智慧學習. 城鄉有感 ~ 03 年學測數學科最精要重點總整理 ~ 甲數與式 ( 一 ) 一個已化成最簡分數的有理數, 如果分母的質因數只有或 5, 則這個有理數範例一定可以化成有限小數 m [ 註 ]: 設 m, 為兩互質的自然數, 則 q ( pq, { 0} p 為有限小數 5 } )

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即施
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3 智慧學習. 城鄉有感 ~ 03 年學測數學科最精要重點總整理 ~ 甲數與式 ( 一 ) 一個已化成最簡分數的有理數, 如果分母的質因數只有或 5, 則這個有理數範例一定可以化成有限小數 m [ 註 ]: 設 m, 為兩互質的自然數, 則 q ( pq, { 0} p 為有限小數 5 } ) 0 下列哪些有理數可化成有限小數? () 3 () 3 (3) (4) 7 (5) 0 答 :()(3)(5) 解 :(3) ( 二 ) 設 b,,, 且 > b, > 則 () + + > > b b+ b+ 範例一 Hormi () b b + b + < < 設, b , c , 則下列何者正確? (A) > b> c (B) b> > c (C) > c> b (D) c> > b (E) b> c> 答 :(A) 解 : bc>,, 且 c > b> c ~ 第頁, 共 3 頁 ~

範例二設 k 為一整數, 已知 k < 3 < k +, 則 k 0 年學測 3 3 答 : k 6 解 :3 3 < k < 3 3 79 < k < 79 5. < k < 6.

4 範例二設 k 為一整數, 已知 k < 3 < k +, 則 k 0 年學測 3 3 答 : k 6 解 :3 3 < k < < k < < k < 6. k 6 乙多項式 ( 一 ) 係數和 : f( ) f 之常數項 : f ( 0) f 之各項係數和 : ( ) () ( ) () ( ) (3) ( ) (4) ( ) 0 f f f ( ) ( ) 之偶次方項係數和 : f + f f ( ) ( ) 之奇次方項係數和 : f ( 二 ) 多項式的餘式定理 : 0 Hormi () f( ) ( ) 餘式 : f ( ) f ( ) ( b) 餘式 : f b () f( ) ( ) 餘式 : 以代 3i f( ) ( + + ) 餘式 : 以 ω + 3 代, 即以代 ( 三 ) + +, bc,, f ( ) b c () f( ) > 0 恆成立時 > 0, b 4c < 0 () f( ) < 0 恆成立時 < 0, b 4c < 0 ~ 第頁, 共 3 頁 ~

範例一若二次函數 + m 3之圖形恒在直線 7之上方, 試求實數 m 的範圍答 : 3< m < 5 解 : + m 3> 7 + ( m ) + 4 > 0, 判別式 ( m ) 6 < 0 ( m+ 3)( m 5) < 0 3< m < 5 範例二 m m < 0 5 0 ( )( 4) ( + )( 4) ( + )( ) f( ) + 7 + ( )( 4) ( + )( 4)

5 範例一若二次函數 + m 3之圖形恒在直線 7之上方, 試求實數 m 的範圍答 : 3< m < 5 解 : + m 3> 7 + ( m ) + 4 > 0, 判別式 ( m ) 6 < 0 ( m+ 3)( m 5) < 0 3< m < 5 範例二 m m < ( )( 4) ( + )( 4) ( + )( ) f( ) ( )( 4) ( + )( 4) (4 + )(4 ), 則 f( ) 最大值為答 :7 解 : f ( ) f ( ) f ( ), 7, 4 由圖中可得最大值為 f ( ) 7 ( 四 ) 複數特性 : 若 b, Hormi () 一般 b b, 但 < 0, b < 0 時 b b () 一般範例一 b b, 但 > 0, b < 0 時 b b 之二根為 αβ,, 求 ( α + β) 答 : 解 : > α + β 6 αβ 4 α < 0, β < 0 ( α + β ) ( α + β ) αβ 0 ~ 第 3 頁, 共 3 頁 ~

6 ( 五 ) 共軛複數根 : 設 f( ) 為一實係數次多項式, 則若 f ( + bi) c + di, 則 f ( bi) c di (, b, c, d ) ( 六 ) 牛頓定理 : 判別有理根範例設 p, q 且 ( p, q ), 若整係數多項式方程式 q f( ) 存在有理根, p 則 p, q, p q f(, ) p q f( ) 整係數方程式 5 + m 有四相異有理根, 則最大根為答 :7 0 解 : 有理根可能為 ±, ±, ± 7, ± 4 但四根積為 4 且四根和為 5 四根為,,7, 最大根為 7 ( 七 ) 勘根定理 : 判別實根設 f( ) 為一實係數多項式 () 若 f( ) f( b) < 0, 則 f( ) 0在 (, b ) 之間至少有一個實根 ( 或奇數個實根 ) () 若 f( ) f( b) > 0, 則 f( ) 0在 (, b ) 之間無實根或偶數個實根範例一 3 三次方程式 + 0在下列哪些連續整數之間有根? (A) 與 (B) 與 0 (C) 0 與 (D) 與 (E) 與 3 答 :(A)(B)(D) Hormi 解 : 令 f 3 ( ) + f( ) f( ) 0在區間 (, ),(,0), (, ) 存在實根 ~ 第 4 頁, 共 3 頁 ~

7 ( 八 ) 方程式根與係數之關係 : 範例 b + b + γ 3 c 設 + b + c + d 0 之三根為 α, β,γ, 則 b + bγ + γ d bγ 3 設方程式 + 3 0的三根為 α, β, γ, 則 ( α 5)( β 5)( γ 5) 答 : 77 α + β + r 解一 : 由已知 αβ + βγ + γα αβγ 3 ( α )( β )( γ ) αβγ ( αβ βγ γα ) ( α β γ ) 解二 : ( α)( β)( γ) 代 ( 5 α)( 5 β)( 5 γ) ( α)( β)( γ) ( α )( β )( γ ) 丙數列級數 ( 一 ) 等差數列 ( AP..) 0 Hormi 設 { } 為等差數列, 首項為, 公差為 d, 則 : () 第項 + ( ) d () 前項之和 S [ + ( ) d] ( + ) (3) 3 (4) 等差數列 : 設 S 表前項和, 則 S, S S, S 3 S 亦成等差數列 ~ 第 5 頁, 共 3 頁 ~

8 ( 二 ) 等比數列 ( GP).. 範例設 { } 為等比數列, 首項為, 公比為 r, 則 () 第項 r () 前項和 ( r S ) ( r ) r (3) 3 設實數, bcd,,, 形成等比數列, 其總和為 S, 倒數的總和為 R, 若 S 4R, 則 b c d 答 :3 解 : 設公比為 r S + r+ r + r + r r + r + r + r+ S R r r r r r r 4 4 S R r 4R r 4 r b c d r r r r r ( 三 )Σ 的公式 () () (3) (4) (5) k k k k k 0 Hormi k k k ( ) + ( )( ) ( ) + kk ( + ) ( + ) ( )( ) kk ( + )( k+ ) ( + )( + ) ( )( )( 3) (6) + ( + ) + ( + + 3) + + ( ) ~ 第 6 頁, 共 3 頁 ~ ( )( ) (7) + ( ) + 3 ( ) + + ( ) + ( )( ) 6 + +

9 範例將兩個等差數列 <,3,5,7,,> 與 < 5,, 7,, 65 > 之對應項相乘可得一個新級數如下 : , 求此級數之和為答 :5555 解 : (k )(6k ) k 8 k + k k k k 丁指數與對數 ( 一 ) 雙曲函數 : e e 設 f( ) e + e f( α) + f( β) f α f () f ( α + β) () f ( α β) + f( α) f( β) f α f ( 二 ) 對數的運算公式 : () log 0,log () log, log, log log (3) log A+ log B log AB,log A log (4) log b log b,log c log b c log, log m b log b,logb logbc logcd log d m ( 三 ) 對數不等式 : 0 Hormi () 設 > 且 A> B> 0, 則 log A> log B () 設 0< < 且 A> B> 0, 則 log A< log B b ( ) ( β) ( ) ( β) (3) 若,b 同時大於, 或,b 同時小於, 則 log 0 b > 若,b 一個大於, 一個小於, 則 log 0 b < A B log B,log A k log k A (4) 若 > b> 或 0< < b<, 則 log >, 否則 log < b b ~ 第 7 頁, 共 3 頁 ~

10 ( 四 ) 首數與尾數 : 設為正數且 b 0 ( ), b < 0, 則 log + logb(0 logb < ) 此時稱為首數,logb 為尾數 () 首數作用 : 若首數為且 { 0} }, 則表示的整數部分為 + 位數若首數為且為負整數, 則表示之小數點後第位開始不為 0 () 尾數作用 : 若為正整數, 則尾數作用在求最高位數字若為純小數, 則尾數作用在求小數點後第一位不為 0 的數範例一令.6.6, b.6.6, c 請選出正確的大小關係 () > b> c () > c> b (3) b> > c (4) b> c> (5) c> b> 0 年學測答 :(4) b 解 :.6 (.6 ).6.6 ( ) c b> c> 範例二若正實數, 滿足 log0.8, log 一個值?, 則 log ( 0 ) + 最接近下列哪 ().8 () 5.6 (3) 5.9 (4) 8.4 (5). 0 年學測答 :(3) 解 : log Hormi.8 0, ( ) ( ) log log + log 0 log ~ 第 8 頁, 共 3 頁 ~

11 戊排列與組合 ( 一 ) 排列. 排列 ( 一 ): 異物取 r 物排列方法有 P r! ( r) 種!. 排列 ( 二 ): r 個不同之物投入個不同箱子, 每個箱子限放一物, 方法有 3. 重複排列 : r 個不同之物投入個不同箱子, 每個箱子不限放, 方法有 4. 同物排列 : 0 P 種 r r 種在個物件中, 第一類有個, 第二類有個,, 第 k 類有 k 個, 且! k, 則全取之排列方法有種!!! 5. 次序不能改變之排列 :! 異物排列中, 有 r 物次序不能改變之排列方法有種 ( 視為同物排列 ) r! k ( 二 ) 組合. 個不同之物取 r 個方法有 C r! 種 r! r! ( ) Hormi Pr. r 個相同之物投入個不同箱子, 每個箱子限放一物方法有 Cr r! 種 3. r 個相同之物投入個不同箱子, 每個箱子不限放一物方法有 H r 種 r C + r ( 三 ) 排列與組合的關係. r 個不同之物投入個不同箱子, 每個箱子限放一物, 方法. r 個不同之物投入個不同箱子, 每個箱子不限放, 方法 3. r 個相同之物投入個不同箱子, 每個箱子限放一物, 方法 4. r 個相同之物投入個不同箱子, 每個箱子不限放, 方法 P 種 r r 種 C 種 r H 種 r ~ 第 9 頁, 共 3 頁 ~

12 範例 5 個球放入 7 個相異箱子中, 依下列情形方法各有幾種? () 球相異, 每箱至多放一球 () 球相異, 每箱球數不限 (3) 球相同, 每箱至多放一球 (4) 球相同, 每箱球數不限解 :() 50 () 6807 (3) (4) 46 解 :() (3) 7 P 50 () 5 7 P5 5! 7 C 種 (4) 種 7 H C 46 種 5 5 ( 四 ) 排容原理 : 個人排列中範例所有人均不排自己對應位置, 方法有! + ±! 3! 4! 種! 6 人取出各人名片放在一起, 現各人隨意拿取, 則 : () 無一人拿到自己名片的方法有種 () 恰有二人拿到自己名片的方法有種答 :() 65 () 35 0 解 :() () Hormi 6! 種! 3! 4! 5! 6! C 6 4! ( + ) 5 ( 4 + ) 35! 3! 4! 種 ( 五 ) 巴斯卡定理. Ck + C k +. C + + k C + C + C + + C C 4 3. C + C + C + + C C 8 ~ 第 0 頁, 共 3 頁 ~

13 ( 六 ) 二項式定理 C + C + C + + C. 0. C0 + C + C4 + + C ( 或 C ) 3. ( C + C3 + C5 + + C 或 C ) C + C + 3C + + C C + C + C + + C 3 C C + C C + C C + + C C m m m m 6. 0 k k k k 0 7. ( C0) ( C ) ( C) ( C ) m C + k C 己機率 ( 一 ) 二項分配 ( 滿足二一律的機率問題 ) 設甲對乙成功機率為 p, 失敗機率為 q p, 則次比賽中甲恰成功 k 次機 k k 率為 C p q k ( 二 ) 超幾何分配 ( 一次取 k 個, 常用於取球問題 ) 範例一袋中有球, 其中 p 個紅球,q 個白球, 且 p+ q, 則取 k 個球中恰含個 C 紅球機率為 0 Hormi p C C q k k 一袋中有 3 白球,5 紅球, 設每球被取到機會均等 : () 每次取一球取後放回, 連取 4 次恰有白球,3 紅球, 機率為 () 每次取一球取後不放回, 連取 4 次恰有白球,3 紅球, 機率為答 :() C () CC C4 解 :() C () CC C4 ~ 第頁, 共 3 頁 ~

14 ( 三 ) 條件機率. AB, 為二事件, 則在 A 發生條件下, B 發生機率 ( ) P P BA ( B A ) P( A). P( A B) P( B) P( A B) P( A B ) P( A) P( A B) P ( A B ) ( B ) P ( A B) P A ( B ) P A ( 四 ) 貝氏定理全機率 : 設 Aj S ( 樣本空間 ) 且 i j Ai Aj φ, 則對任意事件 B, j PB ( ) PB ( A) PBA ( ) PA ( ) 貝氏定理 : i i i i i 設 Aj S ( 樣本空間 ) 且 i j Ai Aj φ, j 0 PA ( i B) 則對任意事件 B, PAB ( i ) PB ( ) PBA ( ) PA ( ) i i PBA ( ) PA ( ) i i i ( i,, ) 範例某品牌之燈泡由甲廠及乙廠各生產 30% 及 70%, 甲廠生產的產品中有 % 瑕疵品 ; 乙廠生產的產品中有 5% 瑕疵品今由這些產品中任選一件 : () 求此件產品是瑕疵品的機率為 Hormi () 已知此件產品是瑕疵品, 求它是由甲廠生產的機率為答 :() 9 () 解 :() P ( 瑕疵品 ) () P( 甲廠瑕疵品 ) ~ 第頁, 共 3 頁 ~

15 ( 五 ) 獨立事件., AB 為二獨立事件, 則 P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A) + P( B) P( A) P( B)., AB 為二互斥事件, 則 P( A B) 0 P( A B) P( A) + P( B) 庚統計 ( 一 ) 成長率當年成長率分別為 r, r,, r 且平均成長率為 r 時其關係為 ( )( ) ( ) + r + r + r + r ( 二 ) 平均數與差量 µ i () 標準差 σ ( ) i µ 範例 () 若 i i + b 則 µ µ + b, σ σ 有個數值資料,, 3,, 的全距為 50, 算術平均數為 40, 中位數為 45, 眾數為 50, 四分位距為 6, 標準差為 3, 3 + 5, 3 + 5, ,, 3 + 5之 : 求 () 全距為 () 算術平均數為 (3) 中位數為 (4) 眾數為 (5) 四分位距為 (6) 標準差為答 :() 50 () 5 (3) 30 (4) 45 (5) 8 (6) 9 解 : i 中 R 50, µ 40, Me 45, Mo 50, IQR 6, σ 3 令 i i () R 3R 50 () µ 3µ Hormi (3) Me 3Me (4) Mo 3Mo (5) IQR 3( IQR) 8 (6) σ 3σ 9 ~ 第 3 頁, 共 3 頁 ~

16 辛相關係數與迴歸直線 ( 一 ) ( 二 ) ( i µ )( i µ ) r 用於 σ, σ 已知 σσ r ( 三 ) () () r ( µ )( µ ) i i ( µ ) ( µ ) i i µµ i i i µ i µ 用於 µ, µ 為整數用於 i i已知 i i ( i)( i) r 用於 µ, µ 不為整數 i ( i) i ( i) ( 四 ) 設 i i + b, 則 > 0時 r, < 0時 r 證 : i i + b µ µ + b µ ( µ ) r ( µ )( µ ) i i ( µ ) i i i ( i µ ) ( i µ ) ( i µ ) [ ( i µ ) ] ( i µ ) ( i µ ) () > 0時, r () < 0時, r ( 五 ) 設 Pi i + b, Q i c i + d, 則 : 範例 () 若 c > 0, 則 r PQ r () 若 c < 0, 則 r PQ r 設有 0 組與的數值資料 (, ),(, ), ( 3, 3 ),, ( 0, 0 ), 0 若已知 i 0, i 40, i 50, i 75, i i 30, i 0 Hormi 0 i 0 i 0 i 請從提供的數據, 求與之相關係數為 0 i 答 :0.6 解 : r i i ( i)( i) [ i ( i) ][ i ( i) ] ~ 第 4 頁, 共 3 頁 ~

17 ( 六 ) 對的迴歸直線 µ b( µ ) b 範例 r σ σ ( i µ )( i µ ) ( i µ ) i i ( i)( i) i i ( ) 設有 4 筆資料如下 : 4 5 m 5 3 若以最小平方法求出對的迴歸直線方程式為 +, 求數對 ( m, ) 答 :(3,) 0 3 解 : µ 3, 又迴歸線過 ( µ, µ ) µ µ + m+ + 7 µ 3 µ 3 m m+ 5 5 m i m i m m 3 m ( i µ )( i µ ) m 迴歸線斜率 ( i µ ) 0 m 3, 5 m ( m, ) (3,) 壬三角函數 ( 一 ) 角度的轉換 : () 將 θ 轉到第一象限 () 若 θ Ⅱ, 則 80 θ (3) 若 θ Ⅲ, 則 θ 80 (4) 若 θ Ⅳ, 則 360 θ Hormi (5) 若 θ 為負角, 則先變正角再用上法 (6) si( θ ) siθ,cos( θ ) cosθ, t( θ ) tθ, ~ 第 5 頁, 共 3 頁 ~

18 ( 二 ) 正弦定理使用時機 : 邊角關係中已知二個角度兩邊不夾一角 si A si B sic b c R ( 三 ) 餘弦定理使用時機 : 三角形已知兩邊夾一角 () ABC 中, b + c bccos A cos A b + c bc () 若 ABC 中 A, B, C 之對應邊分別為, b, c, 則 ABC 為鈍角三角形時必有 b+ c> b + c < ( 為最大邊 ) ( 四 ) 面積公式 ( 一 ) + b+ c ABC 三邊長為, b, c, s, R, r 分別表其外接圓與內切圓半徑, 則 ABC 面積 bsic bcsi A csi B ( 五 ) 面積公式 ( 二 ) 0 Hormi () 凸四邊形二對角線長為 l, si l m θ ss ( )( s b)( s c) bc r s 4R m 且其夾角為 θ, 則此四邊形面積為 () 如圖, 圓內接四邊形四邊長為, b, c, d, 則 : 對角線 AC ( c + bd)( d + bc) b + cd + b+ c+ d 四邊形面積為 ( s )( s b)( s c)( s d) s ~ 第 6 頁, 共 3 頁 ~

(3) 設 G 為 ABC 之重心, 且 GA,GB b, GC c, 則 ABC 面積 3 s( s )(

( )( )( ) 3 s s s b s c + b+ c ( s ) 0 ( 六 )

之長為 AB AC BD DC ( 七 ) 倍角公式 () 二倍角 : tθ si θ siθcosθ + t

+ t θ si θ θ cosθ θ + cosθ si ± cos ± (3) 三倍角 : 3 si3θ

19 (3) 設 G 為 ABC 之重心, 且 GA,GB b, GC c, 則 ABC 面積 3 s( s )( s b)( s c) (4) ABC 三中線長為, b, c, + b+ c ( s ) 4 則 ABC 面積 ( )( )( ) 3 s s s b s c + b+ c ( s ) 0 ( 六 ) 中線長與內角平分線長的求法 () 中線 AM 之長滿足 AM + ( b + c ) () 角平分線 AD 之長為 AB AC BD DC ( 七 ) 倍角公式 () 二倍角 : tθ si θ siθcosθ + t θ cosθ cos θ si θ cos θ tθ 3 t θ t θ () 半角 : Hormi t θ + t θ si θ θ cosθ θ + cosθ si ± cos ± (3) 三倍角 : 3 si3θ 3siθ 4si θ cos3θ 4cos 3 θ 3cosθ 3 t3θ 3 3tθ t θ 3t θ ~ 第 7 頁, 共 3 頁 ~

(4) 特別角 : si5 6 4 cos5 6 + 4 3 t5 3 4 si8 5 4 癸直線與線性規劃 ( 一 ) 截距式 : 直線 L 過 A (,0), B(0, b, ) 且 b, 0, 則直線 L 方程式為 + b 範例過點 (,3) 的直線 L 與坐標軸在第一象限所圍三角形之最小面積為, 此時直線為答 :, + 4 6 3 解 : 令直線為 AB : + 代 (,3) 得

20 (4) 特別角 : si5 6 4 cos t5 3 4 si8 5 4 癸直線與線性規劃 ( 一 ) 截距式 : 直線 L 過 A (,0), B(0, b, ) 且 b, 0, 則直線 L 方程式為 + b 範例過點 (,3) 的直線 L 與坐標軸在第一象限所圍三角形之最小面積為, 此時直線為答 :, 解 : 令直線為 AB : + 代 (,3) 得 + b b 3 + b b 3 6 b b 6 b 4 4 b b 三角形最小面積為 3 又成立時但 b 6 b b 直線方程式為 ( 二 ) 對稱 ( 一 ) 0 Hormi () ( 0, 0 ) 對 0 () ( 0, 0 ) 對 0 (3) ( 0, 0 ) 對 (4) ( 0, 0 ) 對之對稱點坐標為 (, ) ~ 第 8 頁, 共 3 頁 ~ 之對稱點坐標為 (, ) 0 0 之對稱點坐標為 (, ) 之對稱點坐標為 (, )

( 三 ) 距離投影與對稱 ( 二 ) () L : + b + c 0且 A ( 0, 0), 則 d( AL, ) + b + c 0 0 + b () L: + b + c 0, L : + b

PA + PB 最小 AB ( + + ) ( + + ) b c, b b c + b + b 0 0 0 0 0 0 0 ( + + ) ( + + ) b c, b b c + b + b 0 0

PA A+ B + PB 最小取 M, M 在 L 投影即為 P ( 五 ) 二元一次不等式 : 設兩點 A (, ), B (, ), 直線 L : + b + c 0 () 若 A B 兩點在 L

21 ( 三 ) 距離投影與對稱 ( 二 ) () L : + b + c 0且 A ( 0, 0), 則 d( AL, ) + b + c b () L: + b + c 0, L : + b + c 0, L // L, 則 dl (, L ) c c + b (3) A ( 0, 0) 對 L : + b + c 0 投影點坐標為對稱點坐標為 ( 四 ) 距離和最小與距離差最大. PA + PB 最小 AB ( + + ) ( + + ) b c, b b c + b + b ( + + ) ( + + ) b c, b b c + b + b QA QB 最大 AB Hormi 3. PA A+ B + PB 最小取 M, M 在 L 投影即為 P ( 五 ) 二元一次不等式 : 設兩點 A (, ), B (, ), 直線 L : + b + c 0 () 若 A B 兩點在 L 反側, 則 ( + b+ c)( + b + c) < 0 () 若 A B 兩點在 L 同側, 則 ( + b+ c)( + b + c) > 0 (3) 設 L : + b + c 0且 > 0, 若 (, ) 若 (, ) 在 L 右方, 則 + b + c > 0 在 L 左方, 則 + b + c < 0 ~ 第 9 頁, 共 3 頁 ~

22 子平面向量與空間向量 ( 一 ) 內分與外分 () 內分 : A P B且 AP : PB m : 則 OP m+ OA+ m m+ OB () 外分 : A B Q且 AQ : BQ m : 則 OQ m OA+ m m OB 註 : 若 A, B, P 三點共線, 當 O 為線外一點且 OP OA+ OB 時, + ( 二 ) 內分與外分應用 0 Hormi, 則 OP αoa+ βob 3 條件 : α + β, α > 0, β > 0 條件 : α + β, α < 0, β > 0 條件 : α + β, α > 0, β < 條件 : α + β <, α > 0, β > 0 條件 : α + β >, α > 0, β > 0 條件 : α + β <, α < 0, β > 0 ~ 第 0 頁, 共 3 頁 ~

( 三 ) 重心定理若 G 為 ABC 之重心, 則 () GA+ GB+ GC 0 () OG 3 OA+ 3 OB+ 3 OC (3) A(, ), B(, ), C ( 3, 3 ), 3 3 則 G 坐標為 + +, + + 3 3 ( 四 ) 內心定理 0 若 I 為 ABC

0 APB : BPC : CPA : l: m ( 設 lm,, 均為正值 ) () 設 P 為 ABC 外部一點,l PA m PB+ PC Hormi ( 即 l PA+ m PB+ PC 0 ) 則 : PAB : PBC : PCA : l: m ( 設 l, m, 均為正值 ) (

23 ( 三 ) 重心定理若 G 為 ABC 之重心, 則 () GA+ GB+ GC 0 () OG 3 OA+ 3 OB+ 3 OC (3) A(, ), B(, ), C ( 3, 3 ), 3 3 則 G 坐標為 + +, ( 四 ) 內心定理 0 若 I 為 ABC 之內心, 且 AB c, BC,CA b, 則 b c () AI AB+ AC + b+ c + b+ c () OI + b+ c OA+ b + b+ c OB+ c + b+ c OC ( 五 ) 向量與面積關係, 則 () P 為 ABC 內部一點, 且 l PA+ m PB+ PC 0 APB : BPC : CPA : l: m ( 設 lm,, 均為正值 ) () 設 P 為 ABC 外部一點,l PA m PB+ PC Hormi ( 即 l PA+ m PB+ PC 0 ) 則 : PAB : PBC : PCA : l: m ( 設 l, m, 均為正值 ) ( 六 ) 向量的內積與夾角 OA (, ), OB ( b, b ) () 則 OA OB OA OB cosθ b + b () OA, OB 夾角為 θ 時,cosθ OA OB OA OB, 則 (3) 若 OA// OB b (4) 若 OA OB 則 b + b 0 b ~ 第頁, 共 3 頁 ~

3 b b b 3 ( 九 ) 坐標平面的投影與對稱 (, b, c ) Hormi () 到軸投影 (,0,0) () 到 z 平面投影 ( 0,, ) bc

24 ( 七 ) 正射影 () AB 在 AC 上正射影長 AH AB AC AC () AB 在 AC 上正射影 AH AB AC AC AC ( 八 ) 柯西不等式 (,, ) 設 3 0 b ( b, b, b ), 3 則 : ( + + ) ( b + b + b ) ( b + b + b ) 成立時, b b b 3 ( 九 ) 坐標平面的投影與對稱 (, b, c ) Hormi () 到軸投影 (,0,0) () 到 z 平面投影 ( 0,, ) bc (3) 到軸距離 b + c (4) 到 z 平面距離 (5) 到軸對稱點 (, b, c) (6) 到 z 平面對稱點 ( bc,, ) ~ 第頁, 共 3 頁 ~

25 ( 十 ) 平面三角形面積 () ABC 中 : ABC () 若 AB (, ) ( 十一 ) 空間面積與體積 AB (,, ) 設 3, AB AC AB AC AC ( b, b ), 則 ABC AC ( b, b, b ), 3 () ABC 面積為 AB AC () AB, AC, AD, 3 b b AD ( c, c, c ), 則 0 Hormi AB AC AB AC 3 所圍成之平行六面體體積為 b b b (3) AB, AC, AD 所圍四面體體積為 3 3 c c c 3 b b b 3 6 c c c 3 (4) ABCD,,, 四點共平面, 則 3 b b b 3 c c c 3 0 (5) 三相異且兩兩不平行的直線 L: + b + c 0, L : + b + c 0, L: + b+ c 0共交於一點, 則 b c b c b c ~ 第 3 頁, 共 3 頁 ~

之切線 () 已知 A ( 0, 0) 為圓 C : + + d + e + f 0上一點, 則過 A 之切線 + + + + + + 0 0 為 d e f 0 0 0 ( 四 ) 切點弦 () 已知 P ( 0, 0) 為圓 C:( h) ( k) r 切線, 若二切點分別為 A B, 則 AB 方程式為 ( h)( h)

26 丑圓 ( 一 ) 圓的直徑式 : 設 A (, ), B (, ), 則以 AB 為直徑的圓方程式為 ( )( ) ( )( ) + 0 ( 二 ) 圓的切線段長 : () C:( h) ( k) r + 及其外一點 0 0 P (, ), 則 P 到圓 C 之切線段長 h + k r 為 ( ) ( ) 0 0 () C : + + d + e + f 0及其外一點 P ( 0, 0), 則 P 到圓 C 之切線段長為 + + d + e + f ( 三 ) 已知切點求切線 0 () 已知 A ( 0, 0) 為圓 C:( h) ( k) r h h + k k r 為 ( )( ) ( )( ) 上一點, 則過 A 之切線 () 已知 A ( 0, 0) 為圓 C : + + d + e + f 0上一點, 則過 A 之切線為 d e f ( 四 ) 切點弦 () 已知 P ( 0, 0) 為圓 C:( h) ( k) r 切線, 若二切點分別為 A B, 則 AB 方程式為 ( h)( h) ( k)( k) r Hormi + 外部一點, 今過 P 作圓 C 之 () 已知 P ( 0, 0) 為圓 C : + + d + e + f 0外一點, 今過 P 作圓 C 之切線, 若二切點分別為 A B, 則 AB 方程式為 d + e + f ~ 第 4 頁, 共 3 頁 ~

寅空間平面與空間直線 ( 一 ) 有關距離公式 () 距離公式 ( 一 ): 點 P( 0, 0, z 0 ) 至平面 + b + cz + d 0 之距離為 + b + cz + d 0 0 0 + b + c () 距離公式 ( 二 ): 二平行平面 + b + cz + d 0, + b + cz + d 0之距離為 d d + b + c 0 (3) 二平面之平分面方程式 : E:

27 寅空間平面與空間直線 ( 一 ) 有關距離公式 () 距離公式 ( 一 ): 點 P( 0, 0, z 0 ) 至平面 + b + cz + d 0 之距離為 + b + cz + d b + c () 距離公式 ( 二 ): 二平行平面 + b + cz + d 0, + b + cz + d 0之距離為 d d + b + c 0 (3) 二平面之平分面方程式 : E: + b + cz + d 0 二平面所交二面角之平分面方程式為 E: + b + cz + d 0 + b+ cz+ d + b + c + b+ cz+ d + b + c ( 二 ) 平面的夾角 Hormi E: + b + cz + d 0, E : + b + cz + d 0, 若 E, E 夾角為 θ, + bb + cc 則 cosθ ± + b + c + b + c ~ 第 5 頁, 共 3 頁 ~

( 三 ) 平面的投影與對稱 () 點 ( 0, 0, z 0 ) 在 E : + b + cz + d 0之投影為 ( 0 b0 cz0 d) b ( 0 b0 cz0 d) H 0 + + +, 0 + +

b0 + cz0 + d) b ( 0 + b0 + cz0 + d) A 0, 0, + b + c + b + c 範例 z c ( + b + cz + d) + b + c 0 0 0 0 A (,,3)

4,) 6 6 6 A+ A () H (,3, ) ( 四 ) 空間直線方程式類型 () 比例式 : 過點 P( 0, 0, z 0 ) 且方向向量為 ( l, m, ) 之直線為 z z l m 0 0 0

28 ( 三 ) 平面的投影與對稱 () 點 ( 0, 0, z 0 ) 在 E : + b + cz + d 0之投影為 ( 0 b0 cz0 d) b ( 0 b0 cz0 d) H , , + b + c + b + c z c ( + b + cz + d) + b + c () 點 ( 0, 0, z 0 ) 對 E : + b + cz + d 0之對稱點為 ( 0 + b0 + cz0 + d) b ( 0 + b0 + cz0 + d) A 0, 0, + b + c + b + c 範例 z c ( + b + cz + d) + b + c A (,,3) 對 E:+ z 3 0之 () 對稱點 A () 正射影點 H 答 :() (3, 4,) () (,3, ) 解 :() 0 Hormi 4 ( 6) ( 6) ( ) ( 6) A (,,3 ) (3, 4,) A+ A () H (,3, ) ( 四 ) 空間直線方程式類型 () 比例式 : 過點 P( 0, 0, z 0 ) 且方向向量為 ( l, m, ) 之直線為 z z l m () 參數式 : 過點 ( 0, 0, z 0 ) 且方向向量為 ( l, m, ) 之直線為 0 + lt 0 + mt, t 0 0 z z0 或可表示為 t l m z z0 + t ~ 第 6 頁, 共 3 頁 ~

29 (3) 兩面式 : 二平面 E: + b + cz + d 0與 E: + b + cz + d 0 + b + cz + d 0 之交線為, + b + cz + d 0 b c c b 此時其方向向量為,, b c c b 卯矩陣 ( 一 ) Cle Hmilto 定理 b 設 A c d, 0 I 0, 0 0 O 0 0 則範例 A ( d) + A + ( d bc) I O 令 A , O 0 0 0, I 0, 則下列何者正確? (A) (C) 答 :(D) 0 Hormi A 5A I O + + (B) A 5A I O + (D) A 5A+ I O A 5A I O ( 二 ) 二階反方陣 : () b A c d 且 det A 0時, A d det A c b () det A ( det ) A (3) det A det A (4) ( ) AB B A (5) ( ABA ) AB A ~ 第 7 頁, 共 3 頁 ~

30 範例一設 A 為二階方陣, 且 A 0 3, A 5 5 7, 則 () A () A 答 :() 解 :() () 4 3 A 5 () A 5 AA A 3 5 AA A A A ( A ) A A ( A ) 範例二 5 4 () 設 A 9 7, P 3, 則 P AP () 利用 () 求 A 答 :() 解 :() 0 () P P AP () ( P AP) Hormi A P P P AP ~ 第 8 頁, 共 3 頁 ~

31 辰二次曲線 ( 一 ) 通過拋物線 4c 之焦點的直線 L 與拋物線交於 A (, ), B (, ) 兩點 ( AB 稱為焦弦 ), 則 : c ( 二 ) 橢圓 0 + 上任一點 P (, ) 到二焦點 b F( c,0) 與 F ( c,0) 之距離為 PF c, PF c + ( 三 ) 橢圓 +, 則 : b Hormi 4 b () 內接正方形的面積是 + b, 周長是 8b + b () 內接矩形的最大面積為 b (3) 內接矩形周長的最大值為 4 + b ~ 第 9 頁, 共 3 頁 ~

32 ( 四 ) 雙曲線 b b 上一點到兩漸近線距離乘積為 + b ( 五 ) 若 PF+ PF, FF c, 則 : () > c時, P 軌跡為橢圓 () c時, P 軌跡為 FF (3) < c時, P 軌跡為 φ ( 六 ) 0 Hormi 若 PF PF, FF c, 則 : () < c時, P 軌跡為雙曲線 () c時, P 軌跡為兩射線 (3) > c時, P 軌跡為 φ 範例一點 P (, ) 在拋物線為答 :5 8上, 求 ( ) ( 3) ( ) 之最小值解 : 拋物線之準線 L: + 0, 焦點 F (,0) 令 A (3,), P (, ) 為拋物線上一點原式 PF + PA d( P, L) + PA d( A, L) 5 ~ 第 30 頁, 共 3 頁 ~

範例二已知一橢圓的長軸平行於軸, 中心為 (, ) 且通過點 (4,6) 試問下列哪些點一定會在這橢圓上?

PF 60, 求雙曲線 Γ 之正焦弦長為答 : 0 解 : PF PF 0 0 0 5 又 FF 0 + 0 0 0

33 範例二已知一橢圓的長軸平行於軸, 中心為 (, ) 且通過點 (4,6) 試問下列哪些點一定會在這橢圓上? (A) (, ) (B) (,6) (C) (4, ) (D) (5,6) (E) (3,4) 答 :(A)(B)(C) 解 : P (4,6) 對長軸對稱點 A(4, ) P (4,6) 對短軸對稱點 B(,6) 3 P (4,6) 對中心對稱點 C(, ) 範例三設雙曲線 Γ 之兩焦點為 F, F, 若 P 在 Γ 上, 且 PF 0, PF 0, F PF 60, 求雙曲線 Γ 之正焦弦長為答 : 0 解 : PF PF 又 FF cos Hormi ( c) 300 c 75 b c b 50 正焦弦長為 0 5 為 ~ 第 3 頁, 共 3 頁 ~

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題