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隐虞
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1 4-5 曲線之切線曲率及紐率

2 .1. 曲線切向量切線曲率

3 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L

4 ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz >

5 ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx y y + λy z z + λz

6 切線的參數式方程式 x x + λx λ x x x y y + λy y y λ y z z + λz λ z z z

7 x x x λ y y y λ z z z λ x x x λ y y y z z z

8 x x x λ y y y z z z z z z y y y x x x 稱為切線的對稱式方程式

9 例題 4-17 求圓柱曲線 r < a cos, a sin, b > 在 π 6 處的切線向量與切線方程式

10 解 > < b a a r, sin, cos > < 6, 6 sin, 6 cos 6 π π π π b a a r > < 6, 1, 3 6 π π b a a r > < 6,, 3 6 π bπ a a r

11 < a a b > 解 r cos, sin, r < asin, acos, b > π π π r < asin, acos, b > 1 3 r π < a, a, b 6 > a 3a r π <,, b 6 >

12 > < 6,, 3 6 π bπ a a r > < b a a r, 3, 6 π 在 6 π 處之切線方程式 b b z a a y a a x π

13 為了進一步研究曲線之特性我們引進弧長 s 做為曲線之參數由於 s 是的函數, 且 s d r d d

14 由於 s 是的函數, 且 s d r d d 反之, 也是 s 的函數 s 因此曲線弧長 s 也可以做為曲線之參數即曲線方程式可寫成 r r r s r s

15 d r 是單位切線向量簡稱切向量且記為 α 即 α d r

16 切向量的性質 1 α 與 d α d 互相垂直

17 d α d lim Δ s Δ Q Δ s 其中 Δ Q 表示 α s + Δ s 與 α s 的夾角 α s + Δ s Δ α s Δ Q α s

18 證明 α s α s + Δs 1 ΔQ Δ α s α s + Δs α s sin 解釋於黑板

19 d α lim Δs α s + Δs Δs α s d α α s + Δs α s lim Δ s Δs d α sin Δs ΔQ lim Δ s

20 d α sin Δs ΔQ lim Δ s d α ΔQ lim Δ s Δs d α lim Δ s ΔQ Δs

21 定義 4-4 稱 k s d r d α 為曲線 rs 在 s 點的曲率

22 當 k s 時 1 稱 ρ s k s 為曲線在 s 點的曲率半徑

23 以上討論的曲線方程式以弧長為參數但大部分的實際問題給出的曲線方程式不是以弧長為參數如何由非弧長參數來計算切向量 αs 與曲率 k s 可見下面的例子

24 例題 4-18 已知圓柱螺線 r < 4sin,4cos, 3 > 試求切向量 α s ks 與曲率

25 解 r < 4sin,4cos, 3 > r < 4cos, 4sin,3 > d 4cos + 4sin + r

26 α d r d r d d r d d d r < 4cos, 4sin,3 d r 5 > 1 < 4cos, 4sin, 3 5 >

27 > < 3, 4sin, 4cos 5 1 d r α > <, 4cos, 4sin 5 1 d dα d s k α d d d α d dα 5 1 4cos 4sin

28 .. 曲線的主法線向量扭率

29 因為 α 是單位向量所以 dα 與 α 互相垂直已知 d α d d r d r

30 d r 若時則向量 β d r d r 1 k d α 是單位向量且與 α 垂直

31 定義 4-5 d r 稱向量 β d r 1 k d α 為曲線的主法線向量請參閱下一頁的圖

32 n α β β 1 k d α α α, β 與 n 構成一個右手系, 且 n 1

33 d n 證明 : 平行於 β 因為 n 為單位向量 n d n 已知 n α d n d α α + n

34 d n α + n dα d n α + kn β d n α 則則 d n α

35 d n α 又 d n n 因此 d n 平行於 β

36 定義 4-6 設 d r 則由 d n T s β s 所確定的函數 T s 稱為曲線在 s 處的扭率

37 因為 d n T s β s 且 β s 1 則 T s d n

38 k s d α 是曲線切向量 α 的夾角對弧長的變化率同理 T s d n 是單位向量 n 的夾角對弧長的變化率

39 例 4-19 已知圓柱螺線 r < 4 sin,4 cos, 3 > 試求主法線向量 β 與扭率解答寫於黑板

40 例 4- 已知曲線 r 3 3 < a3,3a, a3 + > a > 試求曲率 k 與扭率 T 解答寫於黑板

41 端點曲線的例子二只改變方向而不改變模的向量函數它的端點曲線在以原點為球心, 向量大小為半徑的球面上稱為球面曲線

42 因此 x A x y A y z A z 稱為端點曲線 L 的參數式方程式

43 或寫成向量形式 r A i + A j + A k x y z < A, A, A x y z > 稱為端點曲線的向量式方程式

44 參數式方程式向量式方程式已知曲線的向量式方程式很容易寫出曲線之參數式方程式反之亦然

45 參數式方程式向量式方程式之例子圓柱螺線的參數式方程式為 x a cos y a sin z b

46 圓柱螺線的參數式方程式為 x a cos y a sin z b 圓柱螺線的向量式方程式為 r r a cosi + a sin j + bk < a cos, a sin, b >

47 例題 4-1 寫出點 p x, y, z 平行向量 a < a, a, a x y z > 的直線方程式

48 r OP + a 例題 4-1 之解答 p x, y, z a a OP M x, y, z o r

49 r OP + a r < x, y, z > + < a, a, a x y z > r < x + a, y + a, z + a x y z > 為直線之向量式方程式

50 向量函數的坐標型態則稱 A 為變數的向量函數記作 A A 它的坐標形式 A A i + A j + A k x y z

51 .. 向量函數的導數切線向量

52 定義 4- A : 向量函數 : 定數 Δ : 的增加量 Δ A A + Δ A : A 從自變數變到 + 時的增量

53 z P Δ A Q A y A + Δ x L

54 若下列極限存在 A A A Δ + Δ Δ Δ A A A Δ + Δ Δ Δ Δ Δ lim lim 則稱此極限為向量函數 A 在處的導數向量

55 記作 A A A d d A A Δ + Δ Δ Δ Δ Δ lim lim

56 若 > <,, A A A A y x 則 > <,, A A A d da A y x > < d da d da d da z y x,, k d da j d da i d da z y x + +

57 y yfx 的圖形 fa a x L: 過點 a,fa 的切線 L 的斜率 dy f a x a dx

58 z P Δ A Q A y A + Δ x L

59 Δ A 是 PQ 上一個向量 Δ 當 Δ > 時, 則與 Δ A 同方向當 Δ < 時, 則與 Δ A 反方向

60 當 Δ 時,PQ 割線繞著 P 點轉動且以點 P 處的切線為其極限的位置因此, 向量 d A 在點 P 處的切線上 d 其方向指向增大的方向

61 若 r A 是曲線的向量方程式則 dr d A d 在曲線的切線上 d 而且指向增大的一方我們稱 dr d A 為曲線 r A d d 的切線向量

62 例題 4-13 求三次扭曲線 r < a, b c >, 3 的切線向量解 : r <, a, b c 3 > 所以曲線的切線向量為 r < a,b,3c >

63 導數向量的性質設 f f 為純量函數 A A, B B, C C 為向量函數則 1 d f A d df d A + f d A d

64 d d B A B d d A d B A d + 3 d d B A B d d A d B A d + 4,,,,,,,, d dc AB C d db A BC d da ABC d d + +

65 例題 4-14 試證 : 模為常數的向量函數與其導數向量函數互相垂直相當於證明 : A A

66 例題 4-14 的證明 : 設 A c 則 A A c d d [ ] d A A c d

67 [ ] c d d A A d d + A A A A A A A A 因此 A A

68 模為常數的向量為球面向量因此其幾何意義為 : 球面曲線的切向量與球半徑垂直

69 .3. 弧長參數

70 前面所研究的曲線 r A 中參數可以是時間參數或其他參數其中一個非常重要的參數是弧長 S

71 若把曲線弧長 S 作為參數, 則曲線的眾多性質與公式有明確的意義因此稱弧長 S 為曲線的自然參數

72 z P s Q r y r x L

73 弧長公式設曲線則 > <,, z y x r r + + z y x d r s

74 + + z y x d r s z y x r s d d + +

75 d d s r r d r d r d dr dr r d d r dr r r d dr dr 1

76 d r d r d r 1 1 曲線弧長 s 做為曲線方程式的參數時 d r 切線向量 α 的模為 1 即切線向量是單位向量

77 練習求曲線 r < a sin, a sin, a cos > 在 π 3 的切線向量

78 解 : > < a a a r cos, sin, sin > < a a a r sin cos, cos, cos > < 3 sin 3 cos, 3 cos, 3 cos 3 π π π π π a a a r

79 > < 3 sin 3 cos, 3 cos, 3 cos 3 π π π π π a a a r > < 3 1, 1, 1 3 a a a r π > < a a a r 3,, 3 π

80 練習 4-3. 求圓柱曲線 r < cos,sin, > 在 π 4 的切線向量

81 解 : r < cos,sin, > r < sin,cos,1 > π π π r < sin,cos,1 > 4 4 4

82 π π π r < sin,cos,1 > r π 4 <,,1 > r π 4 <,,1 >

83 練習 4-3. 求曲線 r < sin, cos, e > 在的切線向量

84 解 : r < sin, cos, e > r < sin + cos,cos sin, e + e >

85 r解 : < sin + cos,cos sin, e + e > r < sin + cos,cos sin, e + e > <,1, 1>

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untitled arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.