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- 名 蓟
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1 3 6 正弦餘弦函數之疊合 ( 甲 ) 正餘弦的疊合 我們考慮正餘弦函數圖形, 如圖中虛線的圖, 圖形像波動的形狀, 有高有低, 起伏很規則 高的地方就是波峰, 低的地方就是波谷 如果兩個波動同時進行, 疊合在一起後, 會變成什麼樣子呢? hx () = sin ()+cos x () x gx () = cos() x fx ( ) = sin ( x) 從上圖可以看出,y=sinx+cosx 的圖形基本上與 y=sinx( 或 y=cosx) 的圖形類似, 只是振幅與位置有些改變或移動 進一步觀察, 當 sinx=cosx 時, 此時 y=sinx+cosx 的圖形出現波峰與波谷, 且 y=sinx+cosx 的圖形向右移動若干單位 我們猜測 y=sinx+cosx 可表為 y=rsin(x+θ), 要如何決定 r 與 θ 呢? y=rsin(x+θ)=r(sinx cosθ+cosx sinθ)=sinx+cosx r cosθ=1 且 r sinθ =1 r = r= cosθ= 1 且 sinθ = 1 可取 θ= π 4 y=sinx+cosx= sin(x+ π 4 ) (1) 疊合的方法 : 考慮 y=f(x)= sinx+ cosx,, 為實數, 根據前面例子的推測, 我們也按照前面例子的做法, 將 y=f(x)= sinx+ cosx 化成 y=f(x)=rsin(x+θ) y=rsin(x+θ)=r(sinx cosθ+cosx sinθ)=sinx+cosx r cosθ = (*) (*) +(**) r = + r= + r sinθ = (**) cosθ= + 且 sinθ= + θ 的找法如下 : ~3 6 1~
2 在以原點為圓心之單位圓上, 根據 cosθ= + 且 sinθ= +, 先判別出 θ 終邊的位置, 在找出 θ 的值 我們將這些結果寫成一個定理 : 若設, 為實數, 且 + 0, 則函數 y= sinx+ cosx 可以表為 y= + sin(x+θ), 其中 θ 為滿足 sinθ= +,cosθ= + 的角 θ 證明 : 因為 y=sinx+cosx= + ( 而且 ( + ) +( + sinx+ + ) =1, 點 P( +, + cosx), 一個角度 θ, 使得 sinθ= +,cosθ= +, 所以 y= + (cosθ sinx+sinθ cosx)= + sin(x+θ) + ) 在單位圓上, 因此可找到 [ 討論 ]: 如果選擇點 Q( +, + ), 則點 Q 亦在單位圓上, 因此可找到一個角度 ϕ, 滿足 cosϕ= +,sinϕ= +, 於是 y= sinx+ cosx= + ( sinϕsinx+ cosϕcosx)= + cos(x ϕ) 例如 : 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成正弦與餘弦函數 (1) 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成正弦函數先求兩係數的平方和 的正平方根 = ( 3) +1 =, 再將原式提出 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx =( sinx+1 cosx) =(sinx cosθ+cosx sinθ) =sin(x+θ) cosθ= 3 且 sinθ= 1 θ 為第一象限角 取 θ= π 6 y=f(x)= 3 sinx+cosx=sin(x+ π 6 ) () 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成餘弦函數先求兩係數的平方和的 正平方根 = ( 3) +1 =, 再將原式提出 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx =( sinx+1 cosx) =(sinx sinθ +cosx cosθ ) =cos(x θ) sinθ= 3 且 cosθ= 1 θ 為第一象限角 取 θ= π 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx=cos(x π 3 ) ~3 6 ~
3 () 圖解正餘弦函數的疊合 : DF+DE=sinx+cosx C E D CG=C sin(x+θ), 其中 C= +, 而 tnθ = 因為 DF+DE=CG 所以 sinx+cosx= + sin(x+θ) θ x G F 結論 : (1) 可將正餘弦函數的線性組合 sinx+cosx 化成正弦函數, 也可化成餘弦函數 () + y= sinx+ cosx + (3) f(x)= sinx+ cosx 的週期為 π (4)y= sinx+cosx= + sin(x+θ) 的圖形是先將正弦函數 y=sinx 的圖形向左 (θ>0 時 ), 或向右 (θ<0 時 ) 平移 θ 單位後, 再上下伸縮 + 倍而得到的圖形 (5) 函數 y=sinx+cosx= + sin(x+θ) 的週期為 π, 振幅為 +, 最大值為 +, 最小值為 + [ 例題 1] 設 70 < < 360 且 3 sin + cos = sin 004, 若 = m, 則 m = (93 學科能力測驗 ) ns:306 [ 例題 ] 設 y= 3cosx sinx+1, 在下列範圍內, 求 y 的最大值與最小值 (1)x R () π 6 x 5π 6 ns:(1)3, 1 (), 1 ~3 6 3~
4 [ 例題 3] 設 y=3sinx+4cosx+10,0 x π, 則當 x=? 時,y 有最大值 M=? ns:x= π sin 1 4 5, 時 M=15 y D( 4 3 5,3 5 ) C( 5,4 5 ) O α (1,0) x [ 例題 4] 設 0 x π, 求 y=3 cos( π 6 x)+sinx 的最大值, 最小值 ns:5,3 3 ( 利用和角公式先化簡 cos( π 6 x)) ( 練習 1) 求 csc10 3 sec10 之值 ns:4 ( 練習 ) 設 sinx- 3cosx=cos(x-θ), 其中 >0, 而 0<θ<π, 則 =, 而 θ= ns: 5π =;θ= 6 ( 練習 3) (1)y= 3sinx cosx 最大值為, 最小值為 ()y= 3sinx cosx+1 最大值為, 最小值為 (3)y=5sinx 1cosx 最大值為, 最小值為 (4) y= 40sinx+9cosx 最大值為, 最小值為 ( 練習 4) 試求下列各函數的極大值與極小值 (1)f(x)= 3sinx+cosx+5 ()g(x)=sin(x π 6 )+cosx+5 ~3 6 4~
5 (3) 設 x y= π 6, 求 h(x)=cosx+siny+5 的極大值與極小值 ns:(1) 極大值 =7, 極小值 =3 () 同 1(3) 同 1 ( 練習 5) 設 y=sin( π 6 x)+cosx (1) 若 y=sin(x+), 其中 >0,0 <π, 求實數, 之值 () 若 0 x π, 求 y 之最大值與最小值 ns:(1)= 3,= π 3 ()3, 3 ( 乙 ) 三角函數的極值 [ 例題 5] 在下列條件下, 求 y=sin x 3cosx+1 之最大值及最小值 (1)0 x π, ns:m= 33 8,m= ()0 x π 3,ns:M=1,m= [ 例題 6] ( 倍角 + 疊合求極值 ) 設 0 x π, 若 f(x)=3sin x+4 3 sinx cosx cos x, 則 (1) 當 x= 時,f(x) 有最大值 = () 當 x= 時,f(x) 有最小值 = [ 答案 ]:(1) π 3,5 ()5π 6, 3 [ 解法 ]: 將 f(x)=3sin x+4 3 sinxcosx cos x =3 1 cosx +4 3 sinx 1+cosx = 3 sinx cosx+1 3 =4( sinx 1 cosx)+1 =4sin(x π 6 )+1 因為 0 x π, 所以 π 6 x π 6 11π 6 1 sin(x π 6 ) 1 ~3 6 5~
6 當 x π 6 =π x=π 3,f(x) 有最大值 5 當 x π 6 =3π x=5π 6,f(x) 有最小值 3 作法 : 正餘弦偶次式, 求極值 f(x)= sin x + sinx cosx + c cos x + d (1) 判定角方相同 ( 角方依次為 :x,xx,x, 均視為 次方 ) () 利用降次公式化同角, sin x=,sinx cosx=,cos x= (3) 產生疊合標準型 將正弦 + 餘弦化為單一函數 f(x) = sin x + sinx cosx + c cos x + d = + +c +d = c- sinx + cosx + 1 (+c+d) 化 f(x)= sinx + cosx + C 型後, 求最大最小值 [ 例題 7] 設 f(θ)=sinθ cosθ +sinθ +cosθ +1 (1)θ 為任意實數時,f(θ) 之最大值為, 最小值為 () π 4 θ π 時,f(θ) 之最大值為, 最小值為 [ 提示 : 令 t=sinθ +cosθ ] ns:(1) 3 +,0 () 3 +, [ 解答 ]: 先令 t=sinθ +cosθ 則 t =sin θ+cos θ+sinθcosθ sinθcosθ= t -1 且 t=sinθ+cosθ= sin(θ+ π 4 ) (1) 原式 f(θ)=sinθ cosθ +sinθ +cosθ +1 = t -1 +t+1= 1 t +t+ 1 = 1 (t+1) 又 θ R t 1 f(θ) 之最大值為 ( +1), 最小值為 0 () π 4 θ π 時 π θ+π 4 3π 4 sin(θ+π 4 ) 1 1 sin(θ+ π 4 ) 1 t 1 f(θ) 之最大值為 ( +1), 最小值為 ~3 6 6~
7 [ 例題 8] 某公園內有一半徑 50 公尺的圓形池塘, 池塘內有美麗的荷花池與錦鯉 為了方便遊客觀賞, 並使整體景觀更為雅緻, 打算在池塘上建造一座 T" 字型 木橋 ( 如右圖 ) 試問這座木橋總長 + CD 最長有多長? 此時 與 CD 兩段木橋的長度各為多少? ns: 總長 公尺, 此時 =40 5, CD= C O D [ 例題 9] 如圖, 扇形 O 的中心角 O=90, 半徑 O= O=1,P 為弧 上的動點, PM O, MN OP, 令 OP=θ, MN+ ON=S, (1) 請以 θ 表示 S () 求 S 之最大值 ns:(1)cos θ+sinθ cosθ () +1 P N O M ~3 6 7~
8 ( 練習 6) y=cos x-3cosx+3 之最大值為, 最小值為 ns:7,1 ( 練習 7) 設 0 x π, 則 f (x)=sin x+sinxcosx+cos x 最大值為, 最小 3+ 值為 ns: ;1 ( 練習 8) 設 0 x π,f(x)=1+sinx+cosx sinx cosx, 則下列何者為真? ()f(x) 最大值為 ()f(x) 最小值為 1 (C)x=0, π,π 時 f(x) 有最大值 5 (D)x=5 時,f(x) 之值為最小值 (E)f(x) 之最大值與最小值之和為 ns:()(c)(d)(e) 綜合練習 3 (1) 求 sin15 1 cos15 的值 () 關於函數 y=f(x)= 1 (sinx+cosx) 的圖形, 下列敘述那些是正確的? ()y=f(x) 的週期為 π () y=f(x) 的振幅為 (C)y=f(x) 的圖形與 y 軸的交點為 (0, 1 ) (D)y=f(x) 的圖形與 x 軸有無限多個交點 (E)y=f(x) 的圖形對稱於原點 (3) 關於函數 y=sinx cosx 之圖形 () 週期為 π () 週期為 π (C) y 之最大值為 (D) y 之最大值為 (E) 對稱於原點 (4) 下列哪些函數的最小正週期為 π? (9 學科能力測驗 ) (1)sinx+cosx ()sinx cosx (3) sinx+cosx (4) sinx cosx (5) sinx + cosx (5) y=cosx 3sinx,0 x π, 在 x=α 時, 有最大值 M, 在 x=β 時, 有最小值 m, 求 α,β,m,m (6) 下列各題經過變換後, 求其最大值與最小值 () 求 y=sin(x+ π 4 )+sin(x π 4 ) 之最大值與最小值 () 求 y=sinx+sin(x+ π ) 之最大值與最小值 (7) 函數 y=1sinx 5cosx,x 的範圍如下, 分別求 y 的最大值與最小值 ()x R ()0 x π ~3 6 8~
9 π (8) 設 6 x 7π 6,y=cos x-4sinx-3, 則 () 當 x= 時,y 有最小值為 () 當 x= 時,y 有最大值為 π (9) 設 <x<π, 解 3cosx sinx=1 L (10) 如右圖, 正方形 與 的面積和為 1, () 設正方形 與 的邊長分別為 sinθ cosθ, 請利用 sinθ 與 cosθ 來表示 MNL 的面積 () 請求出 MNL 的面積的最大值 M N (11) 設 x+y= π 3, 求 sinx+siny 的最大值為何? (1) 求 y=3sin x+4 3sinxcosx cos π x 其中 1 x 3 4 π, 求 y 的最大值與最小值, 並說明此時 x 值為何? (13) 如右圖, 以 為直徑做一圓, 且 =,P 點在半圓上, 設 P=θ, () 試以 θ 表示 3 P+4 P () 試求 3 P+4 P 的最大值 P (14) 求 y= 1+sinx 3+cosx 的極值 進階問題 θ (15) 半徑為 r 的圓內接矩形, 令其對角線夾角為 θ; () 試以 r,θ 表其周長 () 試求周長的最大值 π (16) 已知扇形 O 的圓心角為 3, 半徑為 1,P 為 弧上 的動點, PC O 於 C 點, PD O 於 D 點, 試求四邊形 PCOD 的最大面積 C P 綜合練習解答 (1) 4 ()(C)(D) O D (3) ()(D) (4) (3)(4) ~3 6 9~
10 (5) α=0,m=1;β= π 3,m= (6) () 最大值為, 最小值 () 最大值為, 最小值 (7) ()M=13,m= 13()M=1, m= 5 (8) () π, 7 ()7π 6, 1 4 (9) x= π 6 (10) () 1 cosθ(sinθ cosθ) () 1 4 [ 解法 ]: () MNL= 1 MN ML= 1 cosθ (sinθ cosθ) () 1 cosθ (sinθ cosθ) =1 (cosθ sinθ cos θ) = 1 [1 sinθ 1+cosθ ] = 1 [1 sinθ 1 cosθ 1 ] =1 [ sin(θ π 4 ) 1 ] MNL 的面積的最大值為 1 4 (11) 7 [ 提示 :y= π 3 x,sinx+siny=sinx+sin(π 3 x)=sinx+ 3 cosx] (1) x= π 3, 最大值 5 與 x= 3π 4 最小值 1 3 (13) ()6cosθ +8sinθ ()10 (14) 0 y 3 4 [ 提示 : 令 y= 1+sinx 3+cosx sinx y cosx=3y 1 y +1 sin(x+α)=3y 1 sin(x+α)= 3y 1 y +1 θ θ (15)()4r( cos + sin ),()4 r 3y 1 y y 3 4 ] (16) 3 4 [ 提示 : 連 OP, 並設 PO=θ,0 θ π 3, 則四邊形 PCOD 的面積 = 1 sinθ cosθ +1 sin( π 3 θ)cos(π 3 θ)=1 4 [sinθ+sin(π 3 θ)]=1 4 (3 sinθ+ 3 cosθ)= 3 4 sin(θ+π 6 )] ~3 6 10~
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十一單元 三角函數公式 倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
第一章
壹 重點整理 一 弧度與扇形周長與面積 (1) 弧度制 : 三角函數 ( 二 ) (a) 弧度量的定義 : 設有一圓, 圓心為 O, 半徑為 r 在圓周上取一段圓弧 PQ, 使得圓弧 PQ 的 長度等於 r, 規定這一段圓弧 PQ 所對的圓心角 POQ 就定義成 1 弧度 (b) 度與弧度之互換 : 設 x 弧度相當於 y, 因為 π 弧度相當於 180 x, 所以 π = y 180 1 π =
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第十九單元反三角函數 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 () g(y), 設,y 分別是 () g(y) 定義域內任意元素, 如果 g(())= 且 (g(y))=y 則稱 () 與 g(y) 互為反函數,() 的反函數記為 1 (), 即 g()= 1 () 此時 () g() 的定義域與值域互換, 即 () 的定義域為 1 () 的值域,() 的值域為 1 () 的定義域
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
B2C3
- () 60 =60 =60 () = () 60 = ( ) =80 80 () = =0.075( ) () =( ) =57 7 5 80 Ex. θ=0 θ?θ Ans 0-8 Ex. a=sinb=sinc=sind=cose=cos5 Ansb>a>e>c>d Ex. P(costan6) Ans r θ( )A () S=rθ () =r+rθ () A = r θ Ex. 0 8
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
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第一章三角 直角三角形的邊角關係 ( 甲 ) 正弦 餘弦與正切的定義 相似三角形其三邊長的比都是定值, 若是將相似的直角三角形擺放如右圖, 並且讓相同的內角 重疊, 只要 固定, 則這些直角三角形三邊長的比例是固定的 即 給定一銳角, 因為直角 ~ ~ ~, 所以 = =... 故上述的比值只受 的大小影響 θ 換句話說當銳角 的度數固定時, 作直角 ( 為直角 ), 那麼所作的三 角形, 其邊長大小不論如何改變,
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
Microsoft Word - 0.5bh.doc
198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 cotα + cot β ( ). cot(α β)? (A) cotα cot β cotα cot β (E). cotα + cot β cotα cot β (B) cotα cot β cotα cot β + (C) cotα cot β cotα cot β + (D) cot β cotα D ( α β ) α β + sinα sin β cotα cot β + cot(α
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
標題
銳角三角函數 第二章三角函數的基本概念 ( 甲 ) 銳角三角函數 () 銳角三角函數的定義 : 設 為直角三角形, 其中 為直角三角形, 為斜邊, 兩股 與 分別是 的鄰邊與對邊 設 =a, =b, =c, 則我們定義 的三角函數如下 : 對邊 的正弦 =sin= 斜邊 = = a c 鄰邊 的餘弦 =cos= = 斜邊 = b c ( 斜邊 ) c 對邊 的正切 =tan= 鄰邊 = = a b
标题
第八章 微积分的核心 导数与微分 内容提要:17 世纪初期,笛 卡 儿 提 出 变 量 和 函 数 的 概 念 由 此,客 观 世 界 的 运 动 变 化过程可以用数学来描述 稍后,牛顿和莱布尼兹基于直观的无穷小量,分别独立地建立 了微积分学 到了 19 世纪,柯西和维尔斯特 拉 斯 建 立 了 极 限 理 论,康 托 尔 等 建 立 了 严 格 的实数理论,使微积分学得以严密化 微积分是人类智慧的伟大结晶,极大地推动了数学
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
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第二節倍角公式 在傳統課本中, 二倍角公式是由和角公式及平方和的恆等式 sin θ + cos θ = 1所推導而 來, 首先利用 ( ) cos α + β = cosαcos β sinαsin β, 當 α = β = θ 時可得 cos θ = cos θ sin θ, 再利用 sin θ + cos θ = 1可得 cos θ = cos θ 1 = 1 sin θ ; 同理利用 ( )
3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係 在 中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長 邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c
ϕ ϕ R V = 2 2 314 6378 1668 0 T =. 24 = 2 R cos32 33931 V = = = 1413. 68 32 T 24 2 R cos90 V = = 0 90 T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1
第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i
例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x) x = a x = a 2
y = x x = 0 y 2 0 2 x Figure : y = x f x) x = a f x) x = a f a) dy dx x=a f a) x a f x) f a) x a f a + ) f a) f x) x = a f x) x = a y = x x = 0 例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x)
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物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
第三單元 平面座標與直線的斜率
第十七單元正弦與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形的面積三角形的面積公式 : 國中 面積 = 1 底 高, 以底與高的長度表示面積但是當 邊上的 高 不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用三角函數邊角的關係 式間接求出高, 於是 的面積 = 1 sin c H c H c H c 是銳角 是直角 是鈍角 事實上圖中, 是銳角, 當 是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然是 sin 面積 = 1
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
第二冊3-1三角函數的性質與應用-三角函數的圖形
(99 課綱 ) 選修數學甲上冊第二章三角函數 - 三角函數的性質及圖形 目標 首先認識弧度單位, 再以弧度定義正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割六個基本的三角函數, 熟習倒數關係 商數關係及平方關係 能作各函數的圖形, 並能將基本三角函數作平移 伸縮的變化 討論 在數學第三冊中曾討論過三角 首先, 當給定一銳角 時, 可在以 作為一內角的直角三角形中, 定義 的對邊長比斜邊長的比值為 的正弦, 記為
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v = at s = 1 2 2 v = 2 π r a = v 2 = 4 π 2 r T r T 2 a 2 R = 2 R r g v 1 2 2 g = 9.8 r = 60R a = 9.8 = 0.0027 60 F = G Mm r 2 m
總複習教材
06 學年度四技二專統一入學測驗數學 (C) 試題 數學 C 參考公式及可能用到的數值. 三角函數的和角公式 : tnα+tnβ tn(α+β)= - tnα tnβ. ABC 的正弦定理 : = sin A. ABC 的面積 = b sin C b sin B = c sinc +b+c 4. ABC 的面積 =sr, 其中 s=,r 為內切圓半徑 =R, 其中 R 為外接圓半徑 5. 若 α β
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
Slide 1
(III) 4. T,T T d l d T Q Q ~ T~, d~, k~ T d T Q k d T Q Q Q T a ~ T b ~ k ~ k ~ k T d T k T l T T k T d T a d l T T b a a b b T T k Q k, s h h d s + ) k, ( l d d T Q Q d T T k Q d T T Q ) ( + s d T T k
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
【三角函數的導函數】
- 三角函數 三角函數共有 個, 其符號分別為 sin cos tan cot sec 及 csc, 這 個 sin ( ) ( ) 函數的自變數皆為角度, 若仍以 來表示 ( 有時候會以 θ ), 便寫成 cos tan ( ) ( ) sec 及 csc (), 通常會簡寫成 sin cos tan cot sec cot ( ) 及 csc 談三角函數的導函數之前, 先複習 ( 一 ) 角 (
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
1 s = v t + at, 0 v = v + at 0. 1 3.0 36 s = v t + at a 0 1 F ma a s v t at s 0 F f 1 a m = mgsin θ µ mg cosθ g sinθ µ cosmθ 1 s = v t + at 0 1 v tsinθ µ cosθ 0 1 1 1.0 5.0 9.8 50 0 04 3.. 5 57
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https://sites.google.com/site/hsh4math 高中數學講義 三角函數. 三角函數的性質與圖形 弧度制的度數 θ : 半徑為 r 的圓, 在圓周上取一段弧長 PQ= r, 則 PQ 所對應的圓心角 PQ 為 弧度 單位圓圓心角 90 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位 即弧度 80 ; 0 弧度 80 ; 80 弧度 = ( 80 ) 57.95
untitled
f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
习 题 7
( + ( +sn e e ln.,, cos, sn, (8 r (9 r e, θ, θ, θ θ θ, θ ( r cos θ + > ( r cosθ r + cosθ ( ( r cos θ ( r cos θ θ ( Descres + (5 + + (. A ( d ( ln ln A ( ( ( d A sn d ( cos d 6 d ( A e e d e + e 5 A ln
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
標題
4 1 圓 第四章圓與球面 ( 甲 ) 圓的方程式 (1) 圓的定義 : 平面上跟一個定點 等距離 r 的點 P 所形成的軌跡稱為圓 其中 稱為圓心,r 稱為半徑 (2) 圓的方程式 : 從坐標幾何的觀點來看, 給定圓心 (h,k), 半徑 r, 如何來描述圓呢? 圓這個圖形可否能像直線一樣能用一個方程式來表示呢? (a) 圓的標準式 : 若設圓心 (h,k), 半徑為 r, 則此圓的方程式為 (
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https://sites.google.com/site/hsh4math 高中數學講義 三角函數. 弧度 弧長 弧度制的度數 θ : 半徑為 r 的圓 O, 在圓周上取一段弧長 PQ= r, 則 PQ 所對應的圓心角 POQ 為 弧度 單位圓圓心角 90 所對的弧長是, 以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位 即弧度 80 ; 0 弧度 80 ; 80 弧度 = ( 80 ) 57.95
2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) X 2π(0.045) = 6.67 μt B Y = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5) Y 2π(0.015) = 20 μt (b) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(2) X 2
23 (b) 1 (p. 192) 1. (a) F (b) F 2. (a) C C B B B A (b) 2 (p. 196) 1. (a) T (b) F (c) T 2. (a) W 4. 3 (p. 205) 1. A A 2. (a) F (b) T 3. 4. (a) (b) Z 3. (a) 2 23 (b) 4. (a) B X = µ 0I = (4π 10 7 )(1.5)
三角函數二
三角函數 sin sin cos cos ( α + β ) ( α β ) ( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β = sinα cos β cosα sin β = cosα cos β sinα sin β ( α β ) = cosα cos β + sinα sin β tanθ tan sin θ =, cosθ = + tan θ + tan θ θ 姓名
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十六單元 向量的應用 ( 甲 ) 分點公式與共線的條件 (1) 本節所要使用的基本知識 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a.
untitled
4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si
標題
旋轉坐標軸 ( 甲 ) 轉軸公式考慮一個以點 F(,) 為焦點, 以直線 L:+=0 為準線的拋物線 Γ 方程式是 Γ : ( ) +( ) = +..(*), (*) 式平方後可化成 Γ: + 8 8+6=0 (**), 但是從 (**) 很難辨識它是一條拋物線, 是否可以利用適當的坐標變換, 來辨識 (**) 式為一條拋物線 我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點與軸垂直的直線, 則此拋物線就成為一條開口向上的拋物線,
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數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數 多項式 : 餘式定理 因式定理 多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx
a b a = a ϕ λ ϕ λ ρ δ ρ δ ϕ λ M' J' x' = = m MJ x M' K' y' = = n MK y x' x = m 2-1 y' y = n 2 2 x + y = 1 2-2 2 2 x' y' 2 + 2 = 1 m n µ = ds ' ds 2 2 2 2 m + n = a + b 2-3 mnsinθ = ab 2-4 2 2 2 (
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes ... zqs... 10 66 60... fz zqs vonneumann vonneumann sub... Bless by Luobo June 21, 2008 1. 2. g(x) = e 2x+1, cos 3x 1 lim x 0 x 2 g(g(x)) g(e) lim x
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
P r = 1 + ecosθ 2 V = V + V 1 2 2V1V2 cosθ 2 2 = ( V V ) + 2V V ( 1 cos θ) 1 2 1 2 40000 V = 0. 5( / ) 24 60 60 λ m = 5100A = 0.51 Å 2 u e d s 3 1 e uud udd 3 2 3 e 1 3 e V = 2 9. 8 2000 = 198 V
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
讀 年 拉 樂 樂 數 了 識 數理 識了 了 了什 了 老 力 勵 參 數 理論 更
年 數 離 離 紐 蘭 參 紐 蘭 年 立 立 離 來 讀 年 拉 樂 樂 數 了 識 數理 識了 了 了什 了 老 力 勵 參 數 理論 更 錄 離 利 兩 離 兩 行 離 兩不 行 不 離 兩 離 六 離 參 論 論 參 料 1 E A E r > 0 r A A A F E F F F1 F 1 E Γ E r > 0 E r Γ F F1 E E dpf (, 1) + dpf (, ) =
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
WL100014ZW.PDF
A Z 1 238 H U 1 92 1 2 3 1 1 1 H H H 235 238 92 U 92 U 1.1 2 1 H 3 1 H 3 2 He 4 2 He 6 3 Hi 7 3 Hi 9 4 Be 10 5 B 2 1.113MeV H 1 4 2 He B/ A =7.075MeV 4 He 238 94 Pu U + +5.6MeV 234 92 2 235 U + 200MeV
第一章
壹 重點整理 一 廣義角三角函數 : (1) 廣義角的定義 : 三角函數 ( 一 ) 由一射線 ( 始邊 ) 旋轉到另一射線 ( 終邊 ) 的旋轉量, 逆時針為正向角, 順時針為負向角 () 同界角 :θ 1,θ 為同界角 θ 1 θ =360 k,k 為整數 (3)sinθ 與 cosθ 的定義 : 坐標平面上以原點 O 為圓心半徑等於 r 的圓, 給定一個廣義角 θ, 規定 θ 的始邊為 x 軸
對數函數 陳清海 老師
對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log
<4D F736F F D20542D31A142542D3220A454A8A4A8E7BCC6AABAB0F2A5BBB7A7A9C02E646F6378>
T- T- 三角函數的定義 主題一銳角三角函數的定義. 若直角三角形的一個銳角為, 則對邊, 鄰邊, 斜邊兩兩的比值都可由 決定 因為三角形 共有三個邊長, 所以兩兩的比值共有六個 : () 對邊, 稱為 的正弦, 以 in 表示, 即 in = y 斜邊 () 鄰邊, 稱為 的餘弦, 以 co 表示, 即 co = x 斜邊 y () (4) 對邊, 稱為 的正切, 以 tan 表示, 即 tan
56,,,,, :,, 1953,, 1953,1953,,1953,,,,,,,,, () ,30118, 34, ;,4912 %,5614 %, 1,1953, 1119, ,, , , 1111 (
2003 1 1812 ( 200433) :,,,,,, :1812 19 :, ;,,20, 1887 ;,1822 1887,,,1812 ( ) 9 :, ;,,;,,,,9,,,,,, :,1991,232 301 ::, :,1988 92 56,,,,, :,, 1953,, 1953,1953,,1953,,,,,,,,, () 1953 1 9518,30118, 34, 13313
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
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https://sites.google.com/site/hshmath 高中數學講義 8 三角 8. 直角三角形的邊角關係 銳角三角函數定義 : 直角三角形中 ; 對應角的對邊 鄰邊與斜邊邊長的比值關係 共有正弦 (sine) 餘 弦 (co-sine) 正切 (tangent) 餘切 (co-tangent) 正割 (secant) 與餘割 (co-secant) 六個比 例關係 若直角三角形
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
untitled
998 + + lim =.. ( + + ) ( + + + ) = lim ( ) = lim = lim =. lim + + = lim + = lim lim + =. ( ) ~ 3 ( + u) λ.u + = + + 8 + o = + 8 + o ( ) λ λ λ + u = + λu+ u + o u,,,! + + + o( ) lim 8 8 o( ) = lim + =
標題
函數的微分 ( 甲 ) 函數的導函數 () 導函數的引入 : 例子一 : 設 f(x)x / f ( x) f ( a) x a,a 為任意數 f ( a) lim lim a x a x a x a x a 對於 f(x) 的定義域中的每一個 a 而言,f(x) 在 xa 處的導數為 f / (a)a a 5 f / (a) 4 5 6 根據上表, 可知 f(x) 定義域中的每個點 a f(x)
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
C = C + C C = + + C C C C 1 2 3
C = C + C 1 2 3 1 1 1 1 + C = + + C C C C 1 2 3 17 Q = Q = Q C = Q U C 1 1 2 3 C 1 C 2 C 3 U = 1 1 1 U 1 U 2 U 3 = + + C C C 1 2 3 1) A B U A U B U U = AB A B AB G G R = R U = U U = 0 U = 4 B C BC CB C
5 (Green) δ
2.............................. 2.2............................. 3.3............................. 3.4........................... 3.5...................... 4.6............................. 4.7..............................
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 ( ). ABC 中, a, b, c,則面積為: (A) A b cosa + c a bc + ( ).. sina (B) cos A (C) ( ) (D) (E). ABC 面積 bcsina ( ). ABC 中, a, b, c,則外接圓半徑為: (A) B (B) (C) (D) (E). 承上題,已知 sina 外接圓半徑 R a sin A ( ). 下列各組數,何者可為一個銳角三角形三邊長?
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
泵与风机
100m 3 /h 980.6kPa 5-1 10 1 1 2 3 5 4 3 5-1 1 2 3 4 5 10 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 7 209 5-2 5-2 120 1 5-1 n S A ASn q V Tm = 5-1 60 q Vm f i(1 ) ASn = 2 A η m 3 /s V 60 iαasn q = η 60 i m 3 /s 5-2 Vm V η
1 3 8 1 S 8 sini = n. ( 1` ) sinr n = c υ sini = n sinr 1 3 n 1 υ1 υ =, n1 =. υ υ 1 υ1 c / υ n 1 n1 = = = =. υ c / υ n n 1 1 1 sini n = n 1 =, sinr n1 60 n = 3 sin90 1 = =, sinc sinc n sin C = 1. n 3
交流電 與正弦波 a b N c S d i V t 8 4 8
交流電 與正弦波... 7... 9 a b N c S d i V 5 8 4 7 8 0 t 8 4 8 Joseph Fourier 76880 P xy P rop x y sin y r cos x r y P x,y tan y x x0 cot x y y0 sec r x x0 csc r y y0 y x r O θ x y P sin y ycos x x P xycos sin
Microsoft Word - 1-3正餘弦定理_修改_.doc
1 3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形的面積三角形的面積公式 : 國中 面積 = 1 底 高, 以底與高的長度表示面積但是當 邊上的 高 不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用正弦或餘弦關係式間 接求出高, 於是 的面積 = 1 sin c H c H c H c 是銳角 是直角 是鈍角 事實上圖中, 是銳角, 當 是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然 是 sin 面積 = 1
標題
第二章平面上的坐標變換 1 平移坐標軸 ( 甲 ) 平面坐標的意義 (1) 平面坐標的意義 : 給定平面上一個定點 O 與兩個不平行的向量 e 1 e, 平面上任意點, 可以找 到實數 x,y 滿足 O=x e 1 +y e, 我們稱 S (O; e 1, e ) 為平面上的一個坐標系, 而 (x,y) 稱為 點相關於 S 的坐標 簡記為 S 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ),
2-3 圓錐曲線的切線與法線
-3 隱函數的微分 ( 甲 ) 隱函數的微分 討論曲線的切線, 本是幾何中的一個重要題材 ; 但是, 許多曲線並不是函數圖形, 對於這 類曲線, 前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法, 無法直接利用在這類的曲線上 而我 們知道基本上求曲線上一個點的切線, 只須要這個點附近的圖形即可, 因此可將曲線分成若 干部分, 使每一個部分都是函數圖形, 再微分通過這個切點的函數, 求出切線斜率, 進一步 求出切線的方程式
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
2 160 1985 20 32 50 L.V.Bertallanfy 60 J.M C.W 1982 24 1982 307 1986 35 1984 12 1985 5 1985 121 1988.5 1988.5 1952 1952 1982 193 1987.4 35 1983 1985.10 1986.2 1986
範 例 1.1 試 解 出 下 列 微 分 方 程 dx = y. 不 嚴 謹 做 法 : 把 微 分 方 程 改 寫 為 y = dx. 兩 邊 同 時 積 分 y = 之 後 可 以 推 得 : ln y = X + C, 兩 邊 同 時 取 exp 之 後 可 以 得 到 y = Ce x.
微 分 方 程 法 蘭 克 老 師 1 微 分 方 程 1.1 可 分 離 微 分 方 程 假 設 M(x), N(y) 都 是 定 義 在 某 個 區 間 上 的 連 續 函 數 我 們 希 望 解 以 下 類 型 的 常 微 分 方 程 以 不 嚴 謹 的 方 法 我 們 可 以 把 (1.1) 改 寫 成 M(x) N(y) = 0. (1.1) dx N(y) = M(x)dx. (1.2)
,310,022, ,382,044, % 1,270,602, ,316,653, % % % 19,720,
2006 2006 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 000520 39 39 027-85321845 85703197 027-85321845 85703197 027-85321845 027-85321845 csc-hy@tom.com csc-hy@tom.com 2.2 2006 2.2.1 3,310,022,385.31 1,382,044,309.28 139.50%
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
Å ü = 1 ij (u i, j + u j,i ) + ( 3) 2 ϕ 例15
cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n
Microsoft Word - 向量_2015_.docx
向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
