第四冊數學講義 第四章圓錐曲線 4 0 圓錐曲線名詞由來 4 拋物線 4 橢圓 4 3 雙曲線 班級 : 座號 : 姓名 : 好棒個數 : 簽名 :
4-0 圓錐曲線名詞由來. 圓錐空間中, 取兩條交於一點 V 的直線 L 與 M, 它們的夾角為 ( 0 90 ), 將直線 M 繞著 L 旋轉一圈使其夾角 保持不變, 直線 M 所掃出的曲面稱圓錐面 V 稱為頂點 稱為頂角 M 稱為母線 L 稱為中心軸. 平面 E 與圓錐的截痕 E 與 L 的夾角 90 E 與 L 的夾角 > E 與 L 的夾角 = E 與 L 的夾角 < 圓 或 點 橢圓 或 點 拋物線 或 一直線 雙曲線 或 兩相交直線 拋物線 橢圓與雙曲線合稱為圓錐曲線 點 一直線 兩相交直線合稱為退化的圓錐曲線 例題 : 空間中, 直線 M 繞 L 旋轉而得一直圓錐面, 已知 M L 的夾角為 60, () 若一平面 E 與 L 的夾角為 90, 則 E 與 L 交集所形成的圖形可能為何? () 若一平面 E 與 L 的夾角為 60, 則 E 與 L 交集所形成的圖形為何? (3) 若一平面 E 與 L 的夾角為 30, 則 E 與 L 交集所形成的圖形為何? (3) 若一平面 E 與 L 的夾角為 0, 則 E 與 L 交集所形成的圖形為何? 類 : 將連接 (,0,0) 與 (0,0,) 兩點的直線, 繞 z 軸旋轉而得一直圓錐面, 則 () 此直圓錐面與平面 相交而得的圖形為何? () 此直圓錐面與平面 z 5相交而得的圖形為何? (3) 此直圓錐面與平面 z 5 相交而得的圖形為何?
4 拋物線. 拋物線的定義 : 拋物線 平面上, 給定一直線 L, 及定點 F, F L, 則滿足 PF d( P, L) 的動點 P 所成的圖形稱為拋物線 討論 : 若上述 F L改為 F L, 則動點 P 的圖形為?. 拋物線 名詞介紹 : () 焦點 : 定點 F () 準線 : 直線 L (3) 對稱軸 ( 軸 ): 過焦點且與準線垂直的直線 L (4) 頂點 : 拋物線與對稱軸 L 的交點 V (5) 焦距 : VF (6) 焦半徑 : 拋物線上任一點與焦點的連接線段 (7) 弦 : 拋物線上任兩點的連接線段 (8) 焦弦 : 過焦點的弦 (9) 正焦弦 : 垂直對稱軸的焦弦 ( 恰有一條 ) 討論 : 正焦弦長度與焦距之關係? 3. 簡略製作拋物線 : () 畫同心圓 () 摺紙 (3) GSP 幾何畫板 (4) 利用拋物線方程式 3
. 拋物線方程式 ( 標準式 ): 拋物線方程式 () 若焦點 Fc (,0), 頂點 (0, 0), 則拋物線方程式為 : 4c c>0 c<0 證明 : () 若焦點 F(0, c ), 頂點 (0, 0), 則拋物線方程式為 : 4c c>0 c<0 證明 : (3) 若已知焦點 F( h c, k), 頂點 (h, k), 之拋物線方程式 ( k) 4 c( h) 證明 : 利用平移 (4) 若已知焦點 F( h, k c), 頂點 (h, k), 之拋物線方程式 ( h) 4 c( k) 證明 : 利用平移 4
例 : 求下列各拋物線方程式 : () 準線 L : =, 焦點 F(,0) () 準線 L : = 3, 焦點 F(0, 3) () = 8 () = 例 : 試求下列各條件的拋物線方程式 : () 準線 L: = 3, 焦點 (, ) ( ) = 8( ) () 準線 L:= 3 焦點 (, ) (+ ) = 4( ) () 焦點 (,0),準線平行 軸,正焦弦長 8 ( 4) 8或 8 練 : 求滿足下面條件的拋物線方程式: () 頂點 (, ), 焦點 (, 3) ( ) = 8( ) () 頂點 (, ), 焦點 ( 4, ) ( ) = 8( + ) (3) 軸與 軸平行,頂點 (,4),正焦弦長 8 ( ) 8( 4) 5
. 拋物線的方程式 ( 一般式 ): () 左右開口的拋物線, 方程式可表為 = + b + c ( 0) 的形式 證明 : () 上下開口的拋物線, 方程式可表為 = + b + c ( 0) 的形式 證明 : 例 3: 求對稱軸平行 軸, 且過三點 A(, 6),B(5, 0),C(4, 9) 的拋物線方程式 = 9 5 斜拋物線方程式 例 : 求焦點 F(,),準線 L:++=0 的拋物線方程式 + 88=0 練 : 求滿足下面條件的拋物線方程式: () 軸與 軸垂直,且過三點 (,),(3,0),(4, 4) 的拋物線方程式 7 33 0 60 0 () 焦點 ( 3, 4),準線 3 0 6 9 60 80 50 0 練 : 下列哪個方程式表拋物線的圖形? 3+4 0 () ( ) ( ) () 5 344 ( ) (3) 5 3 +4 5 () 6
拋物線的幾何性質. 拋物線的幾何性質 :<< 理解即可不要死背 >> 方程式 = 4c = 4c (k) = 4c(h) (h) = 4c(k) 頂點 (0, 0) (0, 0) (h, k) (h, k) 略圖 開口方向 c>0 向右 c<0 向左 c>0 向上 c<0 向下 c>0 向右 c<0 向左 c>0 向上 c<0 向下 範圍 h R h R R k R k 焦點 (c+h, k) (h, c+k) 準線 + c = h + c = k 對稱軸 = k = h 焦距 c c 正焦弦長 4 c 4 c. 焦半徑 已知拋物線方程式 : 4c, 設 P( 0, 0) 為拋物線上一點, 焦點為 F, 則 : c 焦半徑 證明 : 焦半徑 PF 0 c 7
例 5: 完成下表 : 標準式 : 方程式略圖頂點對稱軸焦距焦點準線 正焦 弦長 6 一般式 : 4 +=0 定義式 : ( 4) + 練 : 完成下表 : 方程式略圖頂點焦點軸準線 正焦 弦長 0 3 8 5 0 5( ) (3 4 4) () ( 0,0),(0, ), 0,, () 4 4 5 3 (,), (,),,, (3) 頂及正 ( 6, 8 8 5 8 5 ), 8 5 8
共軸 共焦點 例 7: 求過點 (6, 5) 且與 4 + 6 + 5 = 0 共軸 共焦點拋物線方程式 ( + 3) = 3( 8) 或 ( + 3) = 8( + ) 圖與一般式係數 例 8: 若函數 f () b c 的圖形如下圖, 則下列各數那些為負數? (A) (B) b (C) c (D) b 4c (E) b c 方程式應用例 4: 如圖為拋物線的拱橋, 當水面在 l 線時, 拱頂離水面 公尺, 水面寬 4 公尺, 問水面下 降 公尺後, 水面寬多少公尺? 6m 9
練 : 過點 (7,8) 且與 =4 同焦點且同軸的拋物線方程式 =3(9) 或 =8(+) 練 : 若函數 b c 的圖形如右圖, 則下列各數那些為負數? (A) (B) b (C) c (D) b 4c (E) b c (A) (C) (E) 練 : 探照燈反射鏡的的縱切面是拋物線的一部份, 燈口直徑 40 公分, 燈深 0 公分, 則焦點與頂點距離為 公分 5 定義應用 例 6:() 下圖為一拋物線的部分圖形, 且 A B C D E 五個點中有一為其焦點 試判斷哪一點是其焦點? () 拋物線 4 上長度為 6 的焦弦兩端點為 (, ),(, ), 求? 4 (3) P 在拋物線 = 上,P 到焦點 F 與定點 A(5,4) 之距離和為 PF PA, 求 PF PA 的最小值及此時的 P 坐標? 8,P(4/3,4) 0
練 : 拋物線 ( ) 4( ) 上長度為 6 的焦弦兩端點為 (, ),(, ), 求? 8 練 :P 在拋物線 = 6 上,P 到焦點 F 與定點 A(5,4) 之距離和為 PF PA, 求 PF PA 的最小值及此時的 P 坐標? 9,P(,4) 9 練 : 如圖, 一彗星 P 的軌跡是以太陽 F 為焦點的拋物線, 當其距太陽 0 哩時, 與軌道之 8 軸成 PFQ 60, 則彗星與太陽之最近距離為? 5 0 P F Q 軌跡問題 例 9: 求過點 A(, ), 且與直線 L: + 4 = 0 相切的圓其圓心的軌跡方程式 ( ) = ( + ) 拋物線參數式 例 0: 設 P 為拋物線 G: = 4 上一動點,Q 為直線,L: = + 5 上一動點, 求 PQ 的最小 值, 並求此時 P 之坐標,P(, )
練 : 設圓 C 與直線 L: + = 0 相切, 圓 C 與圓 C: + 8 + = 0 內切, 求圓 C 的圓心之軌跡方程式為 = 8( ) 練 : 拋物線 = 6 到 (0,0) 距離最短為 4 6 考題觀摩 學測. 設 A(, 0) 與 B(b, 0) 為坐標平面上的兩點,其中 b>.若拋物線 Γ : =4 上有一點 P 使得 ABP 為一正三角形,則 b= 5. 坐標平面上有一以點 V(0, 3) 為頂點 F(0, 6) 為焦點的拋物線 設 P(, b) 為此拋物線上一 點,Q(, 0) 為 P 在 軸上的投影, 滿足 FPQ= 60, 則 b = 3. 在坐標平面上, 過 F(,0) 的直線交拋物線 : 4 於 P Q 兩點, 其中 P 在上半平面, 且知 PF 3QF, 則 P 點的 坐標為 3 4. 已知坐標平面上圓 O :( -7 ) +( - ) =44 與 O :( + ) +( -3 ) =9 相切, 且 此兩圓均與直線 L:=-5 相切 若 Γ 為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 與 O 的圓心, 則 Γ 的焦點坐標為 - 53 ( 5, 5 ) 5. 在坐標平面上,設直線 L : =+ 與拋物線 Γ : =4 相交於 P Q 兩點.若 F 表拋物線 Γ 的焦點,則 PF + QF = 0
考題觀摩 學測較難題. 假設 Γ 為坐標平面上一開口向上的拋物線, 其對稱軸為 = -3 4 距離 ) 為 且焦距 ( 焦點到頂點的 8 若 Γ 與另一拋物線 Γ := 恰交於一點, 則 Γ 的頂點之 坐標為 9 8. 坐標平面上給定點 A ( 9 4, ), 直線 L:=-5 與拋物線 Γ: =8 以 d ( P, L ) 表示點 P 到直線 L 的距離 若點 P 在 Γ 上變動, 則 d ( P, L )- AP 之最大值為 4 考題觀摩 指考. 坐標平面上拋物線 C: 4 9 以外部分被 C 分成兩個不相交區域, 試問下列那些點與拋物線的焦點位於同一區域? 3 (A) (,) (B) (,4) (C) (,7) (D) (,7) (E) (0,9) (B)(C)(D). 已知坐標平面上的四個點,A (-, ),B ( 0, 0 ),C (, ),D (, ), 其中 D 為 AB 中點與 BC 中點的連線段的中點 設有一拋物線通過 A,D,C 三點, 則此拋物線的焦點坐標為 5 ( 0, 4 ) 3. 坐標平面上有兩條拋物線, 第一條拋物線的頂點在 (-4, 0 ), 焦點在 (-4, 4 ), 第二條 拋物線的頂點在 ( 4, 4 ), 焦點在 ( 4, 0 ), 則兩條拋物線的交點為 ( 4, 4 ),(-4, 0 ) 3
4. 在坐標平面上, 設拋物線 Γ 通過點 ( 8, 4 ), 且其對稱軸為直線 -=0 試問下列哪些 選項是正確的? (A) 若拋物線 Γ 的頂點坐標為 (, ), 則其焦點坐標必為 (, 4 ) (B) 若拋物線 Γ 的焦點坐標為 (, ), 則其頂點坐標必為 (, 3 ) (C) 若拋物線 Γ 也通過點 ( 0, ), 則其準線方程式必為 +6=0 (D) 直線 -=0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的頂點 (E) 直線 -=0 上每個點都可能是拋物線 Γ 的焦點 (A)(C)(E) 5. 設 k 為一常數 已知拋物線通過點 (,0), 且焦點為 (,), 準線為 k 0, 求 此拋物線頂點的坐標 (0, 3 ) 進階思考 3. 拋物線 = (+b) 之焦點 (4,3), 求數對 (, b) = ( 4,) 或 ( 6, ) 4. 右圖直圓錐高為 0 3, 底圓半徑為 0, 今有一平面過 B 點且法向量與圓 錐的中心軸 AB 的銳夾角為 60, 試求截痕的正焦弦長為 0 5. 設拋物線 G: = 4, PQ 為焦弦,R(3, 0), 求 PQR 面積的最小値 4 4
4 橢圓. 橢圓的定義 : 橢圓 平面上, 給定二點 F F, 給定定值, 且 > FF, 則滿足 PFPF 的所有動點 P 所形成的圖形, 稱為橢圓 討論 : () 若上述 > FF 改為 FF, 則動點 P 的圖形為? () 若上述 > FF 改為 FF, 則動點 P 的圖形為?. 橢圓 名詞介紹 () 焦點 : F F ; 定義 : FF =c () 中心點 : FF 的中點 O (3) 頂點 : 設 FF 與橢圓交於 A A 兩點, 過中心點且與 FF 垂直的直線與橢圓 交於 B B 點, 則 A A B B 四點稱為橢圓的頂點 (4) 長軸 : AA, 則 AA (5) 短軸 : BB, 則 BB b, 其中 b c (6) 弦 : 橢圓上任兩點的連接線段 (7) 焦弦 : 過焦點的弦 (8) 正焦弦 : 垂直長軸的焦弦 (9) 焦半徑 : PF PF (P 為橢圓上任一點 ) 討論 : 正焦弦長度? 3. 簡略製作橢圓圖形 : () 利用拉線 () 畫同心圓 (3) 摺紙 (4) GSP 幾何畫板 (5) 利用橢圓方程式 5
橢圓方程式. 橢圓方程式 ( 標準式 ): () 若焦點為 F( c,0), F( c,0), 長軸長, 則橢圓方程式為 證明 : ( b c ) b () 若焦點為 F(0, c), F(0, c), 長軸長, 則橢圓方程式為 b 證明 : 同 () ( b c ) (3) 若焦點為 F( h c, k), F( h c, k), 長軸長, ( h) ( k) 則橢圓方程式為 ( b c ) b ( h) ( k) (4) 若焦點為 F( h, k c), F( h, k c), 長軸長, 則橢圓方程式為 b ( b c ) 例 : 求下列各橢圓的標準式 : () 兩焦點 F (3, 0),F ( 3, 0), 長軸長為 0 的橢圓 5 6 () 兩焦點 F (0, 4),F (0, 4), 短軸長為 6 的橢圓 9 5 (3) +( -3 ) + +( +3 ) =8 7 + 6 = 6
例 : 求滿足下列各條件的橢圓方程式 () 兩焦點 F (, ),F ( 4, ), 滿足 PFPF 0 動點 P 方程式 ( ) ( ) 5 6 () 長軸平行 軸, 一焦點 F ( 3, ), 短軸上一頂點 A(0, 3) ( 3) 9 ( 3) 5 = (4) 焦點 F ( 3, 0),F ( 3, 0), 過 P(, ) = 6 3 類 : 求滿足下列各條件的橢圓方程式 () 頂點為 (, 0) (, 0) (0, 3) (0, 3) 8 3 () 頂點 A (5, 3),A (3, 3), 一焦點為 F (, 3) (3) 長軸在 5, 短軸在 上, 短軸長為長軸長的 ( ) 6 ( 3) 7 3 倍, 中心到焦點之距為 5 = ( 5) ( ) 8 5 8 (4) 兩焦點為 (, 6 ),(,- ), 正焦弦長為 5 ( - ) ( - ) 9 + 5 = 7
. 橢圓的方程式 ( 一般式 ): ( h) ( k) 橢圓方程式 b ( h) ( k) 或 b 皆可以化為二元二次方程式 A C D E F 證明 : 0, 其中 A C,AC>0 但 A C D E F 0,A C,AC>0, 並不一定是橢圓, 要配方檢查 例 3: 判斷二元二次方程式的圖形 : () 4 6 7 0 () 4 6 0 0 () 點 () 無圖形 例 4: 的方程式為 =, () 若 表橢圓, 求 的範圍? () 若 為長軸在 軸上之橢圓, 求 的範圍? (), 3 () 3 斜橢圓方程式 例 5: 求焦點 F (, ),F (, ), 長軸長為 4 的橢圓的方程式 例 6: 討論方程式 ( ) ( 3) ( ) ( 0) k 為橢圓, 則 k 的範圍 k 3 8
類 : 設 k 為實數, 若 Γ: k - + k+ =, () 若 Γ 表一橢圓, 求 k 的範圍 () 若 Γ 表一橢圓, 且長軸在 軸上, 求 k 的範圍 () k>, 但 k ;() <k< 類 : 若已知方程式 4 4 k 0的圖形為橢圓, 則 k 的範圍為何? 類 : 試判別下列各方程式的圖形 : k< () +( -3 ) + +( +3 ) =8 () +( -3 ) + +( +3 ) =6 (3) +( -3 ) + +( +3 ) =4 橢圓, 線段, 沒有圖形. 橢圓的幾何性質 :<< 理解即可, 不要硬記 >> 橢圓的幾何性質 橢圓 方程式 b b ( h) ( k) b ( h) ( k) b 中心 (h, k) (h, k) 略圖 焦點 (h c, k) (h, k c) 長軸長 短軸長 b b 頂點 正焦弦長 (h, k), (h, kb) b (hb, k), (h, k) b 範圍 h h b k b k b h b h k k 對稱性 h, k h, k 9
例 7: 完成下表 : 方程式 中心 長軸 長 短軸 長 焦點 頂點 正焦 弦長 標準式 : 一般式 : 6 9 5 +9-00+8-6=0 定義式 : ( 3) ( ) ( ) ( ) 7 類 : 完成下表 : 方程式 中 心 長軸 長 短軸 長 焦點 頂點 正焦 弦長 9 5 類 : 已知平面上一橢圓的兩焦點為 (6,0) 及 (0,8), 長軸長為 0, 則下列敘述哪些是正確的? (A) (3,4) 為橢圓的中心 (B) 短軸的斜率為 3 4 (C) (9, 4 ) 為長軸上的一個頂點 (D) 橢圓與正 軸只有一個交點 (E) 短軸之長為 0 3 [86 理 ] ABCDE 0
. 焦半徑 : 已知橢圓方程式 :, 設 P( 0, 0) 為橢圓上一點, 焦點為 F( c,0), F( c,0), 則 b c c 焦半徑 : PF 0, PF 0 c 焦半徑 c 說明 : 3. 橢圓面積 : 若橢圓方程式為 說明 :, 則其所圍出的面積為 b b 共焦點 例 7: 與橢圓 共焦點且短軸長為 8 的橢圓方程式為何? 6 9 3 6 方程式應用例 8: 下圖示一座設計成半橢圓的拱橋, 河寬 0 公尺, 河寬之中心線的水面處拱高 6 公尺, 問距離河寬中心線 8 公尺處的拱高為多少? 3.6 公尺
定義應用 例 9: 設 :, 兩焦點為 F, F, P 為 上的一動點, 求 : 64 00 () PFF 的周長 () PFF 的最大面積 ()3,()48 類 : 若橢圓 過點 ( 3, ) 且與橢圓 共焦點, 則 的方程式為何? 0 5 5 0 類 : 橢圓的兩焦點 F (,5) F (,), 弦 AB 過 F,ABF 的周長為 0, 則橢圓的方程式 為何? (+) 6 + () 5 = 類 : 已知 F 是橢圓的一個焦點, B, B 是短軸的二個端點, 且 B FB 90, A 是長軸上距離 F 較近的一個頂點, 若 A F 0 5, 求此橢圓的長軸長 0
軌跡方程式 ~ 變數變換例 0: 設 A B 點分別在 軸 軸上移動, 且 AB = 5, 若 P AB, 滿足 AP : BP = :3, 求 P 點的軌跡方程式 = 9 4 軌跡方程式 ~ 定義或圓切性質 例 : 求過 F(3, 0), 且與圓 C:( + 3) + = 64 相切之圓的圓心所成的軌跡方程式 6 = 7 類 : 若 P (, ) 是圓 C: + =6 上任一點, 過 P 點作 軸的垂線交 軸於 M 點, 當 P 沿著圓 C 繞一圈時, 求線段 MP 之 中點 Q ( ',' ) 的軌跡 = 6 4 類 : 設平面上一定點 F(, 0), 定直線 L: 4 = 0, 若動點 P 到 F 的距離為 P 到 L 的距離的 求 P 點的軌跡方程式 4, = 3 類 : 設 C :( + ) + =,C :( ) + = 8, 若圓 C 與圓 C 外切, 且與圓 C 內切, 求圓 C 之圓心的軌跡方程式 5 = 4 3
橢圓參數式. 橢圓參數式 : 橢圓 證明 : b cos 的參數式為, 0 bsin B A P 橢圓上的極值問題 例 : 設 Γ: 9 + 4 =,L:-+0=0, () P 是 Γ 上任意一點, 求 P 到直線 L 之最小距離及 P 點坐標 () 求橢圓 Γ 之內接矩形的最大面積 () 3 5 () 類 : 橢圓 9 4 的最大值 上有一點 P, 橢圓 上有一點 Q,O 為原點, 試求 OP OQ 4 9 6 類 : 求橢圓 : = (, b > 0) b () 內接矩形的最大周長 () 內接正方形的面積 類 : 如右圖,P 是橢圓 之最大面積 4 b () 4 b () b 9 + 4 = 上任一點,A,B 分別為長軸 短軸之一端點, 試求 ABP 3+3 4
考題觀摩 學測. 如圖, 圓 O 的半徑為 6,F 的坐標為 (4,0),Q 在圓 O 上,P 為 FQ 的中垂線與 OQ 的交點 當 Q 在圓 O 上移動時, 動點 P 的軌跡方 P Q 程式為 O F ( ) 9 5. 在座標平面上有一橢圓, 它的長軸落在 軸 上, 短軸落在 軸上, 長軸 短軸的長度分 P 別為 4, 如圖所示, 通過橢圓中心 O 且與 軸夾角為 45 的直線在第一象限跟橢圓相 O 45 交於 P 則此交點 P 與中心 O 的距離為 ().5(). 6 (3) (4). 5 (5) 3. () 3. 設 E : + b = ( 其中 >0 ) 為焦點在 ( 3, 0 ),(-3, 0 ) 的橢圓 ;E : 焦點在 ( 3, 0 ) 且準線在 =-3 的拋物線 已知 E,E 的交點在直線 =3 上, 則 = 4. 設 m,n 為正實數, 橢圓 3+3 m + n = 的焦點分別為 F ( 0, ) 與 F ( 0, - ) 若此橢 圓上有一點 P 使得 PF F 為一正三角形, 則 m=,n= 5. 在坐標平面上給定兩點 A(,3) 與 B(5,6) 考慮坐標平面上的點集合 S { P PAB 之面積為 0 且周長為 5 }, 則 () S 為空集合 () S 恰含 個點 (3) S 恰含 4 個點 (4) S 為兩線段之聯集 (5) S 為兩直線之聯集,6 3 5
考題觀摩 指考. 下列哪些選項中的資訊當作已知條件時, 可以在坐標平面上求出橢圓的方程式? () 橢圓四個頂點的坐標 () 橢圓兩個焦點坐標及橢圓上一點的坐標 (3) 橢圓的長短軸長度 (4) 橢圓兩個焦點坐標及長軸的長度 (5) 橢圓的中心坐標及長短軸長度比值 4. 已知一橢圓的長軸平行於 軸, 中心為 (,) 且通過點 (4,6) 試問下列那些點一定會在這橢圓上? () (, ) () (,6) (3) (4, ) (4) (5,6) (5) (3,4) ()()(3) 3. 設一橢圓方程式為 b, 其中 0,b 0,F 為它的一個焦點 已知此橢圓在 軸上的兩個頂點與 F 的距離分別為 5 單位及 單位, 如下圖所示 則 (,b) (3, 5 ) 4. 坐標平面上有一個橢圓, 已知在 (8,4),(9,),(5,5) 和 (6,) 這四個點中, 有兩個是焦點, 另外兩個是頂點, 則此橢圓的半長軸長度等於 50. 設橢圓 之面積 進階思考 5 + 8 = 上的兩焦點 F,F',A 為橢圓上一點, 若 FAF' 夾角為 60, 求 FAF' 6 3. 在橢圓 4 4 3 0的諸弦中, 以點 (,) 為中點的弦方程式為何? 此弦長為? 3 0, 5 6
4-3 雙曲線. 雙曲線的定義 : 雙曲線 平面上, 給定二點 F F, 給定定值 (>0), 其中 < FF, 則滿足 PFPF 的 所有動點 P 所成的圖形, 稱為雙曲線 討論 () 若 FF, 則其圖形為何? () 若 FF, 則其圖形為何?. 雙曲線 名詞介紹 () 焦點 : F F 定義: F F c () 中心點 : FF 的中點 O (3) 頂點 : 設 FF 與雙曲線交於 A A 兩點, 則此兩點稱為雙曲線的頂點 (4) 貫軸 : AA, 則 AA (5) 共軛軸 : 設直線 L 為過中心 O, 且與貫軸垂直,L 上取兩點 B B, OB OB c, 則 BB 稱為共軛軸 定義 : B B b ( 其中 c b ) (6) 焦半徑 : PF PF (P 為雙曲線上任一點 ) (7) 弦 : 雙曲線上任兩點的連接線段 (8) 焦弦 : 過焦點的弦 (9) 正焦弦 : 與貫軸所在的直線垂直 的焦弦 討論 : 正焦弦長度? 3. 常見的雙曲線作圖 : () 利用雙曲線方程式 () 利用拉線 (3) 畫同心圓 (4) GSP 幾何畫板 7
. 雙曲線的方程式 ( 標準式 ): 雙曲線方程式 () 若焦點為 F( c,0), F( c,0), 貫軸長為, 則雙曲線的方程式為 ( c b ) 證明 : b () 若焦點為 F(0, c), F(0, c), 貫軸長為, 則雙曲線的方程式為 ( c b ) 證明 : 同上 b (3) 若焦點為 F( h c, k), F( h c, k), 貫軸長為, ( h) ( k) 則雙曲線的方程式為 b (4) 若焦點為 F( h, k c), F( h, k c), 貫軸長為, ( k) ( h) 則雙曲線的方程式為 b 3. 漸進線 : 過貫軸的兩端點, 分別作直線與貫軸垂直 ; 再過共軛軸的兩端點, 分別作直線與共軛軸垂直, 此四條直線圍成一個矩形, 則其對角線所在的兩直線即為漸近線 F F F F 8
為何為漸進線? b 因為 : 雙曲線的任意點到兩漸近線的距離乘積恆為定值 b ( 證明如下 ) b 證明 : 雙曲線 b = 上任一點到二漸近線之距離乘積為定值 b 証 : 設 P ( 0, 0 ) 為雙曲線 b = 上任一點 0 0 b =, 即 b 0 0 = b () 雙曲線的二漸近線 L :b = 0 L :b + = 0 d ( P, L )d ( P, L ) = b 0 0 b b 0 0 b = b 0 0 b b b = ( () 代入 ) 性質 : () 雙曲線 雙曲線 的漸近線為 b 的漸近線為 b () 雙曲線的任一漸近線必不與雙曲線相交 (3) 雙曲線的兩漸近線交點為中心 4. 共軛雙曲線 : 若雙曲線 : A =, 雙曲線 : B B, A 的貫軸為 的共軛軸 且 的共軛軸為 的貫軸, 則稱 互為共軛雙曲線 () 兩共軛雙曲線中心 焦距 兩漸近線皆相同 () 四個焦點共圓 9
例 : 試求下列的雙曲線方程式 () 焦點 F ( 5, 0),F (5, 0), 且貫軸長 8 () 焦點 F (0, 5),F (0, 5), PF PF 8,P 的軌跡方程式 (3) 過點 M (8,0) 且與雙曲線 有共同漸近線 6 5 () () (3) 6 9 6 9 64 00 例 : 求滿足下列條件的雙曲線方程式 : () 焦點 F (3, ),F (5, ), 貫軸長 6 () 頂點 A (, 7),A (, 7), 一焦點 F (, 8) (3) 中心 (, ), 貫軸平行坐標軸, 且貫軸長 8, 共軛軸長 0 ( ) ( ) () 9 7 = () ( 5) ( ) 44 5 =(3) ( ) ( ) 6 5 或 ( ) ( ) 5 6 = ( ) ( 3) 例 3: 求雙曲線 5 7 = 的共軛雙曲線 ( 3) ( ) = 7 5 30
類 : 求滿足下列條件的雙曲線方程式 () 焦點 F ( 3,0),F (3,0), 且共軛軸長 0 44 5 ( ) ( ) () 中心為 (,), 一頂點為 (,), 一漸近線為 + = 0 4 6 3 ( ) ( ) (3) 二焦點為 ( 7, ),( 3, ), 正焦弦長為 3 9 6 3 (4) 焦點為 F (, ),F (8, ) 一漸近線的斜率為 4 ( 3) 6 ( ) 9 = 3. 雙曲線的方程式 ( 一般式 ): ( h) ( k) 雙曲線方程式 b ( k) ( h) 或 b 皆可以化為二元二次方程 式 A C D E F 0, 其中 AC<0 但 A C D E F 0, AC<0, 並不一定是雙曲線, 要配方檢查 例 4: 判別下列二元二次圖形為? () = 0 () += 0 雙曲線 兩相交直線 例 5: 若方程式 t t 4 表一雙曲線, 則 t 的範圍為? t or t 圖形的討論 : A + B = () 圓 :A=B>0 () 橢圓 :A>0,B>0,AB (3) 雙曲線 :AB<0 例 6: 若 ( 4) ( ) ( ) ( 3) 6, 求滿足以下圖形,k 的範圍? () 雙曲線 () 二射線 (3) 無圖形 () k < 3 () k = 3 (3) k > 3 3
類 : 平面上有二定點 F 與 F 及一個動點 P, 且 FF 5, 求滿足以下條件之 P 的軌跡圖形? () PF PF 3 () PF PF 5 (3) PF PF 8 類 3: 設 : 5t + 6t =, 下列圖形之 t 範圍? () 雙曲線 () 二射線 (3) 無圖形 () 圓 () 橢圓 (3) 雙曲線請就 t 值討論 所代表的圖形名稱. 雙曲線的幾何性質 :<< 理解即可 >> 雙曲線的幾何性質 ()t=9()t<8,t9(3)8<t<5 雙曲線 方程式 = b ( h) ( k) = b b ( k) ( h) b 中心 (h, k) (h, k) 略圖 焦點 (h c, k) (h, k c) 貫軸長 共軛軸 長 b b 頂點 (h, k) (h, k) 正焦 弦長 b b 範圍 h 或 h R k 或 k R h k k h 漸進線 0 0 b b 對稱軸 h, k h, k 3
例 7: 完成下表 : 方程式 中心 貫軸長 標準式 共軛 軸長 焦點 頂點 正焦 弦長 漸進線 方程式 9 6 一般式 3 - +9=0 定義式 方程式在下方 略程度 好的想 ( 3) ( ) ( 5) ( 4) = 8 類 4: 已知雙曲線 4 5 =00, 求 : () 中心 () 焦點 (3) 頂點 (4) 貫軸長 (5) 共軛軸長 (6) 正焦弦長 (7) 漸近線方程式 ()(0,0)()(0, 9)(0, 9)(3)(0,5)(0,5)(4)0(5)4(6) 8 5 (7)5=0 類 5: 雙曲線 (+4) +() () +(+3) =6, 則 : () 焦點 () 中心 (3) 貫軸長 (4) 正焦弦長 ()(4,)(,3) ()(,) (3)6 (4) 8 3 33
. 等軸雙曲線 : 等軸雙曲線 貫軸長與共軛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線 (). 兩漸近線互相垂直 (). 貫軸長 = 共軛軸長 = 正焦弦長 例 8: 等軸雙曲線的中心 (, ), 一焦點 F(3, ), 求其方程式 ( + ) ( ) = 8 例 9: 一等軸雙曲線的中心 O(, ), 且過點 A(4, ), 若其一漸近線為 L: + = 0 求 :() 另一漸近線方程式 () 此雙曲線方程式 3 = 0,( ) ( + ) = 4 共焦點 ( ) ( 3) 例 0: 求與橢圓 共焦點, 且貫軸長為 4 的雙曲線方程式 9 6 ( ) ( 3) 3 4 共焦點的二曲線 : 共焦點 () 中心相同 () c 的值一樣 34
類 6: 一等軸雙曲線的中心 O(, ) 且過點 A(, ), 若其一漸近線為 L: + 3 = 0, 求 : () 另一漸近線方程式 () 此雙曲線方程式 ( 利用距離乘積為定值 ) () + 4 = 0 () 3 + + 4 = 0 類 7: 設與雙曲線 6 5 = 共焦點, 且貫軸長為 4 之雙曲線為 Γ, 求 Γ 的方程式 4 37 = 定義應用 例 : 設 P 為雙曲線 上的一點且位在第一象限 若 F F 為此雙曲線的兩個焦點, 9 6 且 PF : PF :3, 求 FPF 的周長 軌跡方程式 ~ 離心率定義 9 4 例 : 設 A (8,0), 直線 L:, 一動點 P 到 A 的距離等於到直線 L 距離的倍, 求此動點 3 的軌跡方程式 7 9 5 註 : 設定直線 L 外一定點 F, 且設動點 P 滿足 PF = e d(p, L),(0 < e), 則 e = P 點的軌跡為一拋物線 0 < e < P 點的軌跡為一橢圓 e > P 點的軌跡為一雙曲線 35
軌跡方程式 ~ 圓切性質 例 3: 設 C : + =,C :(8) + =5, 則與二圓相切 ( 外切 內切 ) 之圓的圓心 P 之軌跡 方程式 (4) = 雙曲線參數式 例 4: 求點 A(3,0) 與方程式 4 =4 圖形上動點 P 之距離最小值為何? 並求 P 點之坐標 雙曲線參數式 : 不管 θ 如何變化, 點 P ( 5 5,P(, 5 5 ) cos,tnθ ) 恆在雙曲線 -4 =4 上 類 8: 設 F 與 F 為坐標平面上雙曲線 : 的兩個焦點,P 為 上一點, 使得此三點構 9 6 成一等腰三角形 試問這些等腰三角形的周長可能為? 4, 36 類 9: 求過點 A(4, 0), 且與圓 C:( + 4) + = 36 相切之圓的圓心所形成的軌跡方程式 9 7 類 0: 平面上點 P 到 F(5,0) 的距離等於點 P 到直線 L:+=0 的 倍, 請求出 P 點的軌跡方 程式 3 =0 36
. 坐標平面上方程式 考題觀摩 學測 9 + 4 = ( + ) 的圖形與 6-9 = 的圖形共有幾個交點? (A) 個 (B) 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 0 個. 坐標平面上滿足方程式 ( 5 + 4 ) ( 3-4 )=0 的點 (, ) 所構成的圖形為 (A) (A) 只有原點 (B) 橢圓及原點 (C) 兩條相異直線 (D) 橢圓及雙曲線 (E) 雙曲線及原點 (C) 3. 平面上兩點 F,F 滿足 F F =4 設 d 為一實數, 令 Γ 表示平面上滿足 PF - PF = d 的所有 P 點所成的圖形, 又令 C 為平面上以 F 為圓心 6 為半徑的圓 請問下列哪些 選項是正確的? (A) 當 d=0 時,Γ 為直線 (C) 當 d= 時,Γ 與圓 C 交於兩點 (E) 當 d=8 時,Γ 不存在 (B) 當 d= 時,Γ 為雙曲線 (D) 當 d=4 時,Γ 與圓 C 交於四點 (A)(B)(E) 4. 已知等軸雙曲線 Γ 的一條漸近線為 =0, 中心的坐標為 (,), 且 Γ 通過點 (3,0), 試問 下列敘述那些是正確的? (A)Γ 的二條漸近線互相垂直 (B)+=0 為 Γ 的另一條漸近線 (C)Γ 的貫軸在直線 = 上 (D) 點 (, 3 ) 為 Γ 的一個頂點 (E) 點 (, 6 ) 為 Γ 的一個焦點 (A)(C) 5. 設 F 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: 8 - = 的兩個焦點, 且 P (-4, ) 為 Γ 上一點 若 F PF 的角平分線與 軸交於點 D, 則 D 的 的坐標為 - 6. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F,F, 且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等 設 P 為此橢圓與雙曲線的一個交點, 且 PF PF =64, 則 F F = 6 37
考題觀摩 指考. 設 與 b 為實數, 關於二元二次方程式 b 4 0 的圖形 Γ, 下列那些敘述 是正確的? (A) 若 = 0 且 b = 0, 則 Γ 是一拋物線 (B) 若 Γ 是一拋物線, 則 = 0 且 b = 0 (C) 若 Γ 是一圓, 則 = (D) 若 Γ 是一橢圓 則 >0 (E) 若 Γ 是一雙曲線, 則 <0 ACDE. 下面每一個選項都是以行列式表達坐標平面上的方程式, 請問哪些選項代表橢圓? (A) (D) =0 3 + 3 =0 (B) (E) 3-3 =0 =0 (C) 3 =0 (B)(C) 進階思考. 設 F 與 F 為雙曲線方程式 的兩焦點, 若 P 點在此雙曲線上且 FPF 90, 9 則 FPF 的面積為?. 已知雙曲線 上一點 M 到右焦點 F 的距離為,N 是 MF 的中點,O 為座標原 5 4 點, 則 ON 長為? 38 3. 求到兩直線 = 0 + = 0 的距離乘積恆為 4 的動點 P, 所形成之軌跡方程式 4. 設直線 L:=3+k 與 9 +4 =36 相切, 求 k 值 4 = 0 k=± 3 5 5. 證明 : 從雙曲線 Г: - b = 的一個焦點 F 到任一條漸近線的距離, 都等於共軛軸 的半長 b 6. 過雙曲線 b 上任一點分別作其二漸近線的平行線, 此二平行線與二漸近線圍 出一平行四邊形,試證此平行四邊形面積為一定值 b