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1 試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8 k, 7 k (7 )x ( 9)y ( ) 5x 5y,故 x y 為所求直線方程式.已知坐標平面上三點 A(,), B(5,7), C(, ),若直線 L 過 C 且與 A, B 兩點等距離,求直線 L 之方程式. 編碼 5 難易 難 出處 康熹自命題 解答 x y 7 或 x 直線 L 過 C 且與 A, B 兩點等距離, A, B 與 L 之情形有二 : L // AB. L 過 AB 之中點 M. L // AB ; AB 之斜率 m 7 5 ( ),而 L 過 C(, ) 且平行 AB, 由點斜式, L 之方程式為 y (x ) x y L 過 AB 之中點 M(, ) (, 5),又 L 過 C(, ), 由兩點式知 L 之方程式為 (y )( ) (x )(5 ) x. 由 知, L 之方程式為 x y 7 或 x. 直角坐標平面上三點 O(,), A(,), B(8,8),有一圓 C 通過 O, A, B 三點,試求 : ()OA 之中垂線方程式. () 圓 C 之圓心 R 的坐標 ( 即 OAB 的外心 R). 編碼 6 難易 中 出處 北一女中段考題

2 解答 () x y 5 ;() R(,) ()OA 之中點為 M(,),斜率為, 所以 OA 之中垂線 L :y (x ),即 L :x y 5. () OB 之中點 N(,),斜率為, 所以 OB 之中垂線 L :y (x ),即 L :x y 8, R 為 OAB 之外心,即 L 及 L 之交點為 R, L : x y 5 解,得 R(,). L : x y 8 過點 (, ) 且與兩軸所圍之三角形面積為 之直線方程式為何? 編碼 7 難易 中 出處 豐原高中段考題 x y x 解答 或 y 設 x 截距 a, y 截距 b L: x a y b, a, b, 過 (, ), a b b a b a ab, ab 與兩軸所圍三角形面積為, ab ab 8, () 當 ab 8,解, 得 b a 8 b a, b a, ab a( a) 8 a a 8, (a )(a ) a 或, (a, b) (,) 或 (, ). () 當 ab 8,解, 得 b a 8 b a, b a, ab a( a) 8 a a 8, 此時 a 無實數解 ( ( )..8 ). x y x 由 ()() 知, L: 或 y. 過點 (, ) 且 x 截距與 y 截距之絕對值相等之直線方程式為何? 編碼 8 難易 中 出處 豐原高中段考題 解答 x y 或 x y 或 x y 5 設 x 截距 a, y 截距 a L: x a y a L: x a y (a ), a

3 若 L: x a y a, L 過 (, ) a a a, a, L:x y. 若 L: x a y a, L 過 (, ) a a 5 a, a 5, L: 5 x 5 y x y 5. 若 a,則 x 截距, y 截距 L 過 (,), L:y kx, 又 L 過 (, ), k k L:y x x y. 三角形之三邊所在之直線方程式為 L :x y, L :y, L :x y,若直線 L:y mx 與三 角形相交,求 m 之範圍. 編碼 9 難易 中 出處 康熹自命題 解答 m 或 m L :x y 與 L :y 之交點 A(,), L :x y 與 L :x y 之交點 B(, ), L :y 與 L :x y 之交點 C(,),而 L:y mx 恆過點 D(, ),而斜率為 m, 又 BD 之斜率 m BD 6, CD 之斜率 m CD, 若直線 L 與 ABC 相交,則 m 之範圍為 m 或 m. ABC 中, A(, 5), B(,),垂心 (, ),求 : ()C 點坐標. ()ABC 之面積. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題

4 解答 ()C(,5);() () 設 C(x, y), A(, 5), B(,),垂心 H(, ), AH BC, m. m AH BC 5 y. 5x y 5, x 又 BH AC, m. m BH AC y. 5 5x y 5, x 得 y, y 5 代入 得 x,故 C(,5). ()ABC 之面積 如圖,五邊形 ABCDE 中,若 AB 線段, BC 線段, CD 線段, DE 線段, EA 線段的斜率分別為 m, m, m, m, m 5,請比較五邊線段之斜率大小? 編碼 難易 易 出處 北一女中段考題 解答 m 5 m m m m 由圖可知 :m 5 m m m m.

5 如圖 ABCD 為梯形, AD AB, AD 交 y 軸於 S, CD 交 x 軸於 T,已知三頂點 A(,), B(, 6), C(5, ), 試求頂點 D 的坐標,並求 DST 的面積. 編碼 難易 難 出處 康熹自命題 解答 5 8 設 D(x, y), m AD y x y x, m 6, m AB ( ) DC y x 5, y x.( ) y x ; y y x 9, x 5 解 得 x, y, D(,), AD :y (x ) y (x ),令 x y, S(, ), CD :y (x ) y x 9,令 y x 9 5, T( 9, ), 9 9 DST ODS ODT OST ( ) ( ) ( ) 5 8. 有一道光線從第一象限沿著直線 L:x y 射向 x 軸上的 P 點,經 x 軸反射後,光線沿著另一條直線 L 離 去,求 : () 點 P 的坐標. () L 的方程式. 編碼 難易 難 出處 康熹自命題

6 解答 () (, );() x y () P 是 L 與 x 軸的交點, y xy P(, ). () 由 知 L 的斜率 tan, L 的斜率 tan(8 ) tan tan, L 方程式為 x y ( 過點 P). 如圖, AB, BC, CD, DE, AE 的斜率分別為 m, m AB BC, m CD, m DE, m AE,比較其大小關係. 編碼 難易 易 出處 康熹自命題 解答 m BC m AB m DE m m CD AE 右傾且傾斜度 BC AB DE m m m, BC AB DE 左傾且傾斜度 AE CD m m m CD AE BC m AB m DE m m. CD AE 求滿足下列條件的直線方程式 : () 直線 L 通過 A(,), B(, ). () 直線 L 通過點 A(,) 且斜率為. () 直線 L 斜率為 且 y 截距為. 編碼 5 難易 易 出處 康熹自命題

7 解答 () x y ;() x y ;() x y () 直線 L 的斜率為, 方程式為 y ( x ),即 x y. () 由點斜式知 L 的方程式為 y ( x ),即 x y. () y 截距 表示直線 L 通過 (,), 方程式為 y ( x ),即 x y. 求滿足下列條件的直線 L 的方程式 : () 直線 L 通過 P(,) 且與直線 L :x y 平行. () 直線 L 通過 P(,) 且與直線 L : x y 垂直. () 直線 L 通過 P(,) 且與 y 軸垂直. () 直線 L 通過 P(,) 且與直線 x 平行. 編碼 6 難易 易 出處 康熹自命題 解答 () x y ;() x y ;() y ;() x () L 的斜率為 且 L// L L 的斜率 L 方程式 : y ( x ),即 x y. () L 的斜率為 且 L L L 的斜率為 L 方程式 : y ( x ),即 x y. () 直線 L 與 y 軸垂直, L 必為水平線, L 方程式 : y 又因為 L 通過 P(,), L 方程式 : y. () L 與 x ( y 軸 ) 平行, L 方程式為 x k, 又因為 L 通過 P(,), L 方程式 : x. 若 A(,), B(,), C(5,7) 為平面三角形的三個頂點,求 AB 邊的 () 中線方程式. () 垂線方程式. () 中垂線 ( 即垂直平分線 ) 方程式. k, 編碼 7 難易 中 出處 康熹自命題 解答 () 7xy 7 ;() x y ;() xy 5 設 M 為 AB 邊中點, H 為 CH 的垂足, 則 CM, CH,直線 L 分別為 AB 邊的中線 垂線及中垂線,

8 7 7 7 () M 坐標為 (, ) (, ), CM 斜率為 7,又 CM 過 C(5,7), 5 直線 CM 方程式為 7xy 7. () AB 斜率為,又 CH AB, CH 斜率為,且 L 過 C(5,7), 直線 CH 方程式為 x y. 7 () 中垂線 L // 直線 CH : x y 且 L 過 M (, ), 5 L 方程式為 x y,即 xy 5. 三直線 L : x y, L : x y, L : x y 圍成一個三角形,試求此三角形的 () 重心. () 垂心. () 外心. 編碼 8 難易 難 出處 康熹自命題 解答 () (, );() (, );() (, ) 6 6 x y x, x y y x y x, x y y x y x 5, x y y 7 此三角形的三頂點為 A(,), B(,), C(5,7). 5 7 () 重心為 (, ) (, ). () 求 AB 及 BC 邊的垂線方程式得 x y 及 xy 8 垂線交點 (, ) 即為垂心. 9 () 求 AB 及 BC 邊的中垂線得 xy 5 及 xy 中垂線交點 (, ) 即為外心. 6 6 若直線 L 的 x 截距, y 截距 6,求: () 直線 L 的方程式. () 直線 L 與坐標軸所圍成三角形的周長與面積. 編碼 9 難易 易 出處 康熹自命題 解答 () 6x y 6 ;() 周長 7 7,面積

9 () 方法 直線 L 過 (,) 及 (,6), L 的斜率為 6,且過(,), L 的方程式為 y6( x ),即 6x y 6. 方法 x y L : 6x y () 所圍三角形的周長 ,所圍三角形的面積. 直線 L 過點 A(,) 且兩截距之和為 5,求 L 的方程式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 6x y 6 或 x y x y 令直線 L 的 x, y 截距分別為 a, b L :, a b ab5 截距和為 5 且 L 過 A(, ), a b 由 得 b5 a代入 式,得 a 5 a 即 a (5 a) a a(5 a), 6a 5, a 或 5 b 5 a 6或, x y x y L 方程式為 或,即 6x y 6 或 x y. 6 5 判斷下列方程組是否為相容方程組 矛盾方程組或相依方程組 : x y 6 (). () 5 x 8 y x y. (). x y 5x y x y 5 x y x 5y (). (5). (6). x x 5 y 編碼 難易 易 出處 康熹自命題 解答 () 相依 ;() 矛盾 ;() 相容 ;() 相容 ;(5) 矛盾 ;(6) 相依

10 () 6, 相依方程組. () 5 8 5, 矛盾方程組. (), 相容方程組. x y () x, 代入 y, (, ) 為其唯一解, 相容方程組. x (5) 5,顯然為矛盾方程組. x y 5 (6) y 5 x t 其解為 ( t 為任意實數 ) 有無限多組解, 相依方程式. y 5 5x 8y n 若方程組 為 () 相依方程組 () 矛盾方程組,則 m, n 各需要什麼條件? 5 x my 編碼 難易 易 出處 康熹自命題 解答 () m, n ;() m, n () 相依方程組 () 矛盾方程組 5 8 n 5 m 5 8 n 5 m 8 m, m, n. n 8 m, m, n. n x ( k) y k 5 方程組 若為 () 相依方程組 () 矛盾方程組 () 相容方程組,則 k 值各有何限制? ( k) x y 7 k 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 () k ;() k 5 ;() k 且 k 5

11 ()() 相依或矛盾,前面都成比例 k k xy6 若 k,方程組 xy6 若 k 5 () 相容 ; k k xy,方程組 x y ( k), k, k 或 5, 顯然為相依方程組., 矛盾方程組. ( k), k, k 且 k 5. 若直線 L 過點 (,) 且與兩軸所圍三角形面積為,求 L 的方程式. 編碼 難易 難 出處 康熹自命題 解答 x y 或 x 8y x y 設 L :, L 過點 (, ) b a ab, a b a b 又因為 L 與兩軸所圍三角形面積為 ab ab, a b ab () 若 ab a b代入 b b ( b )(b ), b 或 x y x y a 或, L 方程式 或, b 即 x y 或 x 8y. a b ab () 若 ab, 代入 a b再代入 無實數解 ( D ( ) ). 由 ()() 得 L 方程式為 x y 或 x 8y. 設 A(, ), B(, ),直線 L : x y, () 若點 A' 與點 A(, ) 對稱於直線 L,求 A' 坐標. () 在 L 上取一點 P,使 AP BP 最小,求 P 及最小值. b b 編碼 5 難易 難 出處 康熹自命題 解答 () (, ) ;() P(, ), 5 () AA' L, AA' : x y ( 過 (, ) ),

12 x y 設 AA' 交 L 於 Q : Q(, ), x y 設 A' ( x, y) Q A A', 即 (, ) (, ) ( ) x, y x,即 A' (, ) y. () 連接 A'B 交 L 於 P,此 P 點即是 AP BP 最小之點, 而 m A'B : x y, x y P( ) A'B,, x y 此時 AP BP A'P BP A'B ( 8) 5. ABC 之三邊 AB, BC, CA 之中點分別為 D(5, ), E(,), F(,),求點 A 之坐標? 編碼 6 難易 中 出處 豐原高中段考題 解答 (, ) 設 A(x, y ), B(x, y ), C(x, y ) x x 5, y y 8, x x 8, y y, x x 6, y y, 得 x x x 6, 得 y y y, 得 x, 得 y,故 A(, ).

13 a b () a, b,試證: ab,且等號成立之充要條件為 a = b. () 利用 () 求過點 (,) 且與二軸在第一象限所圍之三角形面積最小之直線方程式為何? 又最小面積 =? 編碼 7 難易 中 出處 豐原高中段考題 x y 解答 () 見解析 ;(), 6 a b () ( ) ( ab ) a ab b = a ab b ab = a b ( ) ( ab ),又 a, b, 且 = 成立 (a b) = a = b. () 設直線截距式 x a + y b =,又過 (,), ( a b) =, a b ab, a + b =, a >, b >, 由 () 知 a b a b 6 ab 6 ab ab, 與兩軸所圍三角形 ( 於第一象限 ) 之面積 = ab, = 成立 a = b = a = 6, b =, 故此時直線方程式為 x y + =,最小面積 =. 6 () 已知兩直線方程式 L :y = m x, L :y = m x,若 L 與 L 垂直,試證 :m m =. () 設 為一實數,直線 L 的方程式為 x + ( + )y = 7,直線 L 的方程式為 ( + )x + ( + 5)y =,若 L 與 L 垂直,試求 值. 編碼 8 難易 中 出處 師大附中段考題 解答 () 見解析 ;() 或 6 () L 及 L 交於 O (,). 作一直線 L 垂直 x 軸,且過定點 R(,),分別與 L, L 交於 P, P. y y 設 P (, y ), P (, y ), m = = y, m = = y. L L OP P 為直角三角形, OP + OP = PP ( + y ) + ( + y ) = (y y )

14 = y y = y y,即 m m =. () L L m m =, ( ) ( = (6 + )( + ) =, = 或. 6 已知坐標平面上有三點 A(,), B(,), C(5,7),求 : ) =, () AB 中垂線方程式. () AC 中垂線方程式. () ABC 的外心坐標. 編碼 9 難易 中 出處 中山女中段考題 解答 () x y 5;() x y 8 ;() (, 9 ) 已知坐標平面上有三點 A(,), B(,), C(5,7), () AB 中點 ( 5, 5 ), AB 斜率, AB 中垂線 x y 5. () AC 中點 (,5), AC 斜率, AC 中垂線 x y 8. () ABC 的外心坐標 (, 9 ). 若直線 L 過點 (, ) 且與兩軸圍成面積為,求 L 之方程式為何? 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 或 x y 設 L : y m( x ) mx y m, m m x 截距, y 截距 m,則三角形面積 m m m (m ) (m ) m (m ) m, m 若 m m m m m 5m ( m )(m ) m 或 L : x y 或 x y. 若 m m m m m m, D, 無實數解. 三角形的三個高交於一點,此點稱為三角形的垂心,設 ABC, A(6,), B(,),垂心 H(, ),求 : () 直線 AH 的斜率. () C 點坐標., 編碼 難易 中 出處 師大附中段考題

15 解答 () ;()(5, ) ( ) () 直線 AH 斜率. 6 m () 設 C(x, y),則 m AC BC m m BH AH y ( ) ( ) x 6 7 7x y 9 x 5. y x y y ( ) ( ) x 平面坐標系中,過點 C(6,) 作互相垂直的兩直線與 x 軸交於 A( a, a), B( b, b ) 兩點,且 AB,試求 a a b b 之值. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 8 或 6 A, B 在 x 軸上且 AB,可設 A(x, ), B(x +,), AC BC m m AC ( x 6)( x ) 6 x 6 x 6 x x 8 ( x )( x ), BC x 或, A(,), B(,) 或 A(,), B(8,) a a b b 8 或 6. 設一直線 L 分別交 L : x y, L : x y 於 A, B 兩點,若原點 (,) 是 AB 的中點,試求 : () 直線 L 的方程式. () 設 L, L交於 C 點,若 P(,5) 為 L 上的一點,求過 P 點且平分 ABC 面積的直線方程式. 編碼 難易 難 出處 北一女中段考題 解答 () x y ;() 5xy () 方法 設 L: y mx,

16 xy 解 A( mx y m, m m ), x y B(, m ), mx y m m 又因 (,) 是 AB 中點, 方法 設 A(a, b), B( a, b) 分別代入 L, L, m m m,所求 x y. ab a, b 6, A(,6), B(, 6), a b m AB 6 ( 6),所求 x y. () 設 PQ 平分 ABC 面積,且 C 為 L, L 的交點,得 C(6,), AC 5, PC 5, BC 5, CQ x, CPQ ABC 5 x, 5 5 x 8 5 CQ,即 BQ, 利用分點公式得 Q(, ), 5 ( ) y 5 PQ : x 5 x y. x 為實數,當 x x x x 8 5 有最小值時, x 之值為何? 編碼 難易 難 出處 臺中一中段考題 解答 7 x 8x x x 5 ( x ) 5 ( x ) ( x ) 5 ( x ) 表點 P(x, ) 到 A(,5) 與 B(,) 之距離和, 令 B' = (, ),則 AB : 7x y,

17 以 y 代入 x, 在 x 時有最小值. 7 7 試求下列直線方程式 : () 通過 A (,),斜率為. () 通過 A (,),斜率為. 編碼 5 難易 易 出處 習作題 解答 () x y 5 ;() x y () 方程式 y ( x ),整理得 x y 5. () 方程式 y ( x ),整理得 x y. 試求下列直線方程式 : () 斜率為, y 5 截距為. () 斜率為, y 截距為. 編碼 6 難易 易 出處 習作題 解答 () x y ;() 5x y 6 () 方程式 y x,得 x y. 5 () 方程式 y x,得 5x y 6. 試求下列直線方程式 : () x 截距為, y 截距為 5. () x 截距為, y 截距為 5. 編碼 7 難易 易 出處 習作題 解答 () 5x y5 ;() 5x y5 x y () 方程式,即 5x y5. 5 x y () 方程式,即 5x y5. 5 設 L : x y 7, () 通過 (,) 且與 L 平行的直線. () 通過 (,) 且與 L 垂直的直線.

18 編碼 8 難易 中 出處 習作題 解答 () x y 5 ;() x y 5 () 直線的方程式為 x y 5. () 直線的方程式為 x y 5.已知平行四邊形的兩邊在 xy 與 xy 上面,一頂點為 (, ),試求另外兩邊所在直線的方程式. 編碼 9 難易 中 出處 習作題 解答 x y, x y 5 與 xy 平行的直線為 x y, 與 xy 平行的直線為 x y 5. 已知 ABC 中, A (,), B (6, 5), C (, 8),試求: () 直線 AB 的方程式. () AB 邊上的高,所在直線的方程式. 編碼 難易 中 出處 習作題 解答 () x y ;() x y () 直線 AB 的斜率為,得直線 AB 的方程式為 x y. () 高所在的直線斜率為,通過 (, 8),得直線方程式為 x y. 如圖,若三角形 ABC 中,直線 AB,直線 BC,直線 CA 的斜率分別為 m, m, m,請比較 m, m, m 的大 小. 編碼 難易 中 出處 習作題 解答 m m m m, m, m,得 m m m. 如圖為兩直線 L : x ay, L : x by 的圖形,

19 () 試判別 a, b 的正負. () 試判別 a, b 的大小. 編碼 難易 中 出處 習作題 解答 () a, b ;() b a L, L 的斜率分別為 a, b, () a, b,得 a, b. (),得 b a. a b 如圖四邊形中,已知 OB OD,且直線 AB,直線 BC,直線 CD,直線 DA 的斜率分別為 m, m, m, m, () 比較 m, m, m, m 的大小. () 判別 m m的正負. 編碼 難易 中 出處 習作題 解答 () m m m m ;() mm () m m m m. () mm. 有一直角三角形三邊的斜率分別為 m, m, m,且 m m m, () 試判別 m 的正負. () 試判別 m 的正負. 編碼 難易 難 出處 習作題 解答 () m ;() m

20 直角三角形中,其中直角兩邊的斜率乘積為,且可知必為一正一負. () 至少有一正數,知 m. () 至少有一負數,知 m. 如圖為三直線 x y, x y 與 x y 的圖形, () 試判別 L 的方程式. () 試判別 L 的方程式. 編碼 5 難易 難 出處 習作題 解答 () x y ;() x y () L 的斜率為負,得 L : x y. () L 的斜率小於 L 的斜率,得 L : x y. 三直線 L : x y, L : x y, L : ax y, () 若三直線相交於同一點 P,試求 a 值. () 若三直線圍成一直角三角形,試求 a 值. 編碼 6 難易 難 出處 習作題 解答 ();() 或 () L 與 L 交於 P (,),代入 L 得 a,故 a. () m, m, m a, m. 或 m. m, m 得 a 或 a, 而三直線相交於同一點時 a, 知所求 a 值為 a 或 a. 將一張畫有平面坐標系的紙摺疊一次,發現點 A (, ) 對到點 B (, ),試求點 P (, 6) 所對到的點 Q 的坐標. 編碼 7 難易 易 出處 習作題 解答 (6, ) 因 AB 的中垂線 L : x y 是坐標平面上的摺線,

21 故自點 P (, 6) 作 L 的對稱點為 Q (6, ).某民宿共有三棟, B 棟在 A 棟東方 公尺,而 C 棟在 A 棟北方 5 公尺,有間咖啡廳到三棟都一樣遠,試求咖啡廳到 A 棟的距離. 編碼 8 難易 中 出處 習作題 解答 65 公尺 咖啡廳 P 在 ABC 的外心,即 BC 的中點, 由 AP BP CP BC 65 ( 公尺 ). 圖書館前的階梯共有 階,如果甲每次都跨 階或 階,已知甲一共移動 次時剛好走完這 階,試問甲共走了幾次的一次 階? 編碼 9 難易 難 出處 習作題 解答 次 設一次 階有 x 次,一次 階有 y 次, x y x 7 則,得 xy y 知共走了 次的一次 階. 設 A (,), B (5, ),試求: () 直線 AB 的斜率. () AB 的垂直平分線. 編碼 5 難易 中 出處 習作題 解答 ();() x y 6 () 直線 AB 的斜率為. () AB 的中點 M (, ),且垂直平分線的斜率為,由 y ( x ), 得 x y 6. 三直線 L : xy, L : x y 7, L : kx y 恰相交於 P 點, () 試求 P 點坐標. () 試求 k 值. 編碼 5 難易 中 出處 習作題 解答 () (,) ;()

22 xy x y7 () P 點在 L 上,代入 k,得 k. () 由 L 與 L 的方程組,知 P (,). 在下圖中有四條直線 L, L, L, L,其斜率依序為 m, m, m, m,試比較 m, m, m, m 及 的大小. 編碼 5 難易 易 出處 課本題 解答 m m m m L, L 都是由左而右上升,又 L 較陡,故 m m ; L, L 都是由左而右下降,又 L 較陡,故 m m. m m m m. 結論是 在坐標平面上描畫 A(,), B(, ), C(5, ) 三點,並判斷這三點是否在同一直線上. 編碼 5 難易 易 出處 課本題 解答 不在同一直線上 A, B, C 描畫出來好像在同一直線上, 實際情況如何,可用斜率判定 : ( ) 直線 AB 的斜率是, ( ) 5 ( ) ( ) 直線 BC 的斜率是, 5 兩者斜率不同,不是同一直線,故 A, B, C 三點不在同一直線上. 坐標平面上有 A(,), B(, ), C(, ), D(, y) 四點,已知 AB // CD,求 y. 編碼 5 難易 易 出處 課本題

23 解答 8 y y 直線 AB 的斜率為,直線 CD 的斜率為, ( ) ( ) y 由於 AB // CD,故, y 6, y 8. 設梯形 ABCD 中, AD // BC 且 AD CD,已知 A(, ), B(,), C(, ),求 D 點坐標. 編碼 55 難易 中 出處 課本題 解答 7 (, ) 5 5 設 D 點的坐標為 ( x, y ),因 AD // BC,故 AD 斜率等於 BC 斜率, y, x y 5 ; x 又 AD CD,即 BC CD, 故 BC 斜率與 CD 斜率的乘積為, y ( ), x y 6. x x y 解方程組,得 x, y,故 D (, ). x y 求下列各直線的方程式 : () 過點 (, 5),且斜率為. () 過兩點 (, 7), (, ). 編碼 56 難易 易 出處 課本題 解答 () x y 7 ;() x y () 由點斜式知方程式為 y 5 ( x ),即 x y 7. 7 () 該直線的斜率為,故方程式為 y 7 ( x ),即 x y. 設坐標平面上有一點 A (, ) 及一直線 L : x y 6,求 () 過 A 點且平行於 L 的直線方程式. () 過 A 點且垂直於 L 的直線方程式.

24 編碼 57 難易 易 出處 課本題 解答 () x y7 ;() x y 6 直線 L : x y 6 的斜率為 () 與 L 平行的直線斜率為,又過點 A (, ), 故方程式為 y ( x ),即 x y7. () 與 L 垂直的直線斜率為,又過點 A (, ), 故方程式為 y ( x ),即 x y 6.. 斜率為 m, y 截距為 k 的直線方程式為何? 編碼 58 難易 易 出處 課本題 解答 y mx k y 截距為 k,表示該直線過點 (, k ),由點斜式 y k m( x ), 整理得 y mx k. 設直線 L 的 x 截距為, y 截距為,且,求 L 的方程式. 編碼 59 難易 易 出處 課本題 x y 解答 直線 L 過點 (, ), (, ),故斜率為, x y 由點斜式知 L 的方程式為 y ( x ), x y,. 坐標平面上有 A(, ), B(, ) 兩點,求 () AB 的中點坐標. () AB 的垂直平分線方程式. 編碼 6 難易 易 出處 課本題 解答 () (, ) ;() x y

25 () 由中點公式知 AB 的中點坐標為 (, ),即 (, ). () 直線 AB 的斜率為,故 AB 垂直平分線的斜率為, ( ) 6 由點斜式知, AB 的垂直平分線方程式為 y ( x ), 整理得 x y. 設 L : x y, L :x y,試判斷直線 L 與 L 是否相交,若相交,其交點坐標為何? 編碼 6 難易 易 出處 課本題 解答 ( 7, ) 5 直線 L 的斜率為, L 的斜率為,兩者不相等, x y 故兩線相交於一點.解方程組, x y 7 7 得 x, y,故交點坐標為 (, ). 5 5 設直線 L: x y 5, L:x 6y k,試就 k 值討論兩直線 L 與 L 的關係. 編碼 6 難易 易 出處 課本題 k 解答 當,即 k 時,直線 L 與 L 重合. 當 k 時,直線 L 與 L 平行 L 的斜率為, L 的斜率為 6 k 距為. k 5 5 () 當,即 k 時,直線 L 與 L 重合. 5,兩直線斜率相等,故重合或平行.又 L 的 x 截距為, L 的 x 截

26 5 () 當 k 時,直線 L 與 L 平行. x ky 試就 k 值討論方程組 為何種方程組. ( k ) x 6y 編碼 6 難易 中 出處 課本題 解答 k 且 k 時, k k 6,方程組為相容方程組( 含 k ). 方程組為矛盾方程組. k 時, k k 6,方程組為相依方程組. k 時, k k 6, x y 當 k 時, k,原方程組即, y 得 y, x 為唯一解,故為相容方程組.當 k 時, k 若, k( k ) 6, k k 6, ( k )( k ), k 或 k. k 6 則可就 k 值討論如下 : () k 且 k 時, k k 6,方程組為相容方程組( 含 k ). () k 時, k k 6,方程組為矛盾方程組. () k 時, k k 6,方程組為相依方程組. 設 ABC 中,已知 A(, ), B(, 6), C(,),求 ABC 的外心坐標. 編碼 6 難易 中 出處 課本題 解答 (, ) 求 AB 的垂直平分線,得 x y 5 ; x y 5 又求 BC 的垂直平分線,得 x 7y5,解, x 7y 5 得 x, y,故 ABC 的外心坐標為 (, ).設 A(, ),求點 A 對直線 L : x y 的對稱點坐標. 編碼 65 難易 中 出處 課本題 解答 (, ) 5 5

27 設點 A 對直線 L 的對稱點為 A ( s, t),則由 AA L 整理得 s t 5, s t 又 L 平分 AA,故 AA 的中點 (, ) 在直線 L 上, s t 即 ( ), 整理得 s t, t 知, s 聯立解,,得 s, t,故 A 的對稱點為 (, ) 坐標平面上,假設一點光源位於點 A(, ),朝向 x 軸射出,已知經 x 軸反射後,反射光通過點 B (5, ),求 x 軸 上的入射點坐標. 編碼 66 難易 中 出處 課本題 解答 7 (, ) 5 由平面鏡成像原理知,可將點光源 A(, ) 視為從對平面鏡 (x 軸 ) 的對稱點 A(, ) 射出,穿過平面鏡直射 到點 B (5, ) 7 入射點為 (, ). 5.由於直線 AB 的方程式為 y ( x),整理得 5x 6y 7.令 y 代入,得 x 5 7 5,故 圖中有三條直線 L, L, L,其斜率依序為 m, m, m,試比較 m, m, m 的大小. 編碼 67 難易 易 出處 課本題 解答 m m m

28 m 為正數, m, m 均為負數, L 比 L 更陡,故 m m m. 在坐標平面上,判斷 P(, ), Q(,), R(, ) 三點是否在同一直線上. 編碼 68 難易 易 出處 課本題 解答 是 ( ) 直線 PQ 的斜率為,直線 QR 的斜率為, ( ) 兩者斜率相同,故 P, Q, R 三點共線. 坐標平面上,設 A(, ), B(, 5), C(, ), D(6, 6),試判斷四邊形 ABCD 是否為平行四邊形. 編碼 69 難易 易 出處 課本題 解答 是 ( ) 7 直線 AB 的斜率,直線 CD 的斜率 ( ) 6 6 ( 5) 直線 AD 的斜率,直線 BC 的斜率 6 ( ) 7 ( ) 7 因 AB // CD 且 AD // BC,故四邊形 ABCD 為平行四邊形.,故 AB // CD,,故 AD // BC, 在坐標平面上,有 A(,), B(, ) 兩點,已知 C 點在 x 軸上,且 AC BC,求 C 點坐標. 編碼 7 難易 易 出處 課本題 解答 (, ) 或 (, ) 設 Ct (, ),因為 AC BC, 所以 AC 與 BC 的斜率乘積為, 即 t., t 故 ( t )( t ), 即 t t,得 t 或, 即 C 的坐標為 (, ) 或 (, ).

29 () 斜率為 直線,斜角為何? () 斜角為 5 的直線,斜率為何? 編碼 7 難易 易 出處 課本題 解答 ()6 ;() () tan, 6. () m tan( 5 ). 求下列直線方程式 : () 過點 (, 5),且斜率為. () 過兩點 (,), (, ). 編碼 7 難易 易 出處 課本題 解答 () x y7 ;() 5x y () 由點斜式可得直線方程式為 y 5 ( x ),即 x y () 直線的斜率為,直線方程式為 y ( x ). ( ) 即 y 5x,得 5x y. () 設直線 L 過點 (, 5) 且與 x 軸垂直,則 L 的方程式為何? () y 軸的方程式為何? 編碼 7 難易 易 出處 課本題 解答 () x ;() x () L 的方程式為 x. () y 軸方程式為 x. 設 k 是常數,已知直線 kx ( k ) y 的斜率是,求 k. 編碼 7 難易 易 出處 課本題 解答

30 k,即 k k,故 k. k 下列直線的 x 截距及 y 截距各為何? () x y 5. () 5x y. () x7y. () x. 編碼 75 難易 易 出處 課本題 5 解答 () x 截距 沒有 y 截距, y 截距 5 直線 y mx k 的斜率及 y 截距各為何? ;() x 截距 5, y 截距 ;() x 截距, y 截距 ;() x 截距, 編碼 76 難易 易 出處 課本題 解答 斜率為 m, y 截距為 k 設直線 L 的 x 截距為, y 截距為,求: ()L 的方程式. () 在坐標平面上畫出 L. 編碼 77 難易 易 出處 課本題 x y 解答 () ;() 見解析 x y L 的方程式為,圖形如附圖. 設坐標平面上, P(5, ), Q(, ),求: () PQ 的中點坐標. () PQ 的垂直平分線方程式. 編碼 78 難易 易 出處 課本題 解答 ()(, );() x y 5 () PQ 的中點坐標為 (, ) (, ).

31 ( ) () PQ 的斜率為, 5 PQ 的垂直平分線方程式為 y x,即 x y. 設 L :x y, L :x y,則直線 L 與 L : () 是否相交? () 是否垂直? () 其交點坐標為何? 編碼 79 難易 易 出處 課本題 5 解答 () 相交 ;() 垂直 ()(, ) L 的斜率為, L 的斜率為, () L 與 L 不平行,故 L 與 L 相交於一點. () L, L 的斜率乘積為,故 L L. x y 5 5 () 之聯立解為 (, ),即交點坐標為 (, ). x y 設直線 L: x y, L: x ky,試就 k 值討論兩直線 L 與 L 的關係. 編碼 8 難易 易 出處 課本題 解答 k 時, L 與 L 重合, k 時, L 與 L 恰交於一點 L : x y, L : x ky, 故 k 時, L 與 L 重合. k 時, L 與 L 不平行,即 L 與 L 恰交於一點. 判別下列方程組為相容方程組,矛盾方程組或相依方程組.若為相容方程組,則求出其唯一解. x y 8 (). () x y x y 7. (). 6x y 6x y 8 x 6y 5 編碼 8 難易 易 出處 課本題 9 解答 () 相依方程組 ;() 矛盾方程組 ;() 相容方程組,其解為 x, y 9 8

32 8 () 由 可知,此方程組為相依方程組. 6 () 由 可知,此方程組為矛盾方程組. 6 8 () 因為,所以此方程組為相容方程組, x y 7 9 之解為 x, y 9. 6 x 6y 5 8 x 6y c 設方程組 為相依方程組,求 : x by () b. () c. 編碼 8 難易 易 出處 課本題 解答 () b ;() c 由方程組為相依方程組可知 : 6 c,即得 b, c. b 設 ABC 中,已知 A(, ), B(, ), C(, ),求 ABC 的外心坐標. 編碼 8 難易 中 出處 課本題 解答 (5,) A(, ), B (, ), AB 的中點 (, ),直線 AB 的斜率為, 所以, AB 的垂直平分線方程式為 y ( x ),即 x y, B (, ), C(, ), BC 的中點 (, ),直線 BC 的斜率為 所以, BC 的垂直平分線方程式為 y ( x ),即 xy, x y 的交點為 (5, ),故 ABC 的外心坐標為 (5, ). x y 設 A(, 5),求點 A 對直線 L : y x 的對稱點坐標., 編碼 8 難易 中 出處 課本題 解答 ( 5, ) 設點 A(, 5) 對直線 y x的對稱點 A' 為 ( s, t ),

33 則可知 AA' 的斜率為,即 t 5,故得 s t, s s 5 t 又 AA' 的中點 (, ) 在直線 y x上, s 5 t 即,得 s t 7, s t 的聯立解為 ( 5, ),即點 A 的對稱點坐標為 ( 5, ). s t 7 坐標平面上,假設一點光源位於點 A(, 5),朝向直線 L : y x 射出,已知經 L 反射後,反射光通過點 B(, ), 求直線 L 上的入射點坐標. 編碼 85 難易 中 出處 課本題 解答 (, ) 先求點 A(, 5) 對直線 y x的對稱點 A' ( 5, ), 直線 A'B 與直線 y x的交點就是直線 L : y x上的入射點, 其中 B(, ),直線 A'B 的斜率為, ( 5) 即直線 A'B 的方程式為 y ( x 5), x y 可得 x y, 的聯立解為 (, ), x y 即入射點坐標為 (, ). 坐標平面上有三條直線 L, L, L,如圖所示,且其斜率依序為 m, m, m,試比較 m, m, m 及 的大小. 編碼 86 難易 易 出處 課本題

34 解答 m m m L, L 都是由左而右下降,且 L 較陡,故 m m, L 是由左而右上升,故 m,結論是 m m m. 在坐標平面上,已知 A(, a), B(, ), C( a, ) 三點共線,求 a 之值. 編碼 87 難易 易 出處 課本題 解答 a 6 或 8 A, B, C 三點共線,故直線 AB 斜率 直線 AC 斜率, a a 即 a a 9( a), a a a8, a 6 或 a 8. 求下列各直線方程式 : () 過點 (, 8),且斜率為. () 過兩點 (, ), (, ). () x 截距為, y 截距為 5. () 過點 (, 9) 且與 x y 6 平行. (5) 過點 (, 9) 且與 x y 6 垂直. 編碼 88 難易 易 出處 課本題 解答 () x y ;() x y ;() 5x y ;() x y ;(5) x y () 由點斜式知 y 8 ( x ),即 x y. () 該直線斜率為,故方程式為 y ( x ),即 x y. ( ) x y () 所求直線方程式為,即 5x y. 5 () 因所求直線平行 x y 6,故設該直線為 x y k, (, 9) 代入得 k,即所求 x y. (5) 因所求直線垂直 x y 6,故設該直線為 x y k, (, 9) 代入得 k,即所求 x y.坐標平面上一菱形 ABCD,其中 A(, ),對角線 BD 所在直線方程式為 x y 6,求對角線 AC 所在直線方程式. 編碼 89 難易 易 出處 課本題 解答 x y

35 所求直線 AC 方程式為過點 A(, ) 且垂直於直線 x y 6,故所求為 x y ( ),即 x y.設 A(, 5),求點 A 對直線 L : x y 的對稱點坐標. 編碼 9 難易 中 出處 課本題 解答 (, 7) 設點 A 對直線 L 的對稱點為 A' ( s, t ),由 AA' 得 s t, t 5 L 知, s s 5 t 又 L 平分 AA',故 AA' 中點 (, ) 在直線 L 上, s 5 t 即 ( ),得 s t8. 解 得 s, t 7,故 A 的對稱點為 (, 7). 判別下列方程組為相容,矛盾或相依,若為相容,則求其唯一解. x y (). () 6 x 9 y x y 5. (). x y x 6y 8 x 6y 編碼 9 難易 易 出處 課本題 解答 () 相容, ( x, y) (, ) ;() 相依 ;() 矛盾 9 9 x y () x y,, 此方程組為相容方程組,恰有一組解, 由 +,得 x 代入,得 y x, 9 9 故其解為 (, ). 9 9

36 () 6 x 9 y, x 6y 8 6 9, 此方程組為相依方程組. 6 8 x y 5 (), x 6y 5,此方程組為矛盾方程組. 6 趙六玩撞球,以球檯兩鄰邊為坐標軸且視球為點,如圖. 已知球從 A (, ) 打出去,碰到檯邊的 P 點,再折向撞擊 B 球,若 B 球的位置是 B (, 6),試求 P 點的坐標. 編碼 9 難易 中 出處 課本題 解答 (, ) 利用入射角 反射角,故知,考慮 A 點對 x 軸的對稱點 A' (, ),則 A', P, B 三點共線,因此 P 點在直線 A'B 與 x 軸的交點上, 6 ( ) 由 A'B 的直線方程式為 y ( x ), 即 y ( x ),得 y x 5, 令 y,得 x,即得 P 點的坐標為 (, ). 設 ABC 中,已知 A(, 5), B(, ), C(, ). () 求 ABC 的外心坐標. () 求 ABC 的垂心坐標 ( 垂心為三高的交點 ). 編碼 9 難易 中 出處 課本題 解答 () (, ) ;() (, )

37 () AB 的中點為 (, ),且 AB 的斜率為 得 AB 垂直平分線為 x y 6. ( 5), ( ) 又 BC 的中點為 (, ),且 BC 的斜率為, ( ) 得 BC 垂直平分線為 x y, 由 解得 x, y,故 ABC 的外心坐標為 (, ) () 設 AB 邊上的高為 CD,則 CD 斜率為, 故直線 CD 方程式為 x y, 另設 BC 邊上的高為 AE,則 AE 斜率為, 故直線 AE 方程式為 x y, 7 由 解得 x, y, 故 ABC 的垂心坐標為 (, ). 5 5 x ky k 試就實數 k 值,討論方程組 的解. ( k ) x y ( k ) 編碼 9 難易 中 出處 課本題 解答 k 且 k 時,有唯一解, k 或 k 時,無解 k 若 k k 6 ( k )( k ) k 或, k k 若 k k k 無實數解, k k 故當 k 且 k 時,此方程組有唯一解 ; 當 k x 6y 時,原方程組為 為矛盾方程組,無解 ; x y 6 x y 當 k 時,原方程組為 為矛盾方程組,無解. x y 設 x 為實數,試求 : () ( x ) x ( x ) ( x ) 的最小值. () ( x ) x ( x ) ( x ) 的最小值. ( 提示 :() 即求點 A (, ) 與 B(,) 到直線 L : y x 上的點 P( x, x ) 之距離和. ) 編碼 95 難易 難 出處 課本題

38 解答 () 7 ;() 7 () 因 A (, ), B(, ) 兩點在 L : y x 的不同側 ( 如圖 ), 故連結 A, B,直線 AB : y ( x ), 與直線 L : y x交點 P (, ), 7 7 可使 PA PB AB ( ) ( ) 7 為最小值. () 因 A (, ), C (, ) 兩點在直線 L : y x 的同側 ( 如圖 ), 故求出 A (, ) 對直線 L : y x的對稱點 A' (, ), 直線 A'C : y ( x ) 與直線 L : y x, 8 8 交點 Q (, ), 5 5 可使 QA QC QA' QC A'C ( ) ( ) 7 為最小值. 如圖,坐標平面上,假設一點光源位於點 A (6, ),朝向直線 L : x y 射出,已知在 L 上的入射點為 B,而經 L 反射後射向 x 軸,且在 x 軸上的入射點為 C,再反射通過點 (,),試求 : () 點 A 對直線 L 的對稱點坐標. () 點 B, C 的坐標. 編碼 96 難易 難 出處 課本題

39 6 解答 () (, 8) ;() B (, ) 7 7, C (, ) 9 () 設 A (6, ) 對 L : x y 的對稱點坐標為 A' ( s, t ), t 則由 AA' L 得,即 s t, s 6 又 L 平分 AA', 6s t 故 AA' 中點 (, ) 在 L : x y 上, 得 s t 6, 聯立 得 s, t 8,故 A 的對稱點為 (, 8). () 設點 D (, ) 對 x 軸的對稱點為 D',則 D' (, ), 由 () 得 A 對 L 之對稱點 A' (, 8), 因 A', B, C, D' 四點在一直線上, 8 ( ) 而直線 A' D' 方程式為 y ( x ), 6 即 9x y 與 L : x y 聯立得點 B (, ), 7 7 9x y 與 x 軸交於點 C (, ), 9 6 得 B (, ) 7 7, C (, ). 9 圖中,六條直線 L, L,, L 6 的斜率分別為 m, m, m,, m 6,試比較其大小. 編碼 97 難易 易 出處 教冊題 解答 m m m m 6 m 5 m

40 依傾斜度與方向即可知 : m m m m6 m5 m. 已知 A (5, ), B (, ), Cx (, ) 三點共線,求 x 之值. 編碼 98 難易 易 出處 教冊題 解答 由斜率 5 x 可得 x. 已知四點 A (, ), B( 5, ), C(, ), D (, ),試判斷可否構成一平行四邊形 ABCD? 編碼 99 難易 易 出處 教冊題 解答 是平行四邊形 當四邊形 ABCD 為平行四邊形時,直線 AB 與 DC 的斜率相等,且直線 AD 與 BC 的斜率相等.推算結果 ABCD 是平行四邊形. 設 A(, y), B(, ), C (5, ),且 AB BC,求 y 之值. 編碼 難易 易 出處 教冊題 解答 AB 與 BC 都不是鉛直線,其斜率之積為, y 由 得 y. 5 坐標平面上三點 A (, ), B (, ), C( a, a ),若 ABC 為直角三角形,求 a 之值. 編碼 難易 中 出處 教冊題 解答 5 或 或 直線 AB 的斜率為,

41 若 A 9,則直線 AC 的斜率為,即 若 B 9,則直線 BC 的斜率為,即 a,可得 a a a,可得 a a 若 C 9,則 直線 CA 與 CB 的斜率之積為 或 直線 CA 與 CB 中有一鉛直線, 有一水平線,可得 a. 故所求 a 之值為 求下列各直線方程式 : 5 或或. () 過點 (, ),且斜率. () 過點 (, ), (, ). 5.. 編碼 難易 易 出處 教冊題 解答 () x y ;() x y () y ( )( x ),即 x y. () 斜率為,方程式 y ( )( x ),即 x y. 求滿足下列條件的直線方程式 : () 過點 (, ),斜率. () 過點 (, ),斜率 5. () 過點 (, ), (, 5). () 過點 (5, ), (, 6). 編碼 難易 易 出處 教冊題 解答 () x y ;() x 5y ;() x y 5 ;() 6x 5y () 求過點 P (, ) 且與 x y 平行的直線方程式. () 求過原點且與 x y 5 垂直的直線方程式. 編碼 難易 易 出處 教冊題 解答 () x y ;() xy () 令所求直線為 x y d, 因點 P (, ) 在直線上,所以 d,即 d, 所求的直線方程式為 x y. () 所求直線方程式為 xy. () 求直線 xy 在兩軸的截距. () 設直線 L 平行直線 xy,且 x 截距為 5,求 L 的方程式. () 設直線 L 的 x 截距, y 截距分別為,,求 L 的方程式.

42 編碼 5 難易 中 出處 教冊題 解答 () x 截距, y 截距 x y ;() x y 5 ;() () x 截距, y 截距 () xy 5.. x y () 由截距式可知, L 的方程式為. 設平面上兩點 A (, ), B (9, 5),若點 C 是 AB 的中點,求線段 AC 的垂直平分線方程式. 編碼 6 難易 易 出處 教冊題 解答 8x y 點 C 的坐標 9 5 (, ) (5, ) 5 7,線段 AC 中點的坐標為 (, ) (, ), 7 直線 AC 的斜率為,因此,線段 AC 的垂直平分線方程式為 y ( )( x ),即 8x y. 5 求兩直線 xy 與 xy 的交點. 編碼 7 難易 易 出處 教冊題 解答 (6,) xy 之解為 (6, ),故交點為 (6, ). xy 判別下列方程組為相容方程組 矛盾方程組或相依方程組,若為相容方程組,則求出其唯一解. x y x (). (). () x y. x x 5 6x y 編碼 8 難易 易 出處 教冊題 解答 () 相容方程組,解 ( x, y) (, 5) ;() 矛盾方程組 ;() 相依方程組 x 6y k 設方程組 為相依方程組,求下列之值 : x hy () h. () k.

43 編碼 9 難易 易 出處 教冊題 解答 () h 8 ;() k 6 k 相依方程組的充要條件為 h,可得 h 8, k. ( k ) x y 試就 k 值討論 為何種方程組. kx y 編碼 難易 易 出處 教冊題 解答 當 k 時,為相容方程組,當 k 時,為矛盾方程組 當 k x y 時,方程組,得 ( x, y) (, ),為相容方程組; y 當 k 時,若 k k,則 k 7,此時,故為矛盾方程組.