. ABC ABD + ACD...sin0.. AD.sin AD.sin60 AD AD. 圓之內接四邊形 ABCD 中,若 AB 6, BC, CD 6, B 0, 則: () AC. () AD. () 四邊形 ABCD 的面積. ()0;() 9 ;() () 圓內接四邊形 ABCD, B 0 D 60,於 ABC 中,利用餘弦定理 AC cos0 6 AC 6 9 () 於 ADC 中,設 AD d 再次利用餘弦定理 AC 6 + d.6.d.cos60 d 6d 0 0 d 0 () 隨之,四邊形 ABCD 之面積 ( ).. ABC 中, BC a, CA b, AB c,已知 ab:bc:ca ::,試求: () sina:sinb:sinc. () cosa. 9 () ::6;() 6 () 已知 ab:bc:ca :: 且 abc 0 ab bc ca : : :: abc abc abc : : :: c a b a:b:c : : ::6 sina:sinb:sinc ::6 () 令 a k, b k, c 6k

14 b 則 cosa + c a bc (k) + (6k) (k). k. 6 k 9 6k 9 k 6. 已知 ABC 內接於半徑為 R 的一個圓,且 AB, AC, A 0,則: () BC. ()R. () 9 ;() BC +...cos BC 9 在 BOC 中, BOC 0, OB OC R R cos0 R 9 R + R ( 9). R. R R 9,故 R. 若 ABC 的三內角 A, B, C 滿足 sina sinccosb,則 ABC 的形狀為三角形.等腰 a 由正弦定理知 sina, sinc c R R a + c b cosb ac sina sinccosb a c. R. a + c b R ac a a + c b c b c b 故 ABC 為等腰三角形 6. a, b, c 為 ABC 三邊長,若 a b c 0 且 a b + c 0,求 cosa:cosb:cosc. 9:: a b c 0 a b + c 0 a:b:c : : ( 6) :( ) :( ) 6:: 設 a 6k, b k, c k cosa:cosb:cosc (k) + (k) (6k) (6k) + (k) (k) : (k)(k) (6k)(k) 8 : 60 6 : 6 9:: (6k) : + (k) (k) (6k)(k). 在 ABC 中, AB 8, BC 8, A 0,則 ABC 面積. 6

15 BC AB sin A sin C B 80 A C sin C sinc C 0 或 0 ( 不合 ) ABC 面積 AB. BC.sinB.8.8.sin 若 ABC 中,已知 AB 6, AC, BAC 60,若 A 的分角線 AD 交 BC 於 D 點,求: () ABC 的面積. () A 的分角線 AD. () BC. () sinb. () BD. ()6 ;() ;() ;() () ABC.6..sin ;() () ABD + ACD ABC AD.6. AD.sin0 +.. AD.sin0 6 () 由餘弦定理, BC cos60 BC () 由正弦定理 sinb sin 60 sinb () 在 ABD 中,利用正弦定理 AD sin B BD AD BD sin0 sin B 6 9. 已知圓內接四邊形 ABCD, AB BC, CD, DA 8,則 BD. 利用餘弦定理,則 BD cosα BD + cosβ 6 8cosα 0cosβ 6 8cosα 0( cosα)( α + β π) 6 8cosα + 0cosα cosα 代入 BD BD

16 0. 設 ABC 之三邊長分別為 AB 8, BC, AC,則: () ABC 最小內角之餘弦的函數值為. () sina : sinb : sinc. () ABC 的面積. () ABC 的外接圓半徑為. () ABC 的內切圓半徑為. (6) BC 邊上的中線長. () 設 B 的內角平分線交 AC 邊於 D 點,則 BD 之長為. () ;() : : 8;() 0 ;() () A 為最小內角,利用餘弦定理 cosa () 由正弦定理 sina : sinb : sinc ::8 () 利用海龍公式 s ( + + 8) ;() ;(6) ;() s( s a)( s b)( s c) 0(0 )(0 )(0 8) 0 abc () 由 R abc 8 外接圓半徑 R 0 0 () 由 rs 內切圓半徑 r s 0 (6) 延長 AM 使得 MD AM,則 ABDC 為一平行四邊形由平行四邊形定理 (x) + ( + 8 ),得中線長 AM x 0 () BD 為內角平分線 AD AB AD AC CD CB 於 BAD 及 BAC 中,利用餘弦定理 6

17 8 cosa 6 + ( ) BD BD. ABC 中, AB 6, BC, CA,延長 BC 至 D,使 CD,且 C 在 B, D 之間,則: () AD. () ACD 面積為. () 8 ;(). ABC 中, AB, BC 8, AC, M 為 BC 中點, AD BC 於 D,則: () AM. () AD. () ;(). 圓內接四邊形 ABCD 中, AB AD, C 90, D 0,則: () 外接圓半徑為. () AC. () ;() +. 平行四邊形 ABCD 中, AB 6, BC 9, ABC 60,則兩對角線: () AC. () BD. () ;() 9. 設 ABC 中,若 a sin B + b sin A abcosacosb,則此三角形的形狀為.直角三角形 a sin B + b sin A abcosacosb a ( cos B) + b ( cos A) abcosacosb a + b a cos B + b cos A + abcosacosb (acosb + bcosa) c ( 投影定律 ) ABC 為直角三角形 6. 設四邊形 ABCD 內接於一圓且 AB, BC, CD, DA,則: () AC. () 四邊形 ABCD 的面積為. () () ;() 6 如上圖:設 ADC θ,則 ABC 80 θ,由餘弦定理知 AC cosθ cosθ AC +...cos(80 θ ) + cosθ 消去 cosθ, + 6, 又由 AC 代入 cosθ AC + 0 AC 6 sinθ

18 四邊形 ABCD 之面積 (. +.)sinθ 6 () 利用公式:圓內接四邊形之邊長分別為 a, b, c, d,則面積 ( s a)( s b)( s c)( s d) 6,其中, s (a + b + c + d). ABC 中, BC a, CA b, AB c,若 log (a + b + c) + log (a + b c) log a + log b,則 C 為度. 0 log (a + b + c) + log (a + b c) log [(a + b) c ] log a + log b log ab (a + b) c ab a + ab + b c ab a + b c ab a + b c ab 又 cosc C 0 ab ab 8. ABC 中, AB, AC 6, BC, () M 為 BC 上的中點, AM. () A 的分角線交 BC 於 D, AD. () 若 E 為 BC 上異於 B, C 的一點,且 AE,求 BE 之長. 0 () ;() ;() () AB, AC 6, BC, M 為 BC 上的中點, AM 為中線,由三角形的中線定理知 AB + AC AM + BC + 6 AM + ( ) AM AM () A 的分角線交 BC 於 D, AD 為角平分線, BAD CAD BD : DC :6 :,又 BC BD, DC 設 AD x cos BAD cos CAD 9 + x 6 + x x 9 + x ( ) 6 + x ( ).. x. 6. x 9 x x () AE,設 AEB θ, AEC π θ, BE y, CE y cos AEB cosθ cos AEC cos(π θ) cosθ + y.. y + ( y) 6.. ( y) 0 y + y 0 y + y y 0 y 9. 設 ABC 滿足 (a + b c)(b + c a) ( )ca,試求 tanb. ( 其中 a, b, c 分別表 A, B, C 的對邊長 ) (a + b c)(b + c a) ( )ca [b + (a c)][b (a c)] ( )ca b (a c) ( )ca b a + ac c ca ca b a + ca c 0 a + c b ca 8

19 a cosb + c b ac 0. 在 ABC 中,已知 AB 9, BC 0, AC,求: () 若 D 為 BC 中點,則 AD. () ABC 之內切圓切 BC 於 E,則 AE. () 9 ;() ca B tanb tan ac AB ()cos ABC AD + BC AC AB. BC , D 為 BC 中點 BD AB + BD AB. BD cos ABD AD 6 9 () ABC 之內切圓切 BC, AC, AB 於 E, F, G,設 BE BG x, CE CF 0 x 9 x AG AF (0 x) + x x AE AB + BE AB. BE cos ABE AE. ABC 中, B 0, BD 為 ABC 之平分線, AB 6, BC,又 ABE 90 ( 如下圖 ),則: () BD. () AE. ();() () 令 BD x, ABC ABD + BDC.6..sin0.6.x.sin60 +..x.sin60 x () 令 BE y, ABE 90 DBE CBE 0 由 BDC BDE + BEC..sin60..ysin0 +.y.sin0 9

20 6 y AE AB + BE. 若 ABC 如下圖,已知 cosθ,求 B 點之坐標 (x, y). 8 ( + 6, ) AB x + y x + y 9 由餘弦定理知 BC AB + AC AB AC cosθ (x ) + (y ) + ( ) x 6x y 8y x 8y + ( 由知 ) x + y x y x ± 8 由代入得 x + ( ) 9 x + 0x 9 0 x B 點在第二象限,故 x y (x, y) (, ). 設 ABC 中, AB, BC 6, CA,其內切圓切三邊 BC, CA, AB 於點 D, E, F,則:() AD. ABC 而 () 面積的比值. DEF ();() 8 () 如圖, s ( ) 9,故 BD BF s b 9 + AD 分別在 ABD, ABC 中,由餘弦定理,可得.. cosb (9 AD ) 6 9 AD AD 0

21 () 同理可得 AE AF s a 9 6, CE CD s c 9 故由幾何性質,得 DEF ABC AEF BDF CDE ABC ABC ABC ABC ( ) ABC ABC ABC 故 DEF 8. 共頂點 O 的兩射線其夾角為 0,點 A 在一射線上,而點 B 在另一射線上且 AB,試問 OB 長之值最大可能為. 6 由餘弦定理 x + y xycos0 x + y xy 9 0 x ( y)x + (y 9) 0 x R D 0,即 ( y) (y 9) 0 y 6 y 6, OB 之最大可能值為 6. ABC 中,若 (a + b + c)(b + c a) bc,則: () cosa. () A. () ;() 60 ( a+ b+ c)( b+ c a) bc b + c a bc b + c a bc cos A bc bc A 60 四計算題. 設 ABC 中,已知 a, b 0, c 6,試求 ABC 之: () 面積. () 外接圓的半徑. () BC 邊上的中線. () 最大內角的度量. () ;() ;() 9 ;() A 0 ()a, b 0, c 6 s (a + b + c),由海龍公式 9 b + c a () 由餘弦定理 cosa A 0 bc 0 6 由正弦定理 a RsinA R. R abc 由 R R R 60 () BC 邊上之中線 b + c a

22 () 最大邊為 a 最大角 A 0 ( 由 ()). ABC 中, AB, BC, CA 8, BCDE 是正方形,如圖,試求: () cos ABE. () ABE 的面積. 8 () ;() () cos ABE cos(90 + ABC) sin ABC 8 (8 + A 90 ) () sin ABE 8 ( ), ABE 面積.... 梯形 ABCD 中, AD // BC,若 AD 6, AB, BC 0, CD,求此梯形面積 CDE 中, s CDE h. 8 h,故梯形面積. 6. 已知 sin 在 ABC 中, AB AC, B,試求 ABC 之面積. 6.( 平方單位 ) B C, A ABC AB AC sina sin sin sin(80 66 ) sin ( 平方單位 ). 若 a, b, c 8,則 ABC 的內切圓半徑為何?

23 設 r 為 ABC 內切圓半徑,比較面積得: ar + br + cr s( s a)( s b)( s c ) rs s( s a)( s b)( s c) a, b, c 8,代入得 r 6. 設 ABC 中, BC a, CA b, AB c,已知 a b + c 0,a + b c 0. () 求 sina:sinb:sinc. () 求 cosa. () 若周長為 0,求 ABC 的面積. () ::;() ;() a b + c 0 () a + b c 0 消去 c 0a 6b 0 a:b :,消去 b a c 0 a:c : a:b:c :: sina:sinb:sinc a:b:c :: b + c a ()cosa bc 0 () 若 a + b + c 0,則 a 6, b 0, c s 9. 圓內接四邊形 ABCD 中,已知 AB, BC, CD, B 60,求 AD 之長. 如上圖,圓內接四邊形 ABCD 中 B 60 ADC 0 故由餘弦定理知: AC x +.xcos cos60 解之,得 x, x ( 不合 ),即 AD 8. 設 ABC 中, AB, BC 6, AC.在 BC 上取一點 D 使得 BD : DC :,試求 AD 之值. 因為 BC 6,且 BD : DC : 6 + 所以 BD,在 ABC 中,由於 cosb. 6. 在 ABD 中,因為故所求 AD AD +..cosb 9. 如下圖, ABC 的三邊長 AB, BC 8, CA 9.若四邊形 ABDE,四邊形 ACFG 均為正方形,試求 EG 長,及 AEG 的面積.

24 EG ; () 令 BAC θ,在 ABC 中,由餘弦定理,得 cosθ.. 9 在 AEG 中,因為 AE AB, AG AC 9 而 EAG 80 θ,故所求線段長為 EG cos (80 θ ) 96 () cosθ 8 sin(80 θ ) sinθ 8 故 AEG 的面積為 AEG AE. AG sin(80 + θ ) 已知 ABC 的周長為 0,內切圓半徑為, A 60,且 b < c,求 ABC 的三邊長面積及外接圓的半徑. (a, b, c) (,,8); 0 ; R () 如上圖 a + b + c s 0, s 0,內切圓半徑 r, A 60 A r 故在 AOD 中,因為 tan s a () rs.0 0 tan0 0 a a () bcsin60 0 bc 0,又 a + b + c 0 且 a,所以 b + c 故由 b + c 及 bc 0, b < c,解得 b, c 8 a () 外接圓的半徑 sin 60. 在 ABC 中, a, c,若 ABC 的面積最大,試求此時 b 邊的長. b 令 s (a + b + c) (b + ),其中 < b <.故由海龍 (Heron) 面積公式知: s( s a)( s b)( s c) ( b )( b 9) b + b b b b + b 9 6 (b ) 故當 b,即 b 時, ABC 有最大面積. 在 ABC 中, a + b + c + a b c (a + b ),求 C 的度數.

25 60 或 0 將所給予條件配方: a + b + c + a b c (a + b ) (a + b ) (a + b )c + (c ) a b (a + b c ) a b a + b c ± ab a + b c ± ab 其次由餘弦定理,可得 cosc ±,故可得 C 60 或 C 0 ab ab. 四邊形 ABCD 為一平行四邊形,已知 AB, AD 6, A 0.過點 C 有一動直線 L 分別交 AB 及 AD 於 P,Q 兩點,求 APQ 的最小面積. 如上圖,令 BP a, DQ b,則 PBC~ PAQ a 6 於是可得 ab, a + b + 6 考慮 APQ 的面積為 APQ (a + )(b + 6)sin0 (ab + 6a + b + ) + (a + b) + a. b + 故當 a b,亦即 a 6, b 時, APQ 有最小面積. 若一鈍角三角形的三邊長為三連續整數,求此三角形三邊的長及最大角的餘弦.,, ; () 設三邊長為 a, a +, a +,其中 a 為正整數,則 a, a +, a + 為三邊的條件為 a + ( a + ) > a + ( a + ) > a + ( a + ) 由解得 a > ;由解得 < a <,與取交集得 < a < 因為 a 為正整數,故取 a,亦即三邊長為,, + () 若令最大角為 θ,則由餘弦定理知: cosθ... ABC 中, A 60, AB 8, AC 6, A 之內角平分線與外角平分線分別交 BC 於 D,E,求 AD, AE 長度. () AD ;() AE () 如上圖,因為 ABC 面積 ABD 面積 + ADC 面積,故由面積公式可得.8.6.sin60.8. AD.sin0 +. AD.6.sin0 AD + AD AD AD () 因為 ABE 面積 ABC 面積 + ACE 面積

26 故.8. AE.sin0.8.6.sin AE.sin60 AE + AE AE 6. 已知 P 為正方形 ABCD 內部的一點,若 AP, BP, CP,試求正方形 ABCD 的面積. 令 AB x, CBP θ, ABP 90 θ,在 ABP, CBP 中,由餘弦定理知: x + 9 x x + x sinθcos(90 θ ), cosθ 0x 0x 0x 0x +,整理得 x 0x x 或 x 8( 不合 ) 亦即正方形邊長為 x,所以面積五證明題. ABC 中,敘述並證明正弦定理.見詳解 a b c () ABC 中, 稱為正弦定理 sin A sin B sin C + () 由 ABC 面積 bcsina casinb absinc bcsina casinb absinc abc abc abc bc sin A ca sin B ab sin C a b c sin A sin B sinc. 如圖,求證四邊形 ABCD 的面積 AC. BD.sinθ. 見詳解設對角線相交於 P 點,四邊形 ABCD PAB + PBC + PCD + PAD [ PA. PB sinθ + PB. PC sin(π θ )] + [ PC. PD sinθ + PA. PD sin(π θ )] PB sinθ ( PA + PC ) + PD sinθ ( PC + PA ) ( PA + PC )sinθ ( PB + PD ) AC. BD.sinθ. 設 ABC 中, BC a, CA b, AB c,三內角各以 A, B, C 表之.若 x 的二次方程式 (b c)x + (c a)x + (a 6

27 b) 0 有等根,試證: B 60.見詳解 (b c)x + (c a)x + (a b) 0 有等根判別式 (c a) (b c)(a b) 0 c ca + a ab + ac + b bc 0 a + b + c ab bc + ac 0 (a b + c) 0 a b + c 0 c + a c + a ( ) c + a b cosb c + a ca ca ca 8ca c a a c ( + ) cos60 8 a c 8 c a B 60. 設 ABC 的三邊長為 a,b,c,且其各邊上的中線長依次為 m a,m b,m c,試證:(b c )m a + (c a )m b + (a b )m c 0.見詳解 (b c )m a + (c a )m b + (a b )m c (b c ). b c [ b a a + c ( b c ) c + (c a ). c a b ] + [ + a b a + b c + (a b ). ( c a ) a b c ( a b ] + [ ) ] [(b c ) + (c a ) + (a b )] [a (b c ) + b (c a ) + c (a b )] 0. ABC 中,若 acosa + ccosc bcosb(a,b,c 為 ABC 三內角 A, B, C 的對邊 ),試證明: ABC 為一直角三角形.見詳解 b + c a a + b c c + a b a. + c. b. bc ab ca a ( b + c a ) c ( a + b c ) b ( c + a b ) + abc abc abc a (b + c a ) + c (a + b c ) b (c + a b ) b a + a c c 0 b (a c ) 0 (b + a c ) (b a + c ) 0 b + a c 或 a b + c ABC 為一直角三角形 6. 圓內接四邊形 ABCD 的面積為,四邊長分別為 AB a, BC b, CD c, DA d,且 s (a + b + c + d).試證明下列等式成立: () (ad + bc)sina. () a + d b c (ad + bc)cosa. () ( s a)( s b)( s c)( s d). 見詳解 () 因為四邊形 ABCD 為圓內接四邊形,故 A + C 80 亦即可得 sina sinc, cosa cosc 所以四邊形 ABCD 面積為 ABD + BCD adsina + bcsinc adsina + bcsin(80 A) (ad + bc)sina () 其次,考慮在 ABD, BCD 中,由餘弦定理知: a + d adcosa BD b + c bccosc a + d adcosa b + c + bccosa a + d b c (ad + bc)cosa () 由 () 得 (ad + bc) sin A (ad + bc) ( cos A)

28 a 由 () 得 cosa + d b c ( ad + bc) ( a + d b c ) (ad + bc) [ ( ad + bc),將代入,得 ] 6 [(ad + bc) (a + d b c ) ] 6 [(ad + bc) + (a + d b c )][(ad + bc) (a + d b c )] 6 [(a + d) (b c) ][(b + c) (a d) ] 6 (a + d b + c)(a + d + b c)(b + c a + d)(b + c + a d) 因為 a + d b + c a + b + c + d b s b (s b),同理 a + d + b c (s c) b + c a + d (s a), b + c + a d (s d),將上式代入中,得 6.(s b).(s c).(s a).(s d) (s a)(s b)(s c)(s d) 故得 ( s a)( s b)( s c)( s d). 在 ABC 中,若 (b c)cos A bcos B ccos C,試證: A 0 或 B C.見詳解首先將餘弦化正弦,可得 (b c)cos A bcos B ccos C (b c)( sin A) b( sin B) c( sin C) (b c)sin A bsin B csin C a b c 其次用正弦定理,角的關係轉化邊的關係,得 (b c).( R ) b.( R ) c.( R ) (b c).a b c,因式分解,得(b c)(a b c bc) 0 b c 或 b + c a + bc 0 () 當 b c,即 B C b + c a bc () 當 a b + c + bc 時, cosa A 0 bc bc 由 () 及 () 得知: ABC 為 B C 或 A 0 8

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