数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数

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1 .. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

2 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

3 什么是自然数? 0, 1, 2, 3, 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

4 Peano 公理 N 0 N + : N N n N n + = 0 + m, n N m + = n + m = n N D 0 D n D n + D D = N 0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

5 Peano 公理 n N P(n) P(0) P(n) P(n + 1) Z Q R + +1 Z Q R 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

6 Peano 公理 n N n n + 证明 : M = {n N: n n + } 0 M n M n + M n M n n + n + / M n + = (n + ) + n = n + n M n + M M = N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

7 Peano 公理 n N n 0 m N n = m + 证明 : m m M = {0} {n N: k N, n = k + } 0 M n M n + M M = N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

8 集合方式定义的自然数, { }, {, { }}, {{, { }}}, 0 + N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

9 自然数集的 唯一性 A B A 0 A + A B 0B + B f: A B f(0 A ) = 0 B f a A f(a + A ) = (f(a)) + B A f + A A B + B B 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78 f

10 自然数集的 唯一性 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

11 自然数集上的加法 N N N f f(m, 0) = m f(m, n + ) = f(m, n) + f(m, n) m + n f(m, 0) = m f(m, n + ) = f(m, n) + f: N N N m N D = {n N: f(m, n) } f(m, 0) m 0 D n D f(m, n) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

12 自然数集上的加法 f(m, n + ) = f(m, n) + D = N f: N N N m n k (m + n) + k = m + (n + k) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

13 自然数集上的加法 证明 : k D = {k N: (m+n)+k = m+(n+k), m, n N} (m + n) + 0 = m + n [x + 0 = x, x N] 0 D k D = m + (n + 0) [x + 0 = x, x N] (m + n) + k = m + (n + k), m, n N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

14 自然数集上的加法 (m + n) + k + = ((m + n) + k) + [ 加法之定义 ] = (m + (n + k)) + [ 归纳假设 k D] = m + (n + k) + [ 加法之定义 ] = m + (n + k + ) [ 加法之定义 ] k + D D = N m n m + + n = m + n + 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

15 自然数集上的加法 证明 : n n = 0 m N m = m + m = (m + 0) + = m + n = 0 m N n = k m + + k = m + k + m N m + + k + = (m + + k) + [ 加法之定义 ] = (m + k + ) + [ 归纳假设 ] = m + (k + ) + [ 加法之定义 ] m, n N m + + n = m + n + 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

16 自然数集上的加法 (0 + ) = = [1 代表 0 + ] = (0 + ) [m + + n = m + n +, m, n N] = [2 代表 (0 + ) + ] = 2 [ 加法之定义 ] = 2 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

17 自然数集上的加法 引理 : n 0 + n = n + 0 = n 证明 : n + 0 = n n N 0 + n = n + 0 n D = {n: 0 + n = n + 0} = D k D 0 + k = k + 0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

18 自然数集上的加法 0 + k + = (0 + k) + [ 加法之定义 ] = (k + 0) + [k D] = k + [n + 0 = n, n N] = k [n + 0 = n, n N] k D k + D D = N m n m + n = n + m 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

19 自然数集上的加法 证明 : D = {m N: m + n = n + m, n N} 0 D k D k + n = n + k n N n N k + + n = k + n + [m + + n = m + n +, m, n N] = (k + n) + [ 加法之定义 ] = (n + k) + [ 归纳假设 k D] = n + k + [ 加法之定义 ] k + D D = N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

20 自然数集上的加法 m n k m + k = n + k m = n 注 : k k = 0 k = p m + p + = (m + p) + 且 n + p + = (n + p) + + k = p 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

21 自然数集上的乘法 N N N g g(m, 0) = 0 g(m, n + ) = g(m, n) + m m, n N g(m, n) m n mn N N N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

22 自然数集上的乘法 m n k m (n + k) = m n + m k 证明 : D = {k: m (n + k) = m n + m k m, n N} m (n + 0) = m n [ 加法之定义 ] 0 D = m n + 0 [ 加法之定义 ] = m n + m 0 [ 乘法之定义 ] 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

23 自然数集上的乘法 p D m (n + p + ) = m (n + p) + [ 加法之定义 ] = m (n + p) + m [ 乘法之定义 ] = (m n + m p) + m [ 归纳假设 p D] = m n + (m p + m) [ 加法结合律 ] = m n + m p + [ 乘法之定义 ] p + D D = N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

24 自然数集上的乘法 m n m n = n m 证明 : 0 D D = {n N: mn = nm m N} 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

25 自然数集上的乘法 E = {m N: m 0 = 0 m} 0 E 0 0 = 0 = 0 m E m 0 = 0 m m + 0 = 0 m + m + 0 = 0 0 m + = 0 m + 0 [ 乘法之定义 ] = m [ 归纳假设 m E] = [ 乘法之定义 ] = 0 [ 加法之定义 ] 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

26 自然数集上的乘法 m E m + E E = N 0 D n D n + D mn = nm m N mn + = n + m N m, n N n + m = nm + m m m = 0 n + 0 = 0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

27 自然数集上的乘法 n = [ 乘法之定义 ] = 0 [ 加法之定义 ] n + 0 = n n N m N n + m = nm + m m N n + m + = nm + + m + m N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

28 自然数集上的乘法 n + m + = n + m + n + [ 乘法之定义 ] = (nm + m) + n + [ 归纳假设 ] = nm + (m + n + ) [ 加法结合律 ] nm + + m + = (nm + n) + m + [ 乘法之定义 ] = nm + (n + m + ) [ 加法结合律 ] = nm + (m + + n) [ 加法交换律 ] = nm + (m + n + ) [m + + n = m + n + ] n + m + = nm + + m + m N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

29 自然数集上的乘法 0 D n D n + D mn = nm m N mn + = n + m m N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

30 自然数集上的乘法 n + m = nm + m [ 断言 2] = mn + m [ 归纳假设 ] = mn + [ 乘法之定义 ] m n k (m n) k = m (n k) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

31 自然数集上的乘法 m n k k 0 m k = n k m = n m, k N k 0 m k = 0 m = 0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

32 自然数上的序关系 m, n N k N n = m + k m n n m m, n N m n m n m < n n > m 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

33 集合上的关系和序关系 X R X X x, y X (x, y) R xry X R R xrx x R xry yrz xrz xry yrx x = y R X x R y x y 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

34 集合上的关系和序关系 X R R x, y X x y y x R X (X, R) R x y x y 0 (R, ) X P(X) a, b P(x) a b a b (P(X), ) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

35 集合上的关系和序关系 X R D X x D x y y D x D X D D D (X, ) D 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

36 集合上的关系和序关系 X R R D X D x D x y y D R X (X, R) (X, ) (X, ) a, b X X {a, b} 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

37 自然数上的序关系 (N, ) (N, ) N m n m < n m = n m > n 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

38 自然数上的序关系 (N, ) D N D 证明 : n = 0 + n E D E = {k N: k n, n D}. n D 0 n 0 E 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

39 自然数上的序关系 E D = E k k < n n D E = N 0 E k E k + E n D k E E D = k < n k n k n n = k + s s 0 s 0 j N s = j + n = k + s = k + j + = k + + j. k + n n k + E E = N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

40 自然数上的序关系 D D n E = N k n k N n + n n = n + + k = n + k + 0 = k + 0 m m D m n n D 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

41 自然数上的带余除法 N m N n N {0} k N m n k 证明 : n N {0} p N n = p + m N k = m n k = n m = m n = m p + = m p + m 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

42 自然数上的带余除法 m n k m N n N {0} k N n k m < n (k + 1), 证明 : k k 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

43 自然数上的带余除法 k 1 k 2 n k i m < n (k i + 1), i = 1, 2 k 1 k 2 k 1 < k 2 k 1 > k 2 k 1 < k 2 k + 1 k 2 k + 1 = k k k 2 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

44 自然数上的带余除法 m n m n p m p n p k k 2 n (k 1 + 1) n k 2 m < n (k 1 + 1) m < n (k 1 + 1) n k 2 m n p m < n n p m < p 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

45 自然数上的带余除法 m < n (k 1 + 1) n k 2 m < n k 2 m n k 2 m < n k 2 m n k 2 k m 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

46 自然数上的带余除法 p N m + 1 n p D = {p N: m + 1 n p} D D q D q p p D q m m + 1 m + 1 = 0 m + = 0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

47 自然数上的带余除法 q 0 k N q = k + = k + 1 m + 1 n (k + 1) m < m + 1 n (k + 1) m < n (k + 1) n k m q D n k < m + 1 m + 1 n k D k D q D 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

48 自然数上的带余除法 q k q = k + k + k k + = (k + 0) + = k k k k k + k < k + k + k k < k + n k < m + 1 n k < m + 1 n k m n k < m + 1 n k m + 1 n k m + 1 n k + 1 m + 1 s N m + 1 = n k s 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

49 自然数上的带余除法 m = n k + s m n k n k m m < n (k + 1) n k m < n (k + 1) N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

50 自然数上的带余除法 m N n N {0} (q, r) m = n q + r 0 r < n q m n r m n m N n N {0} q r 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

51 带余除法之应用 : 自然数上的辗转相除法 m n r 0 = m r 1 = n r 0 = r 1 q 1 + r 2 r 2 = 0 r 1 = r 2 q 2 + r 3 r 3 = 0 r 1 > r 2 > r 3 > 0 r s = 0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

52 整除和素数 m n n 0 m = n q + r r = 0 n m n m n q m n n > 1 n n 1 n 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

53 最大公因子 (greatest common divisor, or just gcd) m n k m n k m n k m n k m n gcd(m, n) (m, n) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

54 最大公因子 (greatest common divisor, or just gcd) m n m = nq + r r 0 k m n k n r Z m n r s = 0 gcd(m, n) = r s 1 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

55 4. 整数和有理数 N N Z N Z Z Q Q Q 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

56 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 m n m n m = n + k m < n m < n m n N m n N m n 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

57 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 Alexander Grothendieck ( ) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

58 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 [m, n] [m, n] (m, n) (m, n) N N [m, n] N N [m, n] [m, n] = [m, n ] m + n = m + n N [m, n] = [m, n] 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

59 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 [m 1, n 1 ] = [m 2, n 2 ] [m 2, n 2 ] = [m 3, n 3 ] [m 1, n 1 ] = [m 3, n 3 ] [0, 2] = [1, 3] = [101, 103] Z [m, n] Z Z = {[m, n]: m, n N} 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

60 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 Z Z [m, n] + [m, n ] = [m + m, n + n ] Z Z 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

61 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 Z [m, n] [p, q] m + q n + p [m, n] [m, n] = [m, n ] [p, q] = [p, q ] [m, n] [p, q] [m, n ] [p, q ] 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

62 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 Z Z N ρ: N Z, n [n, 0] ρ ρ N Z ρ 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

63 整数 Z : (N, +) 的 Grothendieck 化 ρ: N Z m, n N ρ(m + n) = ρ(m) + ρ(n) m, n N m n ρ(m) ρ(n) {[m, n]: m, n N} 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

64 整数 Z 上的乘法 Z [m, n] [p, q] [m, n] [p, q] = [mp + nq, mq + np] [m, n] [p, q] [mp, nq] Z 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

65 整数 Z 上的乘法 Z Z ρ: N Z m, n N ρ(m n) = ρ(m) ρ(n) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

66 整数和自然数的区别 Z Z N Z N Z N Z N m, n Z x + m = n Z x n m n + ( m) m = [m 1, m 2 ] m 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

67 整数和自然数的区别 m = [p, q] m + ( m) = 0 Z [m 1, m 2 ] + [p, q] = [0, 0] [m 1 + p, m 2 + q] = [0, 0] m 1 + p = m 2 + q p = m 2 q = m 1 m = [m 2, m 1 ] x 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

68 整数和自然数的区别 x m Z n Z m + n = 0 Z N Z N 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

69 整数上带余除法 辗转相除法 Z 0 m Z n Z >0 (q, r) r Z 0 m = n q + r 0 r < n q r 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

70 最大公因子的表示 Z m n p, q Z pm + qn = gcd(m, n) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

71 最大公因子的表示 m m = p r 1 1 p r s s p i r i N >0 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

72 Q {0} : (Z {0}, ) 的 Grothendieck 化 x y z y z x Z {0} Q {0} (N, +) 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

73 Q {0} : (Z {0}, ) 的 Grothendieck 化 m, n Z n 0 [m, n] [m, n] = [m, n ] mn = nm Q Q m, n Z {0} [m, n] Q Q [m, n], [m, n ] Q [m, n] [m, n ] = [mm, nn ] 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

74 Q {0} : (Z {0}, ) 的 Grothendieck 化 Q [m, n], [p, q] Q [m, n] + [p, q] = [mq + np, nq] Q Q Q 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

75 Q {0} : (Z {0}, ) 的 Grothendieck 化 Q Q [0, n] n Z {0} s, t Q Q x + s = t s 0 Q x s = t Z N Q Z ρ: Z Q, m [m, 1] 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

76 Q {0} : (Z {0}, ) 的 Grothendieck 化 ρ ρ m, n Z ρ(m + n) = ρ(m) + ρ(n) ρ(m n) = ρ(m) ρ(n) ρ ρ 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

77 Q 上的序关系以及距离 N Z Q Q Q r s r s 0 r s r s r + ( s) s x + s = 0 x 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78

78 Q 上的序关系以及距离 a b a b a b a b b a a b = a b Q r, s r s r, s, t Q r t r s + s t 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall / 78