ok331 向量的幾何表示法
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- 宿钠 弓
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1 ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小.. 當兩向量 AB 與 CD 的大小相等,且方向相同時, 稱此兩向量相等,記作 AB CD. 4. 始點與終點重合之有向線段所代表的向量稱 為零向量,記作 0.
2 ok 平面向量的幾何表示法 例題 有一邊長為 的正六邊形.若向量 a 的起點與終點都是此 正六邊形的頂點,且 a,則共有多少個不相等的向量 a? Ans:6 如右圖,正六邊形有三組不平行的稜邊.又一稜邊可以有兩種不同的方向, 因此不相等的向量 a 有 =6 種. 類題 試問正五邊形的邊可以決定多少個不相等的向量? Ans:0 如右圖,正五邊形任兩稜邊都不平行.又一稜邊可以有兩種不同的方向,因此共可決定 5=0 個不相等的向量.
3 ok 平面向量的幾何表示法 主題二 向量的加法與減法. 向量加法法則: () 三角形法則: () 平行四邊形法則:. 向量減法法則:. 向量的拆解: 設 A, B, C 為任意三點.向量 AB 可拆解如下: () AB AC CB () AB CB CA.
4 4 ok 平面向量的幾何表示法 例題 在正六邊形 ABCDEF 中,選出正確的選項: () AB BC CD DE AE. () AC AF CF. () AC CE CB CD. (4) AD CF DC AF. (5) AD BD BA. Ans:()()(4)(5) () AB BC CD DE AC CE AE () 因為 AF CD,所以 AC AF AC CD AD.. 而 AD 與 CF 不平行.故兩向量不相等. () AC CE CB AE CB.因為 CB EF, 所以 AC CE CB AE EF AF CD. (4) AD CF DC AD DC CF AC CF AF (5) 由向量減法得知, AD BD BA. 故選項 ()()(4)(5) 正確.. 類題 已知 ABCDE 為五邊形,化簡下列各式: () AB BC CD DE EA. () AB AD BC.
5 ok 平面向量的幾何表示法 5 Ans:() 0,() DC () 原式 AC CD DE EA AD DE EA AE EA 0. () 原式 DB BC DC. 例題 已知 ABCD 為四邊形,令 a DA, b AB, c DC. 試將下列各向量以 a, b 和 c 表示: () BD. () CA. () BC. Ans:() b a,() c a,() b a c () BD BA AD b a. () CA CD DA c a. () BC BA AD DC b a c. 類題 如右圖,平行四邊形 ABCD 中,令 AB a, AD b, 試以 a, b 表示下列各向量: () DB. () CA. Ans:() b a,() a b
6 6 ok 平面向量的幾何表示法 () DB DA AB b a. () CA AC a b a b.
7 ok 平面向量的幾何表示法 7 主題三 向量的係數積與平行. () 若 a 0,則 當 r 0 時, ra 的方向與 a 的方向相同,其大小為 r a. 當 r 0 時, ra 的方向與 a 的方向相反,其大小為 r a. 當 r 0 時, ra 為零向量,即 ra 0. () 若 a 0,則 ra 0.. 設 r, s 為實數, a, b 為任意向量. () r a b r a r b. () r s a r a s a. r s a rs a ().. 當兩個非零向量 a 與 b 中有一個可以寫成另一個的 係數積時,稱 a 與 b 平行,記作 a// b.
8 8 ok 平面向量的幾何表示法 例題 4 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合,且每一小 格都是菱形.試以 A 點為始點畫出 a b. Ans: 見詳解 因為 a b a b, 所以由向量的加法作圖如右. 類題 4 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合,且每一小 格都是菱形.試以 A 點為始點畫出 a b. 4 Ans: 見詳解 因為 a b a b 4 4,所以由向量的加法作圖如右. 例題 5 在 ABC 中, BF FA, AE EC, CD DB, 令 BF a, BD b,試用 a 與 b 表示下列各向量: () AD. () BE. () AD BE. Ans:() a b,() a b,() 7 b
9 ok 平面向量的幾何表示法 9 () 由向量的拆解,得 AD AB BD a b. () 由向量的拆解及向量係數積的基本性質,得 BE BA AE a AC a AB BC a a b a a b a b. () AD BE a b a b a b a 6 b 7 b. 類題 5 如右圖,正六邊形 ABCDEF 中,令 AB a, AF b, 試以 a, b 表示下列各向量: () CB. () CE. () EA. (4) CE EA. Ans:() a b,() a b,() a b,(4) a 5 b () CB CO OB a b. () CE CO OE a b. () EA EB BA b a a b. (4) CE EA a b a b a 5 b.
10 0 ok 平面向量的幾何表示法 例題 6 三角形兩邊中點連線定理 已知 D, E 分別為 ABC 兩邊 AB, AC 的中點,試證: DE // BC 且 證明 DE BC. 因為 DE DA AE BA AC BA AC BC, 所以 DE 與 BC 同方向且 DE 長度為 BC 長度的一半,即 DE // BC 且 DE BC. 類題 6 已知 D, E 分別在 ABC 兩邊 AB, AC 上,且 AD DB, AE EC,試證: DE // BC 且 DE BC. 證明 因為 DE DA AE BA AC BA AC BC, 所以 DE 與 BC 同方向且 DE 長度為 BC 長度的 DE // BC 且 DE BC.,即
11 ok 平面向量的幾何表示法 主題四 向量的線性組合 若 OA 和 OB 為平面上兩個不平行的非零向量,則平面上的 每一個向量 OP 都可以唯一表示成 OP xoa yob 的形 式.我們將這種形式的向量稱為 OA 與 OB 的線性組合. 已知非零向量 OA 和 OB 不平行,且 OB AP 5BO BP. () 將 OP 表為 OA 與 OB 的線性組合. () 設 OP xoa yob,求 x, y 的值. Ans:() OA OB,() 5 5 x, 5 y 5 () 利用向量的拆解,得原式 OB OP OA 5 OB OP OB 5OP OA OB OP OA OB. 5 5 () 因為 OA 和 OB 不平行,所以線性組合是唯一表示,故 x, 5 y. 5
12 ok 平面向量的幾何表示法 例題 7 已知 a 和 b 是兩個不平行的非零向量,且實數 s, t 滿足 s a b t a b 7 a 4 b,求 s, t 的值. 若非零向量 a 和 b 不平行,且 x a y b 0,則 x y 0. Ans: s, t 利用向量係數積的基本性質,將原式改寫成 s t 7 a s t 4 b 0. 因為 0 a 0 b 0, 且任一向量表示成 x a y b 的形式是唯一的, s t 7 0 所以 s t 4 0 解得 s, t. 類題 7 已知 a 和 b 是兩個不平行的非零向量,且實數 s, t 滿足 s a b t a b a b,求 s, t 的值. Ans: s, t 利用向量係數積的基本性質,將原式改寫成 s t a s t b 0.
13 ok 平面向量的幾何表示法 因為 0 a 0 b 0, 且任一向量表示成 x a y b 的形式是唯一的, 所以 s t 0 s t 0, 解得 s, t. 例題 8 在平行四邊形 ABCD 中, AE EC, F 為 BC 的中點. () 設 AE x AB y AD,求 x, y 的值. () 設 EF r AB s AD,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s 6 () 因為 AE EC,且 AC AB AD,所以 AE AC AB AD AB AD. 故 x, y. () 利用向量的拆解,得 EF EA AB BF 故 AB AD AB AD AB AD. 6 r, s. 6
14 4 ok 平面向量的幾何表示法 類題 8 在平行四邊形 ABCD 中, AE AC. () 設 AE x AB y AD,求 x, y 的值. () 設 EB r AB s AD,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s () 因為 AE AC,且 AC AB AD,所以 AE AC AB AD AB AD. 故 x, y. () 利用向量的拆解,得 EB EA AB 故 AB AD AB AB AD. r, s.
15 ok 平面向量的幾何表示法 5 主題五 向量的分點公式 若 P 為 OAB 中 AB 邊上一點,且 AP : PB m: n,則 n m OP OA OB. m n m n
16 6 ok 平面向量的幾何表示法 例題 9 如右圖, P 在 OAB 的 AB 邊上,且 AP BP, OC CA. () 設 OP xoa yob,求 x, y 的值. () 設 CP r OA sob,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s () 因為 AP BP,所以 AP: PB :. 利用向量的分點公式,得 OP OA OB.故 x, y. () 由向量的拆解,得 CP CO OP OA OA OB OA OB. 故 r, s. 類題 9 如右圖,在 OAB 中, AP : PB 4:, OQ : QP :. () 設 OP xoa yob,求 x, y 的值. () 設 OQ r OA sob,求 r, s 的值. Ans:() x, y 4,() r, s 5 5
17 ok 平面向量的幾何表示法 7 () 因為 AP: PB 4 :,所以 故 x, y OP OA OB () 因為 OQ OP OA OB OA OB, 所以 r, s. 5 5 例題 0 如右圖, O, A, B 三點不共線,點 P 在直線 AB 上,且 AP : BP 7 :.設 OP xoa yob,求 x, y 的值. Ans: x, y 因為 AP: BP 7 :,所以 AB: BP 4 :. 利用分點公式,得 4 OB OA OP, 7 7 移項得 4 OP OA OB.整理得 OP OA OB. 4 4 故 x, y 類題 0 如右圖, O, A, B 三點不共線,點 P 在直線 AB 上,且 BP : AP :.設 OP xoa yob,求 x, y 的值.
18 8 ok 平面向量的幾何表示法 Ans: x, y 因為 BP: AP :,所以 PA: AB :. 利用分點公式,得 OA OP OB, 移項得 OP OA OB.整理得 OP OA OB. 故 x, y.
19 ok 平面向量的幾何表示法 9 主題六 共線定理 設 O, A, B 三點不共線.若點 P 在直線 AB 上,且 OP xoa yob,則 xy ;反之亦成立. 證明 若點 P 在直線 AB 上,則 AP t AB ( t ).因此 OP OA t OB OA OP t OA t OB. 此時 t t. 若 OP xoa yob,且 xy,則 OP xoa xob x OA OB OB. 整理得 OP OB x OA OB BP x BA. 故點 P 在直線 AB 上. 已知 O, A, B 三點不共線, () 設 OP xoa OB,且點 P 在直線 AB 上,求 x 的值. 5 7 () 設 OQ OA OB,問:點 Q 是否在直線 AB 上? 5 5 Ans:() x,() 點 Q 在直線 AB 上 5 () 因為 x,所以 x () 因為,所以點 Q 在直線 AB 上. 5 5
20 0 ok 平面向量的幾何表示法 例題 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, P 為 AD 上一點, 且 AP AB AC,求 5 5 () AP : PD. () BD : CD. () ABP 面積 : ABC 面積. Ans:() :,() :,() :5 () 設 AD t AP,則 t t AD t AP t AB AC AB AC 因為點 D 在直線 BC 上,所以由共線定理,得 t t 5 t, 5 5 即 5 AD AP.故 AP: PD :. () 由 () 得 AD AB AC, 所以由向量的分點公式,得 BD : CD :. () 因為 AP: PD : 且 BD : CD :,所以 ABP 面積 = 5 ABD 面積 = ABC 面積 5 = 5 ABC 面積. 故 ABP 面積 : ABC 面積 =:5.
21 ok 平面向量的幾何表示法 類題 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, P 為 AD 上一點,且 5 AP AB AC,求 4 () AP : PD. () BD : CD. () ABP 面積 : ABC 面積. Ans:() :,() 5:,() 5: () 設 AD t AP,則 5 t 5t AD t AP t AB AC AB AC. 4 4 因為點 D 在直線 BC 上,所以由共線定理,得 t 5t t, 4 即 AD AP.故 AP: PD :. 5 () 由 () 得 AD AB AC, 8 8 所以由向量的分點公式,得 BD : CD 5:. () 因為 AP: PD :且 BD : CD 5:,所以 ABP 面積 = ABD 面積 = 5 ABC 面積 8 = 5 ABC 面積. 故 ABP 面積 : ABC 面積 =5:.
22 ok 平面向量的幾何表示法 例題 在 ABC 中, D 為 AC 邊的中點,且 AE : EB :, BD 與 CE 交於 P 點.設 AP x AB y AC,求 x, y 的值. 利用三角形中的兩條交叉線,列得兩個方程式, 再解 x, y. Ans: x, y 4 因為 AP x AB y AC x AE y AC x AE y AC, 又點 P 在直線 CE 上,所以 因為 x y. AP x AB y AC x AB y AD x AB y AD, 又點 P 在直線 BD 上,所以 xy. 由 解得 x, y. 4 類題 在 ABC 中, AD : DC :, AE : EB :, BD 與 CE 交於 P 點.設 AP x AB y AC,求 x, y 的值. Ans: x, y 因為 4 4 AP x AB y AC x AE y AC x AE y AC,
23 ok 平面向量的幾何表示法 4 又點 P 在直線 CE 上,所以 x y. 因為 AP x AB y AC x AB y AD x AB y AD, 又點 P 在直線 BD 上,所以 x y. 由 解得 x, y. 例題 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, AE : EB :, AF : FD :, DE 與 CF 交於 P 點. 設 AP x AB y AD,求 x, y 的值. 利用平行四邊形中的兩條交叉線,列得兩個方程式, 再解 x, y. 4 Ans: x, y 9 9 因為 AP x AB y AD x AE y AD x AE y AD, 又點 P 在直線 DE 上,所以 x y 因為 5 AP x AB y AD x AC CB y AF x AC AF y AF x AC x y AF 又點 P 在直線 FC 上,所以
24 4 ok 平面向量的幾何表示法 5 5 x x y x 5y 4 由 解得 x, y. 9 9 類題 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, AE : EB :, AF : FD :, AC 與 EF 交於 P 點. 設 AP x AB y AD,求 x, y 的值. Ans: x, y 7 7 設 AP t AC,因為 AC AB AD,所以 AP t AB t AD t 4 AE t AF 4t AE t AF 因為點 P 在直線 EF 上,所以. 4t t t, 7 即 AP AB AD,故 x, y
25 ok 平面向量的幾何表示法 5 okex. 如右圖,正六邊形 ABCDEF 中, M 為 CD 的中點. 令 AB a, AF b,試以 a, b 表示下列各向量: () AD. () AE. () AM. (4) AE AM. Ans:() a b,() a b,() a b,(4) a b () AD = AO =( a + b ) A () AE = AB + BE = a + b B F () AM = AB + BC + CM = a +( a + b )+ b C M D O E = a + b (4) AE AM =( a + b )-( a + b ) = a - b. 在 ABC 中, P 在 AB 上且 AP : PB :, Q 在 AC 上且 AQ : QC :.若 PQ x AB y AC,求 x, y 的值.
26 6 ok 平面向量的幾何表示法 Ans: x, y 4 A Q P B C PQ = PA + AQ = 4 AB + AC, 故 x=,y= 4. 如右圖,在 ABC 中, AD : DB :, DP : PC :. 設 AP x AB y AC,求 x, y 的值. Ans: x 4, y 5 AP = AD + DP = AD + DC = AD + ( AC - AD ) B D A P C = AD + AC = 5 AB + AC = 4 5 AB + AC
27 ok 平面向量的幾何表示法 7 故 x= 4 5,y= a AB a b BC a b CA 0, 4. 在 ABC 中,若 求 a, b 的值. Ans: a 0, b a AB a b BC a b CA 0 (a+) AB +(a-b)( AC - AB )-(a+b+) AC = 0 (a+-a+b) AB +(a-b-a-b-) AC = 0 a-b-=0,a-b-=0 b=,a=0 5. 如右圖,在 ABC 中, AP : PQ :, BQ : QC :. () 設 AQ x AB y AC,求 x, y 的值. () 設 AP r AB s AC,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s 5 5 () AQ = AB + AC, 即 x=,y= Hide Points A () AP = 5 AQ B P Q C
28 8 ok 平面向量的幾何表示法 = 5 ( AB + AC ) = 5 AB + 5 AC, 即 r= 5,s= 5 5. 如右圖,在四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 相交於 P 點,且 AC AB AD,求 AP : PC. Ans: : 4 設 AP =k AC =k AB +k AD, 因 B,P,D 三點共線, 故 k+k= k= 5, 得 AP : PC =:4 6. 如右圖,在 ABC 中, AD : BD :, AE : EC :, BQ : QC :, DE 與 AQ 交於 P 點.設 AP x AB y AC, 求 x, y 的值. Ans: x, y 5 5 AQ AB AC AP k AQ =k( AB AC ) ()
29 ok 平面向量的幾何表示法 9 =k( AD AE), 因 D,P,E 三點共線, 故 (+ )k= k= 5, 代入 () 得 AP = 5 ( AB AC )= AB AC,, 5 5 即 x= 5,y= 5 7. 已知 G 為 ABC 的重心. () 設 AG x AB y AC,求 x, y 的值. () 證明: GA GB GC 0. Ans:() x, y,() 略 如右圖, () AG = AE = ( AB + AC ), A 故 x=y= () AG AB AC, BG BC BA, B D G E F C CG CA CB, 三式相加得 AG BG CG 0, 即
30 0 ok 平面向量的幾何表示法 GA GB GC 0 8. 如右圖,在 ABC 中, AB 6, BC 5, CA 4 BAC 的角平分線交 BC 於 D, I 為 ABC 的內心. () 設 AD x AB y AC,求 x, y 的值., () 設 AI r AB s AC,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s 5 5 () 由內角分角線性質知 BD : DC = AB : AC =64=:, AD = 5 AB + 5 AC, 即 x= 5,y= 5 () BD =5 5 =, 故 AI : ID = AB : BD =6:=:, AI AD = ( AB AC) = ( 4 AB AC), 即 r= 4 5,s= 5 9. 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, AE : EB :, DB 與 CE 交於 P 點.設 AP x AB y AD, 求 x, y 的值. Ans: x, y 4 4
31 ok 平面向量的幾何表示法 AP x AB y AD x+y= () AP x AB y( AC AB) ( x y) AB y AC ( x y) AE y AC, 因 C,P,E 三點共線, 故 (x-y)+y= x- y= x-y= () 解 ()() 得 x= 4,y= 4 0. 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, DF : FC :, E 為 BC 的中點, DE 與 BF 交於 P 點.設 AP x AB y AD,求 x, y 的值. Ans: x 4, y 5 5 AP x AB y AD = 因 B,P,F 三點共線, 故 x AB y ( AF AB) = ( x y) AB y AF, x- y+y=x+ y= x+y= () AP x AB y AD = x( AE AD) y AD = x AE ( y x) AD 因 D,P,E 三點共線, 故 x+y- x= x+y= x+y= ()
32 ok 平面向量的幾何表示法 解 ()() 得 x= 4 5,y= 5. 在梯形 ABCD 中, AB DC, E, F 分別在 AD, BC 上, 且 AE : ED BF : FC :,求證: EF // AB 且 EF AB. Ans: 略 D C E F A B 如上圖, EF = ED + DC + CF (), EF = EA + AB + BF (), 因 ED = EA, CF = BF, ()+() EF = DC + AB = AB + AB, 故 EF = AB, 即 EF // AB 且 EF AB. 已知向量 AB 與 AC 所張成的平行四邊形之面積為 4, 求由向量 AB AC 與 AB AC 所張成的平行四邊形之面積.
33 ok 平面向量的幾何表示法 Ans:8 C D A B F E 如上圖, ABD, ACD, ABE, BEF, BDF 的面積都是, 故平行四邊形 ADFE 的面積為 8
1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) ()
(39mm E-Mail ( )( ), : : 1 1 ( ) 2 2 ( ) 29mm) WSK ( 1 2 / 3 1 A4 2 1 3 (2-1) 2-1 4 (2-2) 2-2 5 A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A4 10 11 ( () 4 A4, 5 6 7 8 A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () 1 2 (2-1) 3 (2-2) 4 5 6 7 (8 ) 9
4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2
: / ( 6 (2003 8 : ( 1 ( ( / / (,, ( ( - ( - (39mm 29mm 2 ( 1 2 3-6 3 6-24 6-48 12-24 8-12 WSK / WSK WSK 1 4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2 9 5 ( 10 3 11 / (600 4 5 AA 710 AB 720 730
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
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数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD
Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 59400 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线
1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
50~56 I1. 1 A 2 3 I2. I2a. 1 2 3 4 5 ( ) I2b. 1 2 3 I2b1. 4 5 ( ) I3. 11 12 02 ( ) 1 2 (24 ) A1. 0 1 A2 A1a. ( ) A2. ( ) () () ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------
《侵权法》综合练习题
侵 权 法 综 合 练 习 题 (2011 年 11 月 ) 艾 奇 一 单 项 选 择 题 1. 因 环 境 污 染 受 到 损 害 的 受 害 人, 要 求 排 污 单 位 赔 偿 损 失, 需 证 明 ( ) A. 排 污 致 自 己 的 损 害 和 排 污 单 位 的 过 错 B. 排 污 造 成 自 己 的 损 害 C. 排 污 单 位 的 过 错 D. 自 己 无 任 何 过 错 2.
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 目 錄 壹 考 選 依 據 1 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 1 參 資 格 規 定 1 肆 員 額 及 專 長 類 別 2 伍 報 名 及 選 填 志 願 日 期 方 式 3 陸 選 填 官 科 (
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 期 程 表 日 期 執 行 項 目 3 月 1 日 (8 時 起 ) 至 3 月 21 日 (17 時 止 ) 網 路 報 名 並 完 成 列 印 3 月 22 日 (17 時 止 ) 各 校 承 辦 人 員 收 報 名 件 截 止 3 月 30 日 4 月 11 日 5 月 18 日 5 月 27 日 (17
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就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
SIK) 者, 需 實 施 1 年 以 上, 經 體 格 檢 查 無 後 遺 症 者 5. 身 體 任 何 部 分 有 刺 青 紋 身 穿 耳 洞 者, 不 得 報 考, 各 項 檢 查 結 果 須 符 合 體 位 區 分 標 準 常 備 役 體 位 二 在 校 軍 訓 成 績 總 平 均 70 分
民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 壹 依 據 : 依 民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 計 畫 辦 理 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 : 具 中 華 民 國 國 籍, 尚 未 履 行 兵 役 義 務 之 役 男, 年 齡 在 32 歲 ( 民 國 70 年 1 月 1 日 以 後 出
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( 0178) ( CIP). 1 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 956-7.... G726. 9 CIP ( 2004) 069175 : 1 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2400 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
2013年3月国家教师资格统一考试
2016 年 导 游 资 格 考 试 导 游 基 础 模 拟 试 题 及 答 案 4 一 单 项 选 择 题 ( 请 选 择 一 个 正 确 答 案, 并 将 正 确 答 案 涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 ) 1. 马 克 思 列 宁 主 义 同 中 国 实 际 相 结 合 的 第 二 次 历 史 性 飞 跃 的 理 论 成
序：
序 言 当 接 到 燕 姿 老 师 的 序 言 邀 请 时, 还 是 有 点 受 宠 若 惊 的, 虽 说 这 套 书 是 我 一 点 点 看 着 燕 姿 老 师 编 写 的, 也 知 道 它 的 妙 用 及 优 势 但 是 如 何 写 点 推 荐 的 东 西 还 是 有 些 愁 人, 毕 竟 感 觉 大 家 不 怎 么 看 序 言, 而 且 我 不 太 擅 长 忽 悠 思 来 想 去 莫 不 如
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
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( 0531) ( CIP). /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 959-1.... G726. 9 CIP ( 2004) 069172 : : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 3300 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
( CIP ) /,. 2 ( ) :, ( ) ISBN :. R CIP ( 2003 ) ( 2 ) ( ) 850 mm 1168mm 1 /
( 2 ) ( CIP ) /,. 2 ( ) :, 2003. 6 ( ) ISBN 7 81010 735 6............ :. R276. 1 44 CIP ( 2003 ) 030227 ( 2 ) ( 530 200032) 850 mm 1168mm 1 /32 10. 25 297 1 3 000 2000 1 1 2003 6 2 2003 6 3 ISBN 7 81010
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
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北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 北 京 2014 年 会 计 从 业 资 格 考 试 会 计 基 础 备 考 机 试 卷 一 1 单 项 选 择 题 ( 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中, 请 从 中 选 出 一 个 最 符 合 题 意 的 答 案 本 类 题 共 20 个 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 多 选 错 选
CIP. / ISBN Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G CIP http / /press. nju. edu. cn
CIP. /. 004. 4 ISBN 7 305 0458 7 Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G64. 505 CIP 004 0798 0093 05 8359693 05 835937 05 83686347 http / /press. nju. edu. cn nupress@public. ptt. js. cn 787 09 /6. 5 85 004 5 ISBN 7 305 0458
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过 程 排 除 A 正 确 答 案 是 B 14.A 解 析 本 题 考 查 思 修 第 八 章 中 国 人 权, 新 增 考 点 其 中 直 接 考 查 宪 法 保 障 是 人 权 保 障 的 前 提 和 基 础 A 人 权 保 障 的 最 后 防 线 是 司 法 保 障,B 人 权 保 障 的
2016 考 研 政 治 真 题 答 案 及 解 析 ( 完 整 版 ) 来 源 : 文 都 教 育 一 单 选 题 1.B 解 析 此 题 考 查 的 是 适 度 原 则 AC 选 项 表 述 正 确 但 与 题 目 无 关 D 表 述 错 误, 现 象 表 现 本 质 的 只 有 B 与 题 干 相 符, 所 以 答 案 为 B 2.A 解 析 前 一 句 话 " 自 由 不 在 于 幻 想 中
SIGNUM 3SB3
SGNUM * 6, 8 6, 8 6, 8 8 : : : : ( ) Ø22mm 6, 8 6, 8 6, 8 8 : : : : ( ) 7, 10 7, 9 7, 8 : (2 /3 ) RNS ( SB) : : CES / BKS : ( / ) 10 7, 8 : (2 /3 ) RNS ( 360012K1) : : MR : 7 Ø22mm 16 16 16 16 : : : :
九十六學年度第一學期第三次定期考國文科試題
凡 答 案 卡 上 因 個 人 基 本 資 料 畫 記 錯 誤 或 不 完 全, 造 成 讀 卡 過 程 無 法 判 定 身 分 者, 本 科 此 次 定 期 考 分 數 扣 3 分 一 單 選 題 ( 每 題 2 分 )36% 1.( 甲 ) 乃 覺 三 十 里 :ㄐㄩㄝˊ( 乙 ) 經 宿 方 至 :ㄙㄨˋ( 丙 ) 乾 癟 :ㄅㄧㄢˇ( 丁 ) 垂 髫 : ㄊㄧㄠˊ( 戊 ) 一 綹 短 髮
民國八十九年台灣地區在校學生性知識、態度與行為研究調查
84 年 台 灣 地 區 在 校 學 生 性 知 識 態 度 與 行 為 研 究 調 查 過 錄 編 碼 簿 題 號 變 項 名 稱 變 項 說 明 選 項 數 值 說 明 備 註 i_no 學 生 編 號 問 卷 流 水 號 location 學 校 所 在 縣 市 編 號 1 台 北 市 2 基 隆 市 3 台 中 市 4 台 南 市 5 高 雄 市 6 新 竹 市 7 嘉 義 市 21 宜 蘭
( CIP. :, 2004. 10 / ISBN 7-5054 - 1005-9.......... D630. 3-44 CIP ( 2004 055306 35 100044 ( 010) 68433166 ( ) ( 010) 68413840 /68433213( ) ( 010) 884
, : :,, : ( CIP. :, 2004. 10 / ISBN 7-5054 - 1005-9.......... D630. 3-44 CIP ( 2004 055306 35 100044 ( 010) 68433166 ( ) ( 010) 68413840 /68433213( ) ( 010) 88415258( ) 787 1092 1 / 16 195 8 2004 10 1
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
CIP / 005 ISBN X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G CIP ISBN X/G http / /cbs pku edu cn pku edu
CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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第六章 数据分析(排列组合、概率和数据描述)
考 纲. 排 列 组 合 第 六 章 数 据 分 析 ( 排 列 组 合 概 率 和 数 据 描 述 ) () 加 法 原 理 乘 法 原 理 () 排 列 与 排 列 数 () 组 合 与 组 合 数. 概 率 () 事 件 及 其 简 单 运 算 () 加 法 公 式 () 乘 法 公 式 () 古 典 概 型 () 贝 努 里 概 型. 数 据 描 述 一 排 列 组 合 ㈠ 知 识 要 点
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( ) Wuhan University
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CIP 1500 / ISBN X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D CIP edu. cn
1500 CIP 1500 /. 2006. 8 ISBN 7 5625 2128X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D920. 5 44 CIP 2006 087648 1500 388 430074 027 87482760 027 87481537 E-mail cbb@cug. edu. cn 2006 8 1 2006 8 1 850 1 168 1 /32 8. 625 220 26. 00 1.
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( 0410) ( CIP). /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 963 - X.... G726. 9 CIP ( 2004) 069169 : : : : : : : ( 2 : 100733, : 010-65369529, 65369527) : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 3360 : 140 : 0001 5000 : 2005 8 1 1
1-1 2
烘焙基礎實務 應檢術科考前須知 PART 02 1-1 一般性應檢須知 1-2 專業性應檢須知 1-3 術科指定參考配方表 1-4 術科測驗製作報告表 1-5 術科技能檢定評分表 1-6 術科測試時間配當表 1 1-1 2 應檢術科考前須知 十五 應檢人有下列情形之一者 取消應檢資格 其成績以不及格論 1. 冒名頂替者 協助他人或託他人代為操作者或作弊者 2. 互換半成品 成品或製作報告表 3. 攜出工具
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
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精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com 7. 根 据 中 华 人 民 共 和 国 会 计 法 的 规 定, 对 登 记 会 计 账 簿 不 符 合 规 定 的 单 位 县 级 以 上 人 民 政 府 财 政 部 门 责 令 限 期 改 正, 并 可 以 处
北 京 市 会 计 从 业 资 格 无 纸 化 考 试 财 经 法 规 与 会 计 职 业 道 德 上 机 考 试 题 库 ( 五 ) 考 试 时 间 :60 分 钟 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 分, 每 小 题 1 分 每 小 题 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 漏 选, 不 得 分 ) 1. 纳 税 人 生 产 规 模 较 小 产 品 零 星 税 源 分 散
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0146) : 2 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 957-5.... G726. 9 CIP ( 2004) 069174 : 2 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2800 : 122 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153 -
2015年一级建造师《项目管理》真题
2015 年 一 级 建 造 师 项 目 管 理 真 题 一 单 项 选 择 题 1. 某 工 程 在 浇 筑 楼 板 混 凝 土 时, 发 生 支 模 架 坍 塌, 造 成 3 人 死 亡,6 人 重 伤, 经 调 查, 系 现 场 技 术 管 理 人 员 未 进 行 技 术 交 底 所 致 该 工 程 质 量 事 故 应 判 定 为 ( ) A. 操 作 责 任 的 较 大 事 故 B. 操 作
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浙 江 省 水 利 专 业 高 级 工 程 师 资 格 评 价 业 务 考 试 基 础 知 识 题 集 (2014 年 修 订 版 ) 二 一 四 年 三 月 前 言 为 完 善 水 利 专 业 高 级 工 程 师 资 格 评 审 工 作, 建 立 健 全 科 学 公 平 公 正 的 评 价 机 制, 促 进 水 利 队 伍 能 力 建 设, 省 人 力 资 源 和 社 会 保 障 厅 省 经 济
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要 求 服 装 统 一 各 队 自 带 比 赛 球 槌 队 长 及 教 练 标 志 大 会 提 供 比 赛 用 球 和 号 码 布 ( 五 ) 比 赛 所 用 球 槌 须 为 中 国 门 球 协 会 2016 年 度 专 业 器 材 供 应 商 企 业 的 产 品, 企 业 名 称 和 品 牌 请
竞 赛 规 程 一 比 赛 时 间 和 地 点 时 间 :2016 年 8 月 7 日 至 13 日 地 点 : 湖 北 省 利 川 市 二 竞 赛 织 指 导 单 位 : 中 国 门 球 协 会 主 办 单 位 : 中 国 门 球 协 会 门 球 之 苑 编 辑 部 利 川 市 人 民 政 府 承 办 单 位 : 湖 北 省 门 球 协 会 恩 施 州 老 年 人 体 育 协 会 利 川 市 文
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针 灸 学 试 题 绪 言 试 题 一 选 择 题 ( 一 )A 型 题 1. 针 灸 学 的 指 导 理 论 是 ( ) A. 中 医 理 论 B. 经 络 理 论 C. 腧 穴 理 论 D. 刺 灸 理 论 E. 脏 象 理 论 2. 针 灸 学 起 源 于 我 国 的 时 代 是 ( ) A. 青 铜 器 时 代 B. 石 器 时 代 C. 仰 韶 文 化 时 期 D. 奴 隶 制 度 时 代
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
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76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
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2007 12 1 2 SIRIUS 3 4 5 6 2 2/2 3SB3 2/4 3SB3 2/5 3SB3 2/5 2/7 2/10 2/11 2/13 3SB3 2/14 3SB3 2/15 3SB3 2/17 3SB37 SIRIUS 3SB3 3SB3 (/) (/) (/) () Ø22mm (/) (/) (/) () 23 RONIS (/) (SB30) () 23 OMR (/)
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