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右宫串员
5 years ago
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-1 點直線圓之間的關係例題 1 切線性質之應用如圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑隨堂練習 1 如圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L

1 -1 點直線圓之間的關係例題 1 切線性質之應用如圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑隨堂練習 1 如圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP 於 P 點, 故 OPA 為直角㆔角形由勾股定理知 + OP =OA PA =OB + ) AB, 故 r +15 = r+9 ), 解之得 r=8 L P 解 : 因為 OPA 為直角㆔角形, 所以 =OP OA + =5 AP +1 =13, =13 OA A 例題圓外㆒點圓之兩切線的性質如右圖,P 點在圓 O A 的外部, 直線 PA 與 O 直線 PB 分別與圓 O 相切於 A 與 B 點, 請 B 問 =BP AP 嗎? APO= BPO 嗎? 解 : 因為 OAP= OBP=90, =OB OA = 圓 O 的半徑,OP =OP, 所以 OAP OBP RHS 全等性質 ) 因為全等㆔角形的對應邊相等, 對應角相等, 所以 = AP, BP APO= BPO P 隨堂練習如右圖, 直線 PA 與直線 PB 分別與圓 O 相切於 A B 兩點已知圓 O 半徑為 5,OP =10, AOP=60 求: 1) AP 及 BP 的長度 ) APB 的度數解 :1) = AP = BP 10-5 =5 3 ) APB= 30 =60 8

2 例題 3 弦心距與弦關係之應用如右圖, 在半徑為 5 的圓 O,AB CD 為圓 O 的兩弦, OM AB 於 M 點, CD ON 於 N 點 1) 若弦 =6, AB 求弦 AB 的弦心距 ) 若弦 CD 的弦心距是 3, 求弦 CD 的長解 :1) 因為 OM 垂直平分, AB 所以 = AM 1 AB = 1 6=3, 由勾股定理知 : OM =OA -AM =5-9=16, 所以 OM =4 ) 在直角 OND, =OD DN -ON =5-9=16, 所以 =4, DN 又 ON 垂直平分, CD 所以 =DN CD = 4=8 隨堂練習 3 如右圖, AB CD 與 EF 皆為圓 O 的弦, 其弦心距分別為 OX OY 與 OZ 已知 =10,OX AB =1, =8,CD OZ =4, 求 : 1) 圓 O 的半徑 ) OY 的長 3) 弦 EF 的長解 :1) 設圓半徑為 r, r =OX + =1 AX +5 =13,r=13 ) =r OY - 1 CD ) =13-1 =5,OY =5 3) = EF EZ ) =4 EZ =4 r -OZ )= ) =40, = EF 105 例題 4 弦心距平分其弦如右圖,AB 為圓 O 之㆒弦, OM AB 於 M 試說明 = AM BM 解 : 連接 OA, OB =OB OA = 圓 O 半徑方法㆒ 利用勾股定理可得 =OA AM -OM =OB -OM =BM 所以 =BM AM 方法㆓ 在直角 OAM 和直角 OBM, 因為 =OB OA,OM =OM, OMA=90 = OMB, 我們可以得到 OAM OBM RHS 全等性質 ), 所以 AM 和 BM 會對應相等隨堂練習 4 如右圖, AB CD 為圓 O 的兩弦,OM AB 於 M 點, CD ON 於 N 點 1) 如果 =CD AB, 請判斷 OM 與 ON 的大小 ) 如果 >CD AB, 請判斷 OM 與 ON 的大小解 :1) OM =ON ) OM <ON 9

3 例題 5 兩圓位置關係之判別已知圓 O 1 的半徑為 5, 圓 O 的半徑為 3, 試就列各連心線段的長度, 判斷兩圓的位置關係 1) =10 O 1 O ) =8 O 1 O 3) =4 O 1 O 4) = O 1 O 5) =1 O 1 O 6) =0 O 1 O 解 :1) =10>8=5+3 O 1 O 兩圓的連心線段大於兩圓半徑和, 所以圓 O 1 與圓 O 外離 ) =8=5 O 1 O + 3 兩圓連心線段等於兩圓半徑和, 所以圓 O 1 與圓 O 外切 3) 5-3<O =4<5+3 1 O 兩圓連心線段大於兩圓半徑差, 小於兩圓半徑和, 所以圓 O 1 與圓 O 相交於兩點 4) ==5-3 O 1 O 兩圓連心線段等於兩圓半徑差, 所以圓 O 1 與圓 O 內切 5) =1<5-3 O 1 O 兩圓連心線段小於兩圓半徑差, 所以圓 O 1 與圓 O 內離 6) =0, O 1 O 表示兩圓為內離, 此時兩圓的圓心為同㆒點, 像這樣的圓稱為同心圓隨堂練習 5 已知圓 O 1 與圓 O 的連心線段長 =10 若圓 O 1 與圓 O 的半徑分別如, 請問兩圓位置關係各為何? 解 : 圓 O 1 半徑圓 O 半徑相交於兩圓位置關係外離外切內離內切兩點例題 6 求內公切線段長如右圖, 直線 L 分別切圓 O 1 與圓 O 於 A B 兩點已知圓 O 1 與圓 O 的半徑分別為 4 和, 且 =10, O 1 O 試求內公切線段 AB 的長度解 : 過圓心 O 作㆒直線 M, 使得 M // L, 延長 O, 1 A 交直線 M 於 C 點因為 M AC 且 BO M, 所以 =BO AC, =CO AB 又 O 1 CO 為以 C 點為直角頂的直角㆔角形, 且 O =O 1 C + 1 A =O AC +BO 1 A =4+=6, 則 CO =O 1 O -O 1 C =10-6 =8 =64, 得 CO =8, 即 =CO AB =8 隨堂練習 6 如右圖, 直線 L 分別切圓 O 1 與圓 O 於 A B 兩點, 圓 O 1 與圓 O 的半徑分別為 8 和 3,O =13, 1 O 試求外公切線段 AB 的長度提示 : 過圓心 O 作直線 M, 使得 M // L, 則可得出直角㆔角形 ) 解 : =13 AB ) =1 =1 AB 30

4 ㆒ 填充題 1. 如右圖,A 點在圓 O 的外部, 直線 AO 交圓 O 於 B C 兩點已知 =13 OA 公分, 圓 O 半徑為 5 公分, 則 : 1) A 點到圓 O 的點的最短距離 = 8 公分 ) A 點到圓 O 的點的最長距離 = 18 公分. 如右圖,AB CD 為圓 O 的兩弦,AB // CD 若㆒圓 O 的半徑為 13 公分,AB =4 公分,CD =10 公分, 則兩弦 AB 與 CD 的距離 = EF 17 公分 3. 已知圓 O 1 O 的半徑分別為 6 公分 4 公分, 請根據所給條件, 求出面空格內答案連心線段長 cm) 兩圓交點個數兩圓位置關係外離外切相交於兩點內切內離 ㆓ 計算題 1. 如右圖, 圓 O 1 和圓 O 外離, 直線 PA 分別切圓 O 1 與 O 於 A B 兩點已知圓 O 1 的半徑 15, 圓 O 的半徑為 5,O 1 O =6, O =13, P 且知 O 1 O P ㆔點共線, 求兩圓外公切線段 AB 的長度答 : 因為 PO B 為直角㆔角形, 所以 PO = +O PB B,13 = +5 PB, =1 PB 同理, 因為 PO 1 A 為直角㆔角形, 所以 =O PA 1 P -O 1 A = 6+13 ) -15 =36, =36, PA 故 = AB PA - =4 PB. 如右圖, 直線 L 切圓 O 1 於 A 點, 切圓 O 於 B 點已知圓 O 1 的半徑為 5, 圓 O 的半徑為 3, O 1 O =17, 求 AB 的長度答 : AB = O 1 O -O 1 A + O ) B =17-8 =15 故 =15 AB 31

5 - 圓心角圓周角與弦切角例題 1 求弧之度數與長度如右圖, 兩同心圓的圓心為 O,OA OB 為小圓的半徑, OC OD 為大圓的半徑已知 AOB=60, OA =OB =5 公分,OC =OD =8 公分求 : 1) COD 的度數 ) AB CD 的度數 3) AB CD 的長度解 :1) COD= AOB=60 ) AB 的度數 = AOB 的度數 =60, CD的度數 = COD 的度數 =60 3) 的長度 AB = π = 5π 3 公分 ), 的長度 CD = π = 8π 3 公分 ) 隨堂練習 1 如圖, 圓 O 1 的半徑 O =6 1 A 公分, 圓 O 的半徑 O =3 C 公分, AO 1 B= CO D 已知 AB 的長度為 π 公分, 求 : 1) CO D 的度數 ) 的度數 CD 3) 的長度 CD 解 :1) π= AO 1B 360 6π AO 1 B=60 = CO D ) CD 的度數 = CO D=60 3) CD 的長度 = π 3 =π 公分 ) 例題等弧對等弦如右圖, 已知在圓 O, AB =CD, 則 : 1) =CD AB 嗎? ) =BD AC 嗎? 解 :1) 因為在同㆒圓, 相等的弧所對的弦也相等, 所以由 AB =CD, 可知 =CD AB ) 由 AB =CD 得 AC = AB +BC =CD +BC =BD, 所以 =BD AC 等弧對等弦 ) 隨堂練習如右圖, 已知 ABCDEF 為正㈥邊形的㈥個頂點, 且這㈥個頂點都落在圓 O 則 : 1) AOC 是多少度? DOF 是多少度? ) =DF AC 嗎? 為什麼? 解 :1) AOC= DOF=ABC = =10 ) 是, 因為所對弧度數相同 3

6 例題 3 利用半圓所對的圓周角求弧之度數如右圖,AB 是圓 O 的直徑, 且 ABC 是正㆔角形求 AE DE BD 的度數解 : 1) 因為 ABC 是正㆔角形, 所以 A=60 又在 ABE, AEB=90, 所以 ABE= =30, 故 AE = ABE= 30 =60 ) 因為 CBE= CBA- ABE =60-30 =30, 所以 DE = CBE=60 3) 由於 EB = A= 60 =10, 故 BD = EB -DE=10-60 =60, 所以 AE =DE=BD =60 隨堂練習 3 如右圖,AB 為圓 O 的直徑, 且 C=50, 求 : 1) CBE 的度數 ) DE 的度數解 :1) CBE= =40 ) DE = CBE=80 例題 4 圓內接㆕邊形的對角互補如右圖,ABCD 為圓 O 的內接㆕邊形, 請說明 A+ C =180, B+ D=180 解 : 因為 A= 1 BCD 1, C= BAD, 所以 A+ C= 1 BCD 1 + BAD 隨堂練習 4 如右圖, ㆕邊形 ABCD 內接於圓 O, 已知 BD 為圓 O 的直徑, 且 ABC=110, 求 A C 和 ADC 的度數解 : 因為 BD 為直徑, 所以 A= C=90, ADC= =70 = 1 BCD 1 +BAD )= 360 =180 B+ D=360 - A+ C ) = =180 33

7 例題 5 求圓內角與圓外角之度數 1) 如圖 1, 兩弦 AB 與 CD 相交於圓內㆒點 P 已知 AC =108,BD =40, 求 BPD 的度數 ) 如圖, 兩弦 AB 與 CD 的延長線相交於圓外㆒點 P 已知 AC =90,BD =46, 求 P 的度數圖 1 圖解 :1) BPD= 1 AC +BD ) = )=74 ) P= 1 AC -BD ) = )= 隨堂練習 5 1) 如右圖, 兩弦 AB 與 CD 相交於圓內㆒點 P 已知 AD =90,BC =46, 求 APC 的度數 ) 如右圖, 兩弦 AD 與 CB 的延長線相交於圓外㆒點 P 已知 AC =108,BD =40, 求 P 的度數解 :1) 因為 BPC = 1 AD +BC ) = )=68, 所以 APC= =11 ) P= )=34 例題 6 弦切角與其夾弧所對圓周角之關係如右圖, 直線 AB 切圓 O 於 A 點,AC 為圓 O 的㆒弦,D 為圓 O ㆒點試說明 BAC= D 解 : 因為 D 為圓周角, 所以 D= 1 AC, 因為 BAC 為弦切角, 所以 BAC= 1 AC, 得 D= BAC 隨堂練習 6 如右圖,A B C 在同㆒圓, 直線 BD 與圓 O 相切於 B 點若 = AB, AC BC =100, 求 C 與 ABD 的度數解 : 因為 A= 1 BC =50 所以 C= )=65, ABD= C=65 34

8 ㆒ 填充題 1. 根據右圖回答列問題, 兩同心圓的半徑 =6 OA 公分 =4 OC 公分, 且 COD=60, 則 : 1) AB 的度數 = ) 灰色部分面積為 3 π 平方公分 ) ) 灰色部分周長為 3 π 公分 ). 如右圖, ㆕邊形 ABCD 的㆕個頂點都在圓 O, 已知 A=50, D=90, 則 : 1) B 的度數 = 90 ) C 的度數 = 130 ㆓ 計算題 1. 如右圖,A B C ㆔點在圓,D 點在圓內,E 點在圓外, 直線 L 切圓於 B 點試判斷的大小答 : 因為 4= 1 AB =, 又 1> > 3, 故 1> = 4> 3. 如右圖, ㆒圓的兩條割線 L 1 與 L 相交於圓內㆒點 P, 割線 L 1 與圓相交於 A B 兩點, 割線 L 與圓相交於 C D 兩點若 AC =10, BD =40, 則 APC 是多少度? 答 : APC= ) =80 3. 如右圖, 直線 PC 與圓 O 相切於 C 點, 直線 PB 與圓 O 相交於 A B 兩點若 P=40, BAC=80, 求 : 1) AC 的度數答 : ACP=80-40 =40 AC = 40 =80 ) B 的度數答 : B= 1 1 AC = 80 =40 35

9 4. 如右圖, 已知 ABC=0, CD 為過圓心的㆒弦, 求 : 1) AOC 的度數答 : AOC= ABC=40 ) CBD 的度數答 : CBD=90 5. 如右圖, ABC, AD BC, DE AB, DF AC, 則 : 1) A E D F ㆕點共圓嗎? 為什麼? 答 : 是, 因為 AED+ AFD=180 A ) FDA= FEA 嗎? 為什麼? F E 答 : 是, 因為㆒圓, 同弧所對的圓周角相等 B C D 3) E B C F ㆕點共圓嗎? 為什麼? 答 : 是, 因為 ADF+ FDC=90 = FDC+ C, ADF= C, 故 C= ADF= AEF, 所以 C+ BEF= AEF+ BEF= 如右圖,P 為圓 O 外㆒點, 直線 PA 與直線 PB 分別切圓 O 於 A B 兩點若 P=40 則 AB 的度數 = 140 度 A 答 : 因為 A B 為切點, 所以 PA = PB, 又 P=40, 故 A= =70, O 40 P 得 AB = 70 =140 B 36

點線圓本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r

點線圓本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r 24 2-1 點線圓本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM