Microsoft Word - 向量_2015_.docx

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水禧应
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1 向量重點整理一向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與長度相等, 但方向相反, 記為 := 二向量的運算 : (1) 向量的加減法 : += + = = () 向量的係數積 : (a) 設 a 是一個向量,r 是一個實數, 則 r a 仍是一個向量, 定義如下 : 長度 : r a = r a, 方向 : 若 r>0, 則 r a 與 a 同向 ; 若 r<0, 則 r a 與 a 反向 ; 若 r=0 或 a = 0, 則 r a = 0 (b) 向量平行與係數積 : a // b 可找到實數 t 或 s, 使得 a =t b 或 b =s a 根據向量平行的定義, 可知 : (1 ) 兩個非零向量平行的充要條件是兩向量同向或反向 ~ 向量 -1~

2 ( ) 0 之方向不予限定, 故 0 可視為與任何向量均平行例如 : 設,, 為一直線上的三點, 且 : =3:, 則 = 3 5, = 3 所以同一線段上的三點, 只要知道其線段長度比, 彼此形成的向量就可以互相表示 (3) 向量的內積 : (a) 設 a 與 b 為兩向量,θ 為其夾角, 定義 a 與 b 的內積為 a b cosθ, 符號記為 : a b = a b cosθ 請注意 : a b 是一個實數而非向量, 就好像功是一個純量, 而沒有方向 (b) 向量的垂直 : a b a b =0 (c) 向量的長度 : a = a a (4) 向量內積的運算性質 : 設 a, b, c 為任意三向量,r 為任意實數, 則 a b = b a ( 交換性 ) a ( b + c )= a b + a c ( 分配性 ) r( a b )=(r a ) b = a (r b ) 0 a =0 ( 注意 : 0 a =0 而非零向量 ) a = a a 0, a =0 a = 0 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換, 是一個簡單但重要的性質 a ± b =( a ± b ) ( a ± b )= a ± a b + b (5) 空間向量的外積 : 設空間中兩向量 a 與 b 的外積為一個向量, 記為 a b : (1 ) a b = a b sinθ ~ 向量 -~

3 ( ) a b a b 成右手則的關係 (3 ) a b a, a b b 三向量的坐標化 : (1) 平面向量的坐標化 : 設 u = OP, 而 P 點的坐標為 (a,b), 則用 P 的坐標 (a,b) 來表示向量 u, 記為 u =(a,b), 其中 a 和 b 分別稱為向量 u 的 x 分量與 y 分量 P(a,b) y (a) 長度 : u =(a,b), 則 u = a +b O x (b) 向量相等 : 若 u =(a,b), =(c,d), 則 u = a=c 且 b=d (c) 兩點決定一向量 : 設 (x 1,y 1 ),(x,y ) 為坐標平面上的兩點, 則 =(x x 1, y y 1 ) (e) 用長度方向角決定一個向量 : 將平移到 OP, 其中 O 為原點, 令 OP =r 從 x 軸正向逆 θ y θ 時針轉到 OP 的有向角為 θ, 我們稱為方向角,0 θ<360, 則 = OP =(rcosθ,r sinθ) P O x () 空間向量的坐標化 : 空間中兩點 (a 1,a,a 3 ) (b 1,b,b 3 ),=(b 1 -a 1,b a,b 3 a 3 ) (a) 長度 : 設 u =(a,b,c), 則 u = a +b +c (b 1,b,b 3 ) z P a = α (b) 向量相等 : u =(a,b,c), =(α,β,γ) 若 u =, 則 b = β c = γ (3) 向量坐標化與向量的運算 : (a) 平面上 : 設 a =(a 1,a ), b =(b 1,b ), 則 (a 1,a,a 3 ) x O y a + b =(a 1 +b 1,a +b ) a b =(a 1 b 1,a b ) r a =(ra 1,ra ),r R ~ 向量 -3~

4 a // b a 與 b 的分量成比例 a b =a 1 b 1 +a b (b) 空間中 : 設 a =(a 1,a,a 3 ), b =(b 1,b,b 3 ), 則 a + b =(a 1 +b 1,a +b,a 3 + b 3 ) a b =(a 1 b 1,a b,a 3 b 3 ) r a =(ra 1,ra,ra 3 ),r R a // b a 與 b 的分量成比例 a b =a 1 b 1 +a b +a 3 b 3 a a 3 a 3 a 1 a b =( b b 3, b 3 b 1, 四分點公式與三點共線 : (1) 分點公式 : a 1 a b 1 b ) 設點 P 在線段上, 且 P: P =m:n, 則對任一點 O( 不一定原點 ) 恆有 n OP = m+n O+ m m+n O (a) 分點公式中 O 為任意點, 如令 O=, 則 P = m m+n, 這也是一個很好用的分點公式 P m (b) 根據係數積的定義,// P, 所以 P =t, 且 = m+n, 與 P 同向, 故可知 P = m m+n () 重心公式 : 若 Δ 中,G 為 Δ 的重心,O 為任何一點, 則 (a)og = 1 3 (O+O+O) (b) 若令 O=, 則 G= 1 3 (+) (c) 若令 O=G G+G+G= 0 (3) 內心公式 : Δ 中, 三邊之長分別為 c,a,b,i 為 Δ 之內心,O 為任何一點 ~ 向量 -4~

5 (a) OI = a a+b+c O+ b a+b+c O+ c a+b+c O (b) 令 O=I, 則 I = b a+b+c + c a+b+c (4) 三點共線的條件 :,,P 三點共線存在兩數 α,β, 使得 OP =α O+βO, 其中 O 為任意點且 α +β =1 注意 : 設 P 點在上, 根據 (4) 的結論, 可找到 α,β 使得 OP =α O+(1 α)o (a)0 α 1, 則 P 在線段上,(b)α>1, 則 P (c)α<0, 則 P, (d)α=0, 則 P=,α=1, 則 P= 五內積的應用 : (1) 求夾角 : a b = a b cosθ cosθ= a b a b (a) 坐標平面上 : 設 a =(a 1,a ), b =(b 1,b ) cosθ= a 1 b 1 +a b a 1 +a b 1 +b (b) 空間坐標中 : 設 a =(a 1,a,a 3 ), b =(b 1,b,b 3 ) cosθ = 1 () 求面積 :Δ 面積為 ( ) a 1 b 1 +a b +a 3 b 3 a 1 +a +a 3 b 1 +b +b 3 [ 證明 ]:Δ= 1 sin =1 1 cos = 1 ( ) (a) 坐標平面上 : 設 =(m.n),=(p,q) Δ= 1 m p n q (b) 空間坐標中 : 設 =(m,n,l),=(p,q,r) Δ= 1 (3) 求正射影 : a 對 b 的正射影為 ( a b ) b b (4) 柯西不等式 :(auchy's Inequality) (a) 向量形式 : 設 a, b 為平面上任意二向量, 則 a b a b, 等號成立 a // b ~ 向量 -5~

6 (b) 坐標型式 : 平面坐標 : 若 a 1,a,b 1,b 為任意四個實數, 則 (a 1 +a )(b 1 +b ) (a 1 b 1 +a b ), 等號成立 (a 1,a )=t(b 1,b ) 空間坐標 : 若 a 1,a,a 3,b 1,b,b 為任意六個實數, 則 (a 1 +a +a 3 )(b 1 +b +b 3 ) (a 1 b 1 +a b +a 3 +b 3 ), 等號成立 (a 1,a,a 3 )=t(b 1,b,b 3 ) (5) 平行六面體的體積 : 向量 a =(a 1,a,a 3 ), b =(b 1,b,b 3 ), c =(c 1,c,c 3 ) 所展成的平行六面體的體積等於 ( b c ). a = ( c a ). b = ( a b ). c = a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 林信安老師編寫 [ 例題 1] 若一三角形,a=4,b=5,c=6, 試求 =? [ 答案 ]: 45 = cos= =45 [ 例題 ] 二向量 a, b, 若 a =3, b =4, 且 a + b = 13, 則 (1) a 與 b 之夾角為何? () 3 a + b =? [ 答案 ]:(1) π 3 () 73 (1) 若可以知道 a b 即可用內積的定義 a b = a b cosθ, 求出夾角 θ ~ 向量 -6~

7 a + b = a + b + a b 13= a b a b = 6 Q a b = a b cosθ, cosθ= 1 θ=π 3 () 用 a a = a 求向量的長度 : 3 a + b =(3 a + b )(3 a + b )=9 a +4 b +1 a b 3 a + b =73 3 a + b = 73 ( 練習 1) ( 向量運算的基本性質 ) 如右圖所示,O 為正方形對角線的交點, 且 E F G H 分別為線段 O,O,O,O 的中點 E H 試問下列何者為真? ()+ = E + EF + FG +G () = EF () = ()+ F + FE = G F O G (E)E F =0 (86 大學聯考社會組 ) [ 答案 ]:( 全 ) ( 練習 ) 在正六邊形 EF 中, 令 = a, = b, E 試以 a 和 b 表示下列諸向量 : F (1) () E (3) EF (4) [ 答案 ]:(1) a + b () a (3) b (4) a + b (5) a b ( 練習 3) 設 a b, 且 a =3, b =1, 若 a +(t +5) b 與 - a +t b 互相垂直, 則實數 t= [ 答案 ]:t= ( 練習 4) 中, =5, =6, =7, 試求 : (1).= (). = ~ 向量 -7~

8 [ 答案 ]:(1)19() 6 林信安老師編寫 ( 練習 5) 在四邊形中, =10, =1 =, 且 =3 +, 則的長度為何? [ 答案 ]: 13 [ 例題 3] Δ 中,O 為任意點 (1) 證明 :OG= 1 3 (O+O+O) () 若 G 為 Δ 的重心, 試證 :G= (3) 試證 :G 為 Δ 的重心 G+G+G= 0 [ 證明 ]: (1) 延長 G 交於,QG 為重心 O G:G=:1 且 :=1:1 OG= 1 3 O+ 3 O,O=1 (O+O) G OG= 1 3 O+ 3 (1 O+1 O)=1 3 (O+O+O) ()(1) 中 O 為任意點, 令 O= G= 1 3 (++)= (3)(1) 中 O 為任意點, 令 O=G GG= 1 3 (G+G+G) G+G+G= 0 [ 例題 4] ( 分點公式與三點共線 ) 設 Δ 中有一點 P, 且滿足 5 P =+, 設直線 P 與交於點, 請求出下列二小題 :(1) =? ()ΔP Δ =? [ 答案 ]:(1) () 4 15 Q5 P =+ P = Q P //, 可令 =t P =t( )=t 5 +t 5 ~ 向量 -8~

9 林信安老師編寫 Q 三點共線, t 5 +t 5 =1 t=5 3 P = 5 3 P = 根據分點公式與向量平行的概念 :=:1 =,P:=3:5 ΔP Δ = P = 5,Δ Δ = = 3 ΔP Δ =ΔP Δ Δ Δ = 4 15 [ 例題 5] 設,, 為不共線三點, 已知 =, = 1, = 60, P =x +y 其中 x, y 均為實數, (1) 若 x 0, y 0 且 x + y = 1, 試求 P 點軌跡的幾何度量 () 若 x 0, y 0 且 x+ y =, 試求 P 點軌跡的幾何度量 (3) 若 1 x 3, 4 y, 試求 P 點軌跡的幾何度量 (1) P 點軌跡為線段, 而 = cos 60 = 3 () 令 =, E=, Qx+y=, P = x ()+ y x () P = ()+ y ( E ), 且 x + y =1, x 0, y 0, 故 P 點軌跡為線段 E, 而 E== 3 (3) 如右圖 :P 點軌跡為一平行四邊形, 其中 1 =3, =, 1 = = 4, 平行四邊形面積 =4( Δ 面積 )= 4 1 sin 60 = 4 3 ~ 向量 -9~

10 ( 練習 6) 若三點共線, 且 5O=(t 1)O +(3t 4)O, 求實數 t 的值 [ 答案 ]:t= ( 練習 7) O,, 三點不共線,P 點在直線上, 但不在線段上, 且 P : P =5:, 設 OP =xo+yo, 求 x,y [ 答案 ]:x= 3,y=5 3 ( 練習 8) 設為坐標平面上一三角形,P 為平面上一點且 P = , 則 ΔP 面積等於 Δ 面積 (1) 1 5 () 1 4 (3) 5 (4) 1 (5) 3 (003 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:(3) ( 練習 9) 設 Δ 為平面上的一個三角形,P 為平面上一點且 P = t, 其中 t 為一實數試問下列哪一個選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在的內部? (1)0<t< 1 4 ()0<t<1 3 (3)0<t<1 (4)0<t< 3 (5)0<t<3 4 (93 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:(4) ~ 向量 -10~

11 [ 例題 6] 令, 為坐標平面上兩向量已知的夾角為 60 令 u = + 以及 x y 0, 則內積 [ 答案 ]:31 u. =( = x + ).(x, u. +y + y + ( x + y) 的長度為 1, 的長度為且林信安老師編寫與之間 =x +y, 其中 x,y 為實數且符合 6 x + y 8 的最大值為 (013 學科能力測驗 ) ) = x 1 + y 1 + ( x + y) 1 cos 60 =x+4y+(x+y)=x+5y x,y 為實數且符合 6 x + y 8以及 x y 0 圖形如右 : 利用頂點法可得最大值為 31 [ 例題 7] 如圖, 以 M 為圓心 M=8 為半徑畫圓, E 為該圓的直徑, 三點皆在圓上, 且 = = = E 若 M=8(cos(θ+90 ),sin(θ+90 )) 請選出正確選項 (1) M=8(cosθ,sinθ) () M=8(cos(θ+45 ),sin(θ+45 )) (3) ( 內積 ) M.M=8 (4) ( 內積 ) M.M=0 (5) =8(cosθ +cos(θ+90 ),sinθ +sin(θ+90 )) (015 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:()(4) 如下圖, 依題意,M=8(cos(θ+90 ),sin(θ+90 )), 建立坐標系, 以 M 為原點, 且點 ~ 向量 -11~

12 的方向角為 θ 故 M=8(cosθ,sinθ) (1) 錯誤, M>0, M 8(cosθ,sinθ) () 正確,Q M=45,M=8(cos(θ+45 ),sin(θ+45 )) (3) 錯誤,M.M=8 =64 (4) 正確,Q M M, M.M=0 (5) 錯誤,=M M=8(cos(θ+90 ) cosθ,sin(θ+90 ) sinθ ) [ 例題 8] 設 u =(,1,3), =(1,0,), w = u +t ( t R) 則 t= 時, w 有最小值為何? [ 答案 ]:t= 8 5, w 的最小值為 30 5 w = u +t =(,1,3)+t(1,0,)=(t+,1,t+3) w =(t+) +1 +(t+3) =5t +16t+14=5(t+ 8 5 ) 當 t= 8 5 時, w 的最小值為 6 5 = 30 5 H G ( 練習 10) 如圖, 每一個面皆為平行四邊形的六面體, E(1,-3,) F 稱為平行六面體, (-1,1,-1) 求 G 點的坐標 [ 答案 ]:G(, 1,4) (0,0,0) (,1,3) ( 練習 11) 令 ( 1,6,0),(3, 1, ),(4,4,5) 為坐標空間中三點若為空間中的一點且滿足 3 4+= 0, 則點的坐標為 (008 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:( 7,30,18) ( 練習 1) 在坐標平面上,(150,00) (146,03) ( 4,3) O(0,0), 則下列敘述何者為真?(001 學科能力測驗 ) () 四邊形 O 是一個平行四邊形 () 四邊形 O 是一個長方形 () 四邊形 O 的兩對角線互相垂直 ~ 向量 -1~

13 () 四邊形 O 的對角線長度大於 51 (E) 四邊形 O 的面積為 150 [ 答案 ]:()()(E) ( 練習 13) 小明在天文網站上看到以下的資訊可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星 : 由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星, 其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍今小明將所見的星空想像成一個坐標平面, 其中天璇的坐標為 (9,8) 及天樞的坐標為 (11, 7) 依上述資訊可以推得北極星的坐標為 (01 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:( 3,6) ( 練習 14) 在坐標平面上有四點 O(0,0),( 3, 5),(6,0),(x,y) 今有一質點在 O 點沿 O 方向前進 O 距離後停在 P, 再沿 P 方向前進 P 距離後停在 Q 假設此質點繼續沿 Q 方向前進 3 Q 距離後回到原點 O, 則 (x,y)= (009 學科能力測驗 )[ 答案 ]:( 4,0) [ 例題 9] ( 坐標化用內積求幾何量 ) 如右圖, 為正立方體的一個面,P Q 分別為的中點,O 為正立方體的中心, 則 cos( POQ)=? O [ 答案 ]: 1 P 如右圖, 建立空間坐標系, 設正立方體的邊長為 1, Q (1,1,1) (0,1,1) (0,1,0) (1,1,0) O( 1,1,1 ) P(0,1,1 ) Q(1,1,0) z POQ 可視為 OQ 與 OP 的夾角,OQ=(0, 1, 1 ), OP =( 1,1,0) OQ OP = OQ OP cos( POQ) 1 4 = cos( POQ) cos( POQ)=1 ~ 向量 -13~ x O Q P y

14 [ 例題 10] 如圖所示, 正立方體 EFGH 的稜長等於 ( 即 =),K 為正方形的中心,M N 分別為線段 F EF 的中心試問下列哪些選項是正確的? (1)KM= E () ( 內積 )KM =1 (3) KM=3 (4) ΔKMN 為一直角三角形 (5) ΔKMN 之面積為 (009 學科能力測驗 ) [ 答案 ]:(1)(4) 10 (1) KM=M K=+ 1 E 1 (+) = E (1) 真 () KM =( E) =1 = () 不真 (3) KM = 1 4 ( + + E )=3 ( 因為 E 互相垂直 ) KM= 3 (3) 不真 (4)(5) 可以由建立座標系解決 : 選點 E 為座標原點, 則圖中的點 K M N 的座標依序為 (0,0,) (,0,) (0,,) K(1,1,) M(,0,1) N(1,0,0) (4) KM = 3, KN = 5, MN = 所以, KN = KM + MN, KMN 為一直角三角形 (5) KMN 之面積為 1 KM MN = 6,(5) 不真 [ 例題 11] 空間中有三點 (1,0,1) (3, 1,) (0,1, 1) (1) 在上的正射影為何? () 求向量在上的正射影長度? (3) 求點在直線上的投影點坐標? ~ 向量 -14~

15 [ 答案 ]:(1)( 5 6, 5 6,5 3 ) ()5 6 6 (3)( 11 6, 5 6,8 3 ) (1)=(, 1,1) =( 1,1, ) 在上的正射影 =( )= 5 6 ( 1,1, ) () 在上的正射影長度 = 5 6 ( 1,1, ) =5 6 6 (3) 設點在直線上的投影點為 (m,n,l) =(m 1,n,l 1)= 5 6 ( 1,1, ) (m,n,l)= (11 6, 5 6,8 3 ) [ 例題 1] 設 x,y,z 為實數, 且 x +y +z =9, 求 x+y z 之 (1) 最小值 =, 此時 (x,y,z)= () 最大值 =, 此時 (x,y,z)= [ 答案 ]:(1) 9,(,,1) ()9,(,, 1) 根據柯西不等式 (x +y +z )( + +( 1) ) (x+y z) 9 9 (x+y z) 9 x+y z 9 等號成立 x = y = z 1 =t x=t,y=t,z= t 代入 x+y z=±9 t= 1 (x,y,z)= (,,1),x+y z= 9 最小值 t=1 (x,y,z)= (,, 1),x+y z=9 最大值 ( 練習 15) 右圖是一個正立方體, 被平面截出一個四邊形, 其中分別是稜的中點, 且 E: F = 1: 則 cos = E (00 學科 ) [ 答案 ]: 1 37 F ( 練習 16) 右圖為一正立方體, 若 M 在線段上, M = M, 4 N 為線段之中點, 則 cos MON =? [ 答案 ]: ~ 向量 -15~

16 ( 練習 17) 設 O=( 1,,3) O=(4,6, 1)(1)O O=? ()ΔO 的面積 =? [ 答案 ]:(1) ( 0,11, 14) () ( 練習 18) 設平面上三點 (1,1) (5, ) (5,), 試求 (1) 在上的投影量 () 在上的正射影 (3) 點在上的投影點 [ 答案 ]:(1) 13 5 ()13 5 (4, 3) (3)(77 5, 14 5 ) ( 練習 19) 設空間中三點 (1,1,1) (,3,4) (3,,1), 若 a =, b =, 則下列敘述那些是正確的?(90 台北區指定考科模擬測驗 ) () a b =4 () a b 之長度為 3 3 () a, b 之夾角小於 60 3 ()Δ 之面積為 6 (E) 6 到直線的距離為 3 [ 答案 ]:()()(E) 11 ( 練習 0) 空間中, 兩向量 a =(1,,3) b =(x,y,z), 已知 x +y +z =56, 則 a b 的最大值為何? 此時 b =? [ 答案 ]:8,(,4,6) ~ 向量 -16~

17 綜合練習 H G 1. 如右圖,-EFGH 為一平行六面體,K 為四邊形 GF 的中心, 如果 K=a +b +c E, 試問下列哪些選項是正確的? (003 學科能力測驗 ) E F K (1) 1 3 <b< 3 ()a+b+c= (3)a=1(4)a=c (5)a=b. 設點 (,) (4,8) 為坐標平面上兩點, 且點在二次函數 y= 1 x 的圖形上變動當點的 x 坐標為時, 內積有最小值 (01 學科能力測驗 ) 3. 如右圖 O 為一金字塔, 底是邊長為 1 之正方形, 頂點 O 與之距離均為, 試問下列哪些式子是正確的?(004 學科能力測驗 ) (1)O +O+O+O= 0 ()O+O O O = 0 (3) O O+O O= 0 (4)O O=O O (5)O O = 4. 如右圖所示, 兩射線 O 與 O 交於 O 點, 試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內? 3 1 (1) O + O () O + O (3) O O (4) O + O O (5) O O 在坐標平面上的 Δ 中,P 為邊之中點,Q 在邊上且 Q= Q 已知 P =(4,3), PQ =(1,5), 則 = (007 學科能力測驗 ) ~ 向量 -17~

18 6. 標平面上有一質點沿方向 u = (1, ) 前進現欲在此平面上置一直線 L, 使得此質點碰到 L 時依光學原理 ( 入射角等於反射角 ) 反射, 之後沿方向 =(,1) 前進, 則直線 L 的方向向量應為 w = (008 學科能力測驗 ) 7. 坐標平面中, 向量 w 與向量 =(, 5) 互相垂直且等長請問下列哪些選項是正確的? (1) 向量 w 必為 ( 5, ) 或 ( 5,) () 向量 + w 與 w 等長 (3) 向量 + w 與 w 的夾角可能為 135 (4) 若向量 u =a +b w, 其中 a,b 為實數, 則向量 u 的長度為 a +b (5) 若向量 (1,0)=c +d w, 其中 c,d 為實數, 則 c>0 (011 學科能力測驗 ) 8. 設空間向量 a =(1,3,) b =(3,0,) c =(1, 1,3), 試求 : (1) a b () b a (3) a b 所展成的平行四邊形面積 (4) a b c 所張成的平行六面體體積 9. 如圖, 正四面體, 每邊長為 a,m 為之中點, H 為 Δ 的重心, 則下列敘述何者是正確的? () = a () = ()H =0 () M= a (E)H = 3a 空間中, 以為共同邊的兩正方形 EF, 其邊長皆為 4 已知內積 F ~ 向量 -18~ M H

19 =11, 則 E= (01 指定甲 ) 11. 平面上有一 Δ,G 為 Δ 的重心,O 為此平面上相異二點, 且滿足 O=O+O+O 請選出正確的選項 (1) O G 三點共線 () O=OG (3) ++=O (4)G 位於 Δ 的內部 (5) 位於 Δ 的外部 1. 如下圖, 在坐標空間中,,,,,E,F,G,H 為正立方體的八個頂點, 已知其中四個點的坐標 (0,0,0) (6,0,0) (0,6,0) 及 E(0,0,6),P 在線段 G 上且 P : PG = 1: 5,R 在線段 EH 上且 ER : RH = 1: 1,Q 在線段上若空間中通過 P,Q,R 這三點的平面, 與直線 G 不相交, 則 Q 點的 y 坐標為 ( 化成最簡分數 ) (013 學科能力測驗 ) 13. Δ 中, 之內角平分線交於, =3, =6, =10, 則 = 14. 平面上三點 (3, ) ( 1,1) (5,4), 若點 P 滿足 P =r+s, 且 1 r,0 s, 則求點 P 所成區域之面積 15. 於 Δ 中, =7, =8, =11,I 為 Δ 的內心, 令 I =x +y, 求 (x,y)=? 16. Δ 中, 為中點,E 在上, 且 =3 E, E 交於 F 點, 求 x,y 使得 F =x +y 17. 空間中, 設 G 為 Δ 的重心, 若已知 G =3, G =5, G =7, ~ 向量 -19~

20 則求 (1) G+G+G=?() G G=?(3)Δ 的面積 =? 18. 平行四邊形中, =4, =6, 求 =? 19. 設 Δ 的垂心為 H, 且 =5, =6, =4, (1) 試證 :H =H = () 求 (3) 若 H=x+y, 求 x,y 之值 0. 設 O=(,,1),O =( 1,1,0) 且 O=O+t O,t 為實數, 若射線 O 平分 O, 則 t= 1. 設 (1,,3),(,1,),( 1,3,4), 在直線上之投影為 P, 若 P =t, 則 t=. 考慮向量 u =(a,b,0) =(c,d,1), 其中 a +b =c +d =1 請選出正確選項 (1) 向量與 z 軸正向的夾角恆為定值 ( 與 c,d 之值無關 ) () u. 的最大值為 (3) u 與夾角的最大值為 135 (4) ad bc 的值可能為 5 4 (5) u 的最大值為 (013 指定甲 ) ~ 向量 -0~

21 答案與詳解 1. [ 答案 ]:(1)()(3)(4) 連 F,K 為 F 的中點 H G K= 1 F +1 =1 (+ E)+1 (+)=+1 +1 E a=1,b= 1,c=1 故選 (1)()(3)(4) E F K. [ 答案 ]: 1, 3 令 (t, 1 t ) =(6,6) (t+, 1 t )=3t +6t=3(t+1) 3 故當 t= 1 時, = 3 最小 3. [ 答案 ]:(3)(4) 如圖,E F 分別為的中點 (1)O +O= OE,O+O= OF O +O+O+O=( OE + OF ) 0 () O+O O O=( OE OF )= FE 0 (3)O O+O O=+= 0 (4) O O= O O cos( O) O O= O O cos( O) E F QΔO ΔO O = O = O = O 且 O= O O O=O O (5)Q O= O=, = O O= O O cos( O)= + ( ) =3 故選(3)(4) ~ 向量 -1~

22 4. [ 答案 ]:(1) () [ 解答 ]: 陰影區域 OP = r O + s O 其中 r 0, s 0, r + s 1, 所以只有 (1) () 合於所求 5. [ 答案 ]:( 1,1) [ 解答 ]: = P, 因為 Q= Q, 所以 PQ = 1 3 P + 3 P P =3 PQ P Q 因此 =3 PQ P = ( 4,3) + 3(1,5 ) = ( 1,1) P 6. [ 答案 ]:( 1,3) 如圖, 因為 u =, 入射角 = 反射角,. u. u + 所以 u + =( 1,3) 平行 L 的方向向量 7. [ 答案 ]:(1)()(5) (1) 可以利用複數 (+ 5i)i= 5+i,(+ 5i)( i)= 5 i () 根據右圖, 可以得知 () 正確 (3) 根據右圖, 可以得知 (3) 錯誤 (4) u = a +b w =a +b w (Q w ).. u u =3 a +b (5)(1,0) =c = c>0 8. [ 答案 ]:(1)(6,4, 9) ()( 6, 4,9) (3) 133 (4)5 略 9. [ 答案 ]:()()()() () = cos60 = a ~ 向量 -~

23 () = cos60 = a = () 因為 H 為 Δ 的重心 HM H =(M+MH) =M +MH =0 () M= ( 1 +1 )=1 +1 a = (E)H = H (H+H)= H = H = a 3 故選 ()()()() 10. [ 答案 ]:7 E =(+) (+ F ) = + F + + F =16+11=7 11. [ 答案 ]:(1)(3)(4) QG 為 Δ 的重心 OG= 1 3 (O+O+O)= 1 3 O F E 故 O G 三點共線 O=3 OG ++=(O O)+(O O)+(O O) =3(O+O+O) (O+O+O) =(O+O+O)=O 而 G 位於 Δ 的內部, 不一定位於 Δ 的外部 [ 答案 ]: 11 由題意知 P(6,6,1) R(0,3,6), 設 Q(0, y,0) 則平面 E PQR 之法向量 n 滿足 n PQ PR =(-6,y-6,-1) (-6,-3,5) =(5y-33, 36, 6y-18) 又直線 G 與平面 E PQR 不相交, 則直線 G 平面 E PQR ~ 向量 -3~

24 G. n =0 林信安老師編寫 15 (6,6,6).(5y-33, 36, 6y-18)=0 11y-15=0 y= [ 答案 ]: [ 解法 : Q 為的分角線 : = : =1: = = = = cos10 =4 = 14. [ 答案 ]:180 區域如下圖, 面積 =6 由所張成的平行四邊形面積 = [ 答案 ]:( 11 6,7 6 ) I = [ 答案 ]:x= 5,y=1 5 ~ 向量 -4~

25 Q:=1:1 且 E:E=1: =,=3 E F = x +y=x()+y QF 三點共線 x+y=1 (*) F = x +y=x+y(3 E) Q F E 三點共線 x+3y=1 (**) 由 (*)(**) 解得 x= 5,y=1 5 E 17. [ 答案 ]:(1) 0 () 15 (3) (1)Q G 為 Δ 的重心, G+G+G= 0 F ()Q G+G+G= 0, G+G= G G = G+G G + G +G G= G G G= 1 ( G + G G )= 1 ( )= 15 (3)Δ=3 ΔG ΔG= 1 G G (G G) = [ 答案 ]:0 =+,= =(+) ( )= =6 4 =0 Δ=3 ΔG= [ 答案 ]:() 7 (3)x=7 35,y= 3 35 (1) 如右圖, 設 H=α, H=β E F 分別為三邊上的高 H = H cosα= H cosα= F = cos= F H = 同理,H = E = ~ 向量 -5~

26 林信安老師編寫故 H =H = E () = cos= =7 F (3)Q H=x+y =H =( x+y) =x +y 16x+ 7 y=7 (*) =H =( x+y) =x +y 7 x+36y=7 (**) 由 (*)(**) 解得 x= 7 35,y= [ 答案 ]: 3 H Q 射線 O 平分 O, 設 O O 的夾角 =O 與 O 的夾角設 O O 的夾角 α,o 與 O 的夾角 β cosα=cosβ O=(,,1),O =( 1,1,0),O =( t,+t,1) O O O O =cosα=cosβ= O O O O t= 3 1. [ 答案 ]:t= 7 17 P =+ P, P P =0 (+ P ) =0 (+t ) =0 t= = [ 答案 ]:(1)(3)(5) Q u =(a,b,0) =(c,d,1), 且 a +b =c +d =1 u 可以視為起點為 (0,0,0), 終點在 z=0 上以 (0,0,0) 為圓心的圓上的點可以視為起點為 (0,0,0), 終點在 z=1 上以 (0,0,1) 為圓心的圓上的點 ~ 向量 -6~

27 (1) 向量與 z 軸正向的夾角恆為 45 ( 與 c,d 之值無關 ) ( 也可以根據.(0,0,1)=1 來得知 ) () u. u =, 但是 u 與並不會平行, 因此等號不成立, 故 () 錯誤 Q u. =ac+bd, 根據科西不等式 (a +b )(c +d ) (ac+bd), 1 ac+bd 1, 且當在 z=0 平面上投影向量 / 與 u 同向時, 等號會成立故最大值 =1 (3) 設 u 夾角為 θ u. =ac+bd= u cosθ Q 1 ac+bd 1, 且 ac+bd= 1 會成立, 1 1 cosθ u 與夾角的最大值為 135 (4) 設在 z=0 平面上投影向量 / ad bc = u 與 / 所張成的平行四邊形面積 u / =1 故 (4) 錯誤 (5) u = u sinα= sinα 當 α=90 時, 等號會成立 ( u 在 z=0 平面上投影向量 / ),(5) 正確 ~ 向量 -7~

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc 98 向量 4- 向量的意義向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之和向量 CD 的長度相等方向相同則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量以表之 () 反向量