第三單元 平面座標與直線的斜率
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- 浒 常
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1 第二十六單元 向量的應用 ( 甲 ) 分點公式與共線的條件 (1) 本節所要使用的基本知識 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a. b =0 (2) 分點公式 : 為了解決平面幾何上共線的問題, 我們進一步去探討當 P 三點共線時, 如何利用向量來描述這個情形? 例題 : O 設線段 上有一點 P 且滿足 P: P =3:5, 若 OP =xo+yo, 其中 O 為任意點, 求 x,y 的值 [ 解法一 ]: 因為 P: P =3:5, 所以 P = 3 8 OP =O+ P =O+ 3 8 =O+3 8 (O+O) P =O 3 8 O+3 8 O=(1 3 8 )O+3 8 O = 5 8 O+3 8 O 因為 OP = 5 8 O+3 8 O, 所以 x= 5 8,y=3 8 3 / 5 O 3 / 5 [ 解法二 ]: 如右圖, 過 P 分別做 O O 的平行線, 交 3 P 5 ~26 1~
2 O O / / 於, 根據向量加法的定義 OP =O / +O / 因為 P: P =3:5 所以 O / : O=5:3, O / : O=3:5 故 O / = 5 8 O,O/ = 3 8 O 因此可得 OP =O / +O / = 5 8 O+3 8 O, 所以 x= 5 8,y=3 8 利用例題的方法, 我們可以導出一般的情形 : 分點公式 : 設點 P 在線段 上, 且 P:P=m:n, 則對任一點 O n 恆有 OP = m+n O+ m m+n O [ 證明 ]: 設 O 為任意點, 若線段 上有一點 P 且滿足 P: P =m:n, 則 OP =O+ P =O+ m m+n =O+ m m+n (O+O) =O m m+n O+ m m+n O / O / =(1 m m+n )O+ m m+n O = n m+n O+ m m+n O P 討論 : (a) 分點公式中 O 為任意點, 如令 O=, 則 P= m m+n, 這也是一個很好用的分點公式 (b) 根據上面的圖形, 可知 OP=O / +O / = n m+n O+ m m+n O (c) 根據係數積的定義, //P, 故 P=t, 且 ~26 2~ P m = m+n,
3 與 P 同向, 故可知 P= m m+n 線段上的三點, 知道其線段長度比, 彼此形成的向量就可以互相表示 (3) 三點共線 : 設,,P 三點共線的充要條件為能找到二數 α,β, 而且 α+β=1, 使得 OP=αO+βO 成立 [ 證明 ]: ( ) 因為,,P 三點共線, 所以可找到一個實數 t, 使得 P=t O+ OP=t(O+O) OP=(1 t)o+to 因此取 α=1 t,β=t,α+β=1 OP=α O+β O ( ) 因為 α+β=1, OP=α O+β O 所以 OP=α O+β O =(1 β) O+β O O+ OP=β(O+O) P=β,,P 三點共線 討論 : 設 P 點在 上, 根據 (2) 的結論, 可找到 α,β 使得 OP =α O+(1 α)o 0 α 1, 則 P 在線段 上 α>1, 則 P α>1 0 α 1 α<0, 則 P α<0 α=0, 則 P=,α=1, 則 P= [ 例題 1] 直線 上有一點 P, 滿足 P:P=3:2,O 為任一點, 若 OP =x O+y O, 則請問數對 (x,y)=?ns:(x,y)=( 2 5,3 5 ) 或 ( 2,3) ~26 3~
4 [ 例題 2] ( 分點公式與長度 ) 設 中, =6, =4, =60, 在 上, 且 = 1 3, 則 =? ns: [ 例題 3] ( 分點公式與三點共線 ) 設 中有一點 P, 且滿足 5 P =+2, 設直線 P 與 交於 點, 請求出下列二小題 : (1) =? (2) P =? ns:(1)2 (2) 4 15 P ~26 4~
5 [ 例題 4] ( 分點公式與線段比例 ) 林信安老師編寫 中, 是 中點,E 點在 上, 且 E: E=2:1, 與 E 交於 P, (1) 設 P =x +y, 求 x,y (2) 求 P:PE (3) 求 P:P ns:(1)x= 1 4,y=1 2 (2)3:1 (3)1:1 E P ( 練習 1) 設點 P 在直線 上, 且 ĀP: Ā=4:11, 若 P=γ P, 則 γ= ns: 或 15 ( 練習 2) 若 三點共線, 且 5O=(2t 1)O +(3t 4)O, 求實數 t 的值 ns:t=2 3 ( 練習 3) 中, 在 上且 = 2,E E 2 在 上且 = E 5, 已知 P 為 E 與 的交點, 且 P=x+y, 求 P (1)x,y 之值 (2) 之值 ns:(1)x= 15 PE 29,y= 4 29 (2) ( 練習 4) O,, 三點不共線,P 點在直線 上, 但不在線段 上, 且 P: P =5:2, 設 OP= x O+y O, 求 x,y ns:x= 2 3,y=5 3 ( 練習 5) 中, =60, =b, =c, 點在 上, 且 之長 ( 以 b,c 表之 )ns: 1 3 b2 +4c 2 +2bc 1 = 3, 求 ( 練習 6) 設 O,, 三點不共線, 若 O=4O,O=5O, 令 與 交於一點 E, ~26 5~
6 若 OE= x O+y O, 求 x,y ns:x= , y= 19 林信安老師編寫 ( 乙 ) 向量與三角形的心 (1) 三角形的重心與內心 : 使用的技巧, 最主要是分點公式 (a) 若 中,G 為 的重心,O 為任何一點, 則 (1 )OG = 1 3 (O+O+O) (2 ) 令 O=, 代入 (1 ) 可得 G= 1 3 (+) (3 ) 令 O=G, 代入 (1 ) 可得 G+G+G= 0 [ 例題 5] ( 向量與重心 ) 中,O 為任意點 (1) 若 G 為 的重心, 試證 :OG = 1 3 (O+O+O) (2) 證明 : G= 1 3 (+) G (3) 試證 :G 為 的重心 G+G+G= 0 (b) 若 中, 三邊 之長分別為 c,a,b,i 為 之內心, O 為任何一點, 則 a (1 ) OI = a+b+c O+ b a+b+c O+ c a+b+c O ~26 6~
7 (2 ) 令 O=, 則 I = b a+b+c + c a+b+c 林信安老師編寫 (3 ) 令 O=I, 則 a I +b I +c I = 0 [ 例題 6] ( 向量與內心 ) 若 中, 三邊 之長分別為 c,a,b,i 為 之內心, a O 為任何一點, 則 OI = a+b+c O+ b a+b+c O+ c a+b+c O G [ 例題 7] 設 P 為 內部一點, 若 3 P +4 P +5 P = 0, 則 P: P: P=5:3:4 ~26 7~
8 ( 練習 7) 試證 :G+G+G= 0 G 為 的重心 [ 提示 : 令 為 上的中點, 因為 G+G= G,G+G =2G 所以 G =2G G 三點共線 ] ( 練習 8) 設 P 為 內部一點, 試證若 l P+m P +n P = 0, 則 P: P: P= l : m : n [ 例題 8] ( 向量與外心 ) 中,O 為 外心, 設 =4, =6 2, =8, 則 (1). =,(2).O =, (3) 若 O=x+y, 則 x=?y=? ns:(1)4 (2)8 (3)x= 8 21,y=10 21 O [ 例題 9] ( 向量與垂心 ) 中, =4, =6, =2 7,H 為 之垂心, (1) 試證 :H.= H.=. (2) 若 H=x+y, 則 x=?y=? ns:(2)x= 2 9, y=1 9 H ~26 8~
9 ( 練習 9) 設 E 為 的外心,H 為 的垂心, 且 =4, =5, =6, (1) 若 E=α+β, 求 α β 之值 ns:α= 4 35,β=16 35 (2) 若 H=x +y, 求 x,y 之值 ns:x= 27 35,y= 3 35 ( 練習 10) 中, =4, =3, =60,H 於 H, 且 H=x+y, 求 x,y 之值 ns:x= 3 13,y=10 13 ( 丙 ) 向量方法證明幾何問題 H (1) 基本認識利用已學過的向量的加法 減法 係數積與內積運算, 來求證平面幾何問題, 重要原理說明如下 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a. b =0 (2) 幾何問題可以使用向量證明的重要題 三角形兩邊中點連線定理 平行四邊形的對角線互相平分 平行四邊形定理 =2( ) 共點問題 三角形之高交於一點 三中線交於一點 ~26 9~
10 以上是向量在幾何應用的幾個典型的例子, 它藉著圖形的位置關係, 利用向量及基本代數運算, 做為證明幾何性質的工具, 在證明過程中, 在證明過程中, 極少需要輔助線 這是綜合幾何證明最困擾之處, 也是向量證題的最大特點 [ 例題 10] 設,E 分別是 二邊, 的中點, 求證 : E // 1 且 E = 2 [ 例題 11] 設 是一個平行四邊形, 試證 : =2( ) [ 例題 12] H 為 平面上一點, 求證若 H,H, 則 H ( 即證 之三高交於一點 ) H ~26 10~
11 ( 練習 11) (1) 設 的兩中線 E F 相交於 G 點, 試求 G:E=? (2) 根據 (1) 的結果, 試證 : 三角形三邊的中線交於一點 ns:2:1 [ 提示 : 設 的三中線為 E F, 設 與 E 交於 G, 與 F 交於 G /, 由 (1) 之結果可以證明 G:E =G / :E ] ( 練習 12) 梯形 中, 設 E F 分別為 的中點, 求證 : EF = 1 2 ( + ) ( 練習 13) 設 E F 為 的三中線, 試證 :+ E+ F = 0 ( 練習 14) 四邊形 中, =, =, 證明對角線 與 互相垂直 ( 提 示 : 設 的中點 E, 證明 E E 都與 垂直, 因此.=0) 綜合練習 (1) 設 為坐標平面上一三角形,P 為平面上一點且 P = , P 面積則等於 面積 () 1 5 () 1 4 () 2 5 () 1 2 (E) 2 3 (92 學科能力測驗 ) (2) 坐標平面上有一 與一點, 若 7=8+6, 面積請求出 =? (92 台北區指定考科乙模擬考 3) 面積 (3) 設 為平面上的一個三角形,P 為平面上一點且 P = t, 其中 t 為 一實數 試問下列哪一個選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在 的內部? ()0<t< 1 4 ()0<t<1 3 ()0<t<1 2 ()0<t<2 3 (E)0<t<3 4 (93 學科能力測驗 ) ~26 11~
12 (4) 右圖中 是平行四邊形, 且 G= 1 2 b =, 請利用 a 與 b 之係數積來表示 EF GF 林信安老師編寫, E= 1 3, F= 3 4, 設 a =, F E G (5) 在 中, 在 上,:=3:2,P 在 上, P:P=1:2, 設 OP =l O+m O+n O ( 其中 O 為任一點 ), 求 l,m,n 之值 (6) O P 為平面上相異四點, 下列那些情形會使得 P 點在直線 上? () P +3= 0 () OP = 2 5 O+3 5 O ()4O+3O=12 OP ()5 OP =7O 2O (E)P += P (7) 平行四邊形 中,E 為 上一點, 且 E = 2E,F 為 上一點且 F =3 F, 若 E 與 F 交於點 P, 且 P =x+y, 則 (a)(x,y)=? (b)p:pf=? (8) 中, =5, =6, =7,I 是 的內心 ( 三內角平分線的交點 ), (a) 求分角線 T 的長, 其中 T 在 上 (b) 設 I =x+y, 求 x,y (9) 設 K 為 內部之一點, 使得 K: K = 3:4, 而射線 K 交 於, 若 =x+y, 則 x =,y = (10) 如右圖, 平行四邊形 中, P = P, Q=2 Q, 若 PQ =x+y, 則數對 (x,y)= (11) 在 的三邊 上分別取 E F 三點, 使得 =4, E =2E, F =2 F 設 G 為 EF 的重心,G=α+β, 則 α=?β=? (12) 設 G 為 之重心,P 為 G 之中點, 若 P =x +y G, 試求實數 x,y 的值 ~26 12~
13 (13) O 中, O=2, O=3, =4, 令 O= a,o = b, 則 (a) a. b 之值為何? (b) 自頂點 O 作邊 之垂線, 令垂足為 H, 則 OH=α a +β b, 求 α β 之值 (14) 設 P 為 內一點滿足 2+=2(2 P + P ), 求 P: P: P=? (15) 若梯形, = 2,M 在 上使得 M= 3M, 若 M= x+ y, 則 x =,y = (16) 如圖, 在平行四邊形 中, =4, =1, = 3,, =120, 試求邊 =? (17) 試證 : a b 的充要條件為 a + b 2 = a 2 + b 2 ( 回想畢氏定理與其逆定理 ) (18) 試用向量的觀點證明 : 半圓內之圓周角為一直角 (19) 證明 : 平行四邊形之對角線互相垂直 該平行四邊形為一菱形 (20) 設 為 中, 上的中線, 試證 : = 進階問題 (21) 設 為正四面體, 證明 : 與 垂直 (22) 所在的平面上, 設 是 上的一點, 且 =λ,o 是直線 上任一 點, 且 O=k, 過 O 作一直線交直線 於 M N, 且 =mm,=nn, 試證 : m 1+λ + nλ 1+λ = 1 k (23) 中, 若.=. =., 試證 為一正三角形 (24) 設 G 為 的重心, 過 G 做一直線 L 交 於 P Q, 其中 P Q 分別 異於 點, 求 P + Q =? (25) 四邊形, 若 4+5=6, 則 : =? (26) 同一平面上, 兩個三角形 PQR, 若下列三式同時滿足 : P + P + P =,Q+Q+Q =,R+R+R= ~26 13~
14 (a) 試證三頂點 P Q R 分別在 邊上 (b) 求 : PQR=? (27) 直角 中, 斜邊上的高為, 令 =c, =a, =b, 若 =x +y, 則實數對 (x,y)=? 用 b,c 表示 (28) 如右圖, 中,,E,F 分別為三邊之三等分點, 若, E, F 兩兩分別交於 P,Q,R, 則 (a) P =x+y, 數對 (x,y)=, (b) PQR 和 面積比為 (29) 如圖, 在平行四邊形 兩邊 向外分別作正方形 NM PQ 求證 : QN P Q (30) 設 之外心為 O, 垂心為 H, 重心為 G, (a) 試證 :O+O+O=OH (b) 證明 :G H O 三點共線, 且 OG:GH=1:2 N G O M H M 綜合練習解答 (1) () (2) 6 7 (3) () (4) EF = 3 4 a +2 3 b, GF= 1 4 a + b (5) l= 2 3,m= 2 15,n=1 5 (6) ()()() ~26 14~
15 (7) (a) ( 1 2,1 3 ) (b)2:1 (8) (a) (9) ( 3 7,4 7 ) (b)x= 7 18,y= 5 18 (10) (x,y)=( 7 6, 2 3 ) (11) α= 17 45,β= 8 45 [ 提示 : G= 1 3 (+ E+ F ), 1 再利用題目的條件, 將 3 (+E+ F) 化 成與 關的線性組合 ] (12) x= 1 4,y= 1 4 (13) (a) 3 2 (b)α= 21 32,β=11 32 [ 提示 :(b)oh 且 = b a, 所以 OH. =(α a +β b ) ( b a )= 11 2 α β=0 11α 21β=0, 又因為 α+β=1, 可解得 α β 之值 ] (14) 1:3:2 [ 提示 : 利用例題 7 的結果 ] (15) x= 5 8,y=3 4 (16) 2 3[ 提示 : 可將 寫成 ++, 再求 2 ] (17) 提示 : a + b 2 = a 2 + b 2 a. b =0 (18) 如圖, 證明. =(O+O)(O+O)=0 O O (19) 如圖,. =0 (+)( )=0 = (20). =.( )=.. =0 (21) [ 提示 : = 1 2 (+), 2 =( )( ) 利用內積的定義計算 ] (22) [ 提示 : 因為 M O N, 故可設 O=xM+y N, 且 x+y=1, 又 =λ, 故 = 1 1+λ + λ 1+λ = m nλ M+ 1+λ 1+λ N, 又 O=k, 可得證 ] (23) [ 提示 :0=..= ( )=( ) (+)] (24) P 3 [ 提示 : 令 =m,q =n, 因為 G= 1 3 (+)=1 3 ( 1 m P+1 n Q), 因 ~26 15~
16 為 P G Q 三點共線, 1 3m + 1 3n =1 1 m +1 n =3] 林信安老師編寫 (25) 5:4[ 提示 : 設 與 相交於 O, 令 O=t O=( 2 3 t) +(5 6 t) 因為 O 共線 t= 2 3 O= ] (26) (b)3:1 [ 提示 :(a) 由滿足的條件, 可求得 P=2 P,Q=2Q,R =2R ] (27) b 2 x= b 2 +c 2 y= c 2 b 2 +c 2 [ 提示 : 求.,. ] (28) ( 7 4, 7 1 );1:7 (29) [ 詳解 ].QN=(+).(Q+N)=. N +.Q ( 因為 Q, N) =.N+.Q.N= N cos N.Q= Q cos Q 又因為 N= Q cos N=cos Q.QN=.N +.Q=0 (30) 提示 : (a) 如圖, 因為 H 與 均與 垂直, 故 H// 同理 // H, 因此 H 為平行四邊形 H= =2. OM H= 2OM OM= 1 2 (O+O) H=O+O OH O=O+O O+O+O=OH (b) O+O+O=OH (OG+G)+(OG+G)+(OG+G)=OG+GH 2OG=GH H G O M ~26 16~
17 補充教材 斜坐標的介紹與應用 (1) 坐標的意義 : 一維的情形 : 給定一直線 L, 取其上一點 O, 再取不同於 O 點的 E, 設 e =OE, 則對於 L 上任意點 P, OP 均與 OE 平行, 即存在一個實數 x, 使得 OP =x e 我們稱 S {O; e } 為 L 上的一個坐標系, 而 x 稱為 P 點相關於 S 的坐標 簡記為 S 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ), 而 e 稱為 S 的基底 二維的情形 : 給定平面上一個定點 O 與兩個不平行的向量 e 1 e 2, 平面上任意點 P, 可以找到實數 x,y 滿足 OP =x e 1 +y e 2, 我們稱 S {O; e 1, e 2 } 為平面上的一個坐標系, 而 (x,y) 稱為 P 點相關於 S 的坐標 簡記為 S 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ), 而 e 1, e 2 稱為 S 的基底 e 2 P x e 1 + y e 2 y e 2 e 1 x e 1 O [ 討論 ]: 點 P 對於 S 坐標系的坐標 (x,y) 是否唯一? [ 討論 ]: 根據坐標系的定義, 我們熟悉的座標系 e 1 e 2 應該如何取? ~26 17~
18 我們熟悉的直角坐標, 座標系 e 1 e 2 可取為兩個長度為 1, 且互相平行的兩個向量 例如 : e 1 可取成 (1,0), e 2 可取成 (0,1) 例如 : 設 e 1 =(2,1), e 2 =(1,2),O(0,0), 若 OP =2 e 1 +3 e 2, 則我們稱 P 點相關於 S 的坐標為 (2,3) 例如 : 直角坐標系 : 在平面上選定一個基準點 O 及一組互相垂直且長度等於 1 的向量 i j, 當作基底, 這樣構成的坐標系稱為直角坐標系 通過 O 點且包含 i 的直線定為 x 軸, 通過 O 點且包含 j 的直線定為 y 軸 [ 問題 ]: 設 i =O, j =O, 請問 的坐標如何表示? [ 問題 ]: 在此直角坐標系下, OP i j 如何用坐標來表示? 例如 : 在 中, E F 分別在 上, 且 :=2:1, E:E=1:1,F:F=1:4 若取基準點為, e 1 =, e 2 =, 請問 : E F 在坐標系 {; e 1, e 2 } 的坐標為何? ns:(0,1),(0,0),(1,0),( 2 3,0),E(1 2,1 2 ),F(0,4 5 ) [ 解法 ]: 根據坐標的意義, F 可得 (0,1),(0,0),(1,0),( 2 3,0),E(1 2,1 2 ),F(0,4 5 ) E ~26 18~
19 [ 例題 1] 設 P 點落在直線 上,O 點在直線 外, 現在以 O 為原點,O O 為基底, 設 P 點相關於坐標 {O;O O} 的坐標為 (x,y), 請求出直線 的方程式 ns:x+y=1 [ 解法 ]: 因為 OP =x O+y O, 且 P 點在直線 上 x+y=1 所以直線 的方程式為 x+y=1 [ 例題 2] 設 P 點落在線段 上, 且 P: P=m:n,O 點在直線 外, 現在以 O 為原點, O O 為基底, 在坐標 {O;O O} 上, 設 P 點的坐標為 (x,y), 請問 (x,y)=? ns:( n m+n, m m+n ) [ 解法 ]: 根據分點公式, 可得 OP = n m+n O+ m m+n O 所以 P 點在關於坐標系 {O;O O} 下的坐標為 ( n m+n, m m+n ) [ 例題 3] 在坐標 {O;O O} 上, 兩點的坐標為 ( 1,2) (3,4), 請問直線 的方程式為何? [ 解法 ]: 設 P(x,y) 為直線 上的任一點依坐標的意義 : O=( 1)O+2O,O=3O+4O, OP =xo+yo 因為 P 點在直線 上, 所以 P // 而 P =(x+1)o+(y 2)O,=4O+2O x+1 4 =y y 2=[ 3 ( 1) ] (x+1) y 2= 1 2 (x+1) ( 1,2) P(x,y) (3,4) 這樣的做法跟直坐標系的結果完全一致 1 只是 2 不能解釋成直線 的斜率 O ~26 19~
20 [ 例題 4] 中, 是 中點,E 點在 上, 且 E: E=2:1, 與 E 交於 P, 設 P =x +y, 求數對 (x,y)=? ns:( 1 4,1 2 ) [ 解答 ]: 考慮坐標系 {;,}, 因為 P =x +y, 所以 P 點坐標為 (x,y) E P 所以 (0,0) (1,0) (0,1) ( 1 2,0) E(0,2 3 ) 算出直線 E 的方程式 : E:2x+3y=2,:2x+y=2 因此 P 點的坐標為 ( 1 4,1 2 ) [ 例題 5] 設 P 點落在 所在的平面中, 且滿足 P =s +t, 請依下列 s,t 的條件, 求出 P 點所形成的圖形 (1)t=0, 1 s 2 (2)s+t=2 (3)0 s 1,0 t 1 (4) 1<s+t<2 [ 解法 ]: [ 向量的觀點 ]: (1)t=0 P =s, s= 1, P = =,s=2, P =2=E 因為 1 s 2, 所以 P 點形成的圖形是 E E P E (2) 因為 s+t=2 s 2 + t 2 =1, P =s +t P =s 2 (2)+t 2 (2) 令 2=,2=E P = s 2 ()+t 2 (E) s 且 2 + t 2 =1 根據三點共線的條件可知 P 點會在直線 E 上 因此 P 點所形成的圖形為 E 直線 I E F E P F H ~26 20~ G
21 (3) 設 s=k, P =k +t k == E, 此時因為 0 t 1 所以 P 在 E 上移動, 而另一方面, k 在 0 與 1 之間變動, 那麼 會在 間移動, 因此 P 點會形成的圖形為平行四邊形與其內部 (4) (a) 令 k=s+t(k 0, 1<k<2) 林信安老師編寫 P = s k (k)+t k (k), 令 k=,k=e,s / = s k,t/ = t k P =s / +t / E,s / +t / =1 因此 P 點會在直線 E 上移動, (b) 當 k=0 時, P =s s =s, P 點形成的圖形為過 點與 平行的直線 (c) 設 = F, =G,2=H,2= I 當 k 在 1 到 2 之間變化 (k 0) 時, 那麼 由 F 變化到 H,E 由 G 變化到 I 且保持 E // 因此 P 點形成一個帶狀區域 [ 斜坐標的觀點 ]: 考慮坐標系 {;,}, 因為 P =s +t, 所以 P 點坐標為 (s,t), 因此 (1)~(4) 各題可以視為 P 點坐標滿足 (1)t=0, 1 s 2 (2)s+t=2 (3)0 s 1,0 t 1 (4) 1<s+t<2 所形成的圖形 因此各題的圖形如下 : (1) (2) (0,1) E(0,2) ( 1,0) (0,0) (1,0) E(2,0) (0,1) P(s,t) x+y=2 (3) (4) E(k,t) F(1,1) (0,1) (0,0) x+y=2 (1,0) (2,0) I(0,2) P(s,t) (0,0) (k,0) (1,0) (0,1) E(0,k) F( 1,0) (0,0) (k,0) (`1,0) H(2,0) ~26 21~ G(0, 1) x+y=k x+y= 1 x+y=0
22 ( 練習 1) 在 中, 考慮坐標系 {;,} 設 =c, =a, =b 請問重心 G 與內心 I 的坐標為何? ns:g( 1 3,1 3 ) I( b a+b+c, c a+b+c ) [ 提示 : 考慮 G 與 I 向量的性質 ] 林信安老師編寫 ( 練習 2) 設 O,, 三點不共線, 若 O=4O,O=5O, 令 與 交於一點 E, 若 OE= x O+y O, 求 x,y ns:x= , y= 19 ( 練習 3) 坐標平面上有一 與一點, 若 7=8+6, 面積請求出 =? ns: 6 面積 7 ( 練習 4) 設 為平面上的一個三角形,P 為平面上一點且 P = t, 其中 t 為一實數 試問下列哪一個選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在 的內部? ()0<t< 1 4 ()0<t<1 3 ()0<t<1 2 ()0<t<2 3 (E)0<t<3 4 (93 學科能力測驗 ) () ( 練習 5) 在 的三邊 上分別取 E F 三點, 使得 =4, E =2E, F =2 F 設 G 為 EF 的重心,G=α+β, 則 α=?β=?ns:α= 17 45,β= 8 45 ( 練習 6) 平行四邊形 中,E 為 上一點, 且 E = 2E,F 為 上一點且 F =3 F, 若 E 與 F 交於點 P, 且 P =x+y, 則 (a)(x,y)=? (b)p:pf=? ns:(a) ( 1 2,1 3 ) (b)2:1 ( 練習 7) 平面上三點 (3, 2) ( 1,1) (5,4) (1) 若點 P 滿足 P =s +t, 且 1 r 2,0 s 2, 則求點 P 所成區域之面積 (2) 若點 Q 滿足 Q=s +t, 且 r 1,s 1,r+s 2 則求點 Q 所成區域之面積 ns:(1)15 (2)60 ( 練習 8) 設 O 是平面上一定點, 是平面上不共線三點, (1) 動點 P 滿足 OP =O+λ( + ),λ 0, 則點 P 的軌跡一定通過 的內心 (2) 動點 P 滿足 OP =O+λ(+),λ>0, 則點 P 的軌跡一定通過 的重心 (3) 動點 P 滿足 OP =O+λ( cos + cos ),λ>0, 則點 P 的軌跡一定通過 的垂心 (4) 動點 P 滿足 OP = O+O 2 通過 的外心 +λ( cos + cos ),λ>0, 則點 P 的軌跡一定 ~26 22~
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
Microsoft Word - 向量_2015_.docx
向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
章節
試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
Microsoft Word - 0.5bh.doc
198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
幾 何
.. =,,, [ ] (1 1 1 = 1 = 1 > 1 ( (2 2 2 = 2 = 2 < 2 ( (1(2,,, 1 2 ~94~ (1 (2 (3 (a G (b (c G (d G O = 1 2 O O O [ ] O 1 = O 1 = 1 2 O= O = 1 O ~95~ 1. 2. = 3. M M M=M M,,,, 4. 5. ( (1 (Menelaus 98 >
Microsoft Word - 第3章_99_.doc
- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
<4D6963726F736F667420576F7264202D20323031353131313920B0A2CDC1B8E7B9DBCAD0D6AED6C6B6C8CFC2B5C4B5B020CFB5C1D0D6AEB6FE205354B9C9B5C4F7C8C1A6>
阿 土 哥 观 市 之 制 度 下 的 蛋 系 列 2015 年 11 月 19 日 制 度 下 的 蛋 系 列 之 二 ST 股 的 魅 力 阿 土 哥 观 市 作 者 雪 球 网 投 资 组 合 : 借 壳 是 制 度 下 的 蛋 ( 月 度 收 益 27%) 前 文 回 顾 赌 场 的 逻 辑 现 实 的 赌 场 玩 的 是 零 和 游 戏, 现 实 的 股 市 玩 的 是 击 鼓 传 花 游
z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c
Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ
Microsoft Word 寒假作業B3.doc
101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
1 4 1890 1838 1846 1848 1862 1870 A A 2 1878 1887 3 6 6 7 1887 3 1782 1885 A 47 1817 1200 1800 B 1822 271 273 1887 1889 1911 1907 1907 100 2 32 34 17 64 8 900 1024 962 30 900 32 1024 960 1886
3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係 在 中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長 邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
面積與二階行列式 陳清海 老師
面積與二階行列式 陳清海 老師 1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為
Microsoft Word - 3-1平隢咂é⁄‘çı—醉箊(ä¿®æfl¹).docx
第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質
第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i
前言
前 言 亲 爱 的 读 者 同 行 们 教 师 教 养 员 校 长 们! 这 部 著 作 是 多 年 学 校 工 作 经 验 的 总 结, 是 沉 思 焦 虑 担 忧 和 不 安 心 情 的 总 结! 在 一 所 农 村 学 校 身 不 离 校 地 工 作 32 年, 这 对 我 是 无 与 伦 比 的 幸 福 我 把 自 己 的 一 生 献 给 了 孩 子 们, 所 以 考 虑 很 久 之 后 给
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寿 命 是 自 己 一 点 一 滴 努 力 来 的 定 版 前 言 这 本 小 册 子, 在 诸 多 好 友 之 赞 助 下, 终 于 侥 幸 地 得 以 送 入 印 刷 厂, 正 式 付 印 成 书 事 实 上, 以 我 目 前 的 处 境 而 言, 每 月 救 苦 济 贫 之 定 期 定 额 支 出, 已 达 饱 和, 欲 再 拨 款 近 百 万 元 来 印 赠 善 书, 实 在 不 免 捉 襟
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y
一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行 軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 :
嘉義市立蘭潭國民中學一百學年度第一學期一年級國文領域課程計畫
嘉義市立蘭潭國民中學 104 學年度第一學期九年級學領域課程計畫 一 學領域每週學習 : 共 二 教材來源 : 翰林版第五冊 九年一貫學領域課程綱要 九年一貫議題融入課程與教學三 課程架構 : 單元主題 第一章 : 比例線段與相似形 單元名稱 1-1 比例線段與圖形的縮放 1-2 相似形 第二章 : 圓的性質 2-1 點 直線 圓之間的關係 2-2 圓心角 圓周角與弦切角 第三章 : 推理證明與三角形的心
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
章節
試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d
Microsoft Word - 2-2空間中直線方程式(2016).doc
空間中直線方程式 ( 甲 ) 空間中直線方程式 空間直線的參數式坐標平面上只要給定直線的方向向量與線上的一點, 就可以用參數式來表示直線上的點 當直線置於空間坐標中, 仍然可以利用參數式來表示直線 空間中, 直線 L 通過點 A(,, ) 且方向向量 v (a,b,c), 如何表示直線 L 呢? 設 P 點在直線 L 上, 且 P A, 由方向向量的意義, 可得 AP 平行 v 反過來說, 若 P
《太平广记》第二册
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章節
試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8
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第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
2009年挑战乔戈里
2009 年 挑 战 乔 戈 里 活 动 概 况 : 乔 戈 里 峰 海 拔 8611 米, 它 是 喀 喇 昆 仑 山 脉 的 主 峰, 是 世 界 上 第 二 高 峰, 国 外 又 称 K2 峰 乔 戈 里 峰, 国 际 登 山 界 公 认 的 攀 登 难 度 较 大 的 山 峰 之 一 乔 戈 里 峰 峰 巅 呈 金 字 塔 形, 冰 崖 壁 立, 山 势 险 峻, 在 陡 峭 的 坡 壁 上
3-2 連比例 連比的運算性質 a b c 0 a b c (a m) (b m) (c m
114 3-2 連比例 1 連比與連比例式 2 應用問題 主題 1 連比與連比例式 12 15 3 6 15 3 6 15 3 6 連比 15 3 6 15 3 3 6 15 6 600 120 15 3 6 7 2 1 3-2 連比例 115 24 2 30 6 12 4 1 3 5 1 2 12 24 4 15 3 6 30 6 12 5 1 2 15 3 6 30 6 12 15 3 6 5
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
穨0217視窗版導盲鼠操作手冊new.PDF
1 2 3 4 5 6 7 8 KEYPRO COM 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 o p m q d f n c k l r k j e a b i g h j e * / >
) E F EF F F = = FE = F = F 5 E O E F O O O O O O O O O EFO E F 6 8cm 3cm 5cm cm 3cm 5cm cm 7 5% x + 3 x =
(@ ) 005 4 36 8,,84 0 0 3 () (36 ) ( 36. 3 ) 7.3 6.5 08 08 008 008 a b ab > 0 a > b a b> 0 b 0 a x a + b> 0 3 005 3355.55 3 http://czsx.xicp.net; E-mail: shenyufu086@sina.com 8 (@ ) 3.3 0 3.4 0 3 8 3.4
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
1 7 10 240 í é é í º 182 230nm A X 240 康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 cotα + cot β ( ). cot(α β)? (A) cotα cot β cotα cot β (E). cotα + cot β cotα cot β (B) cotα cot β cotα cot β + (C) cotα cot β cotα cot β + (D) cot β cotα D ( α β ) α β + sinα sin β cotα cot β + cot(α
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
2-1 2004 4.0 1.8 2.2 2001 2.83 0.86 1.97 % 41.3 109.3 11.7 2-2 2004 220 194 26 2001 81.3 70 11.3 % 170.6 177.1 130.0 2-3 2004 142 90 41 11 2001 104.5 70.9 26.1 7.5 % 35.9 26.9 57.5 45.3 2-5
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
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https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
標題
旋轉坐標軸 ( 甲 ) 轉軸公式考慮一個以點 F(,) 為焦點, 以直線 L:+=0 為準線的拋物線 Γ 方程式是 Γ : ( ) +( ) = +..(*), (*) 式平方後可化成 Γ: + 8 8+6=0 (**), 但是從 (**) 很難辨識它是一條拋物線, 是否可以利用適當的坐標變換, 來辨識 (**) 式為一條拋物線 我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點與軸垂直的直線, 則此拋物線就成為一條開口向上的拋物線,
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
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織 辦 事 細 則 O 二 -O 一 B 交 通 部 民 用 航 空 局 所 屬 航 空 站 辦 事 細 則 中 華 民 國 六 十 二 年 一 月 十 九 日 民 用 航 空 局 企 法 (62) 字 第 OO 三 八 四 號 令 訂 定 中 華 民 國 八 十 八 年 七 月 十 六 日 民 用 航 空 局 企 法 (88) 字 第 OOO 一 號 令 修 正 中 華 民 國 八 十 八 年 十
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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1983 1983 1 H 1 He 4 C 12 O 16 1 2 6 8 X A Z 2 19 α β γ F ( g) = Gmm' / d 2 F ( e) = qq' / d 2 F( e) / F( g) = 2.3 10 39 1919 α, 1930 α Be 3 4 6 6 4 4.0291 4.0015 0.0276 E=mc 2 4.12 10
國立台灣師範大學
國立台灣師範大學九十八學年度高一數學科第一次期中考試題附屬高級中學第一學期 範圍 : 第一冊 -~-4 009/0/3 一 多選題 ( 一題 5 分, 共計 0 分, 答錯不倒扣 ). 下列各敘述何者為真 : 3 (A) 若 a 為有理數,b 為無理數, 則 a-b 為無理數 (B) 若 a a 8 為有理數, 則 a 為有理數 (C) 若 a c = b d 則 a=b,c=d (D) a b 為有理數,c
康熹中學九十六學年度第一學期
一 單選題 ( ). ABC 中, a, b, c,則面積為: (A) A b cosa + c a bc + ( ).. sina (B) cos A (C) ( ) (D) (E). ABC 面積 bcsina ( ). ABC 中, a, b, c,則外接圓半徑為: (A) B (B) (C) (D) (E). 承上題,已知 sina 外接圓半徑 R a sin A ( ). 下列各組數,何者可為一個銳角三角形三邊長?
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
(3) ˉ( 甲 )ˉ (4) 故 AD BC 請問甲應填入下列何者, 可得完整的證明? (A) 1= 2 (B) AD BC, 1= 2=90 (C) B= C, 1= 2 (D) 1= 2, 又 1+ 2=180, 1= 2=90 6. ( ) ABC 中, AD 垂直平分 BC, 且交 BC
第三章 : 幾何與證明第一節 : 證明與推理一 選擇 1. ( ) 如圖, 已知 AD = BC, 1= 2, 則下列推論何者錯誤? (A) AB =CD (B) AO =OC (C) B= D=45 (D) BAC DCA 2. ( ) 老師問 : 在 ABC 和 DEF 中, 若 AC = DF,BC = EF, 如果要證明 ABC DEF 應該要加上哪一個條件? 甲生說 : AB = DE 乙生說
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() 0 4 5 (km).5 4 5.5 7 8.5 () 0 4 5 (km) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 y5x. y0. 5x4 x y 9 5x y x y 9 5x y x x 6 x y. 55 y5x. y0. 5x4 x 0 x x y y y 5 x x x 4 y y y 5 () x y () y x x 4y 0 4x y x 0 0.4 y 0.5 0 5x y
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
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專科警員班第 32 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 1 C 1 B 1 C 1 B 1 D 2 D 2 A 2 D 2 D 2 B 3 A 3 B 3 C 3 C 3 A 4 B 4 C 4 B 4 A
專科警員班第 期正期組 甲組標準解答 國文標準答案物理標準答案化學標準答案數學標準答案英文標準答案 題號答案題號答案題號答案題號答案題號答案 C B C B D D A D D B A B C C A B C B A B C B A C A 6 B 6 B 6 D 6 A 6 C D B B A A 8 C 8 D 8 C 8 A 8 D 9 A 9 B 9 B 9 C 9 C 0 A 0 A 0
1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
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觀念篇 平面上一個點的位置 直線上一個點的位置 -3-2 -1 1 2 3 4 0 ( 列 ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 平面上一個點的位置 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( 行 ) 平面上任何一個點的位置, 可藉由兩條數線 來協助標出 例題 棋盤上第 3 行第 5 列的位置在哪裡? 直角坐標平面 往右走 3 個巷口往上走 2 個巷口 直角坐標平面是由兩個互相垂直的
幻灯片 1
135 第 期 2015年2月6日 2015年2月6日 一周精粹 明 星 组 合 金 牛 实 盘 模 拟 组 合 初 始 资 金 为 50 万 对 热 门 板 块 成 长 股 重 组 股 和 价 值 股 稳 健 配 置, 结 合 市 场 热 点 转 换 进 行 灵 活 操 作 和 仓 位 管 理, 以 期 获 得 最 大 收 益 组 合 鉴 于 公 司 大 力 发 展 电 子 商 务, 推 进 网
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目 錄 作 者 / 出 處 頁 編 輯 室 報 告 會 刊 編 輯 委 員 會 1 會 務 報 導 會 刊 編 輯 委 員 會 2 法 規 專 論 - 談 民 法 關 於 權 利 之 保 護 如 何 去 行 使 方 稱 允 當 蔣 龍 山 3 如 何 判 斷 農 地 可 否 興 建 農 舍 ( 上 ) 鄭 竹 祐 6 創 新 管 理 - 各 類 疾 病 之 菓 菜 食 療 方 法 ( 續 1) 蔣
讀 年 拉 樂 樂 數 了 識 數理 識了 了 了什 了 老 力 勵 參 數 理論 更
年 數 離 離 紐 蘭 參 紐 蘭 年 立 立 離 來 讀 年 拉 樂 樂 數 了 識 數理 識了 了 了什 了 老 力 勵 參 數 理論 更 錄 離 利 兩 離 兩 行 離 兩不 行 不 離 兩 離 六 離 參 論 論 參 料 1 E A E r > 0 r A A A F E F F F1 F 1 E Γ E r > 0 E r Γ F F1 E E dpf (, 1) + dpf (, ) =
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數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數 多項式 : 餘式定理 因式定理 多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx
EBC$FJ ) -$;)H$!$J#+ K)#H)F#+!#$$ & $()*)+, -$.#$/ )*4 56 7)4 8 9!:; 7)4 55<= 5< 1!#!$! #!#!! & (!)() # *!+,!## #-. $!$,!!! $! )!! #! / &!!#!$ 0
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A B C DA B C D 1 12 s cm 13 m m m m cm cm m m m W mm cm mm m m mmmm V A V V V V V A V K K K P b KP K K K P b K P K K K K P R KK K K K K P b K P K B h h B n t n n t t tnn cm AB A B A B B B B C
4.进度控制（网络计划）0.ppt
全 国 建 筑 类 执 业 资 格 考 试 共 性 案 例 进 度 控 制 网 络 计 划 1 网 络 计 划 常 用 的 工 程 网 络 计 划 类 型 双 代 号 网 络 计 划 双 代 号 时 标 网 络 计 划 单 代 号 网 络 计 划 A 4 B 单 代 号 搭 接 网 络 计 划 1 D 2 4 C 2 E 5 双 代 号 5 F 2 G 4 2 6 1 工 作 A 4 D 2 4 B
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
生死之交
生 死 之 交 臺 中 重 生 堂 聖 書 恩 主 保 薦 家 父 鹹 登 道 岸 BY: 妙 秀 借 著 生 死 之 交 一 書, 來 談 談 後 學 父 親 往 生 前 三 個 月 感 應 俗 話 說 : 水 未 來 前 先 造 岸 但 後 學 還 來 不 及 造 岸, 水 就 來 了, 這 水 更 帶 走 了 家 父 往 昔 曾 請 算 命 師 替 家 父 算 過 其 在 七 十 一 歲 時
第二十八單元相似形 ( ) 1. 下圖是 E F G H I J 六點在菱形 ABCD 四邊上的位置圖, 其中 EF GI HJ 將菱形分成甲 乙 丙 丁 戊 己六個平行四邊形 若 AG : GH : HD 5:10:9, AE : EB 3:5, 則下列哪一圖形與菱形 ABCD 相似? (A) 甲
第二十八單元相似形 ( ) 1. 下圖是 E F G H I J 六點在菱形 ABCD 四邊上的位置圖, 其中 EF GI HJ 將菱形分成甲 乙 丙 丁 戊 己六個平行四邊形 若 AG : GH : HD 5:10:9, AE : EB 3:5, 則下列哪一圖形與菱形 ABCD 相似? (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 99 基測二 18 ( ) 2. 下圖表 x` 示 D E F
類題四 平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標 第 部分分點公式 點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標 答
94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 94 學年高中一年級上學期數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 第二章數與坐標系第 節平面坐標系 第 部分坐標 () 正方形 ABCD 中, 已知 A(, 4), B(, 0), 求 C 與 D的坐標 () 已知正方形之對角線的二頂點坐標為 (, 4),(, 0), 求另二頂點之坐標 答 () C(7,), D(5,6) 或 C(, ), D(,) () (4,
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0
一 是非題 ( 第 題每題 0 分 ). 已知球面 S:x + y + z x + 4y + z 9 = 0, 平面 E :x + y + z = 0,E :x y + z =,E :y =,E 4 :x y z = 0,E 5 :x = y 考慮諸平面與球 面 S 所交的圓之面積 () 面積最大者為 E 與球面 S 所交的圓 () 面積最小者其面積為 6π 解答 () () () 球心 A(,,
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第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
U I = I = I = = 1 R R 40 U=.5V P=0.5 R= U P =.5 05. P=UIP=IRP= U t R I = U, R = U, U = I R R I sh x w r ao i [i:] ei [-!] e [+:] ou [+( ] a [%:] ai [%!] o [&:] au [%( ] u [( :] oi [&!] p [p] h [h]
cumcm0110.PDF
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《分析化学辞典》_数据处理条目_2.DOC
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