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浒淞白
7 years ago
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1 數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數多項式 : 餘式定理因式定理多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx n是 f ( x) 的因式, 則 f = 0 m 的因式方程 : 1. 一元二次方程的解 : x bx c = 0 ( 其中 0 ) 的解法 : () 因式分解例如 : x 3x 4 = 0 x 4 x 1 = ( )( ) 0 x 4 = 0 或 x 1 = 0 x = 4 或 x = 1

2 (b) 取平方根例如 : (1) x = 81 () ( x 5) = 81 (c) 求根公式 x = ± 81 x 5 = ± 9 x = ±9 x = 14 或 x = 4 b ± x = (d) 圖解法 b 4c y = x bx c 的圖像在 x 軸上的截距便是 x bx c = 0 的解. 判別式與根的性質 b = 4c 是方程 x bx c = 0 的判別式若 > 0, 則方程有兩個不等的實根若 = 0, 則方程有兩個相等的實根若 < 0, 則方程沒有實根 3. 判別式與 y = x bx c 的圖像的關係若 > 0, 則 y = x bx c 與 x 軸交於兩點若 = 0, 則 y = x bx c 與 x 軸接觸於一點若 < 0, 則 y = x bx c 與 x 軸不相交

3 3 4. 聯立二元一次方程聯立二元一次方程的解法有圖解法代入消元法及加減消元法以下是用加減消元法的例子 3 x 4y = 10LL(i) x y = 3LL (ii) (i) 4(ii): 11 x = x = 將 x = 代入 (ii), 得 y = 1 x =, y = 1 代入消元法亦應用於解由一個二元一次方程和一個二元二次方程所組成的聯立方程例如 : x 3 y = 6LLL(i) x y = 10LL(ii) 由 (i): x = 代入 (ii): 得 y = 1或 5 將 y = 1代入 (i), 得 x = 3 將 y 13 9 y = 代入 (i), 得 x = 聯立方程的解是 x = 3, y = 1或 x =, y = 5 5

4 4 函數及圖像 : 1. 二次函數的圖像 ( x) = x bx c的圖像是一條拋物線 y = f () (i) 若 > 0, 則圖像的開口向上 (ii) 若 < 0, 則圖像的開口向下 (b) 圖像的對稱軸為 x = h (c) ( h, k ) 是圖像的最高點或最低點, 其中 k 是 y 的極大值或極小值, 而 h 則是對應的 x 值 (d) 圖像的 y 軸截距是 c (e) 圖像的 x 軸截距是方程 x bx c = 0 的根若 > 0, 則圖像有兩個 x 軸截距 ; 若 = 0, 則圖像只有一個 x 軸截距 ; 若 < 0, 則圖像沒有 x 軸截距

5 . y = ( x b)( x c) 的圖像 5 例如 : 3. 二次函數 x bx c ( 其中 0 ) 可以利用配方法寫成 ( x p) q 的形式例如 : 3x 4 4x 5 = 3 x x = 3 x x 3 9 = 3 x 函數的變換函數 f ( x) 的代數變換函數圖像的幾何變換 () f ( x) k ( k > 0) 向上平移 k 單位 (b) f ( x) k ( k > 0) 向下平移 k 單位 (c) f ( x k) ( k > 0) 向右平移 k 單位 (d) f ( x k) ( k > 0) 向左平移 k 單位 (e) f ( x) 沿 x 軸反射 (f) f ( x) 沿 y 軸反射 (g) kf ( x) ( k > 0) 沿 y 軸方向伸長至原來的 k 倍 (h) f ( kx) ( > 0) k 沿 x 軸方向縮短至原來的 1 k

6 6 5. 對數的定義 y y = log x 即 x =, 其中 x > 0, > 0且 1 6. 對數的性質 log log log MN = log M M = log M log N k M = k log M 7. 指數函數的圖像 log N N 8. 對數函數的圖像

7 7 變分 : 1. 正變 : y x y 隨 x 而正變即 y = kx,k 是非零的變分常數 1. 反變 : y x y 隨 x 而反變即 k y =,k 是非零的變分常數 x 3. 聯變 : 涉及兩個或以上變數的變分稱為聯變, 例如 z 隨 x 而正變且隨 y 而反變即 x z y kx z =,k 是非零的變分常數 y 4. 部分變 : 在部分變中, 變數是兩部分 ( 或以上 ) 之和, 這些部分可能是常數, 亦可能隨例如 : 其他變數而正變或反變若 z 是兩部分之和, 其一固定不變, 另一部分則隨 x 而正變, 則非零常數 z = k 1 k x, k 1 k 是 k 若 z 是兩部分之和, 其一隨 x 而正變, 另一部分則隨 y 而反變, 則 z = k1 x, k 1 k y 是非零常數

8 8 數列 : 1. 等差數列 :, d, d, 3d 首項 =, 公差 = d. 等差數列首 n 項之和 S n = n ( T ) = [ ( n ) d] n n 1 第 n 項 = T n = ( n 1)d 3. 等比數列 :, r, r, r 3, L 首項 =, 公比 = r 第 n 項 = T n = r n 1 5. 等比數列無限項之和 S =, 其中 1 < r < 1 1 r 4. 等比數列首 n 項之和 S n n ( r ) 1 = 1 r 不等式及線性規劃 : 1. 二元一次不等式二元一次不等式的一般形式為 x by c > 0 ( 或 0 < 0 0, 其中 b 為非零常數 ) 它的解可用圖解法求得例如 : 解 x 3y 6 繪畫直線 x 3y = 6 該直線將坐標平面分成三部分 : (i) (ii) (iii) 直線的上半部直線本身部分直線的下半部將 (0,0) 代入 x 3y, 得 ( 0) 3( 0) = 0 < 6 即 (0,0) 不滿足 x 3y 6 x 3y 6 的解包括直線及上半部, 即陰影部分

9 9. 聯立二元一次不等式聯立二元一次不等式的解, 可用圖解法求得例如 : 3x y 6 解 x y 3 y > 繪畫 3 x y = 6 x y = 3 y = 三條直線將 (0,0) 代入上列各不等式, 得知 (i) 解區域在直線 3 x y = 6的下半部 (ii) 解區域在直線 x y = 3 的下半部 (iii) 解區域在直線 y = 的上半部, 但不包括直線 y = 在內總括以上結果, 所求的解為陰影部分 3. 線性規劃線性規劃用來求某線性函數 ( 二元一次函數 ) 在一組約束條件下的極值例如 : 在下列約束條件下, 求 P = 3 x 5y 的極大及極小值

10 10 從以上的例子, 求得陰影部分為約束條件的解區域繪畫直線 3 x 5y = 0, 並將該直線向上及向下移這些直線與陰影部分的交點, 最高是 A, 而最低是 B 將 A ( 0,3) 代入 P, 得 P = 3 ( 0) 5( 3) = 15 P 的極大值是 15 將 B ( 5, ) 代入 P, 得 P = 3( 5) 5( ) = 5 P 的極小值是 5

11 11 圖形與幾何 : 中點定理及截線定理 : () Q AX = XB 及 AY = YC (i) XY // BC 1 (ii) XY = BC ( 中點定理 ) (b) Q AX // BY // CZ 及 AB = BC XY = YZ ( 截線定理 ) (c) Q AX = XB 及 XY // BC AY = YC ( 截線定理 ) 三角形的各心 : () 內心 : 角平分線之交點以內心為圓心, 可作一圓 ( 內切圓 ) 與三角形各邊相切

12 1 (b) 外心 : 垂直平分線之交點以外心為圓心, 可作一圓 ( 外接圓 ) 通過三角形各個頂點 (c) 形心 ( 重心 ): 中線之交點形心會按 :1 的比內分各中線, 即 AG : GX = BG : GY = CG : GZ = :1 (d) 垂心 : 頂垂線之交點

13 13 圓 : 1. 圓上的弦 () Q OC AB AC = CB ( 圓心至弦的垂線平分弦 ) (b) Q AC = CB OC AB ( 圓心至弦中點的連線弦 ) (c) Q AB = CD, OX AB 及 OY CD OX = OY ( 等弦則等弦心距 ) (d) Q OX = OY, OX AB 及 OY CD AB = CD ( 等弦心距則等弦 ). 圓上的角 () x = y ( 圓心角兩倍於圓周角 )

14 14 (b) Q AB 是一條直徑 ACB = 90 ( 半圓上的圓周角 ) (c) Q ACB = 90 AB 是一條直徑 ( 半圓上的圓周角的逆定理 ) (d) x = y ( 同弓形內的圓周角 ) 3. 圓內接四邊形 () A C = 180 及 B D = 180 ( 圓內接四邊形對角 ) (b) y = x ( 圓內接四邊形外角 ) (c) 若 A C = 180 或 B D = 180, 則 A B C D 共圓 ( 對角互補 ) (d) 若 y = x, 則 A B C D 共圓 ( 外角 = 內對角 )

15 15 (e) 若 x = y, 則 A B C D 共圓 ( 同弓形內的圓周角的逆定理 ) 4. 角弦弧的關係 () (i) 若 AB = CD, 則 AOB = COD ( 等弦對等角 ) (ii) 若 AOB = COD, 則 AB = CD ( 等角對等弦 ) (b) (i) 若 AB CD =, 則 AOB = COD ( 等弧對等角 ) AB (ii) 若 AOB = COD, 則 = CD ( 等角對等弧 ) AB (c) (i) 若 AB = CD, 則 = CD ( 等弦對等弧 ) (ii) 若 AB CD =, 則 AB = CD ( 等弧對等弦 ) (d) AB : BC = x : y ( 弧長與圓心角成比例 ) (e) AB : BC = x : y ( 弧長與圓周角成比例 )

16 16 5. 圓的切線 () Q AB 與圓 O 相切於 T AB OT ( 切線半徑 ) (b) Q ATB OT ATB 與圓 O 相切於 T ( 切線半徑的逆定理 ) (c) Q TA 和 TB 是圓的兩條切線 (i) TA = TB (ii) (iii) TOA = TOB OTA = OTB ( 切線性質 ) (d) Q AB 是圓在 T 點的切線 RTA = RST ( 交錯弓形的圓周角 ) (e) Q RTA = RST AT 是圓在 T 點的切線 ( 交錯弓形的圓周角的逆定理 )

17 17 坐標幾何學分點公式 : 若 s r PB AP =, 則 = s r ry sy s r rx sx P 1 1, 圓方程 : 1. 標準式 ( ) ( ) r k y h x = 圓心在 ( ) k h,, 半徑 r =. 通式 0 = F Ey Dx y x (i) 若 0 > F E D, 則圓心 ( ) =,, E D k h 半徑 F E D = (ii) 若 0 = F E D, 則該方程代表一點圓 (iii) 若 0 < F E D, 則該方程代表一虛圓

18 18 三角學 : 三角比的正負值 : C: 只有 cos θ 為正 A: 所有三角比皆為正 S: 只有 sin θ 為正 T: 只有 tn θ 為正三角恆等式 : () sin ( 180 θ ) = sin θ (b) sin ( 180 θ ) = sin θ (c) cos( 180 θ ) = cosθ (d) cos( 180 θ ) = cosθ (e) tn( 180 θ ) = tnθ (f) tn ( 180 θ ) = tnθ (g) sin ( 360 θ ) = sin θ (h) sin ( 360 θ ) = sin θ (i) cos ( 360 θ ) = cosθ (j) cos ( 360 θ ) = cosθ (k) tn( 360 θ ) = tnθ (l) tn ( 360 θ ) = tnθ (m) sin ( θ ) = sin θ (n) cos ( θ ) = cosθ (o) tn( θ ) = tnθ

19 19 三角函數的圖像 : 1 sin x 1, 振幅 = 1, 週期 = cos x 1, 振幅 = 1, 週期 = 360 < tn x <, 週期 = 180 正弦公式 : sin A = b sin B = c sin C

20 0 餘弦公式 : = b c bc cos A 三角形面積公式 : 面積 = 1 b sin C 面積 = s( s )( s b)( s c), 其中 b c s =

21 1 統計及概率 : 概率 : 1. 加法定律 () 若 A 和 B 為互斥事件, 則 P ( A或 B) = P( A) P( B) (b) 若 A 和 B 為非互斥事件, 則 P ( A或 B) = P( A) P( B) P( A及 B) (c) A 為一事件, 而 A 表示 A 不發生的事件, 即 A 的互補事件 P ( A) P( A ) = 1. 乘法定律 () 對於 A B 兩個獨立事件, P ( A及 B) = P( A) P( B) (b) 對於 A B 兩個相關事件 ( 先 A 後 B), P ( A及 B) = P( A) P( A發生後所得的 B) 3. 條件概率在已知 A 發生的情況下,B 發生的概率 P ( B A) = P( A及 B) P( A)

22 統計 : 改變數據對集中趨勢及離差的影響 : () 若把一組數據中每一項都加上常數 k, 則平均數眾數及中位數都會加上 k, 而分佈域四分位數間距及標準差不變 (b) 若把一組數據中每一項都乘以正數 k, 則平均數眾數中位數分佈域四分位數間距及標準差都會變成原來的 k 倍

I-1 附件 : 重要公式和定理單元二估算誤差 (a) 絕對誤差 = 真確值和量度值的差 (b) 最大誤差 = 1 量度工具的最細可量度單位 2 (c) 相對誤差 = 最大誤差量度值或絕對誤差真確值 (e) 百分變化 = 新值原值原值 100% II. 利潤及虧蝕 (a) 利潤百分比 = 利

I-1 附件 : 重要公式和定理單元二估算誤差 (a) 絕對誤差 = 真確值和量度值的差 (b) 最大誤差 = 1 量度工具的最細可量度單位 2 (c) 相對誤差 = 最大誤差量度值或絕對誤差真確值 (e) 百分變化 = 新值原值原值 100% II. 利潤及虧蝕 (a) 利潤百分比 = 利 I-1 附件 : 單元二估算誤差 (a) 絕對誤差 = 真確值和量度值的差 (b) 最大誤差 = 1 量度工具的最細可量度單位 2 (c) 相對誤差 = 最大誤差量度值或絕對誤差真確值 (e) 百分變化 = 新值原值原值 100% II. 利潤及虧蝕 (a) 利潤百分比 = 利潤成本 100% (b) 虧蝕百分比 = 虧蝕成本 100% III. 折扣 (a) 折扣 = 標價售價 (d) 百分誤差