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1 66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变 量, 它的取值为 y,, y, y, ( x (,, 其中 y g 68 例 5 设离散型随机变量 的分布律为 P 解 : 随机变量 3, 试求 的分布律. 随机变量 3 的取值为 69 这些取值两两互不相同, 由此得随机变量 的分布律为 P P , 5, 3,, 9, 5,

2 ( 二. 连续型随机变量函数的分布 70 7 设 是一连续型随机变量, 其密度函数为 f 再设 g ( 随机变量. 我们要求的是 g 是 的函数, 我们假定 也是连续型 ( 的密度函数 f. 解题思路 ⑴. 先求 g( 的分布函数 F P{ y} P g( y ⑵. 利用 关系求 g g( ( 的密度函数 f F 的分布函数与密度函数之间的 { }, g y f ( xdx 例 y8 y 8 x F f dx g, g f ( t dt, g f 7 设随机变量 具有概率密度 : 试求 +8 的概率密度. x, 0< x < 4, f 8 解 :( 先求 +8 的分布函数 F (y: F P{ y} y8 y 8 P{ + 8 y} P { } f ( xdx 73 ( 利用 F f 可以求得 : y8 y8 f F g ( ( y 8 x f (, 0< x < 4, f ( x 8 y8 y8 (, 0< < 4, 8 复合函数求导公式 [ g( hx ( ] g ( hx ( h y 8 0< < 4 8< y < 6

3 74 整理得 +8 的概率密度为 : f y 8, 3 0, 本例用到变限的定积分的求导公式 8 < y < 6, 其它. 75 如果 则 ϕ F( x f ( t dt, ψ F f [ ϕ( x] ϕ f [ ψ ] ψ ( x. P{ x < x } F( x F( x 例如, 设 ~N(0,, 其概率密度为 : 76 ( F y F ( ( f ( y y y y g( hx ( g ( hx ( h F x f x [ ] ( ( ( ( / y y / y y F ( y F ( y( y f ( y y ( y y 77 x ϕ e π, < x <. ( ( ( ( y > 0, f y f y + f y y ( ϕ ( y ϕ ( y + y e + e y π π y y e π ( y 3

4 ( ( ( ( 78 则 ( ~N(0, 的概率密度为 : y y e, y > 0, f π 0, y 0. y y > 0, f y f y + f y y e y π 此时称 服从自由度为 的 χ 分布 79 定理设随机变量 具有概率密度 f, < x <, 又设函数 g 处处可导, 且有 g > 0 ( 或恒有 g ( x < 0. 则 g( 是一个连续型随机变量, 其概率密度为 f f [ h( y] h, α < y < β, 其中 h(y 是 g(x 的反函数, α mi{ g(, g( }, 即 x g h( y β max{ g(, g( }. 定理 ( 续 若 f 在有限区间 [ a, b] 以外等于零, 则只须假设在 [ a, b] 上恒有 g > 0( 或恒有 g < 0, 此时仍有 : 80 f [ h ( y ] h ( y, α < y < β, f ( y 这里 α mi{ g ( a, g( b}, β max{ g( a, g( b}. 证明 : 设随机变量 g ( 的分布函数为 F ( y, 则有 F ( y P{ y} P{ g( y} 由题设, 不妨假设 g > 0, 则 g (x 是严格增 加的函数. F P{ g( y} P{ g 因此 ( g( g } 8 h( y P{ h } f dx 单调递增函数的反函数仍是单调递增函数, 比如 gx ( 3x+ g ( x 3 y { g { g( y} { 3 + y} { 3 y} ( y } 3 { g { g ( g ( 这相当于 g ( y } ( y } P{ g( y} 是 f在不等式 g( y所限定的范围内的积分 f ( xdx g( y 4

5 8 由题设, 当随机变量 随机变量 在区间 其中, 在区间 (, + ( α, β 上变化. { g (, g( + }, β max{ g(, ( + } 当 y ( α, β 时, α mi g 因此, F h f dx h( y ( d 所以, f y F ( ( y f x dx dy 上变化时, 83 ϕ ( x F f( t dt, F f[ ϕ] ϕ ( h h ( ( ( ( 0 f f h h y g x > 情形 若 g 0 a 因此, F P{ y} P g( y ( x <, 则 g( x 是严格减少的函数. 当 y ( α, β 时, { } { P g ( g( g } + P{ g } P{ h } f dx ( d ( + 所以,f y F ( y f x dx dy h( y h( y 84 F y f h y h y b ψ ψ ψ ( ( ( ( f ( h h ( g < 0 情形 F ( x f ( t dt, F ( x f [ ( x ] ( x 综上所述, g ( 的密度函数为 85 f ( h h f α < y < β 0 其它 例 7 设随机变量 ( ~ N μ, σ, e, 试求随机变量 的密度函数 f ( y. 解 : 由题设, 知 的密度函数为 f ( xμ σ e πσ ( < x < + x 因为函数 y e 是严格增加的, 它的反函数为 x l y g h l y 5

6 86 (, + 上变化时, y ( 0, + 时, 并且当随机变量 在区间 e 在区间 ( 0, + 上变化. 所以, 当 f f ( l y μ l l exp πσ σ y 由此得随机变量 e 的密度函数为 ( l y μ exp > ( y 0 f y π yσ σ 0 y 0 F f ( h h ( xμ σ f e h y y πσ ( l 87 的密度函数为 ( xμ σ f e ( < x < + πσ 由 f ( ( ( f h y h y α < y < β 0 其它 得到 a + b的概率密度为 f e πσ ( xμ σ 88 f e a πσ a σ e π ( ybaμ ( aσ yb ( μ a σ e a σ π ( y ( b+ aμ ( aσ 89, 0 θ π 的密度函数 : f ( θ π 0, 其它 V 的分布函数 : < 0时, FV ( P{ si } P ( 0 时, FV ( P{ si } 时, { } P{ si } 0 < F ( P V V P si 6

7 90 P π π si π + si 可略过此页直接 π + π si π + π + si 阅读 P9. 9 ( 0, 0,si si, si 在区间 π 中, 只有在. π π 时才有 FV ( P 0 si π si π F(si F(0 + F( π F( π si F + F π (si ( si (0 < 0 x < 0 x 0 F 0 x π π 0 π < x 9 V 的分布函数 : (si x 0, x < 0 FV ( F(si + F( π si, 0 <, F ( θ f( θ dfv ( < 0或 时 V的密度函数为 : ψ ( 0 d dfv ( 0 < 时 V 的密度函数为 : ψ ( F (si (si d F ( π si ( π si f (si f ( π si 93 f (si f ( π si π π π ψ ( π 0,,0 < 其它 π π 0 0 si, si < < < < < π <, 0 θ π f ( θ π 0, 其它 π 7

8 94 引进了随机变量的概念, 要求会用随机变量表示随机事件 给出了分布函数的定义及性质, 要会利用分布函数表示事件的概率 3 给出了离散型随机变量及其分布律的定义 性质, 要会求离散型随机变量的分布律及分布函数, 掌握常用的离散型随机变量分布 : 两点分布 二项分布 泊松分布 4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义 性质, 要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算, 掌握常用的连续型随机变量分布 : 均匀分布 指数分布和正态分布 5 会求随机变量的简单函数的分布 8

高等数学A

高等数学A 高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March

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2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +

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标题

标题 第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715

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第五章 数理统计中的统计量 及其分布

第五章 数理统计中的统计量 及其分布 第五章 数理统计中的统计量 及其分布 随机样本 统计量 三大抽样分布 正态总体下常用统计量的一些重要结论 数理统计 以概率论为基础 主要研究如何收集 整理和分析实际问题的数据 有限的资源 以便对所研究的问题作出有效的 精确而可靠 推断 基础 概率论 功能 处理数据 目的 作出科学推断 就概率特征 总体与随机样本 总体 研究对象的某项数量指标值的全体 记作 Y 个体 总体中每个研究对象 元素.

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