Microsoft Word - 4-1拋物線_修訂_.doc

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直重蒙
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1 第四章二次曲線 4 1 拋物線 ( 甲 ) 圓錐曲線發展的簡史圓錐曲線的研究, 早在古希臘時代就有人為了倍立方問題引出了圓錐曲線的概念到了西元前 400 年左右,Menaechmus 以幾何方法來探索倍立方問題, 他利用頂角分別為直角銳角鈍角等三種不同的直圓錐面與垂直於錐面的母線的平面截出了拋物線橢圓與雙曲線等三種曲線 ( 註 : 雙曲線只有一支 ) Menaechmus 為了將拋物線的概念與倍立方問題結合在一起, 他曾推得一個拋物線的關係, 以現代解析幾何的表達, 就是 y =cx 的形式, 其中 c 是頂點到截平面的距離有關的常數, 同樣, 對橢圓與雙曲線也作了深入的探討 Menaechmus 之後, 希臘數學家持續地有系統的研究, 其中 Euclid(330~75B.C.) Archimedes(87~1B.C.) Appllonius 等人都有很多的著作 Archimedes 曾利用窮竭法計算出拋物線與直線圍成的弧形區域面積, 並求得橢圓的面積, 而 Appllonius 更完成了八卷有關圓錐曲線 (Conic Section) 的著作, 而圓錐曲線純幾何的研究, 到了 Appllonius 的時代, 可說達到了顛峰在 Appllonius 的著作中, 他利用一個圓錐面與不同斜度的截平面截出了橢圓拋物線與雙曲線, 而且也確定了雙曲線是兩支曲線的概念, 三種曲線的命名最早也是由他提出來的在八卷著作中,Appllonius 對切線與平行弦的中點軌跡都有詳細的介紹, 他也得到橢圓和雙曲線的焦半徑性質 : 橢圓上任一點到兩焦點的距離和為一定值雙曲線上的點到兩焦點的距離差的絕對值是一個定值 Appllonius 更進一步探索了橢圓與雙曲線的光學性質, 但對於圓錐曲線的焦點準線與離心率的研究, 卻在 Appllonius 後約西元三世紀左右, 由幾何學家 Pappus 提出來的圓錐曲線的綜合幾何法研究, 到此時已經相當完備了直到十六七世紀後, 由於解析幾何的引入, 以及實際問題的需要, 圓錐曲線的研究, 在燃起新的熱潮, 利用軌跡的概念, 重新探索圓錐曲線與錐線的性質如 1579 年, 蒙特將橢圓定義為 : 平面上到兩定點的距離和為一定值的點的軌跡 1604 年 Keppler 提出了連續變動的理論 : 他從一雙曲線開始, 設它的兩焦點 F 1 與 F 在直線 l 上, 且 F 1 固定不動,F 沿著直線 l 逐步的向遠方移動, 這時候雙曲線的一支也隨著 F 的移動向遠處移動, 當 F 移至無窮遠的地方, F 及一支曲線就消失了, 這時候雙曲線只剩下一支, 而開口也變小了, 它變成了拋物線當 F 從 F 1 的左側移到無窮遠處, 而從 F 1 的右側又逐步的向 F 1 移動時, 拋物線又變成了橢圓, 又當 F 移到 F 1 的位置時, 橢圓就變成圓的圖形因此就 Keppler 的想法而言, 圓錐曲線是一體的事實上,Keppler 所提出的大膽想法, 從圓錐與平面的截痕的觀點是可以理解的從 Keppler 提出的連續變動理論及無窮遠點的概念之後, 法國的射影幾何學家 Desargues Blaise Pascal Hire 也相繼的利用射影幾何學的觀點, 對圓錐曲線作更進一步的研究當笛卡兒與費馬建立了解析幾何的概念與方法之後, 他們也發現圓橢圓雙曲線和拋物線, 它們的方程式都是二次式, 但是利用解析幾何系統性的研究圓錐曲線是 1655 年後, 英國數學家 Wallis 導出圓錐曲線的方程式之後, 才利用方程式的方法證明圓錐曲線的各種性質 ~4 1 1~

2 ( 乙 ) 圓錐截痕設 L 0 與 L 是相交於 V 點的兩條直線, 讓 L 以 L 0 為軸旋轉, 所得的曲面就是一個直圓錐面 Ω, (Ⅰ) 非退化的圓錐曲線 : 若用不過 O 點的平面 E 去切割 Ω, 所得的曲線稱為圓錐曲線設 L 0 和 L 的夾角為 α, 割平面和軸線 L 1 的夾角為 β, π (a) 當 >β>α 時, 截痕曲線稱為橢圓 ;(β= π 時, 截痕曲線稱為圓 ) (b) 當 β=α 時, 截痕曲線稱為拋物線 ~4 1 ~

3 (c) 當 0 β<α 時, 截痕曲線稱為雙曲線結合上面所述的截痕, 可得以下幾個圖形 : (Ⅱ) 退化的圓錐曲線 : 若用過頂點 V 的平面去切割 Ω, 可得退化的圓錐曲線, 此時的截痕分別為一點一條直線兩條相交直線 ~4 1 3~

4 ( 丙 ) 拋物線的定義與基本性質 (1) 定義 : 設平面上有一定直線 L 定點 F, 其中 F 不在 L 上, 則在平面上到直線的距離等於到定點 F 的所有動點 P 形成的圖形稱為拋物線 L P P 1 M F V A P () 拋物線的名詞介紹 : (a) 直線 L 稱為準線,F 點稱為焦點 (b) 過焦點垂直準線的直線 M 稱為對稱軸 ( 簡稱 ) 軸 (c) 對稱軸與拋物線的交點 V 稱為頂點,VF 稱為焦距 (d) 拋物線上兩點的連線段稱為弦, 過焦點的弦稱為焦弦垂直對稱軸的焦弦 P 1 P 稱為正焦弦 [ 討論 ]: 如何說明過焦點垂直準線的直線 M 為拋物線的對稱軸? Q [ 說明 ]: 設 P 1 是拋物線上的點 (P 1 V),P 是 P 1 對直線 M 的對稱點, P 1 P 分別對準線 L 作垂線, 垂足分別為 Q 1 Q 因為 P 1 F= P F 且 P 1 F= P 1 Q 1 = P Q, 故 P F= P Q, 因此 P 在拋物線上 Q 1 V F P 1 P ~4 1 4~

5 (3) 拋物線的基本性質 : (a) 設對稱軸與準線的交點為 A, 則頂點 V 為 AF 的中點 [ 說明 ]: 因為 V 為拋物線上的點,VF=d(V,L)= AV, 所以 V 為 AF 的中點 (b) 拋物線的正焦弦長為焦距的 4 倍 [ 說明 ]: 因為 P 1 P =P 1 F, 且 P 1 F=d(P 1,L)= AF= VF 所以正焦弦長 P 1 P =4 VF ( 練習 1) 右下圖為一拋物線的部分圖形, 且 A B C D E 五個點中有一為其焦點試判斷哪一點是其焦點? ( 可利用你手邊現有簡易測量工具 ) (1) A() B(3) C (4) D (5) E (90 學科 ) [ 例題 1] ( 拋物線的作圖 ) 設拋物線 Γ 以 L 為準線,F 為焦點, 在 L 上任取一點 Q, 過點 Q 作直線 L 的垂線 N, 再作 QF 的中垂線交直線 N 於 P, 請證明 P 點在拋物線 Γ 上, 並藉此說明拋物線沒有界限 Q P A V F ~4 1 5~

6 [ 例題 ] 在座標平面上, 設 Γ 是以 F(3, 1) 為焦點,L:x y+1=0 為準線的拋物線, 求 (1)Γ 的頂點 ()Γ 的對稱軸方程式 (3) 正焦弦長 (4)Γ 的方程式 Ans:(1)( 7 4,1 4 ) ()x+y =0 (3)5 (4)x +xy+y 14x+6y+19=0 ( 練習 ) 關於方程式 3x+y 19 = (x+1) +(y ) 10 所代表的錐線圖形 Γ, 下列何者為真? (A)Γ 為拋物線 (B)(1, ) 為 Γ 的焦點 (C)3x+y 19=0 為 Γ 的漸近線 (D)x 3y+7=0 為 Γ 的對稱軸 (E) (3,1) 是 Γ 的頂點 Ans:(A)(D) ( 練習 3) 若一拋物線以 F(1,1) 為焦點,L:x+y+=0 為準線, 求 (1) 拋物線的方程式 () 對稱軸方程式 (3) 正焦弦長 (4) 頂點坐標 Ans :(1)x xy+y 8x 8y=0()x y=0(3)4 (4)(0,0) ( 練習 4) 設一拋物線之頂點 V(1,), 準線 L 之方程式 x+y+6=0, 求其焦點坐標 Ans:( 11,13 ) ( 練習 5) 設拋物線 Γ 的焦點 F 準線 L, 平面上的點, 除了 Γ 之外, 被分成兩個區域, 其中包含焦點 F 的區域稱為拋物線內部, 不包含焦點 F 的區域稱為拋物線的外部試拋物線的定義證明 : (1) 若 R 點在拋物線內部, 則 RF<d(R,L) () 若 R 點在拋物線外部, 則 RF>d(R,L) ( 練習 6) 右圖是一條拋物線的部分圖形,L 為其準線, 且 L 1 L L 3 L 4 L 5 五條直線中有一條為拋物線的準線, 試問哪一條是其準線? ~4 1 6~

7 ( 丁 ) 拋物線的標準式設拋物線 Γ 的焦點 F 為 (c,0) 準線 L:x+c=0, 則 Γ 的方程式為 y =4cx 設 P(x,y) 為 Γ 上任意點, 根據定義 PF=d(P,L) 可得 (x c) +y = x+c (x c) +y =(x+c) y =4cx x+c=0 y y x+c=0 O F(c,0) x F(c,0) O x ~4 1 7~

8 方程式 y =4cx 的特徵 : (a)c>0, 開口向右 ;c<0, 開口向左 (b) 焦距 = c, 正焦弦長 =4 c (c) 頂點 (0,0) () 設拋物線 Γ 的焦點 F 為 (0,c) 準線 L:y+c=0, 則 Γ 的方程式為 x =4cy 設 P(x,y) 為 Γ 上任意點, 根據定義 PF=d(P,L) 可得 x +(y c) = y+c x +(y c) =(y+c) x =4cy y y y+c=0 F(0,c) O y+c=0 x F(0,c) O x 方程式 x =4cy 的特徵 : (a)c>0, 開口向上 ;c<0, 開口向下 (b) 焦距 = c, 正焦弦長 =4 c (c) 頂點 (0,0) (3) 標準式的平移 : 例子 : 將拋物線 Γ:y =6x 沿著向量 l =(3,) 平行移動得到一個新的拋物線 Γ /, 試求 Γ / 的方程式 [ 解答 ]: (1) 設 Γ / 上的任一點 Q(x /,y / ), 因為 Q(x /,y / ) 沿向 y x=3 3 F(3+ 3,) V(3,) x O 量 l =( 3, ) 可得 P(x,y) 在 Γ 上, 即 x x / = 3, y y / = x=x / 3,y / =y (y / ) =6(x / 3) 因此 Γ / 的方程式為 (y ) =6(x 3) () 考慮 Γ 的頂點 (0,0) 焦點 ( 3,0) 正焦弦長 =6 對稱軸 y=0 準線 x= 3 考慮 Γ / 的頂點 (3,) 焦點 ( 3 +3,) 正焦弦長 =6 對稱軸 y=3 準線 x= 3 +3 ~4 1 8~

9 (3) 由 (1)(), 可以得知就點坐標方程式而言, 形式會改變, 但正焦弦長不變結論 : (1) 方程式 f(x,y)=0 的圖形沿向量 l =(h,k) 平移, 所得的圖形的方程式為 f(x h,y k)=0 ( 即原方程式中的 x,y 用 x h,y k 來取代 ) () 方程式 (y k) =4c(x h) 的特徵 : (a)c>0, 開口向右 ;c<0, 開口向左 (b) 焦距 = c, 正焦弦長 =4 c (c) 頂點 (h,k) x=h c x=h x=k x=h c V F(h+c,k) y=k F(h+c,k) V y=k (3) 方程式 (x h) =4c(y k) 的特徵 : (a)c>0, 開口向上 ;c<0, 開口向下 (b) 焦距 = c, 正焦弦長 =4 c (c) 頂點 (h,k) x=h x=h y=k c F(h,k+c) V y=k c y=k V y=k F(h,k+c) ~4 1 9~

10 [ 例題 3] ( 二次函數的圖形為拋物線 ) 試求 y= 1 4 x 1 x +1 的頂點焦點對稱軸與準線 Ans: 頂點 (1, 3 4 ) 焦點 (1, 7 4 ) 準線 y= 1 4 對稱軸 x=1 [ 例題 4] 求合乎下列條件之拋物線方程式 : (1) 通過 (,3) ( 1,6) 二點, 其對稱軸為 x=1 () 焦點 (3, 4), 準線與軸的交點為 ( 1, 4) (3) 焦點 (,0) 準線平行於 y 軸, 正焦弦長為 1 (4) 正焦弦的兩端點為 (1,5) (1, 1) Ans:(1)(x 1) =y ()(y+4) =8(x 1) (3)y = 1(x 1) 或 y =1(x+5) (4)(y ) =6(x+ 1 ) 或 (y ) = 6(x 5 ) ~4 1 10~

11 ( 練習 7) 求拋物線 x 8x+3y+10=0 的 (1) 對稱軸 () 頂點 (3) 焦點 (4) 準線 (5) 正焦弦長 (6) 圖形 Ans:(1)x 4=0 ()V(4,)(3)F(4, 5 4 )(4)y 11 4 =0(5)3 ( 練習 8) 求合乎下列條件的拋物線方程式 : (1) 頂點 V(,3), 軸平行 x 軸, 正焦弦長 =9 () 準線平行 x 軸, 焦點 (3, ) 且頂點在焦點上方, 正焦弦長 16 (3) 頂點在 y 軸上, 對稱軸為 y=, 而焦點在直線 x+y=7 上 (4) 頂點在 x 軸上, 對稱軸平行 y 軸, 且過點 (1,1) (4,4) (5) 已知頂點 V(5, ), 準線方程式 L:y+4=0 Ans:(1)(y 3) =9(x ) 或 (y 3) = 9(x ) ()(x 3) = 16(y ) (3)(y ) =1x (4)(x ) =y 或 (x+) =9y (5) (x 5) =8(y+) ( 練習 9) 試求對稱軸與 y 軸平行, 且通過 (1,0) (,) (3,8) 三點的拋物線方程式 Ans:y=x 4x+ ( 練習 10) 設二次函數的圖形 y=f(x)=x 4x+7, (1) 請將此二次函數的圖形化成 (x h) =4c(y k) 的形式 () 試求此拋物線的焦點與正焦弦長 Ans:(1)(x 1) = 1 (y 5) () 焦點 (1, 41 8 ) 正焦弦長 = 1 [ 例題 5] 坐標平面上有一以點 V(0,3) 為頂點 F(0,6) 為焦點的拋物線設 P(a,b) 為此拋物線上一點,Q(a,0) 為 P 在 x 軸上的投影, 滿足 FPQ=60, 則 b= ~4 1 11~

12 (007 學科能力測驗 ) Ans:1 [ 例題 6] 坐標平面上給定點 A( 9 4,) 直線 L:y= 5 與拋物線 Γ:x =8y 以 d(p,l) 表示點 P 到直線 L 的距離若點 P 在 Γ 上變動, 則 d(p,l) AP 之最大值為 [ 解法 ]: 設 x =8y 的焦點為 F, 準線為 L / 所以 F(0,) L / :y=, 依據拋物線的定義,d(P,L / )= PF 而 d(p,l)=d(p,l / )+3, 故 d(p,l) AP = d(p,l / )+3 AP = PF AP+3, 即求 d(p,l) AP 之最大值求 PF AP+3 之最大值因為 PF AP AF, 且等號成立時 F A P 三點共線所以 PF AP+3 AF+3= 1 4, 當 F A P 時等號會成立 ~4 1 1~

13 [ 例題 7] 設 A(1, 4) B(5,), 點 C 在拋物線 y=x 上, 欲使 ΔABC 的面積最小, 則 C 點的坐標為何? C( 3 4, 9 16 ) ( 練習 11) 在拋物線 y =0x, 求一點 P 使 P 與焦點的距離等於 15, 求 P 的坐標為 ~4 1 13~

14 何?Ans:P(10, ±10 ) ( 練習 1) 設拋物線之軸與 x 軸垂直且過 A(0,) B(3,5), 而其頂點在直線 x y=0 上, 求其方程式 Ans:(x 6) = 9(y 6) ( 練習 13) 拋物線 y=x(ax+b) 之焦點 (4, 3) 求數對 (a,b)=?ans:( 1 4, ) 或 ( 1 16,1 ) ( 練習 14) 在拋物線 y =1x 上求一點 P 使得 P 到焦點 F 與定點 A(5,4) 之距離和 PF+PA 為最小, 求 P 點的坐標為何?Ans:( 4 3,4) ( 練習 15) 試求拋物線 y =16x 上與直線 4x 3y+4=0 距離最短之點的坐標, 及最短距離?Ans:( 9 4,6), 最短距離為 3 ~4 1 14~

15 綜合練習 (1) 求下列各拋物線之方程式: (a) 頂點 (-1, ),準線 x-=0. (b) 焦點 (1, -1),準線為 y+3=0. (c) 焦點 (1, 1),對稱軸 x-1=0,焦點與準線的距離為 4. (d) 焦點 (-, 0),準線平行於 y 軸,正焦弦長 8. (e) 以 y+1=0 為對稱軸且過 (3, 1), (9, 3). () 求下列各拋物線的頂點焦點坐標及準線對稱軸的方程式 : (a) y = 8x (b) ( x+ ) = 6( y ) (c) y = x 4x+ 5 (3) 一拋物線的準線垂直 x 軸, 且過 (1,0),( 1,1),(5, 1) 三點, 則此拋物線方程式為何? 其焦點坐標為何? (3x+4y 7) (4) 設一拋物線的方程式為 5 =(x-4) +(y-5),則此拋物線的 (a) 焦點坐標為, (b) 頂點坐標為, (c) 準線方程式是, (d) 對稱軸方程式是, (e) 正焦弦長為. (5) 過點 (7,8) 且與 y =4x 同焦點且同軸的拋物線方程式 (6) 拋物線通過 P(6, 5) 且和拋物線 y -4x+6y+5=0 有相同的對稱軸與相同的焦點,求此拋物線的方程式 (7) 右圖中所有圓均是以 F 為圓心的同心圓, 試問下列哪些點在以 F 為焦點, L 為準線的拋物線上? ~4 1 15~

(8) 如右圖 (a), 汽車前燈的外形是拋物線沿對稱軸旋轉而成的拋物面它的縱截面之輪廓是拋物線的一部分 ( 如右圖 (b) ) 若燈口的直徑是 1 公分, 燈深 6 公分, 試求焦點與頂點的距離圖 (a) 圖 (b) (9) 坐標平面上一拋物線 Γ:y =8x, 其焦點為 F, 軸為 L 今一光線自點 P(7,3) 出發, 以平行 L 的方向射向拋物線 Γ, 並反射到 F, 求 (a)

(1) 有一開口向上的拋物線 Γ,Γ 的焦點為 F, 直線 PQ 過 F 並且交 Γ 於 P Q 兩點, 已知 PF=4 QF=6, 令 θ 為直線 PQ 與對稱軸的銳夾角, 試問 cosθ=? (13) 拋物線 x =8y 上有兩點 A(x 1,y 1 ) B(x,y ) 且 AB 過焦點 F,, 已知 AB=16 試問 y 1 +y =?

16 (8) 如右圖 (a), 汽車前燈的外形是拋物線沿對稱軸旋轉而成的拋物面它的縱截面之輪廓是拋物線的一部分 ( 如右圖 (b) ) 若燈口的直徑是 1 公分, 燈深 6 公分, 試求焦點與頂點的距離圖 (a) 圖 (b) (9) 坐標平面上一拋物線 Γ:y =8x, 其焦點為 F, 軸為 L 今一光線自點 P(7,3) 出發, 以平行 L 的方向射向拋物線 Γ, 並反射到 F, 求 (a) 拋物線的準線方程式 (b) 此光線由 P 點到 F 點所行經的距離 (10) 在坐標平面上, 過 F(1,0) 的直線交拋物線 Γ:y =4x 於 P,Q 兩點, 其中 P 在上半平面, 且知 PF =3 QF, 則 P 點的 x 坐標為 ( 化成最簡分數 ) (11) 設拋物線 y =1x 上一點 P 與 A(3,0) B(b,0), 其中 b>3, 形成一個正三角形 PAB, 試求 b=? (1) 有一開口向上的拋物線 Γ,Γ 的焦點為 F, 直線 PQ 過 F 並且交 Γ 於 P Q 兩點, 已知 PF=4 QF=6, 令 θ 為直線 PQ 與對稱軸的銳夾角, 試問 cosθ=? (13) 拋物線 x =8y 上有兩點 A(x 1,y 1 ) B(x,y ) 且 AB 過焦點 F,, 已知 AB=16 試問 y 1 +y =? [ 考慮拋物線的定義 ] (14) 某慧星軌道為一拋物線, 而以太陽為焦點, 當此慧星與太陽距離為 d 時, 兩者連線與拋物線之軸成 45 之夾角 ( 如圖 ), 則 (a) 當兩者與軸垂直時, 其距離為 (b) 兩者最近時, 其距離為日 45 d 星 (15) 如右圖, 一座拱橋的邊界線, 從正面望去呈拋物線形, 當水面在 l 線時, 拱頂離水面公尺, 水面寬 4 公尺問水面下降 1 公尺後, 水面寬多少公尺? ~4 1 16~

17 (16) 已知坐標平面上圓 O 1 :(x 7) +(y 1) =144 與 O :(x+) +(y 13) =9 相切, 且此兩圓均與直線 L:x= 5 相切若 Γ 為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 1 與 O 的圓心, 則 Γ 的焦點坐標為 ( 化為最簡分數 ) (008 學測 ) (17) 設 a b 為實數已知坐標平面上拋物線 y=x +ax+b 與 x 軸交於 P Q 兩點, 且 PQ=7 若拋物線 y=x +ax+(b+) 與 x 軸交於 R S, 則 RS= (010 學科能力測驗 ) (18) 設拋物線之頂點 (1,16) 其軸平行 y 軸, 若其圖形截 x 軸所得線段之長為 8, 求其方程式 (19) 若 P 為拋物線 y= 1 x +x+3 上的一點,A(1, 1) B(3,), 求 ΔABP 面積之最小值 (0) 設 k 為一常數已知一拋物線通過點 (,0), 且焦點為 (1,), 準線為 kx+y+1=0, 求此拋物線頂點的坐標進階問題 (1) 如右圖,直圓錐頂點為 A, BC 為底面之直徑,O 為圓心, AE = CE, DF BC 於 O, AB= AC= BC=6, 則 D E F 三點所在平面截圓錐得一截痕, 則其正焦弦長為 () 已知拋物線 y=ax +bx+a+b(a 0) 之頂點為 (1,), 求 a,b 之值 (3) y=ax +bx+c(a>0) 之焦點 ( 1,3) 且圖形過 (3,3), 則數對 (a,b,c)=? (4) 設 P(a,a),a>0, 為拋物線 y =4x 上一點,P 與焦點之連線交拋物線於另一點 Q 設點 R 的坐標為 (3,0), 則 PQR 的面積為, 若 P 在拋物線上移動, 當 a= 時, PQR 的面積最小 (5) 設 BC 為等腰三角形 ABC 之底邊, 且 BC=, 點 A 在以 B 為頂點 C 為焦點的一拋物線上, 求 ΔABC 之腰長 (6) 設 a 為實數, 試求拋物線 y=x +ax+1 的頂點所成軌跡的方程式 (7) 若拋物線之頂點 V( 1,0) 其軸為 x 軸, 與圓 x +y 3x=0 恰交兩點, 求拋物線的方程式 (8) 求函數 f(x)= x 4 3x +4+ x 4 3x 8x+0 的最小值? (88 年北市數學能力競賽 ) ~4 1 17~

18 綜合練習解答 (1) (a)(y-) =-1(x+1), (b)(x-1) =4(y+), (c)(x-1) =8(y+1) 或 (x-1) =-8(y-3), (d)y =-8x 或 y =8(x+4), (e)(y+1) =(x-1), () (a) 頂點 (0,0), 焦點 (,0), 準線 x =, 對稱軸方程式 y = 0 ; 7 1 (b) 頂點 (,), 焦點 (, ), 準線 y =, 對稱軸方程式 x = ; 55 1 (c) 頂點 ( 1,7), 焦點 ( 1, ), 正焦弦長 8, 57 準線 8, 對稱軸方程式 x = 1 (3) x=y 3y+1;( 1, 3 ) (4) (a)(4, 5)(b)( 5, 3)(c)3x+4y-7=0(d)4x-3y-1=0(e)10 (5) y = 3(x 9) 或 y =8(x+1) (6) (y+3) =8(x+) 或 (y+3) =-3(x-8) (7) C (8) 3 公分 (9) (a)x= (b)9 (10) 3 (11) b=15 (1) 1 5 (13) 1 (14) (a) - d (b)- 4 d (15) 6 公尺 [ 提示 : 在拋物線所在的平面建立直角坐標系, 以拱頂為原點, 過拱頂的鉛垂線為 y 軸, 水平線為 x 軸, 單位長皆為 1 公尺, 如上圖所示 (16) F( 1 5,53 5 ) (17) 41 [ 解法 ]: 設 R(x 1,y 1 ) S(x,y ) P(u 1,v 1 ) Q(u,v ) 依題意,x +ax+b=0 兩根為 u 1 u, 且 PQ= u1 u =7; x +ax+(b+)=0 兩根為 x 1 x, 且 RS = x1 x 由根與係數的關係, 可以得知 : ~4 1 18~

19 u 1 +u = a,u 1 u =b 49=(u 1 u ) =(u 1 +u ) 4u 1 u =a 4b x 1 +x = a,x 1 x =b+ (x 1 x ) =(x 1 +x ) 4x 1 x =a 4(b+)=a 4b 8=41 故 RS = 41 (18) (x 1) = (y 16) [ 提示 : 可令拋物線為 (x 1) =4c(y 16), 拋物線與 x 軸交點 (x 1,0) (x,0) x 1 x =8, 且 x 1 與 x 分別為 x x+1+64c=0 的兩根, 再利用跟與係數的關係求 c] (19) 43 8 [ 提示 : 可令 P(t, 1 t +t+3), 計算 P 點到直線 AB 的距離的最小值 ] (0) (0, 3 ) (1) 3[ 提示 : 再拋物線所在的平面上建立一個坐標系, 取 E(0,0) O(3,0) D(3,3) F(3, 3), 可令拋物線為 y =4cx 再代入 D(3,3) 4c=9 正焦弦長 =9] () a=,b=4 (3) (a,b,c)=( 1 8,1 4,9 8 ) (4) PQR 的面積為 a+ a,a=1 (5) 3[ 提示 : 建立坐標系取 B(0,0) C(,0) 此時拋物線方程式為 y =8x, 再令 A(,y), 代入方程式計算 y, 再計算腰長 ] (6) y= x +1 (7) y =x+1[ 提示 : 令拋物線方程式為 y =k(x+1), 因為圓與拋物線均對稱於 x y = k( x + 1) 軸, 所以兩交點亦對稱 x 軸, 因此聯立方程組的解為 (x,y 1 ) x + y 3x = 0 (x,y ), 因此將 y =k(x+1) 代入 x +y 3x=0 中, 可得 x +(k 3)x+k=0 只有一個正解 D=(k 3) 4k=0 k=1 或 9, 但重根為正根, 因此 k=1] (8) 4 [ 提示 :x 4 3x +4=(x 0) +(x ),x 4 3x 8x+0=(x 4) +(x ) 考慮動點 P(x,x )(P 在拋物線 y=x 上 ) 及兩定點 (0,),(4,) 距離的最小值 ] ~4 1 19~

第十一單元(圓方程式)

第十一單元(圓方程式) 第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ