10.1 參數方程式註若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x

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耐葛
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1 第 10 章參數方程與極座標 (Parametric Equations and Polar Coordinates) 目錄 10.1 參數方程式參數式之切線參數式之面積參數式之弧長參數式之表面積極座標極座標之圖形極座標下的切線極座標下的面積極座標下之曲線弧長極座標下之旋轉體表面積極座標下之圓錐曲線 (1) 介紹平面曲線的參數化 (2) 介紹平面上的極座標 (3) 介紹它們的微積分 10.1 參數方程式定義 (1) x = f (t) y = g (t) 稱為參數 t 的參數方程 (parametric equation) (2) 若 x = f(t), y = g(t), t I, 則點集合 (x, y) = (f(t), g(t)) t I} 稱為參數曲線 (parametric curve), 該方程式稱為此曲線的參數式 (3) t 稱為參數, I 稱為曲線區間, 若 I = [a, b], 則 (f(a), g(a)) 為起點 (initial point), (f(b), g(b)) 為終點 (terminal point) (4) 給任一曲線, 若我們寫出其參數式及其參數區間, 則稱將其參數化 (parametrized) 98

2 10.1 參數方程式註若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x = a cos t, y = a sin t, t [0, π] (c) x = a cos t, y = a sin t, t 從 π 到 0 (d) x = sin 2t, y = cos 2t t [0, 2π] 例討論以下曲線 : (1) x = sec t y = tan t, t ( π 2, π 2 ), (2) (a) x = t, y = t 2, t R, (b) x = t, y = t, t 0, (c) x = sin t, y = sin 2 t 例作圖 : (1) x = t 2 2t, y = t + 1, t R (2) x = cos t, y = sin 2t, t [0, 2π] 例作圖 x = y 4 3y 2 例 (1) 一圓以 (h, k) 為圓心, r 為半徑, 求參數方程 (2) 將起點為 ( 2, 1), 終點為 (3, 5) 之線段參數化例擺線 (cycloid): 一圓沿著直線滾動, 圓周上固定一點 P, 其軌跡線稱為擺線寫出其參數式 x = a(t sin t), 註 Brachistochrone ( 最短時間性 ) 及 Tautochrone ( 等時性 ): 將上例之擺線 y = a(1 cos t), 倒置後之曲線, 滿足以下兩個特性 : 令 B(aπ, 2a) 為最低點 1. 有一無阻力的珠子只受重力影響, 延著任何平滑曲線, 從原點 O 到 B 則時間最短的曲線即為擺線 2. 在擺線上, C 為 O, B 間任一點, 從 C 到 B 的時間均為等值例作圖 : x = t + 2 sin 2t (1) y = t + 2 cos 2t, x = 1.5 cos t cos 30t (2) y = 1.5 sin t sin 30t, 微積分講義, 99

3 (3) x = sin (t + cos 100t) y = cos (t + sin 100t) 例作圖 : x = sin t (1) cos 5t + 1 sin 13t 4 y = cos t + 1 sin 5t + 1 cos 13t, 2 4 x = sin t sin 2.3t (2) y = cos t, x = sin t (3) sin 5t + 1 cos 2.3t 4 y = cos t + 1 cos 5t + 1 sin 2.3t 2 4 例給定 P 0 (x 0, y 0 ) P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P 3 (x 3, y 3 ), x = x 0 (1 t) 3 + 3x 1 t (1 t) 2 + 3x 2 t 2 (1 t) + x 3 t 3 為 Bezier curves 例討論曲線族 y = y 0 (1 t) 3 + 3y 1 t (1 t) 2 + 3y 2 t 2 (1 t) + y 3 t 3, x = a + cos t y = a tan t + sin t, t [ π 2, π 2 ] 10.2 參數式之切線 t [0, 1] 10.2 參數式之切線定理令 dx 0, 則 dt dy = dy/dt dx dx/dt x = f(t) y = g(t) 例若 x = 2t + 3, y = t 2 1, 求例橢圓 x 2 a 2 式 (a, b > 0) + y2 b 2 例一擺線之參數式為為一參數曲線假設此曲線可微, 即 f(t) 及 g(t) 均可微並假設 = 1, 可寫成 (a) 求它在 θ = π 3 的切線方程式 ; (b) 求它的水平及垂直切線 x = t t 2 例若 y = t t 3, dy dx t=6 x = a cos t y = b sin t, x = r(θ sin θ) y = r(1 cos θ), 求 d 2 y dx 2 ( 0 t 2π 求在 (r 為一固定值 ) a 2, b 2 ) 的切線方程例紅十字會飛機拋擲救災物資它在 700 公尺長的空曠區域投出, 物品掉落的軌跡是 x = 120t y = 16t 2 t 0 問 : + 500, (a) 物品是否會掉落在該區域內? (b) 物體落地時的速度若干? 微積分講義, 100

4 10.3 參數式之面積 10.3 參數式之面積 x = f(t) 定理令曲線為 t [a, b], 且當 t 從 a 增加到 b 時, 其軌跡恰在曲線上繞過 y = g(t), 一次, 則曲線與 x- 軸所圍的面積為 A = b g(t)f (t) dt a x = r(θ sin θ) 例求擺線在一拱 (one arch) 之下的面積 y = r(1 cos θ) 例一隻牛綁在半徑為 r 的圓桶形倉庫上, 繩子長 πr, 則牛可吃草的面積如何? 10.4 參數式之弧長 x = f(t) 定義令 C 為參數曲線 t [a, b] 假設 f y = g(t), 及 g 在 [a, b] 均為連續, 且不同時為零, 又當 t 從 a 增加到 b 時, (x, y) 恰繞過 C 一次, 則 C 的弧長為 b L = ds = (dx)2 + (dy) 2 = f (t) 2 + g (t) 2 dt 例求圓周長 C C a 例求擺線 x = r(θ sin θ) y = r(1 cos θ) 一拱的長例求星狀線 (astroid) x = cos 3 t, y = sin 3 t, 0 t 2π 的全長例參數曲線為 x = t 1 長為何? 10.5 參數式之表面積定理令 C 為參數曲線 C 一次, 則 cos u du, y = t u 1 x = f(t) y = g(t), sin u du, 從原點到有垂直切線的最近點, 其間的弧 u t [a, b], 且當 t 從 a 增加到 b 時, (x, y) 恰繞過 (1) 將 C 繞 x- 軸旋轉, 其表面積為 S = C 2πy ds = b a 2πy ( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt, (2) 將 C 繞 y- 軸旋轉, 其表面積為 S = C 2πx ds = b a 2πx ( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt 其一般形式為 S = 2π( 半徑長 )( 細帶寬 )= 2πρ ds C C 例求半徑 r 的球面表面積例將圓 x = cos t y = 1 + sin t, t [0, 2π] 繞 x- 軸旋轉, 求其表面積例曲線 C 為 x y 2 5 = 1 求微積分講義, 101

5 10.6 極座標 (a) C 之全長, (b) C 所包圍的區域 R 之面積, (c) 將 R 繞 x- 軸旋轉之旋轉體體績, (d) 將 C 繞 x- 軸旋轉之旋轉面表面積 x = t 2 例一曲線的參數式為 y = 1 3 t3 t, t R (a) 求曲線上自我相交的點 (b) 求過該交點的切線 (c) 求曲線的水平切線及垂直切線 (d) 求 C 的昇降範圍 ; (e) 求 C 的凹向上及凹向下範圍 ; (f) 作圖 (g) 設曲線所圍的區域為 R, 求其周長 (h) 求 R 所圍的面積 (i) 將 R 繞 x- 軸旋轉, 求其體積 (j) 將 R 繞 y- 軸旋轉, 求其體積 (k) 將 R 繞 x- 軸旋轉, 求其表面積 (l) 求 R 的形心座標 10.6 極座標定義 (1) 在平面上取一點 O 為極點 (pole), 以 O 為起點之射線為極軸 (polar axis) 對平面上其他任意點 P, r 是 OP 的有向距離, θ 為極軸旋轉到 OP 的有向角, 則 (r, θ) 稱為 P 的極座標 (polar coordinate) (2) 原點的座標為 (0, θ), 其中 θ 為任意實數 (3) 對任意的 r, θ 而言, (r, θ), (r, θ + 2nπ), ( r, θ + (2n + 1)π) 均表示同一點 (n Z) 例以下是各點的極座標, 試描繪這些點 (a) ( ) 1, 5π 4, (b) (2, 3π), (c) ( ) 2, 2π 3, (d) ( ) 3, 3π 4, 微積分講義, 102

6 10.7 極座標之圖形例求 P ( ) 2, π 的所有極座標表示法 6 性質 ( 直角座標與極座標之關係 ) (1) x = r cos θ, y = r sin θ (2) x 2 + y 2 = r 2, tan θ = y x ( ) 例 (a) 將極座標 2, π 改為直角座標 3 (b) 將直角座標 (1, 1) 改為極座標例將 x 2 + y 2 = 9 改為極座標例將以下各方程式改為直角座標 : (a) r cos θ = 4, (b) r = 4 2 cos θ sin θ, (c) r = 1 + 2r cos θ, (d) r = 1 cos θ 10.7 極座標之圖形定義極座標方程 r = f(θ), 或 F (r, θ) = 0 考慮所有平面上的點 P, 其中 P 的某一個座標滿足此方程, 則這些 P 點所構成的集合稱為此方程的圖形性質 ( 對稱性 ) (1) 若 (r, θ) 在某圖形上, 則 (r, θ) 或 ( r, π θ) 在該圖形上圖形對 x- 軸對稱 (2) 若 (r, θ) 在某圖形上, 則 (r, π θ) 或 ( r, θ) 在該圖形上圖形對 y- 軸對稱 (3) 若 (r, θ) 在某圖形上, 則 ( r, θ) 或 (r, π + θ) 在該圖形上圖形對原點對稱例作以下方程式的圖形 : (a) r = a, (b) θ = θ 0, (c) 1 r 2, 0 θ π 2, (d) 3 r 2, θ = π 4, (e) r 0, θ = π 4, (f) 2π 3 θ 5π 6 例作以下極座標方程式之圖形 : (1) r = 1 cos θ, 微積分講義, 103

7 10.8 極座標下的切線 (2) r = 1 2 sin θ, (3) r = 2 + cos θ 例討論心臟線 (limacons) r = 1 + c sin θ 之圖形例作以下極座標方程式之圖形 : (1) r = cos θ, (2) r = sin 2θ, (3) r = cos 3θ 例作以下極座標方程式之圖形 : (1) r 2 = 4 cos θ, (2) r 2 = sin 2θ 例作圖 r = sin 8θ 5 例作以下極座標方程式之圖形 : (1) r = sin 2 2.4θ + cos 4 2.4θ (2) r = sin 2 1.2θ + cos 3 6θ 例證明點 (2, π 2 ) 在曲線 r = 2 cos 2θ 上例 (1) 求 r = cos 2θ 及 r = 1 2 之交點 (2) 求 r 2 = 4 cos θ 及 r = 1 cos θ 之交點 10.8 極座標下的切線定理 (1) r = f(θ) 之斜率為 (2) 若 r = f(θ) 在 θ = θ 0 通過原點, 則例考慮 r = 1 + cos θ (a) 求過 ( 3 2, π 6 ) 之切線 (b) 求其垂直切線 (c) 求過原點之切線 dy dx (r,θ) = f (θ) sin θ+f(θ) cos θ, dx 若 0 f (θ) cos θ f(θ) sin θ dθ dy dx θ=θ 0 = tan θ 0 例 (a) 求 r = 1 + sin θ 在 θ = π 3 的切線斜率 (b) 求水平及垂直的切線微積分講義, 104

8 10.9 極座標下的面積 10.9 極座標下的面積定理極曲線 r = f (θ) 及射線 θ = α θ = β 所圍的區域面積為 A = β α f (θ) 為正值連續函數, 且 0 β α 2π 例 (1) 求 r = 2(1 + cos θ) 所圍的面積 (2) 求玫瑰線 r = cos 2θ 之一圈所圍的面積 (3) 求 r = 2 cos θ + 1 之圖形中小圈的面積例 (1) 求在 r = 1 之內, 且在 r = 1 cos θ 之外的面積 (2) 求在 r = sin θ 之內, 且在 r = sin 2θ 之外的區域面積例 (a) 求 r = 3 sin θ 及 r = 1 + sin θ 之交點 (b) 求在圓 r = 3 sin θ 之內, 且在心臟線 r = 1 + sin θ 之外的面積例求兩橢圓 x y2 = 1 及 x 2 + y2 3 = 1 之內部共同部份的面積例笛卡兒葉形線 (the folium of Descartes) 為參數曲線 x = (a) 證明此曲線對 x = y 對稱 (b) 求垂直及水平切線 (c) 證明 : y = x 1 為斜漸近線 (d) 求其直角座標方程式 (e) 求其極座標方程式 (f) 求一線圈的面積 (g) 證明 : 漸近線與曲線間所夾面積等於線圈面積極座標下之曲線弧長 3t 1+t 3, y = 3t2 1+t r2 dθ, 其中定理設 r = f(θ), α θ β, 其導函數為連續, 且當 θ 從 α 到 β, P (r, θ) 恰繞曲線一次, 則曲線長為 L = β r α 2 + ( dr dθ )2 dθ 例求心臟線 r = 1 cos θ 之全長例曲線 r = θ, 2π θ 2π (a) 求內圈弧長, (b) 求內圈與外圈之間的面積例有一邊長為 a 之正方形, 有四隻蟲分別在四頂點上這些蟲以逆時針方向, 以相同的速度往前爬, 且其方向固定指向下一隻蟲, 直到它們在正方形中心會面 (a) 牠們會面時的反應如何? 欣喜若狂, 遙遙無期, 暈頭轉向, 精疲力盡? (b) 某隻蟲爬行的軌跡為何? (c) 一隻蟲直到會面需爬行多遠? 微積分講義, 105

9 10.11 極座標下之旋轉體表面積極座標下之旋轉體表面積定理假設 r = f(θ), α θ β, 之導函數為連續, 且當 θ 從 α 到 β, P (r, θ) 恰繞曲線一次將該曲線或 x 軸 ( 或 y 軸 ) 旋轉得一旋轉面, 其表面積為 : (1) 繞 x- 軸 : S = β 2πr sin θ r α 2 + ( dr dθ )2 dθ, (2) 繞 y- 軸 : S = β α 2πr cos θ r 2 + ( dr dθ )2 dθ 例將 r 2 = cos 2θ 之右圈繞 y- 軸旋轉, 求旋轉面表面積例設 R 為在 r 2 = 6 cos 2θ 及 r = 3 內部, 且在第一象限內的區域, 求 : (a) R 的面積, (b) R 繞 x- 軸旋轉的表面積例 (a) 求曲線 r 2 = cos θ 與 r = cos θ 之交點 (b) 令 R 為曲線 r 2 = cos θ 之內部且在 r = cos θ 之外部區域, 求 R 之面積例 (a) 求曲線 r 2 = 2 cos θ 與 r = cos θ 之交點 (b) 令 R 為曲線 r 2 = 2 cos θ 之內部且在 r = cos θ 之外部區域, 求 R 之面積 (c) 將 R 繞 x- 軸旋轉, 求其表面積例 (a) 給定 φ, 求曲線 r = e θ, θ φ, 的形心 P φ, (b) 求 P φ, φ R, 的軌跡極座標下之圓錐曲線定理在平面上有一固定點 F 為焦點 (focus), 有一固定直線 l 為準線 (directrix) 一個 P F 固定正數 e 為離心率 (eccentricity) 則平面上所有滿足 = e 之點所成的集合為一圓錐曲線 P l (conic section) 若 e < 1, 此曲線為橢圓 (ellipse); 若 e = 1, 此曲線為拋物線 (parabola); 若 e > 1, 此曲線為雙曲線 (hyperbola) 定理形如 r = ed 或 r = ed 之極方程式表示一圓錐曲線 1±e cos θ 1±e sin θ 定理一橢圓之焦點位於原點, 主軸長 (major axis) 為 2a, 離心率為 e, 準線為 x = d, 則其極方程式可表為 r = a(1 e2 ) 1+e cos θ 例一拋物線焦點在原點, 準線為 y = 6, 求其極方程式例一圓錐曲線的方程式為 r = cos θ, 求其離心率, 焦點, 準線, 判斷是何種曲線? 並作其圖例 (a) 描繪曲線 r = sin θ 微積分講義, 106

10 10.12 極座標下之圓錐曲線 (b) 將 (a) 之曲線繞原點旋轉 π 4, 求其方程式定義行星繞太陽運行的軌道是一個以太陽為焦點的橢圓行星距太陽最近處稱為近日點 (perihelion), 它與太陽的距離稱為近日距離 (perihelion distance); 距太陽最遠處稱為遠日點 (aphelion), 它與太陽的距離稱為遠日距離 (aphelion distance) 定理行星到太陽的近日距離為 a(1 e); 遠日距離為 a(1 + e) 例 (a) 地球繞太陽運行的離心率為 0.017, 主軸長為公里, 求軌道的極方程式 (b) 求近日距離及遠日距離微積分講義, 107

第十一單元(圓方程式)

第十一單元(圓方程式) 第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ

10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x

10.1 參數方程式註若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x