§10

Size: px

Start display at page:

Download "§10"

瓶助随浦
7 years ago
Views:

1 4 二元函数的泰勒公式一高阶偏导数 z z 二元函数 z = ( ) 的两个 ( 一阶 ) 偏导函数仍是与的二元函数若它们存在关于和的偏导数即 z z z z 称它们是二元函数 z = ( ) 的二阶偏导 ( 函 ) 数二阶偏导函数至多有个通常将 z z 记为或 ( ) z z 记为或 ( 混合偏导数 ) z z 记为或 ( 混合偏导数 ) z z 记为或 ( ) 一般地二元函数 z = ( ) 的阶偏导数的偏导数称为二元函数的阶偏导数二元函数的阶偏导数至多有个二元函数 z = ( ) 的阶偏导数的符号与二阶偏导数类似例如符号 z 或 k k k k ( ) 表示二元函数 z = ( ) 的阶偏导数首先对

2 求 k阶偏导数其次对求 k阶偏导数二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数类似可定义三元函数一般元函数的高阶偏导数例求函数 z = 的二阶偏导数解 z 3 z = z = = 6 6 z z z z = 9 6+ = 9 6+ = z 3 = 6 + 例证明 : 若 u r = a + b + r = ( z c) u u u z + + = 则证明由 3 例有 u a = r 3 u b = r 3 u z c = 3 z r ( ) r a 3r u = 6 r 3 r r a = r 同样可得 a r 3 ( a) 3r = r 6 r = 3 ( a) 3 5 r + r u 3 = r r ( b) u 3 = + z c 3 5 z r r

3 于是 u u u = ( a) + ( b) + ( z c) z r r z z 由例看到 = 3 3 r + r = = 3 3 即二阶混合偏导数 ( 先对后对和先对后对 ) 与求导的顺序无关那么是否函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关呢? 否! 例如函数 ( ) = + + = + 在原点 () 的两个偏导数 ( ) 与 ( ) 都存在且事实上由偏导数定义有 ( ) ( ) h = lm = ; h h ( ) ( ) h = lm = ; h h ( ) ( ) h h ( h ) ( ) h + ( ) = lm = lm = h h h h h h h ( ) = lm = lm + h = h h h h ( ) ( ) h h = lm = lm = ; h h h h

4 ( ) ( ) 数学分析 ( 下册 ) h h = lm = lm = h h h h 于是 ( ) ( ) 那么多元函数具有什么条件它的混合高阶偏导数与求导的顺序无关呢? 有下面的定理 : 定理若二元函数 ( ) ( ) 在点 P 的领域 G存在二阶混合偏导数 ( ) 与 ( ) 并且它们在点 ( ) P 连续则 ( ) = ( ) 证法根据一阶二阶偏导数的定义有 ( ) ( + ) ( k = lm k k ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( ) h k k h = lm lm lm k k h h h h == lm lm k h ( + + ) ( + ) ( + ) + ( ) h k k h hk 设 ( h k) ( h k) ( k) ( h ) ( ) ϕ = 从而同样方法有 ( hk ) ϕ ( ) = lmlm k h hk

5 ( hk ) ϕ ( ) = lmlm h k hk 定理的实质是上述两个累次极限相等即两个累次极限可以交换次序由此可见证明定理要构造 ϕ hk 证明当 h k ( + ) ( + ) h 与 k G 设与充分小时使 ( ) + h+ k G 从而 ( h k) = ( h k) ( k) ( h ) ( ) ϕ () ( 令 g = + k () 式可改写为 ) ( hk ) =g( h) g ϕ + 函数 g 在以和 + h为端点的区间可导根据微分中值定理有 = ( + θ ) ϕ hk g h h 已知 ( ) ( θ ) ( θ ) = + h + k + h h < θ < 在 G存在将 + θh 看做常数再根据微分中值定理有 ϕ hk = + θ h + θ k hk < θ θ < () 再令 l = + h 同样方法有 ( ) = ( ) ϕ hk + θ h + θ k hk < θ θ < (3) 于是有 () 式和 (3) 式有已知 ( ) ( ) ( ( + θ + θ ) = ( + θ + θ ) h k h k 3 4 = 在点 P 连续当 ρ = h + k 时有 ) ( ) = 例 3 证明 : 若 z = ( ) = ρ cos ϕ = ρsϕ 则

6 + = + + ρ ρ ϕ ρ ρ 证明 : = + = cosϕ + s ϕ ρ ρ ρ = + = ρ sϕ+ cos ϕ ϕ ϕ ϕ cos = ϕ sϕ = + ρ ρ ρ ρ = cos ϕ sϕcosϕ sϕcosϕ s = ρ sϕ ρcosϕ = + ϕ ϕ ϕ ϕ s s cos cos s cos = ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ + ρ cos ϕ ρsϕ 于是 ϕ + + ρ ρ ϕ ρ ρ cosϕ sϕ cosϕ sϕ = ( cos ϕ+ s ϕ) + ( cos ϕ+ s ϕ) + + ρ ρ ρ ρ = + 即 + = + + ρ ρ ϕ ρ ρ 定理的结果可推广到元函数的高阶混合偏导数上去例如三元函数根据 3 定理 4 的推论要求函数 ( ) 与以下求高阶偏导数的例题和练习题也是如此都可微且高偏导数连续为了书写简单从略

7 ( z ) 关于 z 的三阶混合偏导数共有六个 : z z z z z z 若他们在点 ( z ) 都连续则他们相等若二元函数 ( ) 所有的高阶混合偏导数都连续则偏导数 ( 亦称一阶偏导数 ) 有两个二阶偏导数只有三个 ( ) = 三阶偏导数只有四个一般情况阶偏导数只有 + 个二二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式能够推广到多元函数上来关于多元函数泰勒公式的作用和意义与一元函数泰勒公式相同不用再重述为书写简便只讨论二元函数的泰勒公式讨论二元函数的泰勒公式的方法是做一个辅助函数将二元函数化为一元函数应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式为了将二元函数 ( ) 在点 Q ( a+ h b+ k) 的函数值 ( a+ h b+ k) 在点 p( ab ) 展成泰勒公式作辅助函数 ( t) = ( a+ ht b+ kt) ϕ () t = ( ) = a+ ht = b+ kt ϕ t 即 t 显然 t = ϕ = ( a b) ; t = ϕ( ) = ( a+ h b+ k ) 于是函数 ( a h b k) + + 在点 p( ab ) 展成的泰勒公式就是一元函数 ϕ ( t) 在点 t = 的泰勒公式 ( 即麦克劳林公式 ) t = 的值定理若二元函数 ( ) 在点 p( ab ) 的邻域 G 存在 + 阶连续的偏导数则 Q( a+ h b+ k) G 有 ( + + ) a h b k

8 !! = ( ab ) + h + k ( ab ) + h + k ( ab ) + h + k ( a b) + h + k ( a+ θb b+ θk) < θ <! ( + )! + + ( 4 ) 其中符号 ( ab) 表示偏导数 + l l 在 p( ab ) 的值 m m m h + k a b = c h k a b = p( ab ) 的泰勒公式 m ( ) m m ( )(4) 式称为二元函数 ( ) 在点证明设 ϕ ( t) = ( a+ ht b+ kt) t 由已知条件函数 ϕ ( t) 在区间 [] 存在 + 阶连续导数从而可将函数 ϕ ( t) 展成迈克劳林公式即 ϕ ϕ ϕ() t = ϕ( ) + t+ t + +!! ( ) ( + ) ( t) ( + ) ϕ ϕ θ ( + ) t + t < θ <!! 特别的当 = 时有 ϕ ϕ ϕ() = ϕ( ) + t + + +!! ( ) ( + ) ( + ) ϕ ϕ θ + < θ <!! 求 ϕ () t ( ϕ ( t) ϕ + ) () t 即求复合函数 ( ) = a+ ht = b+ kt的高阶导数由复合函数微分法则有 d d ϕ () t = + = h + k dt dt = h + k ( a + ht b + kt) ϕ () t = ϕ () t = h + k

9 = h + hk + hk + k = h + hk + k ( 根据定理 ) = ( h + hk + k ) ( a+ ht b+ kt) = h + k ( a+ ht b+ kt) 同法可得 ϕ () ( ϕ 公式 : m m t = h + k a+ ht b+ kt) 令 t= 有 = h + k a b m= ( m ) m + ϕ ( + ) ( θ ) = h + k ( a+ h b k ) θ + θ 将上述结果代入 ϕ 的展开式中就得到二元函数 ( ) 在点 ( ) ( ) a+ h b+ k = p ab 的泰勒 ( ab ) ( )! h k + + ab + h k a b h + k a b!! ( ) ( ) θ + θ < θ < +! + h k ( a h b k) 在泰勒公式 (4) 中令 a=b= 就得到二元函数 ( ) 的麦克劳林公式 ( 将 h 与 k 分别用与表示 ): ( ) = ( ) ( )! o!! ( ) ( o )

10 + + θ θ < θ < +! + ( ) (5) 在泰勒公式 (4) 中当 = 时有 ( + + ) = ( ) ( θ θ ) ( θ θ ) a h b k ( + + )- ( ab ) a h b k a b + a+ h b+ k h+ a+ h b+ k k或 = ( a+ θh b+ θk) h+ ( a+ θh b+ θk) k< θ < (6) (6) 式是二元函数中值定理的另一种形式这里只有一个 θ 在泰勒公式 (4) 中当 = 时有 = ( ) ( ) ab h+ ab k+ a+ h b+ k ( a b) [ ( a hb k) h ( a hb k) hk ( a hb k) k ] + θ + θ + + θ + θ + + θ + θ < θ < 例 4 将二元函数 ( ) = e + 展成麦克劳林公式解函数 ( = ) e + 在 R 存在任意阶连续偏导数且 m+ l m+ l + = e ( m l m l ) = m 与 l 是任意非负整数由公式 (5) 有 + ( + ) + ( + ) + + ( + )!! + θ + ( + ) e < θ < +! e + = + 不难看到将 e + 中的 + 当做一个变量用一元函数的麦克劳林公式的得到的结果与上述结果是一致的不难将上述二元函数的泰勒公式推广到元函数上去例如若三元函数 ( z ) 在原点 () 的邻域 G 存在 + 阶连续偏导数则 ( z ) 三元函数 ( z ) 的麦克劳林公式为 G

11 ( z) = () + ( + + z ) () + +! z + + z () +! z + ( + + z ) ( θ θ θz) ( + )! z < θ < 例 5 当 z 都很小时将超越函数近似表为 z 的多项式 z = cos( + + z) cos cos cos z 解将三元函数 ( z ) 展成迈克劳林公式 ( 到二阶偏导数 ) 有 z () + () + () + z () + z [ () () z () z zz ()! [ () + z z () + z z ()] () = () = [ s( + + z) + scos cos z] = () 同样 () = z () = () = [ cos( + + z) + coscos cos z] = () 同样 () = zz () = () = [ cos( + + z) ss cos z] = () 同样 z () = z () = 于是 z ( + z+ z)

12 即 cos( + + z) cos cos cos z] ( + z+ z) 三二元函数的极值在实际问题中不仅需要一元函数的极值而且还需要多元函数的极值本段讨论二元函数的极值其结果可以推广到元函数上去定义设二元函数 ( ) 在点 P( ab ) 的邻域 G 有定义若 ( a+ h b+ k) G 有则称 ( ) ( a+ h b+ k) ( a b) ( ( a+ h b+ k) ( a b)) P ab 是函数 ( ) 的极大点 ( 极小点 ) 极大点 ( 极小点 ) 的函数值 ( ab ) 称为函数 ( ) 的极大值 ( 极小值 ) 极大点与极小点统称为极值点极大值与极小值统称为极值例如点 () 是函数 ( ) ( ) = 如图 = ( ) ( ) + 的极小点极小值是图

13 事实上 ( ) 有于是 ( ) ( ) 数学分析 ( 下册 ) ( ) + ( ) 那些点可能是函数 ( ) 的极值点呢? 即 P( ab ) 是函数 ( ) 的极值点的必要条件是什么呢? 有下面定理 : 定理 3 若二元函数 ( ) 在点 P( ab ) 存在两个偏导数且 P( ab ) 是函数 ( ) 的极值点则 ( a b) = 与 ( a b) = 证明已知 P( ab ) 是函数 ( ) 的极值点即 = a 是一元函数 ( ) 的极值点根据一元函数极值的必要条件 a 是一元函数 ( ) 的稳定点即同法可证 ( a b) = 方程组 ( ) ( ) = = ( a b) = 的解 ( 坐标平面上某些点 ) 称为函数 ( ) 的稳定点定理 3 指出二元可微函数 ( ) 的极值点一定是稳定点反之稳定点不一定是极值点例如函数 ( 双曲抛物面 ) ( ) = = = 显然点 () 是函数 ( ) = 的稳定点但是点 () 并不是函数 ( ) = 的极值点事实上在点 () 的任意邻域总存在着点 ( )( ) 使 ( ) = > ( ) = 也总存在点 ( )( ) 使

14 ( ) = < ( ) = 所以点 () 不是极值点那么什么样的稳定点才是极值点呢? 即 P( ab ) 是函数 ( ) 的充分条件是什么呢? 定理 4 设二元函数 ( ) 有稳定点 P( ab ) 且在点 P( ab ) 的邻域 G 存在二阶连续偏导数令 = ( ) B = ( a b) C= ( a b) A a b Δ= B AC ) 若 Δ< 则 P( ab ) 是函数 ( ) 的极值点 : I) A>( 或 C >) P( ab ) 是函数 ( ) 的极小点 ; II) A<( 或 C<) P( ab ) 是函数 ( ) 的极大点 ) 若 Δ> P( ab ) 不是函数 ( ) 的极值点 : 证明已知 P( ab ) 是函数 ( ) 的稳定点有 ( a b) = 与 ( a b) = 当 h 与 k 充分小时讨论 ( a+ h b+ k) ( a b) 的符号由泰勒公式 (7) 有 ( 已知 ( a b) ( a b) = =) a+ h b+ k ( a b) [ ( a hb k) h ( a hb k) hk ( a hb k) k ] = + θ + θ + + θ + θ + + θ + θ < θ < 又已知二阶偏导数在点 P( ab ) 连续当 h 与 k 时有 a+ θh b+ θk = a b + α = A+ α α a+ θh b+ θk = a b + β = B+ β β ( a θh b θk) ( a b) γ C γ γ + + = + = +

15 于是 ( a + h b + k) ( a b) = ( Ah + Bhk + Ck ) + ( ah + hk + k ) 其中 ah + βhk + γ k 比 ρ 是高阶无穷小 ( ρ = h + k β γ h k ) 因此当与充分小时 ( a+ h b+k) ( a b) 的符号由 Ah + Bhk + Ck 的符号决定因为 h 与 k 不能同时为零不妨设 k ( 当 k= 时 h 可得相同的结论 ) h t 令 k = 则 h h ) ] k k Ah + Bhk + Ck = k [ A + B ( + C ( a+ h b+ k) ( a b) 的符号由 D = At + Bt+ C 的符号决定由一元二次方程根的判别式有 ) 若判别式 Δ = B AC < 对任意实数 t D 与 A ( 或 C ) 有相同的符号即 P( ab ) 是函数 ( ) 极值点 : ) ( 或 ) 有 ( a+ h b+ k) ( a b) > A > C > 即 pab ( ) 是函数 ( ) 的极小点 ; ) A < ( 或的极大点 t C < ) 有 ( a+ h b+ k) ( a b) < 即 pab ( ) 是函数 ( ) ) 若判别式 Δ = B AC > 方程 D = 有两个不同的实数根 t 与 t 设 < t D 在区间 ( t t) 内与在区间 [ t t ] 外有相反的符号即 pa ( b) 不是函数 ( ) 的极值点注当判别式 Δ = 时稳定点 pab ( ) 可能是函数不是函数 ( ) 的极值点例如函数 ( ) 的极值点也可能

16 ( ) ( ) = + 数学分析 ( 下册 ) ( ) ( = + ) ( ) = 3 不难验证 P() 是每个函数唯一的稳定点且在稳定点 P() 每个函数的判别式 Δ= B AC = 显然稳定点 P() 是函数 ( ) ( = + ) 的极小点 ; 是函数 ( ) ( = + ) 的极大点 ; 却不是函数 = 3 ( ) 的极值点求可微函数 ( ) 的极值点的步骤 : 第一步 : 求偏导数解方程组 ( ) = ( ) = 求稳定点设其中一个稳定点是 pab ( ) 第二步 : 求二阶导数写出 [ ( )] ( ) ( ) 第三步 : 将稳定点 pab ( ) 的坐标代入上式得判别式 Δ= [ ( ab )] ( ab ) ( ab ) 再由 Δ 的符号根据下表判定 pab ( ) 是否是极值点 : Δ= B AC - + A( 或 C) + - pab ( ) 是极小点是极大点不是极值点不定例 6 求二元函数 z = 解解方程组

17 ( ) 3 = 3 = ( ) 3 = 3 = 得两个稳定点 () 与 () 求二阶导数 ( ) = 6 ( ) 3 = ( ) 6 = [ ( )] ( ) ( ) 9 36 = 在点 () Δ = 9> () 不是函数的极值点在点 () Δ = 7 < 且 A = 6> () 是函数的极小点极小值是 3 3 () + 3 = 欲求可微函数 ( ) 在有界闭区域 D 的最大 ( 小 ) 值除了求出函数 ( ) 在内全部极大 ( 小 ) 值外还要求出函数 ( ) D 在 D 的边界上的最大 ( 小 ) 值将它们放在一起进行比较其中最大 ( 小 ) 者就是函数 ( 小 ) 值一般来说求函数 ( ) 但是有很多实际问题根据问题的实际意义函数在区域 D ( D 可以是无界区域 ) 内某点 P 取到又函数 ( ) 在 D 的最大在 D 的边界上的最大 ( 小 ) 值是很困难的 ( ) 的最大 ( 小 ) 值必 ( ) 在 D 内只有一个稳定点 P 那么函数 ( ) 必在这个稳定点取最大 ( 小 ) 值例 7 用钢板制造容积为 V 的无盖长方形水箱问怎样选择水箱的长宽高才最省钢板 V 解设水箱长宽高分别是 z 已知 z = V 从而高 z = 水箱表面的面积

18 V S = + ( ) V + = + + S 的定义域 D = {( ) < <+ < <+ } 解方程组这个问题就是求二元函数 S 在区域 D 内的最小值 S V = + V( ) = = S V = + V( ) = = 3 3 在区域 D 内解得唯一稳定点 ( V V ) 求二阶偏导数 S 4V = 3 S S = 4V = 3 S S S 6V = 在稳定点 ( V V ) Δ = 3< 且 A = > 从而稳定点 ( V V ) 是 S 的极小点因此函数 S 在点 ( V V ) 取最小值当 = 3 V 3 = V 时 3 V V z = = 3 3 V V 即无盖长方形水箱 = = 3 V 3 V z = 所需钢板最省例 8 在已知周长为 p 的一切三角形中求出面积为最大的三角形解设三角形的三个边长分别是 z 面积是 ϕ 由海伦公式有 ϕ = p( p )( p )( p z) (8)

19 已知 + + z = p或 z = p 代入 (8) 式中有 ϕ = p( p )( p )( + p) 因为三角形的边长是正数而且小于半周长 p 所以 ϕ 的定义域 D = {( ) < < p < < p + > p} ϕ 已知 ϕ 的稳定点与 p 的稳定点相同为计算便捷求的稳定点解方程组 ϕ ψ = = ( p )( p )( + p) p ψ ( ) = ( p )( + p) + ( p )( p ) = ( p )(p ) = ψ ( ) = ( p )( + p) + ( p )( p ) = ( p )(p ) = p p 在区域 D 内有唯一稳定点 ( ) 求二阶偏导数 3 3 ψ ( ) = ( ) ( ) 3 p ψ = + p ψ ( ) = ( p ) ψ ψ ψ [ ( )] ( ) ( ) = p 8p + 5p p p 在稳定点 ( ) 3 3 Δ = 3 p < p p A= p< 从而稳定点 ( ) p p 是函数 ψ 即 ϕ 的极大点由题意 ϕ 在稳定点 ( ) 必取到最大值当 3 3 = p 3 p p = 3 时 z = p = 即三角形三边长的和为定数时 3 等边三角形的面积最大例 9 经过实测得到个数对 ( ) = 其中是在测得的值在坐标平面上这个数对对应个点设它们大体上分布在一条直线附近求

20 一条直线 = a+ b 使其在总体上与这个点接近程度最好将点 ( ) 的坐标代入直线方程 = a+ b中设称 ε = a + b ε 是点 ( ) 到直线 = a+ b的偏差如图显然若点 ( ) 在直线 = a+ b上则偏差 ε = ; 若偏差 ε 为了消除符号影响考虑 ε 于是偏差平方和的大小即此时 ε 可能是正数也可能是负数 ε = ( a + b ) = = 的大小在总体上刻画了这个点与直线 = a+ b的接近程度为了使其接近程度最好也就是求以 a 与 b 为自变量的二元函数的最小值求函数 ( ab ) 最小值确定 a 与 b ( 从而确定直线方程 = a+ b) 的方法叫做最小二乘法解函数 ( ab ) 的定义域是 R 解方程组或 ( ) ( a = + ) = = a b a b b ( a b ) = ( a + b ) = = 解得唯一稳定点 ( a b ): a + b = = = = a + b= = =

21 a 数学分析 ( 下册 ) ( )( ) = = = = ( ) = = b = ( )( ) ( )( = = = = ( ) = = ) 根据问题的实际意义二元函数 ( ab ) 在 R 内比存在最小值又只有唯一一个稳定点程是因此二元函数 ( ab ) 必在稳定点 ( a b ) 取最小值于是欲求的直线方 = a + b 注用取极值的充分条件判别也很简便 aa ( ) = a b = ab( a b) = ( bb a ) b = = Δ= [ ( a b )] ( a b ) ( a b ) ab aa bb 4[( ) ] = = = < 即 Δ< ( aa a b ) > 从而唯一的稳定点 ( a b) 取最小值即直线方程是 = a + b

22 练习题 4 求下列函数的二阶偏导数 : u = + 4 u = arcta ; 4 4 ) ; ) 3) u = s( + ) ; 4) u = + + z 求下列函数的指定阶偏导数 : 3 u ) u = l ; u ) u = s + s 3 3 ; 3) u = e z 3 u z m+ 4) ( ) = es () m 3 证明 : 函数 u arcta = 与 u = l ( a ) + ( b ) 都是拉普拉斯方程 u u + = 4 求函数的解其中 a 与 b 是常数 ( ) = + + e + 的二阶偏导数 () 与 () 5 求下列复合函数的二阶偏导数 :

23 ) u = ( ) = s+ t = st ) u = ( ) = st = s t 数学分析 ( 下册 ) m 6 证明 : 若 u = 其中 m+ = 则 u u u = ( > < ) 7 证明 : 若 u = ( ) = scosα tsα = ssα + tcosα 则 u u u u s t + = + 与 u u u u + = + s t 8 证明 : 函数 u = ( z) 在空间正交换 = ar + bs + ct = ar + bs + ct z = a3r+ b3s+ c3t 下 ( a b c 都是常数 ) 有 u u u u u u + + = + + z r s t u u u ( 提示 : 求然后作和应用正交的条件 ) r s t 9 将下列函数在指定点展成泰勒公式 : ) ) ( ) = 点 (-); ( z ) z 3z = + + 点 () 设函数 ( ) 在 pab ( ) 的邻域 U( p r) 存在任意阶连续偏导数证明 : 若 M > ( ) U( p r) m N + 有 m ( ) M m ( m)

24 则 ( a+ h b+ k) U( p r) 有 ( 二元泰勒级数 ) a h b k a b h k a b h k a b h k!!! ( + + ) = ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) + + ( + ) + ( 提示 : 证明 R = ( h + k ) ( a+ θh b+ θk) ( )) ( + )! 将函数 ( ) = e + 在点 (-) 展成幂级数求下列函数的极值 : ) u = + ( ) ; ) u = ( a )( b ) ab ; 3) u = ; ( ) 4) u= ( a + b ) e + < a< b 3 将正数 a 分成三个正数之和使它的乘积最大求此三个数 4 在半径为 a 的半球内求体积最大的内接长方体的边长 5 已知渠道的横截面是等腰梯形其面积为 A 问等腰梯形的底与高各多大才能使渠道的湿周 ( 两腰与底长之和 ) 最小? 6 证明 : 若 u = ( z) 而 = r cosϕ = rsϕ z = z 则 u u u u u u u + + = z r r ϕ r r z 7 证明 : 若 z = ( u v) u = u( ) v= v( ) 二阶偏导数连续而函数 u 与 v 满足柯西 - 黎曼方程 : u v = v = u 则 z z z z u u + = ( + )[ + ( ) ] u v

25 8 证明 : 若和 ( ) ( ) ( ) 在点 p( ) 的邻域存在且 ( ) 在点 p( ) 连续则 ( ) 在 ( ) p 也存在且 ( ) = ( ) ( 比定理的条件弱 ) 9 证明 : 若函数 ( ) 在点 () 的邻域存在二阶连续偏导数则 h h ( h e ) ( h e ) + () () = lm+ h h h ( 提示 : 将 ( h e ) ( he h ) 展成麦克劳林公式到二阶偏导数 ) k 若 ( t t t ) = t ( ) 则称元函数 ( ) 是 k 齐次函数证明 : 设 ( z ) 可微函数 ( z ) 是 k 次齐次函数 + + z =k ( z( ) 提示 : 必要性对等式 ( t t tz) = t k ( z) z 两端关于 t 求导数然后令 t = 充分性将等式中的 z 分别换成 t t tz 有 t ( t t tz) + t ( t t tz) + tz ( t t tz) = k ( t t tz) z 改写为 t t ( t t tz) = k ( t t tz) 或 t ( t t tz) k = ( t t tz) t 两端关于 t 求积分再确定常数 C) 证明 : 若 ( z ) 是可微的次齐次函数则 ( z ) ( z ) z ( z ) 是 k 次齐次函数 ( 提示 : 由第题知 + + zz = k 两端对 ( 或与 z ) 求偏导数在应用第题的充分性 ) 证明 : 若 ( z ) 是可微的次齐次函数而函数 uvω ( ) uvω ( )

26 zuvω ( ) 都是可微的 m 次齐次函数则 Fuv ( ω) = [ u ( v ω) uv ( ω) zuv ( ω )] 是 m 次齐次函数 ( 提示 : 由第题只需证明 uf + νf + ωf = mf ) u u ω

高等数学A

高等数学A 高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数三要素图像 2 导数导数的定义基本导数表求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March