一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0

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1 一 是非題 ( 第 題每題 0 分 ). 已知球面 S:x + y + z x + 4y + z 9 = 0, 平面 E :x + y + z = 0,E :x y + z =,E :y =,E 4 :x y z = 0,E 5 :x = y 考慮諸平面與球 面 S 所交的圓之面積 () 面積最大者為 E 與球面 S 所交的圓 () 面積最小者其面積為 6π 解答 () () () 球心 A(,, ), 半徑 r = 5 d(a;e ) =,d(a;e ) =,d(a;e ) =,d(a;e 4 ) =,d(a;e 5 ) = 5 其中 d(a;e ) = 最小, 故 E 與 S 所交圓之面積最大 () 由上題,d(A;E ) = 最大, 故 E 與 S 所交圓之面積最小 其面積 = πr = π( AC AB ) = π[5 (d(a;e )) ] = π(5 ) = 6π 二 單選題 ( 第 ~0 題每題 0 分 ). 光源放在點 A(,,), 向球面 S:(x ) + (y ) + (z ) = 照射, 則在 xy 平面上的射影區域面積為 (A) π (B) 4π (C) 5π (D) 6π (E) 9π 解答 (A) 如下圖, 其射影為一個圓區域, 中心為 D(,,0), BC 為直徑 AD =, AQ =, QE =, AE =, 而 AEQ ~ ADB BD : QE = AD: AE BD : = : BD = 所求面積 = π ( ) = π - -

2 . 設點 P 在球面 S:x + y + z = 9 上移動, 點 Q 在平面 E:x y z = 5 上移 動, 則 PQ 的最大值為 (A) (B) 5 (C) 8 (D) (E) 不存在 解答 (E) 考慮 Q 在無窮遠處, 則 PQ PQ 無最大值 註 () PQ 有最小值 = ( 球心 O 到 E 的距離 ) 半徑 = 5 = () P 到平面的距離有最大值 = ( 球心 O 到 E 的距離 ) + 半徑 = 5 + = 8. 空間中, 滿足 (x + y + z )(x + y + z )(x + y + z ) 0 的圖形之體積 為 80 (A) π 40 (B) π 0 (C) π (D) ( 4 註 球面半徑為 r, 則其體積為 π r 解答 (E) (k )(k )(k ) 0 k 或 k (x + y + z )(x + y + z )(x + y + z ) 0 x + y + z 或 x + y + z 4 + ) π (E) ( + ) π 所求體積 = π ( ) π ( ) + π ( ) = π ( + ) 4. 以下各平面中哪一個與球面 :x + y + z x + 4y + z 9 = 0 相交所形成的 圓面積最小? (A) x + y + z = 0 (B) z = (C) y = (D) x = (E) x = y 解答 (C) 平面 y = 距離球心最遠, 故與球面相交之圓面積最小 - -

3 x y + z 5. 設直線 L: = = 與球面 S:x + y + z = k 相切, 則常數 k 之值為 (A) 6 (B) 7 (C) 5 (D) 6 5 解答 (D) 5 (E) 6 設切點為 A(t +,t,t + ) L 相切 (t +,t,t + ).(,,) = 0 t = 半徑 k = OA k = OA = OA L 5 4 A (,, ) 下列哪一個平面與球面 S:x + y + z x + 4y + z 9 = 0 相交所成的圓面積 最大? (A) x + y + z = 0 (B) x y = 0 (C) z + = 0 (D) x y z = 5 (E) x + 4y = 0 解答 (C) S:(x ) + (y + ) + (z + ) = 5, 球心為 Q(,, ), 半徑 r = 5 (A) Q 到 x + y + z = 0 之距離 = = + 4 (B) Q 到 x y = 0 之距離 = = 5 < r 5 (C) Q 到 z + = 0 之距離 = 0 (D) Q 到 x y z 5 = 0 之距離 = < r < r 6 (E) Q 到 x + 4y = 0 之距離 = < r 5 z + = 0 與球面 S 截出 大圓, 其面積 5π 為最大 7. 設球面 S:x + y + z x + 4y 6z = 0, 正立方體 ABCD-EFGH 內接於球面 S,O 是原點, 則 OA + OB+ OC+ OD+ OE+ OF+ OG+ OH 之值為 - -

4 (A) 4 (B) 4 (C) 4 (D) 4 4 (E) 8 4 解答 (E) S :(x ) + (y + ) + (z ) = 5, 其球心為 P(,,), 半徑 r = 5 OA + OG = OP, OB + OH = OP, OC + OE = OP, OD + OF = OP OA + OB+ OC+ OD+ OE+ OF + OG+ OH = 8OP OA+ OB+ OC+ OD+ OE+ OF+ OG+ OH = 8OP = = 下列五個點, 哪一個點與球面 S:x + y + z x y + 4z = 0 距離最遠? (A) (,,) (B) (,,) (C) (,,) (D) (,, ) (E) (,, ) 解答 (C) 解 S:(x ) + (y ) + (z + ) = 9 球心為 Q(,, ), 半徑 r = 五個點到 Q 之距離依次為 7, 6, 4, 6, 0 (,,) 到球面 S 距離最遠 解 五個點代入 S 的方程式, 依次得值為 8,7,5,7, 五個點都在球面 S 的外部 :(x ) + (y ) + (z + ) > 9 而 (,,) 代入得值最大, 即 (,,) 到球心最遠 9. 兩球面 S :x + y + z = 6 與 S :x + y + z x + y z 4 = 0 的位置關係為 (A) 外離 (B) 外切 (C) 相交成一個圓 (D) 內切 (E) 內離 解答 (C) S 的球心為 O(0,0,0), 半徑 R = 4,S 的球心為 Q(,,), 半徑 r = 7 連心線段長 = OQ = 4 7 < <

5 R r <OQ < R + r 兩球面相交成一個圓 4 比較大小 小 7 + 大 0. 設實數 x,y,z 滿足 x + y + z =, 若 x + y + z = k, 則 (A) k 的最大值為 (B) k 的最小值為 (C) k 有最大值時,x = y = z = (D) k 有最小值時,x = y = z = (E) k 無最大或最小值 解答 (D) 由柯西不等式 (x + y + z )( + + ) (x + y + z) k k 當 k 有最大值 時, x = y = z 且 x + y + z =, 得 x = y = z = 當 k 有最小值 時, x = y = z 且 x + y + z =, 當 x = y = z = =, 故選 (D) 三 填充題 ( 第 ~08 題每題 0 分 ). 若過空間中四點 (0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,) 的球面方程式為 x + y + z + dx + ey + fz + g = 0, 則 d + e + f + g = 解答 6 球面 S:x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 (0,, 0 0) g = 0 d = (,, 0 0) + d + g = 0 e = 代入 S, 得 (0,, 0) 4 + e + g = 0 f = (0,, 0 ) 9 + f + g = 0 g = 0 故 d + e + f + g = ( ) + ( ) + ( ) = 6. 以 P(,,) 為球心, 並通過原點的球面方程式為 解答 (x + ) + (y ) + (z ) = 4-5 -

6 半徑 r = OP = = 4 球面方程式為 (x + ) + (y ) + (z ) = 4. 空間中, 通過 A(0,4,0),B(0,8,4),C(4,6,),D(,7,0) 四點的球面方程式為 解答 (x ) + (y 6) + (z ) = 9( 或 x + y + z x y 4z + = 0) 設球面 S:x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 A(0, 4, 0) 6 + 4e + g = 0 B(0, 8, 4) e + 4 f + g = 0 代入 S C(4, 6, ) d + 6e + f + g = 0 D(, 7, 0) + 49 d + 7e + g = 0 解聯立方程組得 d =,e =,f = 4,g = 球面 S:x + y + z x y 4z + = 0 4. 空間中, 過 A(4,,),B(,,0) 且球心在 x 軸之球面方程式為 解答 (x ) + y + z = 9 設球心 P(t,0,0), 則 PA = PB (t 4) + + = (t ) + ( ) t = 半徑 R = PA= 球面方程式 S:(x ) + y + z = 9 5. 一厚度超過 5 的水平放置木板上, 穿有一邊長為 0 的正三角形的洞, 今將半 徑 5 的硬球放入正三角形, 則木板上球的高度為 5 6 解答 5 + 如上圖, 設球心為 O, 球面被木板表面截出之圓的圓心 P, 半徑 PQ = r - 6 -

7 0 OQ = 5, 利用內切圓半徑 r =, 則 r = = 4 5 = s s ( ) OP = OQ r = =, 故木板上球的高度為 通過下列四點 A(,, ),B(5,, ),C(,, ),D(4,, ) 之球面 S 的球心 (a,b,c), 則序組 (a,b,c) = 解答 (,,) 設所求球面方程式為 S:x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 將 A(,, ),B(5,, ),C(,, ),D(4,, ) 代入 S d + e f + g = 7 5d + e f + g = 得, 解之得 d =,e =,f = 4,g = 5 d + e f + g = 7 4d + e f + g = 9 故 S:x + y + z x + y 4z 5 = 0, 即 (x ) + (y + ) + (z ) = 4 ( x ) + ( y ) = 6 7. 一球面與 xy 平面交於圓, 且過點 (4,4,), 則此球面 z = 0 方程式為 解答 (x ) + (y ) + (z ) = 7 設球面 S:(x ) + (y ) + (z c) = R, 則球心 A(,,c), 半徑 R z = 0 代入 S (x ) + (y ) = R c 與 (x ) + (y ) = 6 比較 得 R c = 6 R = c + 6 又球面 S 過 P(4,4,), 故 R = AP = (c ) 由 c + 6 得 c = 代入 R = 7, 故球面 S:(x ) + (y ) + (z ) = 7 8. 球 x + y + z 4x 6y 8z + 94 = 0 與平面 x + y + z = 5 交出一圓, 則圓心坐標為 解答 (4,5,6) - 7 -

8 x = 7 + t 如上圖, AB : y = 8 + t,t R z = 9 + t ( 其中平面 E 之法向量 n v = (,,) 為直線 AB 之方向向量 ) 則 B(7 + t,8 + t,9 + t) 代入平面 E (7 + t) + (8 + t) + (9 + t) = 5 t = 代入 B, 即圓心 B(4,5,6) 9. 過 (,6,0),(,,) 之球面有無限多個, 則半徑最小的球面方程式為 解答 (x ) + (y 4) + (z ) = 9 過 A(,6,0),B(,,) 兩點且半徑最小之球面即以 A,B 為直徑之球面 (x + )(x ) + (y 6)(y ) + (z 0)(z ) = 0 (x ) + (y 4) + (z ) = 9 0. 平面 E:x y + z + k = 0, 球面 S:x + y + z + x y + 4z + 5 = 0, 若 E 與 S 相交成一圓, 則 k 值範圍為 解答 4 < k < 0 球面 S:(x + ) + (y ) + (z + ) = 球心 A(,, ), 半徑 r = 4 + k 若 E 與 S 相交成一圓 0 < d(a;e) < 0 < <, 即 4 < k < 0. 求 P(,,) 到球面 S:x + y + z x + 8y + 4z + = 0 的最近距離 = 解答 6 球面 S:(x ) + (y + 4) + (z + ) = 9 之球心 A(, 4, ), 半徑 r = 最近距離 = AP r = 6. 設 k R, 若方程式 x + y + z + 4kx 6y + 8z + 8k + 5 = 0 之圖形為一點, 則此 點坐標為 解答 (0,, 4),( 4,, 4) 原式 (x + 4kx + 4k ) + (y 6y + 9) + (z + 8z + 6) = 8k 5 + 4k (x + k) + (y ) + (z + 4) = 4k 8k - 8 -

9 圖形為一點 4k 8k = 4k(k ) = 0,k = 0, k = 0時, 一點 ( k,, 4) = (0,, 4) k = 時, 一點 ( k,, 4) = ( 4,, 4). 設方程式 x + y + z kx + 4y 4z + k + k = 0 的圖形為一個點, 則 k = 解答 8 圖形為一點 d + e + f 4g = 0, 即 4k k 4k = 0, 得 k = 8 4. 球心在 y 軸上且通過兩點 (0,,) 及 (4,0,0) 的球面方程式為 解答 x + (y + ) + z = 0 球心在 y 軸上, 設球心 Q(0,b,0), 因球過兩點 A(0,,) 及 B(4,0,0) QA = QB, 得 (b ) + 4 = 4 + b b = 得球心 Q(0,,0), 半徑 r = QA = 4 + = 0 故球面方程式為 x + (y + ) + z = 0 5. 設 A(,,4),B(, 5,), 若以 AB 為直徑作一球, 得球面方程式 (x a) + (y b) + (z c) = r, 則 a + b + c + r = 解答 4 A(,,4),B(, 5,) 之中點為球心 + + ( 5) 即 (a,b,c) = (, 4 +, ) = (,,) 半徑 r = AB = 0, 即 a + b + c + r = = 4 6. 球面 S 與 S 0 :(x + ) + y + (z ) = 同心, 若 S 的體積為 S 0 體積的 倍, 則 S 的方程式為 解答 (x + ) + y + (z ) = 4 4 設 S 的半徑 r, 則 S 的體積為 πr,s 0 的體積 = 4 8 π ( ) π = 4 πr 8 = π 4 r = r = S:(x + ) + y + (z ) = - 9 -

10 7. 設點 A(,, ) 在球面 S 上, 若另兩球面 S :x + y + z 6 = 0 與 S :x + y + z + x 4y z 4 = 0 的交點都在球面 S 上, 則球面 S 的方程式為 解答 x + y + z + 6x 8y 4z 5 = 0 () S 包含 S 與 S 的交圓 C 而 C 在平面 E:(x + y + z + x 4y z 4) (x + y + z 6) = 0 上即 C 在平面 E:x 4y z 8 = 0 () 設 S:(x + y + z 6) + t(x 4y z 8) = 0 A(,, ) S t = S:x + y + z + 6x 8y 4z 5 = 0 8. 過點 A(,,), 作直線 L 與球面 S:x + y + z + x 4y 4z 7 = 0 交於點 P 與 Q, 則 PA AQ 之積 = 解答 S:(x + ) + (y ) + (z ) = 6, 球心 B(,,), 半徑 r = 4 點 A 在 S 的內部, AB = 5, PA AQ = AD AE = (r AB )(r + AB ) = r AB = 6 5 = 9. 過兩點 A(,,5),B(7,, ) 之球面有無限多個, 則其中半徑最小的方程 式為 解答 x + y + z 8x 6y 4z + = 0 任何過點 A,B 的球面 S, 其半徑都不小於 AB 以 AB 為直徑的球面, 是過點 A,B 而半徑最小者 - 0 -

11 其方程式為 (x )(x 7) + (y )(y ) + (z 5)(z + ) = 0 即 x + y + z 8x 6y 4z + = 0 0. 平面 Π:x + y + 6z = 6 與三平面 x = 0,y = 0 及 z = 0 圍成一四面體 設 S 為其內切球, 即 S 為一球面, 而與其四面體相切, 則 S 的半徑為 ; 又若 (a,b,c) 為 S 與 Π 的切點坐標, 則 (a,b,c) = 0 解答,(a,b,c) = (,, ) 7 () 球面 S 與 Π:x + y + 6z = 6 及 x = 0,y = 0,z = 0 均相切, 其球心在第一 卦限內且與三坐標平面等距 設球心 P(r,r,r),r > 0, 則 P 到平面 x = 0,y = 0 及 z = 0 的距離均為 r d(p,π ) = r r + = 0 (r )(r ) = 0 r = 或 r = ( 半徑 ) r + r + 6r 6 = r (r 6) = 49r 6r , 但 r < (r 小於各軸上的截距 ) () 設球心 P 在平面 Π 上的正射影 Q( 即 S 與 Π 的切點 ),Q( + t, + t, + 6t) 代入 Π ( + t) + ( + t) + 6( + 6t) = 6 t = Q(a,b,c) = ( 0,, ) 7. 球面 S 切 xy 平面於點 (,,0) 且過點 (,,), 則 S 的方程式為 解答 (x ) + (y ) 9 + (z ) 8 =

12 球面 S 切 xy 平面於 A(,,0), 設球心 Q, 則 QA 垂直 xy 平面且 QA 為球之半徑 設 Q(,,k), 又 B(,,), 則 QA =QB = k ( ) + ( ) + (k ) = k 9 k =, 故球面 S 的方程式為 (x ) + (y ) 9 + (z ) 8 = 繪一球面 S:(x ) + (y + ) + (z ) = 及一點 A(,0,0), 以 A 為球心 而與 S 相切的球面有二個, 一為外切, 一為內切, 則 () 外切時的球面方程式為 () 內切時的球面方程式為 解答 () (x + ) + y + z = 4 () (x + ) + y + z = 6 S:(x ) + (y + ) + (z ) =, 球心 Q(,,), 半徑 r =,A(, 0,0) AQ = = > r A 在球面外 () 兩球外切時, 球之半徑為 AQ r = =, 所求球面方程式為 (x + ) + y + z = 4 () 兩球內切時, 球之半徑為 AQ + r = + = 4, 所求球面方程式為 (x + ) + y + z = 6. 球面 S:x + y + z 4x 8y 4z = 0 外一點 P(4,,), 過 P 任作一直線交球面於 Q,R 兩點, 則 PQ PR 的值為 9 解答 - -

13 S:x + y + z x 4y z = 0 (x ) + (y ) + (z ) =, 球心 A(,,), 半徑 r = P(4,,) 到 S 之切線段長 PT = PA r 由切割線定理知 PQ PR = PT = 9 = = 4. 空間中, 球面 S:(x ) + y + (z + 4) = 5 被平面 x = 切割的截面圓方程式 為 y + ( z + 4) 解答 x = = 4 S:(x ) + y + (z + 4) = 5 E:x =, 代入 y + (z + 4) = 4 y + ( z + 4) 截圓方程式為 x = = 4 5. 如下圖, 在球面 S 中, 球心 O 的同一側有距離為 9 的兩平行截面 (E,E 距離 為 9), 所截圓的面積各為 49π,400π, 求 S 半徑 = 解答 5 x = r ( x + 9) + 49 = r, 得 x = 5 代入 得 r = 5 - -

14 6. 球面 (x ) + (y ) + (z ) = 9 上任一點 P, 一定點 A(0,,), 求 () PA 的最小值為 () PA 最小時,P 點的坐標為 解答 () () (,, + ) 球面 (x ) + (y ) + (z ) = 9, 球心 Q(,,), 半徑 r =, 定點 A(0,,) AQ = + + = < r A 點在球面內部 () PA 的最小值 = r AQ = () 由 () 知 AQ : AP = : ( ) QA : QP = : \ QP = QA = (,, ) = (,, ) OP = OQ + (,, ) = (,, ) + (,, ) = (,, + ) 7. 設 a 為實數, 若方程式 x + y + z + ax 4y + z (a + a ) = 0 的圖形是半 徑為 的球面, 則 a = 或 解答 x + y + z + ax 4y + z (a + a ) = 0 (x + a) + (y ) + (z + ) = - 4 -

15 a + a + a + a + = 9 (a + )(a ) = 0 a = 或 8. 以 A(0,,5),B( 6,0,) 為直徑兩端點的球面 S, 求 () S 的方程式為 () S 被 xy 平面截出圓的面積為 () S 截出 z 軸的線段長為 解答 () x + y + z 4x y 6z + 5 = 0 () 5π () 4 () 球面上任意點 P(x,y,z), AP BP = 0 (x 0,y,z 5).(x + 6,y 0,z ) = 0 (x 0)(x + 6) + (y )(y 0) + (z 5)(z ) = 0 x + y + z 4x y 6z + 5 = 0 () 令 z = 0 得 x + y 4x y + 5 = 0 (x ) + (y 6) = 5 圓面積 5π () 設與 z 軸交點 (0,0,t) 代入,t 6t + 5 = 0 t =,5 得兩交點 (0,0,),(0,0,5), 此線段長為 5 = 4 9. 有一球面過點 A( 4,, ) 與點 B(,,), 若球心在 z 軸上, 則其半徑為 7 解答 6 球心 Q 在 z 軸上 設球心為 Q(0,0,c) 由 QA=QB = 半徑 QA = QB (c + ) = (c ) c = 6 7 球面半徑為 QA = = 設球面方程式為 x + y + z x + y = = 7, 若有一直線 L: 交球面於 P,Q 兩 z = 點, 則線段 PQ 之中點坐標為 - 5 -

16 解答 ( 5, 5 6,) x = t L: y = t 代入球面 S:x + y + z = 7 z = 得 5t t 9 = 0,(5t + )(t ) = 0,t =, 代入 L 5 6 得 P(,,),Q(,,) 中點為 (,,) 球面 (x ) + (y + ) + (z 9) = 6 的內接正方體的體積為 解答 9 球之內接正方體之體積與球心位置無關 球的半徑 6, 設球心 O, 內接正方體的邊長 a, 則球心到每一面的距離 a 面之對角線長 a, 由畢氏定理知 :6 = ( a ) + ( 4 a ) a = 48,a = 正方體的體積 = a = 48 4 = 9. 球面 S 與 y 軸交點的 y 坐標 (y 截距 ) 為 及 5, 又過點 A(,,0),B(,,), 則球面 S 的方程式為 解答 x + y + z x 4y + 8z 5 = 0 由 S 的 y 截距為 及 5 (y + )(y 5) = 0 二根為 及 5, 即 y 4y 5 = 0 二根為 及 5 設 S:x + y + z + ax 4y + bz 5 = 0 過 A(,,0),B(,,) a + 4 = 0 a + b = 6 a =, b = 8,S:x + y + z x 4y + 8z 5 = 0-6 -

17 . 若 x + y + z x + 4y 4z 55 = 0, 則 () x + y + z 的最大值為 () (x ) + (y + ) + (z 4) 之最小值為 解答 () 5 () 5 x + y + z x + 4y 4z 55 = 0 (x ) + (y + ) + (z ) = 64, 球心 O(,,), 半徑 r = 8 () 利用柯西不等式得 ( + + )[(x ) + (y + ) + (z ) ] [(x ) + (y + ) + (z )] 9 64 (x + y + z ) 4 x + y + z 4 x + y + z 5 x + y + z 的最大值為 5 () 設 A(,,4), 則 OA = ( ) + ( + ) + (4 ) = (x ) + (y + ) + (z 4) 的最小值 = (r OA ) = (8 ) = 5 4. 若 x + y + z kx 4ky + z + 4k + k + 4 = 0 之圖形為球面, 求 k 的範圍 解答 k > 或 k < x + y + z kx 4ky + z + 4k + k + 4 = 0 (x k) + (y k) + (z + ) = 4k k 4 + k + 4k + = k k 圖形為球面 k k > 0 (k )(k + ) > 0 k > 或 k < 5. 空間中四點 A(0,0,),B(,0,),C(,4,),D(,,5), 則四面體 ABCD 的外接球面方程式為 解答 x + y + z x 4y 6z + 5 = 0 設外接球面方程式為 x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 將 A(0,0,),B(,0,),C(,4,),D(,,5) 代入得 + f + g = d + f + g = d + 4e + f + g = d + e + 5 f + g = 0 f + g = d + f + g = 5 d + 4e + f + g = d + e + 5f + g = 4-7 -

18 4e + f + g = 代入 得 d = 4,d =, 代入, 得 e + 5 f + g = 7 得 e f = 4, 得 4e + f = 由, 得 e = 4,f = 6 代入 得 g = 5 所求方程式為 x + y + z x 4y 6z + 5 = 0 6. 以 A(,,) 和 B(,6,7) 為直徑兩端點的球面方程式為 解答 (x + ) + (y 4) + (z 5) = 9 以 A(,,) 和 B(,6,7) 為直徑兩端點的球面方程式為 (x + )(x + ) + (y )(y 6) + (z )(z 7) = 0 即 x + y + z + 4x 8y 0z + 6 = 0, 即 (x + ) + (y 4) + (z 5) = 9 7. 設空間中一球面通過兩點 (0,,) 與 (4,0,0), 而球心在 z 軸上, 求此球面 方程式 解答 x + y + (z + ) = 0 設球心 (0,0,c),(0 0) + ( 0) + ( c) = (4 0) + (0 0) + (0 c) c = (0,0, ) 與 (4,0,0) 距離 = 0 球面方程式 :x + y + (z + ) = 0 8. 一平面 x + 6y + z 8 = 0 與三坐標軸相交於 A,B,C 三點,O 為原點, 則 四面體 O-ABC 之內切球之球心為 解答 (,,) 設球心為 (r,r,r), 半徑為 r,r > 0, r + 6r + r 8 r 8 = r = r 球心與原點在平面之同側 8 r = 7r r =, 故球心為 (,,) 9. 令 A(,,0),B(,, ), 則滿足 PA = PB 的一切點 P 的圖形之方程式 為 解答 x + y + z 4x 0y + 8z + = 0 P(x,y,z) 在圖形上 PA = PB PA = 4PB (x ) + (y + ) + z = 4[(x ) + (y ) + (z + ) ] x + y + z 4x 0y + 8z + = 0-8 -

19 40. 球面 S:x + y + z + x 4y 4 = 0, 一點 P(,0,), 過 P 點與 S 相切的平面 方程式為 解答 x y + z = = 0 P 點在球面上 S:(x + ) + (y ) + z =, 球心 A(,,0), AP \ = (,,) 設 Q(x,y,z) 為切平面上任一點, 則 y,z ) = 0 AP PQ (,,).(x, (x ) y + (z ) = 0 x y + z = 0 為所求 4. 一球面 S 過點 A(,,5),B(7,, ), 且球心 Q 在直線 L:x y z + = = 上, 則球面 S 的半徑為 解答 5 設球心 Q(t +, t,t ) A,B S AQ = BQ = 半徑 r AQ = BQ t + (t + ) + (t 8) = (t 6) + (t + ) + (t ) t = Q(,,0) 半徑 r = AQ = 5 4. 球面 S:x + y + z = 0 上有兩點 A(,0, ),B(, 5,), 一隻螞蟻沿著球面由 A 爬行至 B, 其最小的路程為 0 解答 π - 9 -

20 球心為 O(0,0,0), 半徑為 0, OA = (,0, ), OB = (, 5,) OA OB = OA OBcosθ 5 = 0 0 cosθ cosθ = θ = 0 ( AB 長 = π ( 0) = π 螞蟻爬行的最小路程為 π 已知空間中二定點 A(,,),B(,,4) 及動點 P(x,y,z) 滿足 PA : PB = :, 則 P 點所成圖形的方程式為 解答 x + y + z x + 0y + 6 = 0 A(,,),B(,,4),P(x,y,z) 滿足 PA : PB = :, 即 PB = PA, PB = 4PA (x ) + (y ) + (z 4) = 4[(x ) + (y + ) + (z ) ] 展開得 x x + y 6y + z 8z + 6 = 4(x + y + z x + 6y z + ) x + y + z 6x + 0y + 8 = 0 x + y + z x + 0y + 6 = 已知球面 x + y + z x + 4y + 6z 8 = 0 與 x 軸交於 A,B 兩點, 則 AB 的長為 解答 6 設球面 x + y + z x + 4y + 6z 8 = 0 與 x 軸交點為 (a,0,0) 代入得 a a 8 = 0 (a + )(a 4) = 0 a =,4 故交點 A,B 的坐標分別為 (,0,0),(4,0,0), AB = 4 ( ) = 通過四點 O(0,0,0),A(,0,0),B(0,,),C(,0,) 的球面方程式為 解答 x + y + z x y z = 0-0 -

21 設通過四點 O(0,0,0),A(,0,0),B(0,,),C(,0,) 的球面方程式 為 x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 則 g = 0, + d + g = 0, + + e + f + g = 0, + + d + f + g = 0 g = 0 + d = 0 d =,f =,e =,g = 0 e + f + = 0 d + f + = 0 故所求球面方程式為 x + y + z x y z = 球面 x + y + z 6x + 9y = 0 的球心坐標為, 半徑為 解答 (,,0), 6 4 x + y + z x + y = 0, 配方得 (x ) + (y + ) + z 47 = 球心 (,,0), 半徑 47 = 令 O(6,,0), 而點 Q 在球面 S:x + y + z = 4 上移動, 則 OQ 中點的軌跡方程式為 解答 (x ) + (y ) + z = 令 Q(a,b,c) S a + b + c a b c = 4 OQ 中點為 P( +, +, ) 設 x = + a,y = + b,z = c a = (x ),b = (y ),c = z 但 a + b + c = 4 [(x )] + [(y )] + (z) = 4 (x ) + (y ) + z = 48. 通過點 A(,,0) 與 B(,0,) 的平面 E, 若與球面 S:x + y + z = 相切, 則平面 E 的方程式為 解答 x y + z = 或 x + y + 6z = 7 x y z x y = 0 AB : = = AB: y + z = 0 設 E:(x y ) + t(y + z ) = 0, 即 E:x + (t )y + tz ( + t) = 0 - -

22 E 與 S:x + y + z = 相切 球心 O(0,0,0) 到 E 的距離 = 半徑 t ( t ) + t = t = 或 t = 6 E:x y + z = 或 x + y + 6z = 求過點 A(,5,) 且與球面 S:x + y + z x 4y + 6z = 5 相切的平面方程 式 解答 x + y + 6z 9 = 0 球面 S:x + y + z x 4y + 6z = 5 (x ) + (y ) + (z + ) = 49 球心 O(,, ), 半徑 = 7, 將 A(,5,) 代入 S 得 = 5 故 A 在球面 S 上, 即 A 為切點, OA = (,,6) 故平面方程式可設為 x + y + 6z + k = 0, 又過 (,5,) k = 0 k = 9 平面方程式為 x + y + 6z 9 = 0 x 50. 求直線 L: y = = z 與球面 S:x + y + z z + 7 = 0 的交點坐標 4 解答 (,,4) 及 (,,8) 設交點坐標為 ( t +,t,4t), 代入 S 方程式得 ( t + ) + t + (4t) (4t) + 7 = 0 t t + = 0 t = 或 二交點為 (,,4) 及 (,,8) 5. 設 (x,y,z) 為球面 x + y + z = 上一點, 則 x + y z 的最大值為, 最小值為 解答, 解 利用柯西不等式 ( + + ( ) )(x + y + z ) (x + y z) 9 (x + y z) x + y z 最大值為, 最小值為 解 利用幾何性質 x + y z = k 表一組平行平面, 令平面與球面 x + y + z = 相交 即 k k + + ( ) k - -

23 最大值, 最小值 5. 已知球面 S:x + y + z x y 7 = 0, 求過點 P(,, ) 且與球面 S 相 切的平面方程式為 解答 x y z 8 = 0 球面 S:x + y + z x y 7 = 0 (x ) + (y ) + z = 9, 球心 (,,0) 又 ( ) + ( ) + ( ) = 9 P(,, ) 在球面上 方法 所求之切平面方程式為 ( )(x ) + ( )(y ) + ( )z = 9, 即 x y z 8 = 0 方法 切平面法向量 n v = (,, 0) = (,, ) 設切平面方程式為 x y z + k = 0, 過 P(,, ) k = 0 k = 8, 即切平面方程式為 x y z 8 = 0 5. 點 P(,,) 到球面 S:(x + ) + y + z = 0 的切線段長為, 所有 切點形成一個圓, 此圓所在平面方程式為 0 0 解答 () 7 () x + y + z = 8 () (,, ) 7 7 7, 圓的圓心坐標為 S:(x + ) + y + z = 0 的球心 Q(,0,0), 過 P(,,) 作球的切線, 一切點 T () 切線段長 PT = PQ r = ( ) 0 = 7 () 所有切點所成的圓即以 P 為中心, PT 為半徑的球面 S 與球面 S 的交圓 此圓所在平面 E 即為兩球的根平面,S 的方程式為 (x ) + (y ) + (z ) = 7 平面 E 的方程式為 [(x + ) + y + z 0] [(x ) + (y ) + (z ) 7] = 0 即 x + y + z = 8 - -

24 () 兩球面交圓的圓心為球心連線 PQ 與平面 E 的交點, 直線 PQ 的方程式 : x + y z = = 設圓心 R( + t,t,t) 代入 E:x + y + z = 8 得 ( + t) + (t) + (t) = t =, 故 R (,, ) ()S:x + y + z + (m + )x + my + mz + 4m + 4m = 0, 若 S 表一球, 則 m 之範圍是 () 承上題, 若此球之半徑為, 則球心為 解答 () < m < () (0,,) () (x + m + ) + (y + m) + (z + m) = (m + ) + m + m 4m 4m + = m m + S 表一球 r = m m + > 0 m + m < 0 < m < () r = m m + = 4 m + m + = 0 m = 隨之, 圓心 = ( m, m, m) = (0,,) 55. 設球面 S:(x ) + (y ) + (z + ) = 4,E 為 S 上一點 (,,) 之切平面, 則 點 (,,4) 與平面 E 的距離為 解答 球心 O(,, ),P(,,) 在 E 上,Q(,,4) 4 OP = (0,0,) E:z =,d(q,e) = = 56. 求平面 E:x + y + z = 與球面 S:x + y + z + x 4y = 所交之圓的圓心 坐標 解答 (,, ) 球面 S:x + y + z + x 4y = (x + ) + (y ) + z = 6, 球心 A(,,0) 平面 E:x + y + z =, 法向量 n v = (,,) 設圓心 B(x,y,z), 則 AB = (x +,y,z) // (,,) (x +,y,z) = t(,,),t R (x,y,z) = (t,t +,t) 代入平面 E - 4 -

25 4 t + (t + ) + t = t = (x,y,z) = (,, ) 57. 兩個球面 S :x + y + z = 4 與 S :(x ) + (y ) + (z + ) = 9 交於一圓 C, 則包含圓 C 的所有球面中, 最小的球面方程式為 解答 x + y + z x y + z = S :x + y + z = 4,S :x + y + z x 4y + 4z = 0 S,S 的交圓 C 所在平面 E 為 x + 4y 4z = 4, 即 x + y z = 包含圓 C 的最小球面即以圓 C 為大圓的球面, 即球心在平面 E 上 設此球面方程式為 (x + y + z 4) + t(x + y z ) = 0 化簡 x + y + z + tx + ty tz t 4 = 0 球心 ( t, t,t) 在 E:x + y z = 上 t 所求球面方程式為 x + y + z x y + z = t t = t = 9 x y + z 58. 若直線 L: = = 與球面 S:x + y + z = r 相切, 則半徑 r 的長 =, 切點坐標為 5 4 解答 5, (,, ) x y + z 直線 L: = = 與球面 S:x + y + z = r 相切, 即球心 O(0,0,0) 到 L 的距離等於球的半徑 r 設 L 上一點 P( + t, + t, + t) 且 OP L, 則 OP.(,,) = 0 ( + t, + t, + t).(,,) = 0 + t + ( + t) + ( + t) = 0 9t + = 0 t = = 9 r = OP = ( ) + ( ) + ( ) = 5, 切點即為 P 點, 其坐標為 5 4 (,, ) - 5 -

26 59. 球面 S 與平面 x y z = 7 相切於點 A(,, ) 且半徑, 則 S 之方程式為或 解答 (x 4) + (y + ) + (z + ) = 9 或 (x ) + (y ) + (z ) = 9 球面 S 切平面 E:x y z = 7 於點 A(,, ), 球心 P 0 在垂直 E 於 A 點的直線上 x = + t P0 A 的方程式為 y = t 設 P 0 ( + t, t, t), 則 P 0 A = z = t t + + 4t 4t = t = t = ± 球心 P 0 (4,, ) 或 P 0 (,,) 故 S 的方程式為 (x 4) + (y + ) + (z + ) = 9 或 (x ) + (y ) + (z ) = 球面 S :x + y + z 6x + 8 = 0 上任一點 P, 球面 S :x + y + z + x + 4y + 4z + 4 = 0 上任一點 Q, 則 PQ 的最小值 =, 最大值 = 解答 () 6 5 () S :(x ) + y + z =, 球心 O (,0,0), 半徑 r = S :(x + ) + (y + ) + (z + ) = 5, 球心 O (,, ), 半徑 r = 5 O O = = 4 = 6 > r + r S 與 S 外離 故 PQ 的最小值 = O O r r = 6 5, PQ 的最大值 = O O + r + r = 球面 S:x + y + z + x + 4y + 4 = 0 上任一點 P 到平面 E:x y + z = 6 的最 大距離 =, 最小距離 = 解答 () () S:(x + ) + (y + ) + z =, 球心 A(,,0), 半徑 r = A 到平面 E:x y + z = 6 的距離 d(a,e) = = = 則 S 上任一點 P 到 E 的距離最大值 = d(a,e) + r = + =, 最小值 = d(a,e) r = = - 6 -

27 6. 已知一球面 S:x + y + z x + 4y z = 0, () 球心坐標為 () 若平面 x + y + z + k = 0 與 S 相切, 則實數 k 之值 = 解答 () (,,) () ± S:(x ) + (y + ) + (z ) = () 球心 P(,,), 半徑 () 平面 E:x + y + z + k = 0 與球面 S 相切 球心 P 到 E 的距離 = S 的半徑 + + k = k = ± 設一球面的方程式為 x + y + z + x + y 5z = 0, 若此球面與 z 軸相 交於 A 及 B 兩點, 求 A,B 兩點的距離 = 解答 7 球面 S:(x + ) + (y + ) 5 + (z ) 5 =, 球心 O (,, ) P(0,0,c) 在 z 軸上, OP = (0 + ) + (0 + ) 5 + (c ) 5 = (c ) OP 最小值 =, AB = = = 有一球面 S 與平面 E:x y + z 4 = 0 相切於 M(,5,7) 且過另一點 N(6,, ), 求 S 之方程式為 ( 以 x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 形式表之 ) 解答 x + y + z x 4z + 5 = 0-7 -

28 v AM E, 故 AM // n = (,,), 設球心 A( + t,5 t,7 + t), 而 R = AM = AN 4t + t + t = (t 5) + ( t) + (t + 6) ),R = 50 t = 5, 得球心 A(,0, 故 S:(x ) + y + (z ) = 50, 即 S:x + y + z x 4z + 5 = 0 x 65. 求直線 L: 解答 6 y z = = 與球面 S:x + y + z = 6 相交所截出的弦長 = 設球心 P(0,0,0) 到 L 之垂足 Q 為 ( + t, t, t) v PQ = ( + t, t, t) L 之方向向量 d = (,, ) v PQ. d = + t + t + 4t = 0 t = 5 PQ = 所求 = AB = AQ = PA PQ =, 則 PQ = ( 5 6 = 6 5 5,,0) 66. 點 P(6,, ), 球面 S:x + y + z 4x + 6y + z + 0 = 0, 點 Q 在 S 上, 當 Q 坐標為時, PQ 有最小值 解答 (,, ),4-8 -

29 球面 S:(x ) + (y + ) + (z + ) = 4, 球心 A(,, ), 半徑 r = () 最短距離 = AP R = 6 = x = = + ( ) + 5 () AQ : PQ = :4 = :, 由分點公式 Q y = = + ( ) + ( ) 5 z = = 已知一球面 S:x + y + z x + x + 4y z = 0, 直線 L: 球面 S 相交於 A,B 兩點, 則 AB 中點坐標為 5 解答 (,, ) y + = = z 與 x = + t 已知 L: y = + t 及球心 P(,,), 球心 P 到 L 之垂足 Q 即為 AB 之 z = t 中點 v 設 Q( + t, + t, t), PQ = (t,t, t) 方向向量 d = (,, ) - 9 -

30 v 5 由 PQ. d = 0 得 t =, 故 AB 之中點 Q 為 (,, ) 68. 球面 S 與 xy 平面截出一圓, 其方程式 :x + y + x 4y 5 = 0, 與 xz 平面截 出一圓, 其方程式為 x + z + x + 6z 5 = 0, 試求 S = 解答 (x + ) + (y ) + (z + ) = 49 由球面 S 與 E xy :z = 0 截出一圓 :x + y + x 4y 5 = 0 可設 S:x + y + z + x 4y + fz 5 = 0, 又 xz 平面為 E xz :y = 0 代入 得 x + z + x + fz 5 = 0 與 x + z + x + 6z 5 = 0 同義, 即 f = 6 故 S:x + y + z + x 4y + 6z 5 = 0, 即 S:(x + ) + (y ) + (z + ) = 設一球面 S:(x ) + y + (z + ) = 49, () 過點 (,,4) 與 S 相切的平面方程式為 () 點 Q(,, ) 到球面 S 的最短距離為 解答 () x + y 6z + = 0 () 7 () P(,,4) S, 故平面之法向量 n v = PA = (,, 6), 且平面又過 P 點 得平面方程式為 (x ) + (y + ) 6(z 4) = 0 x + y 6z + = 0 () 最短距離 = AQ r = 7 = 設球面 S:x + y + z x y + 4z = 0 與平面 E:x + y z 4 = 0 相交 於一圓, 則此圓的面積為, 圓心坐標為 4 解答 () 8π () (,, ) () 球面 S:(x ) + (y ) + (z + ) =, 球心 A(,, ), 半徑 r = AB = d(a;e) = = - 0 -

31 圓半徑 r = BC = AC AB = = 8 圓面積 = πr = 8π x = + t () AB : y = + t,t R, 其中平面 E 之法向量 n v = (,, ), 即為 AB z = t 之方向向量 4 令 B( + t, + t, t) 代入 E, 得 t =, 即圓心 B (,, ) x 若直線 L: y = = 兩點, 則 AB = 解答 z 與球面 S:(x + ) + (y ) + z = 8 相交於 A,B 球心 P(,,0) 到 L 之垂足 Q 為 ( 5 + t, + t, t) 而 PQ = (t 4,t, t) L 之方向向量 d v = (,, ) PQ. d v = 0 得 t =, 故 Q (,, ) 所求 = AB = AQ = AP PQ = 8 6 = 7. 假設地球為一圓球, 半徑 6400 公里, 以地心為原點, 南北兩極在 z 軸上, 向北為正, 赤道為於 xy 平面上, 過零度經線為 xz 平面, 零度經線以東之 y 坐標為正, 若 A = ( 東經 0, 北緯 0 ), 則 A 之直角坐標為 解答 ( 600,4800,00) - -

32 設 A 之坐標為 (x,y,z), 則 x = (6400cos0 )cos0 = 600 y = (6400cos0 )sin0 = 4800,z = 6400sin0 = 00, 故 A( 600, 4800,00) 7. 已知平面 x + y + z = 4 與球面 S:x + y + z + 4x y + z = 0 相交於圓 C, 求 () 此圓半徑長 = () 若圓心坐標為 P(a,b,c), 則 a + b + c = 解答 () 5 () 0 () 球面 S:(x + ) + (y ) + (z + ) = 9 之球心 A(,, ), 半徑 R = + 4 AP = d(a;e) = =, 圓半徑 = PC = AC AP = 9 4 = 5 x = + t () AP : y = + t,t R z = + t ( 平面 E:x + y + z = 4 之法向量 n v = (,,) 為直線 AP 之方向向量 ) 設圓心 P( + t, + t, + t) 代入平面 E:x + y + z 4 = 0, 得 t = - -

33 則圓心 P(a,b,c) = (,, ), 故 a + b + c = + + = 四平面 x = 0,y = 0,z = 0 與 x + y + z = 0 所圍成的四面體之內切球的半 徑為 ( 答案唯一, 寫出兩個不予計分 ) 解答 4 內切球 S 與三坐標平面均相切 設 S 之球心 A(r,r,r), 半徑為 r r + r + r 又 S 與平面 E:x + y + z = 0 相切 d(a;e) = = r 得 r = 4 或 r = ( 不合, 因此時球心 A(,,) 及 O(0,0,0) 在平面 E:x + y + z = 0 之異側 ) 75. 二球面 S :x + y + z = 5,S :x + y + z y 4z =,S 與 S 之交點形成 一個圓 C, 其圓心 (a,b,c), 圓面積為 A, 則序組 (a,b,c,a) = π 解答 (0,,, ) 圓 C 所在平面 E:S S = 0 E:(x + y + z 5) (x + y + z y 4z ) = 0 E:y + z 7 = 0 PQ E, 故 PQ // n v = (0,,), 可設圓心 Q(0, t,t) 7 將 Q(0,t,t) 代入 E:y + z 7 = 0 t + 4t 7 = 0 t = 故圓心 Q(a,b,c) = (0,, ) 5 5 圓半徑 r =QM = PM PQ = 45 5 = = 5 5 故圓面積 A = πr π = π (a,b,c,a) = (0,,, )

34 x y 直線 L: = 為 解答 4 = z 被球面 S:x + (y + ) + (z + ) = 9 截出之線段長 Q L 設 Q( + t, t, + t) PQ = ( + t) + ( t) + ( + t) = 6(t + ) + 5 當 t = 時, PQ 有最小值 5, 即 d(p;l) = 5 所求截線段 = AB = AQ = PA PQ = 5 = 4 x + y + z + x y 4z = 已知 k < 0, 方程組 恰有一組解 (x,y,z), x + y + z + k = 0 () 求 k = () 此時方程組的解 = 解答 () () (,,) () 恰有一組解, 表球面 S:(x + ) + (y ) + (z ) = 9 與平面 E:x + y + z + k = 0 相切 k 故 d(a;e) = = k = 或 k = 7( 不合, 因 k < 0) () 若切點為 P, 則 AP E, AP \ // n v = (,,) 設 P( + t, + t, + t) 代入 E:x + y + z = 0 t = 故其解為 (,,) 78. 平面 y z = 截球面 x + y + z = 4 於一圓, 則此圓的圓心坐標為 - 4 -

35 , 設此圓投影到 xy 平面上的曲線方程式為 x + ay + bx + cy + d = 0, 則 a + b + c + d = 解答 () (0,, ) () () 自 O(0,0,0) 作平面 y z = 的垂線 x = 0, y = z x = 0 y = t z = t 代入 y z =, 得 t + t = t = 得點 (0,, ) 為所求圓心 ( 圓心為球心在平面 y z = 上的正射影 ) () y z = z = y 代入 x + y + z = 4 得 x + y + (y ) = 4 x + y 4y = 0 此為圓在 xy 平面上投影的曲線方程式 a + b + c + d = = 79. 球面 S:x + y + z x = a 與直線 L: 解答 6 5 y + = z = 相切, 則實數 a = B 直線 L, 設 B( + t, + t, + t) AB = ( t + t ) + ( + t) + ( + ) = 當 t = 時, AB 有最小值 6 6( t + ) , 即半徑 r = d(a;l) = 6 5, 故 a = r 5 = 設點 P(a,b,c) 為球面 S:(x + ) + (y ) + z = 上距離直線 L: x y = z + = 最近的一點, 求 () (a,b,c) = () 此點 P 與 L 的距離為 解答 () (,, ) () - 5 -

36 設球心 A(,,0) 到直線 L 之垂足為 B, 則 B( + t, + t, + t) 而 AB = (4 + t, + t, + t) L 之方向向量 d v = (,,) v AB. d = 0 9t + 9 = 0 t =, 則 B(,0, ) 故 P 與直線 L 的距離 = BP = AB AP = = ( ) ( ) 由分點公式 P(a,b,c) = (,, ) = (,, ) 8. 空間中一點 A(,, ) 到球面 x + y + z + 4x 6y + 8z + 5 = 0 最短距離為 d, 最遠距離為 D, 切線長 k, 則序對 (d,d,k) = 解答 ( 9, 9 +, 5 ) 球面 S:(x + ) + (y ) + (z + 4) =, 球心 P(,, 4), 半徑 R = 最短距離 = AP r = 9, 最長距離 = AP + r = 9 + 切線長 = + + ( ) = 5 8. 點 P(,6, 5) 在球面 S:x + y + z 6x + 4z + k = 0 上, 若平面 E 與球面相切於 P 點, 則平面 E 的方程式為 解答 x 6y + z + 49 = 0-6 -

37 球面 S:x + y + z d e f 6x + 4z + k = 0, 則球心 Q(,, ) = (,0, ) 平面 E 之法向量 n v = PQ = (, 6,), 設平面 E:x 6y + z + f = 0 P(,6, 5) 代入 E f = 49 E:x 6y + z + 49 = 0 x 8. 設直線 L: 5 解答 (,, ) y + z = = 與球面 S:x + y + (z + ) = r 相切, 則切點坐標為 x = + t L: y = + t,t R, 取切點 P( + t, + t,t) z = 0 + t 則 AP = ( + t, + t,t + ) d v = (,,) v AP. d = 0, 即 9t + = 0,t = 5 切點 P 為 (,, ) 84. 設 A(,, ),B(,,), 通過 A 與 B 的平面 E 與球面 S:x + y + z = 截出的所有圓中, 面積最小值 = 解答 π,x + y z = 0, 此時平面 E 的方程式為 x = AB = (0,,) = (0,,), 直線 AB 的方程式 y = + t 代入 x + y + z = z = + t - 7 -

38 + ( + t) + ( + t) = t t + = 0 (t )(t ) = 0 t =, 直線 AB 與球面 S 的交點為 P(,0, ),Q(,,0), PQ 中點 M(,, ) 則包含 A,B 的平面 E 與 OM 垂直時, 截圓面積最小, 此圓即以 PQ 為直徑的圓 () 設最小圓的半徑 r, 則 r = ( PQ ) = ( ) = 圓面積為 π _ () 平面 E 以 OM = (,, ) 為法向量且過 A(,, ) E 的方程式為 (x ) + (y + ) (z + ) = 0, 即 x + y z = 0 說明 直線 AB 與球面不相交時, 沒有最小圓 通過 A,B 之平面 E 與球面所交最大圓為球的大圓, 即平面 E 通過球心時所截 出的圓 85. 點 P(x,y,z) 為球面 S:(x ) + (y ) + (z ) = 6 上任一點, () 求 6x y z 之最大值為 () 求 ( x 4) + ( y + 4) + ( z 5) 之最小值為 解答 () () () 由柯西不等式 [(x ) + (y ) + (z ) ][6 + ( ) + ( ) ] [6(x ) (y ) (z )] 6 49 (6x y z + 7) 8 6x y z x y z, 故最大值為 () 設 P(x,y,z) S,Q(4, 4,5) 則所求 = AQ R ( 其中 A(,,) 及 R = 4 分別為 S 之球心及半徑 )= 7 4 = 86. 通過兩點 (,,) 與 (0,0,k) 的直線與球面 x + y + z = 相切, 則 k 的值為 ± 65 解答 4-8 -

39 () 通過兩點 (,,),(0,0,k) 的直線 L 的參數式為 (x,y,z) = (0,0,k) + t(,, k) = (t,t,( k)t + k) () 直線 L 與球面 S:x + y + z = 相切, 設切點 (l,l,( k) l + k) 則 l + (l) + [( k) l + k] = [5 + ( k) ] l + k( k) l + (k ) = 0 有重根 判別式 D = 0 k ( k) [5 + ( k) ](k ) = 0 k ± + k 7 = 0 k = 球面 S 切平面 E:x y + z = 0 於點 P(,,0), 且過點 Q(0,,0), 則球面 S 方程式為 解答 (x + ) + (y ) + (z + ) = 6 AP E AP // 平面法向量 n v = (,,), 設球心 A( + t, t,t) AP = AQ 4t + t + t = ( + t) + ( t) + t t =, 即球心 A(,, ), 半徑 R = AP = 6 故球面 S 的方程式為 (x + ) + (y ) + (z + ) = 二球面 S,S 相交於一圓 C, 其中 S :x + y + z 4x 4y z + = 0,S :x + y + z x y 4z + 6 = 0, 則圓 C 之圓心為 解答 O(,0,) 此二球之根平面 E:S S = 0 E:x + y z + 5 = 0-9 -

40 圓 C 之圓心 O 為球心 O (,,) 在 E 上之投影 9 x =. = 9 y =. = 0 z = +. = O(,0,) 89. 若 (x,y,z) 為球面 S:x + y + z x 4y z = 0 上任一點, 則 x + y z 的最大值為 解答 6 解 S:(x ) + (y ) + (z ) =, 利用柯西不等式得 ( + + ( ) )[(x ) + (y ) + (z ) ] [(x ) + (y ) (z )] 6 9 (x + y z ) 6 x + y z 6 x + y z 之最大值 6 解 令 x + y z = k 表平面 E,E 與球面 S:(x ) + (y ) + (z ) = 相交 + k k 6 6 k 6 k 的 最大值為 球面 S 與 xy 平面交於圓 C :x + y 4x 6y + a = 0, 與 yz 平面交於圓 C :y + z + by z + c = 0, 又圓 C 與直線 x y = 8 相切 () 序對 (a,b,c) = () S 之中心坐標為, 半徑 = () S 與各坐標平面截出圓面積之和 = 解答 () (, 6, ) () (,,),5 () 6π 圓 C 變形為 (x ) + (y ) b = a, 圓 C 變形為 (y + ) + (z ) b = + 4 c 球面 S 之球心在 xy 平面上的正射影為 (,,0), 在 yz 平面上的正射影為 (0, b,) S 之球心為 Q(,,) 設 S 之半徑 r,s 之方程式為 (x ) + (y ) + (z ) = r

41 圓 C 與直線 x y = 8 相切 圓心 K(,) 到直線距離 KP = + 8 = 6 + ( ) r = QP = QK + KP = + ( 6) = 5 所求為 (x ) + (y ) + (z ) = 5 於 S 的方程式中, 令 z = 0 得 (x ) + (y ) = 4, 令 y = 0 得 (x ) + (z ) = 6 令 x = 0 得 (y ) + (z ) = 故 S 在三個坐標平面上截圓面積和為 ( ) π = 6π 9. 空間中原點 O, 點 P(,,), 以 P 為中心半徑 之球面 S,k 為異於 0 的實 數, 通過三點 (k,0,0),(0,k,0),(0,0,k) 的平面為 Π () 若平面 Π 與球面 S 相切, 則 k 的值為 () 若平面 Π 與球面 S 交於一圓 C, 圓 C 的面積為 解答 () ± () 或 4 π, 則 k 的值為 S:(x ) + (y ) + (z ) =,Π: x y z + + =, 即 x + y + z = k k k k () S 與 Π 相切 球心 P(,,) 到 Π 的距離 = 球的半徑 + + k = k = ± k = ±

42 k () d = d(p,π ) =, 又 d + = d = ( k) = k = ± k = 或 4 9.a 為實數, 二球面 x + y + z x 4y 6z = 0 及 x + y + z + x + y + 6z a = 0 相交, 則 a 的範圍為 解答 7 a = S :(x ) + (y ) + (z ) = 5, 球心 A(,,), 半徑 r = 5 S :(x + ) + (y + ) + (z + ) = a +, 球心 B(,, ), 半徑 r = a + 球心距離 AB = ( + ) + ( + ) + ( + ) = 7 S 與 S 相交 ( 含相切 ) r r AB r + r 5 a a a + 7 且 a + a + 4 a a 9. 設點 P(a,b,c) 在球面 S:(x ) + (y + ) + (z ) = 9 上移動, 則 a b + c 的範圍為 解答 9 4 a b + c P(a,b,c) S (a ) + (b + ) + (c ) = 9 由柯西不等式,[(a ) + (b + ) + (c ) ][ + ( ) + ] [(a ) (b ) + (c )] 9.4 (a b + c 9) a b + c a b + c a b + c 兩球面 S :x + y + z = 6 與 S :x + y + z x + y z 4 = 0 相交成一圓 C, 則圓 C 所在的平面 E 方程式為 解答 x y + z = 6 由 (x + y + z 6) (x + y + z x + y z 4) = 0 x y + z = 0 x y + z = 球面 S 過點 A(,,), 又與平面 E:x + y + z = 7 相切於點 B(,,0), 則球面 S 的方程式為 - 4 -

43 解答 x + (y ) + (z + ) = 6 x y z 過 B 而垂直平面 E 的直線 L: = =, 令球心 Q(t +,t +,t) QA = QB (t + ) + (t + ) + (t ) = t + (t) + t t = 球心 Q(0,, ), 半徑為 6 S:x + (y ) + (z + ) = 設 abc 0,O 是原點, 若平面 E 與球面 S:x + y + z = 相切於點 P(a,b, c), 且平面 E 與三坐標軸交於點 A,B,C, 則三角錐 O-ABC 的體積為 ( 以 a,b,c 表示 ) 解答 6 abc E 的法線向量 n v = (a,b,c), 又過 P(a,b,c) E:ax + by + cz = a + b + c P(a,b,c) S:x + y + z = a + b + c = E:ax + by + cz = 而 E 交 x 軸,y 軸,z 軸於 A( a,0,0),b(0, b,0),c(0,0, c ) 三角錐 O-ABC 的體積 = 6 a b c = 6 abc - 4 -

44 97. 已知球面 S:x + y + z x 4y + 4z = 0 與點 A(4, 4,4), 則球面 S 與 A 點距離最遠的點坐標為 解答 (0,4, 4) 球面 S:x + y + z x 4y + 4z = 0 (x ) + (y ) + (z + ) = 9 球心 O(,, ), 半徑 r =, AO = = 9 設最遠的點坐標 B(x,y,z) OB : AO = :9 = : OB = AO (x,y,z + ) = (,6, 6) (x,y,z) = (0,4, 4) 98. 求空間中一點 ( 4,4,4) 到球面 x + y + z 4x y + 4z = 0 上任一點 Q 的最長距離 = ; 此時之 Q 點坐標為 解答,(4,0, 4) 球面方程式 :(x ) + (y ) + (z + ) = 9 球心 O(,, ), 半徑 P( 4,4,4) 代入得 ( 4 ) + (4 ) + (4 + ) = 8 > 9 P 在球外 OP = 9 PQ = PO + OQ = 9 + = QP : QO = :, 由分點公式得 Q = (,, ) + ( 4,4,4) = (4,0, 4) 99. 平面 x + y + z = 截球面 (x ) + (y ) + (z ) = 於一圓, 求此圓的面積 = ; 若圓心坐標為 (a,b,c), 求 a + b + c =

45 π 解答, 平面 E:x + y + z =, 球面 S:(x ) + (y ) + (z ) =, 球心 O(,, ), 半徑 + + d(o,e) = = + + ( ) = C 面積,E 截 S 於一圓 C, 其圓心 P(a,b,c) π P 在 E 上 a + b + c = 00. 設球面 S 切平面 E:x y z = 5 於 A(,,), 又 B(,,) S, 則 S 之球心為 解答 (4, 4, ) 視點 A 為一點球, 可設之為過球與平面之交圓之球系 (x ) + (y + ) + (z ) + k(x y z 5) = 0 B(,,) S k( + 6 5) = 0 k = S:x + y + z 8x + 8y + z + 4 = 0, 故球心為 (4, 4, ) 0. 設球面 S 與平面 E 的方程式分別為 S:x + y + z 4x + 6z 6 = 0,E:x + y z + = 0, 若 S 與 E 所交圓之圓心為 (a,b,c), 試求 c = 圓面積為 5 0π 解答, 9 9 (a ):b:(c + ) = ::( ) a + b c + = 由 得 b = a 4,c = a +, 代入 得 a =, b =, c = S:(x ) + y + (z + ) = 49 其圓心 O(,0, ), 半徑 ( ) + d(o,e) = = + +, 又此

46 S 與 E 交圓半徑平方為 7 ( ) = 9 0, 故面積為 0π 9 0. 給定球面 S:x + y + z 4x + 6y = 0, () 試求通過點 (5,,) 且與 S 相切的平面方程式為 x y z () 若直線 L: = = 與球面 S 相交於 A,B 兩點, 求線段 AB 長 = 解答 () x + z = 9 () 4 S:(x ) + (y + ) + z = 圓心 O(,,0), 半徑 () Q(5,,) 代入 S 方程式得 (5 ) + ( + ) + = Q 在 S 上 平面 E 切 S 於 Q(5,,) OQ = (,0,) E:x + z = 9 () 設 L 上一點 P( + t,t, + t) OP = (t) + (t + ) + ( + t) = 4t + 4t + = 4(t + ) 9 + OP 最小值 = d(o,l) = 9 9 4, AB = =. = 4 0. 假設一地球儀的半徑為 R, 在北緯 0 的緯圈上, 由東經 0 的位置沿逆時 針方向東移到東經 60 的位置, 其所經的弧長為 解答 π R 設球心 O, 北緯 0 的小圓圓心 O, 半徑 r 在北緯 0 的緯圈上, 東經 0 的位置為 A, 東經 60 的位置為 B

47 ( π π AO B = 0,r = Rcos0 = R AB = r. = R = π R 平面 Π 與 z 軸之正向相交且與向量 a v = (,,) 垂直, 球面 S:x + y + z x y =, 與平面 Π 截出圓面積為 4π, 則 () Π 的方程式為 () 向量 b v = (,,) 在平面 Π 上正射影的長度為 解答 () x + y + z = 0 () () 平面 Π 的一法線向量 a v = (,,), 其方程式為 x + y + z + d = 0 球面 S:(x ) + (y ) + z =, 與平面 Π 截出圓面積 4π = π, 知圓的 半徑為 d 故球心 (,,0) 到平面 Π 的距離為 = d = d + = ± 9 d = 或 d = 6 但 Π 與 z 軸正向相交 Π 的 z 截距大於 0 z = d > 0 d =, 於是 Π 的方程式為 x + y + z = 0 () 與 a v 同方向的單位向量 e v v v a v a v, e = v = = a a + + b v = (,,) 在 a v 上正射影長為 BC v v BC = b. e = (,,).(,, ) = b v 在平面 Π 上正射影的長 AC = AB BC + + = 5 = v b BC = 5 ( ) =

48 05. 球面 S:x + y + z x 6y 4z = 0 與平面 E:x + y z + = 0 交於一圓, 則 () 此交圓的圓心為 () 交圓的面積為 解答 () (,,) () 6π () 球面 S:x + y + z x 6y 4z = 0 (x ) + (y ) + (z ) = 5, 球心 O(,,), 半徑 r = 5 設交圓圓心為 A(x,y,z) OA // (,, ) (x,y,z ) = t(,, ) (x,y,z) = (t +,t +, t + ) 在平面 E:x + y z + = 0 上 (t + ) + (t + ) ( t + ) + = 0 t = (x,y,z) = (,,) () r = r OA = 5 [( + ) + ( ) + ( ) ] = 6 交圓面積 = 6π 06. 設球 S:(x ) + (y + ) + (z ) = 00, () 已知 P(,5,0) 為球 S 上的一點, 則過 P 點與球 S 相切的平面方程式為 () 已知平面 E:x y + z = 4 與球 S 交於一圓, 則此交圓的圓心坐標為 解答 () y + 4z 55 = 0 () (7, 4,8) 球 S:(x ) + (y + ) + (z ) = 00, 球心 O(,,), 半徑 r = 0 v () 切平面過 P(,5,0), 其法向量 n = OP = (0,6,8) // (0,,4) 則切平面方程式為 (y 5) + 4(z 0) = 0, 即 y + 4z 55 =

49 () 設交圓圓心為 A(x,y,z) OA // (,,) (x,y +,z ) = t(,,) (x,y,z) = (t +, t,t + ) 在平面 E:x y + z = 4 上 (t + ) ( t ) + (t + ) = 4 t = (x,y,z) = (7, 4,8) 07. 已知球 S 方程式為 x + y + z 6x + y 0 = 0, 若直線 L:x = y = z 截球 於 A,B 兩點, 則 AB 中點為 ; AB 長為 解答 (,, ), S:x + y + z 6x + y 0 = 0 (x ) + (y + ) + z = = 5 (x ) + (y + ) + z 5 =, 球心 O(,,0), 半徑 r = 5 設 L 上任一點 P(t,t,t), 則 OP = (t ) + (t + ) + t = t + t + 5 = (t + ) 4 + 當 t = 時,OP 有最小值 d(o,l) = 4, 此時 P (,, ), 即 為 AB 中點 又 AB = r ( 4 ) = 5 4 = 08. 點 P 是球面 S:x + y + z x + 4y 6z + = 0 的動點, 當 P 到平面 E:x y z = 4 距離最小時, 點 P 之坐標為 解答 (,,)

50 S:(x ) + (y + ) + (z ) = 球心為 Q(,,), 半徑 r = 4 球心 Q 到平面 E:x y z 4 = 0 距離為 = 8 PQ = r = PH = 7 x L: = y + z =, 令 H(t +, t, t + ) L H E t = 8 H(9, 0, 5) QP : PH = :7 = :7 P(,,) 四 證明題 ( 第 題每題 0 分 ). 試證 : 過球面 x + y + z = r 上一點 (x 0,y 0,z 0 ) 的切平面方程式為 x 0 x + y 0 y + z 0 z = r 解答 見詳解 證明 x + y + z = r 的球心 O, 平面 E 與球面切於點 A(x 0,y 0,z 0 ) 設 P(x,y,z) 為平面 E 上任意一點, 則 OA E OA AP O. AP = 0 A \

51 (x 0,y 0,z 0 ).(x x 0,y y 0,z z 0 ) = 0 x 0 (x x 0 ) + y 0 (y y 0 ) + z 0 (z z 0 ) = 0 x 0 x + y 0 y + z 0 z (x 0 + y 0 + z 0 ) = 0, 又 A(x 0,y 0,z 0 ) 在球面 x + y + z = r 上 因此 x 0 + y 0 + z 0 = r 代入 式, 即得切平面方程式為 x 0 x + y 0 y + z 0 z r = 0 五 計算題 ( 第 ~8 題每題 0 分 ). 平面通過點 (,,) 且與球面 x + y + z = 相切, 所有切點形成一圓 C, 求 () 含圓 C 的平面方程式 () 圓 C 的圓心坐標 解答 () x + y + z = () (,, ) 點 A(,,) 到球面 S:x + y + z = 的切線段長 l,l = + + = 以 A 為球心,l 為半徑的球面 S',S' 之方程式為 (x ) + (y ) + (z ) = () S 與 S' 的共同點 ( 交集 ) 形成圓 C, 圓 C 所在平面 Π 即為 S 與 S' 之根平面 其方程式為 S S' = 0, 即 Π:x + y + z = x + y + z = () 設圓 C 之圓心 B, 則 AB Π 直線 AB 的方程式為 x = + t,y = + t,z = + t 代入 Π 得 ( + t) + ( + t) + ( + t) = t = B 之坐標為 (,, ) = (,, ). 設點 O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),abc 0, 求三角錐 O-ABC 的外接球面的方程式 解答 x + y + z ax by cz = 0 設 x + y + z + dx + ey + fz + g = 0 為所求 過 O(0,0,0) g = 0 A(a,0,0) a + da = 0 d = a( a 0) - 5 -

52 B(0,b,0) b + eb = 0 e = b( b 0) C(0,0,c) c + fc = 0 f = c( c 0) x + y + z ax by cz = 0 為所求. 球面 S:(x a) + (y b) + (z c) =, 球心 P(a,b,c), 原點 O(0,0,0), 若 S 與平面 E:ax + by + cz = 6 相交, 求 OP 的範圍 解答 OP 球面 S:(x a) + (y b) + (z c) = 與平面 E:ax + by + cz = 6 相交 a + b + c 6 a + b + c 6 a + b + c a + b + c 令 d = OP = a + b + c, 則 d 6 d d d 6 d d d d d 6 0 ( d + )( d ) 0 ( d )( d + ) 0 d d 或 d 又 d 0 d, 故 OP 4. 球面 S:(x + ) + y + z = 9, 平面 E 通過兩點 A(,0,),B(,,) 且與 S 截出圓 C 的面積為 7π, 求平面 E 的方程式 解答 x y = 0,x y + 4z 5 = 0 AB = (,,0), 直線 AB 的方程式為 x y =,z = 設 E:(x y ) + k(z ) = 0 x y + kz k = k 與圓心 (,0,0) 的距離 = = k + = + + k k + (k + ) = (k + ) k + 4k + 4 = k + 4 k = 0 或 k = 4 E:x y = 0 或 x y + 4z 5 = 0 說明 設 E:k(x y ) + (z ) = 0 時, 得 k = 4,E 只得一解為 x y + 4z 5 = 0, 此時有兩種可能 : () 直線 AB 與球面相切, 而 E 只有一解 () 直線 AB 與球面不相交,E 有二解, 而另一解即為 x y = 0-5 -

53 5. 求包含直線 x = + t,y = t,z = + t,(t R), 且與球面 (x ) + y + (z + ) = 4 相切之平面方程式 解答 x y z = 0,x + y + z 5 = 0 y z + 直線 l:x = + t,y = t,z = + t x = = x + y 4 = 0 y + z = 0 設包含 l 的平面 E:(x + y 4) + k(y + z ) = 0 即 x + (k + )y + kz k 4 = 0 與球面 (x ) + y + (z + ) = 4 相切 球心 (,0, ) 到 E 的距離為 + 0 k k 4 = ( 4k ) = 4(k + k + 5) k + k = ( k + ) + k (k )(k + ) = 0 k =, 代入 故所求平面方程式為 x y z = 0 及 x + y + z 5 = 0 6. 平面 E:x + y + z = 8 與三坐標平面圍成一個四面體, 試求此四面體的內切 球方程式? 解答 (x ) + (y ) + (z ) = 球面 S 與三坐標平面均相切 設球心 A(r,r,r) 及球半徑為 r 又球面 S 與平面 E:x + y + z 8 = 0 相切 r + r + r 8 故 d(a;e) = = r r = 及 r = (r = 4 不合, 因此時球心 A(4,4,4) 與 O(0,0,0) 在平面 E:x + y + z 8 = 0 之異側 ) 得球面 S:(x ) + (y ) + (z ) = 7. 球面 S:(x ) + y + (z + ) = 5, 平面 E:x y + z + 8 = 0, 點 P 在球 S 上, 則當 P 之坐標為何時,P 至平面 E 的距離有最大值 解答 (,, ) - 5 -

54 設 P(α,β,γ), 則 (α,β,γ + ) // (,,), 令 α = t +,β = t,γ = t 但 (α ) + β + (γ + ) = 5 t = ± 當 t = 時, 得 (,, ), 其到平面 E 的距離為 當 t = 時, 得 (,, ), 其到平面 E 的距離為 故當 P (,, ) 時, 到平面 E 之距離最大 = 8 8. 設一球面與 xy 平面之截痕為圓 :(x ) + (y + ) = 9, 且此球面通過 (,, ), 求此球面方程式 解答 (x ) + (y + ) + (z + ) = 0 設球心為 (,,a), 則半徑為 ( + + a + ) + ( ) + ( a ) = a a + = ( a + a + ), 故 a = (x ) + (y + ) + (z + ) = 0 為所求 x + ( y ) + ( z 5) 9.P(4,,),Q 為圓 x + y + z = = 上之動點, 試求 PQ 之最小值 及此時之 Q 點坐標 5 解答 5, (,, ) 圓 C 之圓心 H 為球心 O 在平面上 E 之投影, 則 H(,,) 且 OH = 隨之, 圓 C 之半徑為, 自點 P 作 E 之垂線, 垂足為 R, 則 PR 為定值 欲 PQ 為最小, 且需 QR 為最小, 故連接 HR 交圓 C 於 Q, 則此 Q 點即為所求 R(,, ), PR =, HR = 6, QR = 6 = 4 PQ = + 4 =

55 又 HR = (4,, 4) = (,, ),Q = (,,) + ( 5 = (,, ),, ) 0. 設平面 E:x + y + z 4 = 0 截球面 S:(x ) + (y ) + (z ) = 於一圓 C, 求圓 C 的中心 Q 的坐標與半徑 r 解答 (,, ), 6 球面 S 的球心為 A(,,), 半徑 r = 過 A, 垂直平面 E 的直線 L: x y z = = 令 Q(t +,t +,t + ) L Q E t = 設圓心半徑為 r r = = 6 AQ + (r ) = r Q (,, ) + (r ) = (r ) =. 一球面 S 與平面 E 交於一圓 C, 已知點 P,Q,R 在圓 C 上, 且 PQ = 6, PRQ = 60, 球心到平面 E 的距離為, 求此球體的體積 56 解答 π

56 設此球半徑為 r, 圓 C 半徑為 r, 在 PQR 中, 由正弦定理知 sin PQ PRQ 6 r = sin 60 而 = r = RH AH RH r = r = 球心 A 到平面 E 的距離 = AH = AR = AH + RH = 4 + = 6 4 r = 4 此球體的體積 = π r 56 = π. 平面 E 過點 A(,, ),B(,, 8),C(,0, 4) 三點, 球面 S 與平面 E 相切於點 A, 且半徑為 6, 求球面的球心坐標 解答 (9,, ) 或 ( 7,,) AB = (,, 7), AC = (,9, ) = (,,) 平面 ABC 的法線向量為 n v = (4,, ) x 過 A 而垂直平面 ABC 的直線 L: = 4 y = z + 設球心為 Q(4t +,t +, t ) 球半徑 = QA = 6 (4t) + t + ( t) = 7 t = ± 球心 Q(9,, ) 或 Q( 7,,). 空間中, 點 O(0,0,0),A(,0,0),B(0,6,0),C(0,0,9), 求四面體 O-ABC 的內切球方程式 解答 (x ) + (y ) + (z ) =

57 x y z 平面 ABC 的方程式為 + + = 6x + y + z 8 = 設四面體的內切球之球心為 Q(a,b,c),a > 0,b > 0,c > 0 O(0,0,0) 與 Q(a,b,c) 在平面 ABC 之同側 ( 8)(6a + b + c 8) > 0 6a + b + c 8 < 0 相切 Q 到 x = 0,y = 0,z = 0,6x + y + z 8 = 0 距離都等於半徑 r 6a + b + c 8 a = b = c = = r 7 a = b = c = (6a + b + c 8) a = b = c = 7 球心 Q(,,), 半徑 r = a = 所求內切球的方程式為 (x ) + (y ) + (z ) = 4. 已知平面 E:x + y + z =, 球面 S:x + (y ) + (z 5) =, 及一點 P(4,,); 若 E 與 S 交於一圓 C, 點 Q 為圓 C 上的點, 求 () P 在 E 上的正射影坐標 () 圓 C 的圓心坐標 () PQ 的最大值 解答 () (,, ) () (,,) () 7 S:x + (y ) + (z 5) =, 球心 A(0,,5), 半徑 () 設 P(4,,) 在平面 E:x + y + z = 上的正射影為 P', 則 PP 的方程式為 x 4 y z = = = t 設 P' (t + 4,t +,t + ),P 在 E 上 (t + 4) + (t + ) + (t + ) = t =, 得 P (,, ) () 設圓 C 的圓心 B, 則 B 為 A 在 E 上的正射影

58 x = t AB 的方程式為 y = + t, 設 B(t, + t,5 + t) 在 E 上 z = 5 + t t + ( + t) + (5 + t) = 9t + = t =, 得 B(,,) () AB = = 圓 C 的半徑 = BQ = 9 = 又 B P = = 6 > BQ P 在圓 C 外部 P Q 最大值 = B P + BQ = 6 + = 8, 此時 PQ 最大 此最大值為 P P + PQ = = 7 5. 以直線 x = y = z + 上任一點 P 為球心, 半徑 之球面 S, 設 S 在 z 軸上截出一線段, 求線段長的最大值及此時 P 點的坐標 5 解答, (,, ) z + 直線 x = y = z + x = y + = = t 上任一點 P(t +,t, t ) 為球心, 半徑 的球面 S,S:[x (t + )] + [y (t )] + [z + (t + )] = 9, 令 x = y = 0 (t + ) + (t ) + z + (t + )z + (t + ) = 9 z + (t + )z + (t + 8t + 5) = 0 設 z 的二根 z,z, 則 z + z = (t + ),z z = t + 8t + 5 (z z ) = (z + z ) 4z z = 4(t + ) 4(t + 8t + 5) = 8t 8t + 6 = 8(t + ) + 8 當 t = 時,(z z ) 有最大值 8 z z 的最大值 8 = ( 即線段長最大值 ), 此時 P 點坐標為

59 (,, 5 ) 6. 設 x,y,z 滿足 x + y + z x 4y z + = 0, 求 x + y + z 4x + y 0 的 最小值與最大值 解答 4,0 S:x + y + z x y 4z + = 0 (x ) + (y ) + (z ) = 4 球心 A(,,), 半徑 x + y + z 4x + y 0 = (x ) + (y + ) + z 5 令 B(,,0), 則 (x ) + (y + ) + z 表示球面 S 上動點 P(x,y,z) 與 B 的距 離平方 其最小值 = ( AB ) = ( ) =, 最大值 = ( AB + ) = ( + ) = 5 x + y + z 4x + y 0 的最小值 = 5 = 4, 最大值 = 5 5 = 0 7. 一球面 S 過點 A(,,), 且與 zx 平面截成一圓 C:(x ) + (z + ) = 8,y = 0, 求此球面方程式 解答 (x ) + (y ) + (z + ) = 設 S:(x ) + y + by + (z + ) = 8( 此時, 令 y = 0 得 (x ) + (z + ) = 8) 過 A(,,) 4 + b + 9 = 8 b = S:(x ) + y 4y + (z + ) = 8 S:(x ) + (y ) + (z + ) = 8. 求球心為 A(,,6), 且與球面 S:x + y + z = 4 相切的球面方程式 解答 (x ) + (y ) + (z 6) = 5,(x ) + (y ) + (z 6) = 8 S 的球心為 O(0,0,0), 半徑 r =, 而 A 在 S 的外部 () 當兩球外切時, 所求球半徑 R + r =OA R + = 7 R = 5 球面方程式為 (x ) + (y ) + (z 6) = 5 () 當兩球內切時, 所求球半徑 R > r = R r =OA R = 7 R = 9 球面方程式為 (x ) + (y ) + (z 6) = 8 9. 就實數 a 之值, 討論方程式 x + y + z + (a + )x (a + )y + (a )z + a + = 0 的圖形 解答 見詳解 即 [x + (a + )] + [y (a + )] + [z + (a )] = a + 8a

60 () 當 a + 8a + > 0, 即 a > 或 a < 6 時, 原方程式的圖形為一個球面 () 當 a + 8a + = 0, 即 a = 或 6 時, 原方程式的圖形為一點 () 當 a + 8a + < 0, 即 6 < a < 時, 原方程式無圖形 x = 0 0. 一球面 S 被 yz 平面截出一圓的方程式為, 若 S 之球心 Q ( y + ) + ( z ) = 4 在平面 x y + z = 上, 求 Q 點坐標及 S 的方程式 解答 (,,),(x + ) + (y + ) + (z ) = 5 x = 0 在 yz 平面, 圓 : 的圓心 A(0,,), 半徑 ( y + ) + ( z ) = 4 球心 Q, QA 垂直 yz 平面, 設 Q(a,,), 代入 x y + z = 得 a + + = a = 又 QA =, 因此球 S 的半徑 r = + = 5 故 Q 的坐標為 (,,),S 的方程式為 (x + ) + (y + ) + (z ) = 5. 一球面 S 與平面 x y z = 7 相切於點 A(,, ) 且通過另一點 B(,, ), 試求 S 的方程式 解答 x + (y 5) + (z 5) = 8 設球的球心 Q,A(,, ),B(,, ) QA 平面 E:x y z = 7 AQ // (,, ) x 直線 AQ 的方程式為 = y + = z +, 令 Q( + t, t, t)

61 則 QA =QB t + ( t) + ( t) = ( + t) + ( t) + ( t) 9t = 9t + 4t + t = Q(0,5,5) 又半徑 r = QA = = 8= 9, 所求球面方程式為 x + (y 5) + (z 5) = 8. 設 k 是一個實數, 試證 : 方程式 x + y + z + (k )x (k + 4)y + ( k)z + 8(k ) = 0 的圖形是一個球面, 並求此球面半徑的最小值 解答 x + y + z + (k )x (k + 4)y + ( k)z + 8(k ) = 0 配方得 (x + (k )) k (y 8(k ) = 4 9 k k + 5 = 4 9 (k 8 ) + 9 ) + (z + ( k)) = (k ) + 4 (k + 4) + ( k) 9 8 (k ) 恆為正 方程式的圖形是一個球面 4 8 又當 k = 時,r = 9 r = 為半徑之最小值. 一平面切球面 x + y + z x + 6y + 4z 5 = 0 於其上一點 (, 6,4), 求此切平面之方程式 解答 x y + 6z 48 = 0 x + y + z x + 6y + 4z 5 = 0 (x ) + (y + ) + (z + ) = 49 故球心為 (,, ) 又向量 (, 6 +,4 + ) = (,,6) 是過點 (, 6,4) 的切平面的法線向量故所求平面方程式為 (x ) (y + 6) + 6(z 4) = 0, 即 x y + 6z 48 = 0 4. 求空間中一點 (4, 4,4) 到球面 x + y + z = (x + y z) 的最短距離 - 6 -

62 解答 6 x + y + z = (x + y z) (x ) + (y ) + (z + ) = 9 故球心為 (,, ), 半徑為 又 (4, 4,4) 與球心的距離為 ( 4 ) + ( 4 ) + (4 + ) = 9, 故最短距離 為 9 = 6 5. 設一球面 S 與三坐標平面及平面 E : x + y + z = 8 均相切, 已知 S 之球心在第一卦限, 試求其半徑 解答 或 4 球面 S 與三坐標平面均相切, 且球心 O 在第一卦限 設 O(a,a,a), 半徑亦為 a a + a + a 8 = a 5a 8 = a a = 或 空間中四點 O(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,), 求四面體 O-ABC 的內切球方程式 解答 9x + 9y + 9z 6x 6y 6z + = 0 O(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,) 四面體 O-ABC 的四個面為三個坐標平面與平面 ABC x y 故內切球切於四個面, 其球心與三個坐標平面及平面 ABC: + + z = 等 距 a a + + a 設球心 Q(a,a,a), 則半徑 a, 且 Q 到平面 ABC 的距離 = = a

63 化簡得 a 6 = 7a a 6 = ± 7a a = 或 x y a = 時, 球心 Q(,, ) 在四面體外面 (Q 代入 + + z > ) 不合 故 a =, 所求內切球的方程式為 (x ) + (y ) + (z ) = ( ) 7. 一球 S:x + y + z + 4x = 0, 及球外一點 P(,, ), 點 P 向球 S 作切 線, 則所有的切線形成一個圓 C, 試求 : () P 點到球面 S 的切線段長 () 圓 C 所在的平面 E 的方程式 () 圓 C 的面 積 (4) 圓 C 的中心坐標 (5) 以 P 為頂點, 圓 C 為底的圓錐體積 解答 () 7 () x + y z = 0 () 7 π (4) A(,, ) 7 4π (5) S:(x + ) + y + z = 7 球心 (,0,0), 半徑 7 () P 到 S 之切線段長 7 () 以 P 為球心, 半徑為 7 的球面 S 的方程式為 (x ) + (y ) + (z + ) = 7 即 x + y + z x 4y + z = 0 故 S S = C 所在之平面 E 的方程式為 6x + 4y z = 0, 即 x + y z = 0 + ( ) () d(p,e) = + + ( ) 7 = 4 C 的半徑為 7 7 ( 7) ( ) =, 得圓 C 的面積 4 7π (4) 設 C 的圓心為 A(x,y,z), 則 PA = (x,y,z + ) 與 E 的法線向量 (, - 6 -

64 , ) 平行 令 x = t +,y = t +,z = t 而點 A 在平面 E 上, 將 代入 得 t =, 即 A(,, ) 7π 7 7 4π (5) 圓錐的體積 = 底面積 高 = = 4 8. 設一球面方程式為 x + y + z + x + y + 4z + = 0, 若此球面與 z 軸交於 A,B 兩點, 則 AB =? 解答 於 x + y + z + x + y + 4z + = 0, 令 x = y = 0, 得 z + 4z + = 0,(z + )(z + ) = 0 z =,, 令 A(0,0, ),B(0,0, ), 故 AB =