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贵科梅蔡
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1 网络课程内部讲义精英数学数列立体解析几何专题教师 : 苗金利温馨提示 : 本讲义为 A4 大小, 如需打印请注意用纸尺寸爱护环境, 从我做起, 提倡使用电子讲义

2 在线名师资料室免费资料任你下载高二第讲解三角形一知识要点 : 三角形内角和定理面积公式与射影定理 3 正余弦定理二典型练习 ( 一 ) 选择题 0 0. 在 Δ ABC 中, AB = 3, A = 45, C = 75, 则 BC =( ) A. 3 3 B. C. D 在 ABC 中, 若 3a= bsia, 则 B 为 ( ) A. 3 π B. 6 π C. 3 π 或 π 3 D. 6 π 或 5π 6 3. 在 ABC 中, a= 4si0, b= si 50, C = 70, 则 S ABC =( ) A. 8 B. 4 C. D. c 4. 在锐角 ABC 中, 若 C=B, 则的取值范围是 ( ) b A.(0,) B.(,) C.(, 3 ) D.(, 3 ) 5. 边长为的三角形的最大角与最小角之和的 ( ) A.90 B.0 C.35 D.50 ( 二 ) 填空题 6. 在 ABC 中, 若 si A si B = sic( cos A + cos B) +, 则 ABC 的形状是三角形 7. 在 ABC 中, 若 ta A =, C = 50, BC =, 则 AB = 3 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第页

3 在线名师答疑室随时随地提问互动 π 8. 在 ABC 中, 角 A,, B C所对的边分别为 a,, b c, 若 a =, c = 3, C =, 则 B = 3 ( 三 ) 解答题 9 (0 西城一模 ) 在 ABC 中, 已知 si( A+ B) = si B+ si( A B) (Ⅰ) 求角 A ; (Ⅱ) 若 BC = 7, AB AC = 0, 求 AB+ AC 0 (0 海淀一模 ) 在 Δ ABC 中, 角 A, B,C 的对边分别为 abc,,, 且 A, B,C 成等差数列 (Ⅰ) 若 b = 3, a = 3, 求 c 的值 ; (Ⅱ) 设 t = si Asi C, 求 t 的最大值在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第页

4 在线名师资料室免费资料任你下载在三角形 ABC 中, ()( A B) ( A C) ( B C) si + si : si + si : si + si = 4 : 5 : 6, 求 ABC 中最大角 ; () 已知 A> B> C, 且 A= C, b= 4, a+ c= 8, 求 ac, 的长 5 4 ABC 中, cos B =, cosc = 3 5 () 求 si A 的值 ; () 设 ABC 33 的面积 S ABC =, 求 BC 的长 3 在 ABC 中, 角 A,, B C的对边分别为 a,,,ta b c C = () 求 cosc ;() 若 CB CA =, 且 a+ b= 9, 求 c 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 3 页

5 在线名师答疑室随时随地提问互动 4 在海岸 A 处, 发现北偏东 45 方向, 距离 A 为 ( 3 ) 海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75 方向距离 A 为海里的 C 处有我方一艘辑私艇奉命以 0 3 海里 / 小时的速度追截走私船, 此时走私船正以 0 海里 / 小时的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜, 问辑私艇沿什么方向才能最快追上走私船? 需要多长时间? 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 4 页

6 在线名师资料室免费资料任你下载高二第讲等差与等比数列一知识要点 : ( 一 ) 等差等比数列定义公式及性质定义等差数列 a+ a = d 或 a a = d( ) a a + 等比数列 a = q = q( ) a 几何意义对等差数列, ( a, ) 位于一条直线上. 单调性与 d 有关, 当 d > 0 时增 ; 当 d < 0 时减, 当 d = 0 时是常数列对于其它数列, 对正项等比数列 ( a > q > q ) 0, 0且, ( a, ) 位于一条指数型曲线上. 曲线的单调性与 q 有关, 当 q > 时增 ; 当 0< q < 时减. 对于其它数列, 如 a, 为奇数 = ( ) =, 同样可以研究, 为偶数中项若 abc,, 成等差, 则 b叫 ac, 的等差若 abc,, 成等比, 则 b 叫 ac, 的等比中项, 即 a+ c 中项, 即 b = b = ac, 非零三数成等比 b = ac 通项公式 a = a + ( ) d a = aq 前项和公式 a ( + a ) S = = a + ( ) d a, q = S = a ( q ) a a q q, q = 三类方法 : 定义 ( 等比定理, 叠加 ); 错位减 ; 造方程目的 : 化简运算, 消除差别, 造出方程判定方法定义 ( 证明 ); 通项公式 ; 前项和公式性下标和若 s+ t = p+ q, 则 as + at = ap + aq 若 m+ = p+ q, 则 am a = ap aq 特别地, a + a = a + 子数列若下标成等差, 则对应项也成等差若下标 ( 项数 ) 成等比, 则对应项也成等比质 3 ( 子 ) 数列和 S, S S, S3 S 成等差 S, S S, S3 S 成等比在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 5 页

7 在线名师答疑室随时随地提问互动 ( 二 ) 等差等比数列的定义通项中项前项和是数列的基础和重点内容, 应注意 : () 通项公式与前项和公式的灵活应用如等差数列 : a =a +( )d =d + (a d)=a m + ( m)d, ( ) d d S = a+ d = + ( a ) 等 () 公式条件, 如等比数列 q 时, S ( a ) q = q (3) 公式的导出思想 : 倒序相加法错位相减法叠加法迭乘法等二典型例题例.() 在等差数列 { a } 中, 公差 d 为, 且 S =, 则 a+ a3+ a5 + + a99的值为 ( ) A. 60 B.85 C. 45 D. 70 () 等差数列 { a } 中, 0 a >, 且 3a8 = 5a3, 则 S 中最大的是 ( ) A. S B. S 0 C. S D. S 0 (3) 在 Δ ABC 中, ( b+ c):( c+ a):( a+ b) = 5:6:7, 则 cos B 的值为 (4) 在等差数列 { a } 中, a 0 { }, a+ a+ a = 0( ), 若 S = 38, 则的值为 (5)(0 年高考 ) 已知 a 为等比数列, a 4 + a 7 =, aa 5 6 = 8, 则 a+ a0 = ( ) A. 7 B.5 C. 5 D. 7 (6)(0 年高考 ) 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如,,3443,9449 等. 显然位回文数有 9 个 :,,33,,99.3 位回文数有 90 个 :0,,,,9,0,,999. 则 ()4 位回文数有个 ; () + ( N+ ) 位回文数有个例. 数列 { a } 是等差数列, 数列 { b } 满足 b = a, 已知 b+ b + b 3 =, bbb 3 =, 求 a 8 8 例 3. 已知数列 { } a 中,a =, 且 a+ = S, 求 a 和 S ; 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 6 页

8 在线名师资料室免费资料任你你下载例 4.(0 海淀二模 ) 已知公差不为 0 的等差数列 { a } 的前项和为 S 列 (Ⅰ) 求数列 { a } 的通项项公式 ; ( Ⅱ) 求数列 { } 的前项和公式 S S, 3 4 = a + 6, 且 a, a, a 成等比比数 4 3 例 5.(0 年高考 ) 已知 { a } 是等差差数列, 其前项和为 S,{ b } 是等等比数列, 且 a = b =, a + b =7, 且 4 4 S 4 b =0 4 4 ( Ⅰ) 求数列 { a } 与 { b } 的通项公式 ; ( Ⅱ) 记 T = ab+ a b+ + ab, N +, 证明 T += a +0b ( N ) + 例 6. 等差数列列 { a } ( ) 求公差的的取值范围 () 指出 S, S,, S 中, a =, S > 0, S < 0 3 中那一个最大 3 在线线学习网址 : com 客服服热线 : (9:0 00 0:00 everyday) 第 7 页版权所有北京天地精华教教育科技有限公公司

9 在线名师答疑室随时随地提问互动例 7.() 已知为整数, 求为何数时, S = 取得最小值, 最小值为多少? () 等差数列中, 0 a >, S 3 S =, 则当取何值时, a 取到最小值? 例 8. 对于数列 {a }, 若 a,a a,a 3 a,,a a, 是首项为, 公比为的等比数列, 求 ()a ; () 3 a +a +a 3 + +a ; 例 9. 已知数列 {a } 中,a = 且 a k =a k -+(-) k,a k+ =a k +3 k, 其中 k=,,3 () 求 a 3,a 5 () 求 {a } 的通项公式在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 8 页

10 在线名师资料室免费资料任你下载 9( + ) * 例 0.() 已知 a ( N ) 0 () 设 9 0 a =, 数列 { } * 对任意的 N, 恒有 b bm? =, 试问数列 { a } 是否有最大项, 如果有求出来 a 是首项为 a, 公比为 a 的等比数列, 令 b = a lg a, 问是否存在正整数 M, 使得例. 已知数列 { } () 设 b a a + a 中, S = 4a + + 且 a = =, 证明 { } a () 设 c ( N ) =, 证明 { } (3) 求 { a } 的通项 b 是等比数列 ; a 及前项和 S c 是等差数列 ; 例. 已知 {a } 的前项和为 S, 且 a = S 6, a = 3 4 ( ), 求 a 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 9 页

11 在线名师答疑室随时随地提问互动高二第 3 讲数列综合一知识要点. 数列主要题型是通项求和与最值等相关问题对于数列求和首先应整理化简通项公式, 只有清楚了数列的特征, 才能思考相应的求法. 如果数列能化归为等差或等比数列, 就用公式法 ; 如果数列项的次数及系数有规律, 一般可用错位相减法 ; 如果每项可写成项的和差, 一般用裂项相消法或分组分解法二典型例题例. 求数列,3,5,, ( ) +, 4 8 的前项和 ; 例. 求数列,,,,, 的前项和 ( ) 3 4 例 3. 已知实数 a >, 求数列 a, a,3 a,4 a,, a, 的前项和例 4. 根据各个数列的首项和递推公式求出其通项公式 a =,a = a +, N ; () a =,a = a +,, N ; () + + 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 0 页

12 在线名师资料室免费资料任你下载例 5. 求下列数列的通项公式 a = = + ;() a =,a =, N a + () a, a a ( N ) 例 6. 目前银行年期的定期存款利息为.5%,3 年期定期存款的年利息为 3.33%, 免征利息税. 某人欲存入元,3 年后取出今有两种方案 : 方案一 : 全部存 3 年定期, 到期后全部取出 ; 方案二 : 存年定期, 到期后自动转存 ( 利息计入本金 ),3 年后全部取出请问两种方案三年后分别能取出多少钱? 例 7. 某地现有耕地 0000 公顷, 按现有技术,0 年后粮食单产比现在增加 %, 人均粮食占有了比现在提高 0%, 如果每年人口增长率为 %, 那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?( 精确到公顷 ) 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第页

13 在线名师答疑室随时随地提问互动例 8.(0 西城一模 ) 对于数列 A : a, a,, a ( ai N, i =,,, ), 定义 T 变换 :T 将数列 A 变换成 B : b, b,, b, 其中 bi = ai ai+ ( i =,,, ), 且 b = a a, 这种 T 变换记作 B = T( A) 数列继续对数列 B 进行 T 变换, 得到数列 C,, 依此类推, 当得到的数列各项均为 0 时变换结束 () 试问 A :4,,8 3 和 A :,4,,9 4 经过不断的 T 变换能否结束? 若能, 请依次写出经过 T 变换得到的各数列 ; 若不能, 说明理由 ; () 求 A3: a, a, a 3经过有限次 T 变换后能够结束的充要条件 ; 例 9.(0 朝阳一模 ) 已知各项均为非负整数的数列 A0: a0, a,, a ( N ), 满足 a 0 = 0, a + + a = 若存在最小的正整数 k, 使得 ak = k ( k ), 则可定义变换 T, 变换 T 将数列 A 0 变为数列 T( A0): a0 +, a+,, ak +,0, ak+,, a 设 A = i+ T( Ai), i = 0,, () 若数列 A : 0,,,3,0,0 0, 试写出数列 A 5 ; 若数列 A :4,0,0,0,0 4, 试写出数列 A 0 ; () 证明存在唯一的数列 A 0, 经过有限次 T 变换, 可将数列 A 0 变为数列,0,0,,0 ; 个在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第页

14 在线名师资料室免费资料任你下载例 0.(0 东城一模 ) 若对于正整数 k, gk ( ) 表示 k 的最大奇数因数, 例如 g (3) = 3, g (0) = 5 设 S = g() + g() + g(3) + g(4) + + g( ) () 求 g (6), g (0) 的值 ; () 求 S, S, S 3 的值 ; (3) 求数列 { S } 的通项公式在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 3 页

15 在线名师答疑室随时随地提问互动高二第 4 讲不等式一知识要点. 不等式是高中数学的工具不等式性质是不等式理论的基本内容, 应准确地认识运用基本性质, 并能举出适当反例, 辨别真假命题. 解不等式的要求较高, 是求函数的定义域值域参数的取值范围的主要手段, 与等式变形并列的不等式的变形是研究数学的基本手段之一 3. 证明不等式是数学的重要课题, 也是分析解决其它数学问题的基础证明不等式有三种基本方法 : () 比较法 : () 分析法 : (3) 综合法 : 4. 线性规划及运用不等式解决函数方程数列带有实际意义或在相关学科生产生活中的问题时, 关键在于把非不等式问题转化为不等式问题 ; 在化归与转化中, 要注意等价性 ; 在应用均值不等式处理相关问题时, 有时要对式子的结构进行调整, 创造所需形式二例题分析 : 例题.() 若 a < 0, < b < 0, 则 aabab,, 的大小关系为 ( ) A. a > ab> ab B. ab > ab > a C. ab > a > ab D. ab > ab > a a b ()( 天津高考卷 ) 设 a > 0, b> 0. 若 3是 3 与 3 的等比中项, 则 + 的最小值为 ( ) a b A.8 B.4 C. D. 4 (3)(0 年高考 ( 福建理 )) 下列不等式一定成立的是 ( ) A. lg( x + ) > lg x( x> 0) B. si x + ( x kπ, k Z) 4 si x C. x + x ( x R) D. > ( x R) x + (4)(0 年高考 ( 大纲理 )) 已知 x = l π, y = log5, z = e, 则 ( ) A. x < y < z B. z < x < y C. z < y < x D. y < z < x 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 4 页

16 在线名师资料室免费资料任你下载例题.(0 年高考 ) x () 不等式 0 的解集为 ( ) x + A., B., C.. [, + ) D., [, + ) () 设 a R, 若 x>0 时均有 [(a )x ]( x ax ) 0, 则 a= (3) 若不等式 x kx+ k > 0对 x (, ) 恒成立, 则实数 k 的取值范围是例题 3.()(0 年高考 ( 陕西理 )) 观察下列不等式 3 + < <, < 照此规律, 第五个... 不等式为 b ()(0 年高考 ( 江苏 )) 已知正数 a,, b c满足 : 5c 3a b 4c a, clb a+ clc, 则的取值范围是 a (3)(0 年高考 ( 江苏 )) 已知函数 f( x) = x + ax+ b( a, b R) 的值域为 [0, + ), 若关于 x 的不等式 f ( x) < c的解集为 ( m, m+ 6), 则实数 c 的值为在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 5 页

17 (4)(0 年高考 ( 大纲理 )) 若 xy, 满足约束条件 x + y 3 0 x + 3y 在线名师答疑室随时随地提问互动 x y+ 0, 则 z = 3x y的最小值 ( a b) a+ b ( a b) 例题 4. 设 a> b> 0, 证明 < ab < 8a 8b 例题 5.a,b R 且 a + b <, 求证 : a ab b < 3x y 例题 6. 设 x,y 满足约束条件 x y + 0, 若目标函数 z = ax+by(a>0,b>0) 的值是最大值为, 求 + a b x 0, y 0 的最小值在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 6 页

18 在线名师资料室免费资料任你下载例题 7.x 轴上有一系列点 P, P, P3,, P,, 已知当时, 点 P 是把线段 P, P + 作等分的分点中最靠 P + 的点, 设线段 PP, PP 3,, PP + 的长度分别为 a, a, a3,, a, 其中 a = 近 () 写出 a, a 3和 a (, N ) 的表达式 ; () 证明 : a + a + a a < 3 ( N ); k (3) 设点 M ( a, )( >, N), 在这些点中是否存在两个点同时在函数 y = ( k > 0) 的图像上, ( x ) 如果存在, 请求出点的坐标 ; 如果不存在, 请说明理由在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 7 页

19 在线名师答疑室随时随地提问互动高二第 5 讲空间几何体如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小, 而不考虑其他因素, 则这个空间部分叫做一个几何体一构成空间几何体的基本元素 ( 构成 ) 空间几何 ( 体 ) 的基本元素点线面从运动的观点来初步认识点线面体之间的生成关系和位置关系从静态和动态两方面对长方体进行观察二棱柱棱锥和棱台的结构特征相关概念棱柱棱锥棱台的结构特征( 请参考教材自己填写 ) 多面体柱体锥体台体棱柱直棱柱正棱柱棱锥正棱锥棱台正棱台定义侧棱侧面底面性平行于底面的截面高质对角面特征三棱锥 ( 台 ) 表面上两点间最短距离侧面积全面积体积在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 8 页

(3)( 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,) 平行投影的具有的性质直观图的斜二测画法斜二测画法规则 : () 建立直角坐标系, 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY, 建立直角坐标系 ; ' ' ' () 画出斜坐标系, 在画直观图的纸上 ( 平面上 ) 画出对应的 O X,O Y, 使 X OY =45 ( 或 35 ),

正视图 : 光线从几何体的前面向后面的正投影 ; 侧视图 : 光线从几何体的左侧面向右面侧的正投影 ; 俯视图 : 光线从几何体的上底面向下底面的正投影 (3) 结合球圆柱圆锥的模型, 从正面 ( 自前而后 ) 侧面( 自左而右 ) 上面( 自上而下 ) 三个角度, 分别观察, 画出观察得出的各种结果正视图侧视图俯视图 (4)

20 在线名师资料室免费资料任你下载三圆柱圆锥圆台球旋转成体球 : 四直观图与三视图中心投影与平行投影: () 中心投影 : 光由一点向外散射形成的投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化立体几何中很少利用中心投影原理画图 () 平行投影 : 在一束平行光线照射下形成的投影分正投影斜投影相关概念 : 平行投影投射面投射线 (3)( 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,) 平行投影的具有的性质直观图的斜二测画法斜二测画法规则 : () 建立直角坐标系, 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY, 建立直角坐标系 ; ' ' ' () 画出斜坐标系, 在画直观图的纸上 ( 平面上 ) 画出对应的 O X,O Y, 使 X OY =45 ( 或 35 ), 它们确定的平面表示水平平面 ; (3) 画对应图形, 在已知图形平行于 X 轴的线段, 在直观图中画成平行于 X 轴, 且长度保持不变 ; 在已知图形平行于 Y 轴的线段, 在直观图中画成平行于 Y 轴, 且长度变为原来的一半 ; 擦去辅助线, 图画好后, 要擦去 X 轴 Y 轴及为画图添加的辅助线 ( 虚线 ) 3 三视图 () 正投影及其性质 () 三视图 : 正视图 : 光线从几何体的前面向后面的正投影 ; 侧视图 : 光线从几何体的左侧面向右面侧的正投影 ; 俯视图 : 光线从几何体的上底面向下底面的正投影 (3) 结合球圆柱圆锥的模型, 从正面 ( 自前而后 ) 侧面( 自左而右 ) 上面( 自上而下 ) 三个角度, 分别观察, 画出观察得出的各种结果正视图侧视图俯视图 (4) 三视图中反映出的位置关系和数量关系正视图反映了物体上下左右的位置关系, 即反映了物体的高度和长度 ; 俯视图反映了物体左右前后的位置关系, 即反映了物体的长度和宽度 ; 侧视图反映了物体上下前后的位置关系, 即反映了物体的高度和宽度一般俯视图放在主视图的下面, 长度与主视图一样 ; 左视图放在主视图的右边, 高度和主视图一样, 宽度和俯视图一样口诀 : 主左一样高, 主俯一样长, 俯左一样宽例判断下列命题的正误: () 各侧面是平行四边形的几何体是棱柱 ; () 底面是矩形的平行六面体是长方体 ; (3) 棱长相等的直四棱柱是正方体 ; (4) 底面是正方形的棱柱是正棱柱 ; (5) 每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱 ; 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 9 页

21 在线名师答疑室随时随地提问互动 (6) 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 ; (7) 有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱 ; (8) 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 ; (9) 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 ; (0) 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 ; () 有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 ; () 侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥例长方体 ABCD A B C D 的同一顶点的棱长分别为 a,b,c, 求对角线的长例 3 已知正四棱锥 V ABCD 的底面面积为 6, 一条侧棱长为, 求棱锥的高和斜高例 4 已知正四棱锥 V ABCD 的高与斜高分别为 8 和, 求其侧棱长底面面积例 5 设正三棱台的上底面和下底面的边长分别为和 5, 侧棱长为 5, 求棱台的高例 6 已知地球半径为 R, 则北纬 60 纬线的长度为在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 0 页

22 在线名师资料室免费资料任你下载例 7 一个圆锥底面周长为 4π, 轴和母线的夹角为 30, 则圆锥轴截面的面积为例 8 已知圆台的上下底面面积之比为 :9, 圆台的高为 0, 求截得圆台的圆锥的高例 9 已知球的两个平行截面的面积分别为 49π 400π, 且两个截面之间的距离为 9, 求球的表面积例 0 设地球的半径为 R, 点 A 和点 B 分别在北纬 45 西经 40 和北纬 45 东经 50 处 () 求 A,B 两点间纬线的长度 ; () 求 A,B 两点的球面距离在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第页

23 在线名师答疑室随时随地提问互动例一个正方体和一个圆柱等高, 并且侧面积相等, 求这个正方体和圆柱的体积之比例求侧棱长和底面边长都为的正三棱柱的体积例 3 求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第页

24 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯在线名师资料室免费资料任你下载高二第 6 讲空间点线面关系 () 垂直关系一课标要求 : 以立体几何的定义公理和定理为出发点, 通过直观感知操作确认思辨论证, 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. 线线垂直判断线线垂直的方法 : 所成的角是直角, 两直线垂直 ; 垂直于平行线中的一条, 必垂直于另一条三垂线定理 : 在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理 : 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式 : PO α, O α PA α = A a AO a α, a AP 注意 :() 三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是 : 斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 () 要考虑 a 的位置, 并注意两定理交替使用. 线面垂直定义 : 如果一条直线 l 和一个平面 α 相交, 并且和平面 α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 和平面 α 互相垂直其中直线 l 叫做平面的垂线, 平面 α 叫做直线 l 的垂面, 直线与平面的交点叫做垂足直线 l 与平面 α 垂直记作 :l α 直线与平面垂直的判定定理 : 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的性质定理 : 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行 O 3. 面面垂直定义 : 二面角直二面角两面垂直平面与平面垂直的判定定理 : 一个平面过另一个平面的垂线, 则两个平面垂直平面和平面垂直的性质定理 : 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α A P O a 典例解析. 如果直线 l 平面 α, 若直线 m l, 则 m α ; 若 m α, 则 m l ;3 若 m α, 则 m l ;4 若 m l, 则 m α 上述判断正确的是:( ) A.3 B.34 C.34 D.4. 点 P 不在三角形 ABC 所在的平面内, 过 P 作平面 α, 使三角形 ABC 的三个顶点到 α 的距离相等, 这样的平面 α 共有 ( ) A. 个 B. 个 C.3 个 D.4 个 3. 已知直线 m 与平面 α, β, 给出下列三个命题 : 若 m //, // α, 则 m// ; 3 若 m α, m// β, 则 α β. 其中真命题的个数是 ( ) A.0 B. C. D.3 α 若 m// α, α, 则 m; 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 3 页

25 在线名师答疑室随时随地提问互动 4. 正方体 ABCD A B C D 中,M N P 分别是棱 AB BC DD 的中点, 求证 :PB 平面 B MN 5.()(000 全国 ) 如图 () 所示,E F 分别为正方体的面 ADD A 面 BCC B 的中心, 则四边形 BFD E 在该正方体的面上的射影可能是图 () 的 ( 要求 : 把可能的图的序号都. 填上 ) 图 () 图 () 6. α, β 是两个不同的平面,m 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线给出四个论断 : m α β 3 β 4m α 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个.. 命题 : 7. 如图, 在正方形 ABCD 中,E F 分别是 BC CD 的中点,G 是 EF 的中点, 现在沿 AE AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形, 使 B C D 三点重合, 重合后的点记为 H, 那么, 在这个空间图形中必有 ( ) A.AH EFH 所在平面 B.AD EFH 所在平面 C.HF AEF 所在平面 D.HD AEF 所在平面在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 4 页

26 在线名师资料室免费资料任你你下载 8. 平行四边形 ABCD 所在在平面 α 外有一一点 P, 且 PA=PB=PC=PD, 求证 : 点 P 与平行行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB AD 9. (006 北京 )ABCD A B C D 是正正四棱柱, 求证 :BD 平面 ACC A 0. 已知三棱锥 P ABC 中,PA=PB, CB 平面 PAB,PM=MC,AN=3NB. 求证 :AB MN.. 如图, 直三三棱柱 ABC A B C 中,AC =BC =, ACBB =90,AAA =,DD 是 A B 中点.() 求证 C D 平面 A B ;() 当点 F 在 BB 上什么位置置时, 会使得 AB 平面 C DF? 并证明你的结论在线线学习网址 : com 客服服热线 : (9:0 00 0:00 everyday) 第 5 页版权所有北京天地精华教教育科技有限公公司

27 在线名师答疑室随时随地提问互动.(0 高考北京 ) 如图, 在 Rt ABC 中, C=90,D,E 分别为 AC,AB 的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点, 将 ADE 沿 DE 折起到 A DE 的位置, 使 A F CD, 如图 () 求证 :DE 平面 A CB; () 求证 :A F BE; (3) 线段 A B 上是否存在点 Q, 使 A C 平面 DEQ? 说明理由在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 6 页

28 在线名师资料室免费资料任你下载高二第 7 讲空间点线面关系 () 平行关系一知识要点以立体几何的定义公理定理为出发点, 通过直观感知操作确认思辨论证, 认识和理解空间中线面平行垂直的有关性质和判定. 空间平行直线. 直线与平面平行 3. 平面与平面的平行二例题选讲 : 例. 判定下列命题是否正确 ( 未加说明时, 英文大写字母表示点小写字母表示直线希腊字母表示平面 ) () a c, b c a// b () a// α, b// α a// b (3) a// α, b// a b// α (4) a b α, a// β, b// β α// β (5) a b在 α内的射影平行 a// b (6) a上有两点到 α的距离相等 a// α (7) α β = a, α γ = b, a// b β // γ 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 7 页

29 在线名师答疑室随时随地提问互动 (8) a α, b α, α // β a b (9) a b异面, 过 a有且只有一个平面与 b垂直 (0) a b异面, 点 P 不在 a b上, 则过 P 有且只有一个平面与 a b平行 () a b c两两相交 a b c共面 () a 异面 b, c 与均相交 d a b, 则 c d异面 (3) a 是 a在 α内的射影, m a, 则必有 m a (4) a b异面, a α, b β, α β = m a b的公垂线 // m (5) a b异面, 则 a b在平面 α 上的射影为两条相交直线例. 选择题 () 空间三个平面两两相交, 它们交线的条数为 ( ) A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 一条或三条 () a,b 是两条异面直线, 直线 c d 分别与 a,b 都相交, 且它们的交点都不重合, 直线 c d 的位置关系为 ( ) A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 不能确定 (3) a b 是异面直线, a 平面 α,b 平面 β, α β = c, 直线 c 与 a b ( ) A. 都相交 B. 至少一条相交 C. 至多一条相交 D. 都不相交 (4) 平面外一点 A 和平面内一点 B 的连线与平面内任意一条直线的位置关系 ( ) A. 异面 B. 相交 C. 异面或相交 D. 不能确定在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 8 页

30 在线名师资料室免费资料任你下载 (5) 一个角的两边分别与另一个角的两边平行, 且方向都相反, 则这两个角 ( ) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定 (6) 若直线 a 平行于平面 α, 则 a 平行于 α 内的 ( ) A. 任意的一条直线 B. 直线 b C. 所有的直线 D. 无穷多条直线 (7) 直线 a, b, c, 若 a // b // c, 则经过 a 的所有平面中 ( ) A. 必有一个平面同时经过 b c B. 必有一个平面经过 b 而不经过 c C. 必有一个平面经过 b 而不一定经过 c D. 不存在同时经过 b c 的平面 (8) 正方体条棱中, 异面直线的对数为 ( ) A. B. 4 C.36 D. 48 例 3. 已知 : 空间四边形 ABCD 中,E F G H 分别为边 AB BC CD DA 的中点, 求证 :E F G H 四点共面例 4. 已知 : 三个平面两两相交, 有三条交线, 求证 : 这三条交线平行或共点例 5. 已知 : 直线 a l, 平面 α β, 且 a // α, a // β, α β = l, 求证 : a// l 例 6. 已知 : 正方体 ABCD A BC D 中,M N 分别为 A B AC 上的点, 且 A M : MB = AN : NC, 求证 : MN // 平面 BB C C 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 9 页

31 在线名师答疑室随时随地提问互动例 7. 已知 : 以 AB 为公共边的正方形 ABCD 和 ABEF 不共面,M 是 BD 上一点,N 是 AE 上一点,DM=AN, 求证 :MN// 平面 BCE C D M A B N F E 例 8. 如图, 在长方体 ABCD A B C D 中,E,H 分别是棱 A B,D C 上的点 ( 点 E 与 B 不重合 ), 且 EH//A D 过 EH 的平面与棱 BB,CC 相交, 交点分别为 F,G () 证明 :AD// 平面 EFGH; () 设 AB=AA =a 在长方体 ABCD A B C D 内随机选取一点, 记该点取自于几何体 A ABFE D DCGH 内的概率为 p 当点 E,F 分别在棱 A B,B B 上运动且满足 EF=a 时, 求 p 的最小值例 9. 如图, 在直三棱柱 ABC AB C中, E F 分别是 AB AC 的中点, 点 D 在 BC 上, AD BC 求证 :()EF 平面 ABC; () 平面 AFD 平面 BBCC 例 0. 如图, 在三棱锥 P ABC 中, PAB 是等边三角形, PAC= PBC=90 º () 证明 :AB PC () 若 PC = 4, 且平面 PAC 平面 PBC, 求三棱锥 P ABC 体积在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 30 页

32 在线名师资料室免费资料任你下载高二第 8 讲曲线与方程在建立了直角坐标系之后, 平面内的点和有序实数对 ( x, y ) 之间就建立了一一对应关系, 那么曲线呢? 应该是对应于符合某种条件的一切点, 它的横纵坐标之间应受到某种条件的约束, 而这种约束就是方程 f ( x, y ) = 0 点形曲线数实数对 f( x, y) = 0 曲线和方程是同一运动规律在数与形两个不同侧面的反应定义的实质 : 一一对应曲线 C 上的点集方程 f(, x y ) = 0的解集. 曲线与方程的定义 :( 求曲线方程的一般步骤 ) () 在曲线 C 上任何一点的坐标 ( x, y ) 是方程 ( ) f x, y = 0的解 ;( 在合 ) () 以方程 f ( x, y ) = 0的解为坐标的点都在曲线上 C ( 合在 ) 那么, 方程 f ( x, y ) = 0叫做曲线 C 的方程, 这条曲线叫做方程 ( ). 曲线的交点 ( 曲线的关系与方程组的解 ) 例. 写出下面曲线的方程 f x, y = 0的曲线 y 0 x y 0 x y 0 x () () (3) 解 :() x y ( x 0) () y =± x 或 + = ; y = x 或 y = x ; (3)( x ) ( y ) + = 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 3 页

33 例. 画出下列方程所表示的曲线 () log x y = 在线名师答疑室随时随地提问互动 () y = x 4 (3)( x y )( x + y ) = 0 (4)( x y ) + ( x + y ) = 0 分析 :() y x ( x 0) (4) y =± x 且 x = > ;() y =± x ;(3) y = ± x 或 x + y =, 所以为它们的四个交点 + y = ; 例 3. 证明以原点为圆心, 半径为 5 的圆的方程是 x ( 引申 : 圆内圆外 ) + y = 5, 并判断 M ( 3, 4 ), N( 5, ) 是否在圆上? 分析 : 需证明两点, 第一圆上的任何一点的坐标 (, ) 解为坐标的点都在圆上证明 :() 设 (, ) P x y 是圆上的任一点, 则 OP = 5, 0 0 x y 是方程 x + y = 5 的解 ; 第二以方程 x + y = 5 的 x + y = 5 x + y = 5, x y 是方程 x 即 (, ) 0 0 () 设 (, ) x y 是方程 x y0 5 + y = 5 的解 + y = 5 的解, 则 x x + = 即 5 0 y0 5 + =, OP =, 所以点 (, ) P x y 是这个圆上的点 0 0 由 ()() 可知, x + y = 5 是以原点为圆心, 半径为 5 的圆的方程将 M N 的坐标代入方程知,M 在圆上,N 不在圆上 ( 在圆内 ) 反思 : 这样证明的感觉有些麻烦, 所以以后在求曲线的方程时, 只要保证步步等价, 一般不用求出方程后再证一这个方程的解为坐标的点在曲线上在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 3 页

34 在线名师资料室免费资料任你下载例 4. 动点 P 到定点 A 的距离是到定点 B 的距离的倍, 且 AB = 解 : 以直线 AB 为 x 轴, 以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建系如图设 P( x, y), A(, 0 ), B(, 0) ( ) ( ) PA = PB x + + y = x + y 整理得 3x + 3y 0x+ 3= 0即为所求, 求点 P 的轨迹方程反思 : 直接法求曲线的轨迹方程的步骤 :() 建系, 设动点 P( x, y ) ;() 找出动点 P 满足的特征性质, 即把它表示成几何等式 ;(3) 把几何等式代数化得到方程 ;(4) 化简 ;(5) 变量范围, 下结论. 例 5. 求曲线 C : y = x, C : x + y = x 的交点坐标 y = x x = 0 x = 解 : x y 或 + = x y = 0 y = 所以 C, C 的交点为 ( 0,0 ),(, ) f( x, y) = 0 反思 : 曲线 C: f( x, y ) = 0, C : f ( x, y ) = 0, 则曲线 C, C 的交点的解 f( x, y) = 0 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 33 页

35 例 6. 判断两条曲线 C : y = ax + 与 C : y = ax+ 解 :, ay y + = 0 x = y x = y 的关系. () 当 a = 0 时, y =, 此时 C 与 C 有一个交点 (, ) ; a 0 () 当即 a < 且 a 0 时, C 与 C 有两个交点 ; Δ= 4a > 0 4 a 0 (3) 当即 a = 时, C 与 C 有一个交点 ; Δ= 4a = 0 4 a 0 (4) 当即 a > 时, C 与 C 无交点 Δ= 4a < 在线名师答疑室随时随地提问互动例 7 求平面上到两个定点 F, F 的距离和等于常数 a( FF < a) 的点的轨迹方程 ; 注 : 渗透理解椭圆标准方程的推导, 为第九讲提前说明几件事 : () 建系 : 说明两件事一是选择坐标系不同, 方程不同 ; 二是为使方程简单, 必须注意坐标系的选择, 怎样选择坐标系, 依具体情况而定 ; () 设点要有任意性 ; (3) 推导过程的技巧 ( 根式的处理 ) 及等价即 ( ) a cx = a x c + y 两端平方时的隐含 ; (4) 令 FF = c > 0, 到两个定点 F, F 的距离和等于 a > 0为使焦点及长轴两个端点坐标不出现分数, 令 a c = b 是为使方程工整便于记忆, 同时 b 有特定几何含义 ; 例 8 平面上与两点 F, F 距离的差的绝对值为非零常数 a( 0< a< FF ) 的动点轨迹是双曲线, 试求双曲线方程注 : 渗透双曲线的定义标准方程图形及双曲线各元素之间的相互依存关系为第十讲有所铺垫在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 34 页

36 在线名师资料室免费资料任你下载高二第 9 讲直线一知识要点 : 数轴上任意三点坐标关系:AC=AB+BC(AC 表示向量 AC 的坐标或数量 ) 数轴上点 A 坐标为 x, 点 B 坐标为 x, 则 AB= x 3 两点的距离公式: d( A, B) = AB = ( x x ) + ( y y ) 4 中点公式: x + x, y + x= y= y 5 直线的倾斜角 : x,a,b 间距离为 : d( A, B) = AB = x x 6 直线的斜率 : 7 直线方程的几种形式 : 注意推导局限识别 8 平行与垂直的判定 9 点到直线距离在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 35 页

37 二例题分析 : 例题 :( 倾斜角和斜率关系 ) 在线名师答疑室随时随地提问互动 () 直线 l, l 的斜率分别是 3 和, 求两直线的倾角 ; () 直线 l 的倾角 α= 30,l l, 求直线 l 的斜率 ; 3 *(3) 已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 5, 求直线的斜率和倾斜角例题 :( 倾斜角和斜率关系倍角及同角关系公式 ) 已知点 C(3, 5), D(0, 9), 直线 AB 的倾斜角是直线 CD 倾斜角的倍, 直线 EF 的倾斜角是直线 CD 倾斜角的一半, 求直线 AB 和 CD 的斜率例题 3:( 数形结合 ) 已知直线 l 过点 P(,), 且与以 A(, 3), B(3,0) 为端点的线段 AB 相交, 求直线 l 斜率的取值范围. 例题 4:( 直线方程的局限数形结合分类思想 ) 求分别满足下列条件的直线方程 () 过 (,) 点 ; () 原点到直线与 y 轴交点的距离为 5; (3) 过 (,) (a,b) 两点 ; (4) 过点 A(,) 且在 x y 轴上的截距相同 ;( 截距概念 ) 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 36 页

38 在线名师资料室免费资料任你下载例题 5:( 数形结合运动观点 ) 已知直线 L: = kx k y 分别满足下列条件, 求 k? () 与直线 y= x+ 4在第二象限有交点 ; () 与直线 y=x 在第一象限有交点 ; (3) 与点集 A {( x, y) x y } = + = 有公共点例题 6:( 待定系数 ) 已知直线 L 过 P(,4) 点, 与 x 轴 y 轴的正半轴分别交于 A B 点,O 为坐标原点, 求当小时直线 L 的方程 Δ ABO 的面积最例题 7:( 待定系数 ) 直线 L 过点 P(0,), 与直线 L : y + 4 = 0 x,l : x + y 4 = 0 分别交于点 A B, 且点 P 为线段 AB 的中点, 求直线 L 的方程在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 37 页

39 在线名师答疑室随时随地提问互动例题 8: 求经过点 (, 3) 且与原点距离为的直线方程说明 : 距离公式的应用, 讨论斜率例题 9: 求与直线 l :3x y 6= 0, l :6x 4y 3= 0 等距离的直线的方程说明 : 平行线的距离例题 0: 已知直线 l 经过点 P (,4) 且与点 A (,), B (,5) 距离相等, 求直线 l 的方程说明 : 分类讨论在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 38 页

40 在线名师资料室免费资料任你下载一知识要点. 圆的标准方程高二第 0 讲圆. 圆的一般方程 3. 直线与圆的位置关系 4. 圆的切线圆 x + y = r 上一点 Px ( 0, y 0) 处的切线方程是 l: x0x+ y0y = r 5. 圆与圆的位置关系二例题分析 [ 例 ]( 求圆的方程 ) 根据下列条件写出圆的方程 : () 过点 A(, 3), B(, 5) 且圆心在直线 x y 3= 0上 ; () 与 x 轴相切, 圆心在直线 3x y= 0上, 且被直线 x y= 0 截得的弦长为 7 ; 在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 39 页

41 在线名师答疑室随时随地提问互动 [ 例 ]() 求过 A(,), B(5,3), C(3, ) 的圆的方程, 并求该圆的半径与圆心坐标 ; () 求经过点 A(, 4) 且与直线 x+ 3y 6= 0相切于点 (8,6) 的圆的方程 [ 例 3] a 为何值时, 直线 l: x+ y a= 0与圆 C x : y + = :() 相交 ;() 相切 ;(3) 相离? [ 例 4] 过点 P (7,) 作圆 x + y = 5 的切线, 求切线的方程在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 40 页

42 在线名师资料室免费资料任你下载 [ 例 5] 求与圆 x + y + 8x+ 6y = 0相切, 且在两坐标轴上截距相等的直线方程 [ 例 6] 已知圆 C : x + y = 4, 圆 C : x + y ax ay + a =. 当 a 为何值时, 圆 C 与圆 C 相离, 外切, 相交, 内切, 内含? [ 例 7] 已知直线 l: kx y 4k+ 3= 0与曲线 C: x + y 6x 8y+ = 0 () 求证 : 不论 k 为何值, 直线 l 和曲线 C 恒有两个交点 ; () 求当直线 l 被曲线 C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程 [ 例 8] 已知圆 C : x + y 6y = 0, 圆 C :( x 3) + ( y ) = () 求证 : 圆 C 与圆 C 外切, x 轴是它们的一条外公切线 ; () 求切点间的两弧与 x 轴所围成的图形的面积在线学习网址 : 客服热线 : (9:00 0:00 everyday) 第 4 页

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