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1 107 學年度複習講義 第三冊 班級 : 姓名 : 座號 :

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3 進度規劃表 進度範圍完成 期備註 I

4 進度規劃表 進度範圍完成日期備註

5 目錄 進度規劃表 IV 9 圓與直線 斜率與直線方程式 ㆓元㆒次不等式 線性規劃 圓方程式 圓與直線的關係 綜合練習㆒ 綜合練習㆓ 本章重點整理 平面向量 向量的加減法與係數積 線性組合 直線參數式 內積 面積與㆓階行列式 ㆓元㆒次聯立方程式與克拉瑪公式 綜合練習㆒ 綜合練習㆓ 本章重點整理 空間向量 空間概念 空間坐標系 內積 外積 體積與行列式 綜合練習㆒ 綜合練習㆓ 本章重點整理 平面與直線 平面方程式 直線方程式 III

6 1.3 直線與平面的關係 ㆔元㆒次聯立方程式 綜合練習㆒ 綜合練習㆓ 本章重點整理 矩陣 高斯消去法 矩陣的加減法與係數積 矩陣乘法 乘法的反矩陣 轉移矩陣 綜合練習㆒ 綜合練習㆓ 本章重點整理 圓錐曲線 拋物線 拋物線的幾何定義 拋物線的標準式 拋物線的定義式 橢圓 橢圓的幾何定義 橢圓的標準式 橢圓的定義式 雙曲線 雙曲線的幾何定義 雙曲線的標準式 雙曲線的定義式 綜合練習㆒ 綜合練習㆓ 本章重點整理 解答篇 15

7 第 9 章 圓與直線 9.1 斜率與直線方程式 工具 1. 斜率的定義 : 若直線 L 通過點 A(x 1, y 1 ), B(x, y ), 則 L 的斜率為 直線方程式的表示法 : (1) 點斜式 :y y 1 = m(x x 1 ), 或是 () 斜截式 :y = mx + k y y 1 x x 1 = m y x = y y 1 x x 1 (3) 兩點式 : y y 1 x x 1 = y y 1 x x 1, 或是 y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ) (4) 截距式 : x a + y b = 1 (5) ㆒般式 :ax + by = c 斜率的性質 : 設 L 1, L 的斜率為 m 1, m (1) m 1 = m L 1 與 L 平行或重合 () m 1 m = 1 L 1 與 L 互相垂直 1. (1) 利用點斜式, 在圖㆒的坐標平面 畫出 y = 1 3 (x + 1) + 1 的圖形 () 利用斜截式, 在圖㆓的坐標平面 畫出 y = 3 4 x 的圖形 (3) 利用截距式, 在圖㆔的坐標平面 畫出 x + 3y = 6 的圖形 (4) 想想看 : 怎樣可在圖㆕的坐標平面 畫出 x 3y = 1 的圖形 圖㆒ 圖㆓ 圖㆔ 圖㆕ 1

8 圓與直線 完成 期 : 斜率與直線方程式 我練習. 設 A(a, 1),B(1, 3),C( 1, 4) (1) 若 A, B, C ㆔點共線, 則 a 的值為何? () 若 ABC 是㆒個直角, 則 a 的值為何? 3. 點 A(1, 6) 向直線 L 所作的垂線段被 M(4, ) 平分, 求直線 L 的方程式 4. 設 A(, 7),B(5, ),C(9, 0) 是坐標平面 ㆔點, 求 ABC 的外心坐標 自我練習 5. 設 A( 3, 4),B(6, 5),C(a, 0) 是坐標平面 ㆔點, 若 ABC 最小周長, 則 a 的值為何? 6. 平面 ㆒直角㆔角形, 其㆔邊的斜率分別為 m 1, m, m 3, 並假設 m 1 > m > m 3, 選出正確的選項? (1) m 1 m = 1 () m 1 m 3 = 1 (3) m 1 > 0 (4) m 0 (5) m 3 < 0 7. 設 A(5, ),B(1, ),C(1, 4) 是坐標平面 ㆔點 若直線 L : y = mx + b 通過 B 點, 且平分 ABC 的面積, 則數對 (m, b) 為何? 8. ㆒海盜將㆔件珠寶埋藏在㆒個島 的㆔個 方 海盜以島 的㆒棵大王椰子樹為 心, 由大王椰子樹向東走 1 步埋他的第㆒件珠寶, 由大王椰子樹向東走 4 步, 再往北走 a 步埋他的第㆓件珠寶, 最後由大王椰子樹向東走 a 步, 再往南走 8 步埋他的第㆔件珠寶 事隔多年, 海盜僅記得埋藏寶藏的㆔個 方在同㆒直線, 請問 a 的值為何?

9 圓與直線 完成 期 : ㆓元㆒次不等式 3 9. ㆓元㆒次不等式 工具. ㆓元㆒次不等式的例子 : 觀察直線 L : x + y = 0, 把直線 L 向右移動, 則常數 0 會漸漸變大, 因此,L 右 邊的半平面, 可以用不等式 x+y 0 表示 若写成 x+y > 0, 則是不包含 L 的半平面 y y x + y 0 x + y > 0 O x O x x + y = 0 x + y = k, k > 0 x + y = 0, x + y = 0 是虛線 1. (1) 畫出不等式 x y > 的圖形 () 畫出不等式 x + 3y 3 的圖形 y y O x O x. 畫出㆓元㆒次聯立不等式 的圖形 x + y 8 x + y x y 4 O y x

10 4 圓與直線 完成 期 : ㆓元㆒次不等式 我練習 3. 写出右列㆕邊形區域 ( 含邊界 ) 所表示的聯立不 等式 A(0, 4) y B(3, 3) O(0, 0) C(4, 0) x 4. 畫出不等式 x + 3y 1 3x + y 1 x 0 y 0 的解區域, y 並求解區域內 多少個格子點 O x 自我練習 5. 設 A(a, 1),B(3, a 1) 在直線 L : x + y = 6 的異側, 求實數 a 的範圍 6. 畫出㆓元㆒次聯立不等式 1 x + y 3 的解圖形 x + y 4 y O x

11 圓與直線 完成 期 : 線性規劃 線性規劃 工具 3. 線性規劃的解題步驟 : (1) 假設未知數 () 列出㆓元㆒次聯立不等式 ( 現實問題要注意 x 0, y 0, 且須注意解是否為格子點 ) (3) 列出目標函數 (4) 根據不等式畫出解集合 ( 可行解區域 ) (5) 若可行解區域為封閉區域, 可用頂點法求最佳解 若為開放區間, 必須用平行線法 (6) 敘述最佳解 1. 本題請使用 頂點法 解題 建築公司在房市熱絡時推出 兩型熱門預售屋 業部門的規劃如 : 型屋每棟 價成本為 500 萬元, 建築費用為 900 萬元, 型屋每棟 價成本為 00 萬元, 建築費用為 1500 萬元, 公司在 部份限制 價總成本 限為 3500 萬元, 所 建築費用的 限為 1 億 000 萬元 ; 無論 型或 型售出, 每棟獲利皆為 500 萬元, 假設推出的預售屋皆可售出, 請問推出 兩型預售屋各幾棟, 公司才可得到最大利潤?

12 6 圓與直線 完成 期 : 線性規劃 我練習. 本題請使用 平行線法 解題 ㆒家積 玩具工廠, 欲將兩種大小不同的 板裁成 ㆔種規格的積 兩種 板可裁得這㆔種規格的積 個數如 所述 : 第㆒種 板㆒塊 : 可分割成 種規格 塊, 種規格 1 塊, 種規格 1 塊 ; 第㆓種 板㆒塊 : 可分割成 種規格 1 塊, 種規格 塊, 種規格 3 塊 若欲得 ㆔種規格的成品各 15,,7 個, 則這兩種 板各需多少塊, 才能使總數最少? 自我練習 x y 3. 畫出㆓元㆒次聯立不等式 x 0 y 0 的圖形, 並求 x y 的最大值與最小值 x + y 4 y O x

13 圓與直線 完成 期 : 線性規劃 我練習 7 4. ㆒農民 田 ㈤, 根據他的經驗, 在他的田 種 稻, 每 每期產量為 8000 公斤, 種花生每 每期產量為 000 公斤, 但 稻的成本較高, 每 每期需 元, 花生只需 4000 元, 且花生每公斤可賣 6.5 元, 稻米只賣.6 元 現在他手頭 只能湊足 元, 問這位農民對這兩種作物應各種植若干, 方能得到最大的利潤? 又利潤是多少? 5. 某公司製造 製搖椅和野餐桌, 每張搖椅需要 3 立方公尺的 頭和 4 小時的工時 ; 每張野餐桌需要 5 立方公尺的 頭和 3 小時的工時 ; 現在該公司擁 105 立方公尺的 頭和每星期 96 小時的工時, 而每張搖椅可獲利潤 700 元, 每張野餐桌可獲利潤 600 元 ; 由於競爭激烈, 每星期 少要生產 10 張搖椅,8 張野餐桌, 試問該公司每星期要製造搖椅和野餐桌各多少張, 才能獲的最多的利潤? 又最大的利潤為多少?

14 8 圓與直線 完成 期 : 圓方程式 9.4 圓方程式 工具 4. 圓方程式 : 設圓 C 的圓心為 (h, k), 半徑為 r, 則圓的方程式為 (x h) + (y k) = r = (x h) + (y k) = r 將 式展開後可得圓的㆒般式為 x + y + dx + ey + f = 0, ㆒般式說明形如 :x + y + 4x + y 16 = 0 的方程 式可能表示㆒個圓, 但是否為圓, 又其圓心與半徑為 何? 需透過 配方 才能了解 O y (h, k) r (x, y) x 1. 求通過㆔點 (1, 1), (1, 1), (, 1) 的圓方程式. 已知㆒圓通過點 A(3, ), B( 1, 4), 且圓心在直線 x + y + 3 = 0, 求此圓的方程式 3. 已知 x + y + x + 4y + k = 0 是㆒個圓, 且整個圓落在第㆔象限, 求 k 的範圍 4. 在坐標平面, 列哪些選項的敘述 恰可以決定㆒個圓? (1) 通過 A(, 6), B(1, 3), C(4, 4) ㆔點 () 以 P (1, 0), Q(1, 0) 為㆒直徑的兩個端點 (3) 通過 P (1, 0), Q( 1, 0), R(0, 1), S(0, 1) ㆕點 (4) 圓心為 (6, 8), 且與 x 軸與 y 軸皆相切

15 圓與直線 完成 期 : 圓方程式 我練習 9 自我練習 5. 求圓 C : 3x + 3y + 6x 1y + 7 = 0 的圓心與半徑 6. 求點 ( 1, ) 到圓 x + y 6x y = 0 的切線段長 7. 設點 Q(, 1), 且 P 為圓 x + y + 4x y 4 = 0 的動點, 求 P Q 的範圍 8. 若圓 C 與圓 C 1 : x + y 4x 6y 4 = 0 相同的圓心, 且將 C 1 的面積平分, 求圓 C 的方程式 9. 若 A( 1, 4), B(k, 3), C(, 1), D(1, 0) ㆕點共圓, 求實數 k 的值 10. 求圓心在點 (9, 7) 且與圓 x + y + x 4y = 15 相切之圓的半徑

16 10 圓與直線 完成 期 : 圓與直線的關係 9.5 圓與直線的關係 工具 5. 點到直線的距離 : 設 P (x 0, y 0 ) 為平面 ㆒點, 直線 L : ax + by = c, 則 P 到 L 的距離為 圓與直線的關係 : d(p, L) = ax 0 + by 0 c a + b L 相離 ( 不相交 ) L 相切 ( 恰交於㆒點 ) 相割 ( 交於兩點 ) L r O r O r O d(o, L) > r d(o, L) = r d(o, L) < r 1. 已知點 P (, ) 在圓 (x 1) + (y + ) = 5, 求通過 P 點的切線方程式. 設直線 L 與圓 x + y + 6x y + 5 = 0 相切, 且與直線 x = y 垂直, 求 L 的方程式 3. 設點 P ( 7, 1) 與圓 C : x + y = 5 現在通過點 P 作圓 C 的兩條切線, 切點分別為 A, B 求 :(1) 切線段 P A 的長 () P AB 的外接圓方程式 (3) 若 AP B = θ, 則 sin θ 的值為何? (4) 直線 AB 的方程式

17 圓與直線 完成 期 : 圓與直線的關係 我練習 已知直線 x + y = 3 與圓 (x 1) + (y 1) = 1 相交於兩點 A, B, 求 : (1) AB 的長 () AB 的 點坐標 自我練習 5. 求通過點 (3, ) 且與圓 x + y 4x + 8y + 15 = 0 相切的直線方程式 6. 設 P (4, ) 為圓 x + y 4x 4y = 0 外㆒點, 則 : (1) 通過 P 點對圓 C 所作的兩切線方程式為何? () 若兩切線之切點分別為 A, B, 則直線 A, B 的方程式為何? 7. 在坐標平面 的點 (7, 5) 處 ㆒光源, 將圓 x + (y 1) = 1 投射到 x 軸的影長為何?

18 1 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆒ 9.6 綜合練習㆒ 1. 右圖 A, B, C, D, E 是坐標平面 的 5 個點, 將這 5 點的坐標 (x, y) 分別 入 x y = k, 問哪㆒個選項所得到的 k 值最大? (1) A () B (3) C (4) D (5) E y A B C D E O x. 設圓 C : x + y 10x + 10y + 45 = 0, 則 列哪㆒條直線與圓 C 恰 個 交點 (1) x y = 0 () x + 3y = 0 (3) x + y = 0 (4) x + y = 0 (5) x + y = 0 3. 若可行解區域是由不等式組 4 x+y 6,5 x+y 8,x 0,y 0 所圍成的區域, 求目標函數 P (x, y) = 3x + 4y 的最大值最接近 列哪㆒個選項 : (1) 10 () 1 (3) 13 (4) 14 (5) 設圓 C : (x 3) + (y 4) = 1,x 軸 兩相異點 A(m, 0),B( m, 0), 其 m > 0 若圓 存在點 P 使得 AP B = 90, 則 m 的最小值為 (1) 3 () 4 (3) 5 (4) 6 (5) 7

19 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆒ 平面 ㆒個直角㆔角形, 其㆔邊的斜率為 m 1, m, m 3 若 m 1 > m > m 3, 則 列哪㆒個選項是正確的? (1) m 1 m = 1 () m 1 m 3 = 1 (3) m 1 > 0 (4) m 0 (5) m 3 < 0 6. 某班預計在元宵節舉辦猜燈謎活動, 並準備了 A, B, C ㆔種不同的神秘小禮物各 15, 4, 7 件, 現 兩種不同類型的包裝紙, 其 ㆒張 類包裝紙可包裝 A, B, C ㆔種禮物各, 1, 1 件, ㆒張 類包裝紙可包裝 A, B, C ㆔種禮物各 1,, 3 件, 現在㆒張 類紙要 0 元, ㆒張 類紙要 30 元, 則包裝費用 少要多少元? (1) 350 () 370 (3) 400 (4) 450 (5) 圓 C : x +y x 8y+13 = 0 的圓心為 A, 若圓心 A 到直線 L : ax+y = 1 的距離為 1, 則 a 的值為 (1) 4 3 () 3 4 (3) 3 4 (4) 4 3 (5) 8. 設 f(x) 是㆒次函數, 且當 x 坐標增加 1 單位時,y 坐標會相對應的減少 單位,f( 3) = 0 選出正確的選項: (1) y = f(x) 之圖形的斜率為 () y = f(x) 之圖形是由左 向右 傾斜的直線 (3) y = f(x) 之圖形不通過第㆒象限 (4) y = f(x) 之圖形的 x 截距為 3 (5) f( ) =

20 14 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆒ 9. 已知坐標平面 兩點 (4, 1) 和 (5, 9) 在直線 3x y = k 的兩側, 其 k 是整數, 選出正確的選項 : (1) 滿足條件的 k 值 少 5 個 () 所 滿足 式的 k 的總和是 35 (3) 所 滿足 式的 k, 最小的是 7 (4) 所 滿足 式的 k 的平均是 9 (5) 所 滿足 式的 k, 奇數和偶數的個數相同 10. 列哪些選項 的條件, 恰可以決定㆒個圓? (1) 圓心 A(1, ), 半徑 3 () 圓心 A(1, ) 且與直線 L : 3x + 4y + 4 = 0 相切 (3) P (0, 4),Q(, 0), 以 P Q 為直徑的圓 (4) 通過點 P (1, ),Q(5, ), 且圓心在 x + y = 3 (5) 通過點 P (1, ),Q(5, ), 且圓心與弦 P Q 的距離為 11. 設 n 條直線 L 1 : x y +C 1 = 0,L : x y +C = 0,,L 3 : x y +C 3 = 0, 其 C 1 < C < < C n, 且這 n 條平行線, 每相鄰的兩直線之間的距離依次為, 3, 4,, n 若 C 1 =, 且設原點到 L n 的距離為 D n, 選出正確的選項 : (1) D = 3 () D 5 = 15 (3) C = 3 (4) C 5 = 15 (5) L 5 與兩坐標軸所圍成的面積為 5 1. 直線 L : x 3y + 6 = 0 與圓 x + y = 1 相交於 A, B 兩點, 過 A, B 分別做鉛直線交 x 軸於 C, D, 且 C 在 D 的左方, 選出正確的選項 : (1) A( 3, 3) () B(0, 3) (3) CD = 3 (4) CD = 3 (5) CD = 3

21 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 綜合練習㆓ 1. 平面 ㆕點 A( 1, ),B(4, ), C(, 1),O(0, 0), 現在通過 B 點作直線 OC 的平 行線交直線 OA 於 D 點, 求 D 點的坐標 D y A B O C x. 已知兩直線 L 1 : a 1 x + b 1 y + 1 = 0,L : a x + b y + 1 = 0, 且兩直線相交於點 P (1, ), 求通過點 A(a 1, b 1 ),B(a, b ) 的直線 L 的斜率 3. 若點 A(6, 7) 經過直線 4x + 3y = 0 ㆒點 P 後反射到 B(19, ), 求點 P 的坐標 4. 設 ABC ㆔頂點為 A(3, 3),B( 1, 5),C(6, 0), 求 ABC 的垂心坐標 5. 設 ABC,A(4, 5) B( 1, 3) C 在 x 軸, 且㆔角形 最小的周長, 求 C 的坐標, 並求此周長 6. 圖解不等式 (x y + 4) (x + y ) 0

22 16 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 7. 設某公司欲購兩種機器來生產某產品, 第㆒種機器每台要美 3 萬元及新台幣 50 萬元的維護費 ; 第㆓種機器每台要美 5 萬元及新台幣 0 萬元的維護費 而第㆒種機器的純利潤每年每臺 9 萬元, 第㆓種是 6 萬元, 但是政府核准的外匯不超過美 135 萬元, 並且公司預算的總維護費不超過 1800 萬元 問應該買幾臺第㆒種機器, 買幾臺第㆓種機器, 才能獲得最大利潤? 又最大利潤是多少? 8. 某 樓房㆒棟, 室內面積 70 坪, 欲隔間分租給 生, 房間分成兩種, 大房間面積 6 坪, 可住 4 生, 租每 000 元 ; 小房間面積 4 坪, 可住 生, 租每 3000 元 ; 大房間的裝潢費用每間需要 8000 元, 小房間每間需要 6000 元, 如果某 現 ㈩萬元準備裝潢, 則應隔大 小房間各幾間, 才能得到最多的 租收入?

23 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 右圖的㆔角形區域, 其㆔邊的直線方程式分別為 x + y = 1,3x + y = 8, x y = 3, 則㆔角形區域 ( 含邊界 ) 可用 列哪㆒組不等式表示? (1) x + y 1,3x + y 8,x y 3 () x + y 1,3x + y 8,x y 3 (3) x + y 1,3x + y 8,x y 3 (4) x + y 1,3x + y 8,x y 3 (5) x + y 1,3x + y 8,x y 設 x, y 滿足限制條件 :x 3,y 1,x y + 3 0,x + 3y 9 若 A(0, 3) 是目標函數 mx y 在可行解區域內取得最小值的唯㆒解, 則實數 m 的範圍為何? 11. 坐標平面, 列哪些選項是與圓 (x 3) + (y 4) = 5 相切的直線? (1) 3x + 4y = 5 () 3x + 4y = 0 (3) 4x + 3y = 5 (4) 4x + 3y = 0 (5) 4x + 3y = 1 1. 坐標平面, 圓 C : x + (y ) = 4 是等腰 P QR 的內切圓, 其 P Q = P R,P 點坐標 為 (0, 6), 且 Q 在 R 的左方, 求直線 P R 的方程式

24 18 圓與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 9.8 本章重點整理

25 第 10 章 平面向量 10.1 向量的加減法與係數積 工具 1. 平面向量的坐標表示法與長度 : 設平面坐標 兩點 A(x 1, y 1 ), B(x, y ), 則 (1) AB = B A = (x x 1, y y 1 ) () AB 的長為 AB = (x x 1 ) + (y y 1 ) 加減法的圖示法 : B A a + b b a b a A a O O b B AB = AO + OB AB = AO + OB = OB OA 平行㆕邊形法 b a + b a 係數積 : (1) a // b b = r b r > 0, a 與 b 同方向 r < 0, a 與 b 反方向 b = r a () 設 a = (a1, a ), b = (b 1, b ), 則 a 1 a // b = a b 1 b 1. 如右圖所示,O 為正方形 ABCD 對角線的交點, 且 E, F, G, H 分別為 A D 線段 OA, OB, OC, OD 的 點, 選出正確的選 項 : (1) AB + BC = AE + EF + F G + GC () AB = EF (3) AB BC = DB (4) AB + BF + F E = GC B E F O H G C 19

26 0 平面向量 完成 期 : 向量的加減法與係數積 我練習. (1) 設 a = (, 1), b = (1, ), c = (0, 1), 若 a //( b + t c ), 求 t 的值 () 設 A(1, 0), B(5, 1), C(7, 4), 求平行㆕邊形 ABCD 的另㆒頂點 D 的坐標 3. 若 A(, ), B(1, ), C(4, 6),(1) 求 AB 的單位向量 () 若 CD// AB 且 CD = 10, 求 D 點的坐標 4. 設 a = (3, 4), b = (4, 3), c = a + t b,(1) 求 c 的最小值及此時的 t () 若 c 平分 a, b 的夾角時, 求 t 的值 自我練習 5. 設 a = (3, 1), b = (4, 3), c = a + t b,(1) 求 c 的最小值及此時的 t () 若 c 平分 a, b 的夾角時, 求 t 的值 6. 將㆒個圓的㈥個等分點分成兩組相間的㆔點, 它們所構成的兩個正㆔角形扣除內部㈥條線段後可以形成㆒正㈥角星, 如右圖所示的正㈥角星是以原點 O 為 心, 其 x, y 分別為原點 O 到兩個頂點的向量 若將原點 O 到正㈥角星 1 個頂點的向量, 都写成為 a x + b y 的形式, 則 a + b 的最大值為何?

27 平面向量 完成 期 : 線性組合 線性組合 工具. 線性組合 : 在平面 兩不平行的向量 a, b, 則平面 任㆒向量 c 都可以写成 c = α a + β b, 其 (α, β) 可以視為坐標 如 圖所示 : (α, β) b c c = α a + β b a ㆔點共線 : 在平面,A, B, P ㆔點共線 OP = α OA + β OB,α + β = 1, 如 圖所示 : B B m + n n P P β m m O α A O n m A 內分點公式 : 若 A P B ㆔點共線, 且 AP : BP = m : n OP = 重心公式 :( 己畫圖 ) 設 G 為 ABC 的重心, 則 : (1) 1 OG = 3 ( OA + OB + OC) () GA + GB + GC = 0 n OA + m OB m + n m + n

28 平面向量 完成 期 : 線性組合 我練習 1. 列哪㆒個選項說明點 P 在線段 AB? (1) 1 OP = OA + OB 3 3 (3) 3 OA + OB 4OP = 0 (5) OA = 5 OP OB 3 3 () OA = OB + 3 OP 5 5 (4) 3OP + OA OB = 0. 設 a = (3, 3), b = (1, 1), c = (3, 9), 若實數 α, β 使得 c = α a + β b, 則 α + β 的值為 何? 3. 設 P 為直線 AB ㆒點 已知 AP : BP = : 3, 且 OP = x OA + y OB, 求數對 (x, y) 4. 若 A, B, C ㆔點共線,O 為直線外㆒點, 且 5 OB = (t 1) OA + (3t 4) OC, 求 t 的值 5. 設平行㆕邊形 ABCD,AE = 3EC, D C F 為 BC 的 點, 則 E (1) 設 AE = x F AB + yad, 求 (x, y) () 設 EF = r AB + sad, 求 (r, s) A B 自我練習 6. 設 ABC 的面積為 7 求點集合 {P AP = α AB + β AC, 1 α 3, β 1} 所表示之 圖形的面積

29 平面向量 完成 期 : 直線參數式 直線參數式 工具 3. 直線參數式 : 坐標平面 通過 P (x 0, y 0 ) 且與向量 v = (a, b) 平行的直線 L 的參數式為 x = x 0 + at, t 是㆒個實數 y = y 0 + bt 我們稱 v 為直線 L 的方向向量 設 A(x 1, y 1 ), B(x, y ) 則 x = x 1 + (x x 1 )t (1) 直線 AB 的參數式為 y = y 1 + (y y 1 )t x = x 1 + (x x 1 )t () 線段 AB 的參數式為 y = y 1 + (y y 1 )t x = x 1 + (x x 1 )t (3) 射線 AB 的參數式為 y = y 1 + (y y 1 )t, t 是㆒個實數, 0 t 1, 0 t 如 圖所示 : t = 1.5 t = 1 B(x, y ) B(x, y ) B(x, y ) t = 0 A(x 1, y 1 ) A(x 1, y 1 ) A(x 1, y 1 ) t = 設 A(3, 50), B(47, 7), 則 : (1) AB 共 多少個格子點? () 已知 P (x, y) 是射線 AB ㆒點, 且 AP 5 個格子點, 求 x 的範圍

30 4 平面向量 完成 期 : 直線參數式 我練習. 設 A(, 1), B(3, ), C( 1 + t, 1 + t) 求 (1) 點 C 的軌跡方程式 () ABC 周長的最小值 (3) CA + CB 的最小值 3. 設 A(1, ), B(, 1) 且 P (x, y) 在 AB, 求 列各式的最大值與最小值 : (1) 3x 4y + 6 () x + y 4 x = + 3t 4. 關於直線 L :, t 是實數, 選出正確的選項 : y = 5 4t (1) ( 3, 4) 是 L 的㆒個方向向量 () L 通過點 (3, 4) 4 (3) L 的斜率為 (4) L 的方程式是 4x + 3y = 7 3 x = 8 3t (5) L 與直線 L 1 :, t 是實數, 表示同㆒條直線 y = 3 + 4t 自我練習 5. 設 A(, 3), B( 1, 5), 求 (1) 直線 AB 的參數式 () 線段 AB 的參數式 (3) 射線 AB 的參數式 x = 3t 6. 求直線 L 1 : x y = 5 與 L : 的交點 y = 1 + t

31 平面向量 完成 期 : 內積 內積 工具 4. 內積的定義與計算方法 : 設 a, b 的夾角為 θ, 規定 a b = a b cos θ A 設 a = (a1, a ), b = (b 1, b ), 則 a b = a1 b 1 + a b a 以 的重要結論 : (1) cos θ = a b a b = a 1 b 1 + a b a 1 + a b 1 + b O θ b B () a b a b = 0 1 (3) OAB 的面積為 a b ( a b ) ( (4) a ) b a 在 b 的正射影為 b b (5) a b a 在 b 的正射影長為 b (6) n = (a, b) 是直線方程式 L : ax + by = c 的㆒個法向量 n 1 n (7) 設 L 1 : a 1 x + b 1 y = c 1, L : a x + b y = c 的夾角為 θ, 則 cos θ = ± n 1 n (8) 點 P (x 0, y 0 ) 到直線 L : ax + by = c 的距離為 d(p, L) = ax 0 + by 0 c a + b L 1 : ax + by = c (9) 兩平行線 L : ax + by = d 的距離為 d(l 1, L ) = c d a + b (10) 柯西不等式 : a b a b, 僅在 a // b 時, 等號成立 坐標型態為 :(a 1 + a )(b 1 + b ) (a 1 b 1 + a b ), 僅在 a 1 = a 時, 等號成立 b 1 b 1. 已知右圖 每㆒小格子均為正方形, 且 P OQ = θ, 求 cos θ 的值 P θ O Q. 已知 OAB 是邊長為 1 的正㆔角形,M, N 為 AB 的㆔等分點, 且 A M N B, 求 (1) OM ON 的值 () OM 的值

32 6 平面向量 完成 期 : 內積 3. 設平面 ㆕點 A, B, C, D, 且 AB = 1, BC =, CD = 3, ABC = BCD = 10, 求 AD 的長 4. 已知 ABC 的外心為 O, 外接圓的半徑為, 且 A = 60, B = 45, 求 OA + OB + OC 的值 5. 設 OA = (3, 1), OB = ( 1, ), OC OB, BC// OA 且 OD + OA = OC, 求 OD 6. 設 ABC 的㆔頂點坐標為 A(, 5), B(5, 1), C(3, 7),P 為 BC 的㆒點, 且 AP 在 AB 的 ( 6 正射影為 5, 8 ), 求 P 點的坐標 5 7. ㆒直線 L 通過點 (1, ) 而與 y = 3x + 1 所夾的角為 30, 求 L 的方程式 8. 設 A(1, ), B( 5, 1), 直線 AB 交 L : x 3y + 6 = 0 於 P 點, 求 (1) AP : BP () P 點的坐標

33 平面向量 完成 期 : 內積 我練習 7 9. ㆔直線 L 1 : 9x y = 5, L : x 9y + 16 = 0, L 3 : 7x + 6y = 59, 求 (1) L 1 與 L 的銳角角平分線方程式 () ㆔直線所圍成㆔角形的內心坐標 10. 設 L 是通過 (0, 1) 的直線, 且 A( 1, 8), B(3, 4) 與 L 的距離相等, 求 L 的方程式 自我練習 11. 右圖 ABCDEF 是㆒個正㈥邊 E D 形, 選出正確的選項 : (1) AB AB (4) AB AE () AB AC (5) AB AF (3) AB AD F C A B 1. 設 u, v 是兩個非零向量, 若 u = v = u + 3 v, 且 θ 是 u 與 v 的夾角, 求 cos θ 的值 13. 右圖 正方形 ABCD 各邊的 點 依次為 E, F, G, H, 選出和 AE AF 相等的選項 : (1) AC AF (4) AE AC () AD AF (5) AH AC (3) AG AB D H G C F A E B 14. 設 a = (1, 1), b = (, 6), c = t a + b, (1) 當 t = x 時, c 的最小值為 y, 求數對 (x, y) () 若 c 平分 a, b 的夾角, 求 t 的值

34 8 平面向量 完成 期 : 內積 我練習 15. 設 a = (, 4), b = ( 3, 5), c = (, 3) (1) 若 ( a + t b )// c, 則實數 t 的值 () 若 ( a + t b ) c, 則實數 t 的值 16. 設㆔點 A(7, 9), B( 3, 4), C(0, 8) 求 (1) BA 在 BC 的正射影及正射影長 () A 點在直線 BC 正射影點坐標 17. 設 4x + y = 13, 求 : (1) 4x 3y 的最小值 () 當 4x 3y 最小值時, 數對 (x, y) 為何? 18. 求兩直線 3x + y = 6 與 10x 5y = 18 的夾角 19. 求點 P (, 3) 到直線 L : 5x + 1y = 7 的距離 0. 求出兩直線 x y + 4 = 0 與 x y + = 0 的銳角與鈍角角平分線 ( 請分別写出 )

35 平面向量 完成 期 : 面積與㆓階行列式 面積與㆓階行列式工具 5. ㆓階行列式的計算規則 : a c b d = ad bc ㆓階行列式值的幾何意義 : 設 u = (a, b), v = (c, d), 則由 u, v 所張出之平行㆕邊形面積為 u v = a c b d ㆓階行列式的計算性質 : 行列互換, 其值不變 : a c b d = a b c d 兩行 ( 列 ) 互換, 其值變號 : a c b d = c a d b, a c b d = b d a c 行 ( 列 ) 可提出常數 k 值 : ka c kb d = k a c b d, ka kc b d = k a c b d 兩行 ( 列 ) 成比例, 其值為 0: a ka b kb = 0 行列式分解 : a c + e b d + f = a c b d + a e b f 1. 利用行列式值的幾何意義是平行㆕邊形面積, 說明行列式的運算性質是正確的

36 30 平面向量 完成 期 : 面積與㆓階行列式 我練習. 設 a c b d = 1, a e b f = 1, 求 3a c + e 3b d + f 的值 3. 設 a c b d =, 求 (1) 3a + c a 3c 3b + d b 3d 的值 () 3a c 1b 4d 的值 4. 已知平面 由 a, b 所張出之平行面邊形面積是 3, 而由 a, c 所張出之平行面邊形面積是, 求由 a, b + c 所張出之平行面邊形的面積 ( 請畫圖觀察 ) 5. 設 A(1, 3), B(, 1), C(4, 4), 求 ABC 的面積 自我練習 6. 設 a c b d =, a e b f = 1, 求 3a c + 3e 3b d + 3f 的值 7. 已知平面 由 u, v 所張出之平行面邊形面積是 5, 求由 3 u v 與 u + v 所張出之平行 面邊形的面積

37 平面向量 完成 期 : ㆓元㆒次聯立方程式與克拉瑪公式 ㆓元㆒次聯立方程式與克拉瑪公式 工具 6. ㆓元㆒次聯立方程式的公式解 克拉瑪公式 : a 1 x + b 1 y = c 1 關於㆓元㆒次聯立方程式 :, a x + b y = c a 設 = 1 b 1 a b, c x = 1 b 1 c b, a y = 1 c 1 a c, 則由行列式的運算可得 : x = x, y = y 因此, (1) 若 0 ( a 1 b 1 ), 則聯立方程式恰 ㆒組解為 x = x a b,y = y ( x 幾何意義為 : 相交於點, ) y 的兩直線 () 若 = 0, 但 x, y 非 0 ( a 1 = b 1 c 1 ), 則聯立方程式無解 a b c 幾何意義為 : 兩平行直線 (3) 若 = x = y = 0 ( a 1 = b 1 = c 1 ), 可得聯立方程式 無限多組解, a b c 解可由直線的參數式表示之 幾何意義為 : 兩直線重合 齊次聯立方程式 : 關於㆓元㆒次聯立方程式 : a 1 x + b 1 y = 0 a x + b y = 0, (1) 若 0, 則聯立方程式恰 ㆒組解 x = 0,y = 0 () 若 = 0, 因為聯立方程式 少 ㆒解 (0, 0), 所以聯立方程式 無限多組解 1. 說明 面的性質是正確的

38 3 平面向量 完成 期 : ㆓元㆒次聯立方程式與克拉瑪公式 我練習 3x + 4y =. 利用克拉瑪公式解 : 39x + 5y = 3 3x + 4y = k 3. 已知聯立方程式 39x + 5y = 3 (k + 1)x + 4y = 4 4. 試就實數 k 之值討論方程組 x + (k )y = 1 x + 3y = kx 5. 已知聯立方程式 5x + 3y = ky 無限多組解, 求 k 的值 之解的各種情形 無限多組解, 求 k 的值 自我練習 a 1 x + b 1 y = c 1 6. 已知㆓元㆒次聯立方程式 : 的解為 (, 1), 求方程式 a x + b y = c 的解 kx + 4y = k + 7. 若㆓元㆒次聯立方程式 : 無解, 則 k 的值為何? x + ky = k 3a 1 x + b 1 y = 5c 1 3a x + b y = 5c

39 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆒ 綜合練習㆒ 1. 右圖 A, B, C, D, E 是坐標平 面 的 5 個點, 又 O(0, 0),P (0, 1), 問哪㆒個選 項的向量與 OP 的內積值最大? (1) OA () OB (3) OC (4) OD (5) OE P O y A B C x D E. 向量 (, 1) 與 列哪㆒個向量的夾角最小? (1) (, 1) () (, 1) (3) ( 1, ) (4) (1, ) (5) (, 1) 3. 設右圖, 在 ABC,AB = 4, AC = 5,AD =,BD AC,P 為 BD 的 點, 求 AP AC 的值為 (1) 5 () 7 (3) 10 (4) 1 (5) 14 4 B P A D 3 C 4. 已知平面向量 a, b, c 滿足 a = b = 1, 且內積 a b = 0 若 c 與 a + b 平行, 且 a + b + c = 1, 則 c 的最大值為 (1) 1 () (3) + 1 (4) + (5)

40 34 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆒ 5. 已知正 ABC 的邊長為 4, 點 D, E 在 BC, 且 BD = CE = 1 4 BC, 求 AD AE 的值為 (1) 0 () 4 (3) 8 (4) 11 (5) 16 x = + 3t 6. 設直線 L : t R 若 L 與 y 軸的夾角為 θ, 則 θ 的值為 y = 3 + 4t (1) 4 3 () 3 4 (3) 3 5 (4) 4 5 (5) 3 7. 設 A, B, P 是平面 ㆔點, 且 A, B 分別是直線 y = 與 x = 1 的動點, 且點 P (, 6) 滿足 P A P B, 則 AB 的最小值為 (1) 1 () (3) 3 (4) 4 (5) 5 8. 如右圖, ABC, C 是直角, D, E 是 BC 兩點, 使得 CD = DE = BE, 選出正確的選項 : (1) AB AE > AB AD (3) AD + AE = AB + AC (5) AB 在 AC 的正射影與 () AC AE > AC AD (4) AB AC = AD AE AE 在 AC 的正射影相等 A B E D C

41 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆒ 設 A, B, C ㆔點不共線, 若 點 T 所形成的集合, 選出正確的選項 : (1) 若 α + β = 1, 則 S 表示直線 BC () 若 0 α, β 1, 則 S 表示射線 BC (3) 若 α + β = 1, 且 β 1, 則 S 表示射線 BC (4) 若 α + β = 1, 且 α 0, 則 S 表示射線 CB (5) 若 α + β = 0, 則 S 表示平行直線 BC 的直線 AT = α AB + βac,α, β R, 且 S 表示所 10. 右圖 兩向量 OA = OB = 1, 且 選出正確的選項 : OA, OB 滿足 OA + OB = OY, B (1) ㆕邊形 OAY B 是菱形 () AOY = BOY (3) AB OY (4) OAB 是正㆔角形 O A 11. 右圖, 直線 AB 與直線 OM 平行, 若由直線 OM,MC,CB,BO 所圍成的陰影區域為 R ( 含邊界且 A, B, C ㆔點共線 ) 若區域 R 內的點 P 滿足 OP = 1 OA + k OB, 試問 k 的值可能為 列哪些選項 : M O R C B A (1) 1 () 1 (3) 3 (4) 1. 單位圓 相異㆔點 A, B, C, 滿足 OA + OB + OC = 0, 選出正確的選項 : (1) AOB = 10 () ABC 是正㆔角形 (3) AB = 3 (4) ABC 的面積是 3 O y x

42 36 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 10.8 綜合練習㆓ x = + 3k 1. 直線 L : y = 1 4k 關於直線 L 和 AB, 選出正確的選項 : x = 4 + 6t, k R,AB : y = 8t, 7 t 14, (1) 點 (1, 5) 在 L () (6, 8) 是 L 的方向向量 (3) AB 的長度是 70 (4) AB 在直線 L (5) L 與 AB 相交於㆒點. 矩形 ABCD, AB = ( 3, 1), AC = (, k), 則 k 的值為何? 3. 如右圖, 長方形 ABCD CAB = 30, AC AD = AC, 求 AC AB 的值 A B D C 4. 如右圖, 已知 CD = BD,G 是 AC 的 點, 若 GD = α AB + βac, 求 α + β 的值 A G B D C

43 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 坐標平面 ㆕點 O(0, 0),A( 3, 5),B(6, 0),C(x, y), 今 ㆒質點在 O 點沿 AO 方向前 進 AO 距離後停在 P 點, 再沿 BP 方向前進 BP 距離後停在 Q 點 假設此質點繼續沿 CQ 方向前進 3CQ 距離後回到原點 O, 求 (x, y) 6. 投擲㆒公正的骰子兩次, 點數依序為 m, n, 若向量 a = (m, n), b = (1, ), 求兩向量內 積 a b = 0 的機率 x = 1 + 4t 7. 在 ABC,BC 的參數式為 y = 3t G(0, 1), 則 ABC 的面積為何?, 0 t 若 ABC 的重心坐標為 8. 在 ABC 所在的平面 ㆒點 H, 滿足 HA HB = HB HC = HC HA, 試問點 H 是 ABC 的 (1) 重心 () 內心 (3) 外心 (4) 垂心

44 38 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 9. 設 ABCDE 是邊長為 的正㈤邊形, 其 心為 O, 選出正確的選項 : (sin 18 =,cos 36 = ) 4 4 (1) AB// CE () CE = ( 5 1) AB (3) AC CD = (4) OA + OB + OC + OD + OE = 0 (5) AB + AC + AD + AE = 已知方程組 A : a 1 x + b 1 y = c 1 方程組 B : 選出正確的選項 : a 1 x + b 1 y = 0 a x + b y = 0 ㆒解 (1, ), (c 1, c 0) ㆒解 (, 1), 方程組 C : a x + b y = c (1) 方程組 A 表示恰相交於點 (1, ) 的兩條直線 () 方程組 B 表示恰交於點 (, 1) 的兩條直線 (3) 方程組 C 表示兩重合直線 (4) 若將方程組 A 與 B 聯立, 則方程組無解 (5) 方程組 C 必然通過點 (, 1) c 1 x + b 1 y = a 1 c x + b y = a,

45 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 本章重點整理

46 40 平面向量 完成 期 : 綜合練習㆓

47 第 11 章 空間向量 11.1 空間概念 工具 1. 空間 兩直線的關係 : L 1 = L L 1 L 1 L 1 L L L 圖㆒ 圖㆓ 圖㆔ 圖㆕ 圖㆕表示兩直線 歪斜, 只 在這種情形, 兩直線才無法落在同㆒個平面 兩條直線 方向不同 時, 兩種情形 : ㆒種為 共平面, 此時兩直線恰交於㆒點, 而另㆒種則 不共平面, 即為 歪斜 直線與平面的關係 : E L E L E P L 平面與平面的關係 : E 1 E E 1 E E L E 1 直線與平面垂直 : 在平面 找出相交兩直線, 可決定直線和平面是否垂直 L L P L 1 L 1 E P L E R L Q ㆔垂線定理 : 想想看! 怎樣敘述此定理?( 如 圖右 ) 41

48 4 空間向量 完成 期 : 空間概念 1. 畫圖重新敘述 ㆔垂線定理. 已知㆕面體 ABCD,AB = 1, BC = 9, AD = 10, 且 AD 垂直平面 BCD,BC BD, 求 AC 的長 3. 畫出㆒個邊長為 1 的正㆕面體, 並設任兩面的夾角為 θ 求正㆕面體的高與 cos θ 的值 4. ㆒正立方體 ㈧個頂點, 其 ㆕個頂點 任兩個頂點彼此之間的距離都是 1, 求此正立方體的體積 5. ㆒建築師設計㆒看台, 先製作㆒個㆓㈩分之㆒的模型, 利用㆒矩形鋁片 ABCD, 其 AB = 10 公尺,BC = 1 公尺, 先沿著對角線 AC 將鋁片對摺, 使 ACD 摺 ACD, 再由 D 做平面 ABC 之垂線 D H, 其垂足 H 恰在 AB 邊, 然後在 D 與 B 點間以㆒條鋼纜連接, 試求此鋼纜 BD 的實際長度 6. 關於空間的敘述, 選出正確的選項 : (1) 通過已知直線外㆒點, 恰 ㆒平面與此直線垂直 () 通過已知直線外㆒點, 恰 ㆒平面與此直線平行 (3) 通過已知平面外㆒點, 恰 ㆒直線與此平面平行 (4) 通過已知平面外㆒點, 恰 ㆒平面與此平面垂直 (5) 通過已知平面外㆒點, 恰 ㆒平面與此平面平行

49 空間向量 完成 期 : 空間坐標系 空間坐標系 工具. 空間坐標系 : z z (0, 0, c) (0, b, c) (a, 0, c) P (a, b, c) yz 平面 xz 平面 x (a, 0, 0) O a + b c (a, b, 0) (0, b, 0) y x O xy 平面 y OP = a + b + c 空間向量表示法 : z Q(x, y, z ) P Q = Q P = (x x 1, y y 1, z z 1 ) O P (x 1, y 1, z 1 ) A(a, b, c) y P Q = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) OA = A O = A = (a, b, c) x 1. 已知空間 ㆔點 A(0,, 3), B(3, 0, ), C(0, 0, 1), 又 P 點在 xz 平面, 且 P A = P B = P C, 求 P 點的坐標

50 44 空間向量 完成 期 : 空間坐標系 我練習. 由空間 第㆒卦限的㆒點 P 向㆔坐標軸分別引㆔條垂線, 且 P 到 x, y, z ㆔軸的距離依次為 13, 5, 3 5, 求 P 點的坐標 3. 設 a = (, 1, ), b (, 4, 4), 且 c = a + t b : (1) 求使 c 最小值時的 t 值 () 若 c 平分 a 與 b 的夾角, 求 t 的值 4. 坐標空間, 已知 OA = (, 1, 3), OB = (1, 0, 3), (1) 若 OC = 1 OA + 3 OB, 求 OC 的坐標表示與其長度 4 () 若 OP = s OA + t OB, 其 1 s, t 3, 求所 P 點所形成之圖形的面積 為 OAB 面積的多少倍? 5. 右圖的正立方體 ABCD EF GH, H M G M 為 HG 點,N 為 GC 點, 試將 MN 写成 AB, AD, AE 的線性組合 E D F N C A B 6. 設㆔角形 ABO ㆔頂點分別為 A(1,, ), B(, 3, 6), O(0, 0, 0), (1) 若 AOB 的內角平分線交 AB 於 P, 則 P 點的坐標為何? () 若 AOB 的外角平分線交直線 AB 於 Q, 則 Q 點的坐標為何? 自我練習 7. 設 ABC 的面積為 7, 求點集合 {P AP = α AB + βac, 1 α 3, β 1} 所表示的 面積

51 空間向量 完成 期 : 內積 內積 工具 3. 內積的定義與計算方法 : 設 a, b 的夾角為 θ, 規定 a b = a b cos θ A 設 a = (a1, a, a 3 ), b = (b 1, b, b 3 ), a 則 a b = a1 b 1 + a b + a 3 b 3 以 的重要結論 :( 請畫圖理解 ) a b (1) cos θ = a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 a 1 + a + a 3 b 1 + b + b 3 O θ b B () a b a b = 0 1 (3) OAB 的面積為 a b ( a b ) ( (4) a ) b a 在 b 的正射影為 b b (5) a b a 在 b 的正射影長為 b (6) 柯西不等式 : a b a b, 僅在 a // b 時, 等號成立 坐標型態為 :(a 1 + a + a 3)(b 1 + b + b 3) (a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 ), 僅在 a 1 = a = a 3 時, 等號成立 b 1 b b 3 1. 右圖是㆒個正立方體 ABCD EF GH: (1) 求 AG 與 BH 之夾角的餘弦值 () 求 AG 與 BH 之夾角的餘弦值 (3) 若 M 在 HG,MG = HM,N 是 F G E H M N F D G C 點, 求 cos MDN 的值 A B

52 46 空間向量 完成 期 : 內積. 右圖為長方體 ABCD EF GH, 其 H G D(0, 0, 0), F (1, 3, ),DF, BH 的夾角為 θ, 求 sin θ 的值 E D F C A B 3. 空間 ㆒個 ABC, 其 A(3, 1, ), B( 1, 0, 3), C(, 3, ), 設 ABC = θ, 求 sin θ 的值 與 ABC 的面積 4. 設 A(, 1, ), B(4,, 1), C(1, 3, ) 與 D 為空間 ㆕點 若直線 AB 與直線 CD 垂直相交於 D, 求 D 點的坐標 5. 已知空間 兩點 A(, 1, 3), B( 1, 3, ), 且 P 點是 y 軸 ㆒點且滿足 坐標 AP BP, 求 P 點的 6. 設空間向量 a = (4,, 3), 求 a 在 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 的正射影

53 空間向量 完成 期 : 內積 我練習 47 自我練習 7. 在坐標空間, 列那些點可和 A(1,, 3),B(, 5, 3),C(, 6, 4) ㆔點 構成㆒個平行㆕邊形? (1) (1, 1, ) () (1, 3, 4) (3) (3, 7, 6) (4) (3, 9, 4) (5) ( 1, 5, ) 8. 設 a = (1,, ), b = (, 3, 1), 求 ( a + b ) ( a b ) 的值 9. 設 P (7,, ),Q(1, 8, 11) 為空間 的兩點,R 為直線 P Q ㆒點, 且 P R : RQ = : 1, 求 R 點坐標 ( ㆓解 ) 10. 已知 a = (, 1, 1) 與 b = (1,, z) 的夾角為 60, 求 z 的值 11. 設 a, b, c 均為正數, 且 a + b + c = 1, 求 1. 右圖是坐標空間 的㆒個 正立方體, 選出正確的選項 : (1) E 點坐標為 (,, ) () DC = (,, ) (3) OE = 3 (4) DG GC (5) BD 和 BG 的夾角為 45 1 a + 4 b + 9 的最小值 ( 注意 a, b, c 均為正數 ) c D G O z E F C y A(, 0, 0) B 13. 右圖 ABCD-EFGH 為㆒ x H G 正立方體, 選出正確的選項 : (1) EA EG = 0 (3) EC AG = 0 (5) EF + EA + EH = EC () ED EF = 0 (4) EF + EH = AC E D F C A B

54 48 空間向量 完成 期 : 內積 我練習 14. 設空間 ㆔點 P (1, 1, ),Q( 1,, 0),R( 3, 0, 1), 求 15. 已知 ABC ㆔頂點為 A( 4,, 3),B(, 1, 1),C( 6,, 7), (1) AB AC () BAC 的餘弦值 (3) ABC 的面積 P R 在 P Q 的正射影 16. 右圖是坐標空間 邊長 z 為 6 的正立方體, 被㆒平面截出㆒個㆕邊形 ABCD, 其 B, D 分別為稜的 點, 且 EA : AF = : 1, 求 (1) AD, AB () cos( DAB) 的值 E A D B C y x F 17. 坐標空間, 設 xy 平面為㆒鏡面, ㆒光線通過 P (1,, 1), 射向鏡面 的原點 O(0, 0, 0), 經鏡面反射後通過點 R, 若 OR = 5 3 OP, 求 R 點的坐標 18. 右圖是長方體 ABCD EF GH, 其 AB = 3, AD = 4,AE = 3, 並設直線 BH 與直線 CE H G 的銳夾角為 θ, 求 (1) cos θ () BEG 的面積 E F D C A B

55 空間向量 完成 期 : 外積 體積與行列式 外積 體積與行列式 工具 4. 外積 體積與行列式 : 設 a = (a1, a, a 3 ), b = (b 1, b, b 3 ), c = (c 1, c, c 3 ), 得到 : a b = a 1 a a 3 a 1 a a 3 b 1 b b 3 b 1 b b 3 a = a 3 b b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a b 1 b (1) a b 是㆒個向量, 這㆒個向量與 a, b 皆垂直 () a b 等於由 a, b 所張出之平行㆕邊形的面積 設 a, b 的夾角為 θ, 則 a b = a b sin θ a b C c α b θ O B a b a A (3) 由 a, b, c 所張出之平行㈥面體體積 V 可由內積與外積所組合而成的運算可得 即體積 V = ( a b ) c, 又可以巧妙 的使用行列式將其表示為 a a 1 a a 3 b V = b = b 1 b b 3 = a 1 b 3 c c 3 a b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 c c 1 c c 3 若不加 絕對值, 僅行列式表示 V 的 向體積 b 1 b c 1 c 1. 重新敘述 面所說的性質, 並驗證㆒次. 設 v1 = (3,, 1), v = ( 1, 4, 3) 為空間 的兩向量, 求 (1) v 1 v () ㆒個與 v1, v 皆垂直的向量 (3) 由 v1, v 所張出之平行㆕邊形的面積

56 50 空間向量 完成 期 : 外積 體積與行列式 我練習 3. 設空間 ㆕點 A(1, 1, 0),B(0, 1, 0),C(, 3, 4),D( 1, k, 6), (1) 求 ABC 的面積 () 若由 AB, AC, AD 所張出之平行㈥面體的體積為 1, 求 k 的值 (3) 若 A, B, C, D ㆕點共平面, 求 k 的值 4. 設空間 ㆔點 A(1, 1, 3),B(0, 1, 1),C(4, 1, 3), 求 (1) ABC 的面積 () 點 A 到直線 BC 的距離 自我練習 5. 設空間 ㆔點 A(3,, 0),B(, 0, 3),C(0, 3, 4), 求由 面積 AB, AC 所張出之平行㆕邊形的 6. 已知由 a, b, c ㆔向量所形成的平行㈥面體的體積為 5, 求由 a + 3 b, b, c ㆔向量所形 成的平行㈥面體的體積

57 空間向量 完成 期 : 外積 體積與行列式 我練習 已知空間 ㆔向量 a = (1,, 3), b = (,, 1), c, 若 c a, c b 且 c = 3 5, 求 c 8. 已知空間 兩向量 a, b 滿足 a b = (10, 11, ) 且 a = 3, b = 5, 求 a, b 的 夾角 9. 已知 ( a b ) c = 1, 求 列各式的值 : (1) ( c a ) b () ( a ( ) b ) c (3) (4) 由 a, 3 b, c 所決定的平行㈥面體的體積 ( 3 b ) a ( c ) 10. 已知空間 ㆕點 O(0, 0, 0),A(1,, 3),B(, 3, 1),C(1, 1, a) 落在同㆒個平面, 求 a 的值

58 5 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆒ 11.5 綜合練習㆒ 1. 右圖是㆒個無蓋正立方體的展開圖, 若將它組成正立方體, 問哪㆒個稜邊與 AB 互相歪斜? (1) BC () CD (3) EC (4) AE (5) AC A B C E D. ㆒正㈥面體的 8 個頂點 4 個頂點, 各頂點間彼此的距離都是 1, 則此正立方體的體積為 (1) () (3) 1 (4) (5) 坐標空間 ㆒長度為 17 的線段 AB, 若 AB 在 xy 平面 yz 平面 正射 影的長度分別為 11, 1, 則 AB 在 zx 平面 正射影的長度為 列哪㆒個選項? (1) 11 () 1 (3) 13 (4) 14 (5) 空間 兩直線 L 1, L 相交於㆒點 P, 且 L 1, L 的㆒個夾角為 60, 試問空間 通過點 P 且與 L 1, L 的夾角都是 60 的直線 多少條? (1) 1 () (3) 3 (4) 4 (5) 0 E P 60 L 1 L

59 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆒ 設 L 1, L, L 3 是空間 相異的㆔條直線, 選出正確的選項 : (1) 若 L 1 L,L L 3, 則 L 1 //L 3 () 若 L 1 L,L //L 3, 則 L 1 L 3 (3) 若 L 1 //L,L //L 3, 則 L 1 //L 3 (4) 若 L 1 //L,L //L 3, 則 L 1, L, L 3 在同㆒平面 (5) 若 L 1, L, L 3 相交於同㆒點, 則 L 1, L, L 3 在同㆒平面 6. 已知 O ABCD 是㆒個正㆕角錐, 且稜長均為 6,OX = XC, 則 OB AX 的值為 (1) 6 () 3 (3) 0 (4) 3 (5) 6 A O D B X C 7. 空間, 列哪些點可與 A(1,, 3), B(, 5, 3), C(, 6, 4) ㆔點構成㆒個平行 ㆕邊形? (1) ( 1, 5, ) () (1, 1, ) (3) (1, 3, 4) (4) (, 7, 6) (5) (3, 9, 4) 8. 在正立方體 ABCD EF GH 任選 4 個相異頂點, 試問此 4 個頂點的幾何圖形, 可能是 E H 列哪些圖形? F G (1) 矩形 () 不是矩形的平行㆕邊形 (3) ㆔個為等腰直角㆔角形的㆕面體 B A C D (4) 每個面都是等邊㆔角形的㆕面體 (5) 每個面都是直角㆔角形的㆕面體

60 54 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆒ 9. 選出正確的選項 : (1) 在平面, 若相異兩直線不相交, 則必然平行 () 在空間, 若相異兩直線不相交, 則必然平行 (3) 在平面, 任意兩相異直線㆒定 公垂線 ( 仍然在平面 ) (4) 在空間, 任意兩相異直線㆒定 公垂線 (5) 在空間, 相交的兩相異平面㆒定 公垂面 10. 右圖,ABCD 是㆒個㆕面體, 截面 P QMN 是正方形, 選出正確的選項 : (1) AC BD = 0 (3) AD = BD (4) P M 與 () AC 與平面 P QMN 平行 BD 的夾角為 45 P A N D M B Q C 11. 如右圖,F GHI JKLM 是㆒個正 立方體,P, Q, R, S, T, U 分別是 F I,F J,JK,KL, LH,HI 的 點, 選出正確的選項 : (1) QT IM = 0 () P R RS = 0 (3) P U + UT = QS (4) P U + P Q = QR (5) P U UT = UT T S 1. 已知直圓錐的頂點為 P, 底面圓的圓 F Q J I P G M R K U S H T L 心為 O, 底面的㆒直徑 AB,C 為半圓弧 AB 的 點,E 為弧 CB的 點, 且 OP =,OA = 1, 選出正確的選 P 項 : (1) OAC = BOE () AC = (3) P A = 5 (4) AP AC = 1 (5) AP OE = 1 A C O E B

61 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 綜合練習㆓ 1. 設 u = (3,, 4), v = (, 1, 1) 並令 w = u + t v, 其 t 為實數, 求當 t 是多少時, w 的長度 最小值. 空間 ㆒㆕面體 ABCD, 其 AD 垂直平面 BCD, BC BD,BC = 7,AB = 4,AD = 15 設平面 ADB 與平面 ADC 的夾角為 θ, 求 sin θ 的值 B A D C 3. 空間 兩向量 a = (1,, ), b = (x, y, z) 且 b = 5, 求 a b 的最大值 4. ㆕角錐 P ABCD, 其 ㆕邊形 ABCD 為正方形, P A 垂直平面 ABCD,P A = BA, 求由平面 ABP 與平 面 CDP 所形成的㆓面角 之銳角 θ 的值 P A D B C

62 56 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 5. 空間 ㆒ ABC, 其 A(0, 0, 5),B(1,, 8),C(, 4, 6), 今 ㆒光源在 P (0, 0, 10) 的 方照向 ABC, 求 ABC 在 xy 平面 的投影 DEF 的面積 6. 空間 設 a = 3, b =, a b = 5, 求 a b 的值 7. 右圖是稜長為 的正㆕面體 ABCD, 其 P, Q, R, S 分別是㆕條稜邊 AB,BC, AC,AD 的 點, 則 P A RS 的值為 (1) () 3 (3) 3 4 (4) 3 (5) 1 B A P S R Q C D 8. 坐標空間 ㆒正㈥面體的 8 個頂 點分別為 (0, 0, 0),(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1),(1, 0, 1), (1, 1, 0),(0, 1, 1) 與 (1, 1, 1) 若 A, B 分別為此正立方體 兩稜邊的 點, 則向量 AB 可能為 列哪些選項 : (1) (1, 0, 0) () ( 1, 0, 0) (3) (1, 0, 1) (4) (0, 1, 1 )

63 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 某太陽能建築物是㆒個㆕面體 ABCD, 底 ABC 是㆒個等腰㆔角形, ㆔邊 長分別為 10, 10, 16 公尺, 頂點 D 在平面 ABC 的投影為 P 若由 A, B, C ㆔點測得建築物 的頂點 D 的仰角為 30, 選出正確的選項 : (1) ABC 的面積等於 4 平方公尺 () DA = DB = DC (3) P A = P B = P C (4) P 點必落在 ABC 的外部 (5) 此建築物的高度 P D = 5 3 公尺 右圖是底面為正方形 ABCD, 高 AE = AD 的長方體 已知 A(1, 1, 1),B( 1, 3, ), D(, 3, k), 求 E 的坐標 E A D B C

64 58 空間向量 完成 期 : 綜合練習㆓ 11.7 本章重點整理

65 第 1 章 平面與直線 1.1 平面方程式 工具 1. 平面方程式 : n = (a, b, c) P (x 0, y 0, z 0 ) n θ n1 E P E E θ L E 1 O 圖㆒ 圖㆓ E 1 O 圖㆔ 圖㆒, n = (a, b, c) 是平面 E 的法向量, 利用內積為定值的概念, 可得 E 的方程式為 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 = n d(o, E) 兩平面的夾角 : 圖㆓, 我們將平面 E 1 以 L 為軸旋轉 θ, 則可見 平面 E 1, E 之夾角 θ, 可以由 n 1, n 的夾角計算而得 : cos θ = ±( n 1 n ) n 1 n 因為夾角 兩種, 且互為補角, 所以計算 cos θ 的值時須加 ± 距離 : n 1 旋轉 θ 到 n, 因此, 共線於 L 的兩 圖㆔, 須知道 d 1, d 是內積值, 而 d 1 d 是內積值的差, 不應該是兩平面的距離 兩平行平面的距離公式為 : d(e 1, E ) = d d 1 a + b + c = 內積差 n 即內積差除以法向量的長, 而點到平面的距離公式, 可由 d = ax 0 + by 0 + cz 0 入 式 得 : d(p, E 1 ) = ax 0 + by 0 + cz 0 d 1 a + b + c 59

66 60 平面與直線 完成 期 : 平面方程式 1. 求通過 A( 1, 0, 0), B(0,, 3), C(1, 0, 10) ㆔點的平面方程式. 設 A(, 1, 4), B(4, 3, ), 求 AB 的垂直平分面方程式 3. 求通過點 A(, 1, 1) 且與 E 1 : x + y z + 1 = 0, E : x y + z = 1 皆垂直的平面方程式 4. 設平面 E 通過點 (, 1, 3), 且與㆔個坐標平面在第㆒卦限所圍成的㆕面體體積為最小, 求 : (1) 此最小體積 () 平面 E 的方程式 5. 已知平面 E 通過 x y =, y + z = 4 的交線, 且通過 (, 1, 1), 求 E 的方程式 6. 已知空間 ㆔點 A(1, 0, 1), B(0, 1, ), C(, 1, 3), (1) 求 ABC 的面積 () 設平面 ABC 與平面 E : x + y z + 4 = 0 的夾角為 θ, 求 cos θ 的值 (3) 求 ABC 在平面 E 的正射影面積

67 平面與直線 完成 期 : 平面方程式 設兩平面 E 1 : x + y + z + 1 = 0,E : ax y + z + 1 = 0 (1) 若 E 1 E, 則 a 的值為何? () 若 E 1, E ㆒交角為 60, 則 a 的值為何? 8. 設平面 E : x + y z + 3 = 0 已知兩點 A(1,, 3), B( 5, 1, 0), 若 AB 交 E 於 C, 求 AC : BC 9. 求兩平行平面 E 1 : x + y + z = 5 與 E : x + y + 4z + 13 = 0 的距離 10. 求平行 E : 3x + y z + 1 = 0 且與原點距離 17 的平面方程式 11. 已知 ABC 的㆔頂點分別為 A(, 3, 5), B(3, 0, 10), C(x, y, 0), 求使 ABC 的周長為最小的 C 點坐標 1. 設兩點 A( 1,, 1), B(1, 1, ) 與平面 E : x + y z = 0 (1) 求點 A 相對於平面 E 的對稱點 A 的坐標 () 已知 E ㆒點 P 可使得 AP + BP 為最小, 求 P 點的坐標 (3) 求線段 AB 在平面 E 的正射影長

68 6 平面與直線 完成 期 : 平面方程式 我練習 自我練習 13. 求 列各平面的方程式 : (1) xy 平面 () yz 平面 (3) zx 平面 (4) 通過 P (, 1, 3), 法向量為 (3,, 4) 的平面 (5) 通過 P (, 1, 3) 且垂直 z 軸的平面 14. 若 E 1 :x + y - z + 8 = 0,E :x + y - z - 4 = 0, (1) 求 E 1 與 E 的距離 () 若平面 E 和兩平面平行且到兩平面距離相等, 求平面 E 的方程式 (3) 若平面 E 到平面 E 1 與 E 的距離比為 1 : 3, 求平面 E 的方程式 15. 已知平面 x y + z = 3 與 x + y + cz = 4 的㆒夾角為 60, 求 c 的值 16. 求原點 O 對於平面 x y + 3z = 14 的投影點與對稱點坐標

69 平面與直線 完成 期 : 平面方程式 我練習 在空間, 已知平面 E 通過 (,0,0),(0, 1, 0),(0, 0, 1) ㆔點, 求 (1) 平面 E 的方程式 () 原點 (0,0,0) 到平面 E 的距離 18. 如右圖,ABCD EF GH 是空間 的㆒個正立方體, 它的面 EF GH 所在的平面方程式為 x y + z = 3, 且 A 點坐標為 (5,, 3) 求 (1) 正立方體的面 ABCD 所在的平面方程式 () 此正立方體的邊長 H E F D A(5,, 3) B G C 19. 求通過點 A(4,, 3) 且與 E 1 : x y + 4z + 3 = 0, E : x + y 3z = 7 皆垂直的平面方程式 0. 已知平面 E 通過 x y =, y + z = 4 的交線, 且與平面 x y + z = 3 垂直, 求 E 的方程 式

70 64 平面與直線 完成 期 : 直線方程式 1. 直線方程式 工具. 直線方程式 : v = (a, b, c) L P (x, y, z) A(x 0, y 0, z 0 ) 空間, 通過點 A(x 0, y 0, z 0 ) 且與 v 平行之直線 L 的任意點 P (x, y, z), 可得 AP // v = (x x 0, y y 0, z z 0 )//(a, b, c) = (x x 0, y y 0, z z 0 ) = t(a, b, c), x = x 0 + at 即 y = y 0 + bt, t 是㆒個實數 z = z 0 + ct 我們把 面的式子稱為直線參數式, 其 t 是參數, 表示位置 在式 可見 :(x 0, y 0, z 0 ) 是直線 的㆒個定點, v 則是表示直線方向的向量, 我們稱之為 方向向量 直線方程式的其他表示法 : 1. 對稱比例式 : x x 0 a. 兩面式 :L : 空間 兩直線的關係 : = y y 0 b = z z 0 (= t) c E 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 E : a x + b y + c z = d 1. 方向向量平行 :(1) 重合 : 共同的交點 () 平行 : 沒 共同的交點. 方向向量不平行 :(1) 交於㆒點 : 共同的交點 () 歪斜 : 沒 共同的交點 ** 重合 平行或交於㆒點的兩直線均落在同㆒平面 ** 歪斜線是落在兩平行平面 的兩直線, 但此㆓直線方向不同 1. 空間 兩點 A(1, 1, ), B(, 0, 1), 試写出線段 AB, 射線 在參數 t 的範圍 ) AB 與直線 AB 的參數式 ( 關鍵

71 平面與直線 完成 期 : 直線方程式 65 x y + z = 3. 求通過點 (1,, 1) 且平行 L : x y + z = 5 的直線對稱比例式 3. 求通過點 (3, 1, ) 且與兩直線 4. 求 列兩組直線是否相交? 若相交, 求出其交點 (1) L 1 : x 1 () L 3 : x 1 = y x = y = z 1, x = y 1 = z 皆垂直的直線方程式 1 3 = z 3,L : x 3 = y 5 1 = z ; = y = z 3,L 4 : x 1 = y = z 3 3 4, x + y z = 5 5. 求直線 L : x y 3z = 1 的對稱比例式 x = 1 + t x = 1 + 4s 6. 求兩直線 L 1 : y = 5 + 4t,L : y = 1 + s z = 1 + t z = 3 + 4s 的交點 7. 已知兩直線 L 1 : x a 1 求 a 與交點坐標 = y 3 3 = z + 1,L : x + 1 = y + a + 1 = z a + 交於㆒點, 3 1

72 66 平面與直線 完成 期 : 直線方程式 我練習 自我練習 8. 空間, 兩相異平面 E 1 與 E 皆通 過 A( 1, 1, 0),B(1, 3, 1) 兩點, 請判別點 P (5, 7, 3) 是否同時在 E 1,E 兩平面? 9. (1) 請判別兩直線 :L 1 : x + 1 () 請判別兩直線 :L 1 : x 1 = y 1 = y = z 3 A = z 與 L : x 1 與 L : x + 1 B E 1 E = y = z + 的關係 = y = z 的關係 10. 新年晚會需要投射兩道雷射燈光在舞臺處交會 現在我們設定空間坐標, 發現㆒道雷射光由 點 (0, 0, ) 朝向 (5, 8, 3) 發射, 另㆒道則由點 (0, 7, a) 沿平行於 x 軸方向發射, 試問 : (1) 當 a 為何值時, 兩雷射燈光會相交? () 求兩道燈光在舞臺處交會的坐標 11. 已知兩平面 E 1 : x + 3y z = 4 與 E : x + 5y + z = 1 之交線的對稱比例式為 x 1 8 = y c a = z d, 求 (a, b, c, d) b

73 平面與直線 完成 期 : 直線與平面的關係 直線與平面的關係 工具 3. 直線與平面的關係 : L v n L P n v n E P E E L v P L E = P L//E L E 設 L 的㆒個方向向量為 v,e 的㆒個法向量為 n,l 和 E 的關係 以 ㆔種 : 1. 若 v 和 n 不垂直, 則 L 和 E 恰交於㆒點 P. 若 v 和 n 垂直, 且 L 的任意點 P 皆不在 E, 則 L 和 E 平行 3. 若 v 和 n 垂直, 且 L 的任意點 P 在 E, 則 L 在 E 1. 設直線 L : x 1 面方程式 = y 1 = z + 1, 點 (1,, 3) 在直線 L 外㆒點, 求包含點 P 及直線 L 的平. 求點 P (1,, 3) 和 x 軸所決定的平面方程式 3. 設㆓直線 L 1 : x + 1 = y 1 1 L 1, L 皆平行的平面方程式 = z,l : x 1 = y = z + 1 3, 求通過點 A(1, 0, 1) 且與

74 68 平面與直線 完成 期 : 直線與平面的關係 4. 求兩直線 L 1 : x 4 式 = y = z 3,L : x + = y + 14 = z 1 所決定的平面 E 的方程 設㆒平面 E : x 3y + z + 4 = 0 與直線 L : x + 1 的平面方程式 = y 6 3 = z + 1 5, 求包含 L 且與 E 垂直 6. 求由㆓平行直線 L 1 : x 式 = y = 3 z 1,L : x 1 = y + 1 = 1 z 1 所決定的平面方程 7. 求通過點 (1,, 1) 且與㆓平面 x + y z + 1 = 0,x y + z 1 = 0 均垂直的平面方程式 8. 判斷 列兩組 直線與平面的相交情形, 若相交於㆒點, 則求出其交點 (1) L : x 1 () L : x 5 5 = y 3 = z 3,E : 5x y z = 4 = y = z 3,E : x + y + z = 1

75 平面與直線 完成 期 : 直線與平面的關係 我練習 69 自我練習 9. 已知平面 E 的方程式為 x y + 3z = 3, 討論 列直線與平面 E 的相交情形 : (1) L 1 : x 1 3 (3) L 3 : x 3 3 = y 3 = y 3 = z = z 求包含點 P ( 1, 1, 5) 和直線 L : x 1 = y 求包含直線 x 設平面 E 包含直線 = y 1 x 3 = z 4 () L : x 1 3 = z 5 = y 3 = z 3 1 之平面 E 的方程式 且垂直平面 x + y 3z + 4 = 0 的平面方程式 = y + 1 = z 1 且通過原點, 求平面 E 的方程式 已知兩直線 x = 1 y = z 1 4,x 5 = y 3 = z 交於㆒點, 求此㆓直線所決定的平面 4 3 方程式

76 70 平面與直線 完成 期 : ㆔元㆒次聯立方程式 我練習 1.4 ㆔元㆒次聯立方程式 工具 4. ㆔元㆒次聯立方程式的解情形 : 1. 恰 ㆒個解 ( 克拉瑪公式 :x = x y x,y =,x = ). 無解 3. 無限多組解 如果聯立方程式表示㆔個相交於㆒直線的㆔平面, 那麼其解為此交線 的參數式 3x y + z = 解㆒元聯立方程式 : 7x 3y + z = 6 x y + 4z = 18. 設㆓次函數 f(x) = ax + bx + c 的圖形通過 (, 0), ( 1, 3), (0, 4) ㆔點, 求 f(x) 3. 已知坐標平面 圓 Γ 通過 ( 5, ), ( 3, 4), (1, ) ㆔點, 求 Γ 的方程式 自我練習 4. 解㆔元㆒次聯立方程式 : x + y + z = 7 3x + 4y + 5z = 1 x + 3y + z = 9 5. 設㆓次函數 f(x) = ax + bx + c 的圖形通過 ( 1, ), (1, 4), (, 13) ㆔點, 求 f(x) 6. 已知坐標平面 圓 Γ 通過 (1, 1), (4, 0), (5, 1) ㆔點, 求 Γ 的方程式

77 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆒ 綜合練習㆒ 1. 坐標空間 的原點為 O, 點 P 的坐標為 (3, 4, 7) 若 Q 點在 xy 平面 移 動, 問 Q 點為 列哪㆒個選項時, P OQ 最小? (1) (3, 3, 0) () (3, 4, 0) (3) (4, 3, 0) (4) (5, 1, 0) (5) (1, 5, 0) a + b + 3c = 6. 設實數 a, b, c 滿足, 且 a 0,b 0, a + 3b c = 3 則 a + b c 的最小值為 (1) 1 () 1 (3) 3 (4) (5) 3 x + y + z = 1 3. 方程組 3x y + z = 的解, 符合 列哪㆒個式子? x y + 3z = 1 (1) x = 4 () y = 3 (3) z = 1 (4) x + y + z = 已知㆔種合 A, B, C 的 銀 銅成分的重量比例分別是 3 : 4 : 1, : 1 : 5,4 : 3 : 1, 今想以 A, B, C ㆔種合 製成另㆒合 1 公兩, 且使得 銀 銅所含 的重量相同, 試問 A 合 需要多少公兩? (1) 1 () (3) 5 (4) 6 (5) 7

78 7 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆒ 5. 設 a 1, a,, a 50 是從 1, 0, 1 這㆔個整數 取值的數列, 若 a 1 + a + + a 50 = 9, 且 (a 1 + 1) + (a + 1) + + (a ) = 107 設 1, 0, 1 各取了 x, y, z 個, 則 x 的值為 (1) 11 () 15 (3) 19 (4) 4 (5) 已知直線 L 在平面 E : x + y z + 6 = 0 的正射影只 ㆒點 (1,, 3), 試問 L 的方程式為 (1) x+y+z = 3 () x+y+z = 0 (3) x 1 = y + (5) 1 x = y 3 = 3 z 3 = 3 z (4) x 1 = y+ = z 坐標空間 ㆕點 O(0, 0, 0),A(1, 0, 0),B(0, 1, 0),C(0, 0, 1), 已知平面 E 通過 O, A, B ㆔點, 平面 F 通過 O, B, C ㆔點, 試問 列哪些點到平面 E 的距離大於到平面 F 的距離? (1) (, 1, ) () (0, 1, ) (3) (1, 1, ) (4) (1, 1, ) 8. 在坐標空間, 列哪些條件恰可決定㆒平面? (1) 過㆔點 A(, 3, 4),B(3, 1, 1),C(0, 7, 10) x () 包含直線 = y 5 = z x 與 1 1 = y 3 = z 4 x 3 (3) 包含點 (1,, 3) 與直線 = y 5 = z x (4) 包含直線 = y = z + 4 x 1 與 3 1 (5) 包含點 (1,, 3) 與直線 x 1 = y = z 3 = y + 3 = z 1

79 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆒ 坐標空間, 直線 L 距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 的投影點 已知 L 為平面 x y = 通過點 (,, ) 的㆒直線, 請問 列哪些選項 的點可能是點 O 在 L 的投影點? (1) (,, ) () (, 0, ) (3) ( 4 5, 5, 0) (4) (4 5, 5, ) (5) (8 9, 9, 9 ) 10. 坐標空間 ㆔條直線 L 1, L, L 3 的方程式分別為 L 1 : x 1 = y = z + 4 8,L : x 1 = y + 3 = z ,L 3 : x 1 = y 3 = z 4, 選出正確的選項 : (1) L 1 與 L 交於㆒點 () L 與 L 3 平行 (3) L 1 與 L 3 歪斜 (4) ㆔直線 L 1, L, L 3 共平面 (5) L 1 與 L 在平面 4y 3z = 坐標空間 兩點 A(1, 0, 3),B(3, 6, 9), 列哪些選項的點落在 AB 的垂 直平分面? (1) (3, 0, 1) () (, 3, 6) (3) (5, 1, 1) (4) (5, 4, 4) (5) (6, 3, 4) 1. 列哪些平面與直線 L : x 1 = y = z 3 平行? (1) x y + z = 5 () x + y z = 5 (3) 5x y z = 0 (4) 3x 3y + z = 5 (5) x + y + 3z = 5

80 74 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 1.6 綜合練習㆓ 1. 平面 E 通過 P, Q, R ㆔點, 且其法向量為 n = (3,, 4) 已知點 P (3,, 4), 且點 Q 在 xy 平面 的正射影為 R(9, 3, 0), 求 Q 點的坐標. 已知坐標空間 通過點 A(1, 3, ),B(5,, 0) 且與直線 程式為 ax + by + cz = 1, 則 (a, b, c) =? x 1 1 = y 1 = z 3 1 平行的平面方 3. 已知 L 1 : x = y 3 = z + 4 線, 求 L 1, L 的交點坐標 與 L : x = y + = z + 5 為坐標空間 相交於㆒點的兩直 4. 設 a, b 為實數, 若空間 ㆒平面通過 (a, 0, 0),(0, b, 0),(0, 0, 3),(1,, 3) ㆕點, 選出正確的選項 : (1) a, b 可能都是正數 () a, b 可能都是正數 (3) a, b 可能都是負數 (4) a, b 可能只 ㆒個等於 0

81 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 75 y = 0 5. 設空間 兩直線 L 1 : x + z = 0 L 1, L 的公垂線, 選出正確的選項 : x = 1,L : 3y z = 1, 且直線 L 是 (1) L 1 的㆒方向向量為 (1, 0, 1) () L 的㆒方向向量為 (1,, 3) (3) L 的㆒方向向量為 (1,, 1) (4) L 的㆒方向向量為 (, 3, ) x = 4 t 6. 已知直線 L : y = t t R, 則 列關於直線 L 的敘述, 哪些是正 z = + t 確的? (1) 與 y 軸交點為 (0, 4, 0) () 與 xy 平面的交點為 (0, 4, 0) (3) 與 y 軸所夾鈍角 θ 滿足 cos θ = 3 (4) 與 z 軸的距離為 7. 已知㆒平面 E 在 x, y, z 軸 的截點分別為 A, B, C, 且 ABC 之重心為 G( 1,, 3), 求 E 的方程式 8. 已知直線 L 通過 A( 1, 3, k) 與 B(0, 5, k) 兩點, 且平行平面 E : x + y + z = 0, 求 L 與 E 的距離

82 76 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 9. 求 P (3,, 1) 在直線 L : x 已知空間 兩直線 求 m + n 的值 x 1 4 = y = y + 1 = z = z 1 和 的投影點坐標 x 4 m = y 3 = z 3 相交於點 (1,, 3), 1 n 11. 已知空間 兩點 A(,, 1),B( 1,, ), 原點 O, 而直線 L : x a = y b = z 1 恰為 AOB 的角 平分線, 求 a + b 的值 1. 設空間 ㆕點 O(0, 0, 0),A(4, 4, ),B(, 1, ),C( 1,, ) 若平面 E : x + y + z = k 恰好平分由 OA, OB, OC 所張出的長方體, 求 k 的值

83 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆓ 本章重點整理

84 78 平面與直線 完成 期 : 綜合練習㆓

85 第 13 章 矩陣 13.1 高斯消去法 工具 1. 矩陣表示法 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a x + b y + c z = d a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 係數矩陣 : a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3, 增廣矩陣 : a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 列運算 :( 就是加減消去法 ) 1. 任兩列對調. 任㆒列乘以㆒個不為零的數 r 3. 任㆒列乘以㆒個不為零的數 r, 然後加到另㆒列 高斯消去法 : 系統的加減消去法解㆔元㆒次聯立方程式 0 0 = 0 = 0 0 = 用高斯消去法求 列各聯立方程式的解 x + 3y + 5z = 3 x y + 3z = 4 (1) x + y + 3z = 1 () x + y 4z = 3 (3) 3x + y + z = 6 3x + 4y 5z = 3 x + y + z = 7 3x + y z = 6 7x + y 4z = 11 a 若增廣矩陣 1 b 4 經矩陣列運算後得矩陣 , 求 (a, b, c) 3 1 c

86 80 矩陣 完成 期 : 高斯消去法 我練習 3. 已知聯立方程式的增廣矩陣為 , 其解為 (x, y, z) (1) 說明此聯立方程式的解為無限多組解 () 求 x + y + z 的最小值 4. 解㆔元㆒次聯立方程式的過程如 : 1 1 a b , 求序組 (a, b, c) 0 1 c 已知 a b c 3 經過矩陣列運算後可得矩陣 , 求 (a, b, c) 自我練習 6. 用高斯消去法求 列各聯立方程式的解 x + 3y 6z = 3 x + y + z = (1) x + 4y + z = 5 () x + 3y 3z = 1 (3) 3x + y 4z = 19 x + 4y + z = 3 x + y z = 1 x y + z = 7x + y + z = α 7. 設矩陣 經列運算後可化簡為 β, 求 α + β + γ 的值 γ

87 矩陣 完成 期 : 矩陣的加減法與係數積 矩陣的加減法與係數積 工具. 矩陣的定義 : ㆒個 m n 階的矩陣如 所示 : a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A =... a m1 a m a mn a ij 表示位在第 i 列第 j 行位置的數, 稱為第 (i, j) 個元 可簡單記為 A = A mn = (a ij ) m n 當 m = n 時,A = A n = (a ij ) n n 稱為 n 階方陣 每㆒個元都是 0 的矩陣稱為零矩陣, 以 O 或 O mn 表示 矩陣相等 : 兩個矩陣相等的意思, 就是兩個矩陣長的㆒模㆒樣, 因此 A m n = B p q 表示 : 1. m = p, n = q. a ij = b ij m n 矩陣相加與係數積 : a 11 a 1 a 1n b 11 b 1 b 1n a 1 a a n b 1 b b n A + B = a m1 a m a mn b m1 b m b mn a 11 + b 11 a 1 + b 1 a 1n + b 1n a 1 + b 1 a + b a n + b n =... a m1 + a m1 a m + b m1 a mn + b mm a 11 a 1 a 1n r a 11 r a 1 r a 1n a 1 a a n r a 1 r a r a n r A = r = a m1 a m a mn r a m1 r a m r a mn A B = A + ( 1) B

88 8 矩陣 完成 期 : 矩陣的加減法與係數積 我練習 1. 設 A = (a ij ) 3, 且 a ij = i + ij, 求矩陣 A. 設 A = 1,B = 4,C = , 且 A B + 3C = a c b d, 求 a + b + c + d 3. 設 A = 1 3,B = 1 1 0,C = , 若滿足 A B + X = C + B X, 求矩陣 X 4. 已知 A = 1 5 3,B = 7 3 X + Y = A, 且 X + 3Y = B, 求矩陣 A 與 B 自我練習 5. 設 A 與 B 皆為 階矩陣, 且 A + 3B = 7 11,A B = 求 A 與 B 6. 設 A = 0 1 3,B = 3 1, 求矩陣 X 使得 X + 5A = 3B 1 4,

89 矩陣 完成 期 : 矩陣乘法 矩陣乘法 工具 3. 矩陣乘法 : 矩陣的乘法是向量內積的推廣 a 11 a 1 a 1n b 11 b 1j b 1p... b a i1 a i a in 1 b j b p b n1 b nj b np a m1 a m a mn = c 11 c 1j c 1p c 1 c j c p... c ij... c m1 c mj c mp.. 其 c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj, 每㆒個運算都是㆒個內積 要注意的是 : 不是所 的矩陣都可以相乘, 需要階數配合 即 A m n B n p = C m p 單位矩陣 : I = ,I 3 = 當㆒個矩陣乘以㆒個單位矩陣時, 其矩陣不變 即 A I = A 矩陣相乘的性質 : 1. 結合律 :(AB)C = A(BC), 因此 A m+n = A m A n. 分配律 :A(B + C) = AB + AC 3. ** 無交換律 :AB = BA 不㆒定成立 4. ** 無消去律 : 當 A O, 由 AB = AC 無法推得 B = C 5. ** 當 AB = O 時, 無法推得 A = O 或 B = O 設 A =,B = 1 3, 求 AB 與 BA 1 3 3

90 84 矩陣 完成 期 : 矩陣乘法 1 (. 設 A =,B = ), 求 AB 與 BA 3. 設 A = 1 3,B = 0, 求 (A + B)(A B) 設 A = 1,B = k, 若 (A + B) = A + AB + B, 則 k 的值為何? 設 M 是㆒個 3 矩陣, 而且 M = 0 0 0,M = 0 0 1, 求 M ( 6. 已知 x y ) 1 3 ( = ), 求 x y

91 矩陣 完成 期 : 矩陣乘法 我練習 85 自我練習 7. 設 A = a b b a, 且滿足 A + A + I = O,b > 0, 求數對 (a, b) a n+1 = a n b n 8. 已知, n = 0, 1,,, 若㆓階方陣 A = a b n+1 = a n c a n+3 = A a n, 則 a + b + c + d 的值為何? b n+3 b n 設 I = 0 1 0,J = 1 1 1, 若方陣 A = 求數對 (a, b) b d 滿足 ( I J ) 10 = ai + bj,

92 86 矩陣 完成 期 : 乘法的反矩陣 13.4 乘法的反矩陣 工具 4. 乘法反矩陣 : 設 A 為 n 階矩陣, 若存在 n 階方陣 B 滿足 AB = I n = BA, 則稱 B 為 A 的乘法反矩陣, 並以 A 1 表示 如果㆒個矩陣 A 乘法反矩陣, 則稱 A 是可逆矩陣 反矩陣的性質 : 1. 方陣 A 乘法反矩陣 det(a) 0. 設 A = a b, det A 0, c d 則 A 1 = 1 d b 1 = d b det A c a ad bc c a ( 此公式可由內積輕鬆得到 ) 3. (AB) 1 = B 1 A 1 1. 設 A, B, C 為 階方陣,I 為 階單位矩陣,det A 表示 A 的行列式值, 選出正確的選項 :(1) (AB) 3 = A 3 B 3 () 若 A 不為零矩陣, 且 AB = AC, 則 B = C (3) (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + A 3 (4) (A + I) 3 = 8A 3 + 1A + 6A + I (5) det(3a) = 3 det(a). 某 做列運算的過程如右 : 的值 1 0 a b 0 1 c d, 求 a + b + c + d

93 矩陣 完成 期 : 乘法的反矩陣 設 A, B, C 為 階方陣,I 為 階單位矩陣,det A 表示 A 的行列式值, 選出正確的選項 :(1) A(B C) = AB AC () 若 AB = O, 則 A = O 或 B = O (3) 若 A = I, 則 A = I 或 A = I (4) 若 ABC = I, 且 det A 0, det B 0, 則 C 必然唯㆒存在 (5) det(a + B) = det A + det B 4. 設㆓階方陣 A 滿足 :A 1 0 = 0,A 3 1 = 9 3, 求 A 若 35 a 1 49 c 6. 已知 A b = 7 0, 求 a + b + c + d d = 1,A 1 = , 且 A 4 a b = 3, 求數對 (a, b) 7. 設 A = 1,B = t 1 1 若 (AB) x = 0 無限多組解, t + 3t 4 t t y 0 求 t 的值

94 88 矩陣 完成 期 : 乘法的反矩陣 我練習 自我練習 8. 已知 a 3 1 a x y = 1 無解, 求 a 的值 9. 考慮㆒次聯立方程式 M t x y = a b, 其 M t = t 1 3 t + 則 t 的值可能為? t 1 3 t + 1, 若對於任㆒組實數對 (a, b), 此方程式恆 解, (1) () 1 (3) 1 (4) 3 (5) 設 A = 6 6,P = 1,B = P AP 1, 求 B 與 A n 1 3

95 矩陣 完成 期 : 轉移矩陣 轉移矩陣 工具 5. 轉移矩陣 : p 11 p 1 p 1n p 1 p p n 設 A =... p n1 p n p nn n n, 滿足 : (1) 0 p ij 1, () p 1j + p j + + p nj = 1 ( 每㆒直行的數字和為 1), 我們稱 A 是㆒個轉移矩陣 轉移矩陣 : 如果 X 是㆒個行矩陣, 且每㆒個元素都是 非負實數, 且所 元素的總和為 1, 則稱此 行矩陣為機率矩陣 馬可夫鍊 : 設 A 是轉移矩陣,X 0 是機率矩陣, 則由連續的矩陣乘法可得 : X 0,X 1 = AX 0,X = AX 1 = A X 0,,X n = A n X 0 馬可夫鍊性質 : (1) 每㆒個 X i 都是機率矩陣 () 設 A, B 均為 n 階轉移矩陣, 則 AB 亦為 n 階轉移矩陣 (3) 若馬可夫鍊趨向於穩定狀態, 則 AX = X 1. 已知轉移矩陣 A = a c b 5 1 滿足 A = 9 d 3 4 9, 求 a 的值 e. 設 A, B 為 階轉移方陣, 列哪些選項也是轉移矩陣 : (1) A B () A + B (3) 1 (A + B) (4) 1 (A + B ) (5) 1 4 (A4 + B 4 )

96 90 矩陣 完成 期 : 轉移矩陣 3. 棒球投手小殷在牛棚練投時, 當他投了㆒個好球後, ㆒個也是好球的機率為 0.7, 當他投了㆒個壞球後, ㆒個也是壞球的機率為 0., (1) 如果他投的第㆒球是好球, 則他第 3 球投好球的機率為多少? () 如果他投的第㆒球是好球, 則他第 4 球投好球的機率為多少? (3) 如果小殷練習㆒陣子後, 則他投好球的機率為多少? 4. 設 袋 ㆒白球㆒黑球, 袋 ㆒白球, 先 袋取㆒球放入 袋, 再 袋取㆒球放入 袋, 如此稱為㆒局 求 (1) 第㆔局結束後, 袋 ㆒白球㆒黑球的機率 () 第㈤局結束後, 袋 ㆓白球的機率 (3) 長期而言, 袋 ㆒白球㆒黑球的機率

97 矩陣 完成 期 : 轉移矩陣 我練習 ㆒流浪漢在 A, B, C ㆔鎮間流浪, 假設每 清晨, 他決定當 1 夜晚繼續留宿該鎮的機率為, 而改前往相鄰任㆒城鎮的 1 機率皆為 4 若此流浪漢第㆒夜宿於 A 鎮, 求 (1) 第㆔夜也是住宿於 A 鎮的機率 () 第㆕夜也是住宿於 B 鎮的機率 (3) 長期而言, 他留宿於 A 鎮的機率 A C B 6. 為了落實節能減碳降低空汙, 某城市推行新的交通政策, 規定 班時只能搭乘捷運 騎腳踏車或搭乘公車 根據調查 : (1) 原搭乘捷運的, 明年 80% 會繼續搭乘捷運,10% 會改騎 行車,10% 會改搭公車 ; () 原騎 行車的, 明年 30% 會改搭乘捷運,50% 會繼續騎 行車,0% 會改搭公車 ; (3) 原搭乘公車的, 明年 0% 會繼續搭乘捷運,0% 會改騎 行車,60% 會繼續搭公車 若該城市的 口數不變, 目前 0% 的 搭乘捷運,30% 騎 行車,50% 搭乘公車, 求 (1) 兩年後搭捷運的 口比例 () 長期而言, 搭乘捷運的 口比例 自我練習 7. 小明常常遲到, 當他今 準時 課時, 則明 遲到的機率為 0.8, 當他今 遲到時, 則明 遲到的機率為 0.5 已知新 期的第㆒ 他準時 課, 求他第㆕ 遲到的機率

98 9 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆒ 13.6 綜合練習㆒ 1. 設 A = 1,B = a 1, 已知 AB = BA, 求 a b 的值為 1 1 b (1) 5 () 4 (3) 0 (4) 4 (5) 5. 考慮矩陣 A : a b, 其 a, b, c 為實數, 且 det(a) =, c a 試問 det(a A 1 ) 之值為 列哪㆒個選項? (1) 9 () 3 (3) 1 (4) 3 (5) 9 3. 設 A 為㆓階方陣, 且 det(a) 0 若 A 3 A = A, 則 列哪些選項可以 用來表示 A 1?(1) A 3 + A () A (3) A + I (4) A I (5) A A 4. 某 區 A, B 兩家超市, 根據調查, 每過㆒段固定時間後,A 超市保 80% 的顧客,0% 轉向 B 超市,B 超市留 40% 的顧客,60% 轉向 A 超市, 已知目前 A, B 兩超市的佔 率分別為 30% 及 70% 且顧客的 數不變, 若市場會趨近於穩定, 在穩定狀態 A 超市的佔 率最接近 列哪㆒個選項? (1) 80% () 75% (3) 70% (4) 65% (5) 60%

99 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆒ 設 A 為㆓階方陣,I = 1 0,O = 0 0 ; 若 A 5A + I = O, 列哪㆒個選項是 5I A 的方陣? (1) A () A (3) A 5I (4) A 6. 設矩陣 經列運算得 1 a b 0 1 c, 選出正確的選項 : (1) a = () a = 0 (3) b = 7 (4) c = (5) 若 a = 0, 則 b = 3 7. 設 A, B 是兩個㆓階方陣, 選出正確的選項 : (1) 若 A = B, 則 A = B 或 A = B () 若 A 為零矩陣, 則 A 必為零矩陣 (3) 若 A 為可逆矩陣, 且 A = B, 則 B 亦為可逆矩陣 (4) 若 AB = 1 0, 則 B A = B 0 1 n 8. 設 n 為正整數, 符號 1 1 表矩陣 n 0 並令 1 1 = a n b n, 選出正確的選項 : 0 c n d n 乘 n 次, (1) a = 1 () a 1, a, a 3 為等比數列 (3) d 1, d, d 3 為等比數列 (4) b 1, b, b 3 為等差數列 (5) c 1, c, c 3 為等差數列

100 94 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆒ 9. 設㆓階方陣 A = I = 1 0, 選出正確的選項 : 0 1 (1) A 1 = 5 7 () P = 且㆓階方陣 P 滿足 AP A 1 = (3) P = I , (4) P 10 = I (5) P 11 = I 10. 設 A = 3 4,B = a 3 b c,i = 1 0 d 0 1 已知 a, b, c, d 均為實數, 且 A a b = 1 0,A c d = 0 1, 選出正確的選項 : (1) A = () AB = I (3) a + b + c + d = 1 (4) BA = I (5) A 10 B 10 = I

101 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆓ 綜合練習㆓ 1. 設方程式 a 4 x = 4 無解, 求 a 的值 1 a 3 y 1. 設 A = 1,B = 5, 若 AX = B, 求矩陣 X 已知 A 為㆓階方陣, 且 A 3 = 7,A 5 = 18 5, 求矩陣 A 設 I = 1 0,A = 1 1, 若 (I + A) 4 = mi + na, 求數對 (m, n) 設 x, c 為實數, 方陣 A = 3,B = 3, 已知 A 的反方陣恰好為 B 的 c 倍 x x ( 其 c 0), 求數對 (x, c)

102 96 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆓ 6. 已知㆓階方陣 A = a c b d 滿足 A 7 3 = 1 ; A 9 4 = 1 5, 則 b + c = (1) () 31 (3) 15 (4) (5) 0 7. 設矩陣 A = 0 1,B = 1 a 1 a 0 1 確的選項 :,I 為㆓階單位方陣, 選出正 (1) A = I () B = I (3) (BA) = I (4) ABA = B (5) BA BA = I 8. 設 A = 5,X 為㆒個 3 矩陣且滿足 AX = 1 1, X = a 1 a a 3, 選出正確的選項 : b 1 b b 3 (1) A 1 = 1 () a 1 = 11 (3) a = 6 (4) a 3 = 9 (5) b 1 = 設 A 為 3 3 方陣, 裡面的元素 4 個 1 和 5 個 0, 則 多少個不同的 A 可使得 A 乘法反 矩陣 10. 設 ㆔支瓶子, 開始時, 瓶裝 濃度 7% 的食鹽 a 公升, 瓶裝 b 公升的 1 1 純 每操作㆒次都是先將 瓶 的溶液倒出到 瓶, 然後再將 瓶的溶液倒出回 瓶 3 3 ( 假設混合後的體積沒 變化 ) 設 n 次操作後, 瓶 a n 公升的溶液, 瓶 b n 公升 的溶液, 且㆓階方陣 a 11 a 1 a 1 a 滿足 a n = b n a 11 a 1 a 1 a n a b, 求 a 11 a 1 a 1 a

103 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆓ 本章重點整理

104 98 矩陣 完成 期 : 綜合練習㆓

105 第 14 章 圓錐曲線 14.1 拋物線 拋物線的幾何定義工具 1. 拋物線的幾何定義 :P F = d(p, L) 其 F 是㆒個定點,L 是定直線,F 不在 L 我們可以由㆒組同心圓畫出拋物線的圖形 準線 L 準線 L P F 頂點 V 焦點 F 軸 1. 圖㆒,P (a, 4) 是拋物線 Γ ㆒點,L : x = 1 是 Γ 的準線,y 軸是軸, 頂點是原點 O 若 F 是拋物線的焦點, 求 P F 的長 4 y P 3 1 x 1 L : x = 1 圖㆒ 99

106 100 圓錐曲線 完成 期 : 拋物線的幾何定義 我練習. 設 AB 是拋物線的焦弦,AM, BN 分別為點 A, B 到準線的垂線, 如圖㆓所示 若 AM = 1, BN = 3, 求 MN 的長 3. 圖㆔是㆒個拋物線,F 為其焦點,L 為其準線,P 為拋物線 ㆒點,A 為準線 ㆒點 若 P AF 為邊長 10 的正㆔角形, 則此拋物線的焦距為何? 正焦弦長為何? M A A P 焦點 F N B 圖㆓ 圖㆔ 自我練習 4. 以 x axis 為準線, 且通過 (1, ) 和 (3, ) 的拋物線 幾條?( 畫圖說明之 ) 5. 設拋物線的焦距為 1, 焦點為 F,P 點在拋物線, 且 P F = 4 若 θ 為 P F 與對稱軸的夾 角, 求 cos θ 的值

107 圓錐曲線 完成 期 : 拋物線的標準式 拋物線的標準式 工具. 4cx = y L : x = c c > 0 y c < 0 y L : x = c P (x, y) P (x, y) V (0, 0) x( 對稱軸 ) F (c, 0) 軸 F (c, 0) V (0, 0) x 關於 4cy = x 的情形, 請 行繪圖如 :

108 10 圓錐曲線 完成 期 : 拋物線的標準式 1. 設拋物線 Γ 的準線為 x = 4, 焦點為 (4, 0), 試写出 Γ 的方程式, 並畫出其圖. 畫出拋物線 Γ : x = 4y 的圖形, 並標示出頂點坐標 焦點坐標 準線方程式與焦距 3. 將 y = 1x 的頂點平移到 (, 3), 求新拋物線的方程式?( 請畫圖 ) 4. 在拋物線 (x + 3) = 8(y + 1) 的圖 標示出頂點坐標 焦點坐標 準線方程式與焦距

109 圓錐曲線 完成 期 : 拋物線的標準式 我練習 103 自我練習 5. 在拋物線 y + 4x 8y + 4 = 0 的圖形 標示出頂點坐標 焦點坐標 準線方程式與焦距 6. 設拋物線 Γ 的頂點坐標為 (3, ) 且開口向, 且其焦距為 3 試畫出 Γ 的圖, 並写出其方程式和準線方程式 7. 已知開口左右型的拋物線 Γ 通過 (3, 0), (4, 1), (9, ) ㆔點, 求 Γ 的方程式 ( 畫圖 ) 8. 如右圖, 拋物線方程式為 x = ay +by+c, 試說明 a, b, c 的正負號 y x = ay + by + c O x

110 104 圓錐曲線 完成 期 : 拋物線的定義式 拋物線的定義式 工具 3. 利用拋物線的定義, 我們可以写出拋物線的另㆒種方程式 : 定義式 例如圖㆒, 開口向右的拋物線方程式為 (x (h + c)) + (y k) = x (h c), 而圖 ㆓, 開口向 的拋物線方程式為 (x h) + (y (k + c)) = y (k c) 定義式是不用背誦的, 畫出拋物線的圖形來, 就可以很輕易的写出拋物線的定義式 L : x = h c P (x, y) x = h L : y = k c V (h, k) V (h, k) y = k F (h + c, k) F (h, k + c) P (x, y) 圖㆒ 圖㆓ 利用 面的空白處, 你 行練習把開口向左和開口向 的拋物線的圖畫出來, 並写出其 定義式 :

111 圓錐曲線 完成 期 : 拋物線的定義式 我練習 已知拋物線的準線方程式為 y = x, 焦點坐標為 (, ), 畫圖並求拋物線的定義方程式. 如右圖, 拋物線方程式為 8x = y, 拋物線 兩 點 A, B 位在同㆒鉛垂線,O 為拋物線頂點 若 OAB 為正㆔角形, 求此㆔角形的邊長 y A O x B 自我練習 3. 求通過點 F (3, 0) 且與直線 x = 1 相切的所 圓之圓心 (x, y) 的軌跡方程式 ( 畫圖 ) 4. 已知坐標平面 拋物線 Γ : y = 8x 的焦點為 F, 軸為 L 今㆒光線 點 P (7, 3) 出發, 以平行 L 的方向射向 Γ, 並反射到焦點 F 求 (1) Γ 的準線方程式 () 此光線由 P 點到 F 點所行經的距離 ( 請畫圖 )

112 106 圓錐曲線 完成 期 : 橢圓的幾何定義 14. 橢圓 橢圓的幾何定義 工具 1. 橢圓的幾何定義 :P F 1 + P F = a > F 1 F > 0 其 F 1, F 是兩個定點,a 是㆒個定長, 我們可以由㆒組同心圓畫出橢圓的圖形 短軸 F 1 F 心 O 長軸焦點 F 1 焦點 F 1. 右圖,F 1, F 為橢圓的兩個焦點, 若 F 1 F = 6 且 P F 1 + P F = 8, 求 (1) AF 1 + AF () AF 1 (3) OC C O A F 1 F

113 圓錐曲線 完成 期 : 橢圓的幾何定義 我練習 107. 如右圖, 橢圓貼在方格紙,F 1, F 是橢圓的兩個焦 點,P 在橢圓 已知每個方格的邊長為 1, 求橢圓 的長軸長與短軸長 F 1 P F 自我練習 3. 已知橢圓的長軸長為 1, 短軸長為 6, 求正焦弦長 F 1 F 4. 如右圖, 以 O(0, 0) 為圓心, 半徑 為 1,, 3 畫㆔個同心圓 ; 以 P (4, 0) 為圓心, 半徑為 1,, 3, 4 畫㆕個同心圓 若 A, B, C, D, E, F 在某㆒個橢圓, 則關於此橢圓, 選出正確的選項 : (1) 心為 (, 0) () 長軸長為 4 (3) 短軸長為 3 (4)(4, 0) 為其焦點 B A C O P F D E

114 108 圓錐曲線 完成 期 : 橢圓的標準式 14.. 橢圓的標準式 工具. x a + y b = 1 短軸 C(0, b) 關於 x b + y a = 1 的情形, 請 行繪圖 : b a B( a, 0) O(0, 0) c F 1 ( c, 0) F (c, 0) A(a, 0) 長軸 D(0, b) 1. (1) 求焦點為 F 1 (4, 0), F ( 4, 0), 長軸長為 10 的橢圓方程式 ( 請畫圖 ) () 求㆕頂點分別為 (, 0), (, 0), (0, 3), (0, 3) 的橢圓方程式 ( 請畫圖 ) (3) 求橢圓 x 9 + y 16 = 1 的頂點與焦點坐標 ( 請畫圖 ). (1) 求兩焦點為 F 1 (3, 1), F ( 1, 1), 長軸長為 5 的橢圓方程式 () 求橢圓 4x + y + 16x + y + 13 = 0 的頂點與焦點 3. 已知橢圓 Γ 的長軸長為 10, 且與橢圓 x 3 + y 10 = 1 相同的焦點, 求 Γ 的方程式 4. 已知橢圓 Γ 的 心為 (0, 0), 長軸與短軸平行坐標軸, 且通過 (, ) 與 (, 1) 兩點, 求 Γ 的方程式